TRANSMISSION DE CHALEUR

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1 ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE Eidgenössische Technische Hochschule - Lausanne Politecnico Federale - Losanna Swiss Federal Institute of Technology - Lausanne Département de génie mécanique Laboratoire de thermique appliquée et de turbomachines Professeur Dr. Albin Bölcs TRANSMISSION DE CHALEUR Volume I T 3 T 2 T 4 o T ( C) T 1 Lausanne septembre 1997

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3 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES I TABLE DES MATIERES 1. Introduction, modes de trasmission de chaleur Conduction Convection Rayonnement 7 2. Propriétés thermiques des matériaux 9 3. Introduction à la conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire Relations fondamentales Conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire Conduction thermique bidimensionnelle, stationnaire Solutions analytiques Analogie rhéoélectrique Méthode graphique Méthodes numériques Conduction thermique instationnaire Méthode de capacité thermique globale Paramètres universels de la méthode de calcul instationnaire Solution analytique pour la conduction monodimensionnelle 75 instationnaire 5.4 Méthode numérique pour la conduction instationnaire Principes fondamentaux de la convection thermique Principes fondamentaux de l'écoulement visqueux Propriétés de la couche limite turbulente Etude de similitude et paramètres adimensionnels 119

4 II TABLE DES MATIERES, SYMBOLES 7. Convection pour l'écoulement externe La couche limite laminaire sur une plaque plane Ecoulement turbulent sur la plaque plane Ecoulement autour d'un cylindre Ecoulement transversal dans un faisceau de tubes Convection pour l'écoulement interne Convection pour un tube circulaire Corrélations pour la convection forcée pour un tube circulaire La convection libre Consvection libre sur une paroi plane verticale Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces externes Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces internes Techniques de mesure 193 ANNEXE

5 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES III LISTE DES SYMBOLES Symbole Unité Signification A m 2 section de passage c p J/(kg K) chaleur massique à pression constante c v J/(kg K) chaleur massique à volume constant C f - coefficient de frottement (6.49) C th J/K capacité thermique d m diamètre d h m diamètre hydrodynamique (8.60) e J/kg énergie-travail massique E J énergie-travail technique Ė W=J/s puissance-travail technique f - variable adimensionnelle de BLASIUS (7.4) F N force F - facteur de forme g m/s 2 accélération terrestre h J/kg enthalpie massique h c J/kg enthalpie totale massique H m épaisseur, hauteur

6 IV TABLE DES MATIERES, SYMBOLES Symbole Unité Signification k W/(m 2 K) coefficient de transmission de chaleur global L m longueur m kg masse ṁ kg/s débit-masse N - nombre de tubes dans un faisceau (Fig. 7.6, 7.7) p N/m 2 pression P m périmètre q J/kg énergie-chaleur, massique q W/m 2 flux surfacique de chaleur q g W/m 3 énergie-chaleur générée, par unité de volume Q J énergie-chaleur Q W puissance-chaleur, taux de chaleur transmise r m rayon R J/(kg K) constante des gaz parfaits R th K/W résistance thermique s J/(kg K) entropie massique t s temps t x,y m distance entre les rangées de tubes (Fig. 7.6, 7.7)

7 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES V Symbole Unité Signification T C, K température T m,log K différence de température logarithmique (8.49) T r K température de récupération (7.19) T δ K température moyenne dans la couche limite (7.70) T* K température relative (7.10) u m/s composante de la vitesse dans la direction x u + - vitesse adimensionnelle dans la couche limite (7.34) v m/s composante de la vitesse dans la direction y y + - coordonnée adimensionelle de la couche limite (7.35) v m 3 /kg volume massique V m 3 volume V m 3 /s débit-volume w m/s vitesse relative de l'écoulement x, y, z m coordonnées x e,h m longueur d'entrée hydrodynamique (8.2, 8.3) x e,th m longueur d'entrée thermique (8.25, 8.26) α W/(m 2 K) coefficient de convection β 1/K facteur de dilatation

8 VI TABLE DES MATIERES, SYMBOLES Symbole Unité Signification x e,th m longueur d'entrée thermique (8.25, 8.26) α W/(m 2 K) coefficient de convection β 1/K facteur de dilatation δ m épaisseur de la couche limite η - variable adimensionelle de BLASIUS (7.5) ε N s/m 2 viscosité turbulente (6.60) ε th m 2 /s coefficient de diffusion thermique turbulent (6.61) κ - exposant isentrope (c p /c v ) λ W/(m K) coefficient de conduction (conductivité) thermique m 2 /s diffusivité thermique (2.1) µ N s/m 2 coefficient de viscosité dynamique ν m 2 /s coefficient de viscosité cinématique ρ kg/m 3 masse volumique (densité) σ W/(m 2 K 4 ) constante de Stefan-Boltzmann σ N/m 2 tension visqueuse normale τ t h s constante de temps τ N/m 2 tension de cisaillement Θ K différence de température (5.3)

9 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES VII Indices ( ) 1 condition de départ ( ) 2 condition finale ( ) ex grandeur de sortie ( ) in grandeur d'entrée ( ) m valeur moyenne ( ) n composante normale ( ) s surface, paroi ( ) f fluide ( ) valeur moyenne

10 VIII TABLE DES MATIERES, SYMBOLES PARAMETRES ADIMENSIONNELS DE SIMILITUDE POUR LA TRANSMISSION DE CHALEUR ET DE MASSE Désignation: ( définition ) Interprétation: Nombre de BIOT: Bi = α L λ solide Rapport entre la résistance thermique interne d'un solide et la résistance thermique de la couche limite. Coefficient de frottement: C f = τ s ρ w2 2 Contrainte surfacique adimensionnelle. Nombre d'eckert: Ec = w 2 c p (T s - T m ) Rapport entre l'énergie cinétique du fluide et la différence d'enthalpie de la couche limite. Nombre de FOURIER: Fo = t L 2 Rapport entre la chaleur de conduction et l'énergie thermique stockée dans le solide (temps adimensionnel). Nombre de FROUDE: Fr = w 2 g L rapport entre les forces d'inertie et les forces de gravité.

11 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES IX Nombre de GRASHOF: Gr = g β (T s - T ) L3 ν 2 Rapport entre la force ascensionelle et la force visqueuse. Nombre de MACH: M = w a Rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse du son. Nombre de NUSSELT: Nu = α L λ fluide Gradient de température adimensionnel sur la surface. Nombre de PECLET: Pe = w L Λ = Re L Pr Paramètre indépendant, adimensionnel du transfert de chaleur. Nombre de PRANDTL: Pr = ν Λ = c p µ λ Rapport entre la diffusivité de quantité de mouvement et la conductivité thermique. Nombre de REYLEIGH: Ra = g β (T s - T ) L3 ν 2 Pr Produit de Gr et Pr: Ra = Gr Pr. Nombre de REYNOLDS: Re = w L ν Rapport entre la force d'inertie et la force visqueuse.

12 X TABLE DES MATIERES, SYMBOLES Nombre de SCHMIDT: Sc = ν D AB Rapport entre la quantité de mouvement et la diffusivité de la masse. Nombre de STANTON: St = α ρ w c p = Nu Re Pr Nombre de NUSSELT modifié. Nombre de SHERWOOD: Sh = α L D AB Gradient de concentration adimensionnel à la surface. Nombre de WEBER: We = r w2 L σ Gradient de concentration adimensionnel à la surface.

13 TABLE DES MATIERES, SYMBOLES XI LITTERATURE MAC ADAMS W. H. Transmission de chaleur Dunod INCROPERA F. P. DE WITT D. P. Fundamentals of heat and mass transfer John Wiley & Sons WELTY J. R. Engineering heat transfer John Wiley & Sons CHAPMAN A. J. Heat transfer Macmillan Publishing Company HOLMAN J. P. Heat transfer McGraw-Hill Book Company KERN D. Q. Process heat transfer McGraw-Hill Book Company LANGHAAR H. L. Dimensional analysis and theory of models John Wiley & Sons AUTEURS VDI - Wärmeatlas VDI-Verlag Düsseldorf

14 XII TABLE DES MATIERES, SYMBOLES

15 TRANSMISSION DE CHALEUR 1 1. INTRODUCTION, MODES DE TRANSMISSION DE CHALEUR 1.1 Conduction 1.2 Convection 1.3 Rayonnement T 1 T 1 T 2 T 2 Q cond. w T 2 Q ray. Q conv. T 1

16 2 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR 1. INTRODUCTION, MODES DE TRANSMISSION DE CHALEUR En thermodynamique nous avons défini deux formes transitoires d'énergie, le travail et la chaleur. Elles sont transitoires, car elles existent seulement quand un échange d'énergie entre deux systèmes se produit (p.ex. énergie cinétique, potentielle, interne, énergie d'écoulement, énergie chimique, etc.). La transformation est appelée travail si l'échange se produit sans transmission de masse et sans différence de température entre les deux systèmes. Si l'échange se produit à cause de la différence de température entre les deux systèmes, il s'agit de transmission de chaleur. Les deux systèmes peuvent aussi être deux parties du même corps (p.ex. une barre chauffée). L'expression de "transfert de chaleur" n'est pas correcte selon le langage thermodynamique car le "flux de chaleur" est un mécanisme de transmission d'énergie interne et non une quantité en mouvement. Le cours de transmission de chaleur conduit à l'étude des modes de transmission et au calcul de la quantité d'énergie (chaleur) transmise. Nous développons des méthodes de calcul dont l'application s'adresse aux problèmes de l'industrie et de l'environnement. Importance de la transmission de chaleur L'ingénieur mécanicien et le chimiste rencontrent très souvent dans leur travail des problèmes qui concernent la transmission de chaleur. Donnons quelques exemples: génération de forces (énergie) par des machines thermiques, chauffage et refroidissement divers, divers procédés chimiques (p.ex. raffinage du pétrole), pollution thermique par décharge de chaleur dans l'environnement (air, eau). Concepts fondamentaux et modes de base de la transmission de chaleur Le premier principe de la thermodynamique nous dit que la chaleur donnée par un corps est égale à la chaleur reçue par l'autre. Le second principe de la thermodynamique nous définit la direction de la transmission: la chaleur est transmise du corps le plus chaud vers le plus froid.

17 TRANSMISSION DE CHALEUR 3 Nous distinguons trois modes de base de transmission de chaleur (Fig. 1.1): conduction convection radiation w T 2 T 2 q 2 T 1 T 2 q q q 1 T 1 T 1 T 1 > T 2 T 1 > T 2 T 1 T 2 conduction convection rayonnement à travers une d'une surface à entre deux paroi solide un fluide surfaces Figure 1.1 rayonnement Différents modes de transmission de chaleur conduction, convection et 1.1 CONDUCTION La conduction est l'échange d'énergie interne d'un corps à un autre (ou d'une partie d'un corps à une autre partie) par échange de l'énergie cinétique de mouvement des molécules par communication directe ou par l'intermédiaire des électrons libres dans les métaux. Ce "flux" d'énergie (ou chaleur) passe des molécules de niveau d'énergie plus élevé vers les molécules d'énergie plus faible (p.ex. une barre métallique chauffée d'un côté se réchauffe à l'autre bout). Le mécanisme physique est plus simplement démontré par l'observation d'un gaz (Fig. 1.1) entre deux parois de température différente. En chaque point de l'espace,

18 4 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR T 1 T 2 T T 1 q x T 2 x Figure 1.2 des molécules Transmission de chaleur par la diffusion d'énergie due au mouvement la température est liée au mouvement moyen (translation ainsi que rotation et vibration interne). Par la collision des molécules, l'énergie est transmise des molécules de niveau d'énergie plus élevé aux molécules de niveau d'énergie moins élevé. Pour des liquides la situation est semblable mais les distances entre les molécules sont plus petites (collisions plus intenses et plus fréquentes). Dans les solides la conduction est attribuée aux activités atomiques sous la forme de vibrations du réseau cristallin. Dans un non-conducteur, la transmission d'énergie est liée aux ondes cristallines, dans le conducteur aux mouvements des électrons libres. La quantité (taux) de chaleur transmise est définie par l'équation de FOURIER, qui se présente pour le cas monodimensionnel par q = - λ dt dx (1.1) Le flux de chaleur ( q [W/m2]) dans la direction x par unité de surface est proportionnel (λ) au gradient de température dt/dx.

19 TRANSMISSION DE CHALEUR 5 Le facteur λ est une propriété de transport caractéristique des matériaux que nous appelons la conductivité thermique [W/(m K)]. Le signe négatif exprime le fait que le transport se produit dans la direction de température décroissante. Dans le cas unidimensionnel avec une distribution linéaire de température (stationnaire) le gradient est donné par dt dx = T 2 - T 1 L (1.2) donc q x = - λ T 2 - T 1 L = λ T 1 - T 2 L (1.3) La chaleur (puissance) transmise est pour la surface A Q x = q x A (1.4) 1.2 CONVECTION La transmission de chaleur par convection se compose de deux mécanismes physiques transmission par le mouvement des molécules (diffusion), transmission par déplacement volumique (déplacement des volumes dans l'espace). Notre intérêt particulier se porte sur la transmission de chaleur entre un fluide en mouvement et une paroi, la température des deux éléments étant différente (Fig. 1.3). Dans le fluide, près de la paroi, nous trouvons une zone à fort gradient de vitesse la couche limite de vitesse. Dans le cas où il existe une différence de température entre le fluide et la paroi, il se forme aussi une couche limite de température qui peut avoir une épaisseur égale ou différente à celle de la couche limite de vitesse. La transmission de chaleur se met en route si T s T f. Dans la zone près de la paroi, la transmission de chaleur est dominé par le mouvement des molécules (diffusion) et à l'extérieur par le mouvement turbulent. Dans ce type de transmission de chaleur, la mécanique des fluides joue un rôle important.

20 6 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR Les lois de la conduction doivent être couplées avec celles du mouvement du fluide. Les équations différentielles résultantes figurent par conséquent parmis les plus complexes de la mathématique appliquée. Concernant la nature de l'écoulement le long des parois, nous distinguons deux types de convection: convection forcée quand le mouvement est entraîné par une force extérieure (ventilateur, pompe, etc), y y y = δ w δ T δ q distribution de vitesse distribution de température Processus [W/(m 2 K)] Convection libre 5-25 Convection forcée gaz liquides 50-20'000 Convection avec changement de phase (ébullition, condensation) 2' '000 Valeurs typiques des coefficients de convection Figure 1.3 Transmission de chaleur dans la couche limite

21 TRANSMISSION DE CHALEUR 7 convection libre si le mouvement du fluide est causé par la différence de densité (en fonction de la différence de température). Par la convection en général l'énergie interne du fluide est transmise. Mais il existe aussi des cas où la chaleur latente participe aussi à la transmission. Ce type d'échange est normalement accompagné par un changement de phase (ébullition et condensation). α représente le coefficient de transmission de chaleur par convection qui dépend des conditions de la couche limite (surface, Re, propriétés du fluide). Quelques valeurs typiques sont présentées dans le tableau (Fig. 1.3). La transmission de chaleur est définie par la relation de NEWTON q = α (T s - T f ) (1.5) où q représente le flux de chaleur par convection, T s la température de la paroi, T f la température du fluide. 1.3 RAYONNEMENT Chaque surface solide, liquide ou gazeuse émet de l'énergie thermique par radiation. La transmission d'énergie est réalisé par ondes électromagnétiques qui ne nécessitent pas la présence d'un médium de transport. Le flux maximal (W/m 2 ) émis par la radiation est donné par la loi de STEFAN- BOLTZMANN q = σ T 4 s (1.6) où σ = la constante de Stefan-Boltzmann σ = 5,67 *10-8 [W/(m 2 K 4 )] (1.7) Le flux réel émis par une surface réelle est q = ε σ T 4 s (1.8) où ε = émissibilité (rendement par rapport à la radiation idéale).

22 8 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR La radiation est émise dans toutes les directions. Les ondes électromagnétiques reçues par une surface sont partiellement absorbées et partiellement réfléchies. L'échange de radiations thermiques entre deux corps est donc considérablement plus compliquée que l'équation de Stefan-Bolzmann. entourage à température T ent q rad,ent air T f q conv q rad,s Figure 1.4 surface : ε = émissivité, A = surface, T = température s Echange de rayonnement entre une surface et son entourage Dans de nombreux cas techniques nous trouvons une petite surface (T s ) entourée d'une grande surface (T ent ), (Fig. 1.4). Le gaz entre les surfaces ne participe pas à la radiation. Dans ce cas, la transmission est donnée par q = Q A = ε σ ( T4 s - T 4 ent) (1.9) RESUME DU CHAPITRE 1 La conduction thermique est définie par l'équation de FOURIER. La convection thermique est définie par l'équation de NEWTON. Le rayonnement est défini par l'équation de STEFAN-BOLTZMANN.

23 TRANSMISSION DE CHALEUR 9 2. PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX 2.1 Conductivité thermique 2.2 Chaleur spécifique 2.3 Diffusivité thermique 2.4 Coefficient d'expansion thermique 2.5 Viscosité 2.6 Nombre de Prandtl

24 10 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX 2. PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX Pour pouvoir calculer les problèmes de transfert de chaleur, il faut connaître les valeurs numériques des propriétés physiques des matériaux en considération. 2.1 CONDUCTIVITE THERMIQUE La conductivité représente la facilité de propagation de la chaleur dans un matériau en fonction d'une différence de température donnée. Selon la loi de Fourier, la conductivité thermique est definie par [W/m K] = q x ( T/ x) (2.1) Donc pour une gradient de température donnée, le flux de chaleur augment avec l'augmentation du coefficient de chaleur. La conduction est essentiellement un transfert d'énergie par l'intermédiaire du mouvement (vibration) des molécules. Par conséquent la conductibilité dépend de: la composition chimique, la phase (liquide, gaz, solide), la structure cristalline des solides, la température, la pression, et l'homogénéité. Dans la suite nous considérerons des matériaux homogènes. Nous observons dans le tableau A.1 que les liquides sont en général meilleurs conducteurs que les gaz et les solides meilleurs conducteurs que les liquides. L'exemple suivant montre les valeurs numériques pour les 3 phases du mercure: solide T = -193 C λ = 48 W/(m K) liquide T = 0 C λ = 8 W/(m K) gaz T = 200 C λ = 0,0341 W/(m K) Le tableau A.1 montre aussi que les matériaux cristallins (quartz) sont de meilleurs conducteurs que les matériaux amorphes (verre).

25 TRANSMISSION DE CHALEUR 11 Dans les cristaux il existe un mécanisme additionnel de transfert d'énergie thermique, la vibration du réseau cristallin dans la direction décroissante de la température. Les imperfections dans la structure cristalline dérangent la propagation de ces ondes et diminuent généralement la capacité de convection. Dans le cas des métaux, un troisième mécanisme entre en jeu, le mouvement des électrons libres dans le réseau cristallin (les ions positifs occupent les places cristallines). Un gradient de température cause une "dérive" des électrons vers la température la plus basse (raison pour laquelle les métaux sont bons conducteurs). La conductibilité des métaux est proportionnelle à la température absolue et au "libre parcours moyen" des molécules. Ce dernier diminue avec la température. La conductibilité des liquides dépend en premier lieu de la température. La conductibilité des gaz augmente généralement avec la température et diminue avec le poids moléculaire. La pression influence la conductibilité près du point critique. 500 (W/m K) Tungstène Acier Argent Cuivre Or Aluminium Platine Fer Aluminium oxyde 5 2 Pyroceram Quarz Temperature (K) Figure 2.1 Coefficients de conduction des différents matériaux

26 12 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX Les isolants thermiques sont souvent de structure non homogène et dispersée dans un volume d'air ou de gas. Leur conductivité thermique depend de la conductivité, de la radiation thermique du solide, et du rapport volumétrique de l'espace libre. métaux purs alliages solides non métalliques isolations liquides gaz 0,01 0, [W/(m K)] Tableau 2.1 Coefficients de conduction des différents matériaux à température et pression normales (20 C et 1 bar) 2.2 CHALEUR SPECIFIQUE La chaleur spécifique représente la variation de la température d'un matériau avec la quantité de chaleur introduite à pression constante c p [J/(kg K)] à volume constant c v [J/(kg K)] La chaleur spécifique d'une substance est généralement fonction d'un état thermodynamique.

27 TRANSMISSION DE CHALEUR 13 La chaleur spécifique est dans la plupart des cas traités par l'ingénieur, indépendante de la pression. La température par contre influence la chaleur spécifique. Dans les gaz l'influence de la température sur c p est plus importante que pour les solides. Pour la vapeur (par ex. eau) à la fois T et p influencent la chaleur spécifique. 2.3 DIFFUSIVITE THERMIQUE Elle est définie par [m 2 /s] = λ ρ c p (2.2) elle inclut la conductivité (λ), la chaleur spécifique (c p ) et dépend de l'état du gaz (ρ). 2.4 COEFFICIENT D'EXPANSION THERMIQUE La force agissant dans le cas de la convection libre est la gravité provoquant le mouvement de couches de fluide de densité différentes. Le processus est caractérisé par le coefficient d'expansion thermique β = 1 ρ ρ T (2.3) p pour les gaz parfaits nous avons ρ = p R T (2.4) il devient donc β [1/K] = 1 ρ - p R T -2 = 1 T (2.5) Pour les liquides le coefficient d'expansion thermique est approximativement donné

28 14 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX par β [1/K] = 0,0776 ( T cr - T ) - 0,641 (2.6) 2.5 VISCOSITE Toutes les substances réelles montrent une résistance à la déformation. La résistance est proportionnelle à la vitesse de la déformation (couche limite). La résistance au mouvement de cisaillement est définie par le terme de viscosité. Viscosité dynamique Nous étudions le cas d'un écoulement laminaire le long d'une paroi. Le mouvement relatif des molécules entre deux couches voisines provoque une force de frottement tangentielle qui est selon NEWTON proportionnelle au gradient de vitesse τ = µ dw dy (2.7) Le coefficient µ [N s/m 2 ] est appelé viscosité dynamique. Viscosité cinématique Le rapport de la viscosité dynamique et de la densité du fluide est appelé la viscosité cinématique ν [m 2 /s] = µ ρ (2.8) Elle représente le rapport entre les forces visqueuses et les forces d'inertie du fluide. La viscosité des liquides dépend en premier lieu de la température et seulement très peu de la pression. Pour les gaz c'est la température qui influence le plus la viscosité, la pression également mais surtout autour du point critique. La viscosité des vapeurs varie généralement en fonction de la température et de la pression.

29 TRANSMISSION DE CHALEUR NOMBRE DE PRANDTL Dans les problèmes de conduction, il existe un échange d'énergie tant par les effets de viscosité que par ceux de conduction. Dans ce cas, le nombre de PRANDTL joue un rôle important Pr = µ c p λ = ν ρ c p λ = ν Λ (2.9) Sa valeur est donc définie par les propriétés du fluide et dépend donc en premier lieu de la température. RESUME DU CHAPITRE 2 La conduction thermique est essentiellement un transfert d'énergie par l'intermédiaire du mouvement des molécules qui dépend de la composition chimique, de la phase, de la structure cristalline des solides, de la température, de la pression et de l'homogénéité des matériaux. Les propriétés thermiques des matériaux sont définies par la chaleur spécifique c p, c v, la diffusivité thermique Λ, le coefficient d'expansion thermique β et la viscosité µ.

