SIMULATION D UN ÉCOULEMENT DIPHASIQUE DANS UNE COLONNE Á BULLE

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1 RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTÈRE DE L'ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE AKLI MOHAND OULHADJ BOUIRA FACULTE DES SCIENCES ET DES SCIENCES APPLLIQUEE DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE N d ordre : /Master/2015. Série : /GM/2015. MEMOIRE Présenté pour obtenir le diplôme de master en Génie Mécanique SIMULATION D UN ÉCOULEMENT DIPHASIQUE DANS UNE COLONNE Á BULLE OPTION : Mécanique Énergétique Par : ALIOUAT Mohamed Seddik MEBARKI Farid Soutenue le : 25/06 /2015 Devant le jury composé de : Président : M r. LAOUARI.A Université Bouira Rapporteur : M r. B.MAHFOUD Université Bouira Examinateurs : M r. LAKEHAL.R M r. MESSAI.T Université Bouira Université Bouira

2 Remerciements En préambule, je souhaite rendre grâce à Dieu, le clément et le miséricordieux de m avoir donné la force et la patience de mener à bien ce modeste travail Je tiens évidemment à débuter ces remerciements en témoignant de ma profonde reconnaissance envers Monsieur Mahfoud Brahim, maitre de conférence à l Université de Bouira pour m avoir encadré et dirigé ce travail avec patience. Je remercie vivement Monsieur LAOUARI. A enseignant à l Université de Bouira, qui m a fait l honneur de présider le jury, ainsi que pour sa contribution à ma formation. Je veux exprimer mes remerciements aux membres de jury, Monsieur MESSAI. T, enseignant à l Université Bouira Monsieur LAKEHAL. R, enseignant à l Université Bouira Mes remerciements s adressent aussi à tous les enseignants du département de Génie Mécanique de l Université. Bouira

3 Tant de fois avais-je pensé à vous offrir quelque chose en signe de reconnaissance pour tout ce que vous avez consenti rien que pour me voir réussir, cette fois c est l occasion : A toi Mère et à toi Père chéris que je dédie ce travail ; à vous d abord car rien qu a vous regarder dans les yeux je devine l amour sans mesure que vous me portez et dans le quel j ai baigné depuis ma tendre enfance ; aurais-je été là sans vous. Mes frères et mes sœurs que j aime, je vous réserve toujours une place dans mon cœur et mes pensées ; vous ensuite car j ai appris avec vous et grâce à vous jusqu aux moindres notions de la vie. Je dédie ce travail également à mon promoteur le docteur B.MAHFOUD qui fut pour moi l exemple, le conseiller et le soutien. Et à tous ceux que je ne dois pas oublier, mes Amis je vous dis : jamais je n oublierai les meilleurs moments que j ai vécus avec vous. ALIOUAT Mohamed Seddik

4 Tant de fois avais-je pensé à vous offrir quelque chose en signe de reconnaissance pour tout ce que vous avez consenti rien que pour me voir réussir, cette fois c est l occasion : A toi Mère et à toi Père chéris que je dédie ce travail ; à vous d abord car rien qu a vous regarder dans les yeux je devine l amour sans mesure que vous me portez et dans le quel j ai baigné depuis ma tendre enfance ; aurais-je été là sans vous. Mes frères et mes sœurs que j aime, je vous réserve toujours une place dans mon cœur et mes pensées ; vous ensuite car j ai appris avec vous et grâce à vous jusqu aux moindres notions de la vie. Je dédie ce travail également à mon promoteur le docteur B.MAHFOUD qui fut pour moi l exemple, le conseiller et le soutien. Et à tous ceux que je ne dois pas oublier, mes Amis je vous dis : jamais je n oublierai les meilleurs moments que j ai vécus avec vous. Mebarki Farid

5 ملخص قمنب دة رقم قمسم اازبد ر بل فر ب قبوب ق نا لم املفا ت قمنب دب م ب ب دبق مب ر ااب FLUENT( ) ر ا زا مب قازجم ر ملي ر من اسم ن ت رق مانب جب دم )VOF( ر ق ت ةف ر القب ر اردطسم دسن ر بل ت ر ابوب ت رق مانب بف م )UDF( إلف ب بف م قاام ر الر ت قة نب ر ن بو اا ب نا ر يممسم ن ناب س اع ر اااب 0.1m/s( 0.01=v( et 0.05 et ن ي ااى تأثساهب اا يمم ر فجباب ت قاام ص لفهب. كلمات مفاتيح : جباب ق نا لم, يمم ر ابوب, قاام ر الر,.CFD Résumé Nous présentons une étude numérique d un écoulement diphasique dans une colonne à bulle. Nous Simulons le problème diphasique sous Fluent en utilisant la méthode «Volume Of Fluid». Et la fonction «Ptch» pour modifier localement les conditions initiales.dans ce cas on utilise une fonction utilisateur (User Defined Function) afin d imposer une condition aux limites personnalisée. Les résultats seront présentés sous formes des fractions volumiques d une des deux phases. Nos simulations numériques ont été présentées pour différentes valeurs de vitesse d entrée de l air v=0.01 et 0.05 et 0.1m/s. On a traité deux cas de vitesse (vitesse constante et vitesse parabolique à l entrée), afin de voir leurs effets sur la structure de l écoulement et les grandeurs des bulles formées ainsi que la vitesse d élévation. Mots clés : colonne de bulle, Volume de Fluide, distributeur de gaz,, vitesse superficiel d'air. Abstract Numerical study of a continuous bubble chain rising through liquid column has been performed using the volume-of-fluid (VOF) approach. The problem was tackled by using the computer codes «GAMBIT» (grid generator) to generate the grid and «FLUENT 3.6» (solver) to solve the flow The effect of operating and design parameters on the bubble velocity distribution and rise trajectory has been investigated for air-water system. For the same distributor, simulation results have indicated the formation of small bubbles at low air velocity (v=0.01 et 0.05 et 0.1m/s) and relatively large bubbles at higher velocities. The increase in the velocity of distributor has shown similar behavior. Keywords: bubble column, VOF, gas distributor, CFD, superficial air velocity.

6 Remerciements Résumé Liste des figures Liste des tableaux Introduction générale...01 Chapitre I : Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique I.1.Généralités sur les écoulements diphasiques...02 I.2. Régimes d'écoulements dans les conduites verticales...02 I.2.a. Écoulement à bulles...03 I.2.b.Écoulement à poches...03 I.2.c.Écoulement à forte coalescence...03 I.2.d. Écoulement annulaire...03 I.3.Cartes d'écoulements...03 I.4. Caractéristiques et modélisation des écoulements en colonnes à bulles Les régimes d'écoulements en colonnes à bulles : Le régime homogène : La transition : Le régime hétérogène...09 Chapitre II : paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques II.1. Géométrie du problème...13 II.2. Paramètres d'écoulement...13 II.2.1. La fraction de vide...13 II.2.2. Les vitesses...14 II.2.3. Le taux de vide (taux de présence du gaz)...14 II.1.4. Le titre...14 II.3. Modélisation des écoulements diphasiques...15

7 II.4. Formulation mathématique...15 II.4.1. Généralités...15 II.4.2. Rappel mathématique...17 II Théorème de transport de Reynolds...17 II Théorème d'ostrogradski (Théorème de Gauss)...17 II.5. Application à l écoulement monophasique...18 II.5.1. Bilans de masse...18 II.5.2. Bilan de quantité de mouvement...18 II.5.3. Bilan d énergie totale...18 II.6. Application à l écoulement diphasique...19 II.6.1. Bilan de masse...19 II.6.2. Bilan de quantité de mouvement...20 II.6.3. Bilan d'énergie totale...20 II.6.4. Équations phasiques...21 II.6.5. Conditions d interface (Équations diphasiques)...21 II.7. Modélisation de la turbulence...23 II.7.1. Le modèle k-ε standard...23 II.7.2.Les conditions aux limites et initiales...25 II Les conditions initiales...25 II Les conditions aux limites...25 II.7.3.aramètre d analyse...25 II La fonction de courant...25

8 Chapitre III : Modélisation numérique des écoulements diphasique III.1. Discrétisation implicite de l équation générale de transport...30 III.2. Algorithmes de résolution...32 III.3. Bases de la modélisation numérique par les méthodes de suivi et de capture d'interface..37 III.4. Défis des méthodes de suivi et de capture d'interface...38 III.5. Généralités sur la méthode volume de fluide VOF...39 III.5.1.Approximation de la variable densité pour la méthode VOF...40 III La théorie du modèle VOF...40 III.6. Évolution de la méthode VOF et principales versions...44 III.7. Détails numériques utilises dans ce travail...45 Chapitre IV : Résultats et discussion IV.1. Introduction...48 IV.2.Effets du maillage...49 IV.3.Validation des résultats...50 IV.4.Effet de vitesse constante de l air sur la chaîne continue de bulle...55 IV.5.Effet de vitesse parabolique de l air sur la distribution de grandeur de bulle...56 IV.5.1.Structure de l écoulement au cours du temps...57 Conclusion générale Référence bibliographie

9 Nomenclature R : Rayon de courbure de l interface en un point donné (m). : Constante de modélisation = 0, 09,, : Constantes du modèle de turbulence T : Tenseur des contraintes. q : Flux de chaleur (W/m2). n : Vecteur normal à une facette. m : Débit massique (Kg/s). f : Densité massique des forces extérieures exercées en in point. V : Vitesse de déplacement d un point matériel du volume de control ( ). g : Gravité (m/s2). J : vitesse superficielle (m.s-1). P : Pression (Pa). s : Abscisse curviligne. U : composantes moyennes du vecteur vitesse (m.s-1). : Energie interne du système. A : Surface (m 2 ). α : Taux de vide global. : Tension superficielle (m2/s). Symboles grecs ρ : Masse volumique (Kg/m3).

10 x : Le titre Indices G L v Ʃ K t i Gaz Liquide Volumique Surface fermé Phase composante tangentiel Interfacial Abréviations VOF Volume Of Fluid (Volume De Fluide). PISO des opérateurs). Pressure Implicit with Splitting of Operators (Pression implicite avec se dédoubler PRESTO Pressure Staggering Option (Option de chancellement de pression).

11 Liste des figures Fig. I.1 : Configuration des écoulements dans une conduite verticale... (3) Fig. I.2 : Exemple d'une carte d'écoulement expérimentale... (4) Fig. I.3 : Exemple d'une carte mécaniste.... (4) Fig. I.4 : Régimes de fonctionnement d'une colonne à bulle d'après Chen et al [3]. (5) Fig. I.5 : Évolution du taux de vide global avec la vitesse superficielle de gaz en colonnes à bulles pour une dispersion eau/ air Deckwer [2].... (6) Fig. I.6 : Photo d'une colonne à bulles fonctionnant en régime homogène prés de l'injecteur (photo du bas) et en milieu de colonne (photo du haut) d'après Mouza et al [5]... (7) Fig. I.7 : Photo d'une colonne à bulles fonctionnant en régime hétérogène prés de l'injecteur (photo du bas) et en milieu de colonne (photo du haut) d'après Mouza et al [5]... (9) Fig. II.1 : Géométrie du problème... (13) Fig. II.2 : Organigramme de l'établissement des équations générales pour les écoulements diphasiques.... (16) Fig. II.3 : Conditions aux limites du problème. (26) Fig. III.1 : Maillages bidimensionnels et nœuds du maillage... (28) Fig. III.2 : Volume de contrôle typique.... (29) Fig. III.3 : Volume de contrôle décalé pour u et v dans un maillage entrelacé.... (29) Fig.III.4 : Limitation du schéma explicite (43) Fig. III.5 : Schéma implicite (44) Fig. III.6 : Maillage utilisé 2D (n r n z =70 140),3D hexaédrique (67030noeuds) ;.. (45) Fig. IV.1 : Distributions radiale de la vitesse axiale v à z=0.25 obtenues avec différentes densités de maillage pour une vitesse parabolique avec V 0 = à t=2s.. (49) Fig. IV.2 : comparaison avec Deckwer (1992). Vitesse d élévation de la bulle en fonction de la vitesse d entrée de l air. (50) Fig. IV.3 : Effet bidimensionnel de vitesse constant superficielle de l air sur la distribution de grandeurs de bulle. (a) V air = 0.01 m/s. (b) V air = 0.05 m/s. (c) V air = 0.1m/s (52) Fig. IV.4 : La variation de la fonction de courant maximum en fonction de temps ;.. (53) Fig. IV.5 : Effet tridimensionnel de vitesse constant superficielle de l air sur la distribution de grandeurs de bulle : V air = 0.1m/s. (54)

