TRANSMISSION DE CHALEUR

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1 ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE Eidgenössische Technische Hochschule - Lausanne Politecnico Federale - Losanna Swiss Federal Institute of Technology - Lausanne Département de génie mécanique Laboratoire de thermique appliquée et de turbomachines Professeur Dr. Albin Bölcs TRANSMISSION DE CHALEUR Volume I T 3 T 2 T 4 o T ( C) T 1 Lausanne septembre 1997

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3 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES I TABLE DES MATIERES 1. Introduction, modes de trasmission de chaleur Conduction Convection Rayonnement 7 2. Propriétés thermiques des matériaux 9 3. Introduction à la conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire Relations fondamentales Conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire Conduction thermique bidimensionnelle, stationnaire Solutions analytiques Analogie rhéoélectrique Méthode graphique Méthodes numériques Conduction thermique instationnaire Méthode de capacité thermique globale Paramètres universels de la méthode de calcul instationnaire Solution analytique pour la conduction monodimensionnelle 75 instationnaire 5.4 Méthode numérique pour la conduction instationnaire Principes fondamentaux de la convection thermique Principes fondamentaux de l'écoulement visqueux Propriétés de la couche limite turbulente Etude de similitude et paramètres adimensionnels 119

4 II TABLE DES MATIERES, SYMBOLES 7. Convection pour l'écoulement externe La couche limite laminaire sur une plaque plane Ecoulement turbulent sur la plaque plane Ecoulement autour d'un cylindre Ecoulement transversal dans un faisceau de tubes Convection pour l'écoulement interne Convection pour un tube circulaire Corrélations pour la convection forcée pour un tube circulaire La convection libre Consvection libre sur une paroi plane verticale Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces externes Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces internes Techniques de mesure 193 ANNEXE

5 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES III LISTE DES SYMBOLES Symbole Unité Signification A m 2 section de passage c p J/(kg K) chaleur massique à pression constante c v J/(kg K) chaleur massique à volume constant C f - coefficient de frottement (6.49) C th J/K capacité thermique d m diamètre d h m diamètre hydrodynamique (8.60) e J/kg énergie-travail massique E J énergie-travail technique Ė W=J/s puissance-travail technique f - variable adimensionnelle de BLASIUS (7.4) F N force F - facteur de forme g m/s 2 accélération terrestre h J/kg enthalpie massique h c J/kg enthalpie totale massique H m épaisseur, hauteur

6 IV TABLE DES MATIERES, SYMBOLES Symbole Unité Signification k W/(m 2 K) coefficient de transmission de chaleur global L m longueur m kg masse ṁ kg/s débit-masse N - nombre de tubes dans un faisceau (Fig. 7.6, 7.7) p N/m 2 pression P m périmètre q J/kg énergie-chaleur, massique q W/m 2 flux surfacique de chaleur q g W/m 3 énergie-chaleur générée, par unité de volume Q J énergie-chaleur Q W puissance-chaleur, taux de chaleur transmise r m rayon R J/(kg K) constante des gaz parfaits R th K/W résistance thermique s J/(kg K) entropie massique t s temps t x,y m distance entre les rangées de tubes (Fig. 7.6, 7.7)

7 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES V Symbole Unité Signification T C, K température T m,log K différence de température logarithmique (8.49) T r K température de récupération (7.19) T δ K température moyenne dans la couche limite (7.70) T* K température relative (7.10) u m/s composante de la vitesse dans la direction x u + - vitesse adimensionnelle dans la couche limite (7.34) v m/s composante de la vitesse dans la direction y y + - coordonnée adimensionelle de la couche limite (7.35) v m 3 /kg volume massique V m 3 volume V m 3 /s débit-volume w m/s vitesse relative de l'écoulement x, y, z m coordonnées x e,h m longueur d'entrée hydrodynamique (8.2, 8.3) x e,th m longueur d'entrée thermique (8.25, 8.26) α W/(m 2 K) coefficient de convection β 1/K facteur de dilatation

8 VI TABLE DES MATIERES, SYMBOLES Symbole Unité Signification x e,th m longueur d'entrée thermique (8.25, 8.26) α W/(m 2 K) coefficient de convection β 1/K facteur de dilatation δ m épaisseur de la couche limite η - variable adimensionelle de BLASIUS (7.5) ε N s/m 2 viscosité turbulente (6.60) ε th m 2 /s coefficient de diffusion thermique turbulent (6.61) κ - exposant isentrope (c p /c v ) λ W/(m K) coefficient de conduction (conductivité) thermique m 2 /s diffusivité thermique (2.1) µ N s/m 2 coefficient de viscosité dynamique ν m 2 /s coefficient de viscosité cinématique ρ kg/m 3 masse volumique (densité) σ W/(m 2 K 4 ) constante de Stefan-Boltzmann σ N/m 2 tension visqueuse normale τ t h s constante de temps τ N/m 2 tension de cisaillement Θ K différence de température (5.3)

9 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES VII Indices ( ) 1 condition de départ ( ) 2 condition finale ( ) ex grandeur de sortie ( ) in grandeur d'entrée ( ) m valeur moyenne ( ) n composante normale ( ) s surface, paroi ( ) f fluide ( ) valeur moyenne

10 VIII TABLE DES MATIERES, SYMBOLES PARAMETRES ADIMENSIONNELS DE SIMILITUDE POUR LA TRANSMISSION DE CHALEUR ET DE MASSE Désignation: ( définition ) Interprétation: Nombre de BIOT: Bi = α L λ solide Rapport entre la résistance thermique interne d'un solide et la résistance thermique de la couche limite. Coefficient de frottement: C f = τ s ρ w2 2 Contrainte surfacique adimensionnelle. Nombre d'eckert: Ec = w 2 c p (T s - T m ) Rapport entre l'énergie cinétique du fluide et la différence d'enthalpie de la couche limite. Nombre de FOURIER: Fo = t L 2 Rapport entre la chaleur de conduction et l'énergie thermique stockée dans le solide (temps adimensionnel). Nombre de FROUDE: Fr = w 2 g L rapport entre les forces d'inertie et les forces de gravité.

11 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES IX Nombre de GRASHOF: Gr = g β (T s - T ) L3 ν 2 Rapport entre la force ascensionelle et la force visqueuse. Nombre de MACH: M = w a Rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse du son. Nombre de NUSSELT: Nu = α L λ fluide Gradient de température adimensionnel sur la surface. Nombre de PECLET: Pe = w L Λ = Re L Pr Paramètre indépendant, adimensionnel du transfert de chaleur. Nombre de PRANDTL: Pr = ν Λ = c p µ λ Rapport entre la diffusivité de quantité de mouvement et la conductivité thermique. Nombre de REYLEIGH: Ra = g β (T s - T ) L3 ν 2 Pr Produit de Gr et Pr: Ra = Gr Pr. Nombre de REYNOLDS: Re = w L ν Rapport entre la force d'inertie et la force visqueuse.

