Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur Sup Galilée - année 2008-2009 Benoît Merlet

Ces notes de cours s adressent aux élèves ayant suivi le cours. Elles contiennent peu d explications. Elles pourront servir de support à l élève qui veut vérifier une notion qui est déjà connue. i

Table des matières I Logique, ensembles, topologie élémentaire 1 1 Rappels de logique................................ 1 2 Ensembles et fonctions.............................. 2 3 Espaces métriques................................. 8 II Suites et séries numériques 10 1 Suites numériques................................. 10 1.1 Généralités................................ 10 1.2 Le théorème de Bolzano Weierstrass................... 10 1.3 Suites usuelles.............................. 13 1.4 Comparaison de suites.......................... 14 2 Séries numériques................................. 15 2.1 Généralités................................ 15 2.2 Critères de convergence pour les séries à termes positifs........ 17 2.3 Séries entières.............................. 20 2.4 Règle d Abel............................... 20 2.5 Séries absolument convergentes..................... 21 III Fonctions de la variable réelle 24 1 Limites, continuité................................ 24 2 Dérivabilité.................................... 28 2.1 Composition de fonction......................... 29 ii

3 Théorème de Rolle. Formules de Taylor..................... 30 4 Développements limités.............................. 32 IV Rappels d intégration. L intégrale de Riemann 36 1 Quelques espaces de fonctions.......................... 36 2 L intégrale de Riemann, définition et propriétés élémentaires.......... 40 2.1 Fonctions Riemann intégrables...................... 42 3 Manipulations de l intégrale, calcul de primitives................ 43 3.1 Primitives................................. 43 3.2 Intégration par parties.......................... 44 3.3 Changement de variable......................... 44 4 Intégrales semi-définies.............................. 45 5 Passage à la limite sous le signe intégrale.................... 46 V Équations différentielles 48 1 Systèmes d équations différentielles de degré un. Le problème de Cauchy... 48 1.1 Le Théorème de Cauchy-Lipschitz.................... 51 2 Méthodes de résolution des équations différentielles............... 51 2.1 Equations linéaires d ordre 1....................... 51 2.2 Équations non-linéaires du premier ordre................ 53 2.3 Équations linéaires à coefficients constants............... 56 iii

I Logique, ensembles, topologie élémentaire 1 Rappels de logique On rappelle ici les notions de logique élémentaire. Soient P et Q deux propositions. On peut former de nouvelles propositions à l aide de P et Q : P Q (P et Q) est vraie quand P est vraie et Q est vraie. P Q (P ou Q) est vraie quand P est vraie ou Q est vraie. P (non P) est vraie si et seulement si P est fausse. P Q se dit P est equivalent à Q et est vrai si et seulement si P et Q sont vraies simultanément. P Q se dit P implique Q et signifie que si P est vraie alors Q est vraie. Relations ( P) est équivalent à P. La relation P Q est symétrique, i.e. elle est équivalente à Q P. L implication A := (P Q) s écrit aussi B := (( P) Q). En effet, A vraie indique bien que soit P est fausse (donc P est vraie), soit P est vraie et dans ce cas Q doit être vraie. (P Q) (Q P) est équivalente à (P Q) Démontrer (P Q) est équivalent à démontrer ( Q P). C est ce qu on appelle le raisonnement par contraposée. En effet pour vérifier que si j ai P alors j ai Q, il est équivalent de vérifier que si je n ai pas Q alors je n ai pas P. Exemple : Si (le ciel est dégagé) alors (on voit les étoiles) équivalent à Si (on ne voit pas les étoiles) alors (le ciel n est pas dégagé). Autrement dit ( le ciel est dégagé on voit les étoiles ) (le ciel est dégagé) ( on voit les étoiles) 1

Règles de contradiction (P Q) P Q. (P Q) P Q. (P Q) P Q. Quantificateurs x se lit pour tout x, quel que soit x x E se lit pour tout x appartenant à l ensemble E, quel que soit x élément de E,... x se lit il existe un x,!x E se lit il existe un unique élément x de l ensemble E tel que... On a les règles de contradiction suivantes ( x P(x)) x tel que P(x). ( y E P(y)) y E, P(y). ( x y E tel que P(y)) x tel que y E, P(x, y). Raisonnement par récurrence Le principe du raisonnement par récurrence est le suivant. Soit une proposition P(n) dépendant de l entier n. Si on a Prémisse : P(0) est vraie. n 0 (P(n) P(n + 1)) Alors n 0, P(n) est vraie. Le raisonnement par récurrence se démontre à partir de l axiome suivant : tout ensemble non vide de N admet un plus petit élément. 2 Ensembles et fonctions Définition 2.1 Étant donnés deux ensembles A et B, on dit qu on définit une fonction (ou une application) f de A vers B si pour toux x élément de A, on assoccie un et un seul élément de B noté f (x). L ensemble A est appelé domaine de f. L ensemble des éléments de la forme f (x) sont appelés valeurs de f. L ensemble de toutes les valeurs prises par f est appelé l image de f. Il est noté f (A) := { f (x) : x A}. 2

Exemples : L image de f 1 est f 1 (R) = [ 1, 1]. L image de f 2 est f 2 ([0, π/2)) = [0, 1). f 1 : R R x sin x. f 2 : [0, π/2) R x sin x. f 3 : R R x [x], où [x] désigne la partie entière du réel x. L image de f 3 est f 3 (R) = Z. Définition 2.2 Si E A, on note f (E) l ensemble { f (x) : x E}. Cet ensemble f (E) est appelé image de E par f. Si F B, l ensemble f 1 (F) est l ensemble des éléments x A tels que f (x) F. Exercice 2.1 Déterminer f 1 1 Définition 2.3 On dit que f est injective si 1 1 1 (R), f1 ([0, 1]), f2 (( 1, 0)) et f3 (N). x 1, x 2 A, ( (x1 x 2 ) ( f (x 1 ) f (x 2 ) ) ). A f B x y =f(x) FIG. I.1 Injection de A vers B 3

Exemples : f : Z Z, n 2n est injective. f : [ π/2, π/2] R, x sin x est injective. Remarque 2.4 Toute fonction d un intervalle de R dans R qui est strictement croissante est injective. De même toute fonction strictement décroissante est injective. Définition 2.5 On dit que f est surjective si y B, f 1 ({y}) Ø. A f B FIG. I.2 Surjection de A sur B Exemples f : R [ 1, 1], x sin x 4

est surjective. f : R R, x sin x n est pas surjective. Définition 2.6 Une fonction f : A B est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective. C est à dire y B, f 1 ({y}) est constitué d un unique élément. On note f 1 (y) cet élément. On définit ainsi la fonction f 1 qui est appelée fonction réciproque de f : f 1 : B A, y f 1 (y). Remarque 2.7 Pour tout x A, on a f 1 ( f (x)) = x. Pour tout y B, on a f ( f 1 (y)) = y. Exemples : f : [ π/2, π/2] [ 1, 1] x sin x. f 1 : [ 1, 1] [ π/2, π/2] y arcsin y. 5

y arcin x =y sin x FIG. I.3 Exemple de fonctions réciproques, x sin x et y arcsin y. Définition 2.8 On dit que deux ensembles A et B ont même cardinal ou sont équipotents et on note A B si il existe une bijection de A vers B. Proposition 2.9 La relation vérifie : La relation est réflexive : pour tout ensemble A, on a A A. La relation est symétrique : si A B, alors B A. La relation est transitive : si A B et B C alors on a A C. (Remarque : une relation qui vérifie ces trois propriétés est appelée relation d équivalence.) Définition 2.10 On rappelle que l ensemble Ø est l ensemble qui ne contient aucun élément. Si n est un entier strictement positif, on note 1, n l ensemble des entiers compris entre 1 et n. On dit que A est (a) fini si A = Ø ou bien s il existe n 1 tel que A 1, n. (b) infini sinon. (c) dénombrable si A N. (d) non-dénombrable si A n est ni fini ni dénombrable. 6

Exemple : L ensemble Z est dénombrable. En effet on a la bijection f : N Z définie par f (n) = n si n est paire, 2 n+1 2 si n est impaire. Théorème 2.11 Tout sous ensemble infini d un ensemble dénombrable est dénombrable. Une union dénombrable d ensembles dénombrables est dénombrable. Preuve On prouve seulement le second point. Soit (E i ) i 1 une famille d ensemble dénombrables. Pour i = 1, 2,, on numérote x i 1, xi 2, les éléments de E i. On peut alors numéroter tous les éléments de i E i en suivant les flèches dans le diagramme suivant. x 1 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 2 1 x 2 2 x 2... 3 x 3 1 x 3 2... x 4 1 x 5 1............ Corollaire 2.12 L ensemble Q des nombres rationnels est dénombrables. Preuve En effet pour q N \ {0}, on note 1 Z l ensemble des fractions d entiers qui admettent q comme q dénominateur : p q : p Z. Il est clair que p p définit une bijection de Z vers 1Z et donc 1 Z est dénombrable. Par le q q q théorème précédent, l ensemble 1 Q = q Z q N\{0} est alors dénombrable comme union dénombrable d ensembles dénombrables. Théorème 2.13 L ensemble des réels n est pas dénombrable. 7

Preuve On montre que [0, 1) n est pas dénombrable. On va raisonner par l absurde. Supposons que [0, 1) est dénombrable. Il existe alors une bijection u : N \ {0} [0, 1). Pour n 1, on note u(n) = 0, x n 1 xn 2 xn 3 xn i 0, 9 le développement décimale du nombre u(n). Dans la suite on va construire un nombre y = 0, y 1 y 2 y 3 [0, 1) en définissant succéssivement y 1, y 2, : On construit y 1 comme suit : si x 1 1 = 0, on pose y 1 = 1 sinon on pose y 1 = 0. Ensuite on construit y 2 par la règle : si x 2 2 = 0, on pose y 2 = 1 sinon on pose y 2 = 0. Pour n 1, on utilise la même méthode. On construit y n par la règle : si x n n = 0, on pose y n = 1, sinon, on pose y n = 0. On a ainsi construit sans ambiguïté toute les décimales d un nombre y = 0, y 1 y 2. Par construction y [0, 1) et donc il existe un entier n tel que u(n) = y. Par unicité du développement décimal, on a x n i = y i pour i = 1, 2,. En particulier x n n = y n. Ce qui est faux par construction de y. Contradiction. 3 Espaces métriques Définition 3.1 Soit X un ensemble dont on appelle points les éléments. L ensemble X est un espace métrique si pour tout couple x, y X on peut associer un nombre d(x, y) R + satisfaisant (a) x, y X, d(x, y) = 0 x = y, (b) x, y X, d(x, y) = d(y, x), (c) x, y, z X, d(x, y) d(x, z) + d(y, z). (Inégalité triangulaire). Le réel d(x, y) est appelé distance de x à y. Exemples : Dans R, d(x, y) := x y. Dans C, d(z 1, z 2 ) := z 1 z 2. Dans R d, la distance Euclidienne : d ( (x 1, x 2,, x d ), (y 1, y 2,, y d ) ) := (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + + (x d y d ) 2. Définition 3.2 On appelle boule ouverte de centre x et de rayon r > 0 l ensemble {y X : d(x, y) < r}. Définition 3.3 Un point x est un point d accumulation d un ensemble E si toute boule ouverte de centre x au moins contient un élément de E distinct de x. 8