12 Fig. IV.6 : Profil radiale de la fonction de courant, à z=0.2, dans le cas de v=0.01, 0.05 et 0.1 (m /s) et t=2s... (55) Fig. IV.7 : Effet bidimensionnel de vitesse parabolique superficielle de gaz sur la distribution de grandeurs de bulle. (a) V air = 0.01 m/s. (b) V air = 0.05 m/s. (c) V air = 0.1m/s... (56) Fig. IV.8 : Evolution temporelle des contours de fonction de courant (,) aux temps t=0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75 et 2s le pour le cas de vitesse parabolique, ou V 0 =0.01 m/s... (58) Liste des tableaux Tableau III.1 : Schéma de discrétisation. (46) Tableau III.2 : Les valeurs de sous relaxation. (46) Tableau IV-1 : la variation des valeurs maximales de la fonction de courant, en fonction du temps t (53)

13 Introduction

14 Introduction générale A la différence des écoulements monophasiques, constitués, comme leur nom l'indique d'une seule phase (gaz, liquide ou solide), les écoulements diphasiques mettent en présence deux phases, qu'elles soient ou non relatives au même constituant. On s'intéresse sur les écoulements liquides à bulles. Depuis plusieurs décennies, les écoulements en colonnes à bulles sont l'objet de nombreuses études expérimentales et numériques. Leurs diverses utilisations industrielles sont une des explications à une recherche si approfondie. En effet, tant dans le domaine des industries chimiques que dans celui des industries agro-alimentaires, biotechnologiques ou encore du traitement des eaux, les processus d'ébullition et les systèmes d'extraction et de transport des produits pétroliers, les colonne à bulles sont très souvent utilisées comme contacteurs gaz-liquide. Elles possèdent de nombreux avantages tels qu'une conception mécanique simple liée à l'absence de pièces internes mobiles, entretien aisé et d'excellentes capacités de mélange et de transfert grâce a une aire interraciale importante. Objectif de l étude Notre effort se concentrera sur l éclaircissement de l écoulement multiphasique dans une colonne à bulle. Nous Simulons le problème multiphasique sous Fluent en utilisant la méthode «Volume Of Fluid». Et la fonction «Ptch» pour modifier localement les conditions initiales Organisation du mémoire Le premier chapitre est consacré à l intérêt pratique du thème, résidant derrière l importance primordiale d étudier les écoulements diphasiques. Ainsi, une étude bibliographique est rapportée sur les écoulements en colonnes à bulles et à poches Le deuxième chapitre détaille la géométrie, le modèle mathématique décrivant les écoulements monophasiques en régime transitoire et turbulents Le troisième chapitre présent la méthode numérique des volumes finis pour la résolution des systèmes d équations différentielles partielles couplées et non-linéaires, ainsi que modèle VOF (Volume Of Fluid). Le quatrième chapitre présente les résultats de la deuxième partie obtenus à l aide de CFD Fluent de l écoulement diphasiques, suivi d une conclusion générale. 1 Promotion juin 2015

15 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revue bibliographique

16 Chapitre I- Généralités sur les écoulements diphasiques et revue bibliographique I. 1-Généralités sur les écoulements diphasiques : Les écoulements diphasiques peuvent être classés selon les phases en présence (liquide, solide, ou gaz) ou selon la distribution spatiale des interfaces. Pour le premier cas, les combinaisons possibles sont les suivantes : mélange de deux liquides non miscibles (échangeurs à contact direct). mélange gaz-solide (transport pneumatique du blé, fumées, poussières). mélange solide -liquide (transport de boue). mélange gaz-liquide (extraction pétrolière). Concernant le second cas, on distingue les écoulements suivants : à phase dispersées. à phase séparées. de transition. En écoulement diphasique gaz-liquide, les calculs et les descriptions sont effectués pour une configuration donnée de l'écoulement. Ces configurations sont basées sur la description d'interfaces qu'on appelle '' régime d'écoulement'', et qu'on peut prévoir à l'aide des cartes d'écoulement. I. 2. Régimes d'écoulements dans les conduites verticales : Lors d'un écoulement diphasique gaz-liquide, l'interface entre les deux phases peut prendre plusieurs formes, cela dépend du débit de chaque phase, la pression, le sens de l'écoulement ( ascendant, descendant, co-courant, contre-courant), des propriétés du fluide et de la géométrie du système. Les configurations de l'écoulement sont utilisées dans la description de cette distribution. La terminologie utilisée dans la définition de plusieurs régimes d'écoulements dépend de l'interprétation des expériences réalisées. La classification des régimes d'écoulement est valide seulement d'un point de vue qualitatif (Figure. I.1). 2 Promotion juin 2015

17 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique Fig. I.1 : Configuration des écoulements dans une conduite verticale. A). Écoulement à bulles : Observé à faible débit de gaz, caractérisé par la présence de bulles dispersées de taille relativement petite. B).Écoulement à poches : En augmentant le débit de gaz, les bulles coalescents pour donner lieu à des poches séparées par des bouchons de liquide de sections voisines de celle de la conduite. C).Écoulement à forte coalescence : L'écoulement à poches peut mener à des instabilités. Dans cette situation la forme du bouchon est très irrégulière et avec une interface instable et allongée. D). Écoulement annulaire : La phase liquide circule comme un film prés des parois du tube, avec ou sans bulle. Cette phase est aussi présente sous une forme dispersée, dans la phase gazeuse qui s'écule dans le centre du tube. I. 3. Cartes d'écoulements : Une carte d'écoulement, comme son nom l'indique, est une représentation graphique bidimensionnelle des domaines d'existence des différents régimes. Les systèmes de coordonnées qui la définissent sont choisis parmi les variables de l'écoulement diphasique. Ces derniers sont différents selon les auteurs, et il n'existe pas de consensus sur le meilleur système. Les paramètres qui sont souvent employée sont ceux utilisés par 3 Promotion juin 2015

18 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique l'expérimentateur pour contrôler l'écoulement, à savoir les vitesses superficielles du liquide et du gaz, etc. Les frontières entre les différents régimes n'ont jamais été bien définies et les zones de transition sont relativement étendues, d'ou le caractère subjectif de ces cartes d'écoulement. La génération des cartes d'écoulements est deux types. L'une est une carte expérimentale (Figure. I.2). Pour prendre en considération les effets des propriétés des fluides et du diamètre de la conduite, des corrélations additionnelles doivent être introduites. Les cartes mécanistes sont par contre développées en analysant les mécanismes physiques de transition modélisés à travers les équations fondamentales ( Figure. I.3). Les corrélations empiriques sont toujours utilisées dans les modèles mécanistes pour la fermeture de modèle. Fig. I.2 : Exemple d'une carte d'écoulement expérimentale. Fig. I.3 : Exemple d'une carte mécaniste. 4 Promotion juin 2015

19 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique I. 4. Caractéristiques et modélisation des écoulements en colonnes à bulles : D'une manière générale, une colonne à bulles est un dispositif permettant la mise en contact entre une phase gazeuse sous forme de bulles et une phase continue liquide. En raison de l'étendue de leurs applications, elles sont très étudiées depuis plusieurs dizaines d'années et certains résultats importants sont maintenant bien connus : c'est le cas des régimes de fonctionnement dont l'existence a été mise en évidence par Shah et al [1]. Ces régimes dépendent principalement de la vitesse superficielle de gaz imposée a l'entrée de g la colonnej Les régimes d'écoulements en colonnes à bulles : Nous allons détailler dans ce paragraphe, les caractéristiques principales des trois régimes de fonctionnement d'une colonne à bulle, classiquement observés pour une alimentation uniforme en gaz Deckwer et al [2].Ces trois régimes sont schématiquement représentés sur la (figure. I.4), Chen et al [3]. Fig. I.4 : Régimes de fonctionnement d'une colonne à bulle d'après Chen et al [3]. (a) Régime homogène (b) Régime de transition (c) Régime hétérogène La prédiction du régime de fonctionnement d'un réacteur est primordiale pour son utilisation industrielle car le comportement hydrodynamique et les caractéristiques de transfert et de mélange sont très différents selon les régimes. L'évolution du taux global de rétention gazeuse 5 Promotion juin 2015

20 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique glob en fonction de la vitesse superficielle de gaz (figure.i.5) est un moyen de déterminer les transitions entre les régimes en colonnes à bulles, caractérisées par des changements de pente dans la courbe. Fig.I.5 : Évolution du taux de vide global avec la vitesse superficielle de gaz en colonnes à bulles pour une dispersion eau/ air Deckwer [2] : Le régime homogène Aux plus petites vitesses superficielles de gaz, et lorsque le gaz est injecté uniformément dans la colonne, le régime d'écoulement est homogène (figire.i.5). Il est caractérisé par une population uniforme de petites bulles qui montent verticalement dans la colonne, sans interagir entre elles et avec une faible dispersion axiale Zahradnik et al [4]. Le profil radial de taux de vide est plat et on ne note pas d'effets des sillages à l'arrière des bulles. Le liquide entrainé vers le haut par les bulles, redescend entre elles. L'écoulement moyen de liquide se présente sous la forme d'une structure convection avec une redescente de liquide prés des parois. Dans ce régime, les phénomènes de coalescence et de rupture sont négligeables et le taux de vide est déterminé par la configuration du distributeur et les propriétés physico-chimiques de la dispersion. Il peut être approximativement déterminé par 6 Promotion juin 2015

21 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique un modèle unidimensionnel de flux de glissement, en supposant que toutes les bulles montent verticalement à leur vitesse infinie, selon : glob U U G Le régime homogène correspond ainsi à la première partie de la courbe f U de la (figure.i.6) dans laquelle la rétention gazeuse augmente effectivement linéairement avec le débit de gaz injecté. glob G Fig. I.6 : Photo d'une colonne à bulles fonctionnant en régime homogène prés de l'injecteur (photo du bas) et en milieu de colonne (photo du haut) d'après Mouza et al [5] : La transition Lorsque la vitesse superficielle de gaz augment, toujours dans le cas d'une aération uniforme en gaz, le régime de transition apparait. Il est caractérisé par l'apparition d'agrégats de bulles, appelés clusters, et par la naissance d'une population polydisperse de bulles, liée à l'apparition de phénomènes de coalescence et de rupture. Les plus grosses bulles se concentrent au centre de la colonne créant ainsi un profil radial de taux de vide. Des macrostructures pour l'écoulement liquide apparaissent. Dans ce régime, le taux de vide global cesse d'augmenter avec la vitesse superficielle de gaz, et peut parfois même diminuer par suite de l'évolution de la vitesse relative des bulles (figure. I.5). La transition entre les régimes homogène et hétérogène intervient au-delà d'une vitesse superficielle de gaz qui 7 Promotion juin 2015

