Outline. Introduction. Structuration d un problème de décision

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1 Outline Introduction Structuration d un problème de décision Décision en avenir incertain Incertain strict (non probabilisé) Analyse axiomatique des critères (Milnor) Incertain probabiliste La théorie de l utilité Décision en présence de critères multiples 2/97

2 Outline Introduction Structuration d un problème de décision Décision en avenir incertain Incertain strict (non probabilisé) Analyse axiomatique des critères (Milnor) Incertain probabiliste La théorie de l utilité Décision en présence de critères multiples 3/97

3 PREMIER COURS 4/97

4 Introduction La théorie de la décision vise à fournir un cadre rationnel général permettant de formuler et d analyser les problèmes de décision dans des situations ou les données à prendre en compte sont loin d être déterminées à l avance. 5/97

5 Introduction Comment et quelle décision prendre? Selon la nature des données et du problème, plusieurs approches pour modéliser et résoudre le problème de décision : La théorie du vote ; La théorie des jeux ; La théorie des graphes ; La programmation linéaire ;... 6/97

6 Introduction (Théorie des jeux) Dilemme du prisonnier La forme habituelle de ce dilemme est celle de deux prisonniers (complices d un délit) retenus dans des cellules séparées et qui ne peuvent communiquer. si un seul des deux avoue, celui-ci est certain d obtenir une remise de peine alors que le second obtient la peine maximale (10 ans) ; si les deux avouent, ils seront condamnés à une peine plus légère (5 ans) ; si aucun n avoue, la peine sera minimale (6 mois), faute d éléments au dossier. Problème Quelle sera la stratégie de chacun? 7/97

7 Introduction (Programmation linéaire) Problème de plantation Considérons un agriculteur qui possède des terres, de superficie égale à H hectares, dans lesquelles il peut planter du blé et du maïs. L agriculteur possède une quantité E d engrais et I d insecticide. Le blé nécessite une quantité E 1 d engrais par hectare et I 1 d insecticide par hectare. Les quantités correspondantes pour le maïs sont notées E 2 et I 2. Soit P 1 le prix de vente du blé et P 2 celui du maïs. Problème Quelle serait la répartition d hectares entre le blé et le mais afin de maximiser les gain de l agriculteur? 8/97

8 Outline Introduction Structuration d un problème de décision Décision en avenir incertain Incertain strict (non probabilisé) Analyse axiomatique des critères (Milnor) Incertain probabiliste La théorie de l utilité Décision en présence de critères multiples 9/97

9 Introduction Le processus : deux grandes étapes Détermination et fomulation de problème Résolution du problème Etapes supplémentaires la collecte d informations ; l analyse de ces informations ; la mise en oeuvre de la solution. 10/97

10 Enoncé Exemple1 : Lancement d un produit Une société envisage de lancer un nouveau produit compte tenu des réactions potentielles de concurrence, trois situations vont être envisagées : accueil très favorable gain= 900MAC; accueil favorable gain= 750MAC; Echec gain= 0sAC. Le coût de lancement est estimé à 500MAC. Problème? la société doit-elle ou pas lancer le produit? 11/97

11 Enoncé Exemple2 : Achat d agendas Au mois d aout un papetier doit décider du nombre d agendas à acheter pour l année suivante. Un agenda côute 20AC et est vendu 45AC. Fin Janvier chaque agenda invendu peut être renvoyé à l éditeur qui le rachète 5AC. La loi de la demande est : d p(d=d) Problème? Quel nombre d agendas doit commander le papetier? 12/97

12 Fomaliser un problème de décision Formalismes 1. A : ensemble d actions ou de décision potentielles. A = {a 1,...,a n } ; 2. E : ensemble des états de la nature. E = {e 1,...,e n } ; 3. une fonction d évaluation (ou de coût) : g : A E R, qui valorise le gain g(a i, e i )=x ij qui résulte du choix de l action a i lorsque l état de la nature e j s est réalisé. 13/97

