Autour de problèmes de plongements de graphes

Transcription

1 Laurent Beaudou Institut Fourier Université Joseph Fourier Grenoble, France Directeur de thèse : Sylvain Gravier

2 Métro nouméen St-Herblain Pouembout La Tontouta-aéroport Poum Nouville Baie des citrons Hienghène Baie de l orphelinat Gurujele Tjibaou Mont-Dore

3 Métro nouméen St-Herblain Pouembout La Tontouta-aéroport Poum Nouville Baie des citrons Hienghène Baie de l orphelinat Gurujele Tjibaou Mont-Dore

4 Métro nouméen Station : Hienghène Quai Prochain arrêt 1 Nouville 2 Poum 3 Tjibaou 4 Mont-Dore

5 Métro nouméen La Tontouta-aéroport Nouville Baie de l orphelinat Mont-Dore

6 Métro nouméen Poum Baie de l orphelinat Tjibaou Mont-Dore

7 Métro nouméen Pouembout Poum Nouville Baie des citrons Hienghène Mont-Dore

8 Métro nouméen St-Herblain Poum Baie des citrons Gurujele

9 Métro nouméen St-Herblain Pouembout Baie des citrons

10 Métro nouméen St-Herblain Pouembout La Tontouta-aéroport Poum Nouville Baie des citrons Hienghène Baie de l orphelinat Gurujele Tjibaou Mont-Dore

11 Métro nouméen St-Herblain Pouembout Tontouta, Pouembout, St-Herblain La Tontouta-aéroport Poum Nouville Baie des citrons Hienghène Baie de l orphelinat Gurujele Tjibaou Mont-Dore

12 Métro nouméen Tontouta, Pouembout, St-Herblain La Tontouta-aéroport Nouville Baie de l orphelinat Mont-Dore

13 Métro nouméen Tontouta, Pouembout, St-Herblain Pouembout La Tontouta-aéroport Nouville Baie de l orphelinat

14 Métro nouméen St-Herblain Pouembout Tontouta, Pouembout, St-Herblain La Tontouta-aéroport Poum

15 Métro nouméen Tontouta, Pouembout, St-Herblain St-Herblain Pouembout Baie des citrons

16 Métro nouméen St-Herblain Pouembout La Tontouta-aéroport Poum Nouville Baie des citrons Hienghène Baie de l orphelinat Gurujele Tjibaou Mont-Dore

17 Métro nouméen

18 Métro nouméen

19 Métro nouméen d=2 d=3 d=3

20 Plongement a φ(b) b c d φ φ(c) φ(a) e φ(e) φ(d) E F

21 Plongement a φ(b) b c d φ φ(c) φ(a) e φ(e) φ(d) E,R F,R

22 Plongements de graphes Combinatoire : sommets vers sommets

23 Plongements de graphes Combinatoire : sommets vers sommets P 2 dans C 4 P 3 dans C 4 a a b c φ(b) φ(c) φ(a) b c φ(b) φ(c) φ(a) φ(d) d

24 Plongements de graphes Topologique : sommets et arêtes vers R 2 et courbes {v 1...v 4 } {e 1...e 6 } v 1 v 2 v 3 v 4 e e e e e e

25 Plongements de graphes Topologique : sommets et arêtes vers R 2 et courbes {v 1...v 4 } {e 1...e 6 } v 1 v 2 v 3 v 4 e e e e e e

26 Plongements de graphes Topologique : sommets et arêtes vers R 2 et courbes {v 1...v 4 } {e 1...e 6 } v 1 v 2 v 3 v 4 e e e e e e

27 Quelles questions? Décision (E,R E ) se plonge-t-il dans (F,R F )? algorithmes (constructifs ou non) caractérisations structurelles Optimisation Définir une fonction de coût minimiser le coût du plongement si non-plongeable, minimiser la non-plongeabilité

28 Cadastre Combinatoire Topologique structure cliques dans Hamming planarité du produit par K 2 Décision graphesl 1 Optimisation distorsion plongement dans bouteille de Klein autres surfaces produit zippé

29 Cadastre Combinatoire Topologique structure cliques dans Hamming planarité du produit par K 2 Décision graphesl 1 Optimisation distorsion plongement dans bouteille de Klein autres surfaces produit zippé

30 Cadastre Combinatoire Topologique structure cliques dans Hamming planarité du produit par K 2 Décision graphesl 1 Optimisation distorsion plongement dans bouteille de Klein autres surfaces produit zippé