22 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique dépend de géométrie du réacteur et d'autres paramètres, tels que le type de distributeur de gaz, la vitesse de liquide imposée dans la colonne, la présence de tensio-actifs, la viscosité de la phase liquide, les pressions et les températures opératoires. L'impact de ces divers paramètres sur l'apparition de la transition à été étudié notamment par Zahradnik et al [4] et plus récemment par Thorat et Joshi [6] : - La distribution de gaz : La stabilité du régime homogène est améliorée en diminuant la taille des orifices à de formation des bulles du distributeur. L'augmentation du nombre d'orifices a également un effet favorable sur la durée du régime homogène et permet d'augmenter la valeur maximale du taux de vide en régime homogène. - La géométrie de réacteur : En diminuant le rapport hauteur H sur diamètre D d'une colonne à bulle, le régime homogène est favorisé et la vitesse superficielle de gaz marquant la transition devient plus grande. Ainsi, le taux de vide critique à la transition peut augmenter de 15 à 30% lorsque la hauteur de la dispersion est divisée par 10 (Ruzika et al [7]). Cependant, pour un système de distribution ne permettant que l'existence de régime hétérogène dans la colonne (un seul large orifice par exemple), la diminution du rapport H/D n'a aucune influence sur le régime, ce qui met bien en évidence le caractère robuste du régime hétérogène. D'autre part, pour H/D>5, l'influence de hauteur de la colonne peut être négligée. Lorsque seul le diamètre de la colonne est augmenté, il a une influence négative sur la stabilité du régime homogène. Ceci peut s'expliquer d'une part par l'effet stabilisant des parois et d'autre part par le fait que la macrochelle de turbulence est, en régime hétérogène, proportionnelle au diamètre de la colonne et augmente donc avec D. - L'ajoute de tensio-actifs : L'ajout de tensio-actifs (du butanol ou de l'éthanol par exemple) dans la phase liquide retarde l'apparition du régime homogène et augmente fortement le taux de vide maximal obtenu en régime homogène. Ainsi, Zahradnik et al [4] ont mesuré un taux de vide caractéristique de la transition qui peut passer de 20% pour une phase continue constituée d'eau distillée à40% pour de l'eau distillée à laquelle du sulfate de sodium ou de chlorure de calcium a été ajouté. L'ajout de coalescence en rigidifiant les interfaces, permettant donc l'existence de petites bulles, même pour de fortes vitesses superficielles de gaz. Ces bulles qui restent petites retardent donc l'apparition du régime hétérogène, caractérisé (et provoqué) par l'existence de grosses bulles. Au-delà d'une certaine concentration critique cependant, l'ajout de tensio-actifs ne change plus rien au taux de vide (saturation des interfaces). 8 Promotion juin 2015

23 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique - La viscosité de la phase continue : L'augmentation de viscosité de la phase liquide a un effet défavorable sur le régime homogène car elle favorise la coalescence des bulles dans la région proche du distributeur. Ainsi, lorsque la viscosité de la phase continue peut être divisé par 2 (Zahradnik et al. [4]) : Le régime hétérogène : Pour les plus fortes vitesses superficielles de gaz, un écoulement instable apparait, c'est le régime hétérogène (figure. I.7). Dans le cas d'une distribution non uniforme en gaz, telle qu'une aération entrée, le régime hétérogène s'établit dans la colonne, quelle que soit J g. Il est caractérisé par une large distribution de tailles de bulles et l'existence d'un profil parabolique de taux de vide, les grosses bulles s'accumulant au centre de la colonne. Dans le cas d'une distribution centrée, le profil parabolique de taux de vide est plus prononcé dans la région proche du distributeur (Dhotre et al [8]). La recirculation de liquide observée en régime de transition disparait et la macro-échelle de la turbulence mesurée dans la phase liquide est de l'ordre du diamètre de la colonne (Zahradnik et al [4]). Le régime hétérogène est caractérisé par le taux de vide global qui augmente de nouveau avec la vitesse superficielle de gaz, avec une pente toutefois inférieure à celle obtenue en régime homogène. Fig. I.7 : Photo d'une colonne à bulles fonctionnant en régime hétérogène prés de l'injecteur (photo du bas) et en milieu de colonne (photo du haut) d'après Mouza et al [5]. 9 Promotion juin 2015

24 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique Revue bibliographique : Sylvain Lefebvre [9] : Les applications industrielles des colonnes à bulles touchent principalement trois secteurs, soit l'industrie chimique, l'environnement et les biotechnologies. Le nombre d'exemples d'applications des colonnes à bulles dans l'industrie chimique est très grand. Ainsi, elles sont utilisées dans la production de l'acide acétique, du méthanol et dans la chlorination en chaîne des aromtiques aikiliques. En environnement, elles sont utilisées dans le traitement des eaux usées, comme unité de flottaison dans la décontamination de gaz corne l'absorption du monoxyde d'azote, etc. En biotechnologies les colonnes à bulles sont utilisées dans la production de pénicilline, de protéines de cellules animales...etc. Dans le but d'interpréter correctement les résultats de l'hydrodynamique dans l'écoulement gaz-liquide, il est nécessaire de connaître, sous des conditions opératoires données, le régime d'écoulement des fluides dans les colonnes à bulles. Il est également nécessaire de connaître si un régime d'écoulement sera maintenu après une extrapolation de l'échelle pilote à une colonne industrielle. De nombreuses études ont traité de l'identification et de la transition des régimes d'écoulement en colonnes bulles (Zahradnik et al [4] ; Letzel et al [10] ; Vial et al [11] ; Ruzicka et al [7] ; Olmos et al [12] ; Ruthiya et al [13]. D'une manière générale, trois régimes d'écoulement ont été observés en colonnes à bulles classiques : homogène (homogeneous flow), la transition et l'hétérogène ( heterogenous flow ou churn-turbulent flow). Un autre régime, appelé écoulement à bouchons (slug flow), a été aussi observé dans les colonnes de laboratoire (Shah et al [1]), mais il n'apparaît pas à l'échelle industrielle. Plusieurs travaux de la littérature (Sarrafi et al [14] ; Vial et al [11] ; Ruzicka et al [7] ; Mouza et al [5]) ont montré que les principaux facteurs qui influent sur les transitions entre les deux régimes homogène et hétérogène sont : le débit de gaz, les propriétés physicochimiques du système gaz-liquide, le type du distributeur ainsi que les dimensions géométriques de la colonne. Sarrafi et al [14] ont examiné l influence de la géométrie de la colonne sur la transition entre régimes homogène et hétérogène Wilkinson et al [15] : Dans l'industrie, la majorité des colonnes à bulles fonctionnent en régime hétérogène. Cependant, le régime homogène est aussi bien rencontré, en particulier dans les colonnes à bulles fonctionnant à pression élevée. La plupart des auteurs (Deckwer [2] ; Zahradnik et al [4] ; Vial et al [11] ; Ruthiya et al [13]) ont montré que le régime homogène est observé pour les faibles débits de gaz ( U < 5 cm/s) et est caractérisé par une distribution de taille des bulles uniforme et un taux de g 10 Promotion juin 2015

25 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique rétention du gaz radialement uniforme. Les phénomènes de coalescence et de rupture des bulles sont négligeables ; la taille des bulles et la rétention gazeuse sont donc contrôlées par le type du distributeur du gaz et les propriétés physico-chimiques du système gaz-liquide utilisé. Les bulles se meuvent à peu près verticalement avec de faibles oscillations latérales et il n'y a pas de circulation liquide à grande échelle. Le régime hétérogène apparaissant aux grands débits de gaz ( U g > 7 cm/s). Dans ce cas, le régime homogène ne peut pas être maintenu et un écoulement instable apparaît. On observe la formation de bulles de grande taille. Si le diamètre de la colonne est petit, ces grosses bulles atteignent la taille de la colonne et on obtient l écoulement en bouchons. La transition et le régime hétérogène établi sont caractérisés par une large distribution de tailles de bulle et l'existence d'un profil radial de la rétention gazeuse. Une partie du gaz est transportée sous forme de grosses bulles, tandis que les petites se meuvent au voisinage des parois avec des vitesses ascensionnelles plus faibles. Les phénomènes de coalescence et de rupture jouent donc un rôle important dans la formation des grosses bulles et la distribution des tailles de bulles ne dépend plus du distributeur à partir d'une hauteur de colonne supérieure à cinq fois son diamètre. Dans de nombreux travaux de la littérature, la transition et le régime hétérogène établi sont confondus (Chen et al [3] ; Letzel et al [10] ; Zahradnik et al [4]). Ces auteurs ont proposé une description spatiale plus fine de la transition et du régime hétérogène établi en colonnes à bulles qu'ils ont nommés respectivement écoulement en spirale et turbulent. - Taitel et al [16] distinguent les régimes à bulles, à poches, agité et annulaire et suggèrent des équations théoriques de transitions entre les régimes. Il est important de se référer à l article original de Taitel et al [16] pour utiliser correctement les définitions topologiques des écoulements adaptés par les auteurs. - Clarke et al [17] ont présenté une méthode numérique pour la détermination de la structure du champ d écoulement dans un tube vertical. La méthode est basée sur l ensemble des équations moyennées qui régissent l écoulement au sein du liquide autour de bulle et dans le bouchon liquide derrière le culot de la poche. - Taha et al [18] ont fait une tentative pour modéliser le processus d'ultrafiltration de l écoulement à poches vertical employant la méthode (V OF) avec le but de comprendre et déterminer la quantité de flux pénétrant qui résulte du volume de gaz. Pour cette étude numérique, le logiciel Fluent est employé la méthode (VOF) pour calculer la forme et la vitesse de la poche, la distribution des vitesses et la distribution de la contrainte de cisaillement sur la paroi du tube. 11 Promotion juin 2015

26 Chapitre I Généralités sur les écoulements diphasiques et revu bibliographique - Mr Abid Akhtar [19] L'étude d'hydrodynamique d'un écoulement à chaînes de bulle ascendant continue par la colonne liquide a été réalisée pour la colonne à bulle d'échelle de laboratoire en utilisant l'approche du volume de fluide (VOF). L'effet des paramètres de fonctionnement et de conception sur la trajectoire de distribution et d'élévation de grandeurs de bulle a été étudié pour le système air-eau. Pour le même diffuseur, les résultats de simulation ont indiqué la formation de petites bulles à basse vitesse superficielle de gaz, et de bulles relativement grandes à des vitesses plus élevées. L'analyse de la trajectoire de bulle pour différentes vitesses superficielles de gaz a démontré un oscillant, le comportement montré par de petites bulles a été formé à la basse vitesse superficielle de gaz. Une concordance raisonnable entre les valeurs prévues du hold-up de gaz avec le travail expérimental a validé le modèle actuel. F. Ozkan et al [20] Le CFD, qui peuvent décrire en détail l'évolution dynamique du l'interface déformable dans les écoulements gazeux liquides ou liquide-liquide, peut être un outil valable pour explorer le potentiel de l'écoulement de multi-fluide dans des canaux étroits pour l'intensification de processus. Dans cette étude, un calcul pour l'écoulement Co-courant dans un canal vertical, pour étudier la réalisation des codes bien connus de CFD. Les calculs sont basés sur la méthode de volume de fluide (VOF) ou l'équation de transport pour la fraction volumique liquide, est résolue par les méthodes impliquant une reconstruction géométrique de l'interface. Les résultats sont présentés pour deux cas de base. Dans le premier, l'écoulement est piloté par la flottabilité seulement, alors que dans le deuxième l'écoulement est supplémentaire forcé par un gradient externe de pression. 12 Promotion juin 2015

27 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques

28 Chapitre II : paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques II.1.Géométrie du problème : La géométrie de la configuration considérée (Fig. II -1) est une colonne cylindrique de rayon R=10cmet de hauteur H=50cm, dont le rapport d aspect fixe (γ= H/R =5). L enceinte contient de liquide (eau) et de gaz (air). Le cylindre est ouvert à l air libre, l autre extrémité (disque inferieur) à un trou de d=10cm, La paroi latérale rigide est adiabatique. Ф=20cm H=50 cm D=10cm Fig. II.1 : Géométrie du problème. II.2. Paramètres d'écoulement : II.2.1. La fraction de vide Afin de différencier les deux phases, on notera G comme un indice pour les différentes conditions de la phase gazeuse et L pour la phase liquide. Considérons un canal avec un écoulement courant de deux phases. La section de passage de l'ensemble de cet écoulement est représentée par la surface A. La surface A G représente la section de l'écoulement de la phase gazeuse seulement, et finalement A L la section de l'écoulement de la phase liquide. Le 13 Promotion juin2015

29 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques rapport de la surface d'écoulement de gaz et du liquide sur la surface totale de l'écoulement représente la fraction de vide souvent dénoté par ou(1 ). G L A A A A G L II.2.2. Les vitesses La vitesse superficielle représente le débit volumique d'une phase sur la surface totale : U Ls U LG q A q L A G Compte tenu de la définition du hold-up les vitesses locales du liquide et du gaz peuvent être exprimées en fonction des vitesses superficielles et des hold-up respectifs. U Ls U Ls U L 1 L L U Gs U Gs U G 1 L L II.2.3. Le taux de vide (taux de présence du gaz) C'est le rapport du volume de gaz sur le volume total. W G W G W L 14 Promotion juin2015

