8 è Congrès Français d Méaniqu Grnobl, 7- août 7 Calul d un strutur d typ arton ondulé à l aid d un approh D oqu hoogénéisé nis Batti, Nabil albi, Rzak yad, Ying Qiao Guo Univrsité d Ris Chapagn-rdnn Group d Méaniqu, Matériau t Struturs (GMMS, E 67) Moulin d la Houss, B9, F-5687 Ris d anis.batti@tudiant.univ-ris.r Résué : Un odèl d hoogénéisation du arton ondulé t un élént ini d oqu sont dévloppés pour odélisr l oportnt éaniqu d struturs n arton ondulé. L odèl d hoogénéisation analytiqu proposé prt un odélisation d un strutur D d arton par un plaqu hoogénéisé D. Il st basé prinipalnt sur la théori d stratiiation av pris n opt du isaillnt transvrsal. Il st nsuit aélioré av l apport d plusiurs théoris. C odèl d hoogénéisation aélioré st iplénté dans un élént ini d oqu triangulair av isaillnt transvrsal. L présnt odèl a été validé par oparaison av un siulation D sur baqus t av d autrs résultats nuériqus t périntau. Un problè d labnt d un plaqu n arton ondulé st traité t présnté dans t artil. bstrat : hoognisation odl o th orrugatd ardboard and a shll lnt ar dvlopd or th analysis o th hanial bhaviour o orrugatd ardboard struturs. h proposd analytial hoognisation odl allows odlling th D orrugatd ardboard with a D hoognisd plat. his odl is ssntially basd on th thory o stratiiation inluding th transvrs shar ts. It is thn iprovd using svral thoris. his iprovd hoognisation odl is iplntd into a triangular bnding/shar shll lnt. his odl was validatd by oparison with a siulation on th baqus sotwar and with othr nurial and printal rsult. probl o bukling o a orrugatd ardboard is tratd and prsntd in this papr. Mots-ls : Hoogénéisation ; Carton ondulé ; Elént ini Introdution Dans l industri d l ballag, la part pris par l arton ondulé st d plus n plus grand. Il st don ssntil d pouvoir odélisr t don prédir l oportnt éaniqu du arton ondulé. vant la is sur l arhé d un nouvl ballag, un odélisation prorant du arton ondulé prttrait d rplar ou au oins d réduir onsidérablnt ls ssais périntau qui sont à la ois longs t oûtu. Carlsson t Nordstrand () ont obtnu par un éthod analytiqu ls propriétés éaniqus hoogénéisés ds plaqus n arton ondulé t, n partiulir, lls onrnant ls isaillnts transvrsau. Ils (994) ont, d plus, étudié l labag t l post-labag d un plaqu orthotrop n inluant l t ds isaillnts transvrsau. Un odèl d hoogénéisation analytiqu basé sur la théori ds stratiiés a été proposé par boura t al. (4) t oparé av ds résultats nuériqus t périntau. Buanni () a présnté
8 è Congrès Français d Méaniqu Grnobl, 7- août 7 un théori d hoogénéisation basé sur un éthod d pansion asyptotiqu. Un approh par élénts inis a été utilisé par Bianolini (5) ain d évalur ls oiints d rigidité du arton ondulé. Ct artil a pour objti d ontrr la possibilité d odélisr d anièr très ia l oportnt éaniqu d un pannau d arton ondulé oposé d strats par un plaqu hoogénéisé D. Notr odèl d hoogénéisation rpos sur la théori d stratiiation n tnant opt du isaillnt transvrsal. Divrss odiiations t aéliorations y ont été apportés ain d odélisr au iu l arton ondulé souis à tout typ d solliitations. L présnt odèl d hoogénéisation st iplénté dans un élént d oqu triangulair av la pris n opt du isaillnt transvrs. Ls résultats donnés par l présnt odèl d hoogénéisation sont oparés à u obtnus par la siulation D d baqus t