31 Métrique de graphe e f c d g a b

32 Métrique de graphe c e d f g af -chemin a b

33 Métrique de graphe e f af -chemin c d g af -géodésique a b

34 Métrique de graphe e f af -chemin c a d b g af -géodésique non-unique

35 Métrique de graphe H isométriquement plongeable dans G d H (u, v) = d G (φ(u),φ(v)) P 2 dans C 4 P 3 dans C 4 a a b c φ(b) φ(c) φ(a) b c φ(b) φ(c) φ(a) φ(d) d

36 Métrique de graphe H isométriquement plongeable dans G d H (u, v) = d G (φ(u),φ(v)) P 2 dans C 4 P 3 dans C 4 a a b c φ(b) φ(c) φ(a) b c φ(b) φ(c) φ(a) φ(d) d

37 0

38 0 1

39 0 1

40

41

42

43

44

45

46 Métrique de graphe H isométriquement plongeable dans G d H (u, v) = d G (φ(u),φ(v)) cube partiel : isométriquement plongeable dans un hypercube graphe de Hamming partiel : isométriquement plongeable dans un graphe de Hamming

47 Pourquoi Hamming?

48 Pourquoi Hamming?

49 Pourquoi Hamming? d =

50 Pourquoi Hamming? d = d = d = d = d = d = 4

51 Pourquoi Hamming?

52 Personnages principaux Djoković, 1973 R. Graham et H.O. Pollack, 1971 V. Chepoi et C. Tardif, 1994 B. Brešar et S. Klavžar, 2002 S. Gravier, S. Klavžar et M. Mollard, 2003 Ce travail, 2007

53 Subdivision de graphe Ajout de sommets sur les arêtes w 3 w 3 w 4 u w 2 w 4 u w 2 w 5 w 1 w 5 w 1

54 Subdivision de graphe S(G) : chaque arête subdivisée une fois w 1 u w 2 w 3 S(K 4 )

55 Caractérisations précédentes relation de Djoković-Winkler : e = xy et f = uv, eθf si d(x, u) + d(y, v) d(x, v) + d(y, u). l C cycle pair x u e, f opposées alors eθf y e f v

56 Caractérisations précédentes relation de Djoković-Winkler : e = xy et f = uv, eθf si d(x, u) + d(y, v) d(x, v) + d(y, u). l C cycle pair x u e, f opposées alors eθf y e f v

57 Caractérisations précédentes relation de Djoković-Winkler : e = xy et f = uv, eθf si d(x, u) + d(y, v) d(x, v) + d(y, u). C cycle impair f, g en face de e alors eθf eθg e f g

58 Caractérisations précédentes Théorème 1 [Winkler 84] G un graphe, c est un graphe de Hamming partiel ssi Θ = Θ Winkler, Isometric embeddings in products of complete graphs, Discrete Appl. Math., 7 (1984),

59 Théorèmes obtenus Théorème 2 [B., Gravier, Meslem 08] G une subdivision de K n, G est un cube partiel ssi G S(K n ) ou G a un sommet universel et est biparti. B., Gravier, Meslem, Isometric embeddings of subdivided complete graphs in the hypercube, SIAM J. Discrete Math., 22 (2008).

60 Théorèmes obtenus Théorème 2 [B., Gravier, Meslem 08] G une subdivision de K n, G est un cube partiel ssi G S(K n ) ou G a un sommet universel et est biparti.

61 Théorèmes obtenus Théorème 3 [B., Gravier, Meslem 09] G une clique subdivisée, c est un graphe de Hamming partiel ssi c est un cube partiel ou c est la clique K n. + caractérisation pour les roues subdivisées. B., Gravier, Meslem, Subdivided graphs as isometric subgraphs of Hamming graphs, European J. Combin., 30 (2009).

62 Théorèmes obtenus

63 Éléments de preuve Graphe de Hamming partiel coloration des arêtes.

64 Éléments de preuve Graphe de Hamming partiel coloration des arêtes.

65 Éléments de preuve Graphe de Hamming partiel coloration des arêtes.

66 Éléments de preuve Proposition 4 [Wilkeit 90] G Hamming partiel, alors G biparti G cube partiel. Wilkeit, Isometric embeddings in Hamming graphs, J. Combin. Theory Ser. B, 50 (1990)

67 Éléments de preuve Si G n est pas biparti, alors il contient un K 3.

