Calcul Formel et Numérique

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1 Cours de calcul numérique p. 1/67 Calcul Formel et Numérique INFO-F-205 Gianluca Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212

2 Cours de calcul numérique p. 2/67 Table de matières Introduction au calcul numérique. Analyse d erreurs. Résolution des systèmes linéaires. Interpolation. Curve fitting. Résolution numérique des équations différentielles ordinaires. Résolution des équations non linéaires.

3 Cours de calcul numérique p. 3/67 Arithmétique et calcul numérique Il fait combien le calcul ? >> format long e >> ans = e+000 >> ans+0.2 ans = e+000 >> ans+0.2 ans = e+000

4 Cours de calcul numérique p. 4/67 Arithmétique et calcul numérique Il fait combien le calcul 2 2 2? >> sqrt(2)*sqrt(2)-2 ans = e-016

5 Cours de calcul numérique p. 5/67 Arithmétique et calcul numérique Il fait combien le calcul 1 3 (4/3 1)? >> a=4/3 a = >> b=a-1 b = >> c=1-3*b c = e-016

6 Cours de calcul numérique p. 6/67 Arithmétique et calcul numérique Supposons que je somme un nombre positif à 1 un milliard de fois. Est-ce que le résultat sera plus grand que 1? format long x=1; delta=eps/2; delta>0 no_iter=1e8; for (i=1:no_iter) x=x+delta; end x x>1 pause (x+delta*no_iter)>1

7 Cours de calcul numérique p. 7/67 Erreurs Chaque analyse numérique doit se confronter avec une certaine dose d erreurs. Qu est-ce qu une erreur? D où viennent les erreurs? Quelles conséquences ont-elles? Comment analyser leurs effets?

8 Cours de calcul numérique p. 8/67 Nombre approché Un nombre approché ˆx est un nombre légèrement différent du nombre exact x et qui dans le calcul remplace ce dernier. Si l on sait que ˆx < x, ˆx est dit valeur approchée du nombre x par défaut; si ˆx > x, ˆx est une valeur approchée par excès. Soit x = 2. Le nombre ˆx = 1.41 est une valeur approchée par défaut, alors que le nombre ˆx = 1.42 est une valeur approchée par excès. Si ˆx est une valeur approchée de x on note ˆx x

9 Cours de calcul numérique p. 9/67 Erreur absolue Définition (Erreur absolue). On appelle erreur absolue δ x d un nombre approché ˆx la valeur absolue de la différence entre le nombre exact x correspondant et le nombre approché donné δ x = ˆx x. Définition (Écart relatif). L écart relatif d un nombre approché ˆx est le rapport ρ x = ˆx x x. Cette relation peut aussi être écrite sous la forme ˆx = x(1 + ρ x ).

10 Cours de calcul numérique p. 10/67 Erreur relative Définition (Erreur relative). L erreur relative ε x d un nombre approché ˆx est la valeur absolue de l écart relatif, c.-à-d. le rapport de l erreur absolue δ x de ce nombre et du module du nombre exact correspondant (si x 0) ε x = ρ x = ˆx x x = δ x x L erreur relative fournit une information plus pertinente sur la grandeur réelle de l erreur. Cependant, elle n est définie que pour x 0. Définition (Borne supérieure relative.). La borne supérieure d erreur relative u d un nombre approché ˆx donné est un nombre quelconque supérieur ou égal à l erreur relative de ce nombre ε x = ρ x u

11 Cours de calcul numérique p. 11/67 Sources d erreurs: erreurs de modélisation Les erreurs commises dans les problème mathématiques peuvent être en principe classées en cinq catégories. Les deux premiers types d erreur sont regroupés sous le nom d erreurs de modélisation tandis que les trois derniers sont appelés erreurs numériques. Erreurs de modèle: ces erreurs sont dues au fait que les modèles mathématiques sont plus ou moins idéalisés, ce qui donne lieu à plusieurs erreurs. Un exemple est l erreur du modèle du pendule qui ne tient pas en considération la force de friction. Erreurs de mesure: ces erreurs sont dues à la présence dans le modèle mathématique de paramètres numériques dont les valeurs ne peuvent être déterminées qu approximativement suite à des mesures expérimentales. Telles sont toutes les constantes physiques, comme, par exemple, la longueur l dans le modèle du pendule.