12 X TABLE DES MATIERES, SYMBOLES Nombre de SCHMIDT: Sc = ν D AB Rapport entre la quantité de mouvement et la diffusivité de la masse. Nombre de STANTON: St = α ρ w c p = Nu Re Pr Nombre de NUSSELT modifié. Nombre de SHERWOOD: Sh = α L D AB Gradient de concentration adimensionnel à la surface. Nombre de WEBER: We = r w2 L σ Gradient de concentration adimensionnel à la surface.

13 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES XI LITTERATURE MAC ADAMS W. H. Transmission de chaleur Dunod INCROPERA F. P. DE WITT D. P. Fundamentals of heat and mass transfer John Wiley & Sons WELTY J. R. Engineering heat transfer John Wiley & Sons CHAPMAN A. J. Heat transfer Macmillan Publishing Company HOLMAN J. P. Heat transfer McGraw-Hill Book Company KERN D. Q. Process heat transfer McGraw-Hill Book Company LANGHAAR H. L. Dimensional analysis and theory of models John Wiley & Sons AUTEURS VDI - Wärmeatlas VDI-Verlag Düsseldorf

14 XII TABLE DES MATIERES, SYMBOLES

15 TRANSMISSION DE CHALEUR 1 1. INTRODUCTION, MODES DE TRANSMISSION DE CHALEUR 1.1 Conduction 1.2 Convection 1.3 Rayonnement T 1 T 1 T 2 T 2 Q cond. w T 2 Q ray. Q conv. T 1

16 2 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR 1. INTRODUCTION, MODES DE TRANSMISSION DE CHALEUR En thermodynamique nous avons défini deux formes transitoires d'énergie, le travail et la chaleur. Elles sont transitoires, car elles existent seulement quand un échange d'énergie entre deux systèmes se produit (p.ex. énergie cinétique, potentielle, interne, énergie d'écoulement, énergie chimique, etc.). La transformation est appelée travail si l'échange se produit sans transmission de masse et sans différence de température entre les deux systèmes. Si l'échange se produit à cause de la différence de température entre les deux systèmes, il s'agit de transmission de chaleur. Les deux systèmes peuvent aussi être deux parties du même corps (p.ex. une barre chauffée). L'expression de "transfert de chaleur" n'est pas correcte selon le langage thermodynamique car le "flux de chaleur" est un mécanisme de transmission d'énergie interne et non une quantité en mouvement. Le cours de transmission de chaleur conduit à l'étude des modes de transmission et au calcul de la quantité d'énergie (chaleur) transmise. Nous développons des méthodes de calcul dont l'application s'adresse aux problèmes de l'industrie et de l'environnement. Importance de la transmission de chaleur L'ingénieur mécanicien et le chimiste rencontrent très souvent dans leur travail des problèmes qui concernent la transmission de chaleur. Donnons quelques exemples: génération de forces (énergie) par des machines thermiques, chauffage et refroidissement divers, divers procédés chimiques (p.ex. raffinage du pétrole), pollution thermique par décharge de chaleur dans l'environnement (air, eau). Concepts fondamentaux et modes de base de la transmission de chaleur Le premier principe de la thermodynamique nous dit que la chaleur donnée par un corps est égale à la chaleur reçue par l'autre. Le second principe de la thermodynamique nous définit la direction de la transmission: la chaleur est transmise du corps le plus chaud vers le plus froid.

17 TRANSMISSION DE CHALEUR 3 Nous distinguons trois modes de base de transmission de chaleur (Fig. 1.1): conduction convection radiation w T 2 T 2 q 2 T 1 T 2 q q q 1 T 1 T 1 T 1 > T 2 T 1 > T 2 T 1 T 2 conduction convection rayonnement à travers une d'une surface à entre deux paroi solide un fluide surfaces Figure 1.1 rayonnement Différents modes de transmission de chaleur conduction, convection et 1.1 CONDUCTION La conduction est l'échange d'énergie interne d'un corps à un autre (ou d'une partie d'un corps à une autre partie) par échange de l'énergie cinétique de mouvement des molécules par communication directe ou par l'intermédiaire des électrons libres dans les métaux. Ce "flux" d'énergie (ou chaleur) passe des molécules de niveau d'énergie plus élevé vers les molécules d'énergie plus faible (p.ex. une barre métallique chauffée d'un côté se réchauffe à l'autre bout). Le mécanisme physique est plus simplement démontré par l'observation d'un gaz (Fig. 1.1) entre deux parois de température différente. En chaque point de l'espace,

18 4 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR T 1 T 2 T T 1 q x T 2 x Figure 1.2 des molécules Transmission de chaleur par la diffusion d'énergie due au mouvement la température est liée au mouvement moyen (translation ainsi que rotation et vibration interne). Par la collision des molécules, l'énergie est transmise des molécules de niveau d'énergie plus élevé aux molécules de niveau d'énergie moins élevé. Pour des liquides la situation est semblable mais les distances entre les molécules sont plus petites (collisions plus intenses et plus fréquentes). Dans les solides la conduction est attribuée aux activités atomiques sous la forme de vibrations du réseau cristallin. Dans un non-conducteur, la transmission d'énergie est liée aux ondes cristallines, dans le conducteur aux mouvements des électrons libres. La quantité (taux) de chaleur transmise est définie par l'équation de FOURIER, qui se présente pour le cas monodimensionnel par q = - λ dt dx (1.1) Le flux de chaleur ( q [W/m2]) dans la direction x par unité de surface est proportionnel (λ) au gradient de température dt/dx.

19 TRANSMISSION DE CHALEUR 5 Le facteur λ est une propriété de transport caractéristique des matériaux que nous appelons la conductivité thermique [W/(m K)]. Le signe négatif exprime le fait que le transport se produit dans la direction de température décroissante. Dans le cas unidimensionnel avec une distribution linéaire de température (stationnaire) le gradient est donné par dt dx = T 2 - T 1 L (1.2) donc q x = - λ T 2 - T 1 L = λ T 1 - T 2 L (1.3) La chaleur (puissance) transmise est pour la surface A Q x = q x A (1.4) 1.2 CONVECTION La transmission de chaleur par convection se compose de deux mécanismes physiques transmission par le mouvement des molécules (diffusion), transmission par déplacement volumique (déplacement des volumes dans l'espace). Notre intérêt particulier se porte sur la transmission de chaleur entre un fluide en mouvement et une paroi, la température des deux éléments étant différente (Fig. 1.3). Dans le fluide, près de la paroi, nous trouvons une zone à fort gradient de vitesse la couche limite de vitesse. Dans le cas où il existe une différence de température entre le fluide et la paroi, il se forme aussi une couche limite de température qui peut avoir une épaisseur égale ou différente à celle de la couche limite de vitesse. La transmission de chaleur se met en route si T s T f. Dans la zone près de la paroi, la transmission de chaleur est dominé par le mouvement des molécules (diffusion) et à l'extérieur par le mouvement turbulent. Dans ce type de transmission de chaleur, la mécanique des fluides joue un rôle important.

