Analyse spectrale du signal

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1 Analyse spectrale du signal Principe de l analyse spectrale (ou harmonique) La réponse en fréquence des circuits est un élément caractéristique du comportement dynamique des circuits R, L et C. L autre élément caractéristique est la réponse libre (exemple: on charge un condensateur, puis oin le laisse se décharger librement à travers une bobine ou une résistance dans un circuit sans générateur); cette réponse libre est encore appelée réponse impulsionnelle car on obtient le même résultat pour un condensateur non chargé alimenté par un générateur d impulsions. Ces deux types de comportement représentent la dualité d une même réalité. L analyse spectrale est étroitement liée à la notion de bande passante. En effet la bande passante d un filtre va modifier la composition de fréquences d un signal sonore. Un amplificateur large bande transmet toutes les composantes du spctre fréquentiel et le son n est pas déformé. Par contre un correcteur de graves va privilégier les fréquences basses alors qu un correcteur d aigus va privilégier les fréquences hautes. Pour savoir de quelle manière un filtre interfère avec le signal, il faut connaître sa composition en fréquences encore appelée composition spectrale ou composition harmonique. Le de fréquence F(f) est obtenu en appliquant la transformation mathématique de Fourier F à un signal fonction du temps s(t). De même, si on connait le de fréquence F(f), on peut retrouver le signal s(t) par la transformation de Fourier inverse FI. e(t) F E(f) t R (f) s(t) FI S(f) t La transformation de Fourier s applique à tous les types de signaux. outefois l étude dans le cas général étant assez compliquée, on se limitera à celle des signaux périodiques (répétitifs)

2 2 Décomposition en séries de Fourier 2. définition out signal périodique de période peut de décomposer en une somme limitée ou illimitée de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence de base: f = / = V sin t + V 2 sin 2 t + V 3 sin 3 t + V 4 sin 4 t V k sin k t Le de fréquence de est une série de raies fréquentielle: V V 2 V 3 V 4 V 5 V6 V 7 V 8 f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f f Si le signal possède une composante continue, alors il faut ajouter à la série précedente une valeur constante V : = V + V sin t + V 2 sin 2 t + V 3 sin 3 t + V 4 sin 4 t V k sin k t Le possède alors une raie supplémentaire d amplitude V et de fréquence nulle: V V V 2 V 3 V 4 V 5 V6 V 7 V 8 f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f f Si on considère qu une sinusoïde peut se représenter soit par une fonction sinus soit par une fonction cosinus on peut écrire de manière tout à fait générale: = V + A cos t + B sin t + A 2 cos 2 t + B 2 sin 2 t + A 3 cos 3 t + B 3 sin 4 t +... Ce qui s écrit mathématiquement: = A + A n cos n t + B n sin n t le terme B n sin n t se lit : Somme de n= jusqu à l infini de sin n t

3 la sinusoïde de fréquence f s appelle le fondamental, les sinusoïdes de fréquence n.f s appellent les harmoniques de rang n 2.2 calcul des coefficients de la décomposition en série de Fourier Pour une fonction périodique de période les 3 formules ci-dessous donnent les valeurs des coefficients A, A n et B n de la série ci-dessus: A = f(t) dt est la formule de la valeur moyenne de f(t) A n = 2 f(t) cos n t dt B n = 2 f(t) sin n t dt 3 Applications 3. décomposition d un signal carré V 2V / V 2 2V /3 2V /5 2V /7 f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f f l application des formules précédentes fournit les résultats suivants: A = V/2 B n = A n = 2V/n pour n impair et = pour n pair Remarque: le signal carré ne possède pas de fréquences multiples (harmoniques) pairs.

4 3.2 décomposition d un signal redressé simple alternance /2 2 /3 2 /5 2 /35 2 /63 f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f f A = / B n = A n = 2 A n = pour n impair sauf n= A = /2 n 2 pour n pair 3.3 décomposition d un signal redressé double alternance 2 2 /3 2 /5 2 /35 2 /63 f 2f 3f 4f f

5 A = 2 / B n = A n = 2 4n 2 Remarque: le signal redressé double alternance a une période de / 2; sa fréquence fondamentale est double de la tension alternative qui l a produite (ex: Hz pour une sinusoïde de 5 Hz); la fréquence de ronflement que l on peut entendre à vide dans un amplificateur est de Hz; c est la fréquence de l ondulation résiduellen après redressement et filtrage de l alimentation stabilisée. 3.4 décomposition d un signal en dent de scie 2 / 2 /3 2 /5 2 /7 f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f f A = A n = B n = 2 Ce signal ne possède pas de composante continue. Il ne possède pas de termes en cosinus. ( ) n n