Exercice n 1. d 2 x dt 2 (m.s-2 ) 4,5. Fig 3. t(s) B- Les frottements ne sont plus négligeables.

Transcription

1 Exercice n Un solide (S) de masse m est attaché à l extrémité d un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K= N.m -, l autre extrémité du ressort est attachée à un point fixe. Le système S ={ (S) + ressort} est placé sur un plan horizontal (fig -). Au repos, le centre d inertie G du solide est au point O, origine d un repère (O, i r ) horizontal. A partir de O, on écarte le solide (S) d une distance x m dans le sens positif et on le lâche sans vitesse. A- Les frottements sont négligeables. ) a- Représenter les forces exercées sur le solide (S) en mouvement à une date t quelconque. b- Etablir l équation différentielle du mouvement et déduire l expression de la pulsation propre ω de l oscillateur. c- On donne le graphe représentant les variations de l accélération du solide (S) en fonction de l élongation x (figure ). Déterminer graphiquement ω. Montrer que la masse du solide est m= g. ) a- Au passage du solide (S) par une position d abscisse x sa vitesse est v, donner l expression de l énergie mécanique totale E du système S en fonction de m, v, K et x. b- Montrer que l énergie E est constante puis l exprimer en fonction de K et x m. 3) On donne le graphe qui représente les variations de l énergie cinétique Ec du solide en Ec( -3 J) fonction du temps (figure 3). La loi horaire du mouvement est 9 donnée par x(t)=x msin(ωt+ϕ) a- Montrer que l énergie cinétique Ec s écrit sous la forme : 4,5 Ec= 4.K.x m(+ cos(ωt+ ϕ). b- A partir du graphe, déduire les valeurs de x m et ϕ puis écrire, en fonction du temps, la loi horaire du mouvement Fig 3 - Fig d x dt (m.s- ) x( - m) B- Les frottements ne sont plus négligeables. Le solide (S) est maintenant soumis à une force de frottement visqueux de valeur algébrique f=-hv (h=cte>), le graphe de la figure 4 représente les variations de son abscisse x en fonction du temps. (les conditions initiales sont les mêmes que dans la partie A). ) Etablir l équation différentielle du mouvement de (S) en fonction de son abscisse x. ) Montrer que l énergie totale du système S diminue au cours du temps. 3) Sachant que la variation de l énergie totale du système S est égale au travail de la force de frottement, calculer ce travail entre les dates t et t.

2 x(cm),8 t t t -, Fig 4 Exercice n Partie A- On considère le pendule élastique horizontal formé d'un ressort de raideur K à spires non jointives et d'un solide de masse m qui peut glisser sans frottement sur un banc à coussin d air horizontal. On écarte le solide (S) de sa position d équilibre O prise comme origine du repère (O; i r (R) (S) ) et on l abandonne à l'instant t = s de la position d abscisse x et sans vitesse initiale. A un instant de date t quelconque la position du solide supposé ponctuel est repérée par son abscisse x relativement au repère (O; i r x' O i r x x ). ) a) Faire le bilan des forces agissant sur le solide et les représenter à une date t quelconque. b- Etablir l équation différentielle du mouvement. c) La solution de cette équation différentielle est x(t) = X m.sin(ω.t + ϕ) avec X m >. Etablir l expression de la pulsation propre ω de l oscillateur en fonction de K et m. ) L enregistrement graphique du mouvement du solide (S) a fourni le graphe suivant. 4 x (cm) Figure-3- - π π 5 3π -4 a) En utilisant le graphe précédent déterminer l équation horaire x(t) du mouvement de (S). b) En déduire l expression de la vitesse instantanée v(t). T.D physiques : 4 me Math ; Sc-exp et Tech~ Oscillations libres d un pendule élastique horizontal