30 16 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX

31 TRANSMISSION DE CHALEUR INTRODUCTION A LA CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE 3.1 Relations fondamentales 3.2 Conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire La plaque plane La barre de section variable La paroi circulaire Q z+dz Q y+dy Q x Q gen Q x+dx dz Q y dx Q z Q st dy T 1 T 2 Q x

32 18 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 3. INTRODUCTION A LA CONDUCTION THERMIQUE 3.1 RELATIONS FONDAMENTALES La conduction de chaleur représente la transmission d'énergie par l'activité moléculaire en fonction d'un gradient de température. Nous étudions d'abord la conduction dans une barre (Fig. 3.1) A A x T 2 q x T 1 Figure 3.1 Transmission de chaleur par conduction dans une barre Avec la relation de FOURIER, la quantité de chaleur transmise est Q x = - A λ dt dx (3.1) et le flux de chaleur q x = Q x A = - λ dt dx (3.2) Nous rappelons que le signe négatif indique que la transmission se fait du côté haute température vers le côté basse température. L'équation (3.2) montre que le flux de chaleur est une quantité directionnelle. La section A est normale à la direction du flux. Généralement le flux de chaleur est perpendiculaire aux surfaces isothermes. Sous forme vectorielle nous pouvons écrire (T = champs de température (scalaire))

33 TRANSMISSION DE CHALEUR 19 q = - λ i T x + j T y + k T z (3.3) nous pouvons aussi écrire q n = - λ T n (3.4) où n est la direction normale à la surface isotherme. L'objectif de l'étude de la conductibilité est généralement de déterminer la distribution de température dans un média à partir de conditions limites données. A partir de la distribution de température nous pouvons calculer le flux de chaleur en tout point par la relation de FOURIER (important p.ex. pour le refroidissement des aubes de turbines, contraintes thermiques, etc.). La démarche à suivre est l'utilisation de la loi de conservation de l'énergie la définition du volume de contrôle et l'identification des processus de transmission d'énergie. L'équation différentielle résultante est à résoudre pour des conditions limites données. Nous définissons d'abord dans le médium un petit volume de contrôle de (dx dy dz) (voir Fig. 3.2). Si des gradients de température existent dans le médium, la conduction se met en route. Perpendiculairement aux surfaces nous obtenons les quantités de chaleur: Q x+dx = Q x + Q x x dx (3.5a) Q y+dy = Q y + Q y y dy (3.5b) Q z+dz = Q z + Q z z dz (3.5c) Nous admettons une source d'énergie dans le volume (p.ex. par processus chimique, électrique, nucléaire, etc.) Q gen = q g dx dy dz (3.6) L'énergie stockée dans le matériau est

34 20 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE z y T(x,y,z) T=cte (isotherme) x Q z+dz Q y+dy Q x Q gen Q x+dx dz Q y Q st dy z y dx Q z Figure 3.2 coordonnées cartésiennes Volume de contrôle pour la conduction dans un système de Q st = ρ c p T t dx dy dz (3.7) où ρ c p ( T/ t) est la variation de l'énergie interne du médium par unité de volume. Selon la loi de conservation de l'énergie Q in - Q ex + Q gen = Q st (3.8)

35 TRANSMISSION DE CHALEUR 21 Donc avec (3.6) et (3.7) Q x + Q y + Q z + q gen dx dy dz - Q x+dx - Q y+dy - Q z+dz = ρ c p T t dx dy dz (3.9) avec (3.5) - Q x x dx - Q y y dy - Q z z dz + q g dx dy dz = ρ c p T t dx dy dz (3.10) Avec les équations de FOURIER Q x = - λ dy dz T x Q y = - λ dx dz T y Q z = - λ dx dy T z (3.11a) (3.11b) (3.11c) Nous obtenons finalement λ T x x + λ T y y + λ T z z + q g = ρ c p T t (3.12) (3.12) représente l'équation de la transmission de chaleur. La solution nous permet de calculer la distribution de température en fonction du temps. L'équation (3.12) exprime qu'en tout point d'un médium la transmission de chaleur par conduction dans le volume de contrôle et de l'énergie générée à l'intérieur est égale à la variation de la chaleur stockée dans le volume. Dans le cas où la conductibilité (λ) est constante, nous avons 2 T x T y T z 2 + q g λ = 1 Λ T t (3.13) où (Λ = λ/ρ c p ) représente la diffusivité thermique.

36 22 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE r d Q z+dz Q ϕ+dϕ Q r Q ϕ dz z r T(r,,z) dr Q r+dr Q z x y Figure 3.3 Volume de contrôle [dr (r d ) dz] pour la conduction dans un système de coordonnées cylindriques (r,, z) Dans le cas de conditions stationnaires ( T/ t=0) l'équation se réduit à λ T x x + λ T y y + λ T z z + q g = 0 (3.14) Finalement pour le cas unidimensionnel et stationnaire et sans source de chaleur interne ( q g =0) nous obtenons d λ dt dx dx = 0 (3.15) Les équations (3.16) et (3.17) représentent l'expression pour la transmission par conduction dans respectivement des coordonnées cylindriques 1 r λr T r r + 1 λ T ϕ r 2 ϕ + λ T z z + q g = ρ c p T t (3.16)

37 TRANSMISSION DE CHALEUR 23 r sin ψ dϕ Q ψ+dψ dr Q r r dψ Q ϕ+dϕ Q ϕ z T(r, ) Q ψ Q r+dr y Figure 3.4 Volume de contrôle [dr (r sin d ) (r dy)] pour la conduction dans un système de coordonnées sphériques (r,, ) et sphériques 1 r 2 λr 2 T r r + 1 r 2 sin 2 ϕ λ T ϕ ϕ + 1 r 2 sin 2 ψ λsinψ T ψ ψ + q g = ρ c p T t (3.17) CONDITIONS LIMITES ET CONDITIONS INITIALES Pour déterminer la distribution de température dans un médium, il faut résoudre l'équation (3.13) pour des conditions initiales et des conditions données sur la surface. Pour définir les conditions sur la surface il faut deux conditions limites pour chaque coordonnée (équation du 2ème degré dans des coordonnées spatiales). Pour définir la condition initiale, une seule condition suffit car l'équation est du 1er ordre pour le temps.

38 24 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 3.2 CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Nous désignons le problème de la transmission de chaleur comme étant monodimensionnel quand une seule coordonnée spatiale est suffisante pour décrire le phénomène de transport. La stationnarité exprime que la température en chaque point ne varie pas avec le temps LA PLAQUE PLANE La Fig. 3.5 montre une coupe de la paroi. Nous obtenons la distribution de température dans la paroi par l'équation (3.14) appropriée d λ dt dx dx = 0 (3.18) Pour des températures constantes des parois, la solution est donnée par T(x) = C 1 x + C 2 Les constantes C 1 et C 2 sont à déterminer par les conditions aux limites T(0) = T s,1 et T(L) = T s,2 pour x=0: T s1 = C 2 pour x=l: T s2 = C 1 L + C 2 = C 1 L + T s,1 C 1 = (T s,2 - T s,1 ) L La solution générale est donc T(x) = T s,1 + (T s,2 - T s,1 ) x L (3.19)

39 TRANSMISSION DE CHALEUR 25 L'équation (3.19) nous montre que la température dans la paroi est, pour le cas donné, linéaire avec x. La quantité de chaleur peut être calculée avec l'équation de FOURIER (3.1) Q x = -λ A dt dx = λ A L (T s,1 - T s,2 ) (3.20) et le flux de chaleur q x = Q x A = λ L (T s,1 - T s,2 ) (3.21) Il est à noter que le flux de chaleur est indépendant de x. Nous pouvons obtenir le même résultat par un bilan d'énergie sur les surfaces. T T f,1 T s,1 w 2 w 1 fluide chaud fluide froid T s,2 T f,2 a) distribution de température x x=0 x=l Q x T f,1 T s,1 T s,2 T f,2 1 α 1 A L λ A 1 α 2 A b) Circuit thermique équivalent Figure 3.5 Transmission de chaleur à travers une plaque plane

40 26 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE L'équation (3.21) nous rappelle qu'il existe une analogie entre la diffusion de la chaleur et la conduction électrique. Similaire à la loi de OHM pour l'électricité R él = (U s,1 - U s,2 ) I (3.22) nous pouvons définir une résistance thermique de conduction R th,cond = (T s,1 - T s,2 ) Q x cond (3.23) et une résistance thermique de convection R th,conv = (T s - T f ) Q conv (3.24) Utilisant pour la conduction la relation de FOURIER (1.1) et pour la convection à la surface l'équation de NEWTON (1.6), on obtient R th,cond = (T s 1 - T s 2 ) A λ (T s 1 - T s 2 ) L = L λ A (3.25) et R th,conv = (T s - T f ) A α (T s - T f ) = 1 α A (3.26) La chaleur conduite au travers de la paroi selon la Fig. 3.5 est identique dans les trois sections Q x = (T f 1 - T s 1 ) 1 α 1 A = (T s 1 - T s 2 ) L λ A = (T s 2 - T f 2 ) 1 α 2 A (3.27) ce qui nous donne Q x = (T f 1 - T f 2 ) R th tot (3.28) avec R th,tot = 1 α 1 A + L λ A + 1 α 2 A (3.29)

41 TRANSMISSION DE CHALEUR 27 La résistance thermique totale en série est donc égale à la somme des résistances des éléments. Cette forme est utile pour définir les conditions dans une paroi composée par des couches de propriétés thermiques différentes. La Fig. 3.6 montre l'exemple d'une paroi composée de trois couches. La puissance-chaleur transmise dans une paroi composée de N couches se calcule selon (3.28) avec R th,tot = 1 α f1 A + L 1 λ 1 A + L 2 λ 2 A + L 3 λ 3 A L N λ N A + 1 α f2 A (3.30) Dans les parois composites il existe en général un saut de température entre les couches qui est une conséquence de la résistance de contact. T f,1 T T s,1 T s,2 T s,3 w 2 w 1 fluide froid T s,4 fluide chaud T f,2 L 1 L 2 L 3 a) distribution de température Q x 1 α A 1 L 1 L 2 L 3 λ 1 A λ 2 A λ 3 A 1 α A 2 b) Circuit thermique équivalent Figure 3.6 conductivité différentes Circuit thermique équivalent pour une paroi composée de couches de

42 28 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE LA BARRE DE SECTION VARIABLE Nous étudions la conduction monodimensionnelle dans une barre de section variable selon Fig Le taux de chaleur Qx reste constant le long de x mais le flux de chaleur varie avec la section A(x) Q x = q (x) A(x) = - λ(x) dt dx A(x) (3.31) avec Q x (x) = cte l'intégration nous donne la distribution de la température T(x) Q x x1 x 1 A(x) dx = - T λ(x) dt (3.32) T1 Q x A 1 T 1 q x A(x) q x+dx A 2 T 2 Q x T(x) x dx x=l Figure 3.7 Transmission de chaleur dans une barre de section variable LA PAROI CIRCULAIRE Dans diverses applications techniques on trouve des parois circulaires (tubes, etc.) exposées à des fluides de température différentes entre la surface intérieure et extérieure (Fig. 3.8). Pour le cas de la conduction stationnaire et sans génération de chaleur le problème est défini par l'équation (3.16) donc

43 TRANSMISSION DE CHALEUR 29 1 r d λ r dt dr dr = 0 (3.33) Pour λ=cte la solution de l'intégration double est T(r) = C 1 ln r + C 2 (3.34) Les constantes sont définies par les conditions aux limites pour r = r 1 : T s,1 = C 1 ln r 1 + C 2 pour r = r 2 : T s,2 = C 1 ln r 2 + C 2 donc C 1 = T s 1 - T s 2 ln (r 1 / r 2 ) et C 2 = T s 1 - T s 1 - T s 2 ln (r 1 / r 2 ) ln r 1 Introduit dans (3.33) nous obtenons pour la distribution radiale de la température T(r) = T s,1 - (T s,1 - T s,2 ) ln (r / r 1 ) ln (r 2 / r 1 ) (3.35) Notons que la distribution de la température dans la paroi cylindrique est logarithmique. λ T T s2 T s1 r 1 r 2 r Figure 3.8 Transmission de chaleur à travers une paroi circulaire

44 30 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Avec la relation de FOURIER Q r = q r A(x) = - λ(x) dt dr 2 π r L (3.36) et avec la dérivé de la température selon (3.35) nous trouvons pour la puissancechaleur transmise Q r = 2 π L λ T s 1 - T s 2 ln (r 2 / r 1 ) (3.37) pour la conduction R th-r, cond = T s 1 - T s 2 = ln (r 2 / r 1 ) Q r 2 π L λ (3.38) et pour la convection R th-r, conv = T f - T s Q r = 1 2 π L α f (3.39) α 1 λ 1 λ 2 λ 3 α 2 T f1 T T s1 Ts2 Exemple: λ 1 < λ 2 > λ 3 T s3 Ts4 T f2 r 1 r 2 r 3 r 4 r Figure 3.9 Distribution de la température dans une paroi composite cylindrique

45 TRANSMISSION DE CHALEUR 31 Par analogie avec la paroi plane nous obtenons pour le tube circulaire composé Q r = T f 1 - T f 2 R th-r tot (3.40) Pour la paroi à N couches (voir Fig. 3.9) la résistance thermique totale est donnée par R th-r tot = 1 2π r 1 L α + ln (r 2/r 1 ) f 1 2 π L λ + ln (r 3/r 2 ) 1 2 π L λ ln (r N+1/r N ) 2 2 π L λ + N 1 2 π r N+1 L α f 2 (3.41) RESUME DU CHAPITRE 3 La distribution de température est linéaire dans une plaque plane. La résistance thermique de conduction est définie par la géométrie (L, A) et le coefficient de conduction λ. La résistance thermique de convection est définie par la géométrie (A) et le coefficient de convection α. La résistance thermique totale d'une paroi composite est la somme de la résistance de chacune des couches. Le taux de chaleur transmise à travers une plaque plane composite Q est proportionnel à la différence de température des fluides et inversement proportionnel à la résistance thermique totale. Dans une section variable, le taux de chaleur Q reste constant dans la direction axiale mais le flux de chaleur q(x) est inversement proportionnel à la surface A(x). Le flux de chaleur dans la paroi circulaire varie d'une façon logarithmique dans la direction radiale. La distribution de température dans la paroi circulaire a une allure logarithmique.

46 32 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE La distribution de température dans la paroi composite cylindrique se calcule comme celle de la paroi plane par la différence de température et la résistance thermique.

47 TRANSMISSION DE CHALEUR CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 4.1 Solutions analytiques 4.2 Analogie rhéoélectrique 4.3 Méthode graphique 4.4 Méthodes numériques T=cte T x y

48 34 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 4. CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Dans la plupart des cas le problème de la transmission de chaleur ne dépend pas seulement d'une seule coordonnée. Etudions le cas de la Fig Pour déterminer la distribution de température, nous utilisons la forme appropriée de l'équation (3.13) 2 T x T y 2 = 0 (4.1) Les méthodes utilisées pour déterminer le champ de température, donc pour résoudre l'équation (4.1) sont méthode analytique, méthode analogique, méthode graphique, et méthode numérique (différences finies). La solution analytique de l'équation implique des séries mathématiques compliquées et peut être calculée seulement dans de rares cas possédant une géométrie et des conditions aux limites simples. Les méthodes analytiques donnent la solution exacte pour la température en chaque point (x,y). Les méthodes graphiques et numériques permettent de calculer des problèmes complexes mais donnent seulement des valeurs approximatives en des points discrets. 4.1 SOLUTIONS ANALYTIQUES Nous discutons ici la méthode de séparation des variables. Dans ce but nous considérons une plaque rectangulaire selon Fig La transmission de chaleur par conduction est définie par (4.1). Conformément à la méthode de séparation des variables, nous admettons que la solution pour la distribution de température peut être exprimée par deux fonctions X(x) et Y(y), chacune dépendant seulement d'une variable

49 TRANSMISSION DE CHALEUR 35 T=cte T H x y Distribution de la température dans une plaque d'épaisseur constante: T=T(x,y) T=350 C y x Représentation des isothermes dans la plaque Figure 4.1 Transmission de chaleur bidimensionnelle dans une plaque

50 36 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE T(x,y) = X(x) Y(y) (4.2) Avec (4.2) nous obtenons après division par (X Y) pour (4.1) - 1 X 2 X x 2 = 1 Y 2 Y y 2 (= C2 ) (4.3) Les deux côtés de l'équation (4.3) sont égaux à la même constante (C 2 ). Nous pouvons la définir par 2 X x 2 + C2 X = 0 (4.4) 2 Y y 2 - C2 Y = 0 (4.5) La solution générale des deux équations différentielles ordinaires est définie par Y = B 1 sinh (C y) + B 2 cosh (C y) (4.6) X = B 3 sin (C x) + B 4 cos (C x) (4.7) Avec (4.6) et (4.7), la solution générale pour T est T = [B 1 sinh (C y) + B 2 cosh (C y)] [B 3 sin (C x) + B 4 cos (C x)] (4.8) Les constantes C et B sont à déterminer par les conditions limites. Plaque rectangulaire avec température constante sur trois bords et distribution donnée sur un bord La plaque chauffée est illustrée dans la Fig La température est tenue constante sur les bords x=0, x=l et y=0. Sur le côté à y=w la température varie entre 0 < x < L selon f(x). L'équation différentielle (4.1) est donc à satisfaire pour les conditions aux limites: x= 0: T = T 1 x= L: T = T 1

51 TRANSMISSION DE CHALEUR 37 y=h T T 1 T y=0 y x T =300 C 1 T =400 C 2 T=310 C isothermes 300 T 1 x=0 x=l Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur un côté y=h T = f(x) T 1 T =300 C 1 T 1 T=310 C isothermes y=0 y x 300 T 1 x=0 x=l Plaque avec température constante sur trois bords et distribution donnée sur un bord Figure 4.2 Exemples de solution analytique pour la conduction thermique

52 38 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE y = 0: T = T 1 y = W: T = f(x) Le problème à résoudre consiste à trouver la distribution de température en chaque point de la plaque T = T(x,y). Pour simplifier les équations nous introduisons comme variable la différence de température Θ = T - T 1 (4.9) Le système à résoudre est maintenant 2 Θ x Θ y 2 = 0 (4.10) pour les conditions aux limites de x= 0: Θ = 0 (1) x= L: Θ = 0 (2) y = 0: Θ = 0 (3) y = W: Θ = f(x) - T 1 (4) La solution a la même forme que (4.8): Θ = [B 1 sinh (C y) + B 2 cosh (C y)] [B 3 sin (C x) + B 4 cos (C x)] (4.11) Pour satisfaire (3) il faut que B 2 = 0, donc Θ = B 1 sinh (C y) [B 3 sin (C x) + B 4 cos (C x) ] (4.12) Pour satisfaire (1) il faut que B 4 = 0 Θ = B 1 sinh (C y) [B 3 sin (C x)] (4.13) La substitution de la condition (2) donne avec B = B 1 B 3 0 = B sinh (C y) sin (C L) (4.14)

53 TRANSMISSION DE CHALEUR 39 La seule possibilité de satisfaire (4.14) est que sin (C L) = 0 donc pour C n = n π L, n= 0, 1, 2, 3, 4,... (4.15) L'équation (4.15) donne un nombre infini de solutions pour l'équation différentielle (4.14). La solution la plus générale est donnée par superposition Θ = Bn sinh (C n y) sin (C n x) (4.16) n=1 B n représente la constante B pour chaque solution (C n = 0 pour n=0). Appliquons finalement la condition (4) pour y=w, nous avons [f(x) - T 1 ] = Bn sinh (C n W) sin (C n x) (4.17) n=1 C n = n π L n= 0, 1, 2, 3, 4,... (0 < x < L) En utilisant les fonctions orthogonales et le fait que [B n sinh (C n W)]= cte, la solution pour B n de (4.17) est: L Θ = 2 n=1 sinh nπy L sinh nπw L sin nπx L L 0 [ f(x) - T 1 ] sin nπx L dx (4.18) Dans le cas particulier, pour f(x)= T 2 =cte à y = W, la solution selon (4.18) est T - T 1 T 2 - T 1 = 2 π n=1 1 + (-1) n+1 n sinh n π y L sinh n π W L sin n π x L (4.19)

54 40 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE La Fig. 4.2 montre le résultat d'un exemple de ce dernier cas. L'avantage des solutions analytiques réside dans l'obtention de la valeur exacte de la température en chaque point et à chaque instant, ce qui permet de varier facilement tous les paramètres en jeu en vue d'une étude systématique d'optimalisation. La solution exacte est malheureusement restreinte à peu de cas simples. Ces solutions analytiques servent aujourd'hui à tester la précision des méthodes numériques. 4.2 ANALOGIE RHEOELECTRIQUE Nous étudions le flux électrique dans une plaque plane d'épaisseur constante. Selon les données de la Fig. 4.3 i x dy + i y dx = i x + i x x dx dy + i y + i y y dy dx (4.20) donc i x x + i y y = 0 (4.21) où les variables représentent: U (Volt) I (Amp) i (A/m) R (Ohm) la tension électrique le courant électrique le courant par unité de largeur la résistance électrique Avec donc I = U R i x = - 1 R i y = - 1 R U x U y (4.22) (4.23)

55 TRANSMISSION DE CHALEUR 41 y i y + i y y dy dx i x dy i x + i x x dx dy dy i y dx dx x alimentation + - Voltmètre V V v=cte + - V=cte papier conducteur a) isothermes b) flux de chaleur constant grandeurs analogues Champ de température champ électrique T (K) U (Volt) q x, q y (W/m 2 ) i x, i y (A/m) Q (W) I (A) λ [W/(m K)] 1/R (1/Ohm) Figure 4.3 Exemple de la méthode analogique pour la conduction thermique

56 42 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE nous obtenons l'équation différentielle de LAPLACE où 2 U x U y 2 = 0 (4.24) U = 0 Nous constatons une analogie formelle entre les équations de la transmission de chaleur (4.1) et celle pour le flux d'électricité dans la plaque (4.24). Les grandeurs analogues sont répertoriées dans la Fig L'analogie rhéoélectrique peut être appliquée en général pour les problèmes décrits par l'équation différentielle du type Φ = F(Φ) donc pour les champs de potentiel pour lesquels l'opérateur de LAPLACE ( ) est égal à une fonction donnée F(Φ) (source interne). Pour l'application pratique nous utilisons une couche (papier) conductrice dans laquelle nous découpons la géométrie du corps à étudier. Les bords du modèle représentent des frontières isolées, donc des lignes équipotentielles. Nous introduisons le courant électrique sur les bords selon la Fig Pour obtenir les lignes équipotentielles (lignes de température ou flux de chaleur constants) nous utilisons un voltmètre. La Fig. 4.3 représente un exemple d'analogie rhéoélectrique. 4.3 METHODE GRAPHIQUE La méthode graphique est applicable pour des limites adiabates ou/et isothermes du domaine de calcul. La méthode exige une patience considérable et ne donne que des résultats d'une précision limitée. L'avantage pour le débutant utilisant cette méthode est qu'elle développe l'intuition pour la nature du champ de température et du flux de chaleur. La méthode se base sur le fait que les lignes de température constante sont perpendiculaires aux lignes de flux de chaleur. Le but de la méthode est de trouver les lignes de températures et les lignes de flux de chaleur pour un problème posé. La démarche de la méthode sera discutée sur la base de l'exemple selon la Fig. 4.4.

57 TRANSMISSION DE CHALEUR 43 Identifier des lignes de symétrie qui sont définies par les conditions géométriques et thermiques. Définir les lignes de symétrie comme adiabates, donc des lignes de flux de chaleur (pas de transmission perpendiculaire sur ces lignes). Tracer les lignes de température constante (coordonnées curvilignes y). A noter que ces isothermes doivent être perpendiculaires aux adiabates. Tracer les lignes de flux de chaleur (coordonnées curvilignes x) en créant des cadres curvilignes. Les segments x et y doivent être identiques ou approximatifs dans un élément (Fig. 4.4) x ab + cd 2 = y ac + bd 2 (4.25) Nous trouverons la solution généralement seulement après plusieurs itérations et la précision atteinte n'est pas très élevée. La chaleur conduite dans un élément entre deux lignes de flux est Q j pour la solution exacte et doit être identique pour chaque filet. La chaleur totale transmise est donc Q = j=1 M Qj = M Q j (4.26) où M est le nombre de lignes de flux de chaleur dans le dessin. Avec la différence de température entre les isothermes T i nous obtenons selon l'équation de FOURIER Q j λ A j T i x λ L y T i x (4.27) L'accroissement de température est le même pour toutes les isothermes donc N T 1-2 = Ti = N T i (4.28) n=1 avec (4.26) et (4.28) nous obtenons pour x y

58 44 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE T 1 T 2 L T 2 isotherme M=4 T 1 y a x y c b x d adiabate Q j 3 2 Q j T i j=1 i= N=6,1 Figure 4.4 Méthode graphique pour la conduction thermique Q L M N λ T 1-2 (4.29) Nous définissons le facteur de forme F Q = F λ (T 1 - T 2 ) (4.30) avec F = L M N (4.31) Le nombre des "canaux" M limités par des adiabates et le nombre des isothermes N entre les deux parois à température donnée (T 1, T 2 ) sont obtenus par le dessin des lignes orthogonales.