30 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques II.1.4. Les titres a). Le titre massique C'est le rapport du débit massique du gaz sur le débit massique du mélange. x M G M G M L Où est le débit massique du gaz. Cette notion est utilisée dans le calcul des condenseurs par exemple. b). Le titre volumique x v qg q q G L Où est le débit volumique du gaz. II.3. Modélisation des écoulements diphasiques : La complexité dans la conception des systèmes gaz-liquide est due à l'existence simultanée des phases liquide et gaz. L'interface entre les deux phases peut être sous plusieurs configurations. L'hydrodynamique et le mécanisme de l'écoulement changent d'une configuration à une autre. Dans la solution des problèmes diphasiques, il y a plusieurs niveaux d'approches : les corrélations empiriques, les techniques de modélisation et la résolution numérique des équations de Navier-Stokes. Les corrélations empiriques sont seulement valides pour un nombre de paramètres pour lesquelles elles sont générées. La dynamique numérique des fluides est généralement utilisée pour le calcul de la chute de pression et des fractions du vide dans les écoulements gaz-liquide. Elle est applicable sur une large plage de condition. Cependant, cette procédure fait appelle à la résolution des équations de bilans pour les deux fluides et à la détermination de l'interface gaz-liquide, en outre, ces techniques souffrent du problème de stabilité. Les techniques de modélisation se situent entre les deux procédures précédentes. Elles simplifient le problème posé en considérant seulement le phénomène physique important et négligent les effets secondaires qui compliquent la résolution de manière à ne pas affecter la précision de la solution. Ces techniques incluent principalement la modélisation mécaniste de 15 Promotion juin2015

31 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques la transition entre les différentes configurations de l'écoulement et le modèle drift-flux pour le calcul de la retenue de liquide [21]. II.4. Formulation mathématique : II.4.1. Généralités : Dans l'étude des écoulements diphasiques, les équations fondamentales reposent sur les équations de bilans, qui peuvent être écrites soit de façon simplifiée (globale) soit de façon locale. Les équations fondamentales simplifiées sont établies sous forme de deux modèles approchés dits «modèle séparé et modèle homogène». Le modèle séparé considère que les deux phases ont des propriétés différentes et suppose que chaque phase s'écoule avec une vitesse uniforme moyennée dans la section. L'autre modèle traite le mélange gaz-liquide comme un pseudo fluide monophasique dont les propriétés sont les moyennes du mélange obéissant aux lois d'un écoulement monophasique. Le système étudié dans ce travail est composé de deux fluides séparés par une interface. Les équations générales décrivant cet écoulement se divisent alors en deux groupes : Les équations relatives à chacune des deux phases appelées «équations phasiques». Les conditions de saut aux interfaces appelées «équations diphasique». L'établissement des équations générales pour les écoulements diphasiques est basé sur le schéma ci-dessous. Bilans globaux Règle de Leibnitz Théorème de Gauss Equations locales Conditions d'interface Fig. II.2 : Organigramme de l'établissement des équations générales pour les écoulements diphasiques. 16 Promotion juin2015

32 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques À partir de l écriture globale des bilans (bilans de masse, de quantité de mouvement, d énergie), le théorème de transport de Reynolds (Leibnitz)ainsi que le théorème de Gauss (Ostrogradski)permettent l obtention des équations locales contenues dans l intégrale du volume. Quant aux équations locales contenues dans l intégrale de surface, elles sont obtenues grâce aux conditions d interface sur les grandeurs locales appartenant à chaque phase de part et d autre de chaque interface. II.4.2. Rappel mathématique : II Théorème de transport de Reynolds : Soit (,,, ) une fonction à plusieurs variables représentant une surface en déplacement dans l espace et dans le temps, Cette fonction est sous la forme suivante : (,,, ) = (, ) avec {1,2,3} La dérivée particulaire de cette fonction s'écrit : xi Avec t V i Df Dt f x et grad f i f t On obtient V grad f Df f f Dt t t x i x Après un calcul mathématique le résultat s'écrit sous la forme suivante : D dt v f f dv div f V dv (2.1) t v i II Théorème d'ostrogradski (Théorème de Gauss) : Le principe est de transformer une intégral de volume ( ) en une intégrale de surface fermée (Ʃ). On considère que la fonction ( ) est une fonction à plusieurs variables : v div f V dv f V n ds V Vecteur (2.2) : 17 Promotion juin2015

33 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques v : div f T dv f T n ds T Tenseur (2.3) n grad f est la normale à la surface Ʃ (2.4) grad f En applique la règle de Leibniz et théorème de Gauss [22], les bilans globaux s'expriment alors sous forme d'intégrales de volume. Ces derniers fournissent les équations locales instantanées relatives à chaque phase identiques à celles trouvées pour les écoulements monophasiques et l intégrale de surface fournit les conditions d interfaces. II.5. Application à l écoulement monophasique : Les équations locales instantanées ci-dessous tirées des bilans globaux, expriment les principes fondamentaux de conservation et d évolution dans le cas d un écoulement monophasique tels que : - Bilan de masse. - Bilan de quantité de mouvement. - Bilan d énergie. II.5.1. Bilans de masse : D Dt v dv div V dv t v 0 Le bilan de masse nous donne l'équation de continuité qui s'écrit sous la forme suivante : div t V 0 II.5.2.Bilan de quantité de mouvement : (2.5) D Dt v V dv f dv T nds 0 v : Vitesse de déplacement d un point matériel du volume de control ( ). : Densité massique des forces extérieures exercées en in point. : Tenseur des contraintes. : Vecteur normal à une facette. L écriture locale du bilan de quantité de mouvement est donnée par l équation ci-dessous : 18 Promotion juin2015

34 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques V div V V f div T 0 (2.6) II.5.3. Bilan d énergie totale : D Dt v V U dv f V dv T n V ds q n ds : Energie interne du système. : Flux de chaleur. v L écriture locale du bilan d énergie totale s écrit comme : V U div V U V f V div T V div q 0 t 2 2 II.6. Application à l écoulement diphasique : (2.7) En écoulements diphasiques, on utilise la même procédure que précédemment à laquelle on rajoute les conditions d interfaces des phases pour établir les équations des bilans globaux et locaux [23]. L application de la règle de Leibnitz et le théorème de Gauss nous conduit à l établissement d équations locales contenues dans l intégrale de volume pour chaque phase. Quant aux équations locales contenues dans l intégrale de surface, elles sont obtenues grâce aux conditions d interface sur les grandeurs locales appartenant à chaque phase de part et d autre de chaque interface. Définissons tout d abord les grandeurs suivantes : : Indice de phase k 1,2 k 1 liquide k 2 gaz : Vecteur normal à l interface dirigé vers l extérieur de la phase k. : Vitesse d un point de l interface. : Tension superficielle. II.6.1. Bilan de masse : 2 D D D dv dv dv 0 k 1 2 k 1 Dt Dt Dt vk v1 v2 19 Promotion juin2015

35 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques Avec : D dv dv V nds dv V nds Vi n ds V i V n ds Dt t t v1 v1 1 i v1 1 i i D dv div V dv V i V n ds Dt v1 v t 1 i Pour les deux phases on a : i i 1 2 div 1 V 1 dv div 2 V 2 dv 1 V V 1 n1 2 V V 2 n2 ds 0 t t v 1 v 2 i Pour les deux phases, il y a conservation : v1 1 div 1 V 1dv 0 t 0 2 div 2 V 2 dv t v 2 C'est-à-dire : 0 0 (2.8) 2 1 V i V 1 n1 2 V i V 2 n2 m k k 1 Où est le débit massique de la phase k. II.6.2. Bilan de quantité de mouvement : D 2 2 k V k dv k f dv T k nk ds k 1 Dt v k 1 k vk k En tenant compte également de la tension superficielle l équation s écrit pour les deux phases de la façon suivante : d m V m V T n T n n ds R : Tension superficielle. (2.9) 20 Promotion juin2015

36 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques : Abscisse curviligne. : Rayon de courbure de l interface en un point donné. II.6.3. Bilan d'énergie totale : k D 1 V U dv f V dv T n V ds q n ds k k k k k k k k k k k 1 Dt 2 v k 1 k vk k k Considérons également l effet de la tension superficielle l équation s écrit : d 1 2 t m1 V1 U1 m2 V2 U 2 q1 n1 q2 n2 T n1 V 1 T n2 V 2 V ds (2.10) : Composante tangentielle des vitesses des phases à l interface. II.6.4. Équations phasiques : t V div V V f div T t div V t V U div V U V f V div T V div q II.6.5. Conditions d interface (Équations diphasiques) : V i V 1 n1 V i V 2 n d m1v 1 m2v 2 T 1 n1 T 2 n2 n1 0 ds R d m1 V1 U1 m2 V2 U 2 q1 n1 q2 n2 T 1 n1 V 1 T 2 n2 V 2 V t ds Nous pouvons écrire les équations précédentes de la façon suivante avec la considération desrestrictions de notre cas d étude : En tout point de la phase liquide : u v 0 x y 21 Promotion juin2015

37 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques u u u 1 p u v u g t x y x v v v 1 p u v v t x y x x A l interface gaz-liquide : Les conditions à l interface peuvent être exprimées en fonction de l interface = (, ) sachant qu en l absence de transfert de masse, la condition d interface relative au bilan de masse qui est l équation (2.8) s écrit : mk 0 1 V 1 V i n1 0 Soit y f x, t que : Vi n 1 f t f 1 x (2.11) est la fonction de l interface et tenant compte de l équation (2.4), on démontre 2 Avec L équation (2.11) s écrit : f u t n f 1 x f x f 1 x f v Cette équation est appelée équation cinématique. x 2 De la même façon on traite la condition d interface du bilan de quantité de mouvement dans l équation (2.10). Sachant qu on a pas un transfert de masse, on suppose que la tension superficielle est constante, donc le gradient de surface de est nul. Avec une projection du tenseur de contraintes sur les deux plans normal et tangent, on obtient les conditions ci-dessous l équation (2.13), (2.14). La condition cinématique : f f u v t x (2.12) 22 Promotion juin2015

38 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques Le bilan des contraintes normales à l interface : 2 v f u v f u 2 f 2 y x y x x x p pg 2 x f 1 f x 1 x (2.13) Le bilan des contraintes tangentielles à l interface : 2 f u v u v f (2.14) x x y y x x II.7. Modélisation de la turbulence : Les équations précédentes appliquées à des phénomènes turbulents ne peuvent pas être résolue directement.cela nous a poussés à utiliser la modélisation numérique. Le développement des moyens de calcul numérique permettant d étudier la plupart des phénomènes physique en particulier les cas turbulents en se basant sur la modélisation. [24] II y'a quatre modèles de turbulence dans le Code fluent : -Spalart-Allmaras (1 équation) : -K-epsilon (2 équations) : - K-Omega (2 équations) : -Reynolds Stress (5 équations) : Pour notre simulation en régime turbulent, on a utilisé le modèle K-epsilon standard à deux équations de transport qui est le plus largement utilisé et qui donne, en général, de bons résultats dans les configurations simples. 23 Promotion juin2015

39 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques II.7.1. Le modèle k-ε standard : Pour le traitement de la turbulence, on a utilisé le modèle k-ε standard inclue dans le package de fluent version Ce modèle est à deux équations et il permet de déterminer a la fois, la longueur de turbulence et l échelle de temps en faisant la résolution de deux équations de transport distinctes.il a été proposé par Launder B.E and Spalding D.B(1972), sa robustesse et son économie en moyen de calcul le rendent largement répondu dans les applications industrielles qui traitent les écoulements complexes. Sa précision raisonnable lui permet le traitement de large gamme d écoulements turbulents. Il s agit d un mode semi-empirique, et la dérivation des équations du modèle repose sur des considérations phénoménologiques et empiriques.ce modèle est basé sur les équations de transport de l énergie cinétique de la turbulence k et son taux de dissipation ε. L équation de transport du modèle pour k est dérivée de l équation exacte, tandis que l équation de transport du modèle pour ε est obtenue en utilisant son homologue mathématique exact. Dans la dérivation de k et ε, l hypothèse est que l écoulement est complètement turbulent et que les effets de viscosité moléculaire sont négligeables. [24] L énergie cinétique de turbulence k et son taux de dissipation ε sont obtenus à partir des équations de transport suivantes : Equation de transport de l énergie cinétique turbulente : L équation de l énergie cinétique est donnée comme suite : t k k kui Gk Gb (2.15) t x j x j k x j Modélisation du terme de production turbulente : Ce terme est définit par : G et G u u u ' ' j k i j xi b t T gi (2.17) Pr x t i (2.16) 24 Promotion juin2015

