Les nombres pairs sont donnés par

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2 Forules pour les nobres preiers JEAN-PAUL DELAHAYE On sait enferer tous les nobres preiers dans des forules siples. Est-ce utile? Les nobres pairs sont donnés par une forule p(n) = n, qui n a rien de ystérieux : elle indique que le double de tout entier est un nobre pair. Les nobres ipairs sont donnés par la forule I(n) = n+. Existe-t-il une forule analogue pour les nobres preiers, ces nobres qui ne sont divisibles que par et eux-êes (notons que n'est pas considéré coe preier)? Les dix plus petits nobres preiers sont,,, 7,,, 7, 9,, 9, et Euclide a ontré qu ils sont en nobre infini. Cette recherche d'une forule pour les nobres preiers passionne les aateurs d'arithétique depuis longteps et a produit d'étonnants résultats. Elle conduit à des exercices distrayants de raisonneent et de calcul, peret de préciser ce qu'on entend par forule, pour finaleent nous plonger dans le onde de l'inforatique. Il est vite apparu qu il était ipossible d engendrer tous les nobres preiers (ou êe de n engendrer que des nobres preiers, pas nécessaireent tous, ni dans l'ordre) à l'aide d'une forule du type f(n) = an + b pour n positif. Voyons pourquoi. Supposons que an + b soit un nobre preier pour tout n supérieur à. Coe la forule est exacte pour n =, f() = b, et b est un nobre preier. Mais alors f(b) = ab + b est aussi un nobre preier, et coe ab + b = (a + )b est divisible par b et (a + ), ou bien b =, ce qui est ipossible puisque b est un nobre preier, ou bien a + =, ce qui conduit à a =, et donc à la forule f(n) = b qui donne toujours le êe nobre preier. Les seules forules de type an + b qui ne donnent que des nobres preiers sont celles (sans intérêt) où a est égal à et b est un nobre preier. On ontre par un raisonneent siilaire que, si une forule (dite polynoiale) f(n) = a p n p + a p- n p a n + a, ne donne que des nobres preiers pour tout n positif, alors c'est que f(n) est constant (et donc sans intérêt). Triste conclusion : un polynôe à une variable, aussi copliqué soit-il, ne donnera jaais de nobres preiers pour toute valeur positive de n, sauf s'il n'en donne qu'un... Déontrons ce résultat en raisonnant par l'absurde : nous supposerons que f(n) n'est pas constant et ne prend que des valeurs qui sont des nobres preiers pour n positif. On a f() = a, donc a est preier. Par hypothèse, f(n) qui n'est pas constant tend vers l'infini positif quand n tend vers l'infini (sinon f(n) ne donnerait que des valeurs négatives à partir de certaines valeurs de n et donc ne conviendrait pas). Il existe donc un entier p tel que f(pa ) soit plus grand que a. Alors f(pa ) est un ultiple de a (car c'est une soe de ultiples de a ) plus grand que a. Ce n'est pas un nobre preier. De ultiples raffineents de ces deux résultats seblent éliiner tout espoir que nous puissions obtenir des forules intéressantes pour les nobres preiers. En voici quelques-uns.. FORMULE AVEC DES CONSTANTES RÉELLES Il existe un nobre réel L tel que la forule : [L n ] [L (n ) ] n pour tout n donne le n-ièe nobre preier : p =, p =, p =,... Le nobre L est,7..., (le n-ièe nobre preier est placé en position n ). Suivons les calculs pour n égal à : [L 6 ] = 7 (la ultiplication par 6 aène devant la virgule les déciales jusqu'au 7, et la partie entière coupe ce qui est derrière la virgule. [L 9 ] = (êe chose, ais avec le ) [L 9 ] 7 = (la ultiplication par 7 égalise la longueur des deux nobres) [L 6 ] [L 9 ] 7 = 7 = 7. Si une fonction polynôe à plusieurs variables (telle que, par exeple, la fonction f(n,,p) = n + p + n p + 7) ne prend que des valeurs preières pour les valeurs entières positives de ses variables, alors c'est une fonction constante (et donc sans intérêt). Si une