Définition 3.4 On dit qu une suite (x n ) converge vers un élément x X dans X si On note lim n x n = x. ε > 0, N(ε) tel que n N(ε), d(x n, x) < ε. En particulier, il existe (x n ) E telle que d(x n, x) < 1. On va voir que cela signifie que la suite n x n converge vers x dans X. Définition 3.5 On dit que (x n ) X est une suite de Cauchy si ε > 0, N(ε) tel que n, p N(ε), d(x n, x p ) < ε. Proposition 3.6 Dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy. Définition 3.7 On dit que X est un espace métrique complet si dans X toute suite de Cauchy est convergente. Exemples : R, C, R d. Comme corollaire, on a : Théorème 3.8 (Théorème de Bolzano-Weierstraß) Tout sous ensemble infini borné de R d admet un point d accumulation. Pour finir, on rappelle la notion de sous-suite. Définition 3.9 Soit x = (x n ) n 0 une suite. Si ϕ : N N est strictement croissante. On appelle suite extraite ou sous-suite de x la suite (y n = x ϕ(n) ) n 0. Exemple Si x n = ( 1) n, alors les suites extraites (x 2n ) n 0 et (x 2n+1 ) n 0 sont constantes. Le théorème de Bolzano-Weierstraß peut se reformuler ainsi. Théorème 3.10 Toute suite bornée de R d admet une sous suite convergente. 9

II Suites et séries numériques Dans cette partie on considère des suites de nombres réels (x n ) n 0 R ou eventuellement de nombres complexes (z n ) n 0 C. 1 Suites numériques 1.1 Généralités Définition 1.1 On dit que (x n ) R (ou C) converge vers x R (x C) si ε > 0, N(ε) > 0, tel que n N(ε), x n x < ε. Sinon on dit que la suite diverge. Définition 1.2 Un suite (x n ) C est bornée si il existe M > 0 telle que n 0, x n M. Remarque 1.3 On ne change pas le caractère borné ou convergeant d une suite si on modifie un nombre fini de ses termes. Les deux Propositions qui suivent se déduisent aisément des deux définitions précédentes. Proposition 1.4 Toute suite convergente est bornée. Proposition 1.5 Soient (x n ) et (y n ) deux suites à coefficients complexes. Si (x n ) est bornée et (y n ) tend vers 0 alors la suite produit (z n ) = (x n y n ) converge ves 0. 1.2 Le théorème de Bolzano Weierstrass Commençons par rappeler que R a la propriété de la borne supérieure. 10

Définition 1.6 On dit qu un esemble E R est majoré si il existe une constante M R telle que x E x M. On dit que E est minoré si il existe m R telle que x E x m. Définition 1.7 Si E R est un ensemble non vide, alors on dit que Λ R est une borne supérieure de E si Λ est le plus petit majorant de E, i.e : x E, x Λ, et ( x E, x M) = Λ M De manière equivalente une borne supérieure Λ est caractérisée par x E, x Λ, et ε > 0, x E tel que Λ ε < x. Autrement dit Λ est un majorant de E et quel que soit ε > 0, Λ ε n est pas un majorant de E. Théorème 1.8 Si E R est non vide et majoré, alors E admet une unique borne supérieure Λ notée Λ = sup E. On définit de la même manière la borne inférieure inf E d un ensemble non vide minoré E R. Ce théorème permet d obtenir un premier résultat d existence de limite pour des suites. Théorème 1.9 Soit (x n ) R une suite croissante majorée. Cette suite est convergente. Preuve Soit E l ensemble {(x n ) : n N}. Cete ensemble est non vide et par hypothèse il est majoré. Soit x := sup E, on a (x n x n 0) et quel que soit ε > 0, il existe N tel que x ε < x N. Et comme la suite est croissante, on en déduit n N x ε < x N x n x = x n x < ε. On en conclut : x n n x. Définition 1.10 Suites adjacentes. Soient (x n ) et (y n ) deux suites à valeurs réelles. On dit que ces deux suites sont adjacentes si (x n ) est croissante ; (y n ) est décroissante ; si pour tout n 0, x n y n ; et si lim n y n x n = 0. On déduit du Théorème précédent : 11

Proposition 1.11 Deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Preuve Soient (x n ) et (y n ) comme dans la définition. La suite (x n ) est croissante et majorée par y 1. Par le Théorème 1.9, on en déduit que (x n ) converge vers une limite x. De même (y n ) converge vers une limite y. Et comme y x = lim x n lim y n = lim(x n y n ) = 0, on en déduit x = y. On va utiliser cette notion de suites adjacentes pour démontrer le Théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème 1.12 (de Bolzano-Weierstrass) Toute suite bornée de R admet une sous-suite convergente. Preuve Soit (x n ) une suite bornée de R et soit M 0 tel que n 0 M x n M. Étape 1. On définit par récurrence sur m deux suites adjacentes (a m ) et (b m ) qui vérifient pour m 0 les deux propriétés suivantes : (1.1) b m a m = 2M/2 m, et (1.2) L ensemble E m := {n 0 : a m x n b m } est infini. Au rang m = 0, on pose a 0 = M et b 0 = M de sorte qu on ait bien b 0 a 0 = 2M et que E 0 = N soit bien de cardinal infini. Supposons qu on ait construit j usqu au rang m deux suites M = a 0 a 1 a m b m b 1 b 0 = M qui vérifient les propriétés (1.1) et (1.2), jusqu au rang m. On définit les deux ensembles E + m := {n 0 : a m x n (a m + b m )/2} et E + m := {n 0 : (a m + b m )/2 x n b m }. Comme E + m E m = E m et que E m est de cardinal infini, l un des deux ensembles E ± m est de cardinal infini. Si E m est de cardinal infini, on pose a m+1 = a m et b m+1 = (a m + b m )/2 sinon, on pose a m+1 = (a m + b m )/2 et b m+1 = b m. Dans les deux cas les propriétés (1.1) et (1.2) sont vérifiées au rang m + 1. Finalement, on a bien construit les deux suites adjacentes souhaitées et il existe x R tel que (a m ) et (b m ) convergent vers x. Étape 2. On extrait maintenant une sous suite de (x ϕ(m) ) de (x n ) qui soit telle que pour p 0, (1.3) x ϕ(m) [a m, b m ]. On construit la suite strictement croissante (ϕ(m)) vérifiant (1.3) par récurrence sur m. 12

Au rang m = 0, on pose ϕ(0) = 0 et (1.3) est vérifiée car a 0 = M x 0 M = b 0. Soit m 0. Supposons qu on a construit ϕ(0) < < ϕ(m) satisfaisant (1.3). Par construction, on sait que l ensemble E m+1 := {n 0 : a m+1 x n b m+1 } est infini, donc il contient un élément p > ϕ(m). Si on pose ϕ(m + 1) = p, alors on a ϕ(0) < < ϕ(m) < ϕ(m + 1) et (1.3) est satisfaite jusqu au rang m + 1. Nous avons donc construit une suite extraite (x ϕ(m) ) encadrée par les deux suites (a m ) et (b m ). Comme ces suites convergent vers la même limite x, la suite (x ϕ(m) ) converge aussi vers x. 1.3 Suites usuelles Commençons par rappeler quelques résultats de convergence usuels Proposition 1.13 a) Si p > 0, alors lim 1 n p = 0. b) Quel que soit x 1, lim x 1/n = 1. c) lim n 1/n = 1. d) Si x < 1, alors lim x n = 0. Preuve a) Soit ε > 0, si n > (1/ε) 1/p, alors 1 n p < ε car x x p est croissante sur R +. b) Posons x n = x 1/n 1. Remarquons que comme x 1, on a x n 0. Pour n 0, on a (1 + x n ) n = x. En utilisant la formule du binôme de Newton, on obtient n(n 1) 1 + nx n + xn 2 + + xn n } {{ } 2 0 car x n 0 = x Donc pour n 1, on obtient 1 = nx n x = x n x 1 n n 0. c) Cette fois on pose x n = n 1/n 1. Comme au petit b) on écrit (1 + x n ) n = n = 1 + nx n + n(n 1) xn 2 + xn n = n. 2 13

On en déduit n(n 1) 2 x 2 n n soit, pour n 2 x n 2 n 1 n 0. d) On écrit n 1 x = 1 + 1 x 1 n Binôme 1 = 1 + n((1/x) 1) + + ((1/x) 1) n n x 1. D où x n 1 n 1 (1/x) 1 n 0. 1.4 Comparaison de suites Définition 1.14 Soit (x n ) une suite à coefficients strictement positifs. On dit que la suite (y n ) est dominée par (x n ) si (y n /x n ) est bornée. On note y n = O(x n ). De plus, si (y n /x n ) converge vers 0, alors, on dit que (y n ) est négligeable devant (x n ) et on note y n = o(x n ). Exemples : n sin n = O(n), n sin n = o(n 2 ). Remarque 1.15 Si pour tout n, x n 0, alors x n = O( x n ). Définition 1.16 On dit que deux suites (x n ) et (y n ) sont équivalentes si lim y n x n = 1. On note alors x n y n. Exemple : n + 1 x n := n ln n 1 = n 2 ln n + 1 n 1 = n 2 ln 1 + 2 n 1 n 2 2 (n 1) n 1. Proposition 1.17 On a les relations suivantes : 14