3 3) a) Exprimer pour une position quelconque du solide d abscisse x, l énergie mécanique E du système (solide, ressort) en fonction de m, K, x et v. b) Montrer que l énergie mécanique E de ce système est constante c) Sachant que E=3,. - J, Calculer la raideur K du ressort et la masse m du solide. Partie B- En réalité les forces d amortissement sont équivalentes à une force f r = -h.v. i r où h est une constante positive qui désigne le coefficient d amortissement, et v la mesure algébrique de la vitesse du centre d inertie du solide. ) a) Faire le bilan des forces agissant sur le solide et les représenter à une date t quelconque. b- Etablir l équation différentielle du mouvement. c) Montrer que l énergie totale du système (solide, ressort) diminue au cours du temps. ) La figure suivante donne l enregistrement du mouvement du centre d inertie du solide. 4 x(t) (cm) 3 t (s) - π π 5 3π π 5 π a) Quelle est la nature du mouvement du solide (S)? Justifier? b) Qu appelle-t-on le régime d oscillation du pendule élastique. c) Sachant que la variation de l énergie totale du système (solide, ressort) est égale au travail de la force de l amortissement, calculer le travail de la force d amortissement entre les instants de dates t =s et t = 3π s. Exercice n 3 On considère le pendule élastique horizontal formé d'un ressort de raideur K à spires non jointives et d'un solide de masse m qui peut glisser sans frottement sur un banc à coussin d air horizontal. On écarte le solide (S) de sa position d équilibre O prise comme origine du repère (O; i r (R) (S) ) et on l abandonne à l'instant t = s de la position d abscisse x et sans vitesse initiale. A un instant de date t quelconque la position du solide supposé ponctuel est repérée par son abscisse x relativement au repère (O; i r x' O i r x x ). / Etablir l équation différentielle du mouvement du solide. / a) Exprimer pour une position quelconque du solide d abscisse x, l énergie mécanique E du système (solide, ressort) en fonction de m, K, x et v. T.D physiques : 4 me Math ; Sc-exp et Tech~ Oscillations libres d un pendule élastique horizontal 3 3

4 b) Montrer que l énergie mécanique E de ce système est constante et donner son expression en fonction de K et de X m 3 / Reproduire le tableau suivant et le compléter en faisant une analogie entre les grandeurs électriques et les grandeurs mécaniques. Préciser l unité de chaque grandeur physique Grandeurs mécaniques Grandeurs électriques Elongation : x Intensité : i = dq dt Masse : m Capacité : C Pulsation propre : k ω = m Energie électromagnétique : E =.q C +.L.i 4 / Une étude expérimentale donne la courbe de v = f(x ) cicontre : a) Justifier l allure de la courbe. b) Sachant que la valeur de la masse du solide est m=,kg ; déterminer : L amplitude X m de l élongation x(t). L amplitude V m de la vitesse v(t). La valeur de la pulsation propre des oscillations libres ω. La valeur de la raideur K du ressort. v (m.s - ) v = f(x ) 5 x ( -4.m ) Exercice n 4 (A faire et à rendre sur copie propre avant le : / / ) Partie A : Un solide (S) de masse m est attaché à l une des extrémités d un ressort horizontal, parfaitement élastique, de constante de raideur K et de masse négligeable devant celle du solide, l autre extrémité du ressort étant fixe (fig-). On étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen (o, i r ) horizontal, d origine O coïncidant avec la position d équilibre du centre d inertie du solide. On écarte le solide (S) de sa position d équilibre dans le sens positif d une distance x m=3cm puis on le lâche sans vitesse. ) a) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au solide (S), montrer que son mouvement est rectiligne sinusoïdal, de pulsation ω qu on donnera son expression en fonction de K et m. b) À un instant t quelconque, le centre d inertie G de (S) a une élongation x et sa vitesse instantanée est v. Etablir l expression de l énergie mécanique E du système S ={(S)+ressort} en fonction de x, v, K et m. c) Montrer que l énergie E est constante puis donner son expression en fonction de K et x m. E p ( -3 J) Figure ) La solution de l équation différentielle est x(t)=x msin(ωt + ϕ), déterminer l expression de l énergie potentielle S en fonction K, x m, ω, t et ϕ. Donner l expression 9 de sa période en fonction de K et m. On donne la représentation graphique de l énergie potentielle E p (figure ) en fonction du temps, déduire : a) La constante de raideur K du ressort et la période propre T. Déduire la masse m du solide. b) La loi horaire de mouvement du solide S,75π s T.D physiques : 4 me Math ; Sc-exp et Tech~ Oscillations libres d un pendule élastique horizontal 4