13 Exemple1 Actions potentielles A = {a 1, a 2 } a 1 : lancer le produit ; a 2 : ne pas lancer le produit. États de la nature E = {e 1, e 2, e 3 } e 1 : accueil très favorable ; e 2 : acceuil favorable ; e 3 : echec ; 14/97

14 Exemple1 Tableau des gains e 1 e 2 e 3 a a /97

15 Actions potentielles Exemple2 A est l ensemble des quantités commandées ; a i = q i commander. Etats de la nature E est l ensemble des demandes ; e j = D = d j Tableau des gains g(q, d) : gain résultant de la commande de la quantité q lorsque la demande est égale à d. 2 cas se présentes : si d q : g(q, d) =45d + 5(q d) 20q = 40d 15q ; si d > q : g(q, d) =45q 20q = 25q 16/97

16 Exemple2 Tableau des gains q-d /97

17 Exercices (TD1) Exercice 1 : un investissement bien raisonné Un particulier se voit proposer deux placements a 1 et a 2. Les rendements de chacun de ces deux placements dépendent d une décision gouvernementale importante ; C est ainsi que, pour une unité monétaire investie, a 1 rapportera 1,3 unité monétaire si la décision est prise et seulement 0,8 unités monétaires si elle n est pas prise. En revanche, a 2 rapportera seulement 0,9 unités monétaires si la décision est prise et 1,1 unité monétaire si elle n est pas prise. En fait, le particulier peut répartir librement son investissement entre a 1 et a 2. On notera a(λ) le placement qui consiste à investir une proportion λ dans a 1 et la proportion complémentaire 1-λ dans a 2 (0 λ 1). Le particulier souhaite déterminer la meilleure répartition, c est-à-dire trouver une valeur optimale pour λ. Question : Formaliser ce problème de décision. 18/97

18 Exercice1 : Correction 2 actions : a 1 et a 2 ; Exercices 2 états de la nature : d (la décision gouvernementale est prise) et d (la décision gouvernementale n est pas prise). d d a a a(λ) 0.3 λ 0.1(1 λ) 0.2 λ + 0.1(1 λ) TAB.: ( tableau des gains) 19/97

19 Exercices Exercice2 : Controle de qualité La société NIAKO, grand fabriquant de téléphones portables, envisage de lancer un nouveau modèle. NIAKO envisage deux stratégies pour organiser son contrôle qualité : La stratégie S 1, très fiable, inclut un contrôle systématique du fonctionnement de l appareil et le remplacement éventuel de composants défectueux. Cette stratégie conduit à un risque de panne totalement négligeable durant la période de garantie. En revanche, elle entraîne un coût de contrôle c AC. La stratégie S 2 consiste à n effectuer aucun contrôle. Compte tenu du risque de fiabilité dû aux composants présents dans l appareil, le téléphone ainsi conçu risque de tomber en panne durant la période de garantie avec une probabilité estimée par les experts à p. En ce cas, la réparation, à la charge de NIAKO, est estimée à 100 fois le coût de contrôle de la stratégie S Dresser le tableau des coûts. 20/97

20 Exercices Exercice2 : correction 2 actions : S 1 et S 2 ; 2 états de la nature : Panne (P) et pas de Panne ( P); P P S 1 c c S 2 100c 0 21/97

21 Exercices Exercice3 : Incertitude sur les jouets Une entreprise fabriquant des jouets est confrontée à un risque de grève des transporteurs routiers pendant ce début de première semaine de décembre. L entreprise a établi un plan de fabrication et d expédition en régime normal de articles par semaine qui correspond exactement à la demande hebdomadaire. le coût de fabrication est alors de 30 AC (par article). L article est vendu 45 AC. La grève, si elle a lieu, débutera dans une semaine. Elle peut durer soit une semaine, soit deux semaine. En cas de grève, l entreprise ne produit pas. De plus, elle perd la totalité de ses ventes si les distributeurs ne sont pas livrés auparavant car les linéaires sont vides (la distribution ne possède actuellement aucun stock). En ce début de première semaine, l entreprise a le choix entre 3 décisions : soit produire et expédier, selon son plan, articles, soit produire et expédier articles pour satisfaire la demande des deux premières semaines ; mais il faut savoir que la capacité de production maximale de l entreprise est de articles par semaine et qu au delà de cette limite, elle sous-traite la production dont le coût passe alors à 40 AC par semaine. soit produire et expédier articles pour satisfaire la demande des trois semaines, avec les mêmes conditions de recours à la sous-traitance. On cherche à maximiser la marge sur la période des 3 semaines à venir. Question : Après avoir défini les actions et états de la nature, construire le tableau de 22/97