1. y n = o(x n ) = y n = O(x n ) ; 2. y n = O(x n ), z n = O(y n ) = z n = O(x n ) ; 3. Si (y n = O(x n ), z n = o(y n )) ou (y n = o(x n ), z n = O(y n )), alors z n = o(x n ) ; 4. Si (x n ) est une suite à coefficients non nuls, x n x n ; 5. x n y n y n x n ; 6. x n y n, y n z n = x n z n ; 7. x n y n et x n > 0 = y n = O(x n ) ; 8. x n y n = 1/x n 1/y n ; 9. Si x n y n et v n w n alors x n v n y n w n ; 10. y n x n et v n = o(x n ) = y n + v n x n. Remarque 1.18 En général, si x n y n et v n w n, alors on n a pas x n + v n y n + w n. Par exemple, si x n = n et y n = n + 1 et v n = w n = n, on a bien n n + 1 mais par contre 0 1. 2 Séries numériques 2.1 Généralités Définition 2.1 Soit (a n ) n 0 une suite de nombres réels, on définit les sommes partielles de la série de terme général (a n ) par S n = n a k, pour n 0. k=0 On notera simplement (Σa n ) cette suite. Si cette suite converge vers un réel s, on dit que la série de terme général a n est convergente et a pour somme s. On note a n = s n 0 ou + n=0 a n = s la limite. Si la suite (S n ) diverge, on dit que la série de terme général (a n ) est divergente. Si la série est convergente, la suite des restes d ordre n définie par R n = S S n = k=n+1 converge vers 0. Remarque 2.2 Parfois la suite sera définie pour n 1 au lieu de n 0. On utilisera le même vocabulaire avec S n définie pour n 1 par S n = n k=1 a n. 15

Exemple : a n = 1 n(n + 1), n 1. On a a n = 1 n 1 n + 1, d où S n = 1 1 n 1. n + 1 La série de terme général a n est donc convergente de somme 1. Les résultats de convergence pour les suites ont leur traduction pour les séries. En particulier le résultat sur les suites croissantes bornées donne Théorème 2.3 Si ( a n ) est une série de terme général positif, alors ( a n ) converge si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée. Preuve Il suffit de remarquer que comme a n 0, la suite ( n k=0 a k ) est croissante. Théorème 2.4 (critère de Cauchy) La série ( a n ) est convergente si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy, c est à dire. m ε > 0, N tel que m n N, a k < ε. k=n En particulier en prenant m = n on déduit que si ( a n ) converge alors lim a n = 0. n Remarque 2.5 Cette condition n est pas suffisante en effet la série harmonique ( 1) est divergente alors que son terme général tend vers 0 (preuve en n exercice). Remarque 2.6 Dans le cas où la suite (a n ) ne converge pas vers 0 on dira que la série ( a n ) diverge grossièrement. Le critère de comparaison suivant est très utile. Théorème 2.7 a) Si à partir d un certain rang N 0, on a a n b n et si ( b n ) est convergente alors ( a n ) est convergente. b) Si à partir d un certain rang N 0, on a 0 b n a n alors si la série ( b n ) diverge alors ( a n ) diverge aussi. 16

Preuve a) D après le critère de Cauchy, pour tout ε > 0, il existe N tel que m n N implique On en déduit m a k k=n m b k < ε. k=n m a k k=n m b k < ε. Donc ( a k ) vérifie le critère de Cauchy et la série converge. b) se déduit de a) par contraposé. Par exemple la série ln n n k=n est divergente car pour n 3, on a ln n n 1 n et 1 n diverge. 2.2 Critères de convergence pour les séries à termes positifs Corollaire 2.8 (du Théorème 2.7) Si (a n ) et (b n ) sont à termes positifs, alors si b n = O(a n ) et si ( a n ) converge alors ( b n ) converge. En particulier si a n b n, les séries ( a n ) et ( b n ) sont de même nature. Les séries géométriques sont des séries importantes. On a en appliquant le Théorème 2.3 et la Remarque 2.6. Proposition 2.9 a) Si 0 x < 1, alors la série ( x n ) converge. b) Si x C est tel que x < 1 alors la série ( x n ) converge. c) Si x C est tel que x 1, alors ( x n ) diverge grossièrement. Preuve Soit x C et n 0, on note S n = n k=0 x k. a) Si 0 x < 1, on a xs n = n+1 k=1 x k = S n + x n+1 1 d où S n = 1 xn+1 1 x 1 1 x. 17

Et (S n ) est une suite croissante majorée donc convergente en fait on a et n 0 x n = 1 1 x. S n 1 1 x = xn+1 1 x n 0, b) Si x < 1 alors par a) ( x n ) converge et on déduit du Théorème 2.7 que ( x n ) converge. On peut aussi déduire de l identité que n 0 x n = 1 1 x. S n = 1 xn+1 1 x 1 1 x, c) Dans le cas x 1, la série diverge grossièrement. Les deux résultats suivants s obtiennent par comparaison avec des séries géométriques. Théorème 2.10 (test de la racine (règle de Cauchy)) Soit a n une série à terme général positif. Si il existe l < 1 tel que pour n assez grand alors, ( a n ) converge. n an l, En particulier si lim n an = l alors si l < 1 la série converge, si l > 1 la série diverge grossièrement. Si l = 1, le critère ne permet pas de conclure. Preuve On obtient a n = O(l n ). On conclut en utilisant les règles de comparaison. Théorème 2.11 (test du rapport (règle de d Alembert)) Soit a n une série à terme général positif. Si il existe l < 1 tel que pour n assez grand alors, ( a n ) converge. a n+1 a n l, Si il existe l 1 tel que pour n assez grand a n+1 a n l, 18

alors, ( a n ) diverge grossièrement. En particulier si lim a n+1 l = 1, le critère ne permet pas de conclure. a n = l alors si l < 1 la série converge, si l > 1 la série diverge. Si Preuve Comme pour le résultat précédent, on déduit dans le premier cas a n = O(l n ) et dans le second cas l n = O(a n ). Souvent les termes de la série forment une suite décroissante. Dans ce cas, on peut utiliser : Théorème 2.12 Si (a n ) est une suite décroissante de termes positifs, alors a n converge si et seulement si la série + 2 k a 2 k = a 1 + 2a 2 + 4a 4 + 8a 8 + est convergente. k=0 Preuve On a les inégalités N 2 k a 2 k a 1 + k=0 N 2 k=1 2k i=2 k 1 +1 a i = a 1 + 2 2 N a i a 1 + 2 i=2 k=1 N 2 k 1 a 2 k 1 et les suites croissantes ( i n a i ) et ( n k=0 2 k a 2 k) sont majorées (et donc convergentes) simultanément. Corollaire 2.13 (exercice) La série 1 converge si et seulement si p > 1. np La série 1 converge si et seulement si p > 1. n(ln n) p Pour démontrer ces derniers résultats, on peut aussi utiliser la comparaison à une intégrale : Théorème 2.14 Soit f : R + R + une fonction décroissante. Alors la série f (n) et l intégrale + f (x) dx sont de même nature. 0 19

2.3 Séries entières Définition 2.15 Soit (a n ) C, la série a n z n est appelée serie entière de la variable complexe z. La convergence de cette série dépend de la valeur de la variable z C. En fait il existe un cercle centré en 0 tel que il y a convergence si z est dans le disque ouvert délimité par ce cercle ; divergence si z est dans le complémentaire du disque fermé correspondant. Théorème 2.16 Pour toute série entière a n z n, posons k α = lim sup ak et R = 1/α. n k n (On prend les conventions R = 0 si α = + et R = + si α = 0). Alors la série entière converge si z < R et diverge si z > R. Le réel R est appelé rayon de convergence de la série entière. Exemples : a) n n z n a pour rayon de convergence 0. b) z n a pour rayon de convergence +. n! c) z n a pour rayon de convergence 1. Il y divergence grossière de la série en tous les points du cercle de convergence. d) z n a pour rayon de convergence 1. Il y a divergence en z = 1 et convergence en tout autre n point du cercle de convergence. e) z n a pour rayon de convergence 1. Il y a convergence en tout point du cercle de convergence. n2 2.4 Règle d Abel Théorème 2.17 (transformation d Abel) Étant donné deux suites (a n ) et (b n ), on a pour 0 p q q q 1 a n b n = A n (b n b n+1 ) + A q b q A p 1 b p, n=p avec A 1 = 0 et A n = n k=0 a k si n 0. n=p 20

On en déduit le résultat souvent utile suivant. Théorème 2.18 Si les sommes partielles (A n ) de la série ( a n ) forment une suite bornée, si la suite (b n ) est positive décroissante, si lim b n = 0. Alors la série de terme général (a n b n ) est convergente. Preuve Soit M un majorant de ( A n ). Pour ε > 0, il existe N 0 tel que n N, 0 b n < ε. Soient q p N, en utilisant la transformation d Abel, on a q q 1 q 1 a n b n = A n (b n b n+1 ) + A q b q + A p 1 b p M b n b n+1 +b q +b p = 2Mb p < 2Mε. n=p n=p n=p Ainsi la série ( a n b n ) est une suite de Cauchy et est donc convergente. Corollaire 2.19 (critère spécial des séries alternées) Si la suite (b n ) est une suite réelle décroissante tendant vers 0. Alors la série ( ( 1) n b n ) est convergente. Corollaire 2.20 Si la série entière ( a n z n ) a pour rayon de convergence 1 et si la suite (a n ) est réelle décroissante tendant vers 0. Alors ( a n z n ) est convergente pour tout z de module 1 sauf éventuellement en z = 1. Exemple : z n n converge pour z = 1, z 1. 2.5 Séries absolument convergentes Définition 2.21 Si ( a n ) est une série à coefficients réels ou complexes. On dit que ( a n ) est absolument convergente si la série ( a n ) converge. Théorème 2.22 Si une série ( a n ) est absolument convergente alors elle est convergente. 21

Proposition 2.23 Pour m n 1, on a m a k k=n m a k. k=n On déduit donc le résultat du critère de Cauchy. Pour les séries à termes positifs les notions de convergence et de convergence absolue coïncident. Par contre il existe des séries qui convergent et qui ne sont pas absolument conergente, on dit qu elles sont semi-convergentes. Par exemple, la série est semi-convergente. ( 1) n n On va voir qu on peut effectuer sur les séries absolument convergentes certaines opérations comme si c était des sommes finies : on peut modifier l ordre des termes dans la somme sans changer le total, on peut multiplier deux séries dont l une est absolument convergente et obtenir une série produit convergente. Définition 2.24 Soient ( a n ) et ( b n ) deux séries, on appelle série produit la série de terme général n c n = a k b n k, n 0. k=0 Théorème 2.25 Si ( a n ) et ( b n ) sont deux séries convergentes de sommes respectives A et B et si l une au moins de ces deux séries est absolument convergente, alors la série produit ( c n ) converge vers C = AB. De plus si les deux séries sont absolument convergentes, alors ( c n ) est aussi absolument convergente. Théorème 2.26 Soit ϕ : N N une bijection de N. Si ( a n ) est une série absolument convergente alors ( a ϕ(n) ) est aussi absolument convergente et a la même somme : + n=0 a n = + n=0 a ϕ(n). Preuve Soit A = + k=0 a n. Soit ε > 0, comme ( a n ) est convergente, il existe N 0 tel que + k=n+1 a k < ε. 22