12 Cours de calcul numérique p. 12/67 Sources d erreurs: erreurs numériques Erreurs d approximation ou de troncature: ces sont les erreurs associées aux processus infinis en analyse mathématique (par exemple les séries numériques). e = ! + 1 2! + 1 3! +... Erreurs d arrondi: ce sont les erreurs associées au système de numération. Elles sont dues au fait qu un ordinateur ne peut prendre en considération qu un nombre fini de chiffres. Erreurs de propagation et génération: ces sont les erreurs qui apparaissent dans le résultat d une opération comme conséquence des erreurs des opérandes. Dans ce qui suit nous allons nous intéresser aux deux derniers types d erreur.

13 Cours de calcul numérique p. 13/67 Représentation des nombres en machine Un ordinateur ne peut représenter qu un sous-ensemble fini de l ensemble des nombres réels. Toute opération d un ordinateur est entachée par des erreurs d arrondi. Notations adoptées pour représenter les nombres réels sur ordinateur: 1. Système à virgule fixe. 2. Système à virgule flottante.

14 Cours de calcul numérique p. 14/67 La notation à virgule fixe Soit x un nombre réel. Sa représentation en virgule fixe est {[a n a n 1...a 1 a 0,a 1 a 2...a m ], b, s} où b N, b 2 est appelée la base, s {0, 1} est appelé le signe, a i N, 0 a i < b, i = m,...,n sont les symboles, m désigne le nombre de chiffres après la virgule, n + 1 est le nombre de chiffres avant la virgule, et la valeur x R est ( n ) x = ( 1) s a k b k. k= m Si s = 0, x est un nombre positif, autrement il est un nombre négatif.

15 Cours de calcul numérique p. 15/67 Exemples Soient b = 10, n = 3, m = 6, s = 0. Alors l écriture à virgule fixe [0030, ] désigne le réel x = = l écriture [0000, ] désigne le réel x = Soient b = 16, n = 3, m = 6, s = 0. Alors l écriture [0030, ] désigne le réel = l écriture [0000, ] désigne le réel x =

16 Cours de calcul numérique p. 16/67 Symboles et nombres Il est important de remarquer la différence qui existe entre symboles et nombres. [111, 101] nombre si et seulement si b = 10, autrement [111, 101] nombre pour b = 2 [111, 101] nombre pour b = 3 N.B: Le nombre 0.1 a une représentation finie en base b = 10 mais il a une représentation infinie périodique en base b = 2.

17 Cours de calcul numérique p. 17/67 Bases Les ordinateurs emploient souvent trois bases: b = 10 système décimal symboles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 affichage des résultats b = 2 système binaire symboles: 0, 1 (bits) calcul. b = 16 système hexadécimal symboles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,E, F représentation compacte des binaires par quadruplets.

18 Cours de calcul numérique p. 18/67 Du binaire à l hexadécimal A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F

19 Cours de calcul numérique p. 19/67 Propriétés La chaîne de caractères nécessaire à la représentation d un même nombre est autant plus longue que la base est petite. Les nombres en virgule fixe sont équirépartis le long de la droite réelle. L écart entre deux nombres consécutifs réels qui peuvent être représentés en notation à virgule fixe est égal à b m. L utilisation de la virgule fixe limite considérablement les valeurs maximales et minimales des nombres représentés par l ordinateur. Dans le cas binaire, le nombre plus grande que peut être représenté en notation fixe est prés de 2 n+1 1 où n + 1 est le nombre de cases avant la virgule.

20 Cours de calcul numérique p. 20/67 Notation en virgule flottante Étant donné un nombre réel non nul x, sa représentation en virgule flottante est {[a 1 a 2...a t ], e, b, s} où b N, b 2 est appelée la base, e Z, L e U est appelé l exposant, s {0, 1} est appelé le signe, t est le nombre de chiffres significatifs, a i N, 0 < a 1 < b, 0 a i < b, i = 2,...,t (notation normalisée), la quantité m N m = m[x] = t a i b t i = a 1 b t 1 + a 2 b t a t i=1 est appelée mantisse.