5 Partie B : Dans cette partie, le solide (S) est soumis à une force de frottement visqueux r v f = h. = où h est une constante positive. ) Établir l équation différentielle de mouvement du solide (S) régissant les variations de son élongation x(t). ) Montrer que l énergie totale du système S ={(S)+ressort} n est pas conservée. 3) À l aide d un dispositif approprié, on a enregistré les variations de l élongation en fonction du temps ; on a trouvé le graphe de la figure 3 : Calculer l énergie dissipée par la force de frottement entre les instants t et t. 3 - x(cm) t t Figure -3- Exercice n 5 (A faire et à rendre sur copie propre avant le : / / ) Partie A : Un pendule élastique horizontal est constitué par un solide (S) de masse m=5g, attaché à l une des extrémités d un ressort horizontal, parfaitement élastique, de raideur K et de masse négligeable par rapport à celle du solide, l autre extrémité du ressort étant fixe (fig). On néglige tout type de frottement et on étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen (o, i r ) horizontal, d origine O coïncidant avec la position d équilibre du centre d inertie du solide. On écarte le solide (S) de sa position d équilibre d une distance X m puis on le lâche sans vitesse. Lorsque le solide passe par sa position d abscisse x (x ) avec une vitesse initiale v (v ) en se dirigeant dans le sens positif, on déclenche le chronomètre (c est l instant t= s) pour commencer l étude du mouvement. ) a) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au solide (S), établir l équation différentielle de son mouvement. Quelle est la nature de ce mouvement? b) Montrer que x(t)=x msin(ωt + ϕx) est une solution de l équation différentielle précédente à condition que la pulsation ω vérifie une expression qu on donnera en fonction de K et m. Donner l expression de la période propre T des oscillations du solide (S). c) Déduire l expression de la vitesse du solide en fonction de X m, ω, t et ϕx. ) Montrer que x et v vérifient la relation x + v ω =Xm 3) Un ordinateur muni d une interface et d un capteur a enregistré les variations de l énergie E c ( -3 J),5 s cinétique du solide (S) au cours du temps t, le graphe obtenu sur l écran de l ordinateur est 5 donné par la figure. a) Donner l expression de l énergie mécanique E du système S ={(S)+ressort} en fonction de x, v, 8,75 K et m avec x élongation du solide (S) et v sa vitesse à un instant t quelconque. b) Montrer que l énergie E est constante puis donner son expression en fonction de m et V m ; V m amplitude de la vitesse v du solide. c) Etablir l expression de l énergie cinétique du solide (S) en fonction m, V m, ω, t et ϕ. Fig Montrer qu on peut l écrire sous la forme : T.D physiques : 4 me Math ; Sc-exp et Tech~ Oscillations libres d un pendule élastique horizontal 5 5

6 E c= Ecmax ( + cos(ωt + ϕx)) d) En utilisant le graphe, trouver : L amplitude de la vitesse V m. La période propre T. En déduire X m. La phase initiale ϕx de l élongation x(t). e) Ecrire la loi horaire du mouvement. f) Calculer l abscisse initiale x (x(t=)) du solide(s) dans le repère (o, i r ), déduire sa vitesse initiale v. Dans quel sens débute le mouvement du solide (S)? g) Calculer la raideur K du ressort. Partie B : r r Dans cette partie, le solide (S) est soumis à une force de frottement visqueux f = h. v où h=, u.s.i est une constante positive. ) Donner le nom et l unité de h. ) Établir l équation différentielle du mouvement du solide (S) régissant les variations de son élongation x(t). 3) Montrer que l énergie totale du système S ={(S)+ressort} diminue au cours du temps. V( - m.s - ) 4) À l aide d un dispositif approprié, on a enregistré 6 les variations de la vitesse du solide en fonction du temps ; on a trouvé le graphe de la fig-3: Calculer l énergie dissipée par la force de 3, frottement entre les instants t et t.,7 t t Fig 3 T.D physiques : 4 me Math ; Sc-exp et Tech~ Oscillations libres d un pendule élastique horizontal 6