Soit M assez grand tel que E := 0, N {ϕ(k) : 0 k M} =: F. On a alors M a ϕ(k) A k=0 = N a k A + a k k=0 k F\E N a k A + a k. k=0 k F\E On a E \ F N + 1, +, donc De plus N a k A N = lim m a k k=0 k=0 a k < ε. k F\E m a k = lim m k=0 m k=n+1 a k lim m m k=n+1 a k ε. Donc pour M assez grand et ( a ϕ(n) ) converge vers A. M a ϕ(k) A k=0 < 2ε, 23

III Fonctions de la variable réelle 1 Limites, continuité Soit f : D E F une fonction de l espace métrique E (munit de la distance) d E dans l espace métrique F munit de la distance d F. Définition 1.1 On dit que f admet la limite l F au point x E. ε > 0 α > 0 x D, 0 < d E (x, x) < α = d F (l, f (x)) < ε. On note lim f (x) = l. x x, x x Remarque 1.2 De manière équivalente, on peut définir la notion de convergence à l aide de la notion de convergence des suites : la fonction f admet une limite L en un point x 0 si et seulement si, pour toute suite x n dans F \ x convergeant vers x, la suite f (x n ) converge vers l. La notion de convergence ne fait pas intervenir la valeur de f au point x. Quand la limite de f au point x existe et qu elle est égale à f (x ) on dit que f est continue au point x. Définition 1.3 La fonction f est continue en x si et seulement si f admet une limite au point x et que lim x x, x x f (x) = f (x ). Soit I un intervalle de R. Les fonctions de I à valeurs dans R, la continuité de f au point x s écrit ε > 0 α > 0, x x < α = f (x) f (x ) < ε. Définition 1.4 Si f : I R est continue en tout point x I, alors on dit qur f est continue sur I. 24

Proposition 1.5 Si f est continue sur [a, b] alors elle est bornée et atteint ses bornes inférieure m et supérieure M. Preuve On fait la preuve du fait que f soit bornée par contraposée. Supposons donc que f ne soit pas bornée. Il existe alors une suite (x n ) [a, b] telle que f (x n ) n pour tout n 0. Or par théorème de Bolzano- Weierstrass, on peut extraire une sous suite x ϕ(n) de (x n ) convergeant vers un x [a, b]. Par continuité de f, on a lim f (x ϕ(n)) = f (x ). n, n 0 En particulier ( f (x ϕ(n) ) est bornée ce qui est contredictoire avec la condition f (x ϕ(n) ) ϕ(n). Finalement f est bien bornée. Montrons maintetant que f atteint son maximum M. Soit M la borne supérieure (ou le plus petit majorant) de { f (x) : x [a, b]}. En particulier, pour tout n 1, il existe x n [a, b] tel que (1.1) M 1 n f (x n) M. La suite (x n ) étant bornée, on peut extraire une sous-suite (x ϕ(n) ) convergeant vers x [a, b]. En passant à la limite dans (1.1), on obtient f (x ) = M. Ainsi le maximum est atteint. La preuve que le minimimum est atteint est semblable. Un rappel très important : Proposition 1.6 On suppose que f est continue en un point x tel que f (x ) 0. Alors il existe α > 0 tel que f ne s annule pas et est du signe de f (x ) sur ]x α, x + α[. Preuve Il suffit de prendre ε = f (x) 2. Il existe α > 0 tel que x x < α implique [ f (x) f (x ) f (x ), f (x ) + f (x ) 2 2 Si f (x ) < 0, on conclut que f f (x )/2 < 0 sur ]x α, x + α[. Si f (x ) > 0, on conclut que f f (x )/2 > 0 sur ]x α, x + α[. ]. Théorème 1.7 (des valeurs intermédiaires) Soit f : [a, b] R continue telle que f (a) f (b) < 0. Alors, il existe c (a, b) tel que f (c) = 0. 25

Corollaire 1.8 Soit f : [a, b] R continue. Soit y un élément de l intervalle [ f (a), f (b)] alors il existe x [a, b] tel que f (x) = y. Preuve du Corollaire Il suffit d appliquer le Théorème 1.7 à la fonction g = f y. Preuve du Théorème des valeurs intermédiares Quitte à remplacer f par f, on peut supposer f (a) < 0 et f (b) > 0. Soit I = {x [a, b] : f (x) < 0}, Cet ensemble est non vide car il contient a. Donc I a un plus petit majorant c = sup{x I }. Supposons par contradiction que f (c) 0, on a deux cas : cas 1. Si f (c) < 0 alors par continuité de f il existe η > 0 tel que f < 0 sur [c, c + η] et donc c + η I donc c + η sup{x I } = c. Contradiction. cas 2. Si f (c) > 0 alors il existe η tel que f > 0 sur [c η, c] et donc I [a, c η] et c η c. Contradiction. On conclut donc que f (c) = 0. Cette preuve ne permet pas directement de construire c. On va voir une autre preuve, très proche qui utilise le principe de bissection (Dichotomie en Grec). Seconde Preuve On pose a 0 = a et b 0 = b. On construit ensuite de manière récursive les suites (a n ) et (b n ) par Puis c n := a n + b n. 2 Si f (a n ) f (c n ) 0, alors { an+1 := a n, b n+1 := c n, Sinon { an+1 := c n, b n+1 := b n. On a par construction b n a n = b n 1 a n 1 2 a 0 a 1 a n a n+1 b n+1 b n b 0, = = b a 2 n n 0, et f (a n ) f (b n ) 0. Les deux suites adjacentes (a n ), (b n ) convergent donc vers une même limite c. En passant à la limite dans f (a n ) f (b n ) 0, on obtient par continuité de f, l inégalité ( f (c)) 2 0 et donc f (c) = 0. On déduit de cette méthode l algorithme de bissection (Dichotomie) Données : a < b, f fonction continue sur [a, b] telle que f (a) f (b) < 0, N nombres d itérations Résultat c tel que c c (b a)/2 N+1 où f (c ) = 0. 26

Algorithme : Pour i 1 à N faire c (a + b)/2 Si f (a) f (c) 0 faire b c Sinon faire a c Fin Si Fin Pour i Renvoyer c. Proposition 1.9 L algorithme de Dichotomie est tel que c c b a 2 N+1. Définition 1.10 On dit que f est uniformément continue sur I si et seulement si ε > 0, α > 0, x, y I x y α = f (x) f (y) ε. Remarque 1.11 La différence avec la continuité point par point est ici que ε ne dépend pas de x. Par exemple la fonction f : (0, 1) R définie par f (x) = 1/x est continue en tout point de (0, 1) mais n est pas uniformément continue sur (0, 1). En effet pour n 1, si on pose x = 1/n et y = 1/(2n), on a f (x) f (y) = n qui est plus grand que n importe quel ε pour n assez grand. Proposition 1.12 Si f est continue sur l intervalle fermé borné [a, b] alors elle est uniformément continue sur [a, b]. Preuve On raisonne par contraposée. Supposons que f ne soit pas uniformément continue sur [a, b]. Il existe alors ε 0 et deux suites x n et y n telles que x n y n 1 et f (x n n) f (y n ) ε 0. La suite (x n ) est bornée, on peut donc en extraire la sous-suite convergente (x ϕ(n) ). La sous suite (y ϕ(n) ) converge alors vers la même limite, donc comme f est continue, f (x ϕ(n) ) f (y ϕ(n) ) tend vers 0. Contradiction. 27

2 Dérivabilité Définition 2.1 Soit f : I R un intervalle de R. On dit que f est dérivable au point x I si le taux d accroissement f (x + h) f (x) τ x (h) = h admet une limite finie lorsque h tend vers 0. On appelle nombre dérivé de f au point x cette limite, on a la note f (x) = lim h 0, h 0 f (x + h) f (x). h Si τ x (h) admet une limite quand h tends vers 0 par valeurs positives, on appelle dérivée à droite de f au point x cette limite. On la note f d (x) = lim h 0, h>0 f (x + h) f (x). h De même, si τ x (h) admet une limite quand h tends vers 0 par valeurs négatives, on appelle dérivée à gauche de f au point x cette limite. On la note f g(x) = lim h 0, h<0 f (x + h) f (x). h Proposition 2.2 Si f est dérivable en x alors f est continue en x. La réciproque est fausse en général. Preuve Le taux d accroissement admettant une limite, pour h assez petit on a f (x + h) f (x) ( f (x) + 1)h, et le membre de droite converge vers 0 quand h tend vers 0. Définition 2.3 On dit que f est dérivable sur I si elle admet une dérivée en tout point de I. On rappelle un certain nombre de résultats élémentaires Proposition 2.4 Si f est croissante (resp. décroissante) et dérivable sur I, alors f (x) 0 (resp. 0) sur I. Si f est dérivable et si f > 0 sur I alors f est strictement croissante sur I. En revanche, si f est strictement croissante et dérivable, alors f n est pas forcément strictement positive. 28

Proposition 2.5 Si f et g sont deux fonction dérivables au point x alors leur produit f g est dérivable au point x et ( f g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Si f (x) 0, alors g/ f est dérivable au point x et g f (x) = f (x)g (x) g(x) f x(). f 2 (x) La règle de l Hospital permet de calculer la limite d un quotient en cas d indétermination : Proposition 2.6 Soient f et g deux fonctions continues en x 0 telles que f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0 et g est non nulle au voisinage de x 0, x 0 exclu. a) On suppose que f et g sont continûment dérivables en x 0 et que g (x 0 ) 0. Alors si cette dernière limite existe. f (x) lim x x0 g(x) = f (x 0 ) g (x 0 ) b) On suppose que f et g sont dérivables au voisinage de x 0. Alors On rappelle aussi la notion d asymptote : lim x x0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x). Définition 2.7 Deux courbes représentatives de deux fonctions f et g sont asymptotes lorsque x tend vers + si et seulement si f (x) g(x) tend vers 0 quand x tend vers +. On rappelle aussi la méthode pour trouver une droite asymptote, si elle existe, pour une fonction f : Proposition 2.8 La courbe d équation y = f (x) admet y = ax + b pour asymptote en x + si et seulement si lim x + f (x) x 2.1 Composition de fonction = a et lim x + ( f (x) ax) = b. Si f : I J et g : J R sont dérivables alors la composées g f : I R, x f (g(x)) est dérivable et on a la formule de composition : (g f ) = g ( f (x)) f (x). 29