21 Cours de calcul numérique p. 21/67 Notation en virgule flottante (II) Nous ne considérons que le cas normalisé, c.-à-d. a 1 > 0 qui implique la relation suivante b t 1 m b t 1 La notation {[a 1 a 2...a t ], e, b, s} est utilisée pour encoder le nombre réel x = ( 1) s b e t a i b i = ( 1) s mb e t i=1

22 Cours de calcul numérique p. 22/67 Exemples La notation à virgule flottante {[3, 4], e = 1, b = 10, s = 0} désigne le réel x = ( 1) s b e t a i b i = 10 1 ( ) = = 3.4 i=1 qui peut être obtenu aussi par [ t x = ( 1) s mb e t = i=1 a i b t i ]b e t = = 3.4 La notation {[3, 4], e = 1, b = 10, s = 1} désigne le réel x = = La notation {[3, 4], e = 1, b = 16, s = 1} désigne le réel x = ( 1) ( ) =

23 Cours de calcul numérique p. 23/67 Propriétés nombres à virgule flottante Notons par F(b, t, L, U) l ensemble des nombres réels qui sont représentés par une notation à virgule flottante en base b, comportant t chiffres significatifs et dont l exposant varie dans l intervalle [L, U]. L ensemble F ne contient pas le zéro si la représentation est normalisée. L ensemble F des nombres à virgule flottante est un sous-ensemble fini de R F(b, t, L, U) R Une relation intéressante est la suivante x F(b, t, L, U) b (L 1) x b U (1 b t )

24 Cours de calcul numérique p. 24/67 Propriétés nombres à virgule flottante (II) On peut montrer que card(f) = 2(b 1)b t 1 (U L + 1) où card(e) dénote le cardinal d un ensemble E. A la différence des nombres à virgule fixe, les nombres réels qui appartienent à l ensemble F ne sont pas équirépartis le long de la droite réelle. Donc, il est important d évaluer l écart entre deux nombres consécutifs.

25 Cours de calcul numérique p. 25/67 Exemple: F(10, 1, 1, 1) [a 1 ] = m e x = mb e t Notons que card(f) = 2(b 1)b t 1 (U L + 1) = 2(9)10 0 (3) = 54 (positifs et négatifs confondus) et que l écart entre deux nombres consécutifs est égal à b e t.

26 Cours de calcul numérique p. 26/67 function r=flo2real(m,e,b,s) Fonction MATLAB % flo2real: from Floating Point notation to % real notation % % FLO2REAL(M,E,B,S) % M - [1,T] vector of significant digits % E - [1,1] exponent % B - [1,1] base % S - [1,1] signum: 0 for positive, 1 for negative % % Returns R [1,1] real number in decimal format

27 Cours de calcul numérique p. 27/67 >> flo2real([3 4],1,10,0) ans = >> flo2real([3 4],-1,10,0) ans = >> flo2real([3 4],-1,16,1) ans = Exemple MATLAB

28 Cours de calcul numérique p. 28/67 function [F,card]=floset (b,t,l,u) Fonction MATLAB % floset: returns the set of real numbers represented % by the floating point notation % % FLOSET(B,T,L,U) % b- [1,1] base % t- [1,1] number of significant digits % L- [1,1] lower bound exponent % U- [1,1] upper bound exponent % % Returns: % F- [card,1] set of real numbers represented by the normalised % floating point notation % % card: cardinality of the set F

29 Cours de calcul numérique p. 29/67 Exemple MATLAB Les nombres à virgule flottante ne sont pas équirépartis le long de la droite réelle (s_floset.m). >> b=10; t=1; L=-1;U=1; >> [f,c]=floset(b,t,l,u); >> plot(f,zeros(size(f)), * ) 1 b=10 t=1 L= 1 U=