fonction quotient des deux polynôes à plusieurs variables (exeple : f(n,,p,q,r)=(n+p +q +r 9 +9)/(p +q +r 7 +) ne prend que des valeurs preières pour les valeurs positives de ses variables, alors c'est une fonction constante (et donc sans intérêt). Si une fonction est de la fore P Q + R, où P, Q et R sont des polynôes à plusieurs variables (exeple : f(n,p,q) = (n + p+q) n+p+q + p + 7) ne prend que des valeurs preières pour les valeurs positives de ses variables, alors c'est une fonction constante (et donc sans intérêt). Mêe résultat avec, dans la forule précédente, (ou n'iporte quel entier supérieur à ) à la place de, ou encore avec une soe de teres de la fore Pa Q à la place d'un seul. FAUT-IL RENONCER? Abandonner? Que nenni! Les polynôes ne sont pas tout : dans l arsenal d'un athéaticien, il y a bien d'autres fonctions. Un résultat, déontré par W. Mills en 97, a étonné tout le onde : il existe une constante A telle que la forule [A n ] fournit un nobre preier pour tout n entier supérieur à. Le crochet [ ] désigne la fonction partie entière ou «arrondi à l'entier inférieur» : exeples : [8,679]=8 ; [,9]=. Si on voulait une forule valable pour tout n positif, il suffirait de prendre : [A n+ ]. La constante A, dénoée constante de Mills, POUR LA SCIENCE - N 6 FÉVRIER 999

3 a été calculée avec une bonne précision, elle vaut :, Pour n =, on obtient ; pour n =, ; pour n =, 6 ; pour n =, 8887, nobres qui sont preiers, coe on le vérifie sans peine. Hélas, la forule [A n ], ausante et curieuse, est sans intérêt pratique, car pour l'utiliser il faut connaître A avec une grande précision, ce qu'aujourd'hui on ne sait obtenir qu'en calculant... les nobres preiers euxêes. Il paraît iprobable qu'on puisse calculer cette constante autreent qu'à partir des nobres preiers, ais il serait erveilleux d y parvenir. Cette forule ne donne les nobres preiers que parce que l'inforation sur les nobres preiers est cachée dans la constante A... Dans la êe veine, un résultat étrange a été déontré par G. Wright en 9. Il existe une constante w telle que la forule : f(n) =[...w ], avec n exposants, fournit un nobre preier pour tout n supérieur ou égal à. La constante w, dénoée bien sûr constante de Wright, vaut, La forule suivante un peu plus copliquée va faire coprendre pourquoi ni la forule de Mills ni celle de Wright ne sont autre chose que des curiosités : il existe une constante L (appelée parfois constante de Liouville-Erdös) telle que la forule : [L n ] [L (n ) ] n donne le n-ièe nobre preier pour tout n : p =, p =, p =, p = 7, p =, p 6 =, p 7 = 7, etc. Cette forule non seuleent ne donne que des nobres preiers (coe les deux précédentes), ais elle les donne tous dans l'ordre. L'escroquerie apparaît quand on voit la constante L : L =,7..., le n-ièe nobre preier est placé en position n. Le détail du écanise de calcul est expliqué en figure. PLUS DE TRICHE! Ce type de forules étant une fore de tricherie, interdisonsnous d'utiliser des nobres réels qui peuvent cacher une infinité d'inforations dans leurs déciales, infinité où l on peut loger insidieuseent tous les nobres preiers! Peut-on, en respectant cette nouvelle contrainte, trouver une forule qui donne tous les nobres preiers? Si on ne peut pas les obtenir tous dans l'ordre, on se contenterait de les avoir dans le désordre, avec des répétitions, ou êe d'en avoir une infinité. Ce qu'on a vu au début ontre qu'on ne réussira qu avec un sybolise un peu plus riche que celui des polynôes. Proposons d'accepter le sybolise naturel suivant considéré coe banal en algèbre et en arithétique : [x] partie entière de x, définie coe l'arrondi à l'entier inférieur de x (déjà utilisée plus haut) ; n Σ, pour la soe généralisée ; exeple Σi = n i =!, la notation factorielle définie par n! = n(n )(n )... ; la valeur absolue, définie par n = n si n et n = n si n. Il est aintenant possible de trouver des forules qui ne «trichent pas». Le preier exeple est une forule qui donne tous les nobres preiers et qui pourtant coporte 7 syboles : + t(n) = + n[/( + Σ [(n + )/p [(n + )/p]])] n p= Le fonctionneent de cette forule, due à Roland Yéléhada, s explique en quelques ots. Si n + est un ultiple de p, alors (n + )/ p est un entier q, et donc (n + )/ p = q / p. Il en résulte que [(n + )/ p] = q et que [(n + )/p [(n +)/p]] est égal à. En revanche, si n + n'est pas un ultiple de p,. JUSTIFICATION D'UNE FORMULE POUR P n P(i) = [((i -)! + ) / i - [(i - )! / i ]] ; P(i) vaut si i est preier P i () = Σ P(i) ; P i () est le nobre de nobres preiers. i = P i () / n n ,,,,,,,,,66,66,,,,,66,66,,,,,,7,7 9,,,,,,,7,7,,,,6,6,8,8,8,8,,,,,, 6,6,,,,,66,66,66,66,8,8,6,6 n 6 [ P i () / n ] ; [ a ] donne la valeur entière du nobre a in ([P i ()/n ], ) = g(n, ) ; in (x,y) = (x + y x y )/ in donne le iniu des nobres entre ( ). n n g(n, -). g(n, ) - g(n, -). n (g(n, ) - g(n, -)). n + p n = Σ (g(n, ) - g(n, -)). = n logique et calcul POUR LA SCIENCE - N 6 FÉVRIER 999

4 logique et calcul. UNE FORMULE POUR LES NOMBRES PREMIERS JUMEAUX Les nobres preiers jueaux sont les paires de nobres preiers dont la différence est, coe ou 7 9. On ne sait toujours pas s'il existe une infinité de paires de nobres preiers jueaux. En revanche, on sait que n est le preier éléent d'une paire de nobres preiers jueaux si et seuleent si : ((n )! +) + n est un ultiple de n (n + ). D'où l'on tire que n + est le preier éléent d'une paire de nobres preiers jueaux si et seuleent si : (n + )! + n + 7 est un ultiple de (n + )(n + ). Il en résulte que la forule assez siple suivante engendre tous les nobres preiers jueaux (sur le principe de la forule de Minac) : j(n) = + n [((n + )! + n + 7)/(n + )(n + ) [((n + )! + n + 6)/(n + )(n + )]]. Cette forule est ausante, car, bien qu'elle soit assez siple, personne ne sait si elle prend au total un nobre fini ou infini de valeurs différentes. alors [(n + )/p [(n + )/p]] vaut. Autreent dit le siga dans la forule copte le nobre de diviseurs de n + copris entre et n +. De deux choses l'une : n + est preier, alors le nobre de diviseurs de n + entre et n + est, donc le crochet derrière + n est [/], c'est-à-dire, et l on a t(n) = n +, qui est bien un nobre preier. n + n'est pas preier, alors le nobre de diviseurs de n + entre et n + est supérieur à, donc le crochet derrière + n vaut et donc t(n) =, qui est bien un nobre preier. La forule ne donne que des nobres preiers, les donne tous, ais très lenteent et en répétant trop souvent : t() =, t() =, t() =, t() =, t()=, t() = 7, t(6) =, t(7) =, t(8) =, t(9) =, t() =, t() =, t() =, t() =, etc. Le théorèe de John Wilson (7-79), publié en 77 par Waring, indique que (p )! + est un ultiple de p si et seuleent si p est preier. Cela a conduit Minác à siplifier grandeent la forule de Yéléhada, laquelle devient : t(n)= + n [((n+)!+)/(n+) - [(n+)!/(n+)]]. Ce qu'on a gagné (seuleent 6 syboles pour tous les nobres preiers et la disparition de l'utilisation de la notation siga) est alheureuseent copensé par une rapidité bien inférieure : la nouvelle forule passe par des factorielles dont le calcul est long. D'autres forules n'ont pas les défauts des forules de Yéléhada et de Minác, qui ne fournissent pas les nobres preiers dans l'ordre. Les athéaticiens Minác et Willans ont iaginé une rearquable forule dont l'explication est netteent oins siple, ais qui cette fois donne tous les nobres preiers dans l'ordre et sans répétition. Cette forule de syboles repose, elle aussi, sur le théorèe de Wilson. p =, p =, p =, p = 7, p =, p 6 =, p 7 = 7, etc. Σ n Σ = j= p n = + [[n/( + [((j )! + )/j [(j )!