Terminale S. 1. Divers

Termiale S 1 Divers Bézout 3 Quadratique 4 Divisibilité 5 Equatio diophatiee 6 Equatio diophatiee (, Caracas 01_04) 7 Base de umératio 8 Base de umératio 3 9 Somme des cubes 10 PGCD 11 Somme des diviseurs 1 Baque 004-9 13 Baque 004-30 14 Baque 004-31 15 Baque 004-3 16 Baque 005-6 17 Baque 005-38 18 Polyésie, jui 006 (c) 19 Natioal, jui 006 (c) 0 Cetres étragers, jui 006 1 Asie, jui 006 Amérique du Sud, sept 005 3 Natioal, sept 005 4 Atilles, jui 005 5 Cetres étragers, jui 005 (c) 6 Liba, jui 005 7 Polyésie, jui 005 8 La Réuio, jui 005 9 Nouvelle-Calédoie, ov 004 (c) 30 Atilles, sept 004 31 Asie, jui 004 3 Cetres étragers, jui 004 33 Natioal, jui 004 (c) 34 La Réuio, jui 004 35 Nouvelle Calédoie, sept 003 36 Atilles-Guyae, sept 003 37 Frace, sept 003 38 Polyésie, sept 003 39 Atilles-Guyae, jui 003 40 Asie, jui 003 41 Liba, mai 003 4 Amérique du Sud, décembre 00 43 Nouvelle-Calédoie, ovembre 00 44 Frace, septembre 00 45 Asie, jui 00 46 Cetres étragers, jui 00 47 Frace, jui 00 48 Polyésie, jui 00 49 Amérique du Nord, mai 00 50 Nouvelle Calédoie, décembre 001 51 Atilles, septembre 001 5 Amérique du Sud, septembre 001 53 Frace, jui 001 54 Cetres étragers, jui 001 55 Atilles, jui 001 56 Amérique du Nord, jui 001 57 Podichéry, jui 001 58 N Calédoie, jui 001 59 Polyésie, jui 001 60 Liba, mai 000 (c) 61 Podichéry, mai 1999 (c) 6 Nombres de Farey et approximatio d u ratioel par u ratioel 1 Divers 1-a : Divisio Euclidiee - 1 (c) Das ue divisio euclidiee etre etiers aturels quels peuvet être le diviseur et le quotiet lorsque le dividede est 30 et le reste 39? Correctio O a 30 = q b + 39 q b = 30 39 = 81 Cherchos les diviseurs de 81 : 1 et 81 Ce sot les seules valeurs possibles de q et b 1-b : Divisio Euclidiee- Quel est le ombre de diviseurs de 880? 1-c : Divisio Euclidiee-3 (c) 1 Écrire l'esemble des etiers relatifs diviseurs de 6 Détermier les etiers relatifs tels que 4 divise 6 3 Détermier les etiers relatifs tels que 4 divise + 4 Détermier les etiers relatifs tels que + 1 divise 3 4 Termiale S 1 F Laroche

Correctio 1 L'esemble des diviseurs de 6 est D = { 6 ; 3 ; ; 1 ; 1 ; ; 3 ; 6} 4 divise 6 si 4 appartiet à D, soit si appartiet à D + 4 = { ; 1 ; ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10} 3 O peut remarquer que + = 4 + 6 Puisqu'il est évidet que 4 divise 4, le résultat du permet alors d'affirmer que si 4 divise +, alors 4 divise + ( 4) c'est-à-dire 4 divise 6 Réciproquemet si 4 divise 6 alors 4 divise 6 + 4 c'est-à-dire 4 divise + O a doc démotré que 4 divise + si et seulemet si 4 divise 6 4 O peut raisoer e utilisat le même pricipe qu'à la questio précédete O remarque que 3 4 = 3( + 1) 7, et puisqu'il est immédiat que + 1 divise 3( + 1), o peut écrire : - si + 1 divise 3 4, alors + 1 divise 3 4 3( + 1) c'est-à-dire + 1 divise 7 ; réciproquemet : si + 1 divise 7 alors + 1 divise 7 + 3( + 1) c'est-à-dire + 1 divise 3 4 L'esemble des diviseurs de 7 (ou de 7) état { 7 ; 1 ; 1 ; 7}, o e déduit que + 1 divise 3 4 si et seulemet si + 1 appartiet à { 7 ; 1 ; 1 ; 7} soit appartiet à { 8 ; ; 0 ; 6} 1-d : Multiples - 1 a et b sot deux etiers relatifs Démotrez que si a +b est divisible par 7 alors a et b sot divisibles par 7 1-e : PGCD - 1 (c) Trouvez le PGCD des ombres 1640 et 49 e utilisat la décompositio e facteurs premiers, puis e utilisat l algorithme d Euclide Correctio Avec l aide de Maple o a immédiatemet : > ifactor(1640); ifactor(49); et le PGCD : 1-f : PPCM et PGCD - 41 = 164 Avec Euclide : ( ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( ) ( 3 ) ( 41 ) 1640 = 49 3 + 164 doc 49 = 164 3 + 0 Trouvez les deux ombres a et b sachat que leur PGCD est 4 et leur PPCM est 1344 1-g : PPCM et PGCD - 3 Trouvez deux etiers dot la différece etre leur PPCM et leur PGCD est 187 1-h : Théorème de Gauss-1 1 a est u etier aturel Motrez que a 5 a est divisible par 10 a et b sot des etiers aturels avec a b Démotrez que si a 5 b 5 est divisible par 10 alors a b est divisible par 0 1-i : Bases de umératio-1 Trouvez toutes les valeurs des chiffres x et y telles que le ombre = 6x95y das le système décimal soit divisible par 3 et 11 1-j : Bases de umératio- A est le ombre qui s écrit 1654 das le système à base 7 Ecrivez ce ombre e bases 10, puis et efi 16 (tous les calculs doivet apparaître) Termiale S F Laroche

1-k : Bases de umératio-3 Le ombre N s écrit 3 das le système décimal Peut-il s écrire 7 das ue autre base? 1-l : Cogrueces-1 (c) Quel est le reste de la divisio par 7 du ombre (3) 45 Correctio Le reste de 3 das la divisio par 7 est 4 ; 4 doe, 4 3 doe 8, soit 1 ; comme 45 = 153, o a : Le reste est doc 1 1-m : Cogrueces- 45 45 3 ( ) ( ) 15 15 3 4 (7) 4 (7) 1 (7) 1(7) Démotrez que le ombre = ab( a b ) est divisible par 3 pour tous les etiers relatifs a et b 1- : Cogrueces-3 (c) 1 Détermier les restes de la divisio de 5 p par 13 pour p etier aturel E déduire que pour tout etier aturel supérieur ou égal à 1, le ombre N = 31 4+1 + 18 4 1 est divisible par 13 Correctio 1 p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = : 1 ou 1, p = 3 : 5 ou 8, p = 4 : 1 doc pour p = 4k le reste est 1, pour p = 4k + 1 le reste est 5, pour p = 4k + le reste est 1 ou 1, pour p = 4k + 3 le reste est 8 ou 5 4+ 1 4 1 N = 31 + 18 : 31 = 13 + 5 5(13) et 18 = 13 1 + 5 5(13) ; o a doc 4+ 1 4 1 4+ 1 4 1 4+ 1 4 ' + 3 N = 31 + 18 5 5 (13) 5 5 + + (13) [5 + 8](13) 0(13) 1-o : Divers-1 U ombre qui s écrit avec 4 chiffres idetiques peut-il être u carré parfait (carré d u ombre etier)? 1-p : Divers- Démotrez qu u etier cogru à 7 modulo 8 e peut être égal à la somme de trois carrés 1-q : Divers-3 a et b sot deux etiers positifs premiers etre eux Motrez que a + b et a b sot premiers etre eux 1-r : Divers-4 + O cosidère la fractio avec etier positif + 1 3 a prouvez que tout diviseur commu d à + 1 et 3 + est premier avec b Déduisez e que d divise + 1, puis que d = 1 ou d = 5 c Quelles sot les valeurs de pour lesquelles la fractio est irréductible? 1-s : Nombres Premiers-1 Le ombre 401 est-il premier? Résolvez e etiers aturels l équatio x 1-t : Nombres Premiers- p et q sot des etiers aturels y = 401 Termiale S 3 F Laroche