30 Cours de calcul numérique p. 30/67 Distance relative Nous définissons la distance relative entre 2 nombres consécutifs x i F et x i+1 F par η(x i ) = x i+1 x i x i Cette distance peut être dérivée en fonction des paramètres du système de notation si x i+1 et x i ont le même exposant η(x i ) = x i+1 x i x i = m[x i+1]b e t m[x i ]b e t m[x i ]b e t = b e t m[x i ]b e t = 1 m[x i ], où m[x i ] est la mantisse du nombre réel x i. Notons que le résultat est valable aussi si x i+1 a un exposant plus grand que x i. Dans ce cas x i+1 = b t 1 b e+1 t = b e, x i = (b t 1)b e t = b e b e t et donc x i+1 x i = b e t

31 Cours de calcul numérique p. 31/67 Distance relative (II) Puisque b t m b t 1 b t 1 m b1 t, on obtient 1 b ǫ x i+1 x i x i ǫ, où ǫ = b 1 t est dit l epsilon machine (eps en MATLAB). Considérons le nombre x i = 1. Puisque m = b t 1 Donc x i = mb e t = b t 1 b e t = b e 1 = 1 e = 1 x i+1 x i x i = x i+1 x i = b 1 t = ǫ Il s ensuit que ǫ est la distance entre x i = 1 et le prochain nombre réel x i+1 = 1 + ǫ qui appartient à F.

32 Cours de calcul numérique p. 32/67 Exemple: F(10, 1, 1, 1) (II) [a 1 ] = m[x i ] e x i η(x i ) = x i+1 x i / x i ( )/0.01= ( )/0.02=1/ ( )/0.08=1/ ( )/0.09=1/ ( )/0.1= ( )/0.8=1/ (1-0.9)/0.9=1/ (2-1)/1= (3-2)/2=1/ (9-8)/8=1/ Comme attendu, la distance relative est bornée entre b t = 0.1 et b 1 t = 1.

33 Phénomène du wobbling Soit F(10, 1, 1, 1). Nous traçons les distances relatives η(x i ) en fonction des réels x i F, Relative Distance Floating point numbers Conformément aux formules théoriques, les bornes inférieure et supérieure sont respectivement b t = 0.1 et b 1 t = 1. Le phénomène d oscillation des distances relatives η(x i ) est connu sous le nom de wobbling precision. Il est d autant plus prononcé que la base b est grande. C est une raison pour laquelle on préfère employer de petites bases dans les ordinateurs. Cours de calcul numérique p. 33/67

34 Cours de calcul numérique p. 34/67 Espace mémoire et représentation Pour un espace mémoire fixé à l avance, le système à virgule flottante permet la représentation d un plus grand intervalle des nombres. Considérons une notation binaire (b = 2) à virgule flottante qui utilise 1 bit pour le signe, t = 23 bits pour la mantisse et 8 bits (incluant le signe) pour l exposant. La valeur absolue la plus grande parmi les x F est x maxfl 2 U = 2 (27 1). Pour avoir une valeur maximale comparable, le système à virgule fixe devrait avoir un nombre n + 1 de cases (seulement pour la partie entière) tel que x maxfix 2 n+1 1 = 2 (27 1). Au moins (n + 1) = 127 bits sont nécessaires pour obtenir un intervalle de valeurs comparable à celui du système en virgule flottante.

35 Cours de calcul numérique p. 35/67 Représentation machine des réels Considérons un ordinateur qui utilise la notation à virgule flottante avec base b, t chiffres significatifs et L e U. Dans un tel ordinateur, seul un sous-ensemble F(b, t, L, U) R de nombres réels peut être représenté et manipulé. Par conséquent, nous sommes confrontés au problème de représentation d un nombre réel quelconque x R qui n appartient pas à F. L approche typique consiste à arrondir x de façon à ce que le nombre arrondi appartienne à F.