/j]])] /n ] n La forule est erveilleuse : peu de gens iaginaient avant qu'elle soit publiée en 99 qu'une telle forule pouvait exister. Est-elle utile? Non, d'un point de vue. AUTRES FORMULES ÉTONNANTES Voici quelques forules déconcertantes concernant les nobres preiers. (A) Forules de Willans (96) du nobre de nobres preiers inférieurs à : Pi() = sin (π((j )!) /j )/sin (π/j). j = Pi() = + [cos (π((j )!+)/j)]. j = (B) Forule due à G. Hardy, qui soutenait que les athéatiques n'ont pas à être utiles, ais seuleent belles (c'est bien le cas de cette forule) : li li li ( (cos((i! ) r π/n)) n ) r n i = est le plus grand facteur preier de l'entier N. (C) Forule donnant le plus grand coun diviseur des entiers n et, trouvée en 997 par Marcelo Polezzi : pgcd(,n) = [in / ] + (+n) n. i = pratique. En effet, si l on utilise cette forule pour prograer une éthode de calcul des nobres preiers, on obtient un prograe d'une rare inefficacité. J'ai tenté l'expérience : la forule fonctionne coe prévu par la théorie, ais, bien qu'utilisant un logiciel puissant et calculant avec un grand nobre de chiffres exacts, je n'ai pas pu aller au-delà de p 6. La figure explicite en détail une forule légèreent plus coplexe pour p n, ais plus transparente et plus efficace. Sur un plan théorique, ces forules sont cependant intéressantes, car elles ontrent que l'enseble des nobres preiers n'est pas copliqué : peu de syboles perettent de le représenter entièreent et dans l'ordre. Cette conclusion n'est pas une surprise pour les inforaticiens, qui utilisent pour écrire leurs prograes des langages plus riches que ceux utilisés habituelleent en algèbre et en arithétique. Écrire une forule ou un prograe n'est pas très différent : d'ailleurs le no du langage Fortran qui fut l un des preiers langages de l'inforatique scientifique, est la fore contractée de Forula Translation, car il était considéré sipleent coe un oyen d'écrire des forules athéatiques. Si l'on réfléchit au problèe des forules pour p n, il faut adettre que finaleent ce sont les inforaticiens qui ont raison : il vaut ieux enrichir un peu le vocabulaire qu'on se donne : cela peret d'écrire des forules pour les nobres preiers (ou pour d'autres choses) qui ne sont pas seuleent des exercices de virtuosité d'un intérêt incertain, ais qui retranscrivent fidèleent et sans détour des procédés de calcul ou des idées naturelles. La logique athéatique a depuis longteps copris cela et propose un systèe de notation qui peret des définitions de p n par des forules à la fois courtes, claires et efficaces. Voici, dans le langage Maple (utilisé aujourd'hui dans les classes préparatoires scientifiques aux Grandes Écoles et dans les preiers cycles des universités), une forule de 6 caractères donnant à nouveau le n-ièe nobre preier p n. Ce prograe est fondé uniqueent sur la fonction a od b, qui donne le reste de la division de l'entier a par l'entier b (la fonction «od», offerte dans tous les langages de prograation actuels peut se définir par a od b = a b [a/b]). preier := proc(n) local p,k,d; if n= then else p:= ; k:= ; while k<>n do p:= p+; d:= ; while (d*d<=p) and (p od d <> ) do d:=d+;od; POUR LA SCIENCE - N 6 FÉVRIER 999

5 De nobreuses fois dans l'histoire des athéatiques, des propriétés constatées sur un petit nobre de cas ont été conjecturées «vraies dans tous les cas». Voici quelques exeples de situations qui ontrent qu'il faut se éfier de telles généralisations. (a) Pierre de Ferat considère l'expression Fn = n + et, après le calcul de F, F, F, F, F, constate qu'il s'agit toujours de nobres preiers. Il en tire la conjecture que F n est toujours un nobre preier. Le grand Leonhard Euler découvre plus tard que F n'est pas preier. Pire : aujourd'hui, après avoir évalué et testé les valeurs suivantes de F n, on n'a trouvé que des nobres coposés. On se deande donc si, au-delà de F, tous les F n ne seraient pas coposés! Si c'est le cas, ce sera l'exeple extrêe de la conjecture fausse : non seuleent elle possède un contre-exeple, ais tout nobre plus grand que est un contre-exeple! (b) Plus réceent, on a rearqué que :!! +! = : preier!! +!! = 9 : preier!! +!! +! = : preier 6!! +!! +!! = 69 : preier 7! 