40 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques 1 T (2.18) p Où : G est l effet Buyancy (poussée d Archimède) Modélisation de la viscosité turbulente : La viscosité turbulente est obtenue en combinant k et ε comme suit : 2 k (2.19) t c Pour la constante c : c 0.09 Équation de transport du taux de dissipation de l énergie cinétique turbulente : (ρε) + (ρεu ) = μ + + C ( G + C G ) C ρ (2.20) Les constantes usuelles du modèle de turbulence k-ε sont données à partir de l expérience ou de la théorie par : = 1.44, = 1.92, = 0.09, = 1.0, = 1.3 II.7.2.Les conditions aux limites et initiales : II.7.1.Les conditions initiales : Les conditions initiales sont prises pour chaque lancement de calcules comme étant la solution obtenue par le calcul antécédent (les répartitions de u, v dans le fluide). Pour la première exécution, on a supposé que le liquide soit au repos dans le volume de contrôle. Alors à 0on aura : II.7.2.Les conditions aux limites : = 0, = 0 ( 10 < < 10, 0 < < 50 ) Les conditions aux limites des quantités pour l écoulement avec injection de l air à partir du font (diamètre de trou égale 10cm). Pour un instant 0, sur l axe de symétrie : Vitesse constante Vitesse parabolique = 0.01, ( 5 5 ) U = V + V R y. ( 5 5 ) 25 Promotion juin2015

41 Chapitre II Paramètres et formulation mathématique des écoulements diphasiques A la paroi latérale : = 0, = 0 ( = 10, 0 ) II.7.3.Paramètre d analyse II La fonction de courant Nous utilisons cet intelligent dispositif seulement pour identifier les lignes de courant hydrodynamique. La fonction de courant (dite de stokes) est définie en coordonnées cylindriques pour un écoulement incompressible, axisymétrique ( / = 0) par : 1 1 u v r z r r (II-21) r, z Cte (la fonction reste constante le long d une ligne de courant) 20 cm Air 10 cm Eau 50 cm V 10 cm Fig. II.3 : Conditions aux limites du problème. 26 Promotion juin2015

42 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique

43 Chapitre III : Modélisation numérique des écoulements diphasique Les équations régissant le phénomène étudié sont des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires, dont la résolution analytique ne peut être possible au moyen des outils d analyse mathématique contemporain. Mais, une solution numérique peut être possible en transformant ces équations différentielles en systèmes d'équations algébriques linéaires par une méthode de discrétisation avant de résoudre ce système par des méthodes directes ou par itérations. Pour notre présente étude, nous avons choisi la méthode des volumes finis pour discrétiser les équations du modèle mathématique. Pour déterminer le champ de la variable dépendante ϕ dans un domaine d étude par la méthode des volumes finis, les étapes à suivre sont essentiellement : Bien définir le domaine d étude et le décomposer en de petits sous domaines appelés volumes finis. Intégrer l équation de transport sur chaque volume fini obtenant ainsi une équation de bilant (Taux d accumulation de ϕ dans le volume = flux entrant net de ϕ à travers les faces du volume + taux de production net de ϕ dans le volume). Discrétiser les différents termes de la forme intégrée de l équation de transport (transformer l équation différentielle ponctuelle en un système d équations algébriques). Incorporer les conditions initiales et aux limites appropriées. Résoudre le système algébrique final par une méthode de résolution (itérative ou semi-itérative ou directe) pour un champ approché de ϕ dans des points discrets du domaine considéré. Un avantage attirant de la méthode des volumes finis est qu elle satisfait le bilan intégral de ϕ exactement sur chaque volume fini et donc sur tout le domaine. Cette méthode peut accommoder n'importe quel type de maillage, même pour les géométries complexes. Le maillage définit seulement les frontières de volume de contrôle et n a pas besoin d'être rapporté à un système de coordonnées. L'approche par volumes finis est peut-être la plus 27 Promotion juin 2015

44 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique simple à comprendre et à programmer. Tous les termes qui doivent être approchés ont la signification physique c est pourquoi cette méthode est choisie. Le domaine physique est divisé en un certain nombre de volumes finis. Sur la figure (III-4 à gauche), on montre un ensemble de volumes de contrôle bidimensionnels typiques z r z j+2 N j+1 W j E P j-1 S r j-2 i-2 i-1 i i+1 i+2 Fig. III.1 : Maillages bidimensionnels et nœuds du maillage. Les variables dépendantes sont stockées dans des points discrets appelés nœuds (points d intersection des lignes du maillage) voir figure (III-1). Les nœuds sont numérotés de 1 à Ni, suivant r le nœud (i, j) est appelé P, il est entouré par les nœuds E (Est), N (Nord), W (West) et S (Sud). À chaque nœud est associé un volume fini (Fig. III-2), les faces du volume sont situées au milieu entre les nœuds, la surface de VC consiste en quatre plans, notés par des 28 Promotion juin 2015

45 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique lettres minuscules correspondant à leur direction e, w, n et s (Exemple : la face w est au milieu entre les nœuds W et P) N Δr n W δzn p w e Δz E δzs ss δrw δre S Fig. III.2 : Volume de contrôle typique Les incréments de distance Δr, Δz, δre, δzn,δrw,δzs sont définis sur la (Fig. III-2).Les scalaires ϕ sont stockés au nœud central. Les composantes de vitesse u et v sont stockées dans des nœuds décalés, (Fig. III-3) l emploi de tels maillages entrelacés permet le calcule des gradients de pression dans les équations de quantité de mouvement, sans interpolation des pressions et le calcul des flux convectifs dans les équations sans interpolations des vitesses. uij ϕij vij Fig. III.3 : Volume de contrôle décalé pour u et v dans un maillage entrelacé. III.1 Discrétisation implicite de l équation générale de transport 29 Promotion juin 2015

46 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique Les équations locales instantanées régissant l écoulement en question peuvent s écrire selon la suivante forme de l équation généralisée de transport d une variable dépendante : (u ) ( v ) 1 r S r z r z z r r (III.1) Où : : représente le terme transitoire. (u ) ( v ) : représente le transport par convection de. r z 1 r : représente la diffusion de. r z z r r S : représente le terme source Pour obtenir l'équation de discrétisation de la variable dépendante, on intègre l'équation générale de transport (III.1) suivant r et z après multiplication par r sur un volume fini de contrôle typique de dimensions r z par unité de profondeur ( pour plus de détail voir Liehard et al. (2005) on obtient la forme algébrique finale suivante : ap P ae E aw W an N as S b Les coefficients multiplicatifs ( a P, a E, aw, a N, a S ) de la variable dépendante ainsi que le terme b de l'équation (III.1) sont décrits en détail dans Patankar (1980) et sont rappelés ci-dessous: a E De A Pe max Fe,0 aw Dw A Pw max Fw,0 a N Dn A Pn max Fn,0 30 Promotion juin 2015

47 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique as Ds A Ps max Fs,0 ap ae aw an as ap 0 rp. r. z b S Avec a P, a E, aw, a N et as sont respectivement les coefficients correspondants aux noeuds central (point P ), Est, Ouest, Nord et Sud du volume fini de contrôle et AP est le coefficient de la variable générale à calculer au point P en un instant précédent par : ap rp. r. z Et b : appelé terme source, qui englobe tous les termes supposés être constants dans le volume de contrôle. De, Dw, Dn, Ds et Fe, Fw, Fn, Fs sont respectivement les termes diffusifs et convectifs aux faces Est, Ouest, Nord et Sud. Leurs expressions sont : Dw w rw. z rw Dn n rn. r z n Ds s rs. r z s Fe u e.re. z Fw u w.rw. z Fn vn.rp. r Fs vs.rp. r Et Pe, Pw, Pn, Ps sont : Pi Fi / Di ; i e, w, n, s 31 Promotion juin 2015

48 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique Ces nombres appelés nombres du Peclet, désignent les rapports des flux convectifs aux flux diffusifs aux différentes faces du volume fini de contrôle. Les coefficients a P, a E, aw, a N et as dépendent du schéma numérique choisi et du nombre de Peclet. III.2 Algorithmes de résolution : Pour résoudre les systèmes d équations algébriques résultants des discrétisations des équations régissant le mouvement par la méthode VOF, il faut remédier aux deux difficultés mentionnées à la fin de la section précédente. Pour cette raison, on a fait appelle à l algorithme PISO Issa (1986) pour construire les coefficients formant les systèmes des équations algébriques. Puis on les résout par l algorithme TDMA (Patankar,1980) qui est plus approprié à ce genre de systèmes algébriques L algorithme Simple : SIMPLE : «Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations», (cas étudié), consiste à utiliser l équation de continuité pour obtenir le champ de pression, car si le bon champ de pression est pris en compte dans le traitement des équations des quantités de mouvement, alors les vitesses obtenues vérifient l équation de continuité 32 Promotion juin 2015

49 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique Le schéma global de l'algorithme SIMPLE dans le cas 2 D Début Initialiser p*, u*, v* Etape 1 : en utilisant les valeurs de la vitesse et de la pression obtenues dans l'itération précédente, calculer les coefficients et les termes sources dans les équations de quantité de mouvement discrétisées. Etape 2 : Résoudre les équations de quantité de mouvement discrétisées (utilisation de la sous relaxation jusqu'à convergence). a, u, = Σa u a, u, = Σa +( u +(,,,, ) ) +, +,,, u*, v* Φ Réinitialiser : p* = p ; u* = u v* = v ; Φ* = Φ Etape 3 : Résoudre l'équation de correction de la pression (utilisation de la sous relaxation jusqu'à convergence).a,, = a,,, +a, + a, +a,,, +, P' Etape 4 : Corriger la pression et la vitesse, voir Patankar [41] (1990) p, = p, + αp,, u, = u, + d, (p, p, p, u, v Etape 5 : Résoudre toutes les autres équations de transport discrétisées. a,φ, =a, Φ, +a, Φ, +a, Φ, Convergence? +a, Φ, +b, Φ Oui FIN 33 Promotion juin 2015

50 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique u, et v sont les deux composantes du vecteur vitesse. P représente la pression. Φ* est défini par : Φ = Φ* + Φ. Φ est une correction. L algorithme PISO : L'algorithme PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) a été mis au point par Issa (1986). Cet algorithme a été développé initialement comme une procédure non itérative pour le calcul des écoulements compressibles instationnaires. Ultérieurement l algorithme a été bien adapté pour la procédure itérative appliquée aux problèmes stationnaires. L algorithme est une extension de l algorithme SIMPLE ayant une étape de correction de plus. Les équations de conservation de la quantité de mouvement sont résolues à partir d un champ de pression p* pour obtenir les composantes u* et v* en utilisant la même méthode de l algorithme SIMPLE. Première étape de correction : Le champ de vitesse u* obtenu ne vérifie pas l'équation de continuité, sauf si le champ de pression p* est correct. Les mêmes étapes de SIMPLE sont suivit pour obtenir une première correction du champ de la vitesse. Puisque dans PISO, on doit faire deux corrections successives, le champ de vitesse obtenue sera noté u**. u** u* u ' p** p * p ' ue** ue* d e p 'p pe' Deuxième étape de correction : * L'équation aeue* anb unb b Ae p *p pe* pour u ** * On 'a ae ue** anb unb b Ae p**p pe** Un deuxième champ corrigé de vitesse sera noté u*** et calculé par ** *** aeue*** anb unb b Ae p*** p pe La sommation dans l'équation précédente est faite avec les vitesses issues da la correction précédente. La soustraction de l'équation (4) de (5) donne : u *** e ** e u ** * anb unb unb ae de p ''p pe'' Où p '' est une deuxième correction de la pression : 34 Promotion juin 2015