36 Cours de calcul numérique p. 36/67 Représentation machine des réels (II) Trois situations peuvent se produire 1. x > b U (1 b t ): le nombre x ne peut être représenté par le système de notation et on dit que nous sommes dans une situation d overflow. L overflow provoque normalement une interruption du programme par le système. 2. x < b L 1 : dans ce cas on parle d underflow. D habitude l underflow est géré en remplaçant x par b L 1 x b U (1 b t ) et x F: dans ce cas, en prenant un nombre des chiffres significatifs infini, le nombre x F peut être représenté de la manière suivante où e [L, U]. {[a 1 a 2...a t a t+1 a t+2...], e, b, s}

37 Cours de calcul numérique p. 37/67 Représentation machine des réels (III) Dans le troisieme cas, deux transformations de x sont possibles: Transformation d arrondi: x fl(x) où fl(x) F(b, t, L, U) a comme notation en virgule flottante fl(x) = {[a 1 a 2...a t], e, b, s} et a t = { at si a t+1 < b/2 a t + 1 si a t+1 b/2

38 Cours de calcul numérique p. 38/67 Représentation machine des réels (IV) Transformation de troncature: x tr(x) où tr(x) F(b, t, L, U) a comme notation en virgule flottante tr(x) = {[a 1 a 2...a t ], e, b, s}

39 Cours de calcul numérique p. 39/67 L erreur d arrondi Considérons un ordinateur utilisant une notation F(b, t, L, U). Soit x R un nombre réel quelconque et fl(x) F la représentation machine à virgule flottante de x. Désignons par ε x son erreur relative ε x = fl(x) x x. Nous allons évaluer la borne supérieure de l erreur relative d arrondi. Soient x i F(b, t, L, U) et x i+1 F(b, t, L, U) les 2 nombres consécutifs à virgule flottante tels que x i x x i+1.

40 Cours de calcul numérique p. 40/67 L erreur d arrondi (II) Puisque fl(x) x 1 2 x i+1 x i et x x i, il vient alors que ε x ρ x = fl(x) x x 1 2 x i+1 x i x i 1 2 b1 t = 1 2 ǫ = u où u est dite la précision machine. On obtient ˆx = fl(x) = x(1 + ρ x ) où ε x = ρ x u est dit l erreur d arrondi. La précision machine donne l ordre de grandeur de la meilleure précision atteignable sur un ordinateur!

41 Cours de calcul numérique p. 41/67 Standard IEC/IEEE Nécessité d éviter une prolifération de systèmes de représentation, qui différent en base, nombre de chiffres significatifs et exposants. Le standard le plus répandu est le standard connu sous le nom IEC 559. Ceci a été développé par le IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) en 1985 et approuvé en 1989 par le IEC (International Electronic Commission). Le standard spécifie, entre autres, les opérations arithmétiques de base, la racine carrée, le reste, la conversion entre représentation décimale et binaire, le comportement suite à un overflow/underflow Le but est d éviter les incompatibilités entre ordinateurs différents.

42 Cours de calcul numérique p. 42/67 Codages spéciaux Le standard IEEE définit aussi les codages spéciaux pour les situations exceptionnelles qui ne sont pas couvertes par le codage standard. Un exemple sont les non-nombres (en abrégé NaN pour Not a Number) qui correspondent entre autres au résultat de la division 0/0. Valeur Exposant Mantisse MATLAB 0 L U f f U fff NaN U fff

43 Cours de calcul numérique p. 43/67 Formats à simple précision Supposons qu un ordinateur dispose de N cases mémoires pour stocker un nombre. Il y a typiquement sur un ordinateur deux formats disponibles pour les nombres à virgule flottante. Précision simple: N = 32 bits répartis comme suit: 1 bit pour le signe 8 bits pour l exposant (en incluant le signe de l exposant) 23 bits pour la mantisse

44 Cours de calcul numérique p. 44/67 Formats à double précision Précision double: N = 64 bits répartis comme suit: 1 bit pour le signe 11 bits pour l exposant (en incluant le signe de l exposant) 52 bits pour la mantisse dans la notation binaire normalisée, le premier bit est toujours égal à 1. Ceci permet d eviter de le stocker. Donc avec 52 bit on a le même pouvoir de représentation de t = 53. l epsilon machine est ǫ = b 1 t = 2 52 = En Matlab la variable eps représente cette valeur. la double précision en base b = 2 corresponde à une précision à 16 chiffres significatifs dans le cas décimal (b = 10).