20 6 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR Les lois de la conduction doivent être couplées avec celles du mouvement du fluide. Les équations différentielles résultantes figurent par conséquent parmis les plus complexes de la mathématique appliquée. Concernant la nature de l'écoulement le long des parois, nous distinguons deux types de convection: convection forcée quand le mouvement est entraîné par une force extérieure (ventilateur, pompe, etc), y y y = δ w δ T δ q distribution de vitesse distribution de température Processus [W/(m 2 K)] Convection libre 5-25 Convection forcée gaz liquides 50-20'000 Convection avec changement de phase (ébullition, condensation) 2' '000 Valeurs typiques des coefficients de convection Figure 1.3 Transmission de chaleur dans la couche limite

21 TRANSMISSION DE CHALEUR 7 convection libre si le mouvement du fluide est causé par la différence de densité (en fonction de la différence de température). Par la convection en général l'énergie interne du fluide est transmise. Mais il existe aussi des cas où la chaleur latente participe aussi à la transmission. Ce type d'échange est normalement accompagné par un changement de phase (ébullition et condensation). α représente le coefficient de transmission de chaleur par convection qui dépend des conditions de la couche limite (surface, Re, propriétés du fluide). Quelques valeurs typiques sont présentées dans le tableau (Fig. 1.3). La transmission de chaleur est définie par la relation de NEWTON q = α (T s - T f ) (1.5) où q représente le flux de chaleur par convection, T s la température de la paroi, T f la température du fluide. 1.3 RAYONNEMENT Chaque surface solide, liquide ou gazeuse émet de l'énergie thermique par radiation. La transmission d'énergie est réalisé par ondes électromagnétiques qui ne nécessitent pas la présence d'un médium de transport. Le flux maximal (W/m 2 ) émis par la radiation est donné par la loi de STEFAN- BOLTZMANN q = σ T 4 s (1.6) où σ = la constante de Stefan-Boltzmann σ = 5,67 *10-8 [W/(m 2 K 4 )] (1.7) Le flux réel émis par une surface réelle est q = ε σ T 4 s (1.8) où ε = émissibilité (rendement par rapport à la radiation idéale).

22 8 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR La radiation est émise dans toutes les directions. Les ondes électromagnétiques reçues par une surface sont partiellement absorbées et partiellement réfléchies. L'échange de radiations thermiques entre deux corps est donc considérablement plus compliquée que l'équation de Stefan-Bolzmann. entourage à température T ent q rad,ent air T f q conv q rad,s Figure 1.4 surface : ε = émissivité, A = surface, T = température s Echange de rayonnement entre une surface et son entourage Dans de nombreux cas techniques nous trouvons une petite surface (T s ) entourée d'une grande surface (T ent ), (Fig. 1.4). Le gaz entre les surfaces ne participe pas à la radiation. Dans ce cas, la transmission est donnée par q = Q A = ε σ ( T4 s - T 4 ent) (1.9) RESUME DU CHAPITRE 1 La conduction thermique est définie par l'équation de FOURIER. La convection thermique est définie par l'équation de NEWTON. Le rayonnement est défini par l'équation de STEFAN-BOLTZMANN.

23 TRANSMISSION DE CHALEUR 9 2. PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX 2.1 Conductivité thermique 2.2 Chaleur spécifique 2.3 Diffusivité thermique 2.4 Coefficient d'expansion thermique 2.5 Viscosité 2.6 Nombre de Prandtl

24 10 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX 2. PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX Pour pouvoir calculer les problèmes de transfert de chaleur, il faut connaître les valeurs numériques des propriétés physiques des matériaux en considération. 2.1 CONDUCTIVITE THERMIQUE La conductivité représente la facilité de propagation de la chaleur dans un matériau en fonction d'une différence de température donnée. Selon la loi de Fourier, la conductivité thermique est definie par [W/m K] = q x ( T/ x) (2.1) Donc pour une gradient de température donnée, le flux de chaleur augment avec l'augmentation du coefficient de chaleur. La conduction est essentiellement un transfert d'énergie par l'intermédiaire du mouvement (vibration) des molécules. Par conséquent la conductibilité dépend de: la composition chimique, la phase (liquide, gaz, solide), la structure cristalline des solides, la température, la pression, et l'homogénéité. Dans la suite nous considérerons des matériaux homogènes. Nous observons dans le tableau A.1 que les liquides sont en général meilleurs conducteurs que les gaz et les solides meilleurs conducteurs que les liquides. L'exemple suivant montre les valeurs numériques pour les 3 phases du mercure: solide T = -193 C λ = 48 W/(m K) liquide T = 0 C λ = 8 W/(m K) gaz T = 200 C λ = 0,0341 W/(m K) Le tableau A.1 montre aussi que les matériaux cristallins (quartz) sont de meilleurs conducteurs que les matériaux amorphes (verre).

25 TRANSMISSION DE CHALEUR 11 Dans les cristaux il existe un mécanisme additionnel de transfert d'énergie thermique, la vibration du réseau cristallin dans la direction décroissante de la température. Les imperfections dans la structure cristalline dérangent la propagation de ces ondes et diminuent généralement la capacité de convection. Dans le cas des métaux, un troisième mécanisme entre en jeu, le mouvement des électrons libres dans le réseau cristallin (les ions positifs occupent les places cristallines). Un gradient de température cause une "dérive" des électrons vers la température la plus basse (raison pour laquelle les métaux sont bons conducteurs). La conductibilité des métaux est proportionnelle à la température absolue et au "libre parcours moyen" des molécules. Ce dernier diminue avec la température. La conductibilité des liquides dépend en premier lieu de la température. La conductibilité des gaz augmente généralement avec la température et diminue avec le poids moléculaire. La pression influence la conductibilité près du point critique. 500 (W/m K) Tungstène Acier Argent Cuivre Or Aluminium Platine Fer Aluminium oxyde 5 2 Pyroceram Quarz Temperature (K) Figure 2.1 Coefficients de conduction des différents matériaux

26 12 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX Les isolants thermiques sont souvent de structure non homogène et dispersée dans un volume d'air ou de gas. Leur conductivité thermique depend de la conductivité, de la radiation thermique du solide, et du rapport volumétrique de l'espace libre. métaux purs alliages solides non métalliques isolations liquides gaz 0,01 0, [W/(m K)] Tableau 2.1 Coefficients de conduction des différents matériaux à température et pression normales (20 C et 1 bar) 2.2 CHALEUR SPECIFIQUE La chaleur spécifique représente la variation de la température d'un matériau avec la quantité de chaleur introduite à pression constante c p [J/(kg K)] à volume constant c v [J/(kg K)] La chaleur spécifique d'une substance est généralement fonction d'un état thermodynamique.