Proposition 2.9 Si f est bijective et que f 1 : J I est la réciproque de la fonction f. Si f est dérivable au point x et que f (x) 0. Alors f 1 est dérivable au point y = f (x) et on a ( f 1 ) (y) = 1 f (x) = 1 f ( f 1 (y)) Exemple : La fonction sin : [ π/2, π/2] [ 1, 1] est strictement croissante et dérivable. Sa dérivée s annule aux points π/2 et π/2. Sa fonction réciproque arcsin est derivable sur l ouvert ] 1, 1[. Aux points 1 et 1, le graphe de la fonction arcsin admet des tangentes verticales. 3 Théorème de Rolle. Formules de Taylor Nous commencons par des résultats d analyse classique, qui sont le théorème de Rolle et la formule des accroissements finis : Théorème 3.1 ( de Rolle) Soit f une fonction continue sur [a, b], dérivable sur un intervalle ]a, b[ telle que f (a) = f (b). Alors il existe au moins un c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Preuve Comme f est continue sur [a, b], elle est bornée et atteint ses bornes. Si la fonction est constante sur [a, b] sa dérivée est identiquement nulle, et le résultat est vrai. On peut donc se placer dans le cas où f n est pas constante. On en déduit f atteint un extremum (maximum ou minimum) en point c ]a, b[. S il s agit d un minimum, les taux d acroissements au point c vérifient f (c + h) f (c) 0 si h > 0, h f (c + h) f (c) 0 si h < 0. h En passant à la limite h 0, h > 0 puis h 0, h < 0, on en déduit f (c) 0 et f (c) 0 donc f (c) = 0. sont S il s agit d un maximum, le même raisonnement permet de conclure. On en déduit la formule des accroissements finis : Proposition 3.2 Soit f une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Il existe c ]a, b[ tel que On écrit parfois c = a + θ(b a) avec θ ]0, 1[. f (b) = f (a) + (b a) f (c) 30

Preuve On considère ϕ telle que ϕ(t) = f (t) f (a) λ(t a) On a ϕ(a) = 0 et ϕ(b) = f (b) f (a) λ(b a). On choisit λ tel que ϕ(b) = 0, soit : λ = f (b) f (a). b a On applique alors le théorème de Rolle à ϕ. Ainsi il existe c tel que ϕ (c) = 0, c est-à-dire f (c) = λ. On a de même Proposition 3.3 (Taylor Lagrange) Soit f une fonction de classe C k 1, dont la dérivée (k 1)ième est dérivable. Il existe c ]a, b[ tel que Preuve On considère f (b) = k 1 p=0 f (p) (a) p! (b a) p + (b a) k f (k) (c). k! et on choisit λ tel que ϕ(b) = 0. On vérifie que ϕ(x) = f (x) k 1 p=0 f (p) (a) (x a) p (x a)k λ. p! k! ϕ (m) (x) = f (m) (x) k 1 m p=0 f (p+m) (a) (x a) p (x a)k m λ p! (k m)!. On constate que ϕ (m) (a) = 0 pour 0 m k 1. La fonction ϕ s annule en x = a et en x = b donc il existe c 1 ]a, b[ tel que ϕ (c 1 ) = 0. On montre par récurrence qu il existe c p tel que ϕ (p) (c p ) = 0, c p ]a, c p 1 [. Pour cela on utilise ϕ (p) (a) = ϕ (p) (c p ) = 0 donc il existe c p+1 telle que ϕ (p+1) (c p+1 ) = 0. Ce résultat est vrai tant que ϕ (p) (a) = 0, donc tant que p k 1. Ainsi on a ϕ (k) (c k ) = 0, ce qui démontre la Proposition. Cette formule de Taylor s appelle la formule de Taylor-Lagrange. On a une version plus faible, qui utilise la dérivabilité de f à l ordre k 1 et à la continuité de la dérivée k 1ième : 31

Proposition 3.4 (Taylor Young) Soit f une fonction de classe C k 1, alors f (x) = k 1 p=0 f (p) (a) (x a) p + o((x a) k 1 ). p! Cette expression correspond à un développement limité, qui s appelle le développement de Taylor-Young. Nous avons facilement une autre formule de Taylor : f (x) = f (a) + x a f (t)dt (qui s appelle la formule de Taylor avec reste intégral à l ordre 0) et si on pose t = a + s(x a) on a 1 f (x) = f (a) + (x a) f (a + s(x a))ds 0 En poursuivant les intégration par parties x a f (t)dt = [(t x) f (t)] x a x et on trouve ainsi f (x) = f (a) + (x a) f (a) + On trouve par récurrence (t x) f (t)dt = (x a) f (a) x a a x a (x t) f (t)dt (t x) f (t)dt Proposition 3.5 (Taylor avec reste intégral) Soit f de classe C (k+1). On a la formule f (x) = a = k p=0 k p=0 f (p) (x x a)p (x t) k (a) + f (k+1) (t)dt p! a k! f (p) (x x a)p (a) + (x a) k+1 (1 s) k f (k+1) (a + s(x a))ds. p! a k! On en déduit ainsi le développement limité en un point a où f est k fois dérivable. On a la définition ci-dessous d un développement limité à l ordre k : 4 Développements limités Les développements limités sont un outil puissant pour déterminer des limites. 32

Définition 4.1 On dit que f admet un développement limité à l ordre k en x si et seulement si il existe k + 1 nombres réels a p, 0 p k, tels que f (x + h) = k a p h p + o(h k ), p=0 c est-à-dire f (x + h) = a 0 + a 1 h + + a k h k + o(h k ). On rappelle que o( f ) est la notation pour une fonction telle que o( f ) f tend vers 0 si f tend vers 0. Exemples : Pour h < 1, on a 1 1 h = 1 hp+1 1 h + hp+1 1 h = 1 + h + h2 + + h p + hp+1 1 h = 1 + h + h2 + + h p + o(h p ). De la même façon en changeant h en h, on a pour h > 1, 1 1 + h = 1 h + h2 + + ( 1) p h p + o(h p ). Par la formule de Taylor Young, une fonction de classe C p dans un voisinage de x admet un développement limité d ordre p en x. Proposition 4.2 La fonction f admet le développement limité à l ordre 0 en x : f (x + h) = a 0 + o(1), si et seulement si f est continue en x et f (x) = a 0. La fonction f admet le développement limité à l ordre 1 en x : f (x + h) = a 0 + a 1 h + o(h), si et seulement si f est dérivable en x et f (x) = a 0, f (x) = a 1. Pour tous les ordres supérieurs, il n y a pas d équivalence de cette forme. Par exemple f (x) = x 3 cos(1/x) n admet pas de dérivées seconde en 0. Proposition 4.3 Développement limités des fonctions usuelles 33

En utilisant la formule de Taylor, on obtient exp(x) = x + x2 2 + x3 3! + + xn n! + O( x n+1 ), ln(1 + x) = x x 2 + x2 xn + + ( 1)n 1 3 n + O( x n+1 ), cos x = 1 x2 x2n + + ( 1)n 2! (2n)! + O( x 2n+2 ), sin x = x x3 3! + + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! + O( x 2n+3 ), α(α 1) α(α 1) (α n) (1 + x) α = 1 + αx + x 2 + + x n + O( x n+1 ). 2! n! Proposition 4.4 (Opérations sur les développement limités) Soient f, g deux fonctions définies au voisinage d un point x. Si f et g admettent chacune un développement limité d ordre p au voisinage de x : f (x + h) = a 0 + a 1 h + + a p h p + o(h p ), g(x + h) = b 0 + b 1 h + + b p h p + o(h p ). Alors λ f, f + g, et f g admettent des développement limités du même ordre p qui s écrivent λ f (x + h) = (λa 0 ) + (λa 1 )h + + (λa p )h p + o(h p ), ( f + g)(x + h) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )h + + (a p + b p )h p + o(h p ) ( f g)(x + h) = (a 0 b 0 ) + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )h + + (a 0 b p + a 1 b p 1 + + a p b 0 )h p + o(h p ). Proposition 4.5 (Composition des développement limités) Soient f : I J et g : J R deux fonctions. Supposons que f admette un développement limité d ordre p au voisinage du point x I. Si g admet un DL d ordre p au voisinage de y = f (x). Alors g f admet un DL d ordre p au voisnage de x. Écrivant f (x + h) = f (x) + hp(h) + o(h p ) le DL de f au voisinage de x : P est un polynôme de degré p 1. Écrivant g(y + k) = Q(k) + o(k p ) le DL de g au voisinage de y : Q est un polynôme de degré p. On a g( f (x + h)) = Tr p {Q(hP(h))} + oh p Où l opérateur de troncature Tr p consiste à ne conserver que les termes de degré inférieurs à p du polynôme. 34

Théorème 4.6 (intégration terme à terme d un DL) Soit f : I R une fonction dérivable. Si sa dérivée f admet un DL d ordre p au voisinage de x I : f (x + h) = c 0 + c 1 h + + c p h p + o(h p ), alors f admet un DL d ordre p + 1 au voisinage de x I qui s écrit f (x + h) = f (x) + c 0 h + c 1 h 2 h p+1 2 + + c p p + 1 + o(hp+1 ). 35

IV Rappels d intégration. L intégrale de Riemann 1 Quelques espaces de fonctions On commence par introduire les espaces vectoriels de fonctions sur les quels nous allons définir la notion d intégrale. Définition 1.1 Soit [a, b] un segment, a < b, on dit que f : [a, b] R est en escalier si il existe une partition de [a, b] en un nombre fini d intervalles sur lesquels la restriction de f est constante. Il existe alors a = x 0 < x 1 < < x n = b et des réels y 1,, y n tels que la restriction de f à (x i, x i+1 ) soit constante égale à y i. Les valeurs prises par f aux points x i n ont pas d importance ici. La suite x 0,, x n est appelée subdivison de [a, b] adaptée à la fonction en escalier f. Si a = x 0 < < x n = b est une subdivision adaptée à f, alors si x 0 < < x m est une subdivision plus fine : {x 0,, x n } { x 0,, x m}, cette nouvelle subdivision est aussi adaptée à f. 36

y y 2 y 1 0 x 3 x 4 x 0 x 1 x 2 x y 3 y 4 FIG. IV.1 graphe d une fonction en escalier Définition 1.2 Soit [a, b] un segment, a < b, on dit que f : [a, b] R est continue par morceaux si il existe une subdivision a = x 0 < < x n de [a, b] telle que la restriction de f à chaque sous intervalle (x i, x i+1 ) soit continue et prolongeable par continuité sur [x i, x i+1 ]. 37

y 0 x 3 x 4 x 0 x 1 x 2 x FIG. IV.2 graphe d une fonction continue par morceaux Définition 1.3 Soit [a, b] un segment, on dit qu une fonction bornée f : [a, b] R est réglée si elle admet une limite à droite en tout point de [a, b) et à gauche en tout point de (a, b]. y 0 a b x FIG. IV.3 graphe d une fonction réglée 38