45 Cours de calcul numérique p. 45/ }{{} 4 >> format hex >> pi ans = fb54442d18 Réprésentation MATLAB La représentation binaire de π en Matlab est donc 0000 }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} f 1011 }{{} b 0101 }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} d 0001 }{{} }{{} 8 }{{} } {{ } } {{ } signe exposant mantisse où

46 Cours de calcul numérique p. 46/67 Réprésentation MATLAB (II) 0 est le bit du signe (positif) les 11 bits représentent l exposant (L = 1021, U = 1024) les 52 bits restants {a 2,...,a t } = sont les 52 chiffres significatifs. Notons que il faut faire préceder ces bits par un bit additionnel a 1 = 1 pour avoir l ensemble des t = 53 chiffres significatifs. La valeur de l exposant est = = 2 La valeur de la quantité t i=1 a ib i est La valeur de la quantité ( 1) s b e t i=1 a ib i =

47 Cours de calcul numérique p. 47/67 Réprésentation MATLAB (III) MATLAB utilise 11 bits pour l exposant. Au total, 2 11 = 2048 valeurs dans l intervalle [0, 2047] sont possibles et elles sont reparties de la manière suivante: U + 1 = 1025 quand e = Il est utilisé pour Inf et NaN. U = 1024 quand e = Le nombre reel le plus grand en valeur absolu et appelé realmax et a valeur L = 1021 quand e = Le nombre reel le plus petit en valeur absolu et appelé realmin et a valeur L 1 = 1022 quand e = Il est utilisé pour représenter le zéro

48 Cours de calcul numérique p. 48/67 Précision vs. domaine Domaine: déterminé par le nombre de bits assignés à 1. l exposant 2. la base. Précision: déterminée par le nombre de bits assignés aux 1. chiffres significatifs 2. la base. Pour un nombre fixe de cases mémoires: en échangeant bits de la mantisse contre bits de l exposant, nous sacrifions la précision au bénéfice de l amplitude du domaine (et vice-versa). en augmentant la base, nous élargissons le domaine mais nous assistons par conséquent à un phénomène de wobbling plus important (et vice-versa) (Exemple base b = 16 pour le système IBM 370).

49 Cours de calcul numérique p. 49/67 Nous avons vu comme chaque représentation machine d un réel implique une approximation et introduit par conséquence, une erreur relative ε dite d arrondi. Ceci est valable aussi pour les données d un problème numérique x = F(d). En appliquant la formule de l erreur d arrondi on obtient fl(d) = d(1 + ρ d ) avec ρ d u = 1 2 b1 t. La propagation des erreurs d arrondi des données pendant la résolution d un problème numérique engendre deux types d erreur: 1. erreur de propagation due au problème, 2. erreur de génération due à l algorithme.

50 Cours de calcul numérique p. 50/67 Approximation de Taylor d ordre 1 Si la fonction F admet une dérivée d ordre 1 dans un voisinage de x de taille δ on peut écrire la fonction F de la manière suivante: où err=o(δ) c.-à-d. F(x + δ) = F(x) + F (x)δ + err lim δ 0 err δ = 0 Le développement limité d ordre 1 consiste à approcher F(x + δ) par F(x + δ) F(x) + F (x)δ

51 Cours de calcul numérique p. 51/67 L erreur de propagation Considérons le problème mathématique bien posé x = F(d) où d représente les données du problème. Supposons qu un ordinateur avec notation à virgule flottante F(b, t, L, U) est utilisé pour résoudre le problème. Pour ce faire, les données d doivent être introduites et codées par la machine. Ceci engendre une approximation des données par ˆd = fl(d) = d(1 + ρ d ) où d R et ˆd F.

52 Cours de calcul numérique p. 52/67 L erreur de propagation (II) En appliquant la fonction F( ) aux données ˆd, on obtient F( ˆd) = F (d(1 + ρ d )) = F(d + dρ d ) F(d) + F (d)dρ d = x ( 1 + F ) (d)dρ d F(d) où ρ d est l écart relatif dû à l arrondi des données et κ est le conditionnement du problème. = x(1 + κρ d ) Bien que F( ˆd) R il pourrait se produire que F( ˆd) F(b, t, L, U). Dans ce cas l ordinateur renvoie comme résultat final de l évaluation ˆx = fl(f( ˆd)) = x(1 + κρ d )(1 + ρ F( ˆd) ) où ρ F( ˆd) désigne l erreur d arrondi de F( ˆd) et κρ d est défini comme l erreur de propagation. si le conditionnement κ > 1, le calcul de la solution par le biais d une machine a comme conséquence l agrandissement de l erreur initiale ρ d.