27 TRANSMISSION DE CHALEUR 13 La chaleur spécifique est dans la plupart des cas traités par l'ingénieur, indépendante de la pression. La température par contre influence la chaleur spécifique. Dans les gaz l'influence de la température sur c p est plus importante que pour les solides. Pour la vapeur (par ex. eau) à la fois T et p influencent la chaleur spécifique. 2.3 DIFFUSIVITE THERMIQUE Elle est définie par [m 2 /s] = λ ρ c p (2.2) elle inclut la conductivité (λ), la chaleur spécifique (c p ) et dépend de l'état du gaz (ρ). 2.4 COEFFICIENT D'EXPANSION THERMIQUE La force agissant dans le cas de la convection libre est la gravité provoquant le mouvement de couches de fluide de densité différentes. Le processus est caractérisé par le coefficient d'expansion thermique β = 1 ρ ρ T (2.3) p pour les gaz parfaits nous avons ρ = p R T (2.4) il devient donc β [1/K] = 1 ρ - p R T -2 = 1 T (2.5) Pour les liquides le coefficient d'expansion thermique est approximativement donné

28 14 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX par β [1/K] = 0,0776 ( T cr - T ) - 0,641 (2.6) 2.5 VISCOSITE Toutes les substances réelles montrent une résistance à la déformation. La résistance est proportionnelle à la vitesse de la déformation (couche limite). La résistance au mouvement de cisaillement est définie par le terme de viscosité. Viscosité dynamique Nous étudions le cas d'un écoulement laminaire le long d'une paroi. Le mouvement relatif des molécules entre deux couches voisines provoque une force de frottement tangentielle qui est selon NEWTON proportionnelle au gradient de vitesse τ = µ dw dy (2.7) Le coefficient µ [N s/m 2 ] est appelé viscosité dynamique. Viscosité cinématique Le rapport de la viscosité dynamique et de la densité du fluide est appelé la viscosité cinématique ν [m 2 /s] = µ ρ (2.8) Elle représente le rapport entre les forces visqueuses et les forces d'inertie du fluide. La viscosité des liquides dépend en premier lieu de la température et seulement très peu de la pression. Pour les gaz c'est la température qui influence le plus la viscosité, la pression également mais surtout autour du point critique. La viscosité des vapeurs varie généralement en fonction de la température et de la pression.

29 TRANSMISSION DE CHALEUR NOMBRE DE PRANDTL Dans les problèmes de conduction, il existe un échange d'énergie tant par les effets de viscosité que par ceux de conduction. Dans ce cas, le nombre de PRANDTL joue un rôle important Pr = µ c p λ = ν ρ c p λ = ν Λ (2.9) Sa valeur est donc définie par les propriétés du fluide et dépend donc en premier lieu de la température. RESUME DU CHAPITRE 2 La conduction thermique est essentiellement un transfert d'énergie par l'intermédiaire du mouvement des molécules qui dépend de la composition chimique, de la phase, de la structure cristalline des solides, de la température, de la pression et de l'homogénéité des matériaux. Les propriétés thermiques des matériaux sont définies par la chaleur spécifique c p, c v, la diffusivité thermique Λ, le coefficient d'expansion thermique β et la viscosité µ.

30 16 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX

31 TRANSMISSION DE CHALEUR INTRODUCTION A LA CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE 3.1 Relations fondamentales 3.2 Conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire La plaque plane La barre de section variable La paroi circulaire Q z+dz Q y+dy Q x Q gen Q x+dx dz Q y dx Q z Q st dy T 1 T 2 Q x

32 18 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 3. INTRODUCTION A LA CONDUCTION THERMIQUE 3.1 RELATIONS FONDAMENTALES La conduction de chaleur représente la transmission d'énergie par l'activité moléculaire en fonction d'un gradient de température. Nous étudions d'abord la conduction dans une barre (Fig. 3.1) A A x T 2 q x T 1 Figure 3.1 Transmission de chaleur par conduction dans une barre Avec la relation de FOURIER, la quantité de chaleur transmise est Q x = - A λ dt dx (3.1) et le flux de chaleur q x = Q x A = - λ dt dx (3.2) Nous rappelons que le signe négatif indique que la transmission se fait du côté haute température vers le côté basse température. L'équation (3.2) montre que le flux de chaleur est une quantité directionnelle. La section A est normale à la direction du flux. Généralement le flux de chaleur est perpendiculaire aux surfaces isothermes. Sous forme vectorielle nous pouvons écrire (T = champs de température (scalaire))

33 TRANSMISSION DE CHALEUR 19 q = - λ i T x + j T y + k T z (3.3) nous pouvons aussi écrire q n = - λ T n (3.4) où n est la direction normale à la surface isotherme. L'objectif de l'étude de la conductibilité est généralement de déterminer la distribution de température dans un média à partir de conditions limites données. A partir de la distribution de température nous pouvons calculer le flux de chaleur en tout point par la relation de FOURIER (important p.ex. pour le refroidissement des aubes de turbines, contraintes thermiques, etc.). La démarche à suivre est l'utilisation de la loi de conservation de l'énergie la définition du volume de contrôle et l'identification des processus de transmission d'énergie. L'équation différentielle résultante est à résoudre pour des conditions limites données. Nous définissons d'abord dans le médium un petit volume de contrôle de (dx dy dz) (voir Fig. 3.2). Si des gradients de température existent dans le médium, la conduction se met en route. Perpendiculairement aux surfaces nous obtenons les quantités de chaleur: Q x+dx = Q x + Q x x dx (3.5a) Q y+dy = Q y + Q y y dy (3.5b) Q z+dz = Q z + Q z z dz (3.5c) Nous admettons une source d'énergie dans le volume (p.ex. par processus chimique, électrique, nucléaire, etc.) Q gen = q g dx dy dz (3.6) L'énergie stockée dans le matériau est

34 20 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE z y T(x,y,z) T=cte (isotherme) x Q z+dz Q y+dy Q x Q gen Q x+dx dz Q y Q st dy z y dx Q z Figure 3.2 coordonnées cartésiennes Volume de contrôle pour la conduction dans un système de Q st = ρ c p T t dx dy dz (3.7) où ρ c p ( T/ t) est la variation de l'énergie interne du médium par unité de volume. Selon la loi de conservation de l'énergie Q in - Q ex + Q gen = Q st (3.8)