6! +!! +!! +! = : preier 8! 7! + 6!! +!! +!! = 899 : preier En conclut-on que n! (n )! ( ) n! ( ) n! est toujours un nobre preier? Non : 9! 8! + 7! 6! +!! +!! +! = 6 98 = (c) Plus étonnant encore est l'exeple suivant. Les nobres n et (n + ) n'ont pas de facteurs. ATTENTION AUX GÉNÉRALISATIONS HÂTIVES couns si n =, n =, n =, etc. Vous pouvez vérifier cela jusqu'à, jusqu'à, jusqu'à un illiard, jusqu'à ille illiards de illiards, et êe jusqu'à huit illions de illiards de illiards de illiards de illiards de illiards. Pourtant, un peu plus loin, pour : n = ~ 8,, vous rencontrerez une exception : parfois n et (n+) ont des facteurs couns. (d) Il est des situations plus étranges encore, où seul le raisonneent peret de savoir qu'une propriété toujours testée vraie en pratique est fausse en général. L'exeple le plus connu est celui qui concerne l'approxiation de Pi() le nobre de nobres preiers inférieurs à. On sait que ce nobre vaut à peu près : Li() = /log(x) dx. On constate en pratique que Pi() Li(), et l'on ne connaît aucune exception à cette inégalité. Cependant le athéaticien Littlewood a prouvé en 9 que la quantité Pi() Li() changeait de signe une infinité de fois, et donc qu'il n'est pas vrai que Pi() Li() pour tout. En 9, S. Skewes a établi que le preier changeent de signe se produit avant (quatre niveaux d'exposant). Cette ajoration a été aéliorée par H. te Riele, en 987, par 7, ais c'est encore au-delà de ce qu'on peut atteindre nuériqueent : aujourd'hui, on sait qu'il existe un tel que Pi() > Li(), ais on n'en connaît aucun. logique et calcul if d*d>p then k:=k+;fi; od; p; fi; end: Ce qui tient sur cinq lignes : preier := proc(n) local p,k,d;if n= then else p:=;k:=;while k<>n do p:=p+;d:=;while(d*d<=p)and(p od d <> )do d:=d+;od;if d*d>p then k:=k+;fi;od;p;fi;end; Explications : proc est un ot convenu pour indiquer qu'on définit une procédure, c'est-à-dire une fonction ; local sert à préciser les variables qu'on utilisera dans le calcul ; if C then A else A fi est la structure de contrôle qui, lorsque la condition C est satisfaite, exécute l'action A et qui, sinon, exécute l'action A ; while C do A od est la structure de contrôle qui, tant que la condition C est satisfaite, exécute de anière répétée l'action A ; end indique la fin de la définition de la procédure. Le prograe, si n vaut, donne. Sinon, en parcourant les entiers de en (variable p), le prograe recherche les nobres preiers et les copte avec la variable k, jusqu'à en avoir trouvé n. Le prograe rend alors le résultat p, qui à cet instant, contient bien le n-ièe nobre preier. On peut faire encore plus court, ais cette définition possède plusieurs avantages sur la définition athéatique précédente de p n ou sur une définition plus courte en Maple : elle se coprend iédiateent pour qui possède quelques connaissances du langage Maple, elle est fondée sur l'idée la plus naturelle qu'on puisse avoir ; elle peret de calculer en quelques secondes le centièe nobre preier, et êe le illièe. La recherche de forules n'utilisant qu'un sybolise athéatique liité est un jeu un peu gratuit que les athéaticiens professionnels regardent le plus souvent avec auseent sans le prendre au sérieux (ce qui n'epêche pas que d'éinents athéaticiens coe G. Hardy ou E. Wright s'y soient adonnés). 