22 Exercice3 : correction Exercices L ensemble A = {a 1, a 2, a 3 } des actions correspond aux 3 décisions envisagées en début de première semaine : produire et expédier 5 000, ou articles, respectivement a 1, a 2 et a 3. L ensemble E = {e 0, e 1, e 2 } des états de la nature correspond aux trois éventualités possibles concernant la grève : pas de grève, une semaine de grève (durant le 2ème semaine), deux semaines de grève (durant les 2ème et 3ème semaines), respectivement e 0, e 1 et e 2. tableau des gains : attention gain=45-30(pour 5000) ou (soustraitance) ; Faire en sorte de produire 5000*3 pour couvrir les 3 semaines ; 23/97

23 Exercices Exercice3 : correction e 0 e 1 e 2 a 1 (5000) 3*5*15 = 225 K 2*5*15 = 150 K 5*15 = 75 K a 2 (10000) 7*15 + 3*5 + 5*15 = 195 K 7*15 + 3*5 + 5*15 = 195 K 7*15 + 3*5 = 120 K a 3 (15000) 7*15 + 8*5 = 145 K 7*15 + 8*5 = 145 K 7*5 + 8*5 = 145 K 24/97

24 DEUXIEME COURS 25/97

25 Cadre de la décision Deux cas avenir certain : état de la nature connu à priori. Un exemple typique consiste à choisir l itinéraire le plus court pour livrer un certain nombre de clients. avenir incertain, un exemple serai de lancer un nouveau produit n ayant pas d équivalent. Dans le premier cas il s agit d un problème d optimisation mathématique, dans le second cas le hasard intervient de manière importante. 26/97

26 Decisionn sous certitude Etat de la nature connu à priori ; Choix de l action correspondant au gain max. Lancer/ne pas lancer le produit si e 2 (accueil favorable) alors on doit choisir a 1. 27/97

27 Outline Introduction Structuration d un problème de décision Décision en avenir incertain Incertain strict (non probabilisé) Analyse axiomatique des critères (Milnor) Incertain probabiliste La théorie de l utilité Décision en présence de critères multiples 28/97

28 Introduction Pour résoudre le problème de décision choisir un critère de décision ; Critère de Wald(maximiser le gain minimum) ; Critère maximiser le gain maximum ; Critère Hurwicz ; Critère de Laplace ; Critère de Savage (minimisr le regret maximum). déterminer la meilleure action selon ce critère. 29/97

29 Introduction Principe A chaque action a i est associée une valorisation v i selon le critère considèré. Nous devons retenir a k tel que v k v i i = 1,...,n (quand il s agit de gain) ( s il s agit de coût). 30/97

30 Critère de wald Definition Pour chaque action, on considère la pire des situations (gain min). Puis on retient l action la moins pire, c est à dire qui maximise le minimum des gains. max i min j g(a i, e j ) Critère très prudent. Convient au décideur ayant une aversion au risque. 31/97

31 Critère de Wald Lancer/ne pas lancer Choisir action a 2. e 1 e 2 e 3 min gain a a /97

32 Critère de Wald Agendas q-d min gain Commander 100 agendas. 33/97

33 Critère de Wald Exemple Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 a a a /97

34 Critère de Wald Correction Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 min a a a décision : a 1 35/97

35 critère de maximiser le gain maximum Définition(maxmax) On considère pour chaque action le cas leplus favorable (gain max) et on retient l action qui assure le plus grand gain max. v i = max j g(a i, e j ), On choisit a k tel que v k = max n v i Critère avec un gout au risque. 36/97