35 TRANSMISSION DE CHALEUR 21 Donc avec (3.6) et (3.7) Q x + Q y + Q z + q gen dx dy dz - Q x+dx - Q y+dy - Q z+dz = ρ c p T t dx dy dz (3.9) avec (3.5) - Q x x dx - Q y y dy - Q z z dz + q g dx dy dz = ρ c p T t dx dy dz (3.10) Avec les équations de FOURIER Q x = - λ dy dz T x Q y = - λ dx dz T y Q z = - λ dx dy T z (3.11a) (3.11b) (3.11c) Nous obtenons finalement λ T x x + λ T y y + λ T z z + q g = ρ c p T t (3.12) (3.12) représente l'équation de la transmission de chaleur. La solution nous permet de calculer la distribution de température en fonction du temps. L'équation (3.12) exprime qu'en tout point d'un médium la transmission de chaleur par conduction dans le volume de contrôle et de l'énergie générée à l'intérieur est égale à la variation de la chaleur stockée dans le volume. Dans le cas où la conductibilité (λ) est constante, nous avons 2 T x T y T z 2 + q g λ = 1 Λ T t (3.13) où (Λ = λ/ρ c p ) représente la diffusivité thermique.

36 22 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE r d Q z+dz Q ϕ+dϕ Q r Q ϕ dz z r T(r,,z) dr Q r+dr Q z x y Figure 3.3 Volume de contrôle [dr (r d ) dz] pour la conduction dans un système de coordonnées cylindriques (r,, z) Dans le cas de conditions stationnaires ( T/ t=0) l'équation se réduit à λ T x x + λ T y y + λ T z z + q g = 0 (3.14) Finalement pour le cas unidimensionnel et stationnaire et sans source de chaleur interne ( q g =0) nous obtenons d λ dt dx dx = 0 (3.15) Les équations (3.16) et (3.17) représentent l'expression pour la transmission par conduction dans respectivement des coordonnées cylindriques 1 r λr T r r + 1 λ T ϕ r 2 ϕ + λ T z z + q g = ρ c p T t (3.16)

37 TRANSMISSION DE CHALEUR 23 r sin ψ dϕ Q ψ+dψ dr Q r r dψ Q ϕ+dϕ Q ϕ z T(r, ) Q ψ Q r+dr y Figure 3.4 Volume de contrôle [dr (r sin d ) (r dy)] pour la conduction dans un système de coordonnées sphériques (r,, ) et sphériques 1 r 2 λr 2 T r r + 1 r 2 sin 2 ϕ λ T ϕ ϕ + 1 r 2 sin 2 ψ λsinψ T ψ ψ + q g = ρ c p T t (3.17) CONDITIONS LIMITES ET CONDITIONS INITIALES Pour déterminer la distribution de température dans un médium, il faut résoudre l'équation (3.13) pour des conditions initiales et des conditions données sur la surface. Pour définir les conditions sur la surface il faut deux conditions limites pour chaque coordonnée (équation du 2ème degré dans des coordonnées spatiales). Pour définir la condition initiale, une seule condition suffit car l'équation est du 1er ordre pour le temps.

38 24 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 3.2 CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Nous désignons le problème de la transmission de chaleur comme étant monodimensionnel quand une seule coordonnée spatiale est suffisante pour décrire le phénomène de transport. La stationnarité exprime que la température en chaque point ne varie pas avec le temps LA PLAQUE PLANE La Fig. 3.5 montre une coupe de la paroi. Nous obtenons la distribution de température dans la paroi par l'équation (3.14) appropriée d λ dt dx dx = 0 (3.18) Pour des températures constantes des parois, la solution est donnée par T(x) = C 1 x + C 2 Les constantes C 1 et C 2 sont à déterminer par les conditions aux limites T(0) = T s,1 et T(L) = T s,2 pour x=0: T s1 = C 2 pour x=l: T s2 = C 1 L + C 2 = C 1 L + T s,1 C 1 = (T s,2 - T s,1 ) L La solution générale est donc T(x) = T s,1 + (T s,2 - T s,1 ) x L (3.19)

39 TRANSMISSION DE CHALEUR 25 L'équation (3.19) nous montre que la température dans la paroi est, pour le cas donné, linéaire avec x. La quantité de chaleur peut être calculée avec l'équation de FOURIER (3.1) Q x = -λ A dt dx = λ A L (T s,1 - T s,2 ) (3.20) et le flux de chaleur q x = Q x A = λ L (T s,1 - T s,2 ) (3.21) Il est à noter que le flux de chaleur est indépendant de x. Nous pouvons obtenir le même résultat par un bilan d'énergie sur les surfaces. T T f,1 T s,1 w 2 w 1 fluide chaud fluide froid T s,2 T f,2 a) distribution de température x x=0 x=l Q x T f,1 T s,1 T s,2 T f,2 1 α 1 A L λ A 1 α 2 A b) Circuit thermique équivalent Figure 3.5 Transmission de chaleur à travers une plaque plane

40 26 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE L'équation (3.21) nous rappelle qu'il existe une analogie entre la diffusion de la chaleur et la conduction électrique. Similaire à la loi de OHM pour l'électricité R él = (U s,1 - U s,2 ) I (3.22) nous pouvons définir une résistance thermique de conduction R th,cond = (T s,1 - T s,2 ) Q x cond (3.23) et une résistance thermique de convection R th,conv = (T s - T f ) Q conv (3.24) Utilisant pour la conduction la relation de FOURIER (1.1) et pour la convection à la surface l'équation de NEWTON (1.6), on obtient R th,cond = (T s 1 - T s 2 ) A λ (T s 1 - T s 2 ) L = L λ A (3.25) et R th,conv = (T s - T f ) A α (T s - T f ) = 1 α A (3.26) La chaleur conduite au travers de la paroi selon la Fig. 3.5 est identique dans les trois sections Q x = (T f 1 - T s 1 ) 1 α 1 A = (T s 1 - T s 2 ) L λ A = (T s 2 - T f 2 ) 1 α 2 A (3.27) ce qui nous donne Q x = (T f 1 - T f 2 ) R th tot (3.28) avec R th,tot = 1 α 1 A + L λ A + 1 α 2 A (3.29)

41 TRANSMISSION DE CHALEUR 27 La résistance thermique totale en série est donc égale à la somme des résistances des éléments. Cette forme est utile pour définir les conditions dans une paroi composée par des couches de propriétés thermiques différentes. La Fig. 3.6 montre l'exemple d'une paroi composée de trois couches. La puissance-chaleur transmise dans une paroi composée de N couches se calcule selon (3.28) avec R th,tot = 1 α f1 A + L 1 λ 1 A + L 2 λ 2 A + L 3 λ 3 A L N λ N A + 1 α f2 A (3.30) Dans les parois composites il existe en général un saut de température entre les couches qui est une conséquence de la résistance de contact. T f,1 T T s,1 T s,2 T s,3 w 2 w 1 fluide froid T s,4 fluide chaud T f,2 L 1 L 2 L 3 a) distribution de température Q x 1 α A 1 L 1 L 2 L 3 λ 1 A λ 2 A λ 3 A 1 α A 2 b) Circuit thermique équivalent Figure 3.6 conductivité différentes Circuit thermique équivalent pour une paroi composée de couches de