53 Cours de calcul numérique p. 53/67 δ d d d x erreur propagation δ x F( d) x erreur arrondi

54 Cours de calcul numérique p. 54/67 L erreur d annulation Un cas particulier d erreur de propagation est l erreur d annulation. Ceci se vérifie pendant la soustraction de deux termes très rapprochés. Considérons une représentation en virgule flottante avec base b = 10 et t = 4 chiffres significatifs. Soit x = F(d) = d 1 le problème à résoudre et d = = la donnée. La solution exacte est x = Après le codage du nombre réel d en notation machine (t = 4), on obtient ˆd = =

55 Cours de calcul numérique p. 55/67 L erreur d annulation (II) L erreur absolue relative de la donnée approchée est ˆd d ε d = d = Cette quantité est petite et peut être considérée comme négligeable. En résolvant le problème à l aide de la machine, on obtient la solution approchée ˆx = = F(b, t, L, U). L erreur absolue relative de la solution approchée est ε x = F( ˆd) x x = donc, cette quantité n est pas négligeable;

56 Cours de calcul numérique p. 56/67 L erreur d annulation (III) l erreur d annulation est égale au produit du conditionnement du problème par l erreur relative d entrée ε x = κ(d)ε d F (d) d F(d) ε d = d d 1 ε d = ε d = 1 50.

57 Cours de calcul numérique p. 57/67 Considérations Le fait qu un problème soit bien/mal conditionné est une propriété indépendante de l algorithme numérique choisi pour résoudre le problème. L erreur de propagation ne peut pas être évitée en changeant la méthode numérique. Ensuite nous allons introduire l erreur de génération qui, au contraire de l erreur de propagation, dépend de la méthode numérique.

58 Cours de calcul numérique p. 58/67 L erreur de génération Supposons que le problème x = F(d) soir résolu par un algorithme décomposable en une série d étapes: x 1 = F 1 (d), x 2 = F 2 (x 1 ), x 3 = F 3 (x 2 ),...,x = F n (x n 1 ). Soit d R la donnée codée par la machine en ˆd = d(1 + ρ d ). Après la première étape x 1 = F 1 (d), l algorithme génère ˆx 1 = x 1 (1 + κ 1 ρ d )(1 + ρ 1 ) = x 1 (1 + ρ c x 1 ) où κ 1 est le conditionnement de F 1, ρ 1 est l erreur d arrondi commise pour stocker le résultat de la première étape et ρ c x 1 = (κ 1 ρ d + ρ 1 + κ 1 ρ d ρ 1 ) (κ 1 ρ d + ρ 1 ). en négligéant les termes infiniments petits d ordre supérieur.

59 Cours de calcul numérique p. 59/67 L erreur de génération (II) à chaque étape la machine exécute le calcul et transforme le résultat en virgule flottante. Ceci engendre à chaque étape une erreur additionnelle d arrondi qui va se propager dans les étapes successives. A la deuxième étape on obtient ˆx 2 = x 2 (1 + κ 2 ρ c x 1 )(1 + ρ 2 ) x 2 (1 + ρ 2 + κ 2 ρ 1 + κ 2 κ 1 ρ d ) D une manière récursive on déduit que à la n-ième étape ˆx x(1 + err. arr err. prop {}}{ { }} { ρ n + κ n κ n 1 ρ n κ n...κ 2 ρ } {{ } 1 + κ n...κ 1 ρ d ) erreur génération

60 Cours de calcul numérique p. 60/67 δ d d d x erreur propagation erreur generation δx x erreur arrondi

61 Cours de calcul numérique p. 61/67 Les trois composantes de l erreur L erreur finale est composée de trois parties: l erreur d arrondi, l erreur de propagation (indépendante de l algorithme) et l erreur de génération (liée à la forme de la méthode). ρ d F 1 κ 1 ρ 1 F 2 κ 2 ρ 2 F n-1 κ n-1 ρ n-1 F n κ n { propagation { génération ρ n { arrondi