36 Critère de maxmax Lancer/ne pas lancer Choisir action a 1. e 1 e 2 e 3 max gain a a /97

37 Critère maxmax Agendas q-d max gain Commander 300 agendas. 38/97

38 Critère du gain max Exemple Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 a a a /97

39 Critère du gain max Correction Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 max gain a a a décision : a 2 40/97

40 Critère de Hurwicz Définition il s agit d une famille de critères, dont le critère de wald apparait come un cas particulier. Au lieu de ne considérer que le pire des résultats, on envisage conjointement le pire et le meilleure et on en fait la moyenne en pondérant le résultat maxi par un coefficient d optimisme 0 α 1 v i = α max g ij +(1 α) min g ij On choisi l action qui maximise v i problème : choix du α. 41/97

41 Critère de Hurwicz Lancer/ne pas lancer (α = 0.5) e 1 e 2 e 3 v i a * *(-500)= -50 a Choisir action a 2. 42/97

42 Critère de Hurwicz Agendas q-d v i Commander 300 agendas. 43/97

43 Critère Hurwicz exemple Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 a a a Quelle décision si : α = 0(décideur pessimiste) ou α = 1 (décideur optimiste). 44/97

44 TROISIEME COURS 45/97

45 Critère de Laplace Définition (moyenne des gains) En absence de l information sur les probabilités d occurrences des états de la nature, on leur associe une probabilité 1 p. pour chaque action a i on calcule v i = 1 p j g ij. 46/97

46 Critère de Laplace Lancer/ne pas lancer Choisir action a 1. e 1 e 2 e 3 v i 1 a ( )=50 a /97

47 Critère de Laplace Exemple Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 a a a /97

48 Critère de Laplace Correction Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 v i 1 a ( )=46,25 1 a ( )=52,5 1 a ( )=41,25 Décision= a 2 49/97

49 Critère de Savage Définition(Critère minmaxregret) Ce critère repose sue la notion de regret. Le regret mesure la différence entre ce que l on aurait pu obtenir si l in vait su quel état se réaliserait et ce que l on obtient effectivement. Regret : r ij = max n g ij g ij. On retient l action dont le regret max est le plus faible possible. 50/97

50 Critère de Savage Agendas (Tableau des regrets) q-d Regret max max Commander 250 agendas. 51/97

51 Critère de Savage Exemple Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 a a a /97

52 Critère de Savage Correction Actions/états e 1 e 2 e 3 e 4 Regret max a a a max Décision : a 1 ou a 2 53/97

53 Remarques critères critère Laplace : avantage réside dans sa simplicité, son inconvenient : peu réaliste. On prétend raisonner en avenir incertain,c est à dire dans le cadre d une situation ou l on ne peut par ou l on ne veut pas affecter une probabilité de réalisation à chacun des états de al nature. Alors que le choix du critère de Laplace équivaut pas attribuer implicitement la même probabilité d arrivées aux divers états de la nature. Il correspond à un type de comportement des dirigeants d entreprise tout a fait particulier, caractérisé par une neutralité totale à l égard du risque. 54/97

54 critères Remarques Critère de wald : attitude prudente du preneur de décision. Critère de savage : attitude prudente aussi. On raisonne en terme de regret (le manque à gagner) et on essaye de le mimimiser. 55/97

55 QUATRIEME COURS 56/97

56 Introduction Caractérisation et axiomes Milnor a introduit 10 axiomes qui vont lui permettre de caractériser les critères présentés auparavant. Les axiomes correspondent au conditions sous lesquelles ont peu utiliser un critère. Il a établit des conditions nécessaires pour q un critère puisse être considéré comme raisonnable. 57/97

57 Introduction Caractérisation et axiomes Les cinq premier axiomes sont compatibles avec les 4 critères étudiés (Wald, Laplace, Savage, Hurwicz). 58/97

58 Caractérisation et axiomes Axiome1 : Ordre un critère doit permettre de classer complètement les actions avec éventuellement des ex aequo. 59/97