51 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique p*** p** p '' L injection de u *** dans l'équation de continuité donne une deuxième équation de correction de la pression : a p p ''p ae pe'' aw pw'' b'' Où les coefficients ae, aw et a p. b '' Aw A ** * ** * anb unb unb e anb unb unb aw ae Enfin, l'équation (7) sera écrite : p*** p** p " p * p ' p" 35 Promotion juin 2015

52 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique Début Conjecture initiale u *,v *, p *, * Exécuter les étapes 1-3 de l'algorithme SIMPLE - Résoudre les équations du moment -Résoudre l'équation de correction de pression - pression et vitesses correctes p*, u *, v*, p ' Etape 4 : résoudre la deuxième équation de correction de pression ai, J pi", J ai 1, J pi" 1, J ai 1, J pi" 1, J ai, J 1 pi", J 1 ai, J 1 pi", J 1 bi", J Etape 5 : pression et vitesses correctes *** I,J u *** I,J V u * I,J di,j p * I,J di,j p V Poser ' I 1, J ' I, J 1 p p ' I,J ' I,J a u nb ai, J a V ** nb nb * unb Vnb* ai, J p p, u * u Poser p p*** V * V, * u u*** V V *** * ** nb d I, J pi" 1, J pi", J d I, J pi", J 1 pi", J p, u,v, * Etape 6 : résoudre toutes autres équations de transport ai, J I, J ai 1, J I 1, J ai 1, J I 1, J ai, J 1 I, J 1 ai, J 1 I, J 1 b I, J No n Convergence? Oui Fin L algorithme PISO 36 Promotion juin 2015

53 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique III.3. Bases de la modélisation numérique par les méthodes de suivi et de capture d'interface : De manière générale, la résolution numérique de la dynamique des écoulements diphasiques se décompose en deux parties [23] : - Le choix d'une technique de représentation et de détermination des champs hydrodynamiques à l'intérieur de chacune des phases. - Le couplage de la représentation hydrodynamique avec celle de l'interface et des conditions aux limites correspondantes. Dans certains cas la représentation des champs hydrodynamiques peut être très simple. Les méthodes d'intégrales de frontière supposent ainsi que le champ de vitesse dérive d'un potentiel. On peut alors montrer que l'ensemble de la dynamique peut être ramenée à l'évolution de la valeur de sources placées uniquement sur l'interface. Dans ce cas seul le couplage évoqué dans le second point demeure [24]. Cette technique n'est possible que dans les cas limites de très forte ou très faible viscosité de chacune des fluides. Dans le cas général, la plupart des méthodes utilisent une discrétisation des champs hydrodynamiques sur le maillage. Le choix du type de maillage utilisé dépend essentiellement de la manière dont est effectué le couplage avec l'interface. Les coordonnées eulérienne et lagrangienne ont été utilisées avec succès. Parce que chaque représentation a des avantages et des inconvénients, le choix entre les deux dépend des caractéristiques du problème à résoudre. La représentation lagrangienne discrète d'un fluide est simple, car chaque zone d'une grille qui subdivise le fluide en élément reste identifié avec le même élément fluide au cours du temps. Les forces de surface et volumique de ces éléments sont facilement identifiables, donc il est relativement simple de calculer la réponse dynamique des éléments [23]. Dans la représentation eulérienne la grille reste fixe et l'identité des éléments fluide n'est pas maintenue. D'habitude, on considère le fluide dans une cellule eulérienne comme un élément fluide sur lequel les forces de surface et de volume peuvent être calculées d'une manière analogue au calcul lagrangien. Cependant, les deux méthodes diffèrent dans la manière de déplacement des éléments du fluide dans leurs nouvelles positions après calcul de leurs vitesses. Dans le cas lagrangien, la grille se déplace avec les vitesses calculées des éléments, 37 Promotion juin 2015

54 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique alors que dans le cas d'un calcul eulérien ou lagrangien-eulérien arbitraire (ALE) il est nécessaire de calculer l'écoulement du fluide à travers le maillage. Cet écoulement exige des propriétés moyennes de tous les éléments fluides se trouvant au cours du temps dans la cellule de calcul. Néanmoins, cette procédure des moyennes limite les méthodes eulériennes [24]. III.4. Défis des méthodes de suivi et de capture d'interface : Une méthode de suivi de front place toujours dans le calcul les nœuds à l'interface en mouvement et ajuste le maillage au mouvement de ces nœuds. Une méthode de capture d'interface garde le maillage stationnaire et enregistre les cellules remplies, vides ou qui contiennent l'interface. Les défis associés avec les méthodes de suivi d'interface incluent : - une méthodologie de suivi d'interface robuste. - des algorithmes généraux pour la localisation et le déplacement des nœuds à l'interface. - l'ajustement du maillage de calcul loin de l'interface. Les méthodes de capteur d'interface bénéficieront de : - L'augmentation de la précision sur la position de l'interface. - Le contrôle des erreurs dans la conservation de la masse. - Raffinement de la grille à l'interface. Choix des méthodes de suivi d'interface : Deux approches sont utilisée pour suivre l'interface soit en ajoutant une dissipation artificielle ou une viscosité aux équations et résoudre le problème approché, soit en traitant la discontinuité et imposer les conditions de saut appropriées à travers cette limite. Les meilleures méthodes de la dissipation artificielle sont aisées à mettre en œuvre et à exécuter pour une classe restreinte de problèmes. L'un des défauts de ces méthodes est qu'elles ne peuvent pas suivre une interface d'une matière interne en mouvement. Les méthodes de suivi d'interface ne possèdent qu'une faible (ou aucune) dissipation artificielle près de l'interface car la singularité est calculée directement et traitée explicitement comme une discontinuité. Ces méthodes sont plus difficiles à implémenter. 38 Promotion juin 2015

55 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique L'algorithme de suivi d'interface doit remplir certaines conditions qui déterminent son niveau de précision à savoir [25]. - Il conserve la masse sur un niveau local ou global. - Il possède au moins une précision de deuxième ordre à l'échelle temporaire ou spatiale. - Il maintient la largeur de la discontinuité de l'interface. - Il résiste aux changements topologiques de l'interface. - Il peut être utilisé en trois dimensions. - Il peut être aménagé pour des grilles non-structurées. - Il peut être commode pour de nouveaux modèles physiques pour l'interface. - Il peut suivre les interfaces en multiphasiques. - Il doit être robuste dans les calculs. - Il peut être programmé par de nouveaux programmeurs. - Il doit être souple pour de nouvelles modifications ou augmentations. III.5. Généralités sur la méthode volume de fluide VOF : Cette méthode est différente des autres méthodes parce qu'elle ne décrit pas l'interface directement. Elle suit le mouvement dans la région considérée en attribuant à chaque cellule sur le maillage une fraction volumique du fluide. D'où, la dimension de la partie de chaque cellule qui appartient à la bulle sous considération est connue. Par conséquent, la méthode VOF a deux avantages majeurs : - Contrairement à la paramétrisation aucun élément de calcul supplémentaire et nécessaire. Le maillage utilisé pour calculer le champ de vitesse peut être utilisé pour une nouvelle application. - Les topologies compliquées peuvent être traitées de manière simple. Cependant, un inconvénient sérieux repose sur le fait qu'il est très difficile de calculer la courbure de l'interface à l'aide de ce type de formalisme. Par conséquent, il n'est pas simple d'appliquer cette approche aux problèmes présentant des courbures. 39 Promotion juin 2015

56 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique Un grand problème peut rencontrer la méthode VOF dans la génération des courants parasites lorsque l'interface est soumise à l'action des forces de la tension superficielle ou lorsqu'il existe des forces de la tension superficielle ou lorsque l'interface est soumise à l'action des forces de la tension superficielle ou lorsqu'il existe des forces de volume et l'interface n'est pas alignée exactement avec les lignes du maillage. Ces problèmes ne contribuent pas à la perte de confiance dans l'application de la méthode VOF, mais à la réduction du pas du temps d'intégration et de ce fait engendrer des solutions inexactes [24]. III Approximation de la variable densité pour la méthode VOF : L'application des conditions aux limites nécessitent un traitement spécial dans la méthode VOF. Comme l'interface évolue le long de la grille, les cellules remplis du fluide changent de valeur à leur tour, ce qui signifie que la solution de la région change. Mettre à jour l'écoulement dans une région et application des conditions aux limites n'est pas une tâche triviale. Pour cette raison, quelques approximations aux limites n'est pas une tâche triviale. Pour cette raison, quelques approximations ont été introduites sur la méthode VOF. Typiquement, cela est faisable en considérant l'écoulement à une seule phase avec une densité variable. La fonction F est utilisée pour définir cette densité. Puisque les équations de l'écoulement sont résolues pour les deux phases, il n'est pas utile d'avoir recours aux conditions limites à l'interface. Malheureusement, cette approche n'est pas praticable pour deux raisons [26]. En premier lieu, la sensibilité de la région gazeuse aux changements de la pression par rapport à la région liquide. La seconde raison est associée à la discontinuité de la composante tangentielle de la vitesse au niveau de l'interface. A cause de leurs différentes réponses aux variations de la pression, les vitesses de la phase liquide et de la phase gazeuse sont très différentes. Dans le modèle VOF à densité variable les interfaces sont déplacées à une vitesse moyenne, mais cela mène souvent à un mouvement illusoire des interfaces. III La théorie du modèle VOF : La formulation VOF est basée sur le fait que deux ou plusieurs fluide (ou phases) sont non miscibles. Pour chaque phase supplémentaire que vous ajoutez au modèle, une variable est introduite : la fraction volumique de la phase. Dans chaque volume de contrôle, les fractions volumiques de toutes les phases sont égales à l'unité. Toutes les variables et propriétés sont partagés par les différentes phases et représentent des valeurs moyennes en volume, pourvu que la fraction volumique de chacune des phases soit connue le long d'une 40 Promotion juin 2015

57 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique cellule de calcul. Donc les variables et les propriétés pour une cellule donnée sont représentatives pour une phase ou pour le mélange, çà dépend des valeurs de la fraction volumique [27]. En d'autres termes, si la fraction volumique du calcul est désignée par q, trois conditions sont possibles : q 0 La cellule est vide (du q 1 La cellule est pleine (du è è è fluide dans une cellule de fluide). fluide). 0 q 1 La cellule est contient l'interface entre les fluides. Basé sur la valeur locale de q, les propriétés et les variables appropriées seront assignées à chaque volume du contrôle dans le domaine. L'équation de la fraction volumique : Le suivi de l'interface entre les phases est accompli par la solution de l'équation de la continuité pour la fraction volumique d'une (ou plus) phase(s). Pour la phase, cette équation a la forme suivante : q t ui q xi è (3.1) 0 La fraction volumique de la phase fond mentale sera calculé en se basant sur la condition : n q 1 q 1 (3.2) Les propriétés : Les propriétés qui apparaissent dans les équations de transport sont déterminées à travers la présence des phases dans chaque volume du contrôle. Dans le cas d'un système diphasique, si les phases sont représentées par les indices 1 et 2, et si la fraction volumique de la seconde phase qui est suivie, la densité dans chaque cellule est donnée par : (3.3) Dans le cas général. pour N phase, la densité prend la forme : 41 Promotion juin 2015