6. FORMULES SIMPLES DONNANT DE GRANDES QUANTITÉS DE NOMBRES PREMIERS Certaines forules, sans donner tous les nobres preiers, ni êe ne donner que des nobres preiers, en donnent une grande quantité en suivant. C'est le cas de la forule d'euler f(n) = n n +, qui donne des nobres preiers pour toutes les valeurs de n allant de à. Les polynôes suivants battent le record d'euler : n 9n + 8 est preier pour n =,,..., (R. Ruby). 7n 7n + 8 est preier pour n =,,..., (G. Fung). 6n 8n + 7 est preier pour n =,,..., (R. Ruby). Une conjecture très vraiseblable (car liée à une autre bien testée) est qu'aussi grand que soit A on peut trouver un polynôe de la fore n + n + B qui donne des nobres preiers pour n =,..., A. On sait cependant que B sera nécessaireent très grand : la valeur de B correspondant à A = est plus grande que 8, ais reste inconnue. POUR LA SCIENCE - N 6 FÉVRIER 999

6 7. a b EST DIOPHANTIEN La découverte de Matiiassevitch en 97, qui résout le dixièe problèe de Hilbert, fut le couronneent d'une longue série de progrès coencée par la forulation, dans les années 9, d'une définition de la notion générale d'algorithes par A. Church et A. Turing : pour déontrer qu'aucun algorithe ne peut traiter le problèe des équations diophantiennes, il faut d'abord disposer d'une définition satisfaisante de la notion d'algorithe! De nobreuses avancées conduisirent à une situation en 97 où, pour établir l'indécidabilité du dixièe problèe de Hilbert, seule restait à prouver que a b est diophantien, c'est-à-dire qu'il existe une équation P(a, b, c, x, x,..., x n ) =, P polynôe, possédant des solutions entières x, x,..., x n, si et seuleent si ab = c. Ce problèe en apparence éléentaire est en fait extrêeent difficile. Coe le caractère diophantien de a b entraîne l'existence d'un polynôe dont les valeurs positives sont les nobres preiers chose jugée invraiseblable à l'époque nobreux furent les athéaticiens (dont le grand logicien polonais Alfred Tarski) qui concluaient à tort que a b n'était pas diophantien. Le jeune athéaticien Youri Matiiassevitch, alors chercheur à l'institut Sketlov de Leningrad, travailla avec obstination plusieurs années de suite sur la preuve du caractère diophantien de l'exponentielle. Il crut avoir trouvé une solution, ais, au oent êe où il en faisait l'exposé devant ses collègues, il découvrit une erreur. Enfin il trouva seul une solution, au début du ois de janvier 97. Quelques jours avant sa découverte, absorbé dans des pensées qui allaient résoudre un problèe vieux de 7 ans, il avait quitté la soirée de fête du Nouvel An en enfilant par distraction le anteau de son oncle, d'une taille francheent inadéquate... logique et calcul LE DIXIÈME PROBLÈME DE HILBERT Pourtant ce sont les athéaticiens professionnels, à l'occasion d'un défi lancé par David Hilbert en 9, qui ont obtenu le plus surprenant résultat concernant les forules siples définissant l'enseble des nobres preiers. Le problèe posé par David Hilbert en 9 (pari problèes) était de trouver une éthode générale et systéatique pour étudier les équations diophantiennes, c'est-à-dire les équations polynoiales à coefficients entiers, coe l'équation X + Y = Z. On savait que la recherche des solutions entières de ce type d'équations était difficile ; Hilbert pensait d'ailleurs qu'aucune éthode systéatique n'existait. La déonstration de cette conjecture sera terinée en 97 par le athéaticien Youri Matiiassevitch, qui prouva qu'une certaine équation polynoiale paraétrée ne pouvait pas être résolue pour toutes les valeurs de ses paraètres à l'aide d'une seule éthode (autreent dit, à l'aide d'un seul algorithe). Le travail fait pour élaborer cette équation aboutissait à une autre conclusion rearquable : à tout enseble de nobres entiers dont les éléents peuvent être énuérés par un prograe (l'enseble des