42 28 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE LA BARRE DE SECTION VARIABLE Nous étudions la conduction monodimensionnelle dans une barre de section variable selon Fig Le taux de chaleur Qx reste constant le long de x mais le flux de chaleur varie avec la section A(x) Q x = q (x) A(x) = - λ(x) dt dx A(x) (3.31) avec Q x (x) = cte l'intégration nous donne la distribution de la température T(x) Q x x1 x 1 A(x) dx = - T λ(x) dt (3.32) T1 Q x A 1 T 1 q x A(x) q x+dx A 2 T 2 Q x T(x) x dx x=l Figure 3.7 Transmission de chaleur dans une barre de section variable LA PAROI CIRCULAIRE Dans diverses applications techniques on trouve des parois circulaires (tubes, etc.) exposées à des fluides de température différentes entre la surface intérieure et extérieure (Fig. 3.8). Pour le cas de la conduction stationnaire et sans génération de chaleur le problème est défini par l'équation (3.16) donc

43 TRANSMISSION DE CHALEUR 29 1 r d λ r dt dr dr = 0 (3.33) Pour λ=cte la solution de l'intégration double est T(r) = C 1 ln r + C 2 (3.34) Les constantes sont définies par les conditions aux limites pour r = r 1 : T s,1 = C 1 ln r 1 + C 2 pour r = r 2 : T s,2 = C 1 ln r 2 + C 2 donc C 1 = T s 1 - T s 2 ln (r 1 / r 2 ) et C 2 = T s 1 - T s 1 - T s 2 ln (r 1 / r 2 ) ln r 1 Introduit dans (3.33) nous obtenons pour la distribution radiale de la température T(r) = T s,1 - (T s,1 - T s,2 ) ln (r / r 1 ) ln (r 2 / r 1 ) (3.35) Notons que la distribution de la température dans la paroi cylindrique est logarithmique. λ T T s2 T s1 r 1 r 2 r Figure 3.8 Transmission de chaleur à travers une paroi circulaire

44 30 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Avec la relation de FOURIER Q r = q r A(x) = - λ(x) dt dr 2 π r L (3.36) et avec la dérivé de la température selon (3.35) nous trouvons pour la puissancechaleur transmise Q r = 2 π L λ T s 1 - T s 2 ln (r 2 / r 1 ) (3.37) pour la conduction R th-r, cond = T s 1 - T s 2 = ln (r 2 / r 1 ) Q r 2 π L λ (3.38) et pour la convection R th-r, conv = T f - T s Q r = 1 2 π L α f (3.39) α 1 λ 1 λ 2 λ 3 α 2 T f1 T T s1 Ts2 Exemple: λ 1 < λ 2 > λ 3 T s3 Ts4 T f2 r 1 r 2 r 3 r 4 r Figure 3.9 Distribution de la température dans une paroi composite cylindrique

45 TRANSMISSION DE CHALEUR 31 Par analogie avec la paroi plane nous obtenons pour le tube circulaire composé Q r = T f 1 - T f 2 R th-r tot (3.40) Pour la paroi à N couches (voir Fig. 3.9) la résistance thermique totale est donnée par R th-r tot = 1 2π r 1 L α + ln (r 2/r 1 ) f 1 2 π L λ + ln (r 3/r 2 ) 1 2 π L λ ln (r N+1/r N ) 2 2 π L λ + N 1 2 π r N+1 L α f 2 (3.41) RESUME DU CHAPITRE 3 La distribution de température est linéaire dans une plaque plane. La résistance thermique de conduction est définie par la géométrie (L, A) et le coefficient de conduction λ. La résistance thermique de convection est définie par la géométrie (A) et le coefficient de convection α. La résistance thermique totale d'une paroi composite est la somme de la résistance de chacune des couches. Le taux de chaleur transmise à travers une plaque plane composite Q est proportionnel à la différence de température des fluides et inversement proportionnel à la résistance thermique totale. Dans une section variable, le taux de chaleur Q reste constant dans la direction axiale mais le flux de chaleur q(x) est inversement proportionnel à la surface A(x). Le flux de chaleur dans la paroi circulaire varie d'une façon logarithmique dans la direction radiale. La distribution de température dans la paroi circulaire a une allure logarithmique.

46 32 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE La distribution de température dans la paroi composite cylindrique se calcule comme celle de la paroi plane par la différence de température et la résistance thermique.

47 TRANSMISSION DE CHALEUR CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 4.1 Solutions analytiques 4.2 Analogie rhéoélectrique 4.3 Méthode graphique 4.4 Méthodes numériques T=cte T x y

48 34 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 4. CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Dans la plupart des cas le problème de la transmission de chaleur ne dépend pas seulement d'une seule coordonnée. Etudions le cas de la Fig Pour déterminer la distribution de température, nous utilisons la forme appropriée de l'équation (3.13) 2 T x T y 2 = 0 (4.1) Les méthodes utilisées pour déterminer le champ de température, donc pour résoudre l'équation (4.1) sont méthode analytique, méthode analogique, méthode graphique, et méthode numérique (différences finies). La solution analytique de l'équation implique des séries mathématiques compliquées et peut être calculée seulement dans de rares cas possédant une géométrie et des conditions aux limites simples. Les méthodes analytiques donnent la solution exacte pour la température en chaque point (x,y). Les méthodes graphiques et numériques permettent de calculer des problèmes complexes mais donnent seulement des valeurs approximatives en des points discrets. 4.1 SOLUTIONS ANALYTIQUES Nous discutons ici la méthode de séparation des variables. Dans ce but nous considérons une plaque rectangulaire selon Fig La transmission de chaleur par conduction est définie par (4.1). Conformément à la méthode de séparation des variables, nous admettons que la solution pour la distribution de température peut être exprimée par deux fonctions X(x) et Y(y), chacune dépendant seulement d'une variable

49 TRANSMISSION DE CHALEUR 35 T=cte T H x y Distribution de la température dans une plaque d'épaisseur constante: T=T(x,y) T=350 C y x Représentation des isothermes dans la plaque Figure 4.1 Transmission de chaleur bidimensionnelle dans une plaque