à d autrs résultats nuériqus t périntau. Un pl d labnt d un plaqu rtangulair n arton st traité dans t artil. Modèl d hoogénéisation du arton ondulé rièrnt, st présnté ii l adaptation d la théori lassiqu d stratiiation à la strutur opl du arton ondulé. Duiènt, plusiurs aéliorations sont introduits ain qu ls propriétés éaniqus pour la plaqu hoogénéisé rtransrivnt au iu l oportnt éaniqu du arton ondulé sous diérnts typs d hargnts. roisiènt, notr odèl d hoogénéisation aélioré st iplénté nuériqunt dans un élént d oqu av isaillnt transvrsal (applé Τγ8), t t nsbl st nsuit iplénté dans un usr s routin (UEL) sur la plat-or d l baqus.. daptation d la théori ds stratiiés au as partiulir du arton ondulé z θ s u p h H S C d FIG. Volu éléntair rprésntati du arton ondulé L arton ondulé st oposé d trois strats : un pau supériur, un annlur sinusoïdal t un pau inériur. La igur ontr un Volu Eléntair Rprésntati (VER) du arton ondulé. our haun tranh d, la théori ds stratiiés put s appliqur n intégrant ls ontraints suivant l épaissur (z) ain d obtnir ls rigidités globals liant ls déorations généralisés t ls orts intrns n un point donné : [ ( ) ] = [ Q ] [ ] [ ] S S + Q C C + Q I I S S S C C C I I I [ B ( ) ] = [ Q ] z + [ Q ] z + [ Q ] z S ( ) ( ) S S C C I I F( ) = ( C + C + C ) av k=5/6 ( ) S S S C C C I I I [ D ( ) ] = [ Q ](( z ) + ) + [ Q ](( z ) + ) + [ Q ](( z ) + ) [ ] [ ] [ ] [ ] k i n C I d I
8 è Congrès Français d Méaniqu Grnobl, 7- août 7 où [], [D], [B] sont ls atris d rigidité d bran, d lion t d lur ouplag, [F] ll d isaillnt ; [Q] st la atri d élastiité pour ls trois ontraints dans l plan, [C] ll pour ls ontraints d isaillnt transvrsal ; t z sont l épaissur t la position ds pau t d la annlur. Ensuit, un intégration suivant prt d hoogénéisr l arton dans la dirtion MD (Mahin Dirtion). insi ls rigidités globals hoogénéisés sont déinis o suit : N B ε M = B D k Q F γ. éliorations du odèl d hoogénéisation L arton ondulé st plus opl qu un plaqu lainé à aus d la annlur t ds vids ntr ls du pau. Ls rigidités globals obtnus par la théori ds stratiiés néssitnt ds aéliorations, surtout pour ls orts sur ls stions norals à (MD)... ransoration d la loi d oportnt d la annlur dans l rpèr global La loi d oportnt du papir d annlur st détriné périntalnt dans son état initial plan. Dans un arton ondulé, ls oiints du atériau doivnt êtr transorés du rpèr loal au rpèr global yz (Fig. ). Nous avons ls lois d oportnt dans l rpèr loal t l rpèr global yz, aussi ls atris transoration yz ntr ls du rpèrs : ε C σ ε = C σ σ σ ε = ' ε { } = yz { } ; { } { } ; { } = [ ]{ } ; { } [ ]{ } yz yz yz yz où [] t [ ] sont ls atris d passag, [C ] t [C yz ] atris d libilité. ' insi, nous obtnons : C = [ C ][ ] yz.. Rigidités onrnant l ort noral N t l ont d lion M v la théori ds stratiiés, la annlur donn ls rigidités iportants rlativs à l ort noral N t au ont d lion M. Nous supposons qu la ontribution d la annlur put êtr étudié séparént. Considérons la annlur sul sous tration suivant (Fig. ). La éthod énrgétiqu st utilisé pour alulr l déplant t puis la rigidité d tration. On oup la annlur n G, l ort noral, l ort tranhant t l ont d lion sur la stion G puvnt êtr obtnus slon l équilibr : N = F os( θ) =-F sin( θ) h π M = F sin F z G M N θ F FIG. Calul d la raidur d la annlur n tration L énrgi intrn d déoration s érit : U = = N ds E + = k ds G + = M EI ds