nobres preiers en est un) correspond une fonction polynôe dont les valeurs positives, lorsque les variables prennent des valeurs positives, constituent exacteent les éléents de cet enseble. Il existe donc une fonction polynôe (à plusieurs variables) qui, lorsque les variables prennent des valeurs positives, prend des valeurs positives et négatives, l'enseble de celles qui sont positives étant exacteent l'enseble des nobres preiers. Cela ne contredit pas les énoncés cités au début, qui indiquaient seuleent que ne pouvait exister une fonction polynôe à plusieurs variables qui, lorsque ses variables prennent des valeurs positives, ne prend que des valeurs positives, l'enseble des valeurs prises étant exacteent l'enseble des nobres preiers. L'écart entre le résultat positif et le résultat négatif est ince coe une feuille de papier à cigarette et, à vrai dire, a profondéent étonné les athéaticiens. Il fallut sept ans pour que le polynôe dont l'existence résulte du résultat de Matiiassevitch soit élaboré expliciteent et publié en 976 par J. Jones, D. Sato, H. Wada et D. Wiens. Le voici : ( (wz+h+j q) ((gk+g+k+)(h+j) +h z) (n+p+q+z e) (6(k+) (k+)(n+) + f ) (e (e+)(a+) + o ) ((a )y + x ) (6r y (a )+ u ) (((a+u (u a )) )(n +dy) + ( x + cu) ) (n+l+v y) ((a )l + ) (ai+k+ l i) (p+l(a n ) + b(an+a n n ) ) (q+y(a p ) + s(ap+a p p ) x) (z+pl(a p)+t(ap p ) p) )(k+). Quand les 6 variables a,b,c,...,z prennent toutes les valeurs de l'enseble des nobres entiers positifs, l'expression prend des valeurs positives et négatives. L'enseble des valeurs positives prises est l'enseble des nobres preiers. L'éinent athéaticien soviétique You Linnik, à qui un collègue apprenait l'existence de ce polynôe inattendu, Jean-Paul DELAHAYE est professeur à l Université de Lille. e-ail : delahaye@lifl.fr Une feuille de calcul Maple associée à cet article, rédigée par Eric Wegrzynowski, est ise à la disposition des lecteurs à l adresse : C. BOXA, A Note on Diophantine Representation, in The Aerican Matheatical Monthly, pp. 8-, février 99. C. CALDWELL, The Prie Pages. G. HARDY et E. WRIGHT, An Introduction s'écria : «C'est erveilleux, très bientôt nous allons sans doute apprendre une quantité de choses nouvelles sur les nobres preiers.» On lui précisa alors qu'il existait un polynôe analogue pour tout enseble de nobres énuérables par prograe. «C'est laentable, dit alors Linnik. Très probableent nous n'allons rien apprendre de nouveau sur les nobres preiers.» Il est vrai que le polynôe est très décevant, car il ne prend que très rareent des valeurs positives (les seules intéressantes!) et, à oins d'étudier soigneuseent la façon dont il a été construit, on ne réussit à tirer aucun nobre preier de ce polynôe qui, en théorie, les donne tous! Il y a quelques années, je l'avais entionné dans cette chronique, et plusieurs lecteurs 'avaient fait part de leur désillusion et êe de leur doute concernant les propriétés annoncées. Je veux les rassurer : il n'y a aucune erreur, le polynôe possède bien les propriétés annoncées, ais il n'est pas plus utile pour calculer les nobres preiers que la forule de Willans. Les forules vraient utiles, répétons-le, correspondent à des prograes et, parce qu'on ne leur ipose pas un carcan artificiel par liitation du sybolise, sont efficaces. to the Theory of Nubers, Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford, cinquièe édition, 979. Y. MATIIASSEVITCH, Le dixièe problèe de Hilbert. Son indécidabilité, Masson, Paris, 99. P. RIBENBOIM, Nobres preiers : ystères et records, Presses universitaires de France, 99. Le secret des nobres (arithétique pour l'enseigneent de spécialité de terinale S), ouvrage collectif des Éditions Archiède, ISSN , Tangente, hors série n 6, 998. POUR LA SCIENCE - N 6 FÉVRIER 999