68 Éléments de preuve Si G n est pas biparti, alors il contient un K 3.

69 Éléments de preuve Si G n est pas biparti, alors il contient un K 3.

70 Éléments de preuve Si G n est pas biparti, alors il contient un K 3.

71 Outil de construction Expansion sacs isométriques instersections non-vides couverture du graphe

72 Outil de construction

73 Outil de construction

74 Outil de construction

75 Outil de construction

76 Outil de construction Théorème 5 [Chepoi 88] G est un graphe de Hamming partiel ssi il est obtenu à partir de K 1 par une séquence d expansions. Chepoi, Isometric subgraphs of Hamming graphs and d-convexity, Cybernet. Systems Anal., 1 (1988), 6 11.

77 Perspectives Pas de caractérisation par mineur exclu

78 Perspectives Une caractérisation par sous-graphes isométriques exclus Observation Il existe une famillef de graphes telle qu un graphe G est un cube partiel ssi aucun élément de F n est un sous-graphe isométrique de G.

79 Perspectives Une caractérisation par sous-graphes isométriques exclus Observation Il existe une famillef de graphes telle qu un graphe G est un cube partiel ssi aucun élément de F n est un sous-graphe isométrique de G. F est-elle finie? Peut-on caractériser facilement ses éléments? à subdivision près?

80 Perspectives Une caractérisation par sous-graphes isométriques exclus Observation Il existe une famillef de graphes telle qu un graphe G est un cube partiel ssi aucun élément de F n est un sous-graphe isométrique de G. F est-elle finie? Peut-on caractériser facilement ses éléments? à subdivision près? Étude des graphesl 1 :λd H (u, v) = d G (φ(u),φ(v))

81 Perspectives Une caractérisation par sous-graphes isométriques exclus Observation Il existe une famillef de graphes telle qu un graphe G est un cube partiel ssi aucun élément de F n est un sous-graphe isométrique de G. F est-elle finie? Peut-on caractériser facilement ses éléments? à subdivision près? Étude des graphesl 1 : 2d H (u, v) = d G (φ(u),φ(v))

82 Perspectives Une caractérisation par sous-graphes isométriques exclus Observation Il existe une famillef de graphes telle qu un graphe G est un cube partiel ssi aucun élément de F n est un sous-graphe isométrique de G. F est-elle finie? Peut-on caractériser facilement ses éléments? à subdivision près? Étude des graphesl 1 : 2d H (u, v) = d G (φ(u),φ(v)) Distorsion du plongement : minimiser max d H (u,v) d G (φ(u),φ(v))

83 Cadastre Combinatoire Topologique structure cliques dans Hamming planarité du produit par K 2 Décision graphesl 1 Optimisation distorsion plongement dans bouteille de Klein autres surfaces produit zippé

84 Personnages principaux S. Lins, 1981 M. de Graaf and A. Schrijver, 1997 S. Lawrencenko and S. Negami, 1997 M. DeVos, B. Mohar and R. Samal, 2007 GT GraS, 2008

85 Représentation de surfaces G G

86 Représentation de surfaces

87 Représentation de surfaces

88 Une question se pose Question G l union disjointe de deux graphes connexes G 1 et G 2, Σ une surface. Est-ce que tout dessin optimal Ψ de G sur Σ laisse Ψ G1 et Ψ G2 disjoints? DeVos, Mohar and Samal, Drawing disconnected graphs on the same surface, Open Problem Garden, World Wide Web (2007).

89 Trivial? (a) Plan

90 Trivial? (a) Plan

91 Trivial? (a) Plan (b) Plan projectif

92 Trivial? (a) Plan (b) Plan projectif [DeVos et al.]

93 Trivial? (a) Plan (b) Plan projectif [DeVos et al.] (c) Klein bottle

94 Résultat principal Théorème 6 [B., Gerbaud, Grappe, Palesi 09] C est vrai pour la bouteille de Klein. B., Gerbaud, Grappe et Palesi, Drawing disconnected graphs on the Klein bottle, Graphs Combin., à paraître (2009).

95 Courbes essentielles typea Lawrencenko et Negami, Irreducible triangulations of the Klein Bottle, J. Combin. Theory Ser. B, 70 (1997).