8 è Congrès Français d Méaniqu Grnobl, 7- août 7 F ou nor U = ( a + b + ) Et our un oqu in o la annlur, l tr st très grand par rapport au du prirs. L théorè d Castigliano st utilisé pour alulr l déplant suivant : U F = = ( a + b + ) ; F Et K = K = annlur annlur F Et ( a + b + ) La raidur d un pau (inériur ou supériur) st alulé o suit : F Et σ = Eε = E K pau = t * Si l odul d Young t l épaissur d un pau sont égau à u d la annlur, l rapport ntr la raidur d un pau t la raidur d la annlur : Kannlur Eannlurtannlur = = K ( a + b + ) E t ( a + b + ) pau pau pau Dans un arton ondulé «Moynn Cannlur», ls dinsions d la annlur sont : hautur h = 4, pas périodiqu = 8, épaissur t =.6, Kannlur =.6 * K pau On n déduit qu la annlur a pu d ontribution à la rigidité d tration N t don négligabl. Un alul siilair a été ait pour la lion M t il n résult qu la annlur n a pas d ontribution non plus à la rigidité d lion M (autour d y). En onlusion, la théori ds stratiiés prt d alulr orrtnt ls rigidités d la annlur rlativs à N y t M y, ais st la théori d sandwih qui put s appliqur à N t M... Rigidité onrnant l ort tranhant Q La théori ds stratiiés donn un rigidité d isaillnt transvrsal trop grand. En ait, la rigidité d isaillnt du arton n st pas la so ds rigidités d la annlur t ds pau, ll dépnd plutôt d la déoration d lion ds strats. Nordstrand a utilisé la théori d poutr ourb pour alulr l déplant transvrsal t puis n déduir la rigidité d isaillnt. Ctt solution analytiqu st rtnu t iplénté dans l présnt odèl... Rigidité onrnant l ort tranhant Q y Ctt rigidité d isaillnt transvrsal n st pas égal à la so ds rigidités ds strats ar la distribution d la ontraint tangntill n st pas unior sur la stion. Si on onntr la annlur d un périod au iliu (=/), un analogi av un poutr à stion I nous prt d n prndr qu la annlur pour alulr la rigidité d isaillnt rlativ à Q y n négligant la ontribution ds du pau tériurs...4 Rigidité onrnant l ont d torsion M y La torsion du arton ondulé M y rssbl à la torsion d un poutr à stion ultillulair. La théori d Brdt basé sur l analogi d bran put s appliqur. Si l ont d torsion st uniorént réparti, ls lu ds ontraints tangntills s annulnt dans ls parois d la annlur sau lls au bord. insi la rigidité d torsion put êtr obtnu n n onsidérant qu ls du pau tériurs. 4
8 è Congrès Français d Méaniqu Grnobl, 7- août 7. Forulation d l élént oqu γ8 L présnt odèl d hoogénéisation st iplénté dans l élént d oqu Τγ8. C drnir st un élént triangulair à att plan ayant trois nœuds t si dgrés d librté par nœud. Il st oposé d l élént d bran CS (Constant Strain riangl) t d l élént d plaqu γ av pris n opt du isaillnt transvrsal, proposé par Hughs t al. (98) t nsuit aélioré par yad t al. (99) n utilisant ls transorations Jaobinns sipliiés. our l analys non linéair n grands déplants, la atri tangnt t l vtur ds ors intrns s érivnt o suit : où k k k k k θ k = + + + + z σ [ K ] = [ B ] [ H ][ B ]d ; [ K ] = [ B ] [ H ][ B ]d [ K ] = [ B ] [ H ][ B ]d ; [ Kσ ] = [ Bσ ] [ N][ Bσ ]d N N { N } = N = [ H ]{ } ; { M } = M = [ H ]{ χ} ; { } = = [ H ]{ γ } y y k, k, k, k, k σ isaillnt t d ontraints initials ; singularité d k M M y y 5 y sont ls atris tangnt, d bran, d lion, d k θz st la atri d rigidité itiv pour évitr la puisqu ls autrs