1 Démotrez que pq 1 est divisible par p 1 et par q 1 Déduisez e que pour que 1 soit premier, il faut que soit premier 3 Prouvez à l aide d u cotre-exemple que la coditio «est premier» est pas suffisate pour que 1 soit premier 1-u : Nombres Premiers-3 Soit p u etier premier Motrer que si p 5 alors 4 divise 1-v : Démostratio de Fermat Soit p, u etier aturel premier p 1 p 1 a Démotrer que si k est u etier aturel tel que 1 k p 1, le ombre est divisible par p k 1 b E déduire que, quel que soit l'etier, le ombre ( + 1) p p 1 est divisible par p Démotrer que, quel que soit l'etier aturel, p est divisible par p (o pourra faire u raisoemet par récurrece) 3 Motrer que pour tout etier premier avec p, p 1 1 est divisible par p Bézout -a : Bezout-1 1 E utilisat l algorithme d Euclide, détermier le PGCD des ombres 8 et 31 Trouver alors deux ombres x et y etiers relatifs tels que 31x 8y = 1 Résoudre das l esemble des etiers relatifs l équatio 31x 8y = 414 3 Le pla est rapporté au repère orthoormal ( O ; i, j ) O doe les poits A( 30 ; 48) et B(8 ; 76) O appelle (D) la droite (AB) a Trouver l esemble des poits M(x ; y) de (D) dot les coordoées sot des ombres etiers relatifs b Le repère utilisé pour le graphique est gradué de 10 à +10 e abscisses et de 14 à +14 e ordoées Vérifiez et expliquez pourquoi il y a pas de poit de (D) à coordoées etières visible sur le graphique c Pour remédier à l icovéiet du 3b o décide d agradir la feêtre à [ 40 ; +40] e abscisses et à [ 50 ; +10] e ordoées Combie y-a-t-il de poits de (D) à coordoées etières sur ce ouveau graphique? Faire la figure -b : Bezout- 1 Résoudre das Z xz l équatio 13x 3y = 1 Résoudre das Z xz l équatio 156x + 76y = 4 -c : Bezout-3 x y 1 Démotrer que, pour que la relatio suivate = 3 soit satisfaite, pour x et y etiers aturels, il faut 9 4 predre x et y de la forme : x = 9( k + 3) et y = 4k avec k etier aturel Démotrer que le PGCD de x et y e peut être qu u diviseur de 108 3 O pose m = PPCM(x ; y) et o evisage la décompositio de m e facteurs premiers Commet faut il choisir k pour que : a m e cotiee pas le facteur? b m cotiee le facteur ou le facteur? c m e cotiee pas le facteur 3? d m cotiee le facteur 3, ou le facteur 3, ou le facteur 3 3? Termiale S 4 F Laroche

4 Commet faut-il choisir x et y de telle faço que l o ait PGCD(x ; y) = 18? -d : Bezout-4 1 Décomposer 319 e facteurs premiers Démotrer que si x et y sot deux etiers aturels premiers etre eux, il e est de même pour les ombres 3x + 5y et x + y 3 Résoudre das -e : Bezout-5 1 Motrer, après factorisatio, que a et b sot divisibles par 4 Termiale S 5 F Laroche Z le système d icoues a et b : (3a + 5 b)( a + b) = 176 où m est le PPCM de a et b ab = m Au 8 siècle, u groupe composé d hommes et de femmes a dépesé 100 pièces de moaie das ue auberge Les hommes ot dépesé 8 pièces chacu et les femmes 5 pièces chacue Combie pouvait-il y avoir d hommes et de femmes das le groupe? 3 Quadratique Bac 000 (?) 1 Soit x u etier impair Quel est le reste de la divisio de x par 8? Résoudre das Z x Z l équatio x = 8y + 1 3 O veut tracer sur l écra d ue calculatrice comportat 30 poits de large sur 00 poits de haut les 1 1 poits à coordoées etières de la courbe d équatio y = x 8 8 Le repère choisi a so origie e bas à gauche de l écra, et chaque poit de l écra a pour coordoées sa positio à l écra 1 (par exemple, le poit e haut à droite aura pour coordoées (319 ; 199)) Combie de poits pourra-t-o tracer? 4 Divisibilité Le ombre est u etier aturel o ul O pose a = 4 + 3 et b = 5 + O ote d le PGCD de a et b 1 Doer la valeur de d das les cas suivats : =1, =11, =15 Calculer 5a 4b et e déduire les valeurs possibles de d 3 a Détermier les etiers aturels et k tels que 4 + 3 = 7k b Détermier les etiers aturels et k tels que 5 + = 7k 4 Soit r le reste de la divisio euclidiee de par 7 Déduire des questios précédetes la valeur de r pour laquelle d vaut 7 Pour quelles valeurs de r, d est-il égal à 1? 5 Equatio diophatiee 1 O admet que 1999 est u ombre premier Détermier l esemble des couples (a, b) d etiers aturels tels que a + b = 11994 et dot le PGCD vaut 1999 O cosidère l équatio (E) : S+11994 = 0 où S est u etier aturel O s itéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutios das Z a Peut o trouver S tel que 3 soit solutio de (E)? Si oui, préciser la deuxième solutio b Même questio avec 5? c Motrer que tout etier solutio de (E) est u diviseur de 11994 E déduire toutes les valeurs possibles de S 6 Equatio diophatiee (, Caracas 01_04) Pour tout etier aturel supérieur ou égal à 5, o cosidère les ombres a = 3 1 et b = 7 4

O pose α = + 1 et β = + 3 O ote d le pgcd de α et β a Etablir ue relatio etre α et β idépedate de b Démotrer que 5 divise d c Démotrer que les ombres α et β sot multiples de 5 si et seulemet si ( ) est multiple de 5 3 Motrer que + 1 et sot premiers etre eux 4 a Détermier, suivat les valeurs de et e foctio de, le pgcd de a et b (O pourra utiliser les résultats des questios c et 3) b Vérifier les résultats obteus das les cas particuliers = 11 et = 1 7 Base de umératio 1 Résoudre das Z l équatio 54 + 13x = 6y Soit N le ombre dot l écriture das le système de umératio de base 13 est N = 5x3 Pour quelles valeurs de x : * N est-il divisible par 6? * N est-il divisible par 4? * N est-il divisible par 4? (4 est écrit e décimal ) 8 Base de umératio 3 1 Démotrer que, pour tout etier aturel, 3 1 est divisible par 8 E déduire que 3 + + 7 est u multiple de 8 et que 3 +4 1 est u multiple de 8 Détermier les restes de la divisio par 8 des puissaces de 3 3 Le ombre p état u etier aturel, o cosidère le ombre A p défii par : A p = 3 p + 3 p + 3 3p + 3 4p a Si p =, quel est le reste de la divisio de A p par 8? b Démotrer que, si p = + 1, A p est divisible par 8 4 O cosidère les ombres a et b écrits das le système "base 3" : a = 1110 trois b = 101010100 trois Les ombres a et b sot-ils divisibles par 8? 5 De même, o cosidère le ombre c = 000000000 trois Démotrer que c est divisible par 16 Remarque : pour les questios 4 et 5, o raisoera sas utiliser la valeur umérique e base dix des ombres a, b, c 9 Somme des cubes 1 Calculer, e foctio de, la somme des premiers etiers aturels o uls Démotrer par récurrece que Termiale S 6 F Laroche 3 p p = Exprimer 3 s p p= 1 p= 1 p= 1 3 Soit D le PGCD des ombres s et s +1 Calculer D lorsque a = k, b = k+1 E déduire que s, s +1 et s + sot premiers etre eux 10 PGCD Pour tout etier aturel, o ul, o cosidère les ombres = e foctio de