96 Courbes essentielles typea typeb Lawrencenko et Negami, Irreducible triangulations of the Klein Bottle, J. Combin. Theory Ser. B, 70 (1997).

97 Courbes essentielles typea typeb type AB Lawrencenko et Negami, Irreducible triangulations of the Klein Bottle, J. Combin. Theory Ser. B, 70 (1997).

98 Courbes essentielles typea typeb type AB typeo Lawrencenko et Negami, Irreducible triangulations of the Klein Bottle, J. Combin. Theory Ser. B, 70 (1997).

99 Courbes essentielles typea typeb type AB typeo Lawrencenko et Negami, Irreducible triangulations of the Klein Bottle, J. Combin. Theory Ser. B, 70 (1997).

100 Courbes essentielles A B AB O A B AB O

101 Schéma de la preuve On se restreint d abord aux graphes eulériens plongeables dans K Existence de nombreuses courbes essentielles [Schrijver] Borne inférieure sur le nombre de croisements Application de transformations améliorant la représentation Généralisation aux graphes quelconques

102 Beaucoup de croisements [c] : courbes homotopes à c soit a une courbe de typea représentativité approchée : k A = cr([a], Ψ) = min{ Ψ C : C une courbe fermée de typea}

103 Beaucoup de croisements Théorème 7 [de Graaf, Schrijver 97] Ψ un plongement d un graphe eulérien dans une surface Σ. Alors Ψ peut être décomposé en une collection de circuits I telle que pour chaque courbe fermée c de Σ, cr([c], Ψ) = cr([c], [d]). d I de Graaf et Schrijver, Decomposition on surfaces, J. Combin. Theory Ser. B, 70(1997).

104 Existence des circuits appropriés O +AB =

105 Existence des circuits appropriés O +AB =A +B

106 Existence des circuits appropriés Décomposition en une famille I avec circuits de typeaoub : min(k A + k B, k AB ) AB-circuits : 1 2 (k A + k B min(k A + k B, k AB )) ou A-circuits : min(k A, k AB )

107 Borne inférieure Nombre minimum de croisements : 1 min(k A + k B, k AB ) min(h A, h B ) + } {{ } 2 (k A + k B k AB ) } {{ } 1-sc dans G 1 AB-circuits dans G 1 ou min(k A, k AB ) h A } {{ } A-circuits dans G 1 h AB

108 Transformation 1 G G k A (k A 1) 2

109 Généralisation plongeable eulérien plongeable : doubler les arêtes plongeable graphe quelconque : ajout de sommet sur les croisements

110 Perspectives Cette méthode ne se généralise pas aux autres surfaces. Que faire pour les autres surfaces? (tore résolu par Vancouver) Trois graphes connexes?

111 Cadastre Combinatoire Topologique structure cliques dans Hamming planarité du produit par K 2 Décision graphesl 1 Optimisation distorsion plongement dans bouteille de Klein autres surfaces produit zippé

112 Productions B., Gravier et Meslem, Isometric embeddings of subdivided complete graphs in the hypercube, SIAM J. Discrete Math., Volume 22 (2008) B., Gravier et Meslem, Subdivided graphs as isometric subgraphs of Hamming graphs, European J. Combin., Volume 30 (2009) B., Se repérer sans occuper trop d espace, vulgarisation B., Gerbaud, Grappe et Palesi, Drawing disconnected graphs on the Klein bottle, Graphs Combin., à paraître B., Dorbec, Gravier et Jha, On planarity of direct product of multipartite complete graphs, Discrete Math. Algorithms Appl., Volume 1 (2009) B. et Bokal, On the sharpness of some results relating cuts and crossing numbers, soumis

113 Productions B., Gravier et Meslem, Isometric embeddings of subdivided complete graphs in the hypercube, SIAM J. Discrete Math., Volume 22 (2008) B., Gravier et Meslem, Subdivided graphs as isometric subgraphs of Hamming graphs, European J. Combin., Volume 30 (2009) B., Se repérer sans occuper trop d espace, vulgarisation B., Gerbaud, Grappe et Palesi, Drawing disconnected graphs on the Klein bottle, Graphs Combin., à paraître B., Dorbec, Gravier et Jha, On planarity of direct product of multipartite complete graphs, Discrete Math. Algorithms Appl., Volume 1 (2009) B. et Bokal, On the sharpness of some results relating cuts and crossing numbers, soumis «Fichi e mòglia si pónu sceglie.» Proverbe corse