62 Cours de calcul numérique p. 62/67 Exemple Considérons un système de représentation en virgule flottante avec base b = 10 et t = 3 chiffres significatifs. Soit x = F(d) = e d 1 le problème à résoudre et d = = la donnée. La solution exacte est x = = F. La donnée garde la même valeur après le codage puisque d = ˆd F. Considérons deux algorithmes différents pour résoudre ce même problème: le premier algorithme effectue le calcul en une seule étape (c.-à-d. sans stockage intermédiaire) le deuxième utilise deux étapes x = F 1 (d) = F(d), x 1 = F 1 (d) = e d, x 2 = F 2 (x 1 ) = x 1 1.

63 Cours de calcul numérique p. 63/67 Exemple (II) Les deux algorithmes sont identiques d un point de vue mathématique, ils produisent deux résultats numériques différents. Le premier algorithme fournit la solution exacte ˆx = x. Le deuxième algorithme fournit ˆx 1 = fl(f 1 ( ˆd)) = fl(e ˆd) = fl(1.0124) = 1.01 = , ˆx = F 2 (ˆx 1 ) = ˆx 1 1 = 0.01 = L erreur relative du deuxième algorithme (due à la seule composante de génération puisque l erreur d arrondi à l entrée est absente) est ε x = ˆx x x =

64 Cours de calcul numérique p. 64/67 L erreur d absorption L erreur d absorption se vérifie pendant l addition de deux opérandes d 1 et d 2 avec d 2 d 1. Supposons b = 10, t = 6 et x = F(d) = (d 1 + d 2 ) avec d 1 = = et d 2 = 1 = Puisque d 1 = ˆd 1 et d 2 = ˆd 2, on obtient ˆx = fl(d 1 + d 2 ) = fl( ) = = Les chiffres significatifs de d 1 sont perdus. Ceci implique une erreur relative de petite taille ˆx x x = mais qui peut se avérer gênante dans la poursuite du calcul.

65 Cours de calcul numérique p. 65/67 L erreur d absorption (II) Supposons b = 10, t = 6 et x = F(d) = (d 1 + d 2 ) 1 avec d 1 = = et d 2 = 1 = La solution exacte est x = d 1. Puisque ˆd 1 + ˆd 2 = et fl( ˆd 1 + ˆd 2 ) = = , ˆx = fl(fl( ˆd 1 + ˆd 2 ) 1) = fl( ) = = , l erreur relative absolue s élève à ε x = ˆx x x = ˆx x x = = L erreur finale est donc non négligeable. =

66 Cours de calcul numérique p. 66/67 Considérations Plusieurs algorithmes peuvent être proposés pour résoudre le même problème mathématique. Afin de réduire l erreur de génération, qui est le seul à dépendre de l algorithme même, une règle empirique générale doit être tenue en considération: si on ne peut pas éliminer les calculs avec un grand conditionnement, alors il vaut mieux les insérer le plus tôt possible dans l algorithme. A chaque étape de l algorithme l erreur d entrée est amplifiée d une façon proportionnelle au conditionnement de l étape. En déplaçant, si possible, les étapes qui affichent le plus grand conditionnement au début, celles-ci causeront une amplification de l erreur plus petite que dans le cas d une autre localisation dans l algorithme.

67 Cours de calcul numérique p. 67/67 Conseils pour créer un algorithme stable Les programmeurs d algorithmes numériques doivent se confronter chaque jour aux problèmes de stabilité des algorithmes. Voici quelques conseils basés sur les résultats précédents pour réduire ces problèmes Éviter, si possible, de soustraire des quantités entachées d erreur. Minimiser la magnitude des résultats intermédiaires pour éviter les erreurs d absorption. Évaluer les formulations alternatives qui sont mathématiquement équivalentes mais numériquement différentes. Utiliser seulement des transformations bien conditionnées. Être attentif aux problèmes de overflow/underflow. Regarder attentivement les résultats intermédiaires.