1 a Calculer a 1, b 1, c 1, a, b, c, a 3, b 3 et c 3 a = 4 10 1, b = 10 1 et c = 10 + 1 b Combie les écritures décimales des ombres a et c ot-elles de chiffres? Motrer que a et c sot divisibles par 3 c Motrer, e utilisat la liste des ombres premiers iférieurs à 100 doée ci-dessous que b 3 est premier d Motrer que pour tout etier aturel o ul, b c = a e Motrer que PGCD( b, c ) = PGCD( c, ) E déduire que b et c sot premiers etre eux O cosidère l équatio (1) : b3 x + c3 y = 1 d icoues les etiers relatifs x et y a Justifier le fait que (1) a au mois ue solutio b Appliquer l algorithme d Euclide aux ombres c 3 et b 3 ; e déduire ue solutio particulière de (1) c Résoudre l équatio (1) Liste des ombres premiers iférieurs à 100 : ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 3 ; 9 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 11 Somme des diviseurs 1 O cosidère le ombre 3 = 00 = 5 a Combie a-t-il de diviseurs? E utilisat u arbre, calculez les tous et faites leur somme s b Vérifiez que 3 s = (1 + + + )(1 + 5 + 5 ) α β O cosidère maiteat le ombre N = a b où a et b sot deux ombre premiers, α et β des etiers a Quel est le ombre de diviseurs de N? α b Soit S la somme des diviseurs de N Motrez que S = (1 + a+ a + + a )(1 + b + b + + b ) Déduisez e ue expressio «simple» de S S a b c Motrez alors que pour α et β suffisammet grads o a N a 1 b 1 3 Applicatio umérique : 100 00 N = 5 7 ; trouver ue valeur approchée de S β Rappel : la somme des premiers termes d ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q est + 1 1 q u0 1 q Correctio : voir Atisèches TS 1 Baque 004-9 L exercice propose ciq affirmatios umérotées de 1 à 5 Pour chacue de ces affirmatios, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, e justifiat le choix effectué 1 Si u ombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8 Si u ombre est divisible par et par 3, alors il est divisible par 6 3 Si u ombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 4 4 Si deux etiers a et b sot premiers etre eux, alors les etiers a + b et a b sot premiers etre eux 5 Si deux etiers a et b sot premiers etre eux, alors les etiers a + b et 3a + b sot premiers etre eux Termiale S 7 F Laroche

13 Baque 004-30 Cet exercice, trop log pour u exercice de spécialité, est préseté das so itégralité pour respecter sa cohérece aisi que le travail de l auteur 1 a Détermier deux etiers relatifs u et v tels que 7u 13v = 1 b E déduire deux etiers relatifs u 0 et v 0 tels que 14u 0 6v 0 = 4 c Détermier tous les couples (a, k) d etiers relatifs tels que 14a 6k = 4 O cosidère deux etiers aturels a et b Pour tout etier, o ote ϕ() le reste de la divisio euclidiee de a + b par 6 O décide de coder u message, e procédat comme suit : à chaque lettre de l alphabet o associe u etier compris etre 0 et 5, selo le tableau : Lettre A B C D E F G H I J K L M Nombre 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z Nombre 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 Pour chaque lettre α du message, o détermie l etier associé puis o calcule ϕ() La lettre α est alors codée par la lettre associée à ϕ() O e coaît pas les etiers a et b, mais o sait que la lettre F est codée par la lettre K et la lettre T est codée par la lettre O 5a+ b = 10 modulo 6 a Motrer que les etiers a et b sot tels que : 19a+ b = 14 modulo 6 b E déduire qu il existe u etier k tel que 14a 6k = 4 c Détermier tous les couples d etiers (a, b), avec 0 a 5 et 0 b 5, tels que 3 O suppose que a = 17 et b = 3 a Coder le message «GAUSS» Termiale S 8 F Laroche 5a+ b = 10 modulo 6 19a+ b = 14 modulo 6 b Soit et p deux etiers aturels quelcoques Motrer que, si ϕ() = ϕ(p), alors 17( p) = 0 modulo 6 E déduire que deux lettres distictes de l alphabet sot codées par deux lettres distictes 4 O suppose que a = 17 et b = 3 a Soit u etier aturel Calculer le reste de la divisio euclidiee de 3ϕ() + 9 par 6 b E déduire u procédé de décodage c E déduire le décodage du message «KTGZDO» 14 Baque 004-31 Des ombres étrages (part oe)! Les ombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc sot des ombres que l o appelle rep-uits (répétitio de l uité) Ils e s écrivet qu avec des chiffres 1 Ces ombres possèdet de ombreuses propriétés qui passioet des mathématicies Cet exercice propose d e découvrir quelques-ues Pour k etier strictemet positif, o ote N k le rep-uit qui s écrit à l aide de k chiffres 1 Aisi N 1 = 1, N = 11, N 3 = 111,

1 Citer deux ombres premiers iférieurs à 10 apparaissat jamais das la décompositio d u rep-uit Justifier brièvemet la répose A quelle coditio sur k le ombre 3 apparaît-il das la décompositio du rep-uit N k? Justifier brièvemet la répose 3 Pour k > 1, le rep-uit N k est défii par Justifier l égalité : 9N = 10 1 pour tout etier k > 1 Termiale S 9 F Laroche k k N k k 1 i 10 1 10 100 k 1 10 i= 0 = = + + + + 4 Le tableau ci-dessous doe les restes de la divisio par 7 de 10 k, pour k etier compris etre 1 et 8 k 1 3 4 5 6 7 8 Reste de la divisio de 10 k par 7 3 6 4 5 1 3 Soit k u etier strictemet positif Démotrer que : «10 k 1(7)» équivaut à «k est multiple de 6» E déduire que 7 divise N k si et seulemet si k est multiple de 6 15 Baque 004-3 Des ombres étrages (part two)! Les ombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; etc sot des ombres que l o appelle rep-uits (répétitio de l uité) Ils e s écrivet qu avec des chiffres 1 Ces ombres possèdet de ombreuses propriétés qui passioet des mathématicies Cet exercice propose d e découvrir quelques ues Pour k etier strictemet positif, o ote N k le rep-uit qui s écrit à l aide de k chiffres 1 Aisi N 1 = 1, N = 11, N 3 = 111, 1 Citer deux ombres premiers iférieurs à 10 apparaissat jamais das la décompositio d u rep-uit Justifier brièvemet la répose Doer la décompositio e facteurs premiers de N 3, N 4 et N 5 3 Soit u etier strictemet supérieur à 1 O suppose que l écriture décimale de se termie par le chiffre 1 a Motrer que, das so écriture décimale, se termie lui-même par 1 ou par 9 b Motrer qu il existe u etier m tel que s écrive sous la forme 10m + 1 ou 10m 1 c E déduire que 1(0) 4 a Soit k > Quel est le reste de la divisio de N k par 0? b E déduire qu u rep-uit distict de 1 est pas u carré 16 Baque 005-6 Pour tout etier 1 o pose u = 1! +! + +! O doe la décompositio e facteurs premiers des dix premiers termes de la suite ( u ) u = 1 u u u u 1 3 4 5 = 3 = 3 = 3 11 = 3 17 1 Motrer que u est jamais divisible par, par 5 i par 7 u u u u u 6 7 8 9 10 = 3 97 4 = 3 73 = 3 11 467 = 3 131 347 = 3 11 40787 Peut-o affirmer que u est divisible par 11 à partir d u certai rag? 3 Peut-o affirmer que, à partir d u certai rag, u est divisible par 3 mais pas par 3 3?