59 TRANSMISSION DE CHALEUR 45 Pour assurer l'égalité des segments x= y il est utile de dessiner à l'intérieur de chaque élément une cercle touchant les isothermes et les adiabates. La Fig. 4.5 montre pour quelques exemples le réseau des lignes isothermes et adiabates. Le diamètre des cercles ( x) est une mesure pour le gradient local de la température. dt dx T i,j x i,j Dans le tableau 4.1 on trouve des expressions analytiques pour le facteur de forme (F) pour quelques configurations T 2 B 2 2 d 1 z T 1 d 2 B 1 2 T 1 T 2 B 1 /2 B 2 /2 Figure 4.5 Exemples de la méthode graphique pour la conduction thermique

60 46 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE configuration facteur de forme (F) d 2 T 1 T 2 d 1 z tube circulaire excentré de longueur L à l'intérieur d'un cylindre de même longueur 2 π L F = Arch d d 2 2-4z 2 2 d 1 d 2 tube circulaire de longueur L à T 1 T 2 d B l'intérieur d'un solide carré de même longueur F = 2 π L ln 4 L d T 1 r 1 T 2 r 2 tube circulaire à l'intérieur d'un tube hexagonal F = 2 π L ln r 2 r T 2 tube enterré horizontalement de d T 1 z longueur L L >> d: F = L >> d et z > 1,5d: F = 2 π L Arch (2z/d) 2 π L ln (4z/d) Tableau Facteur de forme pour la conduction thermique

61 TRANSMISSION DE CHALEUR 47 configuration facteur de forme (F) T 2 sphère enterrée d T 1 z F = 2 π d 1 - d 4 z T 2 d T 1 z z tube circulaire horizontal de longueur L entre deux plans parallèles de même longueur et de largeur infinie (z>d/2) F = 2 π L ln 8 z π d T 2 d 1 d 2 T 1 B T 2 deux tubes cylindriques dans un milieu infini homogène 2 π L F = Arch 4 B 2 - d d d 1 d 2 T 2 d tube circulaire vertical dans un T 1 L milieu semi-infini (L>>d) F = 2 π L ln 4 L d Tableau Facteur de forme pour la conduction thermique

62 48 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE 4.4 METHODE NUMERIQUE Pour la plupart des cas pratiques liés aux problèmes de transmission de chaleur, il est impossible de trouver des solutions analytiques (géométries et conditions aux limites complexes). Pour ces cas nous pouvons appliquer des méthodes numériques qui se basent sur la discrétisation des variables. Les valeurs numériques de la température sont définies en des points discrets du corps à des intervalles de temps discrets. Il existe plusieurs méthodes numériques pour résoudre les problèmes liés à la transmission de chaleur. Nous discutons ici la méthode des différences finies qui se base sur la transformation des dérivées de l'équation de transmission de chaleur en différences finies. Une autre méthode utilisée aujourd'hui est appelée la méthode des éléments finis. x noeud intérieur i, j +1 i -1, j j i, j i +1, j i, j -1 y x x x maillage de calcul i T(x) approximation par différences finies i -1 i i+1 i - 0,5 i + 0,5 x Figure 4. 6 Méthode numérique pour la conduction bidimensionnelle

63 TRANSMISSION DE CHALEUR 49 Définition du maillage de calcul Le premier pas à entreprendre est la définition du maillage de calcul pour le problème posé (voir exemple Fig. 4.6). Il est important de noter que chaque noeud représente la valeur (température) moyenne d'un certain domaine défini par le maillage (voir Fig. 4.6). Le choix du réseau des noeuds est arbitraire et doit être adapté au problème spécifique et à la précision du calcul souhaitée FORMULATION "DIFFERENCES FINIES" Nous remplaçons dans l'équation différentielle (4.1) 2 T x T y 2 = 0 les dérivées partielles par des différences finies dans les noeuds (i, j) selon Fig. 4.6 par 2 T x 2 i, j T = x - T i+0.5 j x x i-0.5 j (4.32) Pour les gradients de température nous utilisons les approximations suivantes T x i+0.5 j = T i+1 j - T i j x (4.33) T x i-0.5 j = T i j - T i-1 j x (4.34) Introduisant dans (4.32) nous obtenons 2 T x 2 i, j = T i+1 j + T i-1 j - 2 T i j x 2 (4.35)

64 50 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE De la même manière nous obtenons pour la dérivée selon y 2 T y 2 i, j T = y - T i j+0.5 y y i j-0.5 (4.36) 2 T y 2 i, j = T i j+1 + T i j-1-2 T i j y 2 (4.37) Pour un maillage avec x = y l'équation (4.1) se transforme avec (4.35) et (4.35) à T i j+1 + T i j-1 + T i+1 j + T i-1 j - 4 T i j = 0 (4.38) Pour le noeud (i, j) l'équation différentielle est donc transformée en une équation algébrique approximative. Elle peut être appliquée à tout noeud interne équidistant de ses voisins LA METHODE DE BILAN D'ENERGIE Nous pouvons obtenir l'équation des différences finies pour un noeud également par un bilan d'énergie pour un volume de contrôle autour du noeud. Pour des conditions stationnaires nous pouvons écrire Q in + Q g = 0 (4.39 a) où Q in représente le flux de chaleur introduit et Q g la chaleur générée dans le volume de contrôle. Pour l'élément selon Fig le bilan d'énergie donne 4 ( Qn ) i j + q g ( x y 1) = 0 (4.39) n=1 n représente ici les noeuds voisins et ( Q n ) i,j la chaleur conduite entre les noeuds. La transmission de chaleur par conduction (dans les directions x ou y seulement)

65 TRANSMISSION DE CHALEUR 51 depuis les noeuds voisins vers [i, j] est donné par Q (i-1, j) (i, j) = λ (1 y) T i-1 j - T i j x Q (i+1, j) (i, j) = λ (1 y) T i+1 j - T i j x Q (i, j+1) (i, j) = λ (1 x) T i j+1 - T i j y (4.40) Q (i, j-1) (i, j) = λ (1 x) T i j-1 - T i j y Introduisant les équations (4.40) dans (4.39) pour x = y nous obtenons T i, j+1 + T i, j-1 + T i+1, j + T i-1, j + q g x y λ - 4 T i, j = 0 (4.41) Pour le cas sans source de chaleur interne ( q g =0) l'équation (4.41) est identique à (4.38). T i j+1 + T i j-1 + T i+1 j + T i-1 j - 4 T i j = 0 (4.42) Pour obtenir les équations de différences finies pour les noeuds situés sur la surface externe du corps il faut utiliser la méthode de bilan d'énergie. Pour illustrer cette méthode nous étudions le cas selon Fig 4.7-2b. Pour les surfaces en contact avec le corps solide nous obtenons Q (i-1, j) (i, j) = λ (1 y) T i-1 j - T i j x Q (i+1, j) (i, j) = λ (1 y 2 ) T i+1 j - T i j x Q (i, j+1) (i, j) = λ (1 x) T i j+1 - T i j y (4.43) Q (i, j-1) (i, j) = λ (1 x 2 ) T i j-1 - T i j y L'échange de chaleur par convection entre la surface du solide et le fluide est donné par Q (f) (i, j) = α (1 x 2 ) (T f - T i j ) + α (1 y 2 ) (T f - T i j ) (4.44)

66 52 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Pour le cas q g = 0 l'équation de conservation d'énergie (4.39) prend la forme T i, j+1 + T i-1, j + T i j-1 + T i+1 j 2 + α x T f λ α x λ T i, j = 0 (4.45) Dans les Fig. 4.7 la formulation des équations de différences finies est répertoriée pour différentes configurations de noeuds avec x = y et sans génération de chaleur q g=0. i, j +1 i-1,j i,j+1 y Q Q Q i,j-1 i, j i+1,j i -1, j i, j i +1, j Q T i, j -1 y x x T i j+1 + T i j-1 + T i+1 j + T i-1 j - 4 T i j = 0 Equation des différences finies pour un noeud interne Figure Méthode numérique pour un problème de conduction bidimensionnelle

67 TRANSMISSION DE CHALEUR 53 Q i, j+1 y Q i, j T f i -1, j Q conv Q i, j -1 x 2 T i-1, j + T i, j +1 + T i, j α x λ T f - 2 α x λ + 2 T i, j = 0 a) Equation des différences finies pour un noeud sur une surface plane i, j+1 y Q Q Q i -1, j i, j i+1, j Q conv Q Q conv i, j -1 T f x T i, j+1 + T i-1, j (T i, j-1 + T i+1, j ) + α x λ T f α x λ T i, j = 0 b) Equation des différences finies pour un noeud dans un coin interne Figure Méthode numérique pour un problème de conduction bidimensionnelle

68 54 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Q conv i -1, j i, j T f y Q Q conv Q i, j -1 x (T i-1, j + T i, j -1 ) + 2 α x λ T f - 2 α x λ + 1 T i, j = 0 a) Equation des différences finies pour un noeud sur un coin externe x' x'/2 Q conv i, j +1 T 2 y' T 1 i, j Q y'/2 i -1, j Q i +1, j y i, j -1 x a= x' x 2 1+a T i+1, j b T i, j a(1+a) T b(1+b) T 2-2 a + 2 b T i, j = 0 b) Equation des différences finies pour un noeud près d'une paroi courbée avec température non uniforme de la paroi (T 1, T 2 ) Figure Méthode numérique pour un problème de conduction bidimensionnelle

69 TRANSMISSION DE CHALEUR SOLUTION DES EQUATIONS "DIFFERENCES FINIES" Par la formulation des équations des différences finies en chaque noeud de calcul, nous obtenons un système d'équations algébrique linéaire, dont la solution donne la distribution de la température en ces noeuds. Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour résoudre ce problème que l'on peut grouper en deux types distincts: méthodes directes, et méthodes itératives. Dans la suite nous discuterons les deux types de solutions. METHODE D'ELIMINATION DE GAUSS L'idée de la méthode de GAUSS consiste à résoudre le système des équations algébriques par substitution. Nous discutons cette méthode à l'aide de l'exemple d'un système de trois équations suivant a 11 T 1 + a 12 T 2 + a 13 T 3 = C 1 (i) a 21 T 1 + a 22 T 2 + a 23 T 3 = C 2 (ii) (4.49) a 31 T 1 + a 32 T 2 + a 33 T 3 = C 3 (iii) L'équation doit être organisée de telle façon que a Nous multiplions la première équation (i) par b 2 = a 21 a 11 et la déduisons de la deuxième (ii) (a 21 - b 2 a 11 ) T 1 + (a 22 - b 2 a 12 ) T 2 + (a 23 - b 2 a 13 ) T 3 = C 2 - b 2 C 1 Avec les nouveaux coefficients a' 21 = a 21 - b 2 a 11 = 0 a' 22 = a 22 - b 2 a 12

70 56 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE a' 23 = a 23 - b 2 a 13 C' 2 = C 2 - b 2 C 1 Le système (4.49) devient a 11 T 1 + a 12 T 2 + a 13 T 3 = C 1 (i) a' 22 T 2 + a' 23 T 3 = C' 2 (ii)' (4.50) a 31 T 1 + a 32 T 2 + a 33 T 3 = C 3 (iii) Ensuite nous définissons b 3 = a 31 a 11 Par multiplication de (i) avec b 3 et soustraction de (iii), nous obtenons a' 32 T 2 + a' 33 T 3 = C' 3 où les nouvelles constantes sont définies par a' 31 = a 31 - b 3 a 11 = 0 a' 32 = a 32 - b 3 a 12 a' 33 = a 33 - b 3 a 13 C' 3 = C 3 - b 3 C 1 Le sytème (4.50) est maintenant réduit à a 11 T 1 + a 12 T 2 + a 13 T 3 = C 1 (i) a' 22 T 2 + a' 23 T 3 = C' 2 (ii)' (4.51) a' 32 T 2 + a' 33 T 3 = C' 3 (iii)' Nous procédons de la même manière avec les équations (4.51): (ii)' et (iii)' et définissons

71 TRANSMISSION DE CHALEUR 57 b' 3 = a' 32 a' 22 pour obtenir avec a' 33 T 3 = C'' 3 a'' 32 = a' 32 - b' 3 a' 22 = 0 a'' 33 = a' 33 - b' 3 a' 23 C'' 3 = C' 3 - b' 3 C' 2 La forme finale de l'équation (4.49) est la suivante a 11 T 1 + a 12 T 2 + a 13 T 3 = C 1 (i) a' 22 T 2 + a' 23 T 3 = C' 2 (ii)' (4.52) a'' 33 T 3 = C'' 3 (iii)'' La solution pour les températures est obtenue par la dernière équation (4.52) (iii), substituant T 3 dans (ii) et finalement T 3 et T 2 dans (i). Les résultats pour T 1, T 2 et T 3 sont T 3 = C'' 3 a'' 33 (i) T 2 = C' 2 - a' 23 T 3 a' 22 (ii) (4.53) T 1 = C 1 - a 12 T 2 - a 13 T 3 a 11 (iii) Pour a 11, a' 22 et a' 33 = 0 il n'existe pas de solution, le système (4.49) est singulier. La figure 4.8 montre le schéma synoptique pour le calcul par ordinateur.

72 58 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Données: a i,j = coefficients de la matrice C j = constantes des équations linéaires n = nombre total des noeuds k = 1 i = k + 1 ranger que : a k, k 0 T n = C n a n, n i = n - 1 b = a i, k a k, k a i, k = 0 j = i + 1 S = 0 S = S + a i T j j = k + 1 a i, j = a i, j - b a k, j oui non j = n j = j + 1 j = n non j = j + 1 T i = C i - S a i, i oui C i = C i - b C k i = 1 non i = i - 1 oui i = n non i = i + 1 oui stop k = n - 1 non oui k = k + 1 Figure 4.8 Schéma synoptique pour la méthode d'élimination de GAUSS

73 TRANSMISSION DE CHALEUR 59 LA METHODE DE L'INVERSION DE MATRICE Nous considérons un nombre N d'équations linéaires (N = nombre total des noeuds) a 11 T 1 + a 12 T 2 + a 13 T a 1N T N = C 1 a 21 T 1 + a 22 T 2 + a 23 T a 2N T N = C 2 (4.54) a N1 T 1 + a N2 T 2 + a N3 T a NN T N = C N Les coefficients a ij et C n représentent des valeurs connues et T 1, T 2... T N des températures inconnues dans les noeuds. Dans l'écriture matricielle l'équation (4.54) prend la forme [ A ] [ T ] = [ C ] (4.55) avec [ A ] = a 11 a 12 a a 1N a 21 a 22 a a 2N a N1 a N2 a N3... a NN (4.56) [ T ] = T 1 T 2 T 3.. T N [ C ] = C 1 C 2 C 3.. C N (4.57) Le vecteur de solution [T] peut être exprimé selon la relation (4.51) [ T ] = [ A ] -1 [ C ] (4.58) où [A] -1 représente l'inverse de la matrice [A]

74 60 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE [ A ] -1 = b 11 b 12 b b 1N b 21 b 22 b b 2N b N1 b N2 b N3... b NN (4.59) Nous obtenons les températures dans les noeuds selon (4.56) par T 1 = b 11 C 1 + b 12 C b 1N C N T 2 = b 21 C 1 + b 22 C b 2N C N (4.60) T N = b N1 C 1 + b N2 C b NN C N Le problème consiste maintenant à calculer les coefficients de la matrice inverse [A] -1. Pour ce problème il existe des programmes adéquats dans les bibliothèques des divers centres de calcul. Les solutions directes posent des problèmes pour les coefficients non linéaires, donc a ij = f(t) et C n = f(t). D'autre part, pour résoudre le problème pour un grand nombre de noeuds (N), il faut un ordinateur de très grande capacité. METHODE D'ITERATION DE GAUSS-SEIDEL Quand les méthodes directes deviennent trop encombrantes, on utilise de préférence les méthodes itératives. Une des plus populaires est la méthode de GAUSS-SEIDEL. Dans la suite, nous discuterons cette méthode à l'exemple d'un système d'équation avec 3 inconnues (N = 3) a 11 T 1 + a 12 T 2 + a 13 T 3 = C 1 a 21 T 1 + a 22 T 2 + a 23 T 3 = C 2 (4.61) a 31 T 1 + a 32 T 2 + a 33 T 3 = C 3 Pour a 11 0, a 22 0,... a NN 0 nous pouvons écrire

75 TRANSMISSION DE CHALEUR 61 T 1 = 1 a 11 (C 1 - a 12 T 2 - a 13 T 3 ) (i) T 2 = 1 a 22 (C 2 - a 21 T 1 - a 23 T 3 ) (ii) (4.62) T 3 = 1 a 33 (C 3 - a 31 T 1 - a 32 T 2 ) (iii) La procédure approximative pour résoudre les équations (4.62) est la suivante: initialisation k = 0 définition des valeurs initiales pour les températures T 1 (0), T 2 (0), T 3 (0) première itération k = 1 calculer T 1 (1) selon (4.62) (i) avec T 2 (0), T 3 (0) calculer T 2 (1) selon (4.62) (ii) avec T 1 (1), T 3 (0) calculer T 3 (1) selon (4.62) (iii) avec T 1 (1), T 2 (1) deuxième itération k = 2 calculer T (2) 1 selon (4.62) (i) avec T (1) 2, T (1) 3 calculer T (2) 2 selon (4.62) (ii) avec T (2) 1, T (1) 3 calculer T (2) 3 selon (4.62) (iii) avec T (2) 1, T (2) 2 et ainsi de suite... k-ème itération T 1 (k) = T 2 (k) = T 3 (k) = 1 a 11 [C 1 - a 12 T 2 (k-1) - a 13 T 3 (k-1) ] 1 a 22 [C 2 - a 21 T 1 (k) - a 23 T 3 (k-1) ] 1 a 33 [C 3 - a 31 T 1 (k) - a 32 T 2 (k) ]

76 62 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Données: a i,j = coefficients des équations linéaires C j = constantes des équations linéaires IMAX = nombre des noeuds dans la direction x JMAX = nombre des noeuds dans la direction y ε = erreur admissible (erreur = somme des différences de température dans les noeuds entre les deux dernières itérations) i = 1 TEMP = 1 a i, i C i - Σ T i = T 0 i = IMAX non i = i + 1 TDIFREL = TEMP - T i TEMP oui ERRMAX = 0 TDIFREL > ERRMAX oui i = 1 non ERRMAX = TDIFREL Σ = 0 i = i + 1 T i = TEMP j = 1 j = i oui j = j + 1 non i = IMAX oui non ERRMAX > ε Σ = Σ + a i, j + T i j = JMAX non oui stop Figure 4.9 Schéma synoptique pour la méthode itérative de GAUSS-SEIDEL

77 TRANSMISSION DE CHALEUR 63 Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur un côté. Comparaison des résultats obtenus avec différents nombres de noeuds. Figure Exemple de calcul numérique pour la conduction thermique

78 64 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur les côtés Figure Exemple de calcul numérique pour la conduction thermique

79 TRANSMISSION DE CHALEUR 65 Le processus d'approximation est à poursuivre jusqu'à ce que la précision demandée soit atteinte. Ce qui peut être défini par la différence entre deux approximations successives T n (k) - T n (k-1) < ε (5.63) ou par la différence relative T n (k) - T n (k-1) T n (k) < ε (5.64) pour chaque noeud. Le schéma synoptique pour la méthode itérative de GAUSS-SEIDEL est montré dans la Fig Les problèmes des méthodes numériques se résument ainsi: les erreurs numériques, la stabilité du calcul, et la convergence. RESUME DU CHAPITRE 4 La conduction thermique 2D est décrite par l'équation de LAPLACE. Pour déterminer le champ de température 2D nous utilisons des méthodes: analytique, analogique, graphique et numérique. Les solutions analytiques servent souvent à tester les programmes de calcul numérique. La méthode numérique de type différences finies se base sur la transformation des dérivées de l'équation de la transmission de chaleur en différences finies. Les équations des différences finies aux noeuds de calcul peuvent être obtenues par un bilan d'énergie pour un volume de contrôle autour du noeud.

80 66 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE Par la formulation des équations des différences finies en chaque noeud de calcul, nous obtenons un système d'équation algébrique linéaire, dont la solution donne la distribution de la température en ces noeuds. Le système d'équation algébrique linéaire peut être résolu par des méthodes directes ou itératives. Les problèmes des méthodes numériques sont les erreurs numériques, la stabilité de calcul et la convergence.

81 TRANSMISSION DE CHALEUR CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE 5.1 Méthode de capacité thermique globale 5.2 Paramètres universels de la méthode de calcul instationnaire 5.3 Solution analytique pour la conduction monodimensionnelle instationnaire 5.4 Méthode numérique pour la conduction instationnaire T i T(t ) 0 T(t ) 1 T(t ) 2 T(t ) 3 T( t) T f

82 68 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE 5. CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE Nous appelons le phénomène de transmission de chaleur instationnaire ou transitoire quand la distribution de température varie dans un corps avec le temps. Chaque processus de transmission de chaleur parcourt cette phase avant que la conduction stationnaire ne soit établie. Cette phase est souvent négligeable par rapport au temps de fonctionnement stationnaire (p.ex. fonctionnement d'une centrale thermique), dans certains cas par contre la condition transitoire est le processus primaire (traitement thermique des matériaux). Pour les machines thermiques (p.ex. turbine à gaz, turbine à vapeur) pendant la période de démarrage la distribution de la température dans les éléments chauds peut provoquer des contraintes thermiques dangereuses. Dans ce chapitre nous traitons les problèmes de conduction thermique pour les cas où le temps apparaît comme variable supplémentaire à côté des coordonnées spatiales. 5.1 METHODE DE CAPACITE THERMIQUE GLOBALE Nous rencontrons le plus souvent le cas où la température à la limite d'un corps à température constante change brusquement. Nous plongeons soudainement un corps à température homogène T i dans un liquide à température T f < T i (Fig. 5.1). A partir de l'instant de submersion (t=0) la température du corps diminue et se rapproche de T f. Nous admettons d'abord que la température varie dans le corps d'une façon uniforme, donc homogène [T(x,y) = cte] à chaque instant t (nous admettons que les gradients de température sont négligeables dans le corps). Cette approximation est valable si la résistance à la conduction est faible par rapport à la résistance de transmission de chaleur sur la surface entre liquide et solide. Négligeant les gradients ( T/ x n ) nous ne pouvons pas utiliser l'équation de transmission de chaleur (3.13) mais seulement un bilan d'énergie global. Nous pouvons écrire Q ex + Q st = 0 (5.1) ou α A s (T - T f ) + ρ V c p dt dt = 0 (5.2)

83 TRANSMISSION DE CHALEUR 69 Nous introduisons la différence de température θ T - T f (5.3) Avec (dt/dt =dθ/dt) nous obtenons α A s θ + ρ V c p dθ dt = 0 La température à l'instant t est obtenue par intégration à partir des conditions initiales θ i = (T i - T f ) T i t = 0 A T = T s i t > 0 T f < T i Q st Q ex T = T ( t ) T i = température initiale du bloc T f = température du fluide Figure 5.1 Refroidissement d'un bloc plongé soudainement dans un bain froid donc θ ρ V c p α A s dθ θ θ i = - 0 t dt ρ V c p α A s ln θ i θ = t (5.4)

84 70 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE ou θ θ i = - t α A s T - T f ρ V c T i - T = e p (5.5) f L'équation (5.4) nous permet de calculer le temps jusqu'à ce que le corps prenne la température (T) tandis que l'équation (5.5) nous donne la température à un instant (t) donné. Le facteur (5.5) représente une constante de temps du problème τ th (sec) = 1 α A s ρ V c p = R th, conv C th (5.6) que l'on peut interprêter comme le produit de la résistance thermique de convection (R th, conv ) et de la capacité thermique (C th ) du bloc (voir 3.26). L'énergie-chaleur transmise dans le temps est donnée par Q = 0 t Q dt = 0 t q As dt = 0 t α As (T -T f ) dt donc Q = α A s 0 t θ dt avec θ selon (5.5) Q = ρ V c p θ i 1 - e - t τth (5.7) La question qui se pose est jusqu'à quelle limite peut-on négliger les gradients de température à l'intérieur du corps pendant la période de transition, donc quelles sont les limites d'application de la méthode développée ci-dessus. Pour répondre à cette question nous étudions le cas selon la Fig Nous tenons la température sur la surface S 1 constante T s,1. La température de la paroi S 2 est T f < T s,2 < T s,1. Dans des conditions stationnaires le bilan d'énergie donne λ A (T s 1 - T s 2 ) L c = α A ( T s,2 - T f )

85 TRANSMISSION DE CHALEUR 71 ou T s 1 - T s 2 T s 2 - T f = L c λ A 1 α A = R th cond R th conv Nous appelons ce rapport le nombre de BIOT Bi R th cond R th conv = α L λ (5.8) Q cond = Q conv w écoulement T s,1 T Bi << 1 s,2 T T Bi 1 s,2 conduction ( λ ) T s,2 Bi >> 1 T f x L couche limite convection ( α ) Figure 5.2 de chaleur par convection Signification du nombre de BIOT pour un problème de transmission Le paramètre adimensionnel Bi joue un rôle fondamental dans les problèmes de transmission de chaleur par convection sur une paroi. La figure 5.2 montre l'influence du nombre de BIOT sur le gradient de température dans la paroi. Il représente le rapport entre la différence de température dans la paroi et la différence entre la surface et le fluide. La figure 5.2 révèle que pour les valeurs Bi«1 le gradient de température est négligeable dans les processsus instationnaires.