50 36 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE T(x,y) = X(x) Y(y) (4.2) Avec (4.2) nous obtenons après division par (X Y) pour (4.1) - 1 X 2 X x 2 = 1 Y 2 Y y 2 (= C2 ) (4.3) Les deux côtés de l'équation (4.3) sont égaux à la même constante (C 2 ). Nous pouvons la définir par 2 X x 2 + C2 X = 0 (4.4) 2 Y y 2 - C2 Y = 0 (4.5) La solution générale des deux équations différentielles ordinaires est définie par Y = B 1 sinh (C y) + B 2 cosh (C y) (4.6) X = B 3 sin (C x) + B 4 cos (C x) (4.7) Avec (4.6) et (4.7), la solution générale pour T est T = [B 1 sinh (C y) + B 2 cosh (C y)] [B 3 sin (C x) + B 4 cos (C x)] (4.8) Les constantes C et B sont à déterminer par les conditions limites. Plaque rectangulaire avec température constante sur trois bords et distribution donnée sur un bord La plaque chauffée est illustrée dans la Fig La température est tenue constante sur les bords x=0, x=l et y=0. Sur le côté à y=w la température varie entre 0 < x < L selon f(x). L'équation différentielle (4.1) est donc à satisfaire pour les conditions aux limites: x= 0: T = T 1 x= L: T = T 1

51 TRANSMISSION DE CHALEUR 37 y=h T T 1 T y=0 y x T =300 C 1 T =400 C 2 T=310 C isothermes 300 T 1 x=0 x=l Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur un côté y=h T = f(x) T 1 T =300 C 1 T 1 T=310 C isothermes y=0 y x 300 T 1 x=0 x=l Plaque avec température constante sur trois bords et distribution donnée sur un bord Figure 4.2 Exemples de solution analytique pour la conduction thermique

52 38 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE y = 0: T = T 1 y = W: T = f(x) Le problème à résoudre consiste à trouver la distribution de température en chaque point de la plaque T = T(x,y). Pour simplifier les équations nous introduisons comme variable la différence de température Θ = T - T 1 (4.9) Le système à résoudre est maintenant 2 Θ x Θ y 2 = 0 (4.10) pour les conditions aux limites de x= 0: Θ = 0 (1) x= L: Θ = 0 (2) y = 0: Θ = 0 (3) y = W: Θ = f(x) - T 1 (4) La solution a la même forme que (4.8): Θ = [B 1 sinh (C y) + B 2 cosh (C y)] [B 3 sin (C x) + B 4 cos (C x)] (4.11) Pour satisfaire (3) il faut que B 2 = 0, donc Θ = B 1 sinh (C y) [B 3 sin (C x) + B 4 cos (C x) ] (4.12) Pour satisfaire (1) il faut que B 4 = 0 Θ = B 1 sinh (C y) [B 3 sin (C x)] (4.13) La substitution de la condition (2) donne avec B = B 1 B 3 0 = B sinh (C y) sin (C L) (4.14)

53 TRANSMISSION DE CHALEUR 39 La seule possibilité de satisfaire (4.14) est que sin (C L) = 0 donc pour C n = n π L, n= 0, 1, 2, 3, 4,... (4.15) L'équation (4.15) donne un nombre infini de solutions pour l'équation différentielle (4.14). La solution la plus générale est donnée par superposition Θ = Bn sinh (C n y) sin (C n x) (4.16) n=1 B n représente la constante B pour chaque solution (C n = 0 pour n=0). Appliquons finalement la condition (4) pour y=w, nous avons [f(x) - T 1 ] = Bn sinh (C n W) sin (C n x) (4.17) n=1 C n = n π L n= 0, 1, 2, 3, 4,... (0 < x < L) En utilisant les fonctions orthogonales et le fait que [B n sinh (C n W)]= cte, la solution pour B n de (4.17) est: L Θ = 2 n=1 sinh nπy L sinh nπw L sin nπx L L 0 [ f(x) - T 1 ] sin nπx L dx (4.18) Dans le cas particulier, pour f(x)= T 2 =cte à y = W, la solution selon (4.18) est T - T 1 T 2 - T 1 = 2 π n=1 1 + (-1) n+1 n sinh n π y L sinh n π W L sin n π x L (4.19)

54 40 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE La Fig. 4.2 montre le résultat d'un exemple de ce dernier cas. L'avantage des solutions analytiques réside dans l'obtention de la valeur exacte de la température en chaque point et à chaque instant, ce qui permet de varier facilement tous les paramètres en jeu en vue d'une étude systématique d'optimalisation. La solution exacte est malheureusement restreinte à peu de cas simples. Ces solutions analytiques servent aujourd'hui à tester la précision des méthodes numériques. 4.2 ANALOGIE RHEOELECTRIQUE Nous étudions le flux électrique dans une plaque plane d'épaisseur constante. Selon les données de la Fig. 4.3 i x dy + i y dx = i x + i x x dx dy + i y + i y y dy dx (4.20) donc i x x + i y y = 0 (4.21) où les variables représentent: U (Volt) I (Amp) i (A/m) R (Ohm) la tension électrique le courant électrique le courant par unité de largeur la résistance électrique Avec donc I = U R i x = - 1 R i y = - 1 R U x U y (4.22) (4.23)

55 TRANSMISSION DE CHALEUR 41 y i y + i y y dy dx i x dy i x + i x x dx dy dy i y dx dx x alimentation + - Voltmètre V V v=cte + - V=cte papier conducteur a) isothermes b) flux de chaleur constant grandeurs analogues Champ de température champ électrique T (K) U (Volt) q x, q y (W/m 2 ) i x, i y (A/m) Q (W) I (A) λ [W/(m K)] 1/R (1/Ohm) Figure 4.3 Exemple de la méthode analogique pour la conduction thermique

56 42 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE nous obtenons l'équation différentielle de LAPLACE où 2 U x U y 2 = 0 (4.24) U = 0 Nous constatons une analogie formelle entre les équations de la transmission de chaleur (4.1) et celle pour le flux d'électricité dans la plaque (4.24). Les grandeurs analogues sont répertoriées dans la Fig L'analogie rhéoélectrique peut être appliquée en général pour les problèmes décrits par l'équation différentielle du type Φ = F(Φ) donc pour les champs de potentiel pour lesquels l'opérateur de LAPLACE ( ) est égal à une fonction donnée F(Φ) (source interne). Pour l'application pratique nous utilisons une couche (papier) conductrice dans laquelle nous découpons la géométrie du corps à étudier. Les bords du modèle représentent des frontières isolées, donc des lignes équipotentielles. Nous introduisons le courant électrique sur les bords selon la Fig Pour obtenir les lignes équipotentielles (lignes de température ou flux de chaleur constants) nous utilisons un voltmètre. La Fig. 4.3 représente un exemple d'analogie rhéoélectrique. 4.3 METHODE GRAPHIQUE La méthode graphique est applicable pour des limites adiabates ou/et isothermes du domaine de calcul. La méthode exige une patience considérable et ne donne que des résultats d'une précision limitée. L'avantage pour le débutant utilisant cette méthode est qu'elle développe l'intuition pour la nature du champ de température et du flux de chaleur. La méthode se base sur le fait que les lignes de température constante sont perpendiculaires aux lignes de flux de chaleur. Le but de la méthode est de trouver les lignes de températures et les lignes de flux de chaleur pour un problème posé. La démarche de la méthode sera discutée sur la base de l'exemple selon la Fig. 4.4.