17 Baque 005-38 O cosidère les dix caractères A, B, C, D, E, F, G, H, I et J auxquels o associe das l ordre les ombres etiers de 1 à 10 O ote Ω = {1,,, 10} O appelle message tout mot, ayat u ses ou o, formé avec ces dix caractères 1 O désige par f la foctio défiie sur Ω par «f() est le reste de la divisio euclidiee de 5 par 11» O désire coder à l aide de f le message «BACF» Compléter la grille de chiffremet ci-dessous : Lettre B A C F 1 3 6 f() 3 Lettre C Peut-o déchiffrer le message codé avec certitude? O désige par g la foctio défiie sur Ω par «g() est le reste de la divisio euclidiee de par 11» Etablir, sur le modèle précédet, la grille de chiffremet de g Permet-elle le déchiffremet avec certitude de tout message codé à l aide de g? 3 Le but de cette questio est de détermier des coditios sur l etier a compris etre 1 et 10 pour que la foctio h défiie sur E par «h() est le reste de la divisio euclidiee de a par 11» permette de chiffrer et déchiffrer avec certitude u message de 10 caractères Soit i u élémet de Ω a Motrer, e raisoat par l absurde, que si, pour tout i Ω, i < 10, a i est pas cogru à 1 modulo 11, alors la foctio h permet le déchiffremet avec certitude de tous messages i b Motrer que s il existe i Ω, i < 10, tel que a 1[11], alors la foctio h e permet pas de déchiffrer u message avec certitude c O suppose que i est le plus petit etier aturel tel que 1 i 10 vérifiat a 1[11] E utilisat la divisio euclidiee de 10 par i, prouver que i est u diviseur de 10 d Quelle coditio doit vérifier le ombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sas ambiguïté de tous messages à l aide de la foctio h? Faire la liste de ces ombres 18 Polyésie, jui 006 (c) Pour chacue des ciq propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit Propositio 1 : «Pour tout etier aturel, 3 divise le ombre 1» Propositio : «Si u etier relatif x est solutio de l équatio x x 0 ( modulo 6 ) x 0 ( modulo 3 )» Termiale S 10 F Laroche i + alors Propositio 3 : «L esemble des couples d etiers relatifs (x ; y) solutios de l équatio 1x 5y = 3 est l esemble des couples (4+10k ; 9+4k) où k Z» Propositio 4 : «Il existe u seul couple (a ; b) de ombres etiers aturels, tel que a < b et PPCM(a, b) PGCD(a, b) = 1» Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base dix et N a pour écriture bca e base dix Propositio 5 : «Si l etier M est divisible par 7 alors l etier M N est aussi divisible par 7» Correctio Propositio 1 : Vrai O fait l essai Ca semble marcher

Vérifios : ( ) 4 1[ 3 ] 1 0[ 3 ] Propositio : Faux ( 1 ) 1 3 4 5 6 7 1 3 15 63 55 103 4095 16383 reste 0 0 0 0 0 0 0 = = x + x = x x + est u multiple de doc pour que ce soit u multiple de 6, il faut qu u des deux termes x ou x + 1 soit u multiple de 3 ; o pourrait alors avoir x 1 0[ 3 ] x [ 3 ] doe 5 + 5 = 30 qui est bie u multiple de 3 Propositio 3 : Faux 1x 5y = 3 a comme solutio particulière x = 4 et y = 9 ; o a alors + Par exemple 5 1x 5y = 3 x 4 = 5k x = 4 + 5k 1( x 4 ) 5 ( y 9 ) = 0 1( x 4 ) = 5( y 9 ) 1 4 5 9 = 3 y 9 = 1k y = 9 + 1k Propositio 4 : Vrai Posos a = a1 k b = b1 k où k est PGCD(a, b) ; o a alors a1 b1 k k = 1 k = 1 sio k diviserait 1 Notre équatio deviet alors : PPCM(a, b) PGCD(a, b) = 1 deviet doc a = 1 ab 1 = 1 ab = b = Deux etiers aturels M et N sot tels que M a pour écriture abc e base dix et N a pour écriture bca e base dix Propositio 5 : Vrai M = abc = 100a + 10b + c, N = bca = 100b + 10c + a doc ( ) M N = 100a + 10b + c 100b 10c a = 9 11a 10b c est divisible par 7 si 11a 10b c est divisible par 3 Sachat qu o a M = 100a + 10b + c = 7k 10b + c = 7k 100a, o remplace : or 111 est u multiple de 3 Ok 19 Natioal, jui 006 (c) Partie A : Questio de cours 11a 10b c = 11a 7k + 100a = 111a 7k ; 1 Éocer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss Démotrer le théorème de Gauss e utilisat le théorème de Bézout Partie B Il s agit de résoudre das Z le système ( S ) ( ) ( ) 13 19 6 1 1 Démotrer qu il existe u couple (u ; v) d etiers relatifs tel que : 19u + 1v = 1 (O e demade pas das cette questio de doer u exemple d u tel couple) Vérifier que, pour u tel couple, le ombre N = 13 1v + 6 19u est ue solutio de (S) a Soit 0 ue solutio de (S), vérifier que le système (S) équivaut à 0 0 ( 19 ) ( 1 ) Termiale S 11 F Laroche

b Démotrer que le système Partie B : divisibilité par u ombre premier Termiale S 1 F Laroche 0 0 ( 19 ) ( 1 ) équivaut à 0 ( 1 19 ) 3 a Trouver u couple (u ; v) solutio de l équatio 19u + 1v = 1 et calculer la valeur de N correspodate b Détermier l esemble des solutios de (S) (o pourra utiliser la questio b) 4 U etier aturel est tel que lorsqu o le divise par 1 le reste est 6 et lorsqu o le divise par 19 le reste est 13 O divise par 8 = 1 19 Quel est le reste r de cette divisio? Correctio Partie A : Questio de cours, voir démostratios arithmétique Partie B : ( S ) ( ) ( ) 13 19 13 + 19k 6 1 6 + 1k 1 Théorème de Bézout : 19 et 1 sot premiers etre eux doc il existe u couple (u ; v) d etiers relatifs tel que : 19u + 1v = 1 N = 13 1v + 6 19u est ue solutio de (S) : il faut mettre N sous la forme N 13 + 19k Or 1v 1 19u N = 13 1 19u + 6 19u = 13 + 19 7u ; ok = doc ( ) ( ) N = 13 1v + 6 19u = 13 1v + 6 1 1v = 6 + 1 7v ; ok De même ( ) a Si 0 est ue solutio de (S), o a 0 = 13 + 19k0 d où e soustrayat lige à lige : 0 = 6 + 1k0 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) 0 = 19 k k0 0 19 0 = 1 k k0 0 b E fait 19 divise 0 de même que 1 ; comme ils sot premiers etre eux, 19 1 divise 0, ce qui équivaut à 0 ( 1 19 ) 3 a Avec l algorithme d Euclide o a 19( 5 ) + 1( 8 ) = 1 ; o peut doc predre u = 5 das N = 13 + 19 ( 7u ), ce qui doe N = 678 ; de même o pred v = 8 et N = 6 + 1 ( 7v ), ce qui redoe bie N = 678 b 0 ( 1 19 ) 678( 1 19 ) 678( 8 ) ( 8 ) 4 0 Cetres étragers, jui 006 Le but de l exercice est d étudier certaies propriétés de divisibilité de l etier 4 1, lorsque est u etier aturel O rappelle la propriété coue sous le om de petit théorème de Fermat : «si p est u ombre etier et a p 1 u etier aturel premier avec p, alors a 1 0 mod p» Partie A : quelques exemples 1 Démotrer que, pour tout etier aturel, 4 est cogru à 1 modulo 3 Prouver à l aide du petit théorème de Fermat, que 4 8 1 est divisible par 9 3 Pour 1 4, détermier le reste de la divisio de 4 par 17 E déduire que, pour tout etier k, le ombre 4 4k 1 est divisible par 17 4 Pour quels etiers aturels le ombre 4 1 est-il divisible par 5? 5 À l aide des questios précédetes détermier quatre diviseurs premiers de 4 8 1