58 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique q q (3.4) Il est de même pour les autres propriétés du fluide. Equation de la quantité de mouvement : Une seule équation de la quantité de mouvement est résolue à travers tout le domaine, et le champ de vitesse résultant est partagé le long des phases. L'équation de la quantité de mouvement dépend des fractions volumiques de toutes les phases à travers les propriétés ρ et μ : p ui u j ui ui u j g j Fj t xi x j xi x j xi (3.4) Dans le cas d'une grande différence de vitesse entre les phases, les vitesses calculées prés de l'interface peuvent être affectées [27]. Interpolation prés de l'interface : Il existe quatre discrétisations pour le calcul du flux des différentes faces pour le modèle VOF : reconstruction géométrique, donatrice-réceptrice, discrétisation d'euler explicite, et d'euler implicite (Fig. III-3). 1- La reconstruction géométrique : La reconstruction géométrique représente l'interface entre fluide en utilisant une approche linéaire par morceaux. La reconstruction géométrique est généralisée pour les maillages non structurée (travail de Young). Il suppose que l'interface entre deux fluides a une inclinaison linéaire dans chaque cellule, et utilise cette forme linéaire pour le calcul de l'advection du fluide à travers les faces des cellules. Le premier pas dans la reconstruction est le calcul de la position de l'interface linéaire relative au centre de chaque cellule partiellement remplie, en se basant sur la fraction volumique et ses dérivés. Le deuxième pas est le calcul du taux d'advection du fluide à travers chaque face en utilisant la représentation de l'interface linéaire calculée et les informations liée à la distribution normale et tangentielle de la vitesse sur la face. Le troisième pas est le calcul de la fraction volumique dans chaque cellule en utilisant le bilan des flux calculés auparavant. 2- La discrétisation donatrice-réceptrice : Ce schéma identifie une cellule comme donatrice d'un taux de fluide d'une phase et une autre cellule voisine comme réceptrice de ce même taux de fluide. Cette discrétisation est utilisée 42 Promotion juin 2015

59 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique pour éviter la diffusion numérique à l'interface. Le taux de fluide d'une phase qui peut être convecté à travers la frontière de la cellule est limité par le minimum des deux valeurs : Le volume rempli dans la cellule donatrice ou le volume libre dans la cellule réceptrice. L'orientation de l'interface est aussi utilisée dans la détermination des flux de la face. Cette orientation est soit horizontale ou verticale, selon la direction du gradient de la partage la face en question. Selon l'orientation de l'interface et de son mouvement, les valeurs du flux sont obtenues par marche en avant, marche vers l'arrière ou par combinaison des deux. 3- Schéma explicite d'euler : Dans l'approche explicite d'euler, on utilise l'interpolation à différences finies standard pour les valeurs de la fraction volumique calculées pour le pas du temps précédent. qn 1 qn t Où V U nf qfn 0 (3.5) n 1 indice du nouveau pas du temps n indice du pas du temps antérieur qfn valeur de la è fraction volumique calculée à travers la face par une discrétisation du premier ou deuxième ordre du schéma d'avant. V volume U f flux volumique à travers la force Cette formule n'exige pas une solution itérative de l'équation du transport comme dans la discrétisation implicite. Lorsqu'on utilise le schéma explicite, une solution en fonction du temps doit être calculée [27]. Fig.III.4 : Limitation du schéma explicite. 43 Promotion juin 2015

60 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique 4- Schéma implicite d'euler : Dans l'approche implicite d'euler, on utilise l'interpolation à différences finis standard pour calculer les valeurs du flux à travers les faces des différentes cellules notamment celles proches de l'interface... qn 1 qn t V U nf 1 qfn 1 0 (3.6) Puisque cette équation nécessite la connaissance des valeurs de la fraction volumique pour le pas actuel du temps (au contraire de schéma explicite), l'équation de transport est résolue par un processus itératif pour chaque fraction volumique de la phase secondaire et pour chaque pas du temps. Fig. III.5 : Schéma implicite. III.6. Évolution de la méthode VOF et principales versions : Dans la méthode VOF, en premier lieu, la géométrie de l'interface (connue) est utilisée pour le calcul des fractions du volume fluide dans chaque cellule. Cette opération calcul le volume tronqué par l'interface du fluide. Les renseignements exacts de l'interface sont abandonnés en faveur des données discrètes de la fraction de volume. Les interfaces sont suivies par l'évolution des volumes de fluide dans le temps avec la solution d'une équation de la convection. Les fractions du volume résultent d'une normalisation des volumes de fluide. La position exacte de l'interface n'est pas connue à tout moment, c'est à dire qu'une distribution des donnes de fractions de volume ne garantit pas une topologie d'interface unique [28]. La position de l'interface est dans ce cas reconstruite suivant les fractions de volume locales. Les positions de l'interface sont utilisées ensuite pour le calcul des flux du volume nécessaire pour le terme convective dans l'équation de l'évolution du volume. Pour advecter les fractions de volume, la méthode VOF doit localiser l'interface, par des algorithmes de suivi à la place des 44 Promotion juin 2015

61 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique algorithmes d'advection, car les algorithmes d'advection calcul les flux algébriquement, alors que les méthodes VOF les calculent géométriquement. La référence [28] compte des commentaires sur la méthode VOF et ces variantes. III.7. Détails numériques utilises dans ce travail La définition de la géométrie et la génération du maillage ont été réalisées à l aide du mailleur "GAMBIT" avec des mailles de forme quadrilatérale pour le cas 2D) avec un nombre de nœuds de (70x140). Dans le cas tridimensionnel 3D on a choisi un maillage hexaédrique de 67030noeuds (figure III.5). Z r 0.1 Fig. III.6 : Maillage utilisé 2D (nr nz =70 140),3D hexaédrique (67030noeuds). 45 Promotion juin 2015

62 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique Les schémas de discrétisation des différentes variables sont résumés dans le tableau (III...1) variable Schéma pression PROSTO Quantité de mouvement Décentré amont 1er ordre Couplage pression-vitesse PISO Energie cinétique turbulente Décentré amont 1er ordre Taux de dissipation de l énergie Décentré amont 1er ordre cinétique turbulente fraction de volume Géo-Reconstruct Tableau III.1 : Schéma de discrétisation. Sous relaxation Les sous relaxations sont régulièrement utilisés dans les problèmes non linéaires pour éviter que le processus itératif ne diverge. Elle consiste à diminuer la rapidité des changements d une variable, d une itération à l autre, par l introduction d un coefficient de sous relaxation Dans notre cas ; les valeurs de sous relaxation sont données dans le tableau suivant : variable Facteurs de sous relaxation pression 0.3 Quantité de mouvement 0.7 Energie 1 Viscisité turbulente 0.8 Tableau III.2 : Les valeurs de sous relaxation. 46 Promotion juin 2015

63 Chapitre III Modélisation numérique des écoulements diphasique Temps de calcule Le calcule pour un le régime transitoire d une grille de points prend environ une journée de calcul pour avoir t=2s, qui nécessite des pas de temps plus petits τ=10-3 c.à.d d itérations avec un micro-ordinateur à deux processeurs Core (TM) i7-4500u CPU. 47 Promotion juin 2015

64 Chapitre IV Résultats et discussion

65 Chapitre IV : Résultats et discussion IV.1.Introduction Pour les résultats obtenus, nous aurons recours au code CFD FLUENT la version 6.3, commercialisé par Fluent Incorporated. Pour l'usage que nous en avons, il permet de résoudre les équations régissant les mouvements laminaires et turbulents d'un fluide, en dimension 2 ou 3. Les problèmes à résoudre peuvent être en régime permanent et stationnaire. Le logiciel FLUENT basé sur la méthode numérique des volumes finis. Cette méthode est bien exposée dans le chapitre III. La résolution effectuée par le logiciel FLUENT simulé le mouvement d'une chaîne continue des bulles ascendants à travers un liquide stagné dans une colonne.en utilisant la méthode VOF (L'approche Volume Of Fluid), elle suit le mouvement dans la région considérée en attribuant à chaque cellule sur le maillage une fraction volumique du fluide. La formulation VOF est basée sur le fait que deux ou plusieurs fluide (ou phases) sont non miscibles. Pour chaque phase supplémentaire que vous ajoutez au modèle, une variable est introduite : la fraction volumique de la phase. Dans chaque volume de contrôle, les fractions volumiques de toutes les phases sont égales à l'unité. Toutes les variables et propriétés sont partagés par les différentes phases et représentent des valeurs moyennes en volume, pourvu que la fraction volumique de chacune des phases soit connue le long d'une cellule de calcul. 0, la cellule est vide dans la phase liquide et 1 la cellule est pleine (dans la phase air gaz). 0 air 1 la cellule est contient l'interface entre les fluides. La tension superficielle est incluse en définissant une valeur constante (0,072 N/m), alors le modèle de turbulence choisi introduit deux équations de transport supplémentaires aux équations de Navier-Stokes moyennées : une pour l'énergie cinétique turbulente k et une pour le taux de dissipation de la turbulence. Le modèle de tension superficielle dans FLUENT est CSF modèle (continuum surface force) proposé par Brackbill et al. (Manuel 6,3 Fluent). L a force de surface de continuum, l'addition de la tension superficielle au calcul de VOF a comme conséquence l adition de terme source dans équation de mouvement pour étudier l'effet de la vitesse constant de l air a l entrée sur les caractéristiques d'écoulement et la dynamique de bulle de la chaîne continue air 48 Promotion juin 2015

66 Chapitre IV Résultats et discussion de bulle. Et l'effet de la vitesse parabolique de l air sur la dynamique de bulle. Toutes les simulations ont été effectuées dans deux dimensions (bidimensionnelles). IV.2.Effets du maillage Plusieurs maillages non uniformes resserrés près des parois de l enceinte où de forts gradients de vitesse et de température existent ont été utilisés. Avec différentes grilles de maillage on a tracée les profils de vitesse axiale présentés dans la figure (IV -1), En nous informent sur la qualité de la solution approchée qu apportent ces différentes grilles de maillage dans quelques régions du domaine de calcul entre la grille fine (n r n z =50.100), la grille moyenne (n r n z =70 140) et celle la moins dense (60 120). Selon le résultat de cet essai on peut conclure que la solution est indépendante du maillage le maillage choisi. Pour achever les calculs nécessaires à la résolution du problème considéré, est celui avec un nombre moyen de point de discrétisation, c.-à-d. la grille de (n r x n z =70x140) pour capter bien les deux phases (et les bulle) et présente le meilleur compromis entre temps de calcul et précision. 4.00e-01 vitesse axiale : v Y Velocity (mixture) (m/s) 3.00e e e e+00 rxz=50x100 rxz=60x120 rxz=70x e e Position (m) r y (mixture) (Time=2.0000e+00) Figure. IV.1 : Distributions radiale de la vitesse axiale v à z=0.25 obtenues avec Jun différentes 07, 2015 FLUENT 6.3 (2d, pbns, vof, ske, unsteady) densités de maillage pour une vitesse parabolique avec V 0 = à t=2s. 49 Promotion juin 2015

67 Chapitre IV Résultats et discussion IV.3.Validation des résultats Afin de donner plus de confidence aux résultats trouvés, nous avons comparé avec les résultats qui ont été faite avec la corrélation expérimentale de Deckwer [2]. La ligne pointillée tracée avec l'équation de Deckwer [2] sur la figure (IV -2) était très près de les vitesses calculées d'élévation avec les simulations 3D en particulier à des vitesses faibles de l entrée de l air. Une légère déviation à des vitesses plus élevées de l air a pu être attribuée à l'utilisation de vitesse entre 6 et 8 cm/s. 50 N os sim ulations D eckw er ( ) 45 vitesse de bulle (cm/s) vitesse de l'air (cm /s) Figure. IV.2 : comparaison avec Deckwer (1992). Vitesse d élévation de la bulle en fonction de la vitesse d entrée de l air. IV.4.Effet de vitesse constante de l air sur la chaîne continue de bulle. Afin d'étudier l'effet de la vitesse superficielle de l air sur la distribution des tailles de bulle pour l'écoulement à bulle, des simulations ont été effectuées avec vitesse constant (taille de trou = 1 cm) et les différentes vitesses superficielles de l air v = 0.01 ; 0.05 et 0.1m/s. La figure (IV.3) expose les instants successifs choisis pour visualiser cet écoulement sont indiqués par : t =0.25 ; 0.5 ; 0.75 ; 1 ; 1.25 ; 1.5 ; 1.75 et 2s sur le tracé de l évolution temporelle de fraction de volume d'air enregistrée au cours de simulation. Il est clair que la taille de bulle soit une fonction de vitesse superficielle de l air. Il augmente avec l'augmentation de la vitesse superficielle de l air, qui est conforme aux observations 50 Promotion juin 2015