86 72 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE Par contre, pour les valeurs élevées de Bi»1, les gradients de température dans le corps sont importants dans la phase transitoire de conduction. La méthode de capacité de chaleur globale peut être utilisée (erreur inférieure à 5%) pour Bi = α L c λ 0,1 (5.9) où L c représente la longueur caractéristique du problème définie par L c = V A s (5.10) Avec la longueur caractéristique l'exposant de (5.5) peut être exprimé par t α A s ρ V c p = t α ρ c p L c = α L c λ t λ L c 2 ρ c p t α A s ρ V c p = Bi Fo (5.11) avec Fo = t Λ L c 2 (5.12) Le coefficient Fo est appelé nombre de FOURIER et représente un temps adimensionnel et est une autre grandeur caractéristique importante des problèmes de transmission de chaleur instationnaire. 5.2 PARAMETRES UNIVERSELS DE LA METHODE DE CALCUL INSTATIONNAIRE Quand le nombre de Biot pour un problème de conduction instationnaire dépasse la limite Bi 0,1, la méthode de calcul globale donne des erreurs trops grandes (supérieures à 5 %). Dans ce cas, nous devons calculer avec une méthode précise. Nous étudions d'abord un cas simple de conduction monodimensionnelle et considérons une paroi d'épaisseur 2L sans génération de chaleur (Fig. 5.3). L'équation générale du

87 TRANSMISSION DE CHALEUR 73 problème (3.13) se réduit dans ce cas à 2 T x 2 = 1 Λ T t (5.13) où la température dans les points x est aussi une fonction du temps (t) T = T(x, t) T i T 0 T T s T f T s T f w w L L x δ L L x δ t 0 t > 0 T f = T i T f < T i Figure 5.3 refroidie par convection Distribution de la température dans une paroi symétriquement Dans les conditions initiales pour t<0 la température de la paroi est T(x,0) = T i (5.14) tandis que la distribution est homogène T x x=0 = 0 (5.15)

88 74 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE A partir du temps t = 0, un flux de liquide de refroidissement à température T f < T i parcourt les surfaces et refroidit la paroi. Les conditions aux limites sont définies à chaque instant par le bilan d'énergie - λ T x x=l = α [T(L,t) - T f ] (5.16) La température dans la paroi dépend donc des 8 paramètres suivants: T = T(x, t, T i, T f, L, λ, Λ, α) (5.17) Pour résoudre le problème, il est avantageux de réduire le nombre de paramètres indépendants. Dans ce but nous définissons : la température adimensionnelle (0 Θ* 1) Θ* Θ Θ i = T - T f T i - T f (5.18) la coordonnée adimensionnelle x* x L (5.19) le temps adimensionnel (nombre de Fourier) t* Λ t L2 = Fo (5.20) le nombre de Biot Bi α L λ (5.21) Avec ces paramètres les équations dimensionnelles peuvent être transformées en 2Θ* x*2 = Θ* Fo (5.22) avec Θ*(x*,0) = 1 (5.23)

89 TRANSMISSION DE CHALEUR 75 et Θ* x* x*=0 Θ* x* x*=l = 0 (5.24) = - Bi Θ*(1,t*) (5.25) Le nombre de variables indépendantes du problème est réduit à 3: Θ* = f(x*, Fo, Bi) (5.26) La distribution instationnaire de la température pour une géométrie similaire est donc une fonction universelle de x*, Fo et Bi. 5.3 SOLUTION ANALYTIQUE POUR LA CONDUCTION MONODIMEN- SIONNELLE INSTATIONNAIRE Le problème de conduction thermique instationnaire selon Fig. 5.3 est décrit par l'équation 2Θ x 2 = 1 Λ Θ t (5.27) où Θ T - T f La solution peut être déterminée par la méthode de séparation des variables (voir chapitre 4.1) Θ(x,t) = X(x) τ(t) (5.28) La substitution dans (5.27) donne τ d2 X dx 2 = 1 Λ X dτ dt (5.29)

90 76 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE ou après division par (X τ) 1 X d 2 X dx 2 = 1 1 dτ Λ τ dt (5.30) Nous définissons ς 2 pour la valeur constante pour les deux côtés et obtenons et 1 X d 2 X dx 2 = ς2 1 Λ 1 dτ τ dt (5.31a) = ς 2 (5.32a) La solution générale de (3.32-a) est τ = A e Λ ς2 t (5.33a) L'expression (5.33a) donne une augmentation de τ avec t et se rapproche de l'infini pour des grandes valeurs de t. Ce résultat est physiquement impossible (voir 5.28). Pour obtenir une solution valable il faut que ς 2 ait un signe négatif. Les équations (5.31) et (5.32) prennent donc la forme dτ dt = -Λ ς 2 τ (5.31)

91 TRANSMISSION DE CHALEUR ,8 0,6 0,4 0,3 0 i 0,2 0,1 0,08 0,06 0,04 0,03 0,02 0,01 0,008 0,006 0,004 0,003 0,002 0,001 T T i T 0 T f T f L L 3 x 2,5 2 1,75 1,5 1,25 0,05 0,4 0, ,2 0, /Bi= Fo Figure Température au milieu ( x = 0 ) de la paroi (solution analytique)

92 78 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE 1 0,2 0,4 0 0,6 0,4 0,2 0,6 x* = 0,8 0, ,01 0,05 0,1 0, /Bi Figure Distribution de température dans la paroi ( 0 < x < L ) 1 Q Q 0 0,6 0,4 Bi = 0,001 0,01 0, , Fo Bi 2 Figure Echange d'énergie dans la paroi

93 TRANSMISSION DE CHALEUR 79 et d 2 X dx 2 = - ς2 X (5.32) La solution générale de (5.31) et (5.32) est et τ = A e Λ ς2 t (5.33) X = B cos (ς x) + C sin (ς x) (5.34) Pour la température Θ nous obtenons selon (5.28) Θ(x,t) = e Λ ς2 t [ A B cos (ς x) + A C sin (ς x) ] (5.35) La solution du problème est finalement avec ξ n = ς n L Θ* = K n e ξ n 2 Fo cos (ξn x*) (5.36) n=1 où les constantes sont obtenues par les conditions aux limites K n = 4 sin ξ n 2 ξ n + sin (2 ξ n ) (5.37) où ξ n représente les "valeurs propres" de l'équation transcendante (n=1,2,3,...) ξ n tg ξ n = Bi (5.38) Les figures 5.4 représentent les résultats du calcul analytique pour la paroi selon Fig La Fig permet de calculer la température au milieu (x=0) de la paroi dans les instants t et la Fig la distribution dans les points 0<x<L. La Fig représente la transmission d'énergie en fonction du nombre de Biot (Bi) et du nombre de Fourier (Fo).

94 80 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE 1 0, t=1600 min 0 0,5 x/l 1 T i ( C) = 250 T f ( C) = 50 L(m) = 0,1 ρ(kg/m 3 ) = 1000 c p (J/kg K) = 4218 λ(w/m K) = 50 α(w/m 2 K) = 5 Bi = 0,01 1 0, t=1600 min ,5 x/l T i ( C) = 250 T f ( C) = 50 L(m) = 0,1 ρ(kg/m 3 ) = 1000 c p (J/kg K) = 4218 λ(w/m K) = 0,5 α(w/m 2 K) = 5 Bi = 1 1 0, t=1600 min 0 0,5 x/l T i ( C) = 250 T f ( C) = 50 L(m) = 0,1 ρ(kg/m 3 ) = 1000 c p (J/kg K) = 4218 λ(w/m K) = 0,5 α(w/m 2 K) = 50 Bi = 10 Figure 5.5 de Biot Evolution de la température dans une paroi pour différents nombres

95 TRANSMISSION DE CHALEUR 81 Pour le calcul numérique il est avantageux d'utiliser les relations données dans le tableau 5.1. Il donne des équations approximatives pour les quatres premiers coefficients ξ n de la série (5.36), donc Θ* = T - T f T i - T f = K 1 e ξ 1 2 Fo cos (ξ1 x*) + K 2 e ξ 2 2 Fo cos (ξ2 x*) + + K 3 e ξ 3 2 Fo cos (ξ3 x*) + K 4 e ξ 4 2 Fo cos (ξ4 x*) (5.39) Avec Q Q 0 = 1 - K 1 sinξ 1 ξ 1 e -ξ 1 2 Fo + K2 sinξ 2 ξ 2 e -ξ 2 2 Fo + sinξ + K 3 3 ξ e -ξ 3 2 Fo sinξ + K4 4 3 ξ e -ξ 4 2 Fo 4 (5.40) Q 0 = ρ c p V (T i - T f ) (5.41) La Fig. 5.5 montre l'évolution de la température dans une paroi pour différents nombres de Biot selon le calcul à l'aide des relations (5.39) et (5.40). Nous constatons que pour Bi=0,01 la température est presque constante dans la paroi à chaque moment. La variation maximale de la température dans la paroi reste au dessus de 5% pour Bi<0,1, c'est pourquoi la méthode de capacité globale peut être appliquée jusqu'à cette limite. Pour Bi=1 nous obtenons une distribution variable de la température dans la paroi et pour Bi=10 une très grande différence dans le centre et sur la surface pendant le refroidissement. Par une méthode analogue à celle de la plaque plane on peut trouver la solution analytique pour le cylindre et pour la sphère. Les Tableaux 5.2 et 5.4 donnent les équations approximatives pour le calcul numérique des séries des solutions analytiques. La définition des variables adimensionnelles pour le cylindre et la sphère sont r* = r r 0, Fo = t Λ r 0 2, Bi = α r 0 λ (5.42) avec r 0 comme diamètre extérieur. Pour le cylindre J 0 et J 1 représentent des fonctions de BESSEL données dans le Tableau 5.3.

96 82 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE 0 < Bi < 10 ξ 1 = < Bi < ξ 1 = < Bi < 4 ξ 2 = < Bi < ξ 2 = < Bi < 1 Bi 1+Bi Bi 1+Bi Bi 1+Bi Bi 1+Bi ξ 3 = Bi e -0.3Bi e -0.3Bi e -0.3Bi e -0.3Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi < Bi < Bi ξ 3 = Bi Bi 0.2 Bi Bi Bi Bi Bi < Bi < 1 ξ 4 = Bi < Bi < ξ 4 = Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi 1+Bi Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 N Θ* = K n e ξ n 2 Fo cos (ξn x*) n=1 K n = 4 sin ξ n 2 ξ n + sin (2 ξ n ) N Q Q = 1-0 n=1 K n sin ξ n ξ n e - ξ n 2 Fo Q 0 = ρ c p V (T i - T f ) Tableau 5.1 Formules approximatives pour la solution analytique concernant la conduction instationnaire dans une plaque plane

97 TRANSMISSION DE CHALEUR 83 0 < Bi < 1 Bi Bi ξ 1 = Bi Bi Bi Bi Bi Bi < Bi < ξ 1 = < Bi < 1 Bi 1+Bi ξ 2 = Bi < Bi < ξ 2 = < Bi < 1 Bi 1+Bi ξ 3 = Bi < Bi < ξ 3 = < Bi < 1 Bi 1+Bi ξ 4 = Bi < Bi < ξ 4 = Bi 1+Bi Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi e-0.3bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 N Θ* = K n J 0 (ξ n r*) e ξ n 2 Fo n=1 K n = 2 J 1 (ξ n ) ξ n J 0 2 (ξ n ) + J 1 2 (ξ n ) N Q 4 Bi Q = ξ 2 n (ξ 2 n + Bi 2 ) e- ξ 2 n Fo n=1 Q 0 = ρ c p V (T i - T f ) Tableau 5.2 Formules approximatives pour la solution analytique concernant la conduction instationnaire dans un cylindre

98 84 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE Fonction d'ordre 0 non modifiée 0 < x < 3 J 0 (x) = (x/3) (x/3) (x/3) (x/3) (x/3) (x/3) 12 3 < x < J 0 (x) = x -1/2 f 0 cosθ 0 f 0 = (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) 6 θ 0 = x (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) 6 Fonction d'ordre 1 non modifiée 0 < x < 3 J 1 (x) = x [ (x/3) (x/3) (x/3) (x/3) (x/3) (x/3) 12 ] 3 < x < J 1 (x) = x -1/2 f 1 cosθ 1 f 1 = (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) 6 θ 1 = x (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) (3/x) 6 x = ξ n ou x = ( ξ n r* ) selon tableau 5.2 Tableau 5.3 Formules approximatives pour la fonction de BESSEL

99 TRANSMISSION DE CHALEUR 85 0 < Bi < 1 Bi Bi ξ 1 = Bi Bi Bi Bi Bi Bi < Bi < ξ 1 = < Bi < 1 Bi 1+Bi ξ 2 = Bi < Bi < ξ 2 = < Bi < 1 Bi 1+Bi ξ 3 = Bi < Bi < ξ 3 = < Bi < 1 Bi 1+Bi ξ 4 = Bi < Bi < ξ 4 = ,4183 Bi 1+Bi Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi e-0.3bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 Bi Bi Bi Bi Bi Bi 0.5 N sin (ξ Θ* = K n r*) n ξ n r* e ξ n 2 Fo n=1 K n = 4 (sin ξ n - ξ n cos ξ n ) 2 ξ n - sin (2 ξ n ) N Q 12 (sin ξ Q = 1 - n - ξ n cos ξ n ) 2 0 ξ 3 n 2 ξ n - sin (2 ξ n ) e - ξ n 2 Fo n=1 Tableau 5.4 Formules approximatives pour la solution analytique concernant la conduction instationnaire dans une sphère

100 86 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE 5.4 METHODES NUMERIQUES POUR LA CONDUCTION INSTATIONNAIRE La solution analytique du problème est seulement possible pour des géométries très simples. Dans les problèmes réels rencontrés par l'ingénieur on utilise pour cette raison dans la plupart des cas des méthodes numériques. Le problème de conduction instationnaire sans génération de chaleur interne est décrit par (voir 3.13) 2 T x T y T z 2 = 1 Λ T t Les méthodes numériques se basent sur la même démarche que celle discutée au chapitre 4.4 pour la condition stationnaire. A part les conditions spatiales (x, y, z) il faut toutefois aussi discrétiser le temps. Pour le faire nous introduisons le paramètre p et définissons le temps actuel par t = p t (5.43) où t représente le laps de temps entre deux pas de calcul. Nous commençons le calcul instationnaire à partir d'une solution stationnaire. Après le calcul de la température en chaque noeud nous avançons de t (donc: p+1) et recalculons l'équilibre pour ce pas (Fig. 5.6). Nous devons donc déterminer la température en chaque noeud (T i, j ) à des instants précis t, t+ t, t+2 t,... ou avec (p) comme index de pas de calcul dans le temps p, p+1, p+2,... Pour l'expression des différences finies, nous distinguons deux méthodes différentes: la méthode explicite, et la méthode implicite. Dans la suite, nous discutons les deux méthodes à l'exemple de la conduction instationnaire monodimensionnelle donnée par

101 TRANSMISSION DE CHALEUR 87 2 T x 2 = ρ c p λ T t (5.44) x Q cond i i -1 i +1 Q st Q cond i -1 Q cond Q st i Q conv x x x noeud interne noeud sur une surface plane T i-1,p i-1, p+1 i,p i, p+1 i+1,p i+1, p+1 t x x x t t x Evolution de la température dans les noeuds de calcul en fonction du temps Figure 5.6 Distribution de la température dans les noeuds pour un calcul numérique de la conduction instationnaire monodimensionnelle dans une paroi

102 88 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE LA METHODE EXPLICITE Nous utilisons la méthode de discrétisation selon chapitre 4.4. La transmission de chaleur par conduction depuis les noeuds voisins vers le noeud (i) est donnée pour un noeud interne (Fig. 5.6) avec ( y= x) par Q (i-1) (i) = λ (1 x) T i-1 - T i x (5.45) Q (i+1) (i) = λ (1 x) T i+1 - T i x (5.46) et la chaleur "stockée" dans le temps t ( Q st ) t = ρ c p (1 x 2 ) T i (p+1) (p) - T i t (5.47) La somme des taux de chaleur est à chaque instant égale à zéro, donc ou λ [ T (p) i-1 - T (p) i + T (p) (p) i+1 - T i ] λ ρ c p = ρ c p x 2 t t [ ] x 2 T (p) i-1 - T (p) i + T (p) (p) i+1 - T i (T i (p+1) - T i (p) ) (5.48) = T i (p+1) - T i (p) (5.49) La température à l'instant (t+ t) ou (p+1) dans le noeud (i) est après introduction du nombre de Fourier T (p+1) (p) (p) (p) i = T i (1-2 Fo) + Fo ( T i-1 + T i+1 ) (5.50) Pour le noeud sur la surface (Fig. 5.6) nous obtenons avec Q (i-1) (i) = λ (1 x) T i-1 - T i x (5.51) Q (conv) (i) = α (1 x) (T f - T i ) (5.52) et ( Q st ) t = ρ c p (1 x x 2 ) T i (p+1) (p) - T i t (5.53)

103 TRANSMISSION DE CHALEUR 89 Par l'équilibre des flux de chaleur λ ( T (p) (p) i-1 - T i ) (p) + α x ( T f - T i ) = ρ c x 2 p 2 t ( T (p+1) (p) i - T i ) (5.54) 2 λ ρ c p t ( ) x 2 T (p) (p) i-1 - T i + 2 α x λ t λ ρ c p ( ) x 2 (p) T f - T i = T i (p+1) - T i (p) (5.55) pour la température sur la paroi à l'instant t+ t (ou p+1) T i (p+1) (p) (p) = 2 Fo ( T i-1 + Bi T f ) + ( 1-2 Fo - 2 Bi Fo ) T i (5.56) Cette formulation est nommée la formulation explicite car elle permet de calculer la température "future" dans les noeuds T i (p+1) d'une façon explicite par la distribution de température actuelle dans les noeuds. LA METHODE IMPLICITE La formulation implicite est donnée par T i+1 (p+1) - 2 T i (p+1) + T i-1 (p+1) x 2 = 1 Λ T i (p+1) - T i (p) t (5.57) Dans cette formulation nous calculons les températures "futures" dans les noeuds (T i (p+1) ) par la température actuelle T i (p) et les températures futures des noeuds voisins. Comparaison des méthodes explicite et implicite La Fig. 5.7 explique la différence entre la méthode explicite et implicite à l'exemple de la conduction instationnaire monodimensionnelle. Dans la méthode explicite nous définissons la température pour le noeud (i) dans l'instant (t+ t) à partir de la distribution de la température dans les trois noeuds voisins (i-1, i, i+1) au moment

104 90 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE T P T i -1 T i P P T i +1 T i P+1 t x x x t x a) Méthode explicite T T i P t P+1 T i -1 x x T i P+1 x P+1 T i +1 t x b) Méthode implicite Figure 5.7 Différence entre la méthode explicite et implicite

105 TRANSMISSION DE CHALEUR 91 (t). L'évolution de la température dans le temps dépend ici du gradient de température dans la direction x qui a tendance à s'équilibrer vers la solution stationnaire [T(x)=T f ]. La température à l'instant (t+ t) peut être calculée directement par les valeurs connues à l'instant (t). Dans la méthode implicite la température à l'instant (t) est définie par les gradients de température au même instant. Nous obtenons donc un système d'équations linéaires avec autant d'inconnues que de noeuds de calcul. Il est évident que la méthode explicite est plus simple. Elle a toutefois le désavantage que le pas spatial ( x) et le pas de temps ( t) doivent satisfaire les critères selon figures 5.8 pour assurer la stabilité du calcul. Cette considération conduit souvent à de très petits t qui résultent lors de périodes de calcul très longues afin d'obtenir la solution. Pour réduire le temps de calcul on a recourt pour cette raison souvent à une méthode implicite qui demande la solution simultanée du système des équations algébriques linéaires. Cette méthode a l'avantage d'être stable sans condition préalable. Si la température aux limites varie avec le temps [T f = f(t)] on traite le problème normalement comme le cas avec température T f = cte. On fixe les conditions pendant le calcul d'un pas et varie (T f ) avant d'éxécuter le pas suivant. La formulation des équations des différences finies pour le cas bidimensionnel peut être développée par la méthode du bilan d'énergie discutée au chapitre Dans les figures 5.8 nous trouvons les définitions de différents éléments typiques pour les configurations bidimensionnelles les plus courantes.

106 92 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE i, j +1 y Q Q Q i -1, j i, j i +1, j Q i, j -1 x méthode explicite (5.58) T i,j (p+1) = Fo [ T i+1,j (p) + T i-1,j (p) +T i,j+1 (p) + T i,j-1 (p) ]+ (1-4 Fo) Ti,j (p) critère de stabilité: Fo 1/4 méthode implicite (5.59) (1 + 4 Fo) T i,j (p+1) - Fo [ T i+1,j (p+1) + T i-1,j (p+1) + T i,j+1 (p+1) + Ti,j-1 (p+1) ] = T i,j (p) Equation des différences finies pour un noeud interne définition: Bi = α x λ Fo = Λ t x 2 Figure Méthode numérique pour un problème de conduction bidimensionnelle instationnaire

107 TRANSMISSION DE CHALEUR 93 Q i, j+1 y Q i, j T f i -1, j Q conv Q i, j -1 x méthode explicite (5.60) T i,j (p+1) = Fo [ 2 T i-1,j (p) + T i,j+1 (p) +T i,j-1 (p) + 2 Bi T f ] + [1-4 Fo - 2 Bi Fo] T i,j (p) critère de stabilité: Fo (2 + Bi) 0.5 méthode implicite (5.61) [1 + 2 Fo (2 + Bi)] T i,j (p+1) - Fo [ 2 T i-1,j (p+1) + T i,j+1 (p+1) + T i,j-1 (p+1) ] = = T i,j (p) + 2 Bi Fo T f Equation des différences finies pour un noeud sur une surface plane définition: Bi = α x λ Fo = Λ t x 2 Figure Méthode numérique pour un problème de conduction bidimensionnelle instationnaire

108 94 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE i, j+1 y Q Q Q i -1, j i, j i+1, j Q conv Q Q conv i, j -1 T f x méthode explicite (5.62) T i,j (p+1) = 2 3 Fo [ T i+1,j (p) + 2 T i-1,j (p) + 2 T i,j+1 (p) + T i,j-1 (p) Bi T f ] + [1-4 Fo Bi Fo] T i,j (p) critère de stabilité: Fo (3 + Bi) 3 4 méthode implicite (5.63) [1 + 4 Fo ( Bi)] T i,j (p+1) Fo [ T i+1,j (p+1) + 2 T i-1,j (p+1) T i,j+1 (p+1) + Ti,j-1 (p+1) ] = T i,j (p) Bi Fo T f Equation des différences finies pour un noeud dans un coin interne définition: Bi = α x λ Fo = Λ t x 2 Figure Méthode numérique pour un problème de conduction bidimensionnelle instationnaire

109 TRANSMISSION DE CHALEUR 95 Q conv y i -1, j Q i, j T f Q conv Q i, j -1 x méthode explicite (5.64) T i,j (p+1) = 2 Fo [ T i-1,j (p) + T i,j-1 (p) + 2 Bi T f ] + [1-4 Fo - 4 Bi Fo] T i,j (p) critère de stabilité: Fo (1 + Bi) 1 4 méthode implicite (5.65) [1 + 4 Fo (1 + Bi)] T i,j (p+1) - 2 Fo [ T i-1,j (p+1) + T i,j-1 (p+1) ] = T i,j (p) + 4 Bi Fo T f Equation des différences finies pour un noeud sur un coin externe définition: Bi = α x λ Fo = Λ t x 2 Figure Méthode numérique pour un problème de conduction bidimensionnelle instationnaire

110 96 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE i = 1 i = 2 i -1 i i+1 i = N i = N1 x T f y = x x L Données : T in, T f, λ, c p, α, ρ, L, N, t, t max x = L N Fo = Λ t x 2 T 1 (p) = T 1 (p-1) (1-2 Fo) + Fo 2 T 2 (p-1) (p) T N1 = 2 Fo T N (p-1) + Bi T f Fo - 2 Bi Fo T N (p-1) Fo < 0,5 oui non t réduction i = 2 N1 = n+1 p = 1 t = 0 i = 1 T i (p) = T i (p-1) Fo + + Fo T i (p-1) (p-1) -1 + T i +1 T i = T in i = N non i = i + 1 oui i = N1 non i = i + 1 non oui t = t max oui p = p + 1 t = p t stop Tableau 5.5 Schéma synoptique pour la méthode de calcul explicite de transmission de chaleur monodimensionnelle instationnaire

111 TRANSMISSION DE CHALEUR 97 Tableau 5.6 Valeurs propres n (n=1,2,3,4,5) en fonction du nombre de Biot pour la conduction monodimensionnelle instationnaire

112 98 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE RESUME DU CHAPITRE 5 Nous appelons phénomène de transmission de chaleur instationnaire ou transitoire lorsque la distribution de température varie dans un corps avec le temps. Le nombre de Biot (Bi) joue un rôle fondamental dans les problèmes de transmission de chaleur par convection. Il représente le rapport entre la résistance thermique de conduction d'un solide et la résistance thermique de convection. Le nombre de Fourier (Fo) est le deuxième paramètre important de la transmission de chaleur instationnaire. Il represente le temps adimensionnel. La méthode de capacité de chaleur globale peut être utilisée (erreur inférieure à 5%) pour Bi 0,1. Il existe une solution analytique pour la conduction instationnaire dans la plaque plane, pour le cylindre et pour la sphère. Les solutions générales sont représentées par les paramètres adimensionnels Bi et Fo. Les méthodes numériques se basent sur la transformation des dérivées de l'équation différencielle du problème en différences finies. En plus des conditions spatiales (x, y, z) il faut également discrétiser le temps. Pour l'expression des différences finies, nous distinguons deux méthodes: la méthode explicite et la méthode implicite. La formulation explicite permet de calculer la température "future" dans les noeuds T i (p+1) directement à partir de la distribution de température actuelle dans les noeuds. Dans la formulation implicite nous calculons les températures "futures" dans les noeuds T (p+1) (p) i par la température actuelle T i et les températures futures des noeuds voisins. Nous obtenons donc un système d'équations linéaires avec autant d'inconnues que de noeuds de calcul.