57 TRANSMISSION DE CHALEUR 43 Identifier des lignes de symétrie qui sont définies par les conditions géométriques et thermiques. Définir les lignes de symétrie comme adiabates, donc des lignes de flux de chaleur (pas de transmission perpendiculaire sur ces lignes). Tracer les lignes de température constante (coordonnées curvilignes y). A noter que ces isothermes doivent être perpendiculaires aux adiabates. Tracer les lignes de flux de chaleur (coordonnées curvilignes x) en créant des cadres curvilignes. Les segments x et y doivent être identiques ou approximatifs dans un élément (Fig. 4.4) x ab + cd 2 = y ac + bd 2 (4.25) Nous trouverons la solution généralement seulement après plusieurs itérations et la précision atteinte n'est pas très élevée. La chaleur conduite dans un élément entre deux lignes de flux est Q j pour la solution exacte et doit être identique pour chaque filet. La chaleur totale transmise est donc Q = j=1 M Qj = M Q j (4.26) où M est le nombre de lignes de flux de chaleur dans le dessin. Avec la différence de température entre les isothermes T i nous obtenons selon l'équation de FOURIER Q j λ A j T i x λ L y T i x (4.27) L'accroissement de température est le même pour toutes les isothermes donc N T 1-2 = Ti = N T i (4.28) n=1 avec (4.26) et (4.28) nous obtenons pour x y

58 44 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE T 1 T 2 L T 2 isotherme M=4 T 1 y a x y c b x d adiabate Q j 3 2 Q j T i j=1 i= N=6,1 Figure 4.4 Méthode graphique pour la conduction thermique Q L M N λ T 1-2 (4.29) Nous définissons le facteur de forme F Q = F λ (T 1 - T 2 ) (4.30) avec F = L M N (4.31) Le nombre des "canaux" M limités par des adiabates et le nombre des isothermes N entre les deux parois à température donnée (T 1, T 2 ) sont obtenus par le dessin des lignes orthogonales.

59 TRANSMISSION DE CHALEUR 45 Pour assurer l'égalité des segments x= y il est utile de dessiner à l'intérieur de chaque élément une cercle touchant les isothermes et les adiabates. La Fig. 4.5 montre pour quelques exemples le réseau des lignes isothermes et adiabates. Le diamètre des cercles ( x) est une mesure pour le gradient local de la température. dt dx T i,j x i,j Dans le tableau 4.1 on trouve des expressions analytiques pour le facteur de forme (F) pour quelques configurations T 2 B 2 2 d 1 z T 1 d 2 B 1 2 T 1 T 2 B 1 /2 B 2 /2 Figure 4.5 Exemples de la méthode graphique pour la conduction thermique

60 46 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE configuration facteur de forme (F) d 2 T 1 T 2 d 1 z tube circulaire excentré de longueur L à l'intérieur d'un cylindre de même longueur 2 π L F = Arch d d 2 2-4z 2 2 d 1 d 2 tube circulaire de longueur L à T 1 T 2 d B l'intérieur d'un solide carré de même longueur F = 2 π L ln 4 L d T 1 r 1 T 2 r 2 tube circulaire à l'intérieur d'un tube hexagonal F = 2 π L ln r 2 r T 2 tube enterré horizontalement de d T 1 z longueur L L >> d: F = L >> d et z > 1,5d: F = 2 π L Arch (2z/d) 2 π L ln (4z/d) Tableau Facteur de forme pour la conduction thermique

61 TRANSMISSION DE CHALEUR 47 configuration facteur de forme (F) T 2 sphère enterrée d T 1 z F = 2 π d 1 - d 4 z T 2 d T 1 z z tube circulaire horizontal de longueur L entre deux plans parallèles de même longueur et de largeur infinie (z>d/2) F = 2 π L ln 8 z π d T 2 d 1 d 2 T 1 B T 2 deux tubes cylindriques dans un milieu infini homogène 2 π L F = Arch 4 B 2 - d d d 1 d 2 T 2 d tube circulaire vertical dans un T 1 L milieu semi-infini (L>>d) F = 2 π L ln 4 L d Tableau Facteur de forme pour la conduction thermique

62 48 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 4.4 METHODE NUMERIQUE Pour la plupart des cas pratiques liés aux problèmes de transmission de chaleur, il est impossible de trouver des solutions analytiques (géométries et conditions aux limites complexes). Pour ces cas nous pouvons appliquer des méthodes numériques qui se basent sur la discrétisation des variables. Les valeurs numériques de la température sont définies en des points discrets du corps à des intervalles de temps discrets. Il existe plusieurs méthodes numériques pour résoudre les problèmes liés à la transmission de chaleur. Nous discutons ici la méthode des différences finies qui se base sur la transformation des dérivées de l'équation de transmission de chaleur en différences finies. Une autre méthode utilisée aujourd'hui est appelée la méthode des éléments finis. x noeud intérieur i, j +1 i -1, j j i, j i +1, j i, j -1 y x x x maillage de calcul i T(x) approximation par différences finies i -1 i i+1 i - 0,5 i + 0,5 x Figure 4. 6 Méthode numérique pour la conduction bidimensionnelle

63 TRANSMISSION DE CHALEUR 49 Définition du maillage de calcul Le premier pas à entreprendre est la définition du maillage de calcul pour le problème posé (voir exemple Fig. 4.6). Il est important de noter que chaque noeud représente la valeur (température) moyenne d'un certain domaine défini par le maillage (voir Fig. 4.6). Le choix du réseau des noeuds est arbitraire et doit être adapté au problème spécifique et à la précision du calcul souhaitée FORMULATION "DIFFERENCES FINIES" Nous remplaçons dans l'équation différentielle (4.1) 2 T x T y 2 = 0 les dérivées partielles par des différences finies dans les noeuds (i, j) selon Fig. 4.6 par 2 T x 2 i, j T = x - T i+0.5 j x x i-0.5 j (4.32) Pour les gradients de température nous utilisons les approximations suivantes T x i+0.5 j = T i+1 j - T i j x (4.33) T x i-0.5 j = T i j - T i-1 j x (4.34) Introduisant dans (4.32) nous obtenons 2 T x 2 i, j = T i+1 j + T i-1 j - 2 T i j x 2 (4.35)