On note E([a, b]) l ensemble des fonctions en escalier, C m ([a, b]) l ensemble des fonctions continues par morceaux de [a, b] et R([a, b]) l ensemble des fonction réglées sur [a, b]. Ces trois ensembles sont des espaces vectoriels et on a les inclusions E([a, b]) C m ([a, b]) R([a, b]). De plus on peut approcher toute fonction réglée par une fonction en escalier de manière aussi proche que possible en norme uniforme. C est même une manière de caractériser l espaces des fonctions réglées. Théorème 1.4 On note F ([a, b]) l espace des fonctions f : [a, b] R qui sont telles que ε > 0, g E([a, b]), telle que sup f (x) g(x) < ε. x [a,b] Alors on a F ([a, b]) = R([a, b]). Preuve On montre l inclusion. Soit f F ([a, b]) et soit x 0 [a, b). Montrons que f admet une limite à droite en x 0 (le cas de la limite à gauche est semblable). Soit n 1. Par hypothèse, il existe g n en escalier telle que g n (x) f (x) < 1/n pour tout x [a, b]. La fonction g étant en escalier, il existe η n > 0 et z n telle que g n soit constant égale à z n sur l intervalle (x 0, x 0 + η n ). On a donc f (x) z n < 1/n, x (x 0, x 0 + η n ). Comme f est bornée (par sup g 1 (x) + 1), la suite (z n ) est aussi bornée. On peut donc extraire une sous suite (z ϕ(n) ) convergeant vers z R. On a alors lim f (x) = z. En effet, quel que x x 0, x>x 0 soit ε > 0, il existe n tel que 1/ϕ(n) < ε/2 et z z n < ε/2 et donc f (x) z f (x) z n + z n z < ε/2 + ε/2 = ε, x (x 0, x 0 + η ϕ(n) ). Montrons réciproquement l inclusion. Soit f R([a, b]) une fonction réglée. Soit ε > 0. Montrons qu on peut approcher f par une fonction en escalier à ε près. Soit x 0 = a, on construit par récurrence la suite (x n ) comme ceci : si x n b, la limite lim x xn, x>x n existe, notons la z n. On pose alors x n+1 = sup {x (x n, b] : y (x n, x), f (y) z n < ε} L ensemble sur lequel on prend le sup est majoré par b et est bien non vide (car lim y xn, y>x n = z n implique qu il existe x tel que f z n < ε sur (x n, x)). Donc x n+1 est bien défini, on a x n < x n+1 b et f (x) z n < ε, x (x n, x n+1 ). La suite (x n ) étant construite, il y a deux possibilités : 1) x n = b pour un certain n ; 2) x n < b pour tout n et dans ce cas la suite (x n ) est bien définie pour tout n 0. Montrons que le second cas est impossible. En effet, dans ce cas la suite strictement croissante 39

majorée (x n ) admet une limite c (a, b]. Par hypothèse, f admet une limite à gauche w en c donc il existe η > 0 tel que f (x) w < ε/2, x (c η, c). Comme (x n ) converge en croissant vers c, il existe n tel que x n (c η, c). Pour tout y (x n, c), on a f (y) w < ε/2, en particulier la limite à droite z n de f en x n satisfait z n w ε/2. Et on a f (y) z n f (y) w + w z n < ε, pour tout y (x n, c). Par définition de x n+1, cela signifie que x n+1 c ce qui est faux. Nous sommes donc toujours dans le cas 1). Soit n tel que x n = b. Pour k = 1,, n, on pose g(x) = z k pour tout x dans l intervalle (x k 1, x k ). Pour k = 0,, n, on pose g(x k ) = f (x k ). La fonction g ainsi définie est bien en escalier sur [a, b] et on a f (x) g(x) < ε, x [a, b]. 2 L intégrale de Riemann, définition et propriétés élémentaires Dans cette partie on définit l intégrale de certaines fonctions. Nous n abordons pas la théorie de l intégrale de Lebesgue qui est beaucoup plus puissante mais aussi plus difficile et plus longue à inntroduire. On la trouvera exposée de manière abordable et élégante dans l ouvrage traduit de l anglais : Principes d analyse Mathématique de Walter Rudin. On commence par intégrer les fonctions en escalier. Définition 2.1 Soit a < b et f E([a, b]) une fonction en escalier. Soit x 0 < < x n une subdivision adaptée à f et soit y 1,, y n telles que f (x) = y i pour x (x i 1, x i ). On d finit l intégrale de f sur [a, b] la quantité On notera aussi cette quantité sur les bornes de l intervalle. b a [a,b] f = f (x) dx n (x i x i 1 )y i. i=1 ou simplement Remarquons que la définition ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie. On a les propriétés élémentaires suivantes f si il n y a pas d ambiguïté Proposition 2.2 Soit f, g E([a, b]) et λ R, on a (λ f + g) = λ f + g ; 40

si f 0, alors si f > 0, alors f 0. f > 0. Les deux premières propriétés sont appelées linéarité et positivité de l intégrale, elles entraînent en particulier les inégalités f f (b a) sup f. [a,b] On a aussi le résultat suivant Proposition 2.3 (Relation de Chasles) Soient a < b < c et f E([a, c]), alors les restrictions de f aux intervalles [a, b] et [b, c] sont en escalier et on a c a f = b a Par convention, on posera a b f = f, b a de sorte que la relation de Chasles fonctionne encore si on n a pas les relations d ordre a b c. f + c b f. Les résultats du paragraphe précédent permettent d étendre la définition de l intégrale aux fonctions réglées. Définition 2.4 ( / Proposition) Soit f R([a, b]), alors il existe un réel I tel que pour toute suite (g n ) de fonctions en escaliers approchant f, i.e. : on a sup g n (x) f (x) x [a,b] g n [a,b] n I. n 0, La limite I ne dépend pas de la suite (g n ) choisie, on note [a,b] f cette limite. Preuve Soientt f et (g n ) comme dans l énoncé. On va montrer que la suite ( g n ) est une suite de Cauchy. En effet, soit ε > 0, il existe N tel que pour n N, on a sup g n (x) f (x) x [a,b] ε 2(b a). 41

Donc, pour n, p 0, on a gn g n g p g { gn p f + f gp } < ε b a = ε. La suite ( g n ) est donc de Cauchy et par conséquent convergente vers un réel Ig. Unicité. Si on considère une suite h n telle que sup h n (x) f (x) x [a,b] n 0, alors il existe I h R tel que lim h n n [a,b] k 2n = g n, k 2n+1 = h n, on a = I h. Finalement considérant la suite k n définie par I k = lim k n n [a,b] = lim k 2n n [a,b] = lim k 2n+1, n [a,b] d où I g = I h. Les propriétées des Propositions 2.2 et 2.3 s étendent à l intégrale des fonctions réglées. Remarquons que ayant défini l intégrale des fonction réglées on a en particulier défini l intégrale des fonctions continues par morceaux. Dans la suite de cette partie, on étend la notion d intégrale de deux manières, la seconde étant la plus générale. 2.1 Fonctions Riemann intégrables Soit f : [a, b] R, une fonction bornée, on définit les intégrales inférieure et supérieure de f par { { f : sup } g : g E([a, b]), g f, f : inf } g : g E([a, b]), g f Comme f est bornée les ensembles sur lesquels on prend le sup et l inf sont non vide. De plus le premier ensemble est majoré par (b a) sup [a,b] f et le second est minoré par (b a) inf [a,b] f. Les intégrales inférieure et supérieure de f sont donc bien définie. Définition 2.5 Soit f : [a, b] R, une fonction bornée, si f = f, on dit que f est Riemann intégrable. On définit son intégrale par f = f = f. En particulier les fonctions réglées sont Riemann intégrables. Les fonctions Riemann intégrables forment un espace vectoriel. Les propriétées des Propositions 2.2 et 2.3 aux fonctions Riemann intégrables. 42

3 Manipulations de l intégrale, calcul de primitives 3.1 Primitives Commençons par faire le lien entre intégration et dérivation. Définition 3.1 Soit f : [a, b] R une fonction continue on appelle primitive de f toute fonction F C 1 [[a, b]) telle que F = f sur [a, b]. Proposition 3.2 Soit f C([a, b], R) et F une primitive de f. Alors, il existe C R tel que F(x) = C + x a f, x [a, b]. En particulier si F et G sont deux primitives de f, la fonction F G est constante. Preuve Posons I(x) = x a Chasles Et comme x+h 1 = h, on a x I(x + h) I(x) f (x) h = 1 h f, pour x [a, b] et h 0 tel que x + h [a, b], on a par la relation de I(x + h) I(x) x+h x h = 1 h ( f (s) f (x)) ds x+h x 1 h f (s) ds. x+h x f (s) f (x) ds sup f (s) f (x) s (x,x+h) Et comme f est continue en x, le membre de droite tend vers 0 quand h tend vers 0. Donc I est dérivable en x et I (x) = f (x). Finalement la fonction G = F I satisfait G = 0 et est donc constante (utiliser Rolle). On déduit immédiatement de ce résultat le corollaire important suivant : Corollaire 3.3 Soit F une primitive de f, alors F(b) F(a) = b a f. Les primitives des fonctions usuelles sont obtenues à partir du tableau des dérivées de fonctions usuelles et des outils décrits plus bas. 43

3.2 Intégration par parties Théorème 3.4 Soient f, g C([a, b], R) et F et G deux de leurs primitives (F = f et G = g), alors b a Fg = {F(b)G(b) F(a)G(a)} Les termes entre accolades sont appelés termes de bord (car ils dépendent des valeurs de F et G au bord de l intervalle [a, b]) ils sont souvent notés b a fg. [FG] b a ou [F(x)G(x)] x=b x=a = F(b)G(b) F(a)G(a). Preuve On a pour x [a, b], et conclut par le Corollaire 3.3 que (FG) (x) = f (x)g(x) + F(x)g(x), F(b)G(b) F(a)G(a) = b a ( f (x)g(x) + F(x)g(x)) dx. Application : On souhaite calculer une primitive de la fonction x F(x) ln x. Posons G(x) = x, alors pour x > 0, on calcule x x x ln y dy = Fg = [FG] x 1 fg. Or f (y) = F (y) = 1/y et donc f (y)g(y) = 1. D où 1 x 1 1 ln y dy = x ln x x + 1. 1 3.3 Changement de variable Théorème 3.5 Soit ϕ une fonction strictement croissante de classe C 1 sur le segment [A, B] vers [a, b]. Si f : [a, b] R est Riemann intégrable, alors ( f ϕ)ϕ est Riemann intégrable sur [A, B] et B A f (ϕ(x)) ϕ (x)dx = b a f (y) dy. Application : En utilisant le Théorèmes précédent, on peut calculer une primitive de y f (y) = 1/ 1 y 2 sur ( 1, 1). En effet, posons ϕ(x) = sin x, on a z 0 dy 1 y 2 = arcsin z 0 cos x dx 1 (sin x) 2 arcsin z = dx = arcsin z. 0 44