113 TRANSMISSION DE CHALEUR PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE 6.1 Principes fondamentaux de l'écoulement visqueux La couche limite hydrodynamique La couche limite thermique Simplifications et approximations 6.2 Propriétés de la couche limite turbulente 6.3 Etude de similitude et paramètres adimensionnels Méthode de l'analyse dimensionnelle Signification physique des paramètres adimensionnels u u

114 100 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE 6. LA CONVECTION THERMIQUE Nous appelons convection thermique la transmission d'énergie-chaleur entre une surface et un fluide se déplaçant le long de la surface. Dans les chapitres précédents nous avons appliqué la convection comme condition aux limites pour les problèmes de conduction avec le coefficient de convection donné. Dans les chapitres suivants nous discutons les mécanismes de transmission par convection et nous développons des méthodes pratiques pour la détermination du coefficient de convection α. La transmission de chaleur par convection est étroitement liée à la mécanique des fluides car le transport de chaleur se fait ici essentiellement par le mouvement des particules du fluide dans le voisinage de la surface de contact. Considérons l'écoulement autour des aubes d'une turbine (Fig. 6.1). La vitesse (w) et la température (T f ) du fluide varient le long de l'aube (x). Le flux de chaleur local est donné par d Q = q(x) da s (6.1) ou avec la relation de NEWTON d Q = α (T f (x) - T s ) da s (6.2) Le coefficient de convection est lui-même une fonction des conditions locales α = α(x) et doit être déterminé avec les grandeurs d'écoulement. La chaleur totale transmise par convection est Q tot = α (T f - T s ) da s (6.3) Pour les grandeurs d'écoulement données (w, T f ) le problème consiste à déterminer les coefficients de convection locaux α(x). Nous distinguons deux modes différents de transmission de chaleur par convection:

115 TRANSMISSION DE CHALEUR 101 convection forcée: dans ce cas le mouvement du fluide est dû à des forces externes (p. ex. pompe ou différence de pression dans la Fig. 6.1). convection libre: le mouvement du fluide est ici dû à la différence de densité qui résulte de l'échauffement du fluide par le corps lui-même. Dans le cas de la convection forcée l'écoulement le long des surfaces est normalement calculé séparément du problème thermique. Pour la convection libre par contre, l'écoulement résulte de la distribution de la température dans le solide c'est pourquoi la transmission de chaleur et l'écoulement autour du corps doivent être calculés simultanément. La solution analytique du problème de convection est possible seulement pour peu de cas très simples. Pour les problèmes pratiques nous sommes obligés de développer des méthodes approximatives. Dans le but de choisir les variables valables du problème et de comprendre leur signification physique, nous étudions d'abord l'écoulement visqueux le long d'une plaque plane. 6.1 PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ECOULEMENT VISQUEUX Nous étudions les principes fondamentaux de l'écoulement visqueux à l'exemple de l'écoulement le long d'une plaque plane à vitesse externe w constante (Fig. 6.2). A une distance assez grande (y > δ) nous avons un écoulement potentiel non w 1 x x d A s T (x) s q (x) T f (x) w (x) δ (x) w 2 Figure 6.1 Transmission de chaleur par convection sur une aube de turbine

116 102 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE influencé par la viscosité. Les effets de celle-ci se font seulement remarquer dans la couche d'écoulement au voisinage direct de la surface solide dans la couche limite. La couche limite se forme sous l'influence du frottement sur la paroi où la vitesse de l'écoulement converge vers la valeur zéro. Avec la distance croissante (y δ) la vitesse du fluide augmente et atteint la valeur de l'écoulement potentiel pour y = δ. L'épaisseur de la couche limite est définie à l'endroit où w(y) = 0,99 w. Nous définissons la force de frottement entre les couches à vitesses différentes (w(y)) comme tension de cisaillement τ. Elle représente la force visqueuse tangentielle par unité de surface de contact. Selon NEWTON la tension de cisaillement est proportionnelle au gradient de vitesse local τ = µ dw dy (6.4) Le coefficient de proportionnalité µ est appelé viscosité dynamique. Il est une propriété des matériaux et dépend généralement de la température. Pour l'air par exemple la fonction est donnée selon SUTHERLAND par µ air [N s/m2] = 1, T 1 5 T (6.5) Dans le cas où la température de la surface solide (T s (K)) est différente de la température du fluide (T f (K)), nous obtenons également une couche limite de température à proximité du corps solide (voir Fig. 6.2). Le mécanisme de transmission à travers la couche limite dépend du mouvement des molécules dans celle-ci. Nous distinguons différents types de couches limites qui se forment le long d'une paroi solide dans un écoulement. Nous les discutons avec l'exemple d'une plaque plane dans un écoulement parallèle de vitesse w = cte (Fig. 6.3). Couche limite laminaire Dans la première partie de la couche limite les molécules se déplacent en étant ordonnées dans les couches suivant la direction de l'écoulement potentiel (w ). Le

117 TRANSMISSION DE CHALEUR 103 y w y w τ δ (x) δ τ w(y) x a) Couche limite de vitesse sur une plaque plane y T y T δ (x) th δ th T(y) x b) Couche limite de température sur une plaque plane Figure 6.2 Définition de la couche limite profil de vitesse dans la couche limite laminaire est à peu près parabolique. La transmission d'énergie se passe ici par frottement des molécules entre les couches adjacentes. La transmission de chaleur dans la couche limite laminaire se fait par conduction selon la loi de FOURIER. Couche limite transitoire Après une certaine distance le mouvement des particules dans la couche limite devient instable et elles commencent à se déplacer à travers les couches. L'endroit de la transition dépend de l'écoulement externe, des propriétés du fluide et de la rugosité de la surface. Pour la plaque plane à surface lisse la transition commence

118 104 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE zone tampon couche limite sous-couche laminaire y u δ x laminaire transitoire turbulent Différents types de couche limite le long d'une plaque plane y δ y δ W W W = w / w W = w / w = (T - T ) / ( T s- T ) = (T - T ) / ( T s- T ) a) couche limite laminaire b) couche limite turbulente Profils de vitesse et de température typiques dans la couche limite Figure 6.3 Evolution de la couche limite sur une plaque plane

119 TRANSMISSION DE CHALEUR 105 pour Re = w x ν = ρ w x µ ( 10 6 ) (6.6) Le paramètre Re est une valeur adimensionnelle et est appelé le nombre de REYNOLDS. Couche limite turbulente Après la zone de transition (Re fin /Re début 2) la couche limite devient complètement turbulente. Dans la couche limite turbulente il n'existe plus de couche d'écoulement ordonnée. Au mouvement principal du fluide, se superpose un mouvement aléatoire des groupes de molécules dans toutes les directions. Pour des raisons d'échelle des groupes, l'échange d'énergie est ici beaucoup plus intense que dans la couche limite laminaire. Dans la suite nous développons les équations de base pour la couche limite de vitesse (couche limite hydrodynamique) et la couche limite thermique LA COUCHE LIMITE HYDRODYNAMIQUE La conservation de masse pour l'élément de contrôle (Fig. 6.4-a) est donnée par (ρu) dy + (ρv) dx - ρu + (ρu) x dx dy - ρv + (ρv) y dy dx = 0 (6.7) Après division par (dx.dy) l'équation de continuité prend la forme (ρu) x + (ρv) y = 0 (6.8) Une deuxième relation est définie par l'équation de quantité de mouvement qui dit que la variation de quantité de mouvement de l'élément est égale à la somme des forces agissant sur celui-ci.

120 106 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE d y lignes de courant dans la couche limite d x y x Elément de contrôle dans la couche limite w v ρ v + ( ρ v ) y d y u ρ u d y ρ u + ( ρ u ) x d x y x, y d x x ρ v Conservation de masse pour l'élément de contrôle (dx.dy.1) dans la couche limite Figure 6.4-a limite Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche

121 TRANSMISSION DE CHALEUR 107 σ y y + ( σ y y ) y d y τ y x + ( τ y x ) y d y d y τ x y + ( τ x y ) x d x τ x y σ x x σx x + ( σ x x ) d x x d x y x, y τ y x x σ y y Contraintes normales et de cisaillement sur l'élément de contrôle (dx.dy.1) dans la couche limite τ y x σ x x σ x x τx y τ x y a) Déformation linéaire par les b) Déformation angulaire par les contraintes normales contraintes de cisaillement τ y x Déformations de l'élément de fluide par les contraintes visqueuses Figure 6.4-b limite Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche

122 108 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE ( ρ v ) u + [ ( ρ v ) u ] y d y d y y ( ρ u ) u x, y d x ( ρ v ) u ( ρ u ) u + [ ( ρ u ) u ] x d x x Echange de quantité de mouvement dans un élément de contrôle (dx.dy.1) dans la couche limite Figure 6.4-c limite Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche Q cond, y+dy Q conv, y+dy E Q cond, x Q g dy Q cond, x+dx Q conv, x Q conv, x+dx dx y x, y x Q cond, y Q conv, y Echange d'énergie thermique dans un élément de contrôle (dx.dy.1) dans la couche limite Figure 6.4-d limite Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche

123 TRANSMISSION DE CHALEUR 109 Nous distinguons deux types de forces sur l'élément (Fig. 6.4-b). Les forces massiques (d'accélération) (force du corps, gravitation, centrifuge, magnétique, etc.) qui sont proportionnelles au volume. Leur composantes dans les directions x, y par unité de volume sont F m,x et F m,y. Les forces surfaciques (pression, contraintes visqueuses normales [σ] et tangentielles [τ] qui sont proportionnelles aux surfaces. Leurs composantes dans les directions x, y sont F s,x et F s,y. Les forces surfaciques sont données par F s,x = σ xx x - p x + τ yx y dx dy (6.9) F s,y = σ yy y - p y + τ xy y dx dy (6.10) L'échange de quantité de mouvement dans l'élément est représenté dans la Fig. 6.4-c. Pour l'écoulement incompressible, stationnaire nous obtenons pour l'équation de quantité de mouvement dans la direction x u u x + v u y = F m,x - 1 p ρ x + 1 ρ σ xx x + τ yx y (6.11) et dans la direction y u v x + v v y = F m,y - 1 p ρ y + 1 ρ σ yy y + τ xy x (6.12) Pour les fluides dits "Newtoniens" les contraintes visqueuses sont proportionnelles aux gradients de vitesses et sont définies par les relations de STOKES σ xx = 2 µ u x µ u x + v y σ yy = 2 µ v y µ u x + v y (6.13) (6.14)

124 110 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE τ xy = τ yx = µ u y + v x (6.15) Les équations (6.8) et (6.11) avec l'hypothèse de STOKES (6.15) définissent les conditions d'écoulement visqueux dans la couche limite. Elles sont connues sous le nom d'équations de NAVIER-STOKES. Pour l'écoulement stationnaire laminaire on obtient et u u x + v u y = F m,x - 1 p ρ x + ν 2 u x u y 2 (6.16) u v x + v v y = F m,y - 1 p ρ y + ν 2 v x v y 2 (6.17) Afin de déterminer la distribution des vitesses dans la couche limite, il faut résoudre le système d'équations mentionné LA COUCHE LIMITE THERMIQUE L'énergie de l'écoulement par unité de masse se compose de l'énergie interne (e) et de l'énergie cinétique w 2 /2 (avec w 2 = u 2 + v 2 ). L'énergie de convection liée au mouvement des particules (c'est-à-dire des groupes) au travers de l'élément de contrôle (Fig. 6.4-d) est donnée par (nous définissons ici l'énergie comme chaleur) Q conv,x - Q conv,x+dx = ρu e+ w2 2 dy - ρu e+ w2 2 + x ρu e+ w2 2 dx dy = = - x ρu e + w2 2 dx dy (6.18) En outre, de l'énergie est aussi échangée par le mouvement moléculaire thermique c'està-dire par la conduction. Q cond,x - Q cond,x+dx = -λ T x dy - -λ T x - x λ T x dx dy = = x λ T x dx dy (6.19)

125 TRANSMISSION DE CHALEUR 111 Le travail des forces externes (F m ) peut aussi amener une part supplémentaire d'énergie E ext,x = F m,x u dx dy + x[ ( σ xx - p)u] dx dy + y[ τ yx u] dx dy (6.20) Les équations (6.18) à (6.20) avec les équations analogues pour les composantes y avec une production interne d'énergie ( q g ) donnent finalement - x ρu e+ w2 + F m,x u + F m,y v - (pu) x 2 - y ρv - (pv) y e+ w2 2 + x λ T x + y λ T y + + (σ xx u+τ xy v) x - (τ yx u+σ yy v) y + q g = 0 (6.21) Il est plus commode de transformer cette équation par multiplication par u et v et de déduire le résultat obtenu de (6.21) ρu h h x + ρv y = x λ T x + y λ T y + u p x + v p y + µ Φ + q g (6.22) avec l'enthalpie h = e + p ρ (6.23) et la dissipation visqueuse (µ Φ) µ Φ µ u y + v 2 x + 2 u 2 x + v 2 2 y - 3 u x + v 2 y (6.24) Les termes de l'équation (6.24) sont dus aux tensions visqueuses tangentielles et normales. Ils représentent la quantité d'énergie mécanique produite dans l'écoulement par les forces visqueuses transformée en énergie thermique (dissipation) SIMPLIFICATIONS ET APPROXIMATION La forme complète de la couche limite hydrodynamique et thermique peut être simplifiée dans la plupart des cas pratiques. Les simplifications suivantes peuvent être

126 112 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE faites: écoulement stationnaire, écoulement incompressible (ρ = cte), propriétés physiques (λ, µ, etc) constantes, forces massiques négligeables (F m = 0), et sans génération d'énergie ( q g = 0). En outre, pour la couche limite on peut faire les approximations suivantes: Pour la couche limite hydrodynamique u» v (6.25) u y» u x, v y, v x (6.26) Dans ce cas on peut négliger les contraintes normales (6.13) et (6.14) et pour les contraintes de cisaillement on obtient τ xy = τ yx = µ u y (6.27) Pour la couche limite thermique on peut admettre T y» T x (6.28) Avec les simplifications (6.25) à (6.28) nous obtenons pour l'équation de continuité u x + v y = 0 (6.29) et pour l'équation de quantité de mouvement dans la direction x u u x + v u y = - 1 p ρ x + ν 2 u y 2 (6.30) L'équation de quantité de mouvement dans la direction y sera réduite à

127 TRANSMISSION DE CHALEUR 113 p y = 0 (6.31) c'est-à-dire que la pression statique est constante à travers la couche limite et définie par l'écoulement potentiel externe! Avec les simplifications mentionnées l'équation d'énergie prend la forme u T x + v T y = Λ 2 T y 2 + ν c p u y 2 (6.32) La partie (ν c p )( u/ y) de l'équation représente la dissipation visqueuse (µφ). Dans de nombreux cas ce terme peut être négligé par rapport au terme de convection (côté gauche de l'équation) et la conduction Λ ( 2 T/ y 2 ). Afin de déterminer la distribution de u, v, T dans la couche limite, les équations (6.29), (6.30) et (6.32) doivent être résolues pour le problème donné. La couche limite hydrodynamique (6.29), (6.30) n'est pas couplée avec (6.32) et peut être calculée indépendamment. La distribution de température dans la couche limite dépend de la distribution de vitesse selon (6.32). Après avoir calculé T(x,y) on peut déterminer le coefficient de transmission par convection en appliquant la relation de FOURIER pour la conduction sur la surface q = - λ f T y (6.33) y=0 car à y=0 la vitesse de fluide w=0 et la transmission de chaleur se fait seulement par conduction. Par égalité entre la chaleur transmise par conduction et par convection (équation de NEWTON) q = α (T s - T δ ) (6.34) nous obtenons pour le coefficient de transmission de chaleur par convection α = - λ f T y 1 y=0 T s - T (6.35) δ La valeur numérique du coefficient α dépend du mécanisme de la transmission dans la couche limite, des propriétés du fluide et de la géometrie de la surface.

128 114 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE Il existe une différence importante entre la transmission de chaleur dans la couche limite laminaire et turbulente: dans la couche limite laminaire l'énergie est transférée par le mouvement moléculaire (conduction) dans la couche limite turbulente l'échange d'énergie se fait par un mouvement aléatoire intense des groupes ("boules") tourbillonnaires de molécules. Pour des raisons d'échelle entre molécules et "boules tourbillonnaires" le transfert de chaleur dans la couche limite turbulente est beaucoup plus importante que dans la couche limite laminaire. Néanmoins à cause de la présence d'une sous-couche laminaire à la base de la couche turbulente, la conduction joue un rôle important également dans la transmission de chaleur dans la couche limite turbulente. 6.2 PROPRIETES DE LA COUCHE LIMITE TURBULENTE Les problèmes pratiques de l'ingénieur concernent dans la plupart des cas des écoulements turbulents. Dans la couche limite turbulente les grandeurs d'écoulement fluctuent ( ' ) autour d'une valeur moyenne ( ). Pour l'écoulement turbulent bidimensionnel stationnaire nous pouvons écrire u = _ u + u' v = _ v + v' (6.36) p = _ p + p' T = _ T + T' Il est à retenir que l'intégrale des valeurs moyennes des fluctuations est nulle (p. ex.)

129 TRANSMISSION DE CHALEUR 115 _ u' = 1 t+ t t u' dt = 0 (6.37) t mais les valeurs moyennes intégrales des produits ne sont pas nécessairement nulles u' v' = t+ t 1 t u' v' dt 0 (6.38) t Pour la description de l'écoulement turbulent nous devons formuler les équations instationnaires du problème. Dans le tableau 6.3 nous trouvons les équations de continuité, quantité de mouvement et d'énergie pour l'écoulement laminaire et turbulent. Après introduction des valeurs moyennes ( ) dans les équations de forme instationnaire, les équations pour la couche limite turbulente prendront la même forme que pour l'écoulement laminaire. Dans la couche limite turbulente le déplacement des "boules" tourbillonnaires provoquent un échange de quantité de mouvement et d'énergie-chaleur supplémentaire. Comme pour la couche limite laminaire nous pouvons définir une contrainte de cisaillement turbulente qui est proportionnelle aux vitesses de fluctuations τ t = - ρ u' v' = ρ ε u y (6.39) Le terme (ρ u' v') est aussi appelé tension de Reynolds. De même le flux de chaleur turbulent provenant des fluctuations macroscopiques q t = - ρ c p u' T' = - ρ c p ε h _ T y (6.40) Après introduction dans les équations pour l'écoulement turbulent (voir tableau 6.3), nous obtenons pour la couche limite turbulente des équations de même forme que pour la couche limite laminaire _ u x + _ v y = 0 (6.41)

130 116 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE _ u _ u x + _ v _ u y = - 1 ρ p x + 1 ρ ( τ l + τ t) y (6.42) _ u _ T x + _ v _ T ( ) y = τ l + τ t ( ) y + q l q t ρ c p _ u ρ c p (6.43) Pour la solution nous devons connaître les fluctuations turbulentes de u', v', T'. Dans le tableau 6.3 nous avons composé les définitions de la tension de cisaillement et du flux de chaleur pour la couche limite laminaire et turbulente. Pour la couche limite laminaire les facteurs de proportionnalité µ et Λ représentent des propriétés physiques. Pour la couche limite turbulente la viscosité turbulente et le coefficient de diffusion thermique turbulente h ne sont pas des propriétés physiques du fluide mais dépendent eux-mêmes du gradient de vitesse ( _ u/ y), respectivement du gradient de la température ( _ T/ y). ε = u' v' u / y (6.44) ε h = u' T' T / y (6.45) Dans la couche limite turbulente nous pouvons définir une tension de cisaillement et un flux de chaleur apparent τ app = τ l + τ t = ρ (ν + ε) _ u y (6.46) q app = q l + q t = -ρ c p (Λ + ε h ) _ T y (6.47) En les introduisant dans les équations de base (6.57) à (6.59) nous obtenons des équations de même forme pour la couche limite laminaire et turbulente.

131 TRANSMISSION DE CHALEUR 117 Nous avons constaté que le nombre de PRANDTL moléculaire (laminaire) Pr = ν Λ (6.48) est une propriété physique des fluides. Le nombre de PRANDTL turbulent défini selon Pr t = ε ε h (6.49) ne représente pas une propriété physique mais dépend de la distribution de ε et ε h dans la couche limite. Dans la couche limite turbulente on prend souvent Pr t = 1 pour des raisons de similitude de transmission de quantité de mouvement et de chaleur turbulente. Le tableau 6.3 montre la comparaison des équations de base pour la couche limite laminaire et turbulente.

132 118 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE couche limite laminaire couche limite turbulente continuité: u x + v y = 0 u x + v y = 0 quantité de mouvement: u u x + v u y = - 1 ρ dp dx + ν 2 u = - 1 ρ dp dx + 1 ρ τ l y y 2 = _ u x + _ v y = 0 u t + u u x + v u y = - 1 ρ dp dx + ν 2 u y 2 u u x + v u y = - 1 ρ d p dx + ν 2 u y 2 - ( u' v') y = énergie: u T x + v T y = - ν c p du dy 2 2 T + Λ y 2 = - 1 ρ c τ du l p dy + 1 q l ρ c p y tension de cisaillement: T t + u T x + v T y = 1 ρ c p du dy 2 + Λ 2 T y 2 T u x + v T y = - ν c p d 2 u dy ( u' v') + c p + Λ 2 T y 2 - ( v' T') y τ l = µ du dy = ρ ν du dy τ t = -ρ ( u' v') = ρ ε d u dy, ε u' v' = u y flux de chaleur: u y + q l = -λ dt dy = -ρ c p Λ dt dy q t = -ρ c p ( v' T') = -ρ c p ε d T v' T' h dy, ε h = T y Tableau 6.3 turbulente incompressible Comparaison des équations de base pour la couche limite laminaire et

133 TRANSMISSION DE CHALEUR ETUDE DE SIMILITUDE ET PARAMETRES ADIMENSIONNELS Nous avons déjà vu dans le chapitre 5.2 que par groupement des variables en paramètres adimensionnels il est possible de réduire le nombre de variables indépendantes d'un problème. Par conséquent nous pouvons simplifier le traitement analytique et les études systématiques. D'autre part les paramètres de similitude permettent de dériver une solution d'un problème en étude d'un problème similaire déjà connu avec des conditions physiques différentes. Dans la suite nous discutons brièvement les principes de base de la méthode de l'analyse des dimensions et ensuite nous les appliquons aux problèmes de transmission de chaleur. Pour les détails de la méthode se référer à la littérature spéciale (p.ex. Langhaar H. L., Dimensional Analysis and Theory of Models, John Wiley & Sons) METHODE DE L'ANALYSE DIMENSIONNELLE Toutes les grandeurs physiques sont exprimées dans les quatre dimensions fondamentales suivantes: la masse (kg) M la longueur (m) L le temps (s) t la température (K) T Les variables de base des problèmes de transmission de chaleur et leur dimensions sont données dans le tableau 6.1. Le nombre de variables indépendantes du problème de transmission de chaleur par convection (w, L, ρ, µ, c p, λ, α) est n = 7. Selon le théorème de BUCKINGHAM nous pouvons formuler N = n - r (6.50)

134 120 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE variable symbole (unité) dimension vitesse w (m s -1 ) L 1 t -1 longueur caractéristique L (m) L 1 densité de fluide ρ (kg m -3 ) M 1 L -3 viscosité du fluide µ (kg s -1 m -1 ) M 1 t -1 L -1 chaleur massique c p (J kg -1 K -1 ) L 2 t -2 T -1 coefficient de conduction λ (W m -1 K -1 ) M 1 L 1 t -3 T -1 coefficient de convection α (W m -2 K -1 ) M 1 t -3 T -1 Tableau 6.1 convection Unités et dimensions des variables de la transmission de chaleur par variables adimensionnelles, où (r) représente le rang de la matrice défini par les exposants des dimensions des variables données dans le tableau 6.2. w L ρ µ c p λ α M L t T Tableau 6.2 chaleur par convection Exposants des dimensions des variables de la transmission de La matrice définie dans le tableau 6.2 a le rang r = 4. Selon BUCKINGHAM nous pouvons donc formuler N = 7-4 = 3 paramètres adimensionnels pour les problèmes de transmission de chaleur par convection.