68 Chapitre IV Résultats et discussion expérimentales de Clift et al [30] et d'autres chercheurs (Chen et al [3]). Petites bulles produites à la basse vitesse superficielle de l air, par exemple avec 0.1 m/s (Fig IV.3). Les petites bulles produites à la basse vitesse superficielle de l air ont eu la basse vitesse d'élévation de bulle, ce qui a été mesuré en utilisant la position d'élévation finale de la bulle par apport à l état initiale produit à partir de l'orifice. (Fig. IV.3). On l'a également noté que les temps de la coalescence (assemblage) pour la première bulle (en tête) avec la vitesse superficielle de l air v = 0.05 et 0.1m/s étaient 1.75 et 1.5 s respectivement. La principale bulle produite à partir de l'orifice a un plus grand diamètre une fois comparée aux bulles de remorquage (qui vient après la bulle en tête), qui pourraient être dues à des forces de surface sur les bulles de remorquage ou à l interaction entre les deux phases. On a observé que les bulles de remorquage se déplace d'une façon rectiligne aux basses vitesses superficielles de l air (0.01 m/s) tandis qu'à des vitesses supe rficielles plus élevées de l air, ces bulles zigzaguent légèrement à la montée ou d une manier (comportement) oscillant. Ceci peut être expliqué en considérant comportement d'une bulle en hausse simple. Une bulle de montée pousse le liquide devant elle tandis que le liquide derrière lui est tiré par le sillage de bulle (les interactions entre phases) qui se trouve directement derrière la bulle ; donc, elle est due au degré plus grand de turbulence et au sillage de formation derrière les bulles qui est responsable de l'oscillant. Ceci peut être expliqué en considérant le comportement d'une bulle en hausse simple. Une bulle de montée pousse le liquide devant elle tandis que le liquide derrière lui est sucé par le sillage de bulle qui se trouve directement derrière la bulle ; donc, elle est due au degré plus grand de turbulence et au sillage de formation derrière les bulles qui est responsable du comportement oscillant des bulles de remorquage derrière de grandes bulles de montée, qui est conforme aux observations expérimentales d'olmos et al[12] et de Chen et al [3]. 51 Promotion juin 2015

69 Chapitre IV Résultats et discussion (a) (c) (b) Figure. IV.3 : Effet bidimensionnel de vitesse constant superficielle de l air sur la distribution de grandeurs de bulle. (a) V air = 0.01 m/s. (b) V air = 0.05 m/s. (c) V air = 0.1m/s. 52 Promotion juin 2015

70 Chapitre IV Résultats et discussion Dans le tableau (IV -1) sont récapitulés les résultats quantitatifs de la présente étude numérique, qui sont les différentes valeurs maximales de la fonction de courant, Ψ avec la vitesse de distribution parabolique (v 0 =0.1) pour différentes valeurs de temps (t =0.25 ; 0.5 ; 0.75 ; 1 ; 1.25 ; 1.5 ; 1.75 et 2s), les valeurs de la fonction de courant obtenue sont respectivement 0.919, 1.38, , 11.83, (kg/s). Ces valeurs sont vis ualisées graphiquement dans les plans (Ψ max -t) sous forme de courbe paramétrique (Fig. IV.4). La croissance des valeurs maximales de la fonction de courant, Ψ avec l augmentation de temps, est clairement vue dans les courbes (Ψ max -t). Cette croissance est monotone. t Ψ Tableau IV-1 : la variation des valeurs maximales de la fonction de courant, Ψ en fonction du temps t Max t Figure. IV.4 : La variation de la fonction de courant maximum en fonction de temps. 53 Promotion juin 2015

71 Chapitre IV Résultats et discussion Ce comportement est plus clair dans la figure (IV.5) à v = 0.1 m/s. Cette figure montre la formation de petites bulles sphériques à de basses vitesses et de grandes bulles ellipsoïdes à des vitesses plus élevées. Les formes obtenues de bulle sont en accord avec des observations expérimentales précédentes (Clift et al [30]). Les petits bulles sphérique oscillant ou zigzaguer à de faible vitesses superficielles de l air. Le comportement observé est compatible aux résultats expérimentaux rapportés par Liu et al [31]. Ce comportement de zigzaguer pourrait être dû à la capacité de petites bulles de d ériger vers la paroi en cas d'écoulement déphasé de l'air-eau comme mentionné par Tomiyama et al [32]. Il est également évident que les bulles presque de mêmes tailles ont été produites aux faibles vitesses superficielles. Z En cas de simulations tridimensionnelles, l'effet de la vitesse superficielle de l air semblable à cela observée dans des simulations bidimensionnelles (Fig.IV-5). Par exemple, X Y Z on a observé une augmentation dans la taille de bulle et de trajectoire de zigzag des bulles de Z remorquage avec l'augmentation de la vitesse de l air. X Z X X Y Z Y Y X Figure. IV.5 : Effet tridimensionnel de vitesse constant superficielle de l air sur la distribution de la taille de bulle : Vair = 0.1m/s. 54 Promotion juin 2015 Y

72 Chapitre IV Résultats et discussion IV.5.Effet de vitesse parabolique de l air sur la distribution de grandeur de bulle. L'effet de la vitesse parabolique sur la distribution de grandeurs de bulle et l'hydrodynamique était étudié avec la distribution de vitesse selon l équation U=v 0 +(v 0 /R)*y 2. Trois valeurs différentes de vitesse de l air, v 0 (0.01, 0.05 et 0.1m/s) ont été choisies pour deux et tridimensionnel simulations. La figure 4 montre l'effet bidimensionnel de vitesse parabolique sur la distribution de grandeurs de bulle. En pouvant observer l augmentation de la vitesse d'élévation avec la l augmentation de la de la vitesse v 0. En comparant la trajectoire d'élévation de bulle pour le les trois cas de vitesse, on remarque que à faible vitesse (v 0 = 0.01) présente une trajectoire régulière et la taille des bulle avec la croissance de vitesse. Les bulles de petites tailles habituellement formé avec faible vitesse de l air aient des basses vitesses d'élévation. Un état stable d élévation de ces bulles sans débattement de position centrale peut également observé. La comparaison figure IV- 3 avec figure IV- 7 montre que les bulles formés avec vitesse parabolique ont montré une trajectoire rectiligne contrairement au cas avec vitesse constante de l air. La figure (IV.6) illustrent le profil radiale de la fonction de courant, Ψ à z=0.2, dans le cas de v=0.01, 0.05 et 0.1 (m /s) et t=2s. L allure du profil montre la croissance des valeurs de fonction de courant avec la croissance de vitesse d entrée de l air. Les valeurs de Ψ sont plus basse de coté r positif. 3.00e e e+01 v=0.1 v=0.05 v=0.01 Stream Function (mixture) (kg/s) Ψ 1.50e e e e Position (m) r Stream Function (mixture) (Time=2.0000e+00) Figure. IV.6 : Profil radiale de la fonction de courant, Ψ à z=0.2, dans le cas de v=0.01, 0.05 et 0.1 (m /s) et t=2s. Jun 07, 2015 FLUENT 6.3 (2d, pbns, vof, ske, unsteady) 55 Promotion juin 2015

73 Chapitre IV Résultats et discussion (a) (b) Figure. IV.7 : Effet bidimensionnel de vitesse parabolique superficielle de gaz sur la distribution de grandeurs de bulle. (a) V air = 0.01 m/s. (b) V air = 0.05 m/s. (c) V air = 0.1m/s. (c) 56 Promotion juin 2015

74 Chapitre IV Résultats et discussion IV.5.1.Structure de l écoulement au cours du temps : L écoulement primaire est représenté en utilisant les lignes de courant hydrodynamiques tracées à l aide de la fonction de courant. L aspect oscillatoire indique que les instabilités oscillatoires commencent, et l écoulement bifurque vers un régime instable en comparant les amplitudes des paramètres en oscillation, on peut remarquer que ces amplitudes présentent des grandeurs différentes pour les différents points d enregistrements historiques, Cette multitude de fréquences d oscillations dans l écoulement signifie qu il est multicellulaire, en d autre terme c est le vortex breakdown (ou éclatement tourbillonnaire), ou elles existent une ou plusieurs zones de recirculation, chacune est séparée de l autre et de l écoulement secondaire par une ligne de courant n ayant aucun débit Ψ=0 (line séparatrice) Dans le but de comprendre la nature oscillatoire des différents paramètres de l écoulement pour le cas de vitesse parabolique, on a choisi l évolution temporelle au cours du temps la fonction de courant. pour le cas ou V 0 =0.01 m/s, pour explorer la structure de l écoulement pendant des laps de temps t=0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75 et 2s (Fig. IV- 8). En observe les lignes de courant hydrodynamique au cours des temps en peut remarquer que l écoulement de base comporte deux cellules de recirculation secondaire Aux différentes instants les cellules forment des structures opposer. Les dimensions des cellules de base se changent au cours des temps, en subissant un élargissement puis un rétrécissement, à t=2s les deux cellules domine presque la colonne. 57 Promotion juin 2015

75 Chapitre IV Résultats et discussion e+00 e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+00 s) Stream (Time=2.5000e-01) Function (mixture) Contours (kg/s) of Stream (Time=5.0000e-01) Function (mixture) Contours (kg/s) of Stream (Time=7.5000e-01) Function (mixture) (kg/s) (Time=1.0000e+00) Jun 07, 2015 Jun 07, 2015 Jun 07, 2015 Jun 07, 2015 FLUENT 6.3 (2d, pbns, vof, ske, FLUENT unsteady) 6.3 (2d, pbns, vof, ske, FLUENT unsteady) 6.3 (2d, pbns, vof, ske, FLUENT unsteady) 6.3 (2d, pbns, vof, ske, unsteady) t=0.25 t=0.5 t=0.75 t= e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+00 eam (Time=1.2510e+00) Function (mixture) Contours (kg/s) of Stream (Time=1.5000e+00) Function (mixture) Contours (kg/s) of Stream (Time=1.7500e+00) Function (mixture) (kg/s) Jun (Time=2.0000e+00) 07, 2015 Jun 07, 2015 Jun 07, 2015 Jun 07, 2015 FLUENT 6.3 (2d, pbns, vof, ske, FLUENT unsteady) 6.3 (2d, pbns, vof, ske, FLUENT unsteady) 6.3 (2d, pbns, vof, ske, FLUENT unsteady) 6.3 (2d, pbns, vof, ske, unsteady t=1.25 t=1.5 t=1.75 t=2 Figure. IV.8 : Évolution temporelle des contours de fonction de courant (Ψ,) aux temps t=0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75 et 2s le pour le cas de vitesse parabolique, ou V 0 =0.01 m/s. 58 Promotion juin 2015

76 Conclusion général

77 Conclusion générale Une étude numérique d un écoulement diphasique (gaz, liquide) dans une colonne à bulle, a été faite. Le code CFD FULENT a été utilisé pour résoudre numériquement les équations gouvernant le phénomène étudié avec le modèle VOF. Une validation des résultats de calcul a été faite, par comparaisons avec des données numériques trouvées dans la littérature. De même, un excellent accord est apprécié entre les mesures numériques et les résultats de notre calcul. Nos simulations numériques ont été présentées pour différentes valeurs de vitesse d entrée de l air v=0.01 et 0.05 et 0.1. On a traité deux cas de vitesse (vitesse constante et vitesse parabolique à l entrée), afin de voir leurs effets sur la structure de l écoulement et les grandeurs des bulles formées ainsi que la vitesse d élévation. Les résultats obtenus montrent : Les résultats obtenus pour le cas de l effet de vitesse constante sur l écoulement, montre que la vitesse d élévation de bulle augmente avec l augmentation de la vitesse d entrée de l air L'augmentation de la taille de bulle avec le la croissance de vitesse de l air a été également démontrée par les résultats de simulation. l application d une vitesse parabolique provoque un changement remarquable sur l écoulement avec une trajectoire d élévation rectiligne des bulles, contrairement au cas de la vitesse constante. Il est recommandé dans les futurs travaux de faire une étude tridimensionnelle en déterminant la vitesse d'élévation de bulle et la forme de bulle, 59 Promotion Juin 2015

78 Références Bibliographiques

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