4 Intégrales semi-définies Ici on peut avoir a = ou b = + ou les deux. Soit f : (a, b) R Riemann intégrable sur tout sous-intervalle fermé de (a, b). Soit c (a, b). Si la limite c lim f x a x existe, alors on dit que f est semi-intégrable en a et on note c a c f = lim f. x a a Si f est semi intégrable en a, on dit que l intégrale de f est absolument convergente en a. Dans ce cas, (par critère de Cauchy) elle est semi-intégrable en a. Si la limite diverge, on dit que l intégrale est divergente. De même, si la limite x lim f x b c existe, alors on dit que f est semi-intégrable en b et on note etc... b c b f = lim f. x b c Proposition 4.1 Soit f [0, + ) R + décroissante, alors + 0 f est convergente si et seulement si la série f (n) est convergente. On a des résultats de comparaison analogue à ceux obtenu pour les séries : par exemple : Proposition 4.2 Si l intégrale de f 0 est convergente en a et si g = O( f ) en a, alors l intégrale de g est absolument convergente en a. Si f 0 et g a f, alors si f est convergente, g est convergente et si a a a g est divergente et on a : a c g a c x x f. f est divergente, 45

5 Passage à la limite sous le signe intégrale On donne dans cette partie quelques résultats concernant l intégrale de fonctions dépendant d un paramètre réel ou entier (dans ce dernier cas on parle de suite de fonctions). On commence par le Lemme de Fatou : Lemme 5.1 Soit ( f i ) i I un de fonctions indicée par i I. On suppose que ces fonctions sont définies sur (a, b) et à valeurs dans R + et que ces fonctions sont intégrables (ou d intégrale convergente) sur [a, b]. b b Soit g une fonction intégrable telle que i I, f i g. Alors sup f i g. I a a Le résultat le plus frappant de la théorie de l intégration de Lebesgue est le Théorème de convergence dominé. On adapte ici ses hypothèses pour pouvoir l énoncer dans le cadre des fonctions Riemann intégrables. Citons tout d abord le Théorème de convergence monotone. Théorème 5.2 ( de convergence monotone) Soit ( f n ) une suite de fonctions positives intégrables sur [a, b] (ou d intégrale convergente sur (a, b)). Supposons que ses fonctions soient ordonnées et que pour x (a, b), f n (x) f (x). Alors 0 f n f n+1 b lim f n = n a b a f Éventuellement, les deux membres de l égalité peuvent être égaux à +. Théorème 5.3 ( de convergence dominée) Soit ( f n ) et f des fonctions intégrables sur [a, b] (ou d intégrales convergentes sur (a, b)) telles que f n (x) f (x). Supposons qu il existe g 0 intégrable telle qu on ait la condition de domination f n (x) g(x), x (a, b), n 0. Alors b lim f n = n a b a f. On peut déduire du Théorème de convergence dominée le résultat de dérivation sous le signe intégral suivant Théorème 5.4 ( de dérivation sous le signe intégrale) Soit I in intervalle réel et f : [a, b] I R. 46

On suppose que t I, la fonction f t : [a, b] R, x f (x, t) soit intégrable. On note F(t) = On suppose que x (a, b), la fonction f x note sa dérivée d f (x, t). dt b a f (x, t) dx : I R, t f (x, t) est continûment dérivable. On On suppose que t I, les fonctions x d f (x, t) sont intégrables, on note dt H(t) = b a d f (x, t) dx dt On suppose que t I, les fonctions x d f (x, t) vérifient la condition de domination dt d f (x, t) dt g(x), x [a, b]. où g est une fonction intégrable sur [a, b]. Alors, la fonction F est dérivable sur I de dérivée F (t) = H(t), soit d dt b a f (x, t) dx = b a d f (x, t) dx. dt Preuve Soit t I et h 0 tel que t + h I, on applique le Théorème des accroissements finis à la fonction f x entre t et t + h : Donc (5.1) x (a, b), θ x (0, 1) tel que f (x, t + h) f (x, t) = h d f dt (x, t + θ xh). F(t + h) F(t) h = b a d f dt (x, t + θ xh)dx La famille de fonctions dans l intégrale satisfait à la condition de domination d f dt (x, t + θ xh) g(x), par continuité de t d f d f f (x, t), on a lim dt h 0 dt (x, t + θ xh) = d f (x, t) et donc par Théorème de dt convergence dominée, on peut passer à la limite dans (5.1) et conclure F (t) = lim h 0 F(t + h) F(t) h = H(t). 47

V Équations différentielles 1 Systèmes d équations différentielles de degré un. Le problème de Cauchy Soit d un entier et f : R R d R d une fonction de 1 + d variables à d composantes. On considère des équations du type suivant (1.1) y (t) = f (t, y(t)) où y est une fonction dérivable de la variable t à valeurs dans R d, c est à dire y(t) = (y 1 (t), y 2 (t),, y d (t)). La dérivée de y au point t est le vecteur formé par les dérivées des composantes de y : y (t) = (y 1 (t), y 2 (t),, y d (t)). L équation (1.1) est donc en fait un système de d équations y 1 (t) = f 1(t, y 1 (t),, y d (t)), y 2 (1.2) (t) = f 2(t, y 1 (t),, y d (t)),... y d (t) = f d(t, y 1 (t),, y d (t)). L équation (1.1) permet de déterminer la dérivée de la fonction y au temps t en fonction de t et de la valeur de y(t). En particulier, au temps t la courbe {(s, y(s)), s I} R 1+d admet pour vecteur tangent le vecteur (1, F(t, y(t)). En général on adjoint à ce système d équation une condition initiale, c est à dire qu on fixe la valeur de y en un instant t = t 0. Soit donc t 0 R et y 0 = (y 0 1,, y0 d ) Rd, notre condition initiale s écrit (1.3) y(t 0 ) = y 0. Définition 1.1 On s interresse à la question suivante : existe-t-il une fonction dérivable y : I R d définie sur un intervalle ouvert I contenant t 0 qui soit solution de (1.1) et (1.3)? 48

Ce problème est appelé problème de Cauchy : (1.4) y (t) = f (t, y(t)), y(t 0 ) = y 0. Définition 1.2 Soit y : I R d une solution du problème de Cauchy (1.4). On dit que y est une solution maximale si on ne peut pas la prolonger en une solution z : J R d définie sur un intervalle ouvert J contenant strictement I. Exemples dans le cas d = 1 1) On considère le problème de Cauchy (1.5) y (t) = y 2 (t), y(0) = 1. Soit y une solution, on a y 2 y = 1 et donc ( 1 y) = 1. Posons z(t) = 1/y(t), on a donc z (t) = 1, z(0) = 1. Donc z(t) = 1 t et finalement on a nécessairement y(t) = 1 1 t. L intervalle maximal contenant 0 sur lequel est définie la fonction y est ], 1[. On en déduit que la fonction y : ], 1[ R, t 1 1 + t, est l unique solution maximale du problème de Cauchy (1.5). Dans cet exemple, la solution maximale n est pas définie sur toute la droite réelle. La solution converge vers l infini quand on approche le temps d existence limite t = 1. 2) On considère maintenant le problème de Cauchy (1.6) y (t) = y(t), y(0) = 0. Notons y : I R une solution maximale de (1.6). Remarquons tout d abord que pour que cette équation soit bien définie, il faut que y soit positive sur I or comme y 0, y est croissante et comme y(0) = 0, on a y(t) = 0 pour t 0. Comme 0 est solution sur ], 0], on en déduit que l intervalle de définition I a la forme ], a[ avec a > 0 et qu on a y(t) = 0 pour t 0. Remarquons que y 0 : R R, t 0 est solution (maximale). Si y est une autre solution alors comme y est continue et croissante, il existe t tel que y(t) > 0 pour t > t et y(t) = 0 pour t t. Calculons y(t) pour t > t. Comme y(t) est non nul on peut écrire y y = 1 = (2 y) = 1 49

Posons z = 2 y, on a z (t) = 1 et il existe une constante c telle que on a z(t) = t + c d où y(t) = 1 4 (t + c)2, t > t. La condition de continuité de y en t implique que c = t. On a donc une infinité de solutions maximales non nulles de (1.6) définies sur R et de la forme { 0 pour t t y(t) =, 1 (t t 4 ) 2 pour t > t. Dans cet exemple, il n y a donc pas unicité des solutions maximales du problème de Cauchy. Ici il n y a pas unicité de la solution car la fonction n est pas dérivable en 0. Exemple dans le cas d = 2 3) On considère un ressort de raideur k, de masse m se déplaçant selon un axe horizontal. Sa position est repérée par l abscisse x le point d équilibre est en x = x 0. La relation fondamentale de la dynamique donne (1.7) mx (t) = k(x x 0 ). Cette équation est une équation différentielle linéaire du second ordre pourtant elle peut s écrire sous la forme d un système différentielle de degré un. Pour cela on remarque que si on pose y = (x, x ) alors (1.7) est équivalent à (1.8) { y 1 (t) = y 2(t) y 2 (t) = k (y m 1(t) x 0 ). Si on ajoute des condition initiale y(t 0 ) = (y 0 1, y0 2 ), le problème (1.7) rentre bien dans le cadre de la Définition 1.1. Exemple des équations différentielles de degré n En fait, toute équation différentielle de degré n de la forme (1.9) x (n) = F(t, x, x,, x (n 1) ) peut se mettre sous la forme d un système différentiel de degré un mais de taille n. Pour cela on pose y = (x, x,, x (n 1) ), L équation (1.9) est alors équivalente au système y 1 (t) = y 2(t), y 2 (t) = y 3(t),... y n 1 (t) = y n(t), y n(t) = F(t, y(t)). 50

1.1 Le Théorème de Cauchy-Lipschitz On a vu à l exemple 2) qu il pouvait ne pas y avoir unicité des solutions. Pour énoncer le Théorème d existence et d unicité des solutions plus bas, on va demander que la fonction f dans le second membre de (1.1) soit de classe C 1. Pour cela nous introduisons la notion de dérivées partielles d une fonction de plusieurs variables : Définition 1.3 Soit n 1, on dit que F : R n R admet des dérivées partielles au point x = (x 1,, x n ) si pour i = 1,, n, la fonction g i (t) = F(x 1, x 2,, x i 1, t, x i+1,, x n ). est dérivable au point t = x i. On appelle dérivée partielle au point x dans la ième direction cette dérivée et on la note x i F(x) := g i(x i ). Définition 1.4 On dit que est F : R n R est de classe C 1 si elle admet des dérivées partielles continues en tout point. Théorème 1.5 (de Cauchy Lipschitz) Supposons que f : R R d R d soit de classe C 1 (i.e. : toutes les composantes f 1,, f d de f sont de classe C 1 ). Alors le problème de Cauchy (1.4) admet une unique solution maximale. Théorème 1.6 (de Cauchy Lipschitz) Si de plus pour tout T > 0 il existe une constante C(T) telle que f (t, y) C(T) y, t [ T, T], y R d, alors la solution maximale est définie sur R. 2 Méthodes de résolution des équations différentielles 2.1 Equations linéaires d ordre 1 On considère une équation du type (2.1) y (t) + a(t)y(t) = b(t). où a et b sont des fonctions continues de R à valeurs dans R. Ce type d équation est appelé equation différentielle linéaire du premier ordre. Proposition 2.1 Les solutions générales de (2.1) sont toutes de la forme y = ỹ + z où ỹ est une solution particulière de (2.1) et où z est une solution du problème homogène associé : (2.2) z (t) + a(t)z(t) = 0. 51