Soit p u ombre premier différet de 1 Démotrer qu il existe u etier 1 tel que 4 1 mod p Soit 1 u etier aturel tel que 4 1 mod p Oote b le plus petit etier strictemet positif tel que b 4 1 mod p et r le reste de la divisio euclidiee de par b r a Démotrer que 4 1 mod p E déduire que r = 0 b Prouver l équivalece : 4 1 est divisible par p si et seulemet si est multiple de b c E déduire que b divise p 1 1 Asie, jui 006 État doé u etier aturel, o se propose d étudier l existece de trois etiers aturels x, y et z tels que x + y + z 1 modulo Partie A Étude de deux cas particuliers 1 Das cette questio o suppose = Motrer que 1, 3 et 5 satisfot à la coditio précédete Das cette questio, o suppose = 3 a Soit m u etier aturel Reproduire et compléter le tableau ci-dessous doat le reste r de la divisio euclidiee de m par 8 et le reste R de la divisio euclidiee de m par 8 r 0 1 3 4 5 6 7 R b Peut-o trouver trois etiers aturels x, y et z tels que Partie B Étude du cas gééral où 3 Supposos qu il existe trois etiers aturels x, y et z tels que x + y + z 7 modulo 8? x + y + z 1 modulo 1 Justifier le fait que les trois etiers aturels x, y et z sot tous impairs ou que deux d etre eux sot pairs O suppose que x et y sot pairs et que z est impair O pose alors x = q, y = r, z = s +1 où q, r, s sot des etiers aturels a Motrer que x + y + z 1 modulo 4 b E déduire ue cotradictio 3 O suppose que x, y, z sot impairs a Prouver que, pour tout etier aturel k o ul, k + k est divisible par b E déduire que c Coclure x + y + z 3 modulo 8 Amérique du Sud, sept 005 Le pla complexe P est rapporté à u repère orthoormal direct ( O ; u, v) O predra pour uité graphique 4 cm O cosidère les poits A, B, C et D d affixes respectives a, b, c et d telles que : π e a = i, b = 1 + i, c = 4 et d = 3 + i O cosidère la similitude directe s qui trasforme A e B et C e D Soit M u poit d affixe z et M, d affixe z, so image par s 1 Exprimer z e foctio de z Détermier les élémets caractéristiques de s U Soit (U) la suite umérique défiie par : U 0 + 1 i = 0 pour tout N = U + 1 Motrer que, pour tout etier aturel, U +1 etu sot premiers etre eux Termiale S 13 F Laroche

3 Iterpréter géométriquemet, e utilisat la similitude s, les termes dela suite (U ) 4 Motrer que pour tout etier aturel, U = 1 5 Motrer que, pour tous etiers aturels et p o uls tels que p, U = U ( U + 1) + U p p p La otatio pgcd(a ; b) est utilisée, das la suite, pour désiger le plus grad diviseur commu à deux etiers aturels a et b Motrer pour p l égalité pgcd( U, Up ) = pgcd( Up, U p ) 6 Soit et p deux etiers aturels o uls, motrer que : pgcd( U, Up ) = Upgcd(, p) Détermier le ombre : pgcd(u 005, U 15 ) 3 Natioal, sept 005 Pour chaque questio, ue seule des quatre réposes proposées est exacte Le cadidatidiquera sur la copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie Chaque répose exacte rapporte 1 poit Chaque répose fausse elève 0,5 poit Ue absece de répose est comptée 0 poit Si le total est égatif, la ote est rameée à zéro Aucue justificatio est demadée 1 O cosidère das l esemble des etiers relatifs l équatio : A : toutes les solutios sot des etiers pairs B : il y a aucue solutio C : les solutios vérifiet x (6) D : les solutios vérifiet x (6) ou x 5(6) x x + 4 0 (modulo 6) O se propose de résoudre l équatio (E) : 4x + 34y =, où x et y sot des etiers relatifs A : Les solutios de (E) sot toutes de la forme : (x ; y) = (34k 7 ; 5 4k), k Z B : L équatio (E) a aucue solutio C : Les solutios de (E) sot toutes de la forme : (x ; y) = (17k 7 ; 5 1k), k Z D : Les solutios de (E) sot toutes de la forme : (x ; y) = ( 7k ; 5k), k Z 3 O cosidère les deux ombres = 1 789 et p = 17 89 005 O a alors : A : 4(17) et p 0(17) C : p 4(17) B : p est u ombre premier D : p 1(17) 4 O cosidère, das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal, les poits A et B d affixes respectives a et b Le triagle MAB est rectagle isocèle direct d hypotéuse [AB] si et seulemet si le poit M d affixe z est tel que : A : b ia z = C: a z = i(b z) 1 i π i B : 4 π z a = e ( b a) D : b z = ( a z) 5 O cosidère das le pla orieté deux poits disticts A et B ; o ote I le milieu du segmet [AB] Soit f la similitude directe de cetre A, de rapport et d agle π ; soit g la similitude directe de cetre A, de 3 rapport 1 et d agle π ; soit h la symétrie cetrale de cetre I 3 Termiale S 14 F Laroche

A : h g f trasforme A e B et c est ue rotatio B : h g f est la réflexio ayat pour axe la médiatrice du segmet [AB] C : h g f est pas ue similitude D : h g f est la traslatio de vecteur AB 4 Atilles, jui 005 1 a Détermier suivat les valeurs de l etier aturel o ul le reste das la divisio euclidiee par 9 de 7 b Démotrer alors que Termiale S 15 F Laroche 005 (005) 7(9) a Démotrer que pour tout etier aturel o ul : ((10) 1(9) b O désige par N u etier aturel écrit e base dix, o appelle S la somme de ses chiffres Démotrer la relatio suivate : N S(9) c E déduire que N est divisible par 9 si et seulemet si S est divisible par 9 3 O suppose que B la somme des chiffres de A ; C la somme des chiffres de B ; D la somme des chiffres de C 005 A = (005) ; o désige par : a Démotrer la relatio suivate : A D(9) b Sachat que 005 < 10000, démotrer que A s écrit e umératio décimale avec au plus 800 chiffres E déduire que B 7180 c Démotrer que C 45 d E étudiat la liste des etiers iférieurs à 45, détermier u majorat de D plus petit que 15 e Démotrer que D = 7 5 Cetres étragers, jui 005 (c) Partie A Soit N u etier aturel, impair o premier O suppose que aturels 1 Motrer que a et b ot pas la même parité Motrer que N peut s écrire comme produit de deux etiers aturels p et q 3 Quelle est la parité de p et de q? Partie B N = a b où a et b sot deux etiers O admet que 50 507 est pas premier O se propose de chercher des couples d etiers aturels (a ; b) vérifiat la relatio (E) : 1 Soit X u etier aturel a 50 507 = b a Doer das u tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de b Sachat que restes possibles modulo 9 de X modulo 9 a 50 507 = b, détermier les restes possibles modulo 9 de a 50 507 ; e déduire les a c Motrer que les restes possibles modulo 9 de a sot 1 et 8 Justifier que si le couple (a ; b) vérifie la relatio (E), alors a 501 Motrer qu il existe pas de solutio du type (501 ; b) 3 O suppose que le couple (a ; b) vérifie la relatio (E)