atris d rigidité n ont pas d ontribution pour la rigidité rlativ à la rotation θ z ; { } { } { } N, M, sont ls vturs ds ors d bran, ds onts d lion t d torsion, t ds orts tranhants transvrsau. L analys d labnt st aussi iplénté sur la plat-or d l baqus. Validation du odèl pour l labnt Un pannau n arton ondulé (Fig. 4) a été utilisé ain d validr notr odèl av un siulation baqus D sous diérnts hargnts. Ls résultats sont présntés au olloqu Gins 7 «Calul ds Struturs». Dans t artil, l présnt odèl st validé n labnt av ls résultats nuériqus t périntau d Nordstrand (4). Ls dinsions du pannau n arton ondulé sont d 4 4, l pas d la annlur st p=7.6 t la hautur d la annlur st d.65. Ls propriétés éaniqus sont priés n Ga t l épaissur d haun ds strats st donné n dans l tablau : E E y E z G y G z G yz ν y ν z ν yz Ep. au sup. 8.5.9.9.89.7.7.4... Cannlur.5...5.5.5.5...5 au in. 8.8...95.7.7.4... ablau. ropriétés du arton ondulé L pannau st siplnt supporté au ontour t souis à un oprssion unior suivant y. Il st odélisé n un plaqu hoogénéisé. Ctt plaqu st disrétisé n 89 puis n 545 nœuds t n 5 puis n 4 élénts triangulairs t l tps CU st d.7 puis d.6 sonds pour un aillag d typ puis pour un aillag d typ C.
8 è Congrès Français d Méaniqu Grnobl, 7- août 7 z ZD y CD a FIG. 4 Rpèr a MD FIG. Maillag d typ FIG. 5 Maillag d typ C (roisé) Ls aillags d élént ini t ls iso-oulurs ds déplants transvrsau sont illustrés au Fig. t 5. La harg ritiqu d labnt obtnu par ls tsts périntau d Nordstrand (4) st d 84 N. La or ritiqu alulé par notr odèl st d 9N pour l aillag d typ t d 878N pour l aillag roisé. Cs résultats sont n bon aord av la harg ritiqu donné par Nordstrand (4) qui st d 87 N. Il st don possibl d odélisr iant un arton ondulé D par un plaqu hoogénéisé D pour l labag. 4 Conlusion Un odèl d hoogénéisation analytiqu du arton ondulé ainsi qu son ipléntation nuériqu ont été présntés. C odèl rpos sur la théori ds stratiiés suivant y t sur la théori ds sandwihs suivant. C odèl a déjà été validé pour un analys statiqu n oparant ss résultats av un siulation baqus D pour touts ls prinipals solliitations. Ii, on ontr qu notr odèl ontionn très bin pour un analys n labnt. REMERCIEMEN : L Equip d Modélisation Nuériqu du GMMS rri l Etat, la Région Chapagn rdnns, la vill d Ris t l CNR Eballag pour lur soutin inanir dans l adr du projt Opti pak. Réérns boura Z., albi N., llaoui S. & Bnzggagh M.L. 4 Elasti bhavior o orrugatd ardboard: prints and odling. J. Coposit Struturs 6, 5-6 yad R., Batoz J.L., Dhatt G. & Katilli I. 99 study o rnt triangular lnts or thin and thik plats. J. Nw dvans in Coputational Strutural Mhanis 59-7 Bianolini M.E. 5 Evaluation o quivalnt stinss proprtis o orrugatd board. J. Coposit Struturs 69, -8 Buanni N., Cartraud. & Qusnl. Hoognization o orrugatd or sandwih panls. J. Coposit Struturs 59, 99- Carlsson L.., Nordstrand. & Wstrlind B. On th lasti stinss o orrugatd or sandwih plat. J. Sandwih Struturs and Matrials, 5-67 Hughs.J.R. & zduyar.e. 98 Finit lnt basd on Mindlin plat thory with partiular rrn to th our-nod bilinar isoparatri lnt. J. pp. Mh. 48, 587-596 Nordstrand. & Carlsson L.. 994 ransvrs shar stinss o strutural or sandwih. J. Coposit Struturs 7, 7-9 Nordstrand. 4 On bukling loads or dg-loadd orthotropi plats inluding transvrs shar. J. Coposit Struturs 65, -6 6