Preuve Si ỹ est une solution de (2.1), alors pour toute autre solution y de (2.1) on a en soustrayant, y (t) + a(t)y(t) = b(t) = ỹ (t) + a(t)ỹ(t). et donc la différence z = y ỹ est solution de (2.2) On commence par résoudre le problème homogène : Résolution de (2.2) Supposons que z soit une solution de (2.2), alors on a z (t) = a(t)z(t). Soit A une primitive de a, si on pose u(t) = exp(a(t))z(t), alors u (t) = ( z (t) + a(t)z(t) ) exp(a(t)) = 0. On en déduit que u est constante sur tout intervalle où elle est définie et donc qu il existe λ R telle que (2.3) z(t) = λ exp( A(t)). Solution particulière de (2.1) On utilise la méthode de la variation de la constante : on cherche y sous la forme (2.4) y(t) = λ(t) exp( A(t)). En remplaçant dans (2.1), on obtient λ (t) = b(t) exp(a(t)). On pose λ(t) = t c(s) exp(a(s) ds, une solution particulière de (2.1) est alors donnée par (2.4). Exemple : 0 (2.5) (t 1)y (t) + ty(t) = t 2 1 Le problème homogène s écrit z (t) + t z(t) = 0. t 1 Notons que cette équation n est bien définie que pour t 1, on va donc chercher des solutions de l équation différentielle sur les intervalles ], 1[ et ]1, + [. On a bien un problème de la forme (2.2) avec a(t) = t/(t 1). On calcule une primite de a en écrivant a(t) = t 1 t 1 + 1 t 1 = 1 + 1 t 1, 52

On prend A(t) = t + ln t 1. Les solutions de l équation homogènes sont donc de la forme z(t) = λ exp( t) t 1. Il reste à trouver une solution particulière de (2.5). En fait, ici on voit que y(t) = t 1 est solution. Les solutions de (2.5) sont donc données par y(t) = t 1 + λ exp( t) t 1, t 1. 2.2 Équations non-linéaires du premier ordre Équations à variables séparables. Ce sont les équations qui peuvent se mettre sous la forme (2.6) y (t)g(y(t)) = h(t). Soit alors G une primitive de g et H une primitive de h. L équation (2.6) s écrit donc d dt G(y(t)) = d dt H(t). La fonction t G(y(t)) H(t) est donc constante et il existe λ telle que (2.7) G(y(t)) = H(t) + λ. Il reste alors à résoudre (2.7) pour obtenir les solutions de (2.6). Exemple : L équation différentielle (2.8) y (t) = (1 + t)(1 + y 2 (t)). est équivalente à y (t) 1 + y 2 (t) = 1 + t, qui est bien de la forme (2.6) avec g(y) = 1/(1 + y 2 ) et h(t) = 1 + t. Prenons les primitives G(y) = arctan(y) et H(t) = t + t 2 /2. Pour toute solution de (2.8) il existe une constante λ telle que arctan(y(t)) = λ + t + t2 2. Pour que cette équation admette une solution il faut se placer sur un itervalle sur lequel λ+t+ t2 2 ] π/2, π/2[. Dans ce cas les solutions sont données par y(t) = tan λ + t + t2 2. 53

Équations homogènes. Ce sont les équations qui peuvent se mettre sous la forme y(t) (2.9) y (t) = f t. Où f est une fonction continue. On pose maintenant x(t) = y(t)/t. Tout d abord on remarque que si x 0 est tel que f (x 0 ) = x 0, alors y(t)/tx 0 ( x(t) = x 0 ) est solution de (2.9). Le solution de ce type sont appelées solutions singulières. On se restreint à un intervalle sur lequel f (x) x ne s annule pas. On calcule L équation (2.9) est alors équivalente à x (t) = y (t) t y(t) t 2. x (t) = 1 ( f (x) x) t qui est une équation différentielle à variables séparables. Exemple : L équation différentielle (2.10) t 2 y (t) y 2 (t) + 2t 2 = 0 est équivalente à 2 y(t) y (t) = 2 + t. On a donc une équation homogène de type (2.9) avec f (x) = x 2 2. Pour déterminer le solutions songumlières on résoud f (x) = x soit x 2 x 2 = 0 dont les racines sont x = 1 et x = 2. Les solutions singulières de (2.10) sont donc y(t) = t, et y(t) = 2t. Pour les autres solutions, on aboutit à l équation à variables séparées x (t) x 2 x 2 = 1 t, 54

En écrivant 1 x 2 x 2 = 1 1 3 x 2 1 x + 1 Une primitive de 1/(x 2 x 2) est donnée par G(x) = 1 3 ln x 2 x + 1. On obtient donc 1 3 ln x(t) 2 x(t) + 1 = λ 1 t 2. Qu on résoud différemment selon les cas x < 1, 1 < x < 2 et x > 2. Equations de type Bernoulli Elles sont du type (2.11) y (t) = a(t)y(t) + b(t)y m (t) où m est un réél non nul quelconque, et a et b sont des fonctions continues. On remarque 1) si m > 0 : si y s annule en un point de son itervalle de définition alors y(t) = 0 est l unique solution ; 2) si m < 0 alors l équation n est définie que si y(t) 0. On peut donc supposer que y ne s annule pas. On pose alors Cette fonction vérifie l équation différentielle z (t) = (m 1) y (t) y m z(t) = y m+1 (t) = (m 1)a(t)z + b(t) et on s est ramené à une équation différentielle linéaire de degré 1. Exemple : L équation différentielle (2.12) y (t) = y(t) + t y(t). La fonction y(t) = 0 est solution. Pour toute autre solution on a y(t) > 0, pour les déterminer on pose z = y. On obtient z (t) = 1 2 z(t) + t 2. L équation homgène se résoud en z(t) = λ exp(t/2). On cherche ensuite une solution particulière sous la forme z(t) = λ(t) exp(t/2), on a alors λ (t) = exp( t/2) t 2, qui s intègre en λ(t) = λ 0 exp( t/2)(2 + t). D où z(t) = 2 t + λ 0 exp(t/2) et y(t) = 2 t + λ 0 exp(t/2), est solution sur tout intevalle sur lequel la fonction sous la racine est positive. 55

Equations de type Riccati Elles sont du type (2.13) y (t) = a(t)y 2 (t) + b(t)y(t) + c(t). On n a pas de méthode générale mais si on connaît une solution particulière de (2.13) notée y 0 (t), alors on peut chercher les autres solutions sous la forme y(t) = y 0 (t) + z(t), on a alors y 0 (t) + z (t) = a(t)(y 2 0 (t) + 2y 0(t)z(t) + z 2 (t)) + b(t)(y 0 (t) + z(t)) + c(t) et comme y 0 (t) = a(t)y2 0 (t) + b(t)y 0(t) + c(t), on a +z (t) = a(t)z 2 (t) + (b(t) + a(t)2y 0 (t))z(t) et on reconnaît une équation différentielle de Bernoulli. Exemple : (2.14) y (t) = (y(t) t) 2 La fonction y 0 (t) = t + 1 est une solutipon particulière est si on pose y(t) = t + 1 + z(t) alors z (t) = z 2 + 2z, qui est de type Bernoulli avec m = 2. On a alors z(t) = 0 comme solution et pour déterminer les autres asolutions, on pose u(t) = 1/z(t). On a u (t) = u 1 Cette équation linéaire se résoud en u(t) = 1 + λ exp(t). Soit z(t) = 1/(λ exp(t) 1). Notons que si λ 0 > 0, z n est définie que sur R \ { ln λ}. Finalement y(t) = 1 + t + 1 λ exp(t) 1. 2.3 Équations linéaires à coefficients constants On considère tout d abord des équations sans second membre de degré m : (2.15) y (m) (t) + a m 1 y (m 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) = 0. On cherche des solutions à valeurs complexes. Proposition 2.2 Les solutions à valeurs complexes de (2.15) forment un C-espace vectoriel de dimension m. Elles sont données par la formule générale (2.16) y(t) = p α i λ i, j t j 1 exp(r i t), i=0 j=1 56

où r 1,, r p sont les racines du polynôme et α 1,, α p leurs multiplicités. Autrement dit P(x) = x m + a m 1 x m 1 + + a 1 x + a 0 P(x) = p (x r i ) α i. i=1 Preuve Il est clair que si y 1 et y 2 sont deux solutions alors λy 1 + µy 2 est aussi une solution. Ainsi l ensemble des solutions est bien un espace vectoriel. Notons E cet espace vectoriel. Pour voir que E est de dimension m, on met l équation (2.16) sous la forme système différentiel de degré 1 mais de taille m : on pose z = (y, y,, y (m 1) ), on a (2.17) z (t) = Lz(t), où L est la matrice L = 0 1 0 0 0 0 1 0 0............ 0 0 1 0 a 0 a 1 a m 1 D après le Théorème 1.6, à toute donnée initiale z 0 = (z 0 0,, z0 m 1 ) correspond une unique solution de (2.17). L application Φ : E R m, y (y(0), y (0),, y (m 1) (0)). est donc une application linéaire bijective. Donc dim E = dim R m = m. Pour finir on vérifie facilement que (2.16) fournit un espace vectoriel de dimension m de solutions. Équations linéaires à coefficients constants avec second membre On considère tout d abord des équations de degré m avec second membre : (2.18) y (m) (t) + a m 1 y (m 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) = b(t) Proposition 2.3 Toute solution de (2.15) est la somme d une solution particulière de (2.18) et d une solution (2.15). En porticulier d après la Proposition 2.2, les solutions de (2.18) forment un espace affine de dimension m. 57

Second membres de types particuliers 2. Si b est de la forme b(t) = exp(st)q(t) où Q une fonction polynômiale de degré q. Notons α la multiplité de s comme racine de P. On cherchera une solution particulière de (2.18) sous la forme y(t) = exp(st)r(t) où R est un polynôme de degré inférieur à q + α. En particulier si s n est pas racine de P alors on pourra chercher R de degré inférieur ou égal à q. 58