a Démotrer que a est cogru à 503 ou à 505 modulo 9 b Détermier le plus petit etier aturel k tel que le couple (505+9k ; b) soit solutio de (E), puis doer le couple solutio correspodat Partie C 1 Déduire des parties précédetes ue écriture de 50 507 e u produit deux facteurs Les deux facteurs sot-ils premiers etre eux? 3 Cette écriture est-elle uique? Correctio Partie A 1 N = a b = ( a b)( a+ b) : s ils sot tous les deux pairs, leur somme et leur différece sot paires, le produit est pair ; s ils sot tous les deux impairs, leur somme et leur différece sot paires, le produit est pair ; comme N est impair, a et b ot pas la même parité Evidet : N = a b = ( a b)( a+ b) = pq 3 Comme il a été dit, pour que le produit soit impair, il faut qu ils aiet pas la même parité Partie B 1 a X 0 1 3 4 5 6 7 8 X 0 1 4 0 = 7 = 7 0 4 1 X 1 1 = 8 0 3 1 = 8 6 6 1 = 8 3 0 b O a 50 507 = 7 834 9 + 1, doc les restes possibles modulo 9 de a 50 507 sot ceux de X 1 c Comme a 50 507 = b, les restes doivet être égaux modulo 9, o a a b + 1(9) ; *si o pred b 0(9) alors *si o pred b 1(9) alors *si o pred b (9) alors O a a 50 507 = b d où ue solutio du type (501 ; b), o aurait parfait a 1(9) a 1(9) ou a 8(9), a (9), ce qui est impossible, a 5(9), ce qui est impossible, etc a = 50 507 + b 50 507 = (500,) 501 doc a 501 Si o avait 51001 50507 = b b = 494 or 494 est pas u carré 3 a a est cogru à 1 ou 8 modulo 9 et doit être supérieur à 501, lequel est cogru à 6 mod 9 ; o peut doc predre 503 8(9) ou 505 1(9) b Le plus simple est de faire quelques essais : a a 50507 a 505 4518 67,160695 514 13689 117 53 30 151,73003 53 3517 180,34707 541 4174 05,363093 550 51993 8,019736 559 61974 48,945777 Termiale S 16 F Laroche

568 7117 68,546085 577 84 87,093 O a doc la première solutio pour k = 1, ce qui doe la solutio (514, 117) Partie C 1 O a 50 507 = a b = ( a b)( a+ b) = (514 117)(514 + 117) = 397631 Appliquos l algorithme d Euclide : u v quotiet reste 631 397 1 34 397 34 1 163 34 163 1 71 163 71 1 71 1 3 8 1 8 5 8 5 1 3 5 3 1 3 1 1 Le PGCD est 1, les deux ombres sot premiers etre eux 3 Cette écriture e sera pas uique (mis à part p = 1, q = 50507, par exemple) si 397 est pas u ombre premier Or 397 est premier, la décompositio est bie uique 6 Liba, jui 005 1 O cosidère l équatio (E) : 109x 6y = 1 où x et y sot des etiers relatifs a Détermier le pgcd de 109 et 6 Que peut-o e coclure pour l équatio (E)? b Motrer que l esemble de solutios de (E) est l esemble des couples de la forme (141+6k, 68+109k), où k appartiet à Z E déduire qu il existe u uique etier aturel o ul d iférieur ou égal à 6 et u uique etier aturel o ul e tels que 109d = 1+6e (O précisera les valeurs des etiers d et e) Démotrer que 7 est u ombre premier 3 O ote A l esemble des 7 etiers aturels a tels que a 6 O cosidère les deux foctios f et g de A das A défiies de la maière suivate : à tout etier de A, f associe le reste de la divisio euclidiee de à tout etier de A, g associe le reste de la divisio euclidiee de a Vérifier que g[f(0)] = 0 O rappelle le résultat suivat appelé petit théorème de Fermat : Termiale S 17 F Laroche 109 a par 7 ; 141 a par 7 Si p est u ombre premier et a u etier o divisible par p alors 6 b Motrer que, quel que soit l etier o ul a de A, 1[ modulo 7 ] a c E utilisat 1 b, e déduire que, quel que soit l etier o ul a de A, g[f(a)]= a Que peut-o dire de f[(g (a)]= a? 7 Polyésie, jui 005 p 1 a 1 modulo p O cosidère la suite (u ) d etiers aturels défiie par u 0 = 14, u +1 = 5u 6 pour tout etier aturel 1 Calculer u 1, u, u 3 et u 4

Quelle cojecture peut-o émettre cocerat les deux deriers chiffres de u? Motrer que, pour tout etier aturel, u + u (modulo 4) E déduire que pour tout etier aturel k, u k (modulo 4) et u k + 1 0(modulo 4) 3 a Motrer par récurrece que, pour tout etier aturel, u = 5 + +3 b E déduire que, pour tout etier aturel, u 8(modulo 100) 4 Détermier les deux deriers chiffres de l écriture décimale de u suivat les valeurs de 5 Motrer que le PGCD de deux termes cosécutifs de la suite (u ) est costat Préciser sa valeur 8 La Réuio, jui 005 Das cet exercice, o pourra utiliser le résultat suivat : «État doés deux etiers aturels a et b o uls, si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD(a ; b ) = 1» Ue suite (S ) est défiie pour >0 par S p= 1 o ul, le plus grad commu diviseur de S et S +1 1 Démotrer que, pour tout > 0, o a : S 3 = p O se propose de calculer, pour tout etier aturel ( + 1) = Étude du cas où est pair Soit k l etier aturel o ul tel que = k a Démotrer que PGCD( S ; S + 1) = (k + 1) PGCD( k ;( k + 1) ) b Calculer PGCD (k ; k +1) c Calculer PGCD(S k ; S k+1 ) k k 3 Étude du cas où est impair Soit k l etier aturel o ul tel que = k +1 a Démotrer que les etiers k +1 et k +3 sot premiers etre eux b Calculer PGCD(S k+1 ; S k+ ) 4 Déduire des questios précédetes qu il existe ue uique valeur de, que l o détermiera, pour laquelle S et S +1 sot premiers etre eux 9 Nouvelle-Calédoie, ov 004 (c) Das cet exercice a et b désiget des etiers strictemet positifs 1 a Démotrer que s il existe deux etiers relatifs u et v tels que au+ bv = 1 alors les ombres a et b sot premiers etre eux b E déduire que si ( ) a + ab b = 1 alors a et b sot premiers etre eux O se propose de détermier tous les couples d etiers strictemet positifs (a ; b) tels que ( a ab b ) + = 1 U tel couple sera appelé solutio a Détermier a lorsque a = b b Vérifier que (1 ; 1), ( ; 3) et (5 ; 8) sot trois solutios particulières c Motrer que si (a ; b) est solutio et si a < b, alors a b < 0 3 a Motrer que si (x ; y) est ue solutio différete de (1 ; 1) alors ( y x ; x) et ( y ; y + x) sot aussi des solutios b Déduire de b trois ouvelles solutios 4 O cosidère la suite de ombres etiers strictemet positifs ( a ) N défiie par a0 = a1 = 1 et pour tout etier, 0, a + = a + 1 + a Termiale S 18 F Laroche