135 TRANSMISSION DE CHALEUR 121 Chaque paramètre ( i ) sera formulé par des expressions potentielles des variables de base: i = w k1i L k2i ρ k3i µ k4i c p k5i λ k6i α k7i (6.51) pour i = 1 N. Pour que les paramètres i deviennent adimensionnels, l'exposant de chaque dimension doit avoir la valeur (0). i [1] = [L 1 t -1 ] k1i [L 1 ] k2i [M 1 L -3 ] k3i [M 1 t -1 L -1 ] k4i [L 2 t -2 T -1 ] k5i * * [M 1 L 1 t -3 T -1 ] k6i [M 1 t -3 T -1 ] k7i (6.52) ou avec les dimensions groupées i [1] = M (k3i+k4i+k6i+k7i) L (k1i+k2i-3k3i-k4i+2k5i+k6i) * * t (-k1i-k4i-2k5i-3k6i-3k7i) T (-k5i-k6i-k7i) (6.53) Pour éliminer les dimensions, les exposants entre parenthèses doivent avoir la valeur zéro, ce qui nous définit le système d'équations linéaires suivant k 3i + k 4i + k 6i + k 7i = 0 k 1i + k 2i -3 k 3i - k 4i + 2 k 5i + k 6i = 0 -k 1i - k 4i -2 k 5i -3 k 6i -3 k 7i = 0 (6.54) -k 5i - k 6i - k 7i = 0 Afin de déterminer les paramètres adimensionnels i nous devons résoudre le système d'équations linéaires (6.54) pour les coefficients k i. Pour la définition de chaque paramètre i nous pouvons choisir la valeur de quatre des coefficients k i (normalement on donne la valeur k i = 0) et calculer les autres trois k i par l'équation (6.54). Nous obtenons par la méthode de l'analyse de dimension pour la convection thermique les paramètres adimensionnels suivants:

136 122 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE 1 nombre de REYNOLDS Re = w ρ L µ (6.55) 2 nombre de PRANDTL Pr = µ c p λ = ν Λ (6.56) 3 nombre de NUSSELT Nu = α L λ (6.57) Par la division du nombre de Nusselt (Nu) par le produit de (Re Pr) nous obtenons le nombre de STANTON St = Nu Re Pr = α ρ w c p (6.58) Les paramètres (6.55) à (6.57) peuvent être développés également à partir des équations de la couche limite hydrodynamique et thermique. L'introduction des paramètres adimensionnels permet de réduire le nombre de variables du problème de 7 à 3. Avec les paramètres adimensionnels nous obtenons des relations simplifiées et généralisées. Quand nous avons trouvé la relation (par essais ou par calculs) Nu = f( Re, Pr ) nous pouvons l'appliquer pour des géométries similaires. Dans les chapitres suivants nous développons des méthodes pour la détermination de relations [Nu = f( Re, Pr )] pour des cas pratiques.

137 TRANSMISSION DE CHALEUR SIGNIFICATION PHYSIQUE DES PARAMETRES ADIMENSIONNELS Le nombre de REYNOLDS peut être interprêté comme le rapport entre les forces d'inertie (F I ) et les forces visqueuses (F τ ) dans la couche limite. Ces forces peuvent être exprimées par les grandeurs caractéristiques de l'écoulement: F I ρ w2 L F τ µ w L 2 Le nombre de REYNOLDS est donc: F I F ρ w L τ µ Re (6.59) Le nombre de PRANDTL représente une propriété physique du fluide pour la couche limite laminaire. Il exprime le rapport entre la diffusion de la quantité de mouvement et la diffusion thermique: Pr ν Λ (6.60) avec Λ = λ ρ c p Il définit également le rapport entre l'épaisseur des couches limites hydrodynamique (δ) et thermique (δ th ) selon POHLHAUSEN: δ δ th = Pr 1/3 (6.61) Dans les tableaux A.2 nous trouvons des exemples de valeurs pour des gaz et des liquides. La Fig. 6.5 montre l'influence du nombre de Prandtl sur le rapport entre l'épaisseur de la couche limite hydrodynamique et thermique:

138 124 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE pour Pr 1 la diffusion d'énergie thermique est beaucoup plus importante que la diffusion de la quantité de mouvement par conséquent th >>. C'est le cas pour les bons conducteurs avec facilité de dégager de la chaleur ou pour des fluides à faible viscosité (p.ex. les métaux liquides). Comportement typique pour des huiles pour lesquelles le nombre de Pr augmente considérablement pour des températures décroissantes. δ th y y y T δ δ u δ δ = δ th u δ T δ δ u δ δ th T δ Pr << 1 Pr = 1 Pr >> 1 << th = th >> th Pr = métaux liquides gaz eau huiles Grandeurs typiques des nombres de Prandtl pour fluides techniques Figure 6.5 Signification physique du nombre de Prandtl

139 TRANSMISSION DE CHALEUR 125 pour Pr 1 la diffusion de la quantité de mouvement et la diffusion thermique sont à peu près du même ordre de grandeur. L'épaisseur des couches limites hydrodynamique et thermique est identique selon (6.61) th Nombreux gaz montrent ce comportement. pour Pr» 1 La transmission de quantité de mouvement l'emporte sur les transmissions de chaleur donc th «Une grandeur importante pour la couche limite, le coefficient de frottement C f C f = τ s ρ u2 2 (6.62) y y* δ u δ δ th T*(y*) T(y*) du dt* dy dy* u T*, T couche limite hydrodynamique couche limite thermique Figure 6.6 Signification du nombre de Nusselt

140 126 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE est définie avec la tension de cisaillement (τ s ) sur la surface τ s = µ u y (6.63) y=0 Pour la couche limite thermique la grandeur analogue au C f est exprimée par le nombre de NUSSELT (voir Fig. 6.6) avec Nu = T* y* (6.64) y*=0 T* = T(y*) - T s T - T s (6.65) y* = y L Le coefficient de convection n'est pas une grandeur physique. Il dépend des propriétés de matériaux mais il est fortement influencé par le mode d'échange de l'énergie chaleur à travers la couche limite. Le tableau 6.4 montre les valeurs typiques du coefficient de convection pour des cas plus importants dans le domaine technique. RESUME DU CHAPITRE 6 Nous appelons convection thermique la transmission d'énergie-chaleur entre une surface et un fluide se déplaçant le long de la surface. Nous distinguons deux modes différents de transmission de chaleur par convection: la convection forcée et la convection libre. Selon la relation de Newton la chaleur transmise par convection est proportionelle (α) à la différence de température entre le fluide et la surface.

141 TRANSMISSION DE CHALEUR 127 Le coefficient de convection thermique (α) est une fonction des conditions locales de la couche limite hydrodynamique. Dans la couche limite laminaire les molécules se déplacent en étant ordonnées dans les couches suivant la direction de l'écoulement potentiel. Dans la couche limite turbulente, au mouvement principal du fluide, se superpose un mouvement aléatoire des groupes de molécules dans toutes les directions. L'échange d'énergie est ici beaucoup plus intense que dans la couche limite laminaire. L'écoulement visqueux dans la couche limite est décrit par l'équation de NAVIER- STOKES. Les équations pour la couche limite hydrodynamique (Navier-Stokes) ne sont pas couplées avec l'équation d'énergie et peuvent être calculées indépendamment. La distribution de température dans la couche limite par contre dépend de la distribution de vitesse. Pour la couche limite laminaire la viscosité et le coefficient de diffusion thermique représententent des propriétés physiques. Pour la couche limite turbulente, la viscosité turbulente et le coefficient de diffusion thermique turbulent ne sont pas des propriétés physiques du fluide mais dépendent eux-mêmes du gradient de vitesse respectivement du gradient de la température. Les paramètres adimensionnels importants de la convection forcée sont: le nombre de REYNOLDS (Re), le nombre de PRANDTL (Pr) et le nombre de NUSSELT (Nu).

142 128 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE 2 (W/m K) Vapeurs condensées Eau en ébulition Convection forcée eau Convection naturelle eau Freon condensé Freon évaporé Hydrocarbures condensées Hydrocarbures évaporées Hydrocarbures liquides Hydrocarbures gazeuses Huiles Hydrogène Air comprimé Convection forcée air-atm. Convection naturelle air-atm. Tableau 6.4 Valeurs approximatives du coefficient de convection α 10 5

143 TRANSMISSION DE CHALEUR CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE 7.1 La couche limite laminaire sur une plaque plane 7.2 Ecoulement turbulent sur la plaque plane 7.3 Ecoulement autour d'un cylindre 7.4 Ecoulement transversal dans un faisceau de tubes u u

144 130 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE 7. CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE L'écoulement autour d'un objet se situant dans un champ sans limite est appelé écoulement externe. Dans un tel cas la couche limite sur la surface de l'objet se développe sans influence de l'entourage (p.ex. sur une aile d'avion). Dans le chapitre 6 nous avons trouvé que le phénomène de convection forcée peut être défini par une relation entre les trois paramètres adimensionnels Nu, Re et Pr. Le problème de calcul de la transmission de chaleur consiste à déterminer la relation Nu = f( Re, Pr ) La solution peut être obtenue par calcul théorique par la solution des équations de base (développée au chapitre 6) pour une géométrie et des conditions aux limites données. méthode expérimentale (ou empirique) par des mesures systématiques sur diverses géométries. Les relations entre les paramètres adimensionnels sont obtenues dans ce cas par la corrélation des valeurs mesurées. La solution analytique du problème est seulement possible dans quelques cas très simples. Pour les cas pratiques, on recourt aux expériences. L'importance des solutions théoriques réside dans le fait qu'elles nous montrent le caractère des relations et permettent d'évaluer l'influence des paramètres physiques ce qui est important pour développer des relations empiriques. 7.1 LA COUCHE LIMITE LAMINAIRE SUR UNE PLAQUE PLANE SOLUTION DE BLASIUS POUR LA COUCHE LIMITE LAMINAIRE SANS DISSIPATION L'écoulement sur une plaque plane représente non seulement le cas le plus simple mais également un cas pratique et important pour l'ingénieur. Nous étudions l'écoulement stationnaire, incompressible et laminaire sans dissipation le long d'une plaque plane (Fig. 7.1).

145 TRANSMISSION DE CHALEUR 131 zone tampon couche limite y u sous-couche laminaire δ x laminaire transitoire turbulent Couche limite sur une plaque plane 5 1 η 4 3 η = y u ν x y δ u / u 1 0 u / u 1 a) couche limite laminaire b) couche limite turbulente Figure 7.1 Couche limite hydrodynamique sur une plaque plane Les équations de base se réduisent à (voir chapitre 6): la continuité u x + v y = 0 (7.1)

146 132 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE la quantité de mouvement pour dp/dx = 0 u u x + v v y = ν 2 u y 2 (7.2) p y = 0 l'énergie [sans dissipation donc (ν/c p )( u/ y) 2 = 0] u T x + v T y = Λ 2 T y 2 (7.3) La solution pour la couche limite hydrodynamique a été trouvée par BLASIUS. Les vitesses sont définies par la fonction de courant ψ(x,y) selon u ψ y et v - ψ x Après introduction des nouvelles variables f et η et f(η) u ψ = ν x u ψ ν x u (7.4) η y u ν x (7.5) l'équation de quantité de mouvement peut être transformée en une équation différentielle ordinaire (valeurs numériques pour η, f', f'' dans le Tableau 7.1). La solution de l'équation nous donne les résultats suivants: l'épaisseur de la couche limite laminaire (δ=y pour u/u = 0,99) δ 5 u ν x = 5 x Re -1/2 (7.6) la tension de cisaillement sur la surface (y=0) au point x τ s = µ u y (7.7) y=0

147 TRANSMISSION DE CHALEUR 133 τ s = 0,332 u ρ µ u x (7.8) le coefficient de frottement local C f,x = τ s x ρ u 2 2 = 0,664 Re x -1/2 (7.9) La solution de BLASIUS est une solution de similitude (η = variable de similitude) c'està-dire que le profil de vitesse u/u reste géométriquement similaire à partir de x=0. Avec η = y u ν x = y x Re x 1/2 u u = Φ y δ = Φ ( η ) avec δ comme épaisseur de la couche limite. A partir du profil de vitesse dans la couche limite nous pouvons calculer la distribution de la température dans celle-ci. Avec la température relative T* = T - T s T - T s (7.10) l'équation d'énergie prend la forme d 2 T* dη 2 + 0,5 Pr f(η) dt* dη = 0 (7.11) La solution a été trouvée numériquement pour différents nombres de PRANDTL pour les conditions aux limites T*(0) = 0 et T*( ) = 1

148 134 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE 0 0,2 0,4 0,6 0,8 f f'=u/u f'' 0 0 0, , , , , , , , , , , , , ,0 1,2 1,4 1,6 1,8 0, , , , , , , , , , , , , , , ,0 2,2 2,4 2,6 2,8 0, , , , , , , , , , , , , , , ,0 3,2 3,4 3,6 3,8 1, , , , , , , , , , , , , , , ,0 4,2 4,4 4,6 4,8 2, , , , , , , , , , , , , , , ,0 5,2 5,4 5,6 5,8 3, , , , , , , , , , , , , , , ,0 6,2 6,4 6,6 6,8 4, , , , , , , , , , , , , , , ,0 7,2 7,4 7,6 7,8 5, , , , , , , , , , , , , , , ,0 8,2 8,4 8,6 Tableau 7.1 plane 6, , , , , , , , , , , ,00000 Valeurs de la fonction f( ) pour la convection forcée sur la plaque

149 TRANSMISSION DE CHALEUR 135 Les résultats donnent avec Pr 0,6 pour le gradient de température sur la surface (η=0) T* η = 0,332 Pr 1/3 (7.12) η=0 avec (7.5) et (7.10) T* η = η=0 1 T -T s u ν x T y (7.13) y=0 T y = (T -T s ) y=0 u ν x 0,332 Pr1/3 (7.14) Le coefficient de convection local (α x ) peut être calculé par le flux de chaleur sur la paroi avec (7.14) α x = q x T s -T = - λ T s -T T y y=0 α x = - λ T s -T (T -T s ) u ν x 0,332 Pr1/3 (7.15) nous obtenons la relation Nu x = α x x λ = 0,332 Re x 1/2 Pr 1/3 (7.16) valable pour Pr 0,6. L'équation (7.16) montre que le coefficient de convection α x varie avec la coordonnée x. Pour la plaque de longueur x=l nous obtenons les valeurs moyennes Nu L = α x L λ = 0,664 Re L 1/2 Pr 1/3 (7.17) La Figure 7.2a montre la distribution de température dans une couche limite laminaire pour différents nombres de PRANDTL. Il est à noter que pour une raison d'égalité formelle de l'équation de quantité de mouvement (7.2) et d'énergie (7.3) nous obtenons des formes similaires pour le profil de vitesse (u/u ) et le profil de température (T*) pour le cas de ν = Λ donc Pr=1

150 136 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE T - T s T -T s = u u (7.18) Nous rappelons que pour les gaz l'ordre de grandeur du nombre de PRANDTL est Pr 1. La Figure 7.2a montre que pour Pr > 1, δ th < δ et pour Pr <1, δ th > δ. COUCHE LIMITE LAMINAIRE AVEC DISSIPATION Dans la solution de BLASIUS nous avons admis que la dissipation est négligeable par rapport aux autres termes de l'équation d'énergie. Cette simplification n'est plus valable si la vitesse de l'écoulement externe dépasse une certaine limite. Ecoulement sur une surface adiabate Nous étudions l'écoulement sur une plaque isolée. Dans ce cas, il n'existe pas de flux de chaleur sur la paroi donc (dt/dy) y=0 = 0. La température d'équilibre de la paroi est nommée température de récupération (T r ). La démarche du calcul est similaire à celle de BLASIUS. La solution est T r = T + r 0 (Pr) u 2 2c p (7.19) La fonction r 0 (Pr) est le facteur de récupération qui est donné pour la couche limite laminaire par r 0 (Pr) Pr 1/2 (7.20) et pour la couche limite turbulente par r 0 (Pr) Pr 1/3. ECOULEMENT LAMINAIRE VISQUEUX SUR UNE PLAQUE CHAUFFEE OU REFROIDIE Nous étudions maintenant le cas où la température de la paroi est maintenue à T s. Nous trouvons la solution par introduction du paramètre de BLASIUS η = y u /(ν x)

151 TRANSMISSION DE CHALEUR 137 Les résultats possibles sont montrés dans la Figure 7.2b. Par rapport à la température de récupération T r (température pour paroi adiabate) nous distinguons trois cas: pour T s > T r, le flux de chaleur passe de la paroi vers le fluide, pour T s = T r, nous avons les conditions adiabates, et pour T s < T r, le flux de chaleur est dirigé vers la paroi. L'inversion du profil de température exprime le fait que la chaleur dissipée s'écoule partiellement vers la paroi et partiellement dans le fluide. Les résultats pour la couche limite avec dissipation sont identiques à celui sans dissipation, donc Nu x = 0,332 Re x 1/2 Pr 1/3 (7.21) Nu L = 0,664 Re L 1/2 Pr 1/3 (7.22) mais le flux de chaleur se calcule avec la température de récupération selon q = α (T s - T r ) (7.23) A partir de (7.29) on peut écrire pour la couche limite laminaire T r - T = Pr 1/2 u 2 2 c p divisé par (T r - T ) T r - T T s -T = 0,5 r 0 (Pr) u 2 c p (T s -T )

152 138 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE 6 5 δ - hydrodynamique η = y u ν x 4 3 Pr = 1 0, ,5 T* 1 a) Distribution de la température dans la couche limite sans dissipation T T T r u couche limite y q = 0 q < 0 q < 0 q > 0 T s < T r T s < T r T s > T r > T T s < T T s > T T s = T r > T b) Distribution de la température dans la couche limite avec dissipation Figure 7.2 Couche limite laminaire sur une plaque plane chauffée

153 TRANSMISSION DE CHALEUR 139 Le dernier facteur de (7.23) représente le nombre de ECKERT Ec = u 2 c p (T s - T ) (7.24) Nous pouvons donc écrire T r - T T s - T = 0,5 r 0 (Pr) Ec = 0,5 Pr 0,5 Ec (7.25) Le nombre de Eckert est une mesure pour la compressibilité de l'écoulement. La relation entre le nombre Ec et le nombre de Mach pour le gaz idéal est donnée par Ec = (κ-1) T T s - T M 2 (7.26) 7.2 ECOULEMENT TURBULENT SUR LA PLAQUE PLANE La couche limite se développe sur une plaque plane au début toujours laminaire. Si le nombre de Reynolds dépasse la valeur critique, la couche limite devient turbulente après une zone de transition (Re crit = ). Le profil de vitesse dans la couche limite turbulente est plus rempli que dans le cas laminaire. Il est approximativement u u = y δ 1/7 (7.27) Dans la région à proximité de la paroi l'écoulement reste laminaire (sous-couche laminaire). Dans cette région (7.27) n'est pas valable. De nombreux essais ont permis d'obtenir les différentes relations pour la couche limite turbulente sur la plaque plane (SCHLICHTING). L'épaisseur de la couche limite turbulente est décrite par δ = 0,381 x Re x - 0,2 (7.28) valable pour: < Re x < 10 7.

154 140 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE La relation montre que l'épaisseur de la couche limite turbulente augmente plus rapidement que celle de la couche limite laminaire. Le coefficient de frottement est donné par C f = τ s ρ u 2 2 = 0,045 u δ ν - 0,25 (7.29) L'expression Re δ = u δ ν (7.30) représente le nombre de REYNOLDS relatif à l'épaisseur de la couche limite. Il est plus pratique de relier C f avec Re x C fx = 0,0592 Re x - 0,2 (7.31) valable pour: < Re x < La transmission de chaleur locale est définie par Nu x = 0,0296 Re x 0,8 Pr 0,33 ( 0,6 < Pr < 60 ) (7.32) Une meilleure approximation que la distribution exponentielle de (1/7) est donnée par la distribution universelle de vitesse. Elle est donnée par u = C 1 τ s ρ ln y + C 2 (7.33) Le terme s/ est appelé la vitesse de cisaillement u τ = τ s ρ = C f u 2 2 (7.34) où τ s peut être calculé par le coefficient de frottement C f (7.29). Avec la vitesse et les coordonnées adimensionnelles u + = u u τ y + = y u τ ν (7.35) (7.36)

155 TRANSMISSION DE CHALEUR 141 on obtient u + = C 1 ln y + + C 3 (7.37) Les expériences ont donné pour les trois zones de la couche limite turbulente les relations suivantes (avec ε selon (tableau 6.1)) sous-couche laminaire: 0 < y + < 5 u + = y + (7.38) ε ν = 0 (7.39) zone tampon: 5 < y + < 30 u + = 5 ln y + - 3,05 (7.40) ε ν = y + 5-1, 0 < ε ν < 5 (7.41) zone turbulente: y + > 30 u + = 2,5 ln y + + 5,5 (7.42) ε ν = y , ε ν > 11 (7.43) Pour le calcul de la transmission de chaleur nous utilisons la similitude entre la transmission de quantité de mouvement et de chaleur. Nous étudions d'abord l'écoulement laminaire. Pour la vitesse adimensionnelle (u/u ) nous pouvons écrire (solution de BLASIUS) d 2 u u u d dη 2 + 0,5 f(η) u dη avec les conditions aux limites = 0 (7.44) u(0) u = 0, u( ) u = 1 Pour la température adimensionnelle T* = (T - T s ) / (T - T s ) nous obtenons

156 142 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE avec d 2 T* dt* dη2 + 0,5 f(η) Pr dη T*(0) = 0, T*( ) = 1 = 0 (7.45) Pour Pr = 1 les deux équations (7.44) et (7.45) sont similaires, où T* u u donc T - T s T -T s u u (7.46) Ces relations impliquent que 1 T -T s T y = 1 u u y (7.47) Pour l'écoulement laminaire avec les définitions τ = ρ ν u y q = ρ c p Λ T y (7.48) (7.49) on peut écrire (7.47) pour Pr = ν/λ = 1 q τ = - c p T -T s u (7.50) La conséquence de (7.50) est que dans la couche limite laminaire pour Pr=1 le rapport entre le flux de chaleur et la tension de cisaillement est constant. Pour l'écoulement laminaire nous pouvons écrire pour (7.50) q T s -T = τ c p u (7.51) En introduisant le coefficient de convection α α = τ s c p u (7.52)

157 TRANSMISSION DE CHALEUR 143 Pour Pr=1 il existe donc une relation unique entre le coefficient de convection (α) et la contrainte de cisaillement sur la paroi (τ s ). Par conséquent une valeur élevée de transmission de chaleur est accompagnée de pertes importantes. A partir de (7.52) nous pouvons développer la relation ( pour Pr = 1, ν = Λ ou µ = λ /c p ) α x x λ = τ s c p x λ u = τ s x µ u (7.53) Nu x = 0,5 C fx Re x (7.54) Dans la suite nous étendons la similitude aux écoulements turbulents et Pr 1. L'ANALOGIE DE REYNOLDS POUR LA CONVECTION TURBULENTE Pour l'écoulement turbulent nous avons introduit et τ = ρ (ν + ε) u y q = - ρ c p (Λ + ε h ) T y (7.55) (7.56) Reynolds a négligé les zones laminaires et transitoires de la couche limite turbulente. Les grandeurs turbulentes sont ε» L et nous pouvons les éliminer q τ = - c p ε h ε T y = - c p T Pr t u (7.57) Pour Pr t 1 nous avons ε ε h donc q τ = - c p T u (7.58) REYNOLDS a admis que la similitude existe entre la couche limite laminaire et turbulente par conséquent (q/τ) est aussi constant dans le cas turbulent (voir (7.51)). Avec (7.48) et (7.49)

158 144 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE ou q s τ s = - c p T - T s u (7.59) α = τ s c p u (7.60) Avec c p selon Pr = ν ρ c p /λ = 1 et α = τ s λ Pr µ u (7.61) Nu x = 0,5 C f Re x Pr (7.62) (7.62) est appelé l'analogie de REYNOLDS pour la convection turbulente sur une surface plane. Avec (7.28) et (7.29) nous obtenons pour < Re < 10 7 Nu x = 0,0296 Re x 0,8 Pr (7.63) et pour Re x > 10 7 Nu x = Re x Pr (log 10 Re x ) (7.64) La relation de REYNOLDS a été corrigée sur la base des mesures effectuées par COLBURN pour < Re x < 10 7 Nu x = 0,5 C f Re x Pr 0,33 (7.65) ou Nu x = 0,0296 Re 0,8 x Pr 0,33 (7.66) et pour Re x > 10 7 Nu x = Re x Pr 1/3 (log 10 Re x ) (7.67)

159 TRANSMISSION DE CHALEUR 145 ANALOGIE DE PRANDTL PRANDTL a introduit la sous-couche laminaire et obtenu pour < Re x < 10 7 ou Nu x = Nu x = 0 5 C f Re x Pr (7.68) C 1+5 f 2 (Pr-1) Re x 0 8 Pr Re x -0 1 (Pr-1) (7.69) ANALOGIE DE von KARMAN Von KARMAN a introduit en plus la zone tampon (y + = 30) et obtenu Nu x = C f Re x Pr (7.70) C f 2 {(Pr-1)+ln[ (Pr-1)]} Nu x = Re x 0 8 Pr Re x -0 1 {(Pr-1)+ln[ (Pr-1)]} (7.71) pour < Re x < 10 7 La valeur moyenne pour une plaque de longueur L est Nu L = α L λ = Pr 0,33 [ Re 0 8 L - A ] (7.72) pour Re L = A = 527 Re L = A = 871 Re L = A = 1670 Re L = A = 4472 Les analogies présentées se basent sur divers modèles physiques et donnent pour le nombre de Nusselt des valeurs différentes pour les mêmes conditions d'écoulements. D'autre part il faut tenir compte de la variation des propriétés physiques (λ, µ) avec la température variable dans la couche limite thermique. Pour les calculs on détermine les propriétés physiques à la température moyenne de la couche limite