Démotrer que pour tout etier aturel 0, ( a ; a + 1 ) est solutio E déduire que les ombres a et a + sot premiers etre eux 1 Correctio 1 a Démostratio de cours b ( a ab b ) ( ) + = + = a ab b 1 a a b b b 1 + = 1 Das les deux cas o peut écrire a + ab b = 1 b( b a) a a = 1 au+ bv = 1 : das le premier u = a+ v, v = b, das le secod u = b a, v = a 4 a + ab b = 1 a = 1 a = 1 (a > 0) a a = b : ( ) b (1 ; 1) est déjà fait, ( ; 3) : ( + ) = et (5 ; 8) : ( ) c a + ab b = 1: si o a a 3 3 1 b > 0, alors a ab b valoir 1 das ce cas puisqu il serait positif Das tous les cas o a 3 a ( y x ; x) est ue solutio ssi (x ; y) est ue solutio : 5 + 58 8 = (5 + 40 64) = 1 + e peut pas valoir 1 ; de même a b < 0 ( y x y x x x ) ( y xy x xy x x ) ( y xy x ) ( ) + ( ) = + + = + = 1 ; Même calcul pour ( y ; y + x) a + ab b e peut b ( ; 3) est solutio doc (3 ; ) = (1 ; ) et (3 ; 3 + ) = (3 ; 5) e sot ; (5 ; 8) est solutio doc (8 5 ; 5) = (3 ; 5) et (8 ; 5 + 8) = (8 ;13) e sot ; o a les ouvelles solutios : (1 ; ), (3 ; 5) et (8 ;13) 4 a0 = a1 = 1, a+ = a+ 1 + a Démostratio par récurrece : supposos que ( a ; a + 1 ) est solutio, alors ( y ; y + x) = ( a ; a + a ) = ( a ; a ) est solutio d après le 3 a Comme c est vrai au rag 0 : (1 ; 1) est + 1 + 1 + 1 + solutio, c est toujours vrai La questio 1 b justifie alors que les ombres a et a + 1 sot premiers etre eux Remarque : ce est pas la faço la plus rapide de motrer que deux termes cosécutifs de la suite de Fiboacci sot premiers etre eux : soiet u +1 et u deux termes cosécutifs de la suite de Fiboacci Alors u +1 = u + u 1 ; soit d u diviseur commu positif de u +1 et u ; alors d divise u 1, doc d est u diviseur commu de u et u 1 E itérat (et e descedat), il viet : d est u diviseur commu de u 1 = 1 et u o = 1 doc d = 1 et u +1 et u sot premiers etre eux 30 Atilles, sept 004 Pour chacue des six affirmatios, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, e justifiat le choix effectué 1 Le PGCD de 004 et 4 00 est 6 Si p et q sot deux etiers aturels o uls, pq 1 est divisible par p 1 et par q 1 3 Pour tout de N *, 1 est jamais divisible par 9 4 L esemble des couples d etiers solutios de l équatio : 4x + 35y = 9 est l esemble des couples : ( 144+70k ; 99 4k) où k Z 5 Soiet A et B deux poits disticts du pla ; si o ote f l homothétie de cetre A et de rapport 3 et g l homothétie de cetre B et de rapport 1 3 alors g f est la traslatio de vecteur AB 6 Soit s la similitude d écriture complexe z = iz +(1 i), l esemble des poits ivariats de s est ue droite Termiale S 19 F Laroche

31 Asie, jui 004 O appelle (E) l esemble des etiers aturels qui peuvet s écrire sous la forme 9+a où a est u etier aturel o ul ; par exemple 10 = 9+1 ; 13= 9+ etc O se propose das cet exercice d étudier l existece d élémets de (E) qui sot des puissaces de, 3 ou 5 1 Étude de l équatio d icoue a : a +9 = où a N, N, 4 a Motrer que si a existe, a est impair b E raisoat modulo 4, motrer que l équatio proposée a pas de solutio Étude de l équatio d icoue a : a +9 = 3 où a N, N, 3 a Motrer que si 3, 3 est cogru à 1 ou à 3 modulo 4 b Motrer que si a existe, il est pair et e déduire que écessairemet est pair c O pose = p où p est u etier aturel, p Déduire d ue factorisatio de 3 a, que l équatio proposée a pas de solutio 3 Étude de l équatio d icoue a : a +9 = 5 où a N, N, a E raisoat modulo 3, motrer que l équatio a pas de solutio si est impair b O pose = p, e s ispirat de c démotrer qu il existe u uique etier aturel a tel que a + 9 soit ue puissace etière de 5 3 Cetres étragers, jui 004 O se propose das cet exercice d étudier le problème suivat : «Les ombres dot l écriture décimale utilise que le seul chiffre 1 peuvet-ils être premiers?» Pour tout etier aturel p, o pose N p = 11 où 1 apparaît p fois O rappelle dès lors que N p p 1 p 0 = 10 + 10 + + 10 1 Les ombres N = 11, N 3 = 111, N 4 = 1111 sot-ils premiers? Prouver que Termiale S 0 F Laroche N p p 10 1 = Peut-o être certai que 10 p 1 est divisible par 9? 9 3 O se propose de démotrer que si p est pas premier, alors N p est pas premier O rappelle que pour tout ombre réel x et tout etier aturel o ul, p 1 p x 1 = ( x 1)( x + x + + x + 1) a O suppose que p est pair et o pose p = q, où q est u etier aturel plus grad que 1 Motrer que N p est divisible par N = 11 b O suppose que p est multiple de 3 et o pose p = 3q, où q est u etier aturel plus grad que 1 Motrer que N p est divisible par N 3 = 111 c O suppose p o premier et o pose p = kq où k et q sot des etiers aturels plus grads que 1 E déduire que N p est divisible par N k 4 Éocer ue coditio écessaire pour que N p soit premier Cette coditio est-elle suffisate? 33 Natioal, jui 004 (c) 1 Motrer que pour tout etier aturel o ul k et pour tout etier aturel x : k 1 ( x 1)(1 + x + x + + x ) = x 1 Das toute la suite de l exercice, o cosidère u ombre etier a supérieur ou égal à d a Soit u etier aturel o ul et d u diviseur positif de : = dk Motrer que a 1 est u diviseur de a 1 b Déduire de la questio précédete que 004 1 est divisible par 7, par 63 puis par 9 k

3 Soiet m et deux etiers aturels o uls et d leur PGCD a O défiit m et par m = dm et = d E appliquat le théorème de Bézout à m et, motrer qu il existe des etiers relatifs u et v tels que mu v = d b O suppose u et v strictemet positifs Motrer que ( a 1) ( a 1) a = a 1 Motrer esuite que d a 1 est le PGCD de a 1 et de a 1 Termiale S 1 F Laroche mu c Calculer, e utilisat le résultat précédet, le PGCD de Correctio v mu v d d 63 1 et de 60 1 1 O redémotre le théorème sur la somme des termes d ue suite géométrique : o développe k 1 k k 1 k ( x 1)(1 + x + x + + x ) = ( x + x + + x ) (1 + x + x + + x ) = x 1 a = dk Remplaços x par d d a das la relatio précédete : d d d d( k 1) dk ( a 1)(1 + a + a + + a ) = a 1 = a 1 a 1 est e facteur das a 1, c e est bie u diviseur b O effectue la décompositio e facteurs premiers de 004 : 004 = 3167 doc 3 4 6 1 par 1 = 3, 1 = 7, 1 = 15, 1 = 63, 1 = 4095, comme 9 divise 63 il divise égalemet 004 1 004 1 est divisible 004 1 est doc divisible par 7 et 63 ; 3 a Bézout dit : m et sot premiers etre eux si et seulemet si il existe u et v tels que um' + v' = 1 (ou um' v' = 1 ) O multiplie tout par d : udm' + vd' = d, soit um + v = d (ou um v = d ) b Développos : mu v+ d d d mu v+ d mu v+ d a 1 a + a = a 1 a a = 0 a = a mu = v + d mu v = d mu v d d d a 1 a 1 d Divisos la relatio ( a 1) ( a 1) a = a 1 par D = a 1 : ( ) ( ) a = 1 ; ceci motre d d a 1 a 1 mu v d a 1 a 1 qu il existe deux etiers tels que 1 A a B = D où A = et B = A et B sot doc premiers d d a 1 a 1 etre eux et D est le PGCD de A et B c Le PGCD de 63 1 et de 60 1 163 160 = 3 d où e preat a = : 34 La Réuio, jui 004 est obteu e passat par le PGCD de 63 et 60 qui est d = 3 O a alors 63 A = 1, 60 B = 1 et mu 3 D = 1 = 7 O rappelle la propriété, coue sous le om de petit théorème de Fermat : «Soit p u ombre premier et a u etier aturel premier avec p ; alors 1 Soit p u ombre premier impair a Motrer qu il existe u etier aturel k, o ul, tel que 1( p) k k p 1 v a 1 est divisible par p» b Soit k u etier aturel o ul tel que 1( p) et soit u etier aturelmotrer que, si k divise, alors 1( p) b c Soit b tel que 1( p), b état le plus petit etier o ul vérifiat cette propriété Motrer, e utilisat la divisio euclidiee de par b, que si 1( p), alors b divise q Soit q u ombre premier impair et le ombre A = 1 O pred pour p u facteur premier de A a Justifier que : 1( p) b Motrer que p est impair q b c Soit b tel que 1( p), b état le plus petit etier o ul vérifiat cette propriété Motrer, e utilisat 1 que b divise q E déduire que b = q