160 146 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE T m = T s - T f 2 Pour les calculs pratiques on recommande les relations suivantes: Couche limite laminaire pour Re x < Re x,crit = ,6 < Pr < 50 Nu x = (7.16) Nu L = (7.17) pour Re x < Re x,crit = Pr < 0,05 Nu x = 0,565 (Re x Pr) 0,5 Nu L = 1,13 (Re L Pr) 0,5 Couche limite turbulente pour < Re x < 10 9 Pr 1 Nu x = (7.70) ou (7.71) avec C f = 0,0592 Re - 0,2 x pour < Re x < 10 7 C f = 0,37 ( log 10 Re x ) -2,584 pour Re x > 10 7 pour < Re x < ,6 < Pr < 60 Nu x = (7.66) ou (7.67) Plaque plane avec couche limite laminaire + turbulente La valeur moyenne pour la plaque de longueur L est pour < Re L < ,6 < Pr < 60 Nu L = (7.72) pour Re L < 10 7 Nu L = Pr 0,33 [ 0,228 Re L (log 10 Re L ) -2, ]

161 TRANSMISSION DE CHALEUR ECOULEMENT AUTOUR D'UN CYLINDRE La transmission de chaleur sur un cylindre (tube) dans un écoulement perpendiculaire à son axe représente un cas élémentaire important pour la pratique (p.ex. échangeur de chaleur). L'écoulement autour du cylindre est représenté dans la Fig L'écoulement sans effet de viscosité (écoulement potentiel) donnerait une distribution symétrique de vitesse sur le cylindre. Dans la partie 0 <ϕ<90 l'écoulement est accéléré et dans la partie 90 <ϕ<180 il est décéléré. Dans l'écoulement réel une couche limite laminaire se développe avec une épaisseur croissante à partir du point d'arrêt. En général, l'énergie cinétique dans la couche limite ne suffit pas pour surmonter le gradient de pression et la couche limite décolle de la surface (pour ( u/ y) s =0). Le point de décollement est appelé point de séparation. L'endroit de la séparation (ϕ sep ) dépend du type de couche limite caractérisé par le nombre de Reynolds Re d = ρ u d µ (7.73) pour Re d la couche limite est laminaire et ϕ sep 80 pour Re d la couche limite se transforme avant le décollement en couche turbulente et ϕ sep 140 Le coefficient de traînée (F x = Force de traînée, A c = surface frontale du cylindre) C x est également influencé par la condition de la couche limite, donc par le nombre de Reynolds (voir Fig. 7.4). La force de traînée F x a deux composantes: l'une est liée à la force de frottement sur la surface et l'autre est la conséquence de la différence de pression entre les faces avant et arrière du cylindre. A cause de la complexité de l'écoulement autour du cylindre on recourt aux expériences pour déterminer la relation Nu=f(Re, Pr). Les résultats des mesures sont représentés dans la Fig C x = F x A c ρ u 2 2 (7.74)

162 148 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE Re d = u d ν u ϕ A d A Re d, crit = A : point d'arrêt T: point de transition S : point de séparation u S A S u T A T S S c.l. laminaire décollement c.l. laminaire c.l. turbulente décollement 1 p - p r u 2 / laminaire turbulente -2-3 sans frottement Figure 7.3 Ecoulement autour d'un cylindre (tube) circulaire

163 TRANSMISSION DE CHALEUR 149 pour Re d < 10 5 la couche limite reste laminaire jusqu'au décollement. Le coefficient Nu diminue entre le point d'arrêt ϕ = 0 et ϕ sep = 80 et augmente à nouveau dans la zone turbulente du sillage. pour Re d > 10 5 la couche devient turbulente et nous observons deux minima. Dans la partie laminaire Nu diminue avec ϕ et augmente rapidement à partir de ϕ = après la transition laminaire-turbulente. Dans la couche limite turbulente nous observons à l'aval une diminution de Nu ϕ qui augmente à nouveau une seconde fois après la séparation (ϕ 140 ). 100 C x , Re d 10 6 Figure 7.4 Coefficient de traînée pour un cylindre lisse Les valeurs de nombre de Nusselt pour le point d'arrêt sont données par Nu 0 = 1,14 Re d 0,5 Pr 0,37 (7.75) avec Nu 0 = α 0 d λ (7.76)

164 150 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE 800 Nu ϕ Re d = 2, , , , , , Figure 7.5 (Trans. ASME Vol 71, 1949) Variation du coefficient de convection pour un cylindre pour Pr=0,7 Dans les cas pratiques il est intéressant de connaître des valeurs moyennes. La corrélation empirique est obtenue par HILPERT selon Nu d = ᾱ d λ = C Re d m Pr 0,33 (7.77) Les constantes C et m sont données dans le tableau 7.2. Les valeurs sont obtenues avec la température du film (T δ ) selon T δ = T s + T δ 2 (7.78) Les différentes mesures donnent une plus ou moins bonne concordance dans un domaine de Re d. En général la précision ne dépasse pas 20 %.

165 TRANSMISSION DE CHALEUR 151 w T d Re C m 0,4-4 0,989 0, ,911 0, ,683 0, ,193 0, ,027 0,805 w T d ,246 0,588 w T d ,102 0,675 w T d , ,160 1, ,0385 0,638 0,782 w T d ,153 0,638 w T d , ,228 0,731 Tableau 7.2 Constantes de l'équation (7.75) 7.4 ECOULEMENT TRANSVERSAL DANS UN FAISCEAU DE TUBES Dans les divers échangeurs de chaleur utilisés dans l'industrie, nous rencontrons un faisceau de tubes dans l'écoulement transversal. L'arrangement géométrique peut être multiple. La Fig. 7.6 montre les tubes alignés et la Fig. 7.7 en quinconce. Le coefficient de convection pour un tube dépend de sa position dans le faisceau. Le coefficient pour la première rangée est approximativement égal aux conditions pour les tubes isolés. Avec l'augmentation de la turbulence en aval, la transmission de chaleur augmente également. Après la 4ème-5ème rangée, la transmission se stabilise. GRIMISON donne pour l'écoulement de l'air dans un faisceau de tubes (pour plus de 10 rangées N 10) la valeur moyenne

166 152 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE Nu d = C 1 Re d,max m (7.79) avec Re d,max = ρ w max d µ (7.80) tubes alignés t y /d=1,25 t y /d=1,5 t y /d=2,0 t y /d=3,0 t x /d C 1 m C 1 m C 1 m C 1 m 1,25 0,348 0,592 0,275 0,608 0,100 0,704 0,0633 0,752 1,50 0,367 0,586 0,250 0,620 0,101 0,702 0,0678 0,744 2,00 0,418 0,570 0,299 0,602 0,229 0,632 0,198 0,648 3,00 0,290 0,601 0,357 0,584 0,374 0,581 0,286 0,608 tubes en quinconce t y /d=1,25 t y /d=1,5 t y /d=2,0 t y /d=3,0 t x /d C 1 m C 1 m C 1 m C 1 m 0, ,213 0,636 0, ,446 0,571 0,401 0,581 1, ,497 0, , ,478 0,565 0,518 0,560 1,250 0,518 0,556 0,505 0,554 0,519 0,556 0,522 0,562 1,500 0,451 0,568 0,460 0,562 0,452 0,568 0,488 0,568 2,000 0,404 0,572 0,416 0,568 0,482 0,556 0,449 0,570 3,000 0,310 0,592 0,356 0,580 0,440 0,562 0,428 0,574 Tableau 7.3 Constantes de l'équation (7.79) valable pour N x < Re d,max < Pr = 0,7

167 TRANSMISSION DE CHALEUR 153 Les constantes C 1, m sont données dans le tableau 7.3. Pour d'autres fluides (Pr 0,7) on obtient Nu par Nu d = 1,13 C 1 Re d,max m Pr 1/3 (7.81) valable pour N x < Re d,max < Pr 0,7 Pour N x < 10 le coefficient de convection selon (7.79) est réduit d'un rapport selon tableau 7.4 Le nombre de Reynolds Re d,max est défini avec la vitesse maximale du fluide dans le faisceau de tubes. Pour des tubes alignés (voir Fig.7.6 a) w max = w in t y t y - d (7.82) nombre de rangées N x pour tubes alignés pour tubes en quinconce 0,68 0,75 0,83 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 1,0 0,64 0,80 0,87 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 1,0 Tableau 7.4 avec N x < 10 Rapport des coefficients de convection ( d ) pour faisceau de tubes Pour des tubes en quinconce avec (voir Fig.7.6 b) w 1 = w in t y A 1 = w in t y t y - d (7.83) et w 2 = w in t y 2 A 2 = w in t y t x 2 + (t y /2) 2 - d (7.84)

168 154 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE w in A 1 = (t y - d) w max T in d w max = w in t y A 1 A 1 t y y t x x a) faisceau de tubes alignés w in A 2 d A 1 = (t y - d) T in A 2 A 2 = t x 2 + (t y /2) 2 - d) A 1 t y w 1 = w in t y A 1 y x t x b) faisceau de tubes en quinconce w 2 = w in t y 2 A 2 Figure 7.6 Définition des paramètres de calcul pour des faisceaux de tubes La vitesse w max apparaît dans la section la plus étroite donc pour A 1 < A 2 : w max = w 1 et pour A 2 < A 1 : w max = w 2 Il est important de noter que pour le calcul de la transmission de chaleur dans la série de tubes il faut tenir compte du changement de température dans la direction de l'écoulement. La température moyenne dans l'échangeur est

169 TRANSMISSION DE CHALEUR 155 T m,log = (T s - T in ) - (T s - T ex ) ln T s - T in T s - T ex (7.85) T in étant la température à l'entrée, T ex la température à la sortie et T s la température à la surface. La température de sortie peut être calculée par T s - T ex T s - T = e - in π d N ᾱ ρ win Ny ty cp (7.86) ou N représente le nombre total des tubes (N=N x N y ). Avec T m,log nous obtenons la transmission de chaleur par unité de longueur Q 1 = N ᾱ π d T m,log (7.87) La chute de pression est une autre grandeur importante pour l'échangeur de chaleur. Elle est donnée par ( p en N/m 2 ) p = N 2 F (w max ρ) 2 x ρ in µ s µ m 0,14 (7.88) Pour un faisceau de tubes alignés le facteur empirique F est F = [(t y - d)/d] 1 08 Re d,max (7.89) et pour un faisceau de tubes en quinconce avec F = (t x /d) [ ] (t y - d)/d (d/tx) Re d,max µ s = la viscosité pour la condition à la surface µ m = la viscosité pour la condition moyenne (7.90)

170 156 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE RESUME DU CHAPITRE 7 L'écoulement autour d'un objet se situant dans un champ sans limite est nommé écoulement externe. Dans un tel cas la couche limite sur la surface de l'objet se développe sans influence de l'entourage. La solution de BLASIUS pour la couche limite hydrodynamique laminaire est une solution de similitude, c'est-à-dire que le profil de vitesse u/u reste géométriquement similaire à partir du point d'arrêt de la plaque. Si le nombre de Reynolds dépasse la valeur critique, la couche limite devient turbulente après une zone de transition (Re crit = ). La distribution de vitesse dans la couche limite turbulente peut être décrite par une fonction exponentielle de (1/7) ou mieux par la distribution universelle de vitesse. Selon la solution de BLASIUS le coefficient de convection peut être défini par une relation du type Nu = C Re j Pr k. La température d'équilibre de la paroi est nommée température de récupération. Les relations pour la couche limite avec dissipation sont identiques à celles sans dissipation, mais le flux de chaleur se calcule avec la température de récupération. Il existe plusieurs relations empiriques pour la convection thermique pour les cas élémentaires comme l'écoulement sur la plaque plane, l'écoulement autour d'un cylindre ou l'écoulement transversal dans un faisceau de tubes. Les résultats se basent sur des mesures systématiques couvrant de larges domaines de nombres de Reynolds, et de nombres de Prandtl.

171 TRANSMISSION DE CHALEUR CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE 8.1 Convection pour un tube circulaire Ecoulement laminaire dans un tube Ecoulement turbulent dans un tube Transmission de chaleur dans un conduit circulaire 8.2 Corrélations pour la convection forcée pour un tube circulaire Ecoulement laminaire dans un tube circulaire Ecoulement turbulent dans un tube circulaire Convection forcée pour les tubes non circulaires u T

172 158 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE 8. CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE Quand le fluide passe dans un canal fermé nous parlons d'écoulement interne. Dans ce cas la couche limite sur les surfaces se développe d'abord librement puis, après une certaine distance (longueur d'entrée hydrodynamique x e,h ) les couches limites sur les parois opposées se rencontrent et remplissent toute la surface du canal (Fig. 8.1). Dans un tel cas on ne peut plus parler de couche limite car il n'existe plus d'écoulement non visqueux dans le conduit. Dans ce domaine nous désignons le profil de vitesse "développé". Les écoulements internes représentent des cas pratiques importants car on les trouve dans toutes sortes de conduits de section circulaire ou non circulaire. 8.1 CONVECTION POUR UN TUBE CIRCULAIRE ECOULEMENT DANS UN TUBE CIRCULAIRE Nous étudions l'écoulement dans un tube circulaire de section constante (A) avec des conditions d'entrée constantes u(r,0) = cte. L'écoulement dans le tube est caractérisé par le nombre de REYNOLDS Re d u m d ν = ρ u m d µ (8.1) Avec u m comme vitesse moyenne dans la section pour Re d 2300 l'écoulement est laminaire pour Re d 4000 l'écoulement est entièrement turbulent La longueur d'entrée hydrodynamique est pour l'écoulement laminaire x e h d lam 0,05 Re d (8.2) et pour l'écoulement turbulent dans le domaine 10 x e h d turb 60 (8.3)

173 TRANSMISSION DE CHALEUR 159 Dans l'écoulement incompressible la vitesse moyenne reste constante le long du tube et peut être calculée par le débit-masse (ṁ ) u m = ṁ ρ A (8.4) écoulement non visqueux écoulement visqueux u(r,0) u m u m r u(r,x) u(r,x) r 0 x x e,h profil de vitesse "développé" d r τ r+dr u(r,x) p r τ r p + d p d x dx d x Equilibre des forces sur l'élément circulaire Figure 8.1 Ecoulement laminaire dans un tube circulaire

174 160 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE ECOULEMENT LAMINAIRE DANS UN TUBE Dans la suite nous calculons le profil de vitesse de l'écoulement laminaire entièrement développé pour l'écoulement incompressible à propriétés physiques constantes. Dans ces conditions la vitesse radiale et le gradient dans la direction axiale restent constants v = 0 du dx = 0 (8.5) L'équation de quantité de mouvement pour un élément circulaire (Fig. 8.1) d'épaisseur (dr) est -τ r (2 π r dx) + τ r (2πrdx) + d[τ r (2πrdx)] dr dr + + p(2 π r dr) - p(2πrdr) + d[p(2πrdr)] dx dx = 0 (8.6) qui donne après simplification d(rτ r ) dr = r dp dx (8.7) Avec la loi de NEWTON pour la tension de cisaillement τ r = µ du dr (8.8) nous obtenons µ r d r du dr dr = dp dx (8.9) Comme le gradient de pression axial (dp/dx) est indépendant de r nous pouvons intégrer l'équation (8.9) selon r et obtenons

175 TRANSMISSION DE CHALEUR 161 u(r) = 1 µ dp dx r C 1 ln r + C 2 (8.10) ou avec les conditions aux limites u(r 0 ) = 0 et du dr r=0 = 0 u(r) = - 1 4µ dp dx r r r 0 2 (8.11) La relation (8.11) nous montre que le profil de vitesse de l'écoulement laminaire entièrement développé est parabolique. A partir de la distribution de vitesse selon (8.11) nous pouvons calculer par intégration la vitesse moyenne u m ρ r 2 0 π = 0 r 0u(r) ρ 2 π r dr u m = - 1 r 20 0 r 0 1 4µ dp dx r r r r dr u m = - r2 0 8µ dp dx (8.12) Introduite dans (8.11) nous obtenons le profil de vitesse adimensionnalisé u(r) u = 2 m 1 - r r 0 2 (8.13) Avec la définition du coefficient de perte ζ - dp dx d ρ u2 m 2 (8.14)

176 162 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,008 laminaire transitoire e/d = rugosité relative tubes étirés e ( µm) = 1,5 acier ordinaire 46 fonte 260 béton conduites lisses Re 10 8 d e/d 0,05 0,04 0,03 0,02 0,015 0,01 0,008 0,006 0,004 0,002 0,001 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0,0001 0, ,00001 Figure 8.2 Diagramme de MOODY pour les pertes de pression dans un tube

177 TRANSMISSION DE CHALEUR 163 on obtient à l'aide de (8.11) le coefficient de perte pour l'écoulement laminaire dans un tube ζ = 64 Re d (8.15) Nous définissons le coefficient de frottement sur la surface du tube avec la contrainte de frottement (τ s ) C f τ s ρ u2 m 2 (8.16) La relation entre les deux coefficients est avec τ s = 4µ u m r0 (8.17) C f = ζ 4 (8.18) La chute de pression dans un tube de longueur L est donnée par p = ζ L d ρ u2 m 2 (8.19) ECOULEMENT TURBULENT DANS UN TUBE Le profil de vitesse de l'écoulement turbulent développé dans un tube est plus plein que celui de l'écoulement laminaire. Les mesures ont montré que la loi du 1/7ème (voir (7.27)) donne une bonne approximation pour le profil de vitesse turbulent u u = max r 0 - r r 0 1/7 (8.20) Pour une meilleure approximation nous utilisons le profil universel selon (7.32).

178 164 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE La vitesse moyenne est donnée par u m 0,8 u max (8.21) et le coefficient de frottement par C f = τ s ρ u2 max 2 = 0,045 ν u max r 0 0,25 (8.22) Dans l'écoulement turbulent le coefficient de perte ζ est fortement influencé par la rugosité de la surface. Dans ce domaine nous distinguons trois zones différentes (voir Fig. 8.2). La conduite hydrauliquement lisse Si les inégalités de la surface ne dépassent pas l'épaisseur de la sous-couche laminaire on parle d'une surface hydrauliquement lisse. Dans ce cas la quantité de mouvement est transmise seulement par les contraintes surfaciques. Le coefficient de perte ζ dépend seulement du nombre de Reynolds et ζ = 0,316 Re d - 0,25 ζ = 0,184 Re d pour 10 4 < Re d < (8.23) pour < Re d < 10 6 (8.24) La conduite hydrauliquement partiellement rugueuse Dans ce domaine les forces de pression participent à côté des contraintes à la transmission de la quantité de mouvement. Pour ce domaine on peut appliquer la relation de PRANDTL 1 ζ = 2,0 log Re d ζ (e/d) Re d ζ - 0,8 (8.25)

179 TRANSMISSION DE CHALEUR 165 ou celle de COLEBROOK 1 ζ = 1,74-2,0 log 2 e d Re d ζ (8.26) La conduite hydrauliquement rugueuse Dans ce domaine la quantité de mouvement est transmise seulement par les forces de pression. Par conséquence le nombre de Reynolds n'influence pas le coefficient de perte. Pour ce domaine von KARMAN donne 1 ζ = 1,14 + 2,0 log d e (8.27) La relation pour conduite hydrauliquement rugueuse (8.27) est utilisée pour avec Re d > Re d-limite log Re d-limite = 2, ,29378 (log e/d) - 0, (log e/d) , (log e/d) 3 (8.28) Pour calculer le coefficient de convection pour la transmission de chaleur dans un conduit rugueux on peut utiliser la relation empirique de NORRIS (Nu d ) rugueuse (Nu d ) lisse = ζ rugueuse ζ lisse n (8.29) avec n = 0,68 Pr 0,215 (8.30)

180 166 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE TRANSMISSION DE CHALEUR DANS UN CONDUIT CIRCULAIRE Nous étudions la transmission de chaleur dans un tube avec température constante du fluide à l'entrée (T in ). La température de la paroi du tube est T s >T in. Après une certaine longueur (x e,th longueur d'entrée thermique) le profil de température reste constant. Elle est donnée pour l'écoulement laminaire par x e th d lam 0,05 Re d Pr (8.31) pour l'écoulement turbulent par x e th d turb 10 (8.32) Nous définissons la température moyenne par un bilan d'énergie ṁ c v T m = A ρ u c v T da donc T m = ρ u c v T da A (8.33) ṁ c v Pour c v =cte nous obtenons pour le tube circulaire T m = r 2 0u u m r 2 T r dr (8.34) 0 0 Il est important de noter que la température moyenne T m varie dans la direction x (à l'inverse de du m /dx = 0) dt m dx 0

181 TRANSMISSION DE CHALEUR 167 La loi de NEWTON peut être définie par la température T m q = α x (T s - T m ) (8.35) Le profil de température varie le long du tube en fonction de la transmission de chaleur mais dans la région du profil développé la forme adimensionnelle du profil reste constante. Avec T s (x) - T(r,x) T s (x) - T m (x) x = 0 (8.36) Nous pouvons obtenir les conditions (8.36) pour un flux de chaleur constant ( q s =cte) pour une température de surface constante (T s =cte) Pour calculer l'évolution de la température moyenne T m nous formulons l'équation d'énergie d Q conv + ṁ(c v T m +pv) - ṁ(c v T m +pv) + ṁ d(c v T m +pv) dx dx = 0 (8.37) où (p v) représente le travail de déplacement du fluide dans le tube. Après simplifications nous obtenons d Q conv = ṁ d(c v T m +pv) (8.38) Pour un gaz parfait, avec et p v = R T m (8.39) c p = c v + R (8.40) l'équation (8.38) devient d Q conv = ṁ c p dt m (8.41) Avec les conditions d'entrée (in) et de sortie (ex)

182 168 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE Q conv = ṁ c p (T m,ex - T m,in ) (8.42) Introduisant le flux de chaleur d Q conv = q s P dx (8.43) où P est le périmètre (pour le tube circulaire P=πd) avec (8.28) dt m dx = q s P ṁ c p = P ṁ c p α (T s - T m ) (8.44) La solution de (8.44) T m (x) dépend des conditions thermiques de la surface (T s ). SOLUTION POUR q s (x) = cte La chaleur transmise par convection est selon (8.43) Q conv = q s P L (8.45) et la variation de la température moyenne T m (x) selon (8.44) dt m dx = q s P ṁ c p = cte (8.46) nous obtenons T m (x) = T m,in + q s P ṁ c p x (8.47) La température moyenne varie donc de façon linéaire le long du tube.