d Motrer que q divise p 1, puis motrer que p 1( q) 17 3 Soit A 1 = 1 Voici la liste des ombres premiers iférieurs à 400 et qui sot de la forme 34m+1, avec m etier o ul : 103, 137, 39, 307 E déduire que A 1 est premier 35 Nouvelle Calédoie, sept 003 1 a Soit p u etier aturel Motrer que l u des trois ombres p, p +10 et p +0, et l u seulemet est divisible par 3 b Les etiers aturels a, b et c sot das cet ordre les trois premiers termes d ue suite arithmétique de raiso 10 Détermier ces trois ombres sachat qu ils sot premiers Soit E l esemble des triplets d etiers relatifs (u, v, w) tels que 3u +13v +3w = 0 a Motrer que pour u tel triplet v w(mod 3) b O pose v = 3k +r et w = 3k +r où k, k et r sot des etiers relatifs et 0 r Motrer que les élémets de E sot de la forme : ( 13k 3k 1r, 3k + r, 3k + r) c l espace est rapporté à u repère orthoormal d origieo et soit P le pla d équatio 3x +13y +3z = 0 Détermier l esemble des poits M à coordoées (x, y, z) etières relatives apparteat au pla P et situés à l itérieur du cube de cetre O, de côté 5 et dot les arêtes sot parallèles aux axes 36 Atilles-Guyae, sept 003 3 Soit l équatio (1) d icoue ratioelle x : 78x + ux + vx 14 = 0 où u et v sot des etiers relatifs 1 O suppose das cette questio que 14 39 est solutio de l equatio (1) a Prouver que les etiers relatifs u et v sot liés par la relatio 14u + 39v = 1 19 b Utiliser l algorithme d Euclide, e détaillat les diverses étapes du calcul, pour trouver u couple (x ; y) d etiers relatifs vérifiat l équatio 14x + 39y = 1 Vérifier que le couple ( 5 ; 9) est solutio de cette équatio c E déduire u couple (u 0 ; v 0 ) solutio particulière de l équatio 14u + 39v = 1 19 Doer la solutio géérale de cette équatio c est-à-dire l esemble des couples (u ; v) d etiers relatifs qui la vérifiet d Détermier, parmi les couples (u ; v) précédets, celui pour lequel le ombre u est l etier aturel le plus petit possible a Décomposer 78 et 14 e facteurs premiers E déduire, das N, l esemble des diviseurs de 78 et l esemble des diviseurs de 14 b Soit p q ue solutio ratioelle de l équatio (1) d icoue x : 3 78x + ux + vx 14 = 0 où u et v sot des etiers relatifs Motrer que si p et q sot des etiers relatifs premiers etre eux, alors p divise 14 et q divise 78 c E déduire le ombre de ratioels, o etiers, pouvat être solutios de l équatio (1) et écrire, parmi ces ratioels, l esemble de ceux qui sot positifs 37 Frace, sept 003 O rappelle que 003 est u ombre premier 1 a Détermier deux etiers relatifs u et v tels que : 13u + 003v = 1 b E déduire u etier relatif k 0 tel que : 13 1[ 003 ] k 0 c Motrer que, pour tout etier relatif x, 13x 456 [ 003 ] si et seulemet si x 456k [ 003 ] d Détermier l esemble des etiers relatifs x tels que : 13x 456 [ 003 ] e Motrer qu il existe u uique etier tel que : 1 00 et 13 456 [ 003 ] 0 Termiale S F Laroche

Soit a u etier tel que : 1 a 00 a Détermier PGCD(a ; 003) E déduire qu il existe u etier m tel que : am 1[ 003 ] b Motrer que, pour tout etier b, il existe u uique etier x tel que : 1 x 00 38 Polyésie, sept 003 O désige par p u ombre etier premier supérieur ou égal à 7 Termiale S 3 F Laroche et ax b[ 003 ] Le but de l exercice est de démotrer que l etier aturel = p 1 est divisible par 40, puis d appliquer ce résultat 1 Motrer que p est cogru à 1 ou à 1 modulo 3 E déduire que est divisible par 3 E remarquat que p est impair, prouver qu il existe u etier aturel k tel que que est divisible par 16 4 p 1 = 4 k( k + 1), puis 3 E cosidérat tous les restes possibles de la divisio euclidiee de p par 5, démotrer que 5 divise 4 a Soiet a, b et c trois etiers aturels Démotrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers etre eux, alors ab divise c b Déduire de ce qui précède que 40 divise 5 Existe-t-il quize ombres premiers p 1, p,, p 15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l etier soit u ombre premier? 39 Atilles-Guyae, jui 003 1 a Calculer : ( 1+ 6 ), ( 1+ 6 ) 4, ( 1 6 ) 6 4 4 4 1 15 A = p + p + + p + b Appliquer l algorithme d Euclide à 847 et 34 Que peut-o e déduire? Soit u etier aturel o ul O ote a et b les etiers aturels tels que : ( ) 1+ 6 = a + b 6 a Que valet a 1 et b 1? D après les calculs de la questio 1 a, doer d autres valeurs de a et b b Calculer a +1 et b +1 e foctio de a et b c Démotrer que, si 5 e divise pas a + b, alors 5 e divise pas o plus a+ 1 + b+ 1 E déduire que, quel que soit etier aturel o ul, 5 e divise pas a + b d Démotrer que, si a et b sot premiers etre eux, alors a +1 et b +1 sot premiers etre eux E déduire que, quel que soit etier aturel o ul, a et b sot premiers etre eux 40 Asie, jui 003 1 a Motrer que, pour tout etier aturel, 3 11 + 48 est divisible par + 3 b Motrer que, pour tout etier aturel, 3 9+ 16 est u etier aturel o ul Motrer que, pour tous les etiers aturels o uls a, b et c, l égalité suivate est vraie : 3 PGCD(a ; b) = PGCD(bc a ; b) 3 Motrer que, pour tout etier aturel, supérieur ou égal à, l égalité suivate est vraie : PGCD(3 3 11 ; + 3) = PGCD(48 ; + 3) 4 a Détermier l esemble des diviseurs etiers aturels de 48 3 11 b E déduire l esemble des etiers aturels tels que soit u etier aturel + 3 41 Liba, mai 003 Les suites d etiers aturels (x ) et (y ) sot défiies sur N par : 3