183 TRANSMISSION DE CHALEUR 169 q = cte s T s T m x x e,th r T(r,x) T in Ts Ts Ts T s Profil de température pour q s =cte T = cte s T m q s x x e,th r T(r,x) T in T s T s T s T s Profil de température pour T s =cte Figure 8.3 Profils de température dans un tube circulaire

184 170 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE SOLUTION POUR T s (x) = cte Avec la définition T = T s - T m (8.48) nous pouvons écrire (8.39) sous la forme dt m dx = - d( T) dx = P ṁ c p α T (8.49) L'intégrale pour la longueur 0<x<L donne T exd( T) T T in = - L P ṁ c p 0 α dx (8.50) ln T ex T in = - P L ṁ c p 1 L 0 L α dx (8.51) Avec la valeur moyenne du coefficient de convection ᾱ L ou ln T ex T in T ex T in = - P L ṁ c p ᾱ L (8.52a) = T s - T m ex T s - T = e - P L α L ṁ c p (8.52b) m in Pour la chaleur totale transmise Q conv nous obtenons à partir de (8.42) Q conv = ṁ c p [(T s -T m,in ) - (T s -T m ex )] = ṁ c p ( T in - T ex ) (8.53) avec (ṁ c p ) selon (8.52a) Q conv = ᾱ L P L T m, log (8.54)

185 TRANSMISSION DE CHALEUR 171 T m, log représente la différence de température logarithmique T m, log T ex - T in ln T ex T in (8.55) 8.2 CORRELATIONS POUR LA CONVECTION FORCEE POUR UN TUBE CIRCULAIRE Seules les relations pour l'écoulement laminaire peuvent être calculées théoriquement. Les corrélations pour la transmission de chaleur par convection dans un écoulement turbulent sont obtenues par des essais systématiques. Dans la suite sont rassemblées les relations pour différents types d'écoulements ECOULEMENT LAMINAIRE DANS UN TUBE CIRCULAIRE pour T s (x) = cte et un profil développé selon NUSSELT Nu d α d λ = 3,66 (8.56) La relation de HAUSEN inclut l'influence de la longueur L Nu d = 3, d L Re d Pr d L Re d Pr 0 66 (8.57) Pour les tubes "courts" avec influence des longueurs d'entrée (x e,h et x e,th ) SEIDER et TATE donnent Nu d = 1,86 Re d Pr L d 0,33 µ µ s 0,14 (8.58)

186 172 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE pour T s = cte 0,48 < Pr < ,0044 < (µ/µ s ) < 9,75 (d/l) Re d Pr > 10 propriétés pour T m pour q s (x) = cte Nu d = 4,36 (8.59) ECOULEMENT TURBULENT DANS UN TUBE CIRCULAIRE Pour Pr 1 nous pouvons appliquer la relation de von KARMAN Nu d = ζ 8 Re d Pr (8.60) ζ 8 {(Pr-1)+ln[ (Pr-1)]} avec le coefficient de perte ζ selon (8.23) ou (8.24) pour la conduite lisse. Il est important de souligner que la relation (8.60) a été développée pour des tubes lisses et ne peut pas être appliquée aux tubes rugueux (voir équation (8.29)). ou la relation plus simple de COLBURN Nu d = 0,0395 Re d 0,75 Pr 0,33 pour 10 4 < Re d < (8.61) Nu d = 0,023 Re d 0,8 Pr 0,33 pour < Re d < 10 6 (8.62) ou la relation de DITTUS-BOELTER Nu d = 0,023 Re 0,8 d Pr n (8.63) n = 0,4 pour T s > T m n = 0,3 pour T s < T m

187 TRANSMISSION DE CHALEUR 173 0,7 < Pr < < Re d < 10 6 T s - T m < 6 C pour les liquides T s - T m < 60 C pour les gaz propriétés pour T m Les deux dernières relations peuvent donner des erreurs allant jusqu'à ± 20 %. Une meilleure approximation est donnée par la relation de PETUKHOV Nu d = µ n ζ µ s 8 Re d Pr ζ (Pr 2/3-1) (8.64) ζ = (1,82 log10 Re d - 1,65) - 2 n = 0,11 pour les liquides, T s > T m n = 0,25 pour les liquides, T s < T m n = 0 pour les gaz 0,5 < Pr < 200 ( 2000 pour une précision de 10%) 10 4 < Re d < T s - T m < 6 C pour les liquides 0 < µ/µ s < 40 propriétés pour T m Les relations (8.63) à (8.64) sont valables pour L/d 60. Pour les tubes courts il faut tenir compte de la longueur d'entrée. Dans ce cas, il est judicieux d'utiliser la relation de NUSSELT Nu d = 0,036 Re 0,8 d Pr 0,33 d L 0,055 (8.65) pour 10 < (L/d) < 400

188 174 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE CONVECTION FORCEE POUR LES TUBES NON CIRCULAIRES Pour les tubes à section non circulaire, nous pouvons utiliser les relations des tubes circulaires en définissant le diamètre hydraulique comme d h = 4 A P (8.66) Ecoulement laminaire Pour des sections rectangulaires nous définissons avec Nu d,h = α d h λ (8.67) d h = 2 a b a + b (8.68) pour les sections avec coins les nombres de NUSSELT donnés dans le tableau 8.1 donnent de meilleurs résultats. Ecoulement turbulent Pour des écoulements turbulents (Re d > 2300) nous remplaçons Nu d et Re d par Nu d,h et Re d,h. Dans ce cas, la relation de DITTUS-BOELTER donne des résultats satisfaisants. Pour des tubes concentriques le diamètre hydraulique est défini par d h = d ext - d int (8.69)

189 TRANSMISSION DE CHALEUR 175 RESUME DU CHAPITRE 8 Quand le fluide passe dans un canal fermé nous parlons d'écoulement interne. Dans un tel cas on ne peut plus parler de couche limite car il n'existe plus d'écoulement non visqueux dans le conduit. Après une longueur d'entrée le profil de vitesse ne varie plus, on dit qu'il est "développé". L'écoulement dans un tube est caractérisé par le nombre de Reynolds (Re d ): - pour Re d 2300 l'écoulement est laminaire - pour Re d 4000 l'écoulement est entièrement turbulent Le profil de vitesse de l'écoulement laminaire entièrement développé est parabolique. Le profil de vitesse de l'écoulement turbulent développé dans un tube est plus plein que celui de l'écoulement laminaire et suit la loi du 1/7ème. La rugosité de la surface n'influence pas le coefficient de perte pour l'écoulement laminaire. Pour l'écoulement turbulent par contre l'influence est importante. Le profil de température dans un tube chauffé est développé après une longueur d'entrée. Les longueurs d'entrée hydrodynamique et thermique ne sont en général pas identiques. La température moyenne de fluide dans un tube varie de façon linéaire pour le cas de flux de chaleur constant q s (x) = cte. La température moyenne de fluide dans un tube varie de façon exponentielle pour le cas de température de parois constante T s (x) = cte. Seules les relations pour l'écoulement laminaire peuvent être calculées théoriquement. Les corrélations pour la transmission de chaleur par convection dans un écoulement turbulent sont obtenues par des essais systématiques. Elles sont exprimées en général dans la forme Nu d = f(re d, Pr).

190 176 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE Pour les tubes à section non circulaire, nous pouvons utiliser les relations des tubes circulaires en définissant le diamètre hydraulique.

191 TRANSMISSION DE CHALEUR LA CONVECTION LIBRE 9.1 Convection libre sur une paroi plane verticale 9.2 Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces externes 9.3 Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces internes

192 178 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE 9. CONVECTION LIBRE La transmission de chaleur entre un fluide et une paroi est appelée convection libre ou naturelle quand le mouvement du fluide est provoqué uniquement par des forces d'archimede qui dépendent du gradient de densité. L'origine de la force d'ascension (d'archimède) est normalement la force de gravité mais dans les machines rotatives elle dépend de la force centrifuge. Dans la plupart des cas le gradient de densité résulte d'une différence de température dans le fluide. Les vitesses des écoulements naturels sont généralement faibles, il en résulte que la chaleur transmise est généralement plus faible que dans le cas des écoulements forcés. La convection libre est considérée comme un phénomène important dans de nombreux cas techniques (p.ex. chauffage par radiateur, "pipelines", appareils électroniques, mouvements atmosphériques et mouvements de la mer, etc.). La Fig. 9.1 montre l'exemple d'une condition instable (a) et d'une condition stable (b) d'un fluide stratifié. Dans le cas (a) la distribution de densité provoque un mouvement dans le fluide qui établit la condition stable. Dans le cas (b) la y y ρ(y) T(y) T(y) ρ(y) a) stratification instable b) stratification stable Figure 9.1 températures différentes Conditions dans un fluide entre deux parois horizontales à

193 TRANSMISSION DE CHALEUR 179 x u(y) T > T ρ < ρ T s > T u(y) y y T ρ u = 0 x T ρ u = 0 y a) convection libre sur un cylindre, b) convection libre sur une paroi cas (I) verticale, cas (II) T ρ u = 0 y T > T ρ < ρ u(y) c) décharge d'un jet chaud dans un fluide, cas (I) (I) (II) écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini) écoulement avec conduction naturelle le long d'une paroi Figure 9.2 Modes de convection (libre ou naturelle)

194 180 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE distribution de densité entraîne une condition de stabilité qui se traduit par un fluide sans mouvement. Dans ce cas la transmission de chaleur entre les deux parois s'effectue par conduction. Nous distinguons deux types de conduction libre: écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini) écoulement avec conduction naturelle guidé par une paroi La Fig. 9.2 montre des exemples pour les deux types de conduction libre. 9.1 CONVECTION LIBRE SUR UNE PAROI PLANE VERTICALE Nous considérons la plaque plane verticale selon Fig. 9.2-b dont la température est plus élevée que le fluide qui l'entoure (T s >T ). Les forces d'ascension (force d'archimède) provoquent un écoulement montant le long de la paroi. La vitesse sur la surface est nulle (u=0) à cause de la viscosité du fluide. Après avoir atteint un maximum, la vitesse tend de nouveau vers u=0 à la frontière de la couche limite. La couche limite se développe d'abord de façon laminaire et devient turbulente après une certaine longueur. Pour analyser la transmission de chaleur par convection naturelle il faut d'abord formuler l'équation de mouvement de la couche limite qui est définie par les équations de quantité de mouvement et d'énergie. La force de gravité réagit dans la direction x. Nous admettons un fluide incompressible dont les propriétés sont constantes exceptée la densité, qui provoque la force d'archimède (approximation de BOUSSINESQ). Avec les simplifications mentionnées nous pouvons appliquer l'équation (6.16) pour la couche limite. u u x + v u y = - 1 ρ p x + F m,x + ν 2 u y 2 (9.1) Sous l'influence de la gravitation la force d'ascension par unité de volume est F m,x = - ρ g (9.2) Pour l'équation de quantité de mouvement dans la direction x nous obtenons ainsi u u x + v u y = - 1 ρ p x - ρ g + ν 2 u y 2 (9.3)

195 TRANSMISSION DE CHALEUR 181 Le gradient de pression dans la direction x résulte de la hauteur donc du poids par unité de surface de l'élément fluide p x = - ρ g (9.4) Introduit dans (9.3) nous obtenons u u x + v u y = g ρ (ρ - ρ) + ν 2 u y 2 (9.5) Avec le facteur de dilatation β β = 1 ρ ρ T p (9.6) qui représente la variation de la densité en fonction de la température à pression constante, dont la formule approchée est ou β - 1 ρ ρ - ρ T - T (9.7) (ρ - ρ) ρ β (T - T ) (9.8) qui, introduite dans (9.5), donne pour la couche limite de la conduction libre u u x + v u y = g β (T - T ) + ν 2 u y 2 (9.9) Notons que pour la définition de la couche limite il faut connaître la distribution de la température. L'équation d'énergie pour la conduction libre est identique à celle pour la convection forcée (voir (6.32)) dans laquelle la dissipation (ν c p )( v/ y) 2 peut être négligée u T x + v T y = Λ 2 T y 2 (9.10) Il existe plusieurs approches pour la convection sur la plaque verticale. Dans la suite nous présentons la solution d'ostrach (1953). Les conditions aux limites sont

196 182 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE y = 0 : u = v = 0, T = T s y = : u = 0, T = T Nous introduisons le paramètre de similitude η 1 2 Gr x 0,25 y x (9.11) défini par le nombre de GRASHOFF Gr x x 3 g β (T s - T f ) ν 2 (9.12) Le nombre de Grashoff peut être interprété physiquement comme la relation entre la force d'ascension et les forces visqueuses dans un système avec convection libre. Il joue un rôle similaire à celui du nombre de Reynolds pour la convection forcée. Les vitesses sont exprimées par une fonction de courant ψ (x,y) = F(η) 4 ν Gr (9.13) Nous obtenons ainsi pour les composantes de la vitesse u = ψ y = ψ η η y = 2 ν x Gr x 0,5 F'(η) (9.14) v = - ψ x = ψ η η x = ν x 2 Gr x 0,25 [ η F'(η) - 3 F(η) ] (9.15) avec la définition de la température adimensionnelle T* = T - T f T s - T f (9.16) Nous obtenons pour les équations (9.9) et (9.10) après un calcul intermédiaire considérable deux équations ordinaires pour F(η) F''' + 3 F F'' - 2 (F') 2 + T* = 0 (9.17) T*'' + 3 Pr F T*' = 0 (9.18)

197 TRANSMISSION DE CHALEUR 183 Pour les conditions aux limites F'(0) = 0, T*(0) = 1 F'( ) = 0, T*( ) = 0 Le gradient de T* sur la paroi pour le coefficient de convection à la position x est donné par α x = - λ T y y=0 T s - T = 1 2 λ x Gr x 0,25 f(pr) (9.19) Pour la paroi de longueur L nous obtenons après intégration sur une longueur L α L = λ L Gr L 0,25 f(pr) (9.20) Dans la forme adimensionnelle les valeurs locales(x) et la valeur moyenne pour x=l sont données par Nu x = α x x λ = 1 2 Gr x 0,25 f(pr) (9.21) Nu L = α L L λ = Gr L 0,25 f(pr) (9.22) Pour la fonction f(pr) OSTRACH donne f(pr) = 0,67 Pr 0,5 (0,861 + Pr) -0,25 (9.23)

198 184 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE 0,3 0,72 F'(η) 0,2 Pr = 1 2 0, Profil de vitesse pour la convection libre dans la couche limite laminaire sur une plaque verticale 1 T*(η) 0,6 0,4 0, ,72 Pr = Profil de température pour la convection libre dans la couche limite laminaire sur une plaque verticale Figure 9.3 Solution pour la paroi verticale selon OSTRACH

199 TRANSMISSION DE CHALEUR 185 qui, introduite dans (9.21, 9.22), donne finalement Nu x = 0,478 Gr 0,25 x Pr 0,5 ( Pr ) -0,25 (9.24) Nu L = 0,637 Gr 0,25 L Pr 0,5 ( Pr ) -0,25 (9.25) La figure 9.3 montre la distribution de vitesse et de température dans la couche limite selon OSTRACH. Pour simplifier les relations des problèmes de convection libre, on réunit souvent le produit (Gr Pr), c'est le nombre de RAYLEIGH Ra x 3 g β (T s - T f ) ν 2 Pr (9.26) qui, introduit dans (9.24) et (9.25) donne finalement Nu x = 0,478 Ra x 0, Pr -0,25 (9.27) Nu L = 0,637 Ra 0,25 L Pr -0,25 (9.28) Convection libre dans la couche limite turbulente La couche limite qui se développe sur une plaque verticale est d'abord généralement laminaire sur une certaine longueur et, après un point de transition, acquiert un caractère turbulent. Le point de transition dépend de la relation entre les forces d'ascension et les forces visqueuses, donc du nombre de Grashoff resp. Rayleigh. Le nombre de Grashoff critique pour la transition laminaire turbulente est Gr x,crit et le nombre de Rayleigh critique pour la transition laminaire turbulente est Ra x,crit 10 9 La transmission de chaleur par convection libre sur la paroi verticale dans la couche limite turbulente est définie par

200 186 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE Nu x = 0,0295 Gr 0,4 x Pr 0,466 ( Pr 0 66 ) - 0,4 (9.29) Nu L = 0,0246 Gr 0,4 L Pr 0,466 ( Pr 0 66 ) - 0,4 (9.30) 9.2 CORRELATIONS EMPIRIQUES POUR LA CONVECTION LIBRE SUR LES SURFACES EXTERNES La solution pour la plaque plane verticale nous montre la nature de la convection libre et permet de définir les paramètres de similitude (Gr). Pour d'autres cas nous devons recourir aux expériences pour obtenir les coefficients de convection. Il est également difficile d'effectuer des mesures pour des écoulements à convection libre, considérant les faibles vitesses mises en jeu (anémomètre à fil chaud, bulles d'hydrogène, anémomètre à Laser). Pour la distribution de température on utilise la méthode d'interférométrie (Mach-Zehnder Interférométrie, Holographie à Laser). Les corrélations pour l'application pratique ont généralement la forme suivante Nu L = _ α L λ = C Ra L n (9.31) Ra L = Gr L Pr = g β (T s -T ) L 3 ν Λ (9.32)

201 TRANSMISSION DE CHALEUR 187 configuration équation limites +q -q plaque verticale (9.33) - -q (9.36) 4 10 < Ra < 10 L 7 +q (9.37) 7 11 L 10 < Ra < 10 plaque horizontale +q -q (9.38) 5 10 < Ra < 10 L 10 plaque horizontale ϕ +q plaque inclinée -q ϕ (9.33) (9.34) 9 Ra > 10, ϕ < 60 L 9 Ra L< 10, ϕ > 60 g g cos ϕ +q cylindre horizontal (9.39) < Ra < 10 d +q sphère (9.40) Ra < 10 d Pr > 0,7 11 Tableau 9.1 géométries Corrélations empiriques pour convection libre pour différentes

202 188 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE PLAQUE VERTICALE Le nombre de Nusselt est défini selon CHURCHILL et CHU pour tout le domaine de Ra L par Nu L = Ra L [ 1+ (0 492 / Pr) ] 2 (9.33) Pour le domaine laminaire (9.34) donne une meilleure approximation Nu L = Ra L [ 1+ (0 492 / Pr) ] (0 < Ra L < 10 9 ) (9.34) PLAQUE HORIZONTALE Pour cette configuration la corrélation pour Nu dépend de la position de la surface en contact avec le fluide et de la direction du fluide de chaleur (chauffé ou refroidi). La longueur caractéristique est définie par L A s P (9.35) Pour la surface supérieure de la plaque chauffée ou inférieure de la plaque refroidie et 0 25 Nu L = 0,54 Ra L 0 33 Nu L = 0,15 Ra L (10 4 < Ra L < 10 7 ) (9.36) (10 7 < Ra L < ) (9.37) Pour la surface inférieure de la plaque chauffée ou supérieure de la plaque refroidie 0 25 Nu L = 0,27 Ra L (10 5 < Ra L < ) (9.38)

203 TRANSMISSION DE CHALEUR 189 PLAQUE INCLINEE Pour l'écoulement laminaire l'équation (9.34) peut être utilisée avec remplacement de (g) par (g cos ϕ) dans la définition de Ra L. Pour l'écoulement turbulent nous pouvons utiliser l'équation (9.33) sans modification. CYLINDRE HORIZONTAL Cette géométrie représente un cas important et a été étudiée intensivement. Nous présentons ici la relation de CHURCHILL et CHU qui est valable dans un large domaine de Ra Nu d = Ra d [ 1+ (0 559 / Pr) ] 2 (10-5 < Ra d < ) (9.39) SPHERE CHURCHILL recommande pour Pr>0,7 et Ra d <10 11 la relation Nu d = Ra d [ 1+ (0 469 / Pr) ] (9.40) 9.3 CORRELATIONS EMPIRIQUES POUR LA CONVECTION LIBRE SUR LES SURFACES INTERNES CAVITE RECTANGULAIRE Dans la cavité horizontale (ϕ=0 ) les conditions sont instables pour (voir Fig. 9.4) Ra L = g β (T 1 -T 2 ) L 3 ν Λ > 1708 (9.41) et il existe une transmission de chaleur par convection libre. Le nombre de Nusselt est pour ce cas selon GLOBE et DROPKIN

204 190 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE Nu L = _ α L λ = 0,069 Ra 0 33 L Pr L (3*10 5 < Ra L < 7*10 9 ) (9.42) Les propriétés physiques sont définies à la température T m = (T 1 +T 2 )/2. Pour la cavité verticale (ϕ=90 ) Nu L = 0,18 Pr Pr Ra L 0,29 (9.43) pour 1 < (H/L) < 2 et 10-3 < Pr < < (Ra L Pr)/(0,2 + Pr) Nu L = 0,22 Pr Pr Ra L 0,28 H L (9.44) pour 2 < (H/L) < 10 et Pr < 10 5 Ra L < Nu L = 0,42 Pr 0,012 Ra 0 25 L ( H L) -0,3 (9.45) pour 10 < (H/L) < 40 1 < Pr < < Ra L < 10 9 Pour des cavités inclinées (p.ex. collecteur solaire) Nu L = 1 + 1, Ra L cos ϕ 1708 (sin 1 8 ϕ) Ra L cos ϕ + + Ra L cos ϕ (9.46) pour (H/L) > 12 et 0 < ϕ < ϕ*.

205 TRANSMISSION DE CHALEUR 191 L'angle critique est une fonction de H/L (H/L) >12 ϕ* Quand l'expression entre crochets [ ] est négative, on remet à zéro. CYLINDRES CONCENTRIQUES Les relations pour la transmission par convection entre de longs cylindres concentriques est selon RAITHBY et HOLLAND avec λ eff λ = 0,386 Pr Pr 0 25 (Rac *) 0 25 (9.47) Ra c * = [ln (d 2 / d 1 )] 4 L 3 ( d d ) Ra L (Ra L 10 2 < Ra c * < 10 7 ) (9.48) T 2 H T 2 L T 1 q T 1 g ϕ d 1 d 2 L cavité rectangulaire cylindres concentriques Figure 9.4 surfaces internes Définition des dimensions géométriques pour la convection libre sur les

206 192 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE RESUME DU CHAPITRE 9 La transmission de chaleur entre un fluide et une paroi est appelée convection libre ou naturelle quand le mouvement du fluide est provoqué uniquement par des forces d'archimède qui dépendent du gradient de densité. Nous distinguons deux types de conduction libre: - écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini) - écoulement avec conduction naturelle guidé par une paroi Le paramètre important pour la convection libre est le nombre de Grashoff. Il joue un rôle similaire à celui du nombre de Reynolds pour la convection forcée. Pour simplifier les relations des problèmes de convection libre, on réunit souvent le produit (Gr Pr), c'est le nombre de Rayleigh. Il existe une solution analytique pour le cas fondamental de la convection libre sur une paroi plane verticale. La vitesse tend vers u=0 à la frontière de la couche limite. La couche limite se développe d'abord de façon laminaire et devient turbulente après une certaine longueur. Le nombre de Grashoff critique pour la transition laminaire turbulente est Gr x,crit et le nombre de Rayleigh critique pour la transition laminaire turbulente est Ra x,crit Il existe des corrélations empiriques pour la convection libre sur les surfaces externes et les surfaces internes qui sont définies pour les géométries données par une relation du type Nu = f( Gr, Pr) ou Nu = f( Ra, Pr).

207 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 1 ANNEXE

208 A2 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE matériau temp. de ρ c p λ fusion [K] [kg/m 3 ] [J/(kg K] [W/(m K)] METAUX aluminium pur duralumin (AL-Cu) chrome ,7 cobalt ,2 cuivre pur bronze commercial (90% Cu, 10% Al) or fer pur ,2 acier au carbone (Mn<1%, Si<0.1%) ,5 magnésium nickel pur ,7 nichrome (80% Ni, 20% Cr) Tableau A.1-1 Propriétés thermiques des matériaux à 20 C

209 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 3 matériau temp. de ρ c p λ fusion [K] [kg/m 3 ] [J/(kg K] [W/(m K)] inconel X ,7 (73% Ni, 15% Cr, 6.7% Fe) silicium argent étain ,6 titane ,9 zinc carbone amorphe ,60 Tableau A.1-2 Propriétés thermiques des matériaux à 20 C

210 A4 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE matériau temp. de ρ c p λ fusion [K] [kg/m 3 ] [J/(kg K] [W/(m K)] SOLIDES NON METALLIQUES asphalte ,062 bakélite ,4 brique réfractaire au carbone ,5 " ,0 brique au chrome ,3 " 823 2,5 " ,0 argile réfractaire, brûlée 1600 K ,0 " ,1 " ,1 argile réfractaire, brûlée 1725 K ,3 " ,4 " ,4 brique en argile réfractaire , , ,8 coton ,06 Tableau A.1-3 Propriétés thermiques des matériaux

211 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 5 matériau temp. de ρ c p λ fusion [K] [kg/m 3 ] [J/(kg K] [W/(m K)] verre plaque (chaux de soude) 300 2, ,4 pyrex 300 2, ,4 glace , ,03 roche 2,79 quartz ,38 caoutchouc, vulcanisé mou ,13 dur ,16 téflon ,35 bois, grain croisé balsa ,055 cyprès ,097 sapin ,11 chêne ,17 pin jaune ,15 pin blanc ,11 Tableau A.1-4 Propriétés thermiques des matériaux

212 A6 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE matériau temp. de ρ c p λ fusion [K] [kg/m 3 ] [J/(kg K] [W/(m K)] ISOLATIONS amiante 469 0,155 plaques de liège 160 0,043 laine de verre 24 0,0542 " 96 0,0377 laine minérale 64 0,0388 " 192 0,0391 Tableau A.1-5 Propriétés des matériaux à 20 C

213 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 7 GAZ à p = 1 bar T ρ c p µ 10 6 λ 10 3 Λ 10 6 Pr (K) (kg/m 3 ) (J/kg K) (N s/m 2 ) (W/m K) (m 2 /s) - air 300 1, ,46 26,3 22,5 0, , ,44 66, , , , ,672 ammoniac (NH 3 ) 300 0, ,15 24,7 16,6 0, , ,3 52,5 51,9 0,813 bioxyde de carbone (CO 2 ) 300 1, ,9 16, , , ,1 32,5 30,1 0,725 hélium (He) 300 0, , , , , ,654 fréon (C Cl 2 F 2 ) ,52 8,34 0, ,33 9,35 0, ,9 11,44 0, ,41 13,6 0,754 Tableau A.2-1 Propriétés thermophysiques des materiaux

214 A8 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE LIQUIDES SATURES T ρ c p µ 10 2 λ 10 3 Λ 10 7 Pr (K) (kg/m 3 ) (J/kg K) (N s/m 2 ) (W/m K) (m 2 /s) - huile de machine , , , , , , , , , fréon (C Cl 2 F 2 ) ,8 0,9781 0, ,564 3,5 mercure (Hg) ,1393 0, ,3 0,0248 EAU saturée T ρ c p µ 10 3 λ Λ 10 7 Pr ( C) (kg/m 3 ) (J/kg K) (N s/m 2 ) (W/m K) (m 2 /s) , ,791 0,5619 1, , , ,003 0,5996 1,4362 6, , ,6531 0,6286 1,5158 4, , ,4668 0,6507 1,5812 3, , ,3550 0,6668 1,6359 2, , ,2822 0,6775 1,6776 1, , ,1336 0,6634 1,7056 0, , ,0858 0,5450 1,3290 0,91 Tableau A.2-2 Propriétés thermophysiques des materiaux