59 Caractérisation et axiomes Axiome2 : Symetrie le classement des actions est indépendant de leur numérotation ainsi que de celle des états de la nature. (Ex : les gens ont tendance a porté leur attention sur le premier ou le dernier item d une liste énumérative qu il s agisse de décisions, d états ou de conséquences. ) 60/97

60 Action dominée Définition a i est dominée par a k si et seulement si g(a i, e j ) (a k, e j ) j {1,...,p}. Avec au moins une inégalité stricte. Les action dominées peuvent être éliminée des choix possible. 61/97

61 Caractérisation et axiomes Axiome3 : Dominance strict si une action a i domine strictement une action a h, alors a i est classé avant a h. 62/97

62 Caractérisation et axiomes Axiome4 : Adjonction d une ligne L adjonction d une nouvelle action ne modifie pas le classement relatif des autres actions. Remarque : critère de savage ne respect pas cet axiome. 63/97

63 Adjonction d une ligne (savage) a 3 4 b 6 2 tableau de regret a 3 0 b 0 2 Décision : b. 64/97

64 Adjonction d une ligne (savage) on ajoute l action c a 3 4 b 6 2 c 1 7 tableau de regret a 3 3 b 0 5 c 5 0 Décision : a 65/97

65 Caractérisation et axiomes Axiome5 : Convexité si deux actions a i et a h sont indifférentes, alors l action a k tel que g kj = 1 2 (g ij + g hj ) j ne peut etre classé après a i et a h. Autrement, si des actions sont simultanément préférés vis-à-vis d un critère, il doit être de même pour toute combinaison linéaire de ces actes. Remarque : le critère d Hurwicz ne respecte pas cet axiome. 66/97

66 Convexité(Hurwicz) e 1 e 2 e 3 a b c Quelque soit le coefficient d optimisme α, selon le critère, les deux actions a et b sont indifférentes, devant l action c alors qu on a g 3 j = 1 2 (g 1j + g 2j ) 67/97

67 Caractérisation et axiomes Axiome6 : Adjonction ou retranchement d une colonne l ajout ou le retranchement d un colonne identique à un autre colonne ne doit pas modifier la réponse du critère. Cet axiome traduit d une certaine manière l ignorance complète dans laquelle le choix est effectué : ce qui compte, c est ed savoir quels états de la nature sont possibles, et non combien de fois tel ou tel état à été pris en compte dans la formation de la matrice. Remarque : le critère de Laplace ne respecte pas ce critère. Ce critère suppose implicitement tous les états équiprobable et il est bien claire que d ajouter ou retrancher un état modifie la probabilité affectée à chacun des états restants. 68/97

68 Adjonction ou retranchement d une colonne e 1 e 2 e 3 a b l action a l emporte avec le critère de Laplace et sans la colonne e 3 mais en l ajoutant c est b qui l emporte. 69/97

69 Caractérisation et axiomes Axiome7 : Linéarité Le critère n est pas modifié si on applique la même transformation linéaire à toute les mesures de conséquences. Autrement, le classement des actions n est pas modifié si l on remplace la matrice P =[g ij ] par la matrice T =[λg ij + µ] 70/97

70 Caractérisation et axiomes Axiome9 : linéarité dans les colonnes voir ploy de sidoine 71/97

71 Caractérisation et axiomes Axiome10 : adjonction d une ligne spéciale L adjonction d une action dominée ne modifie pas le classement des actions initiales. cet axiome est une version affaiblie de l axiome 6. il est vérifié par chacun des critères. 72/97

72 Résumé Caractérisation et axiomes Laplace Wald Savage Hurwicz ordre symetrie dom.strict continuite linearité adjonc. ligne line. col adj. col convexité ligne spé. 73/97

73 Remarques il convient de noter que le critère de Wald est d un point de vue informationnel moins exigeant que les trois autres critères, en ce sens qu il requiert une information moins élaborées. En effet, la mise en oeuvre des critères de Laplace, Savage et Hurwicz exigent une mesure cardinale des conséquences des actions. le critère de wald en revanche peut se contenter d une mesure ordinale. 74/97

74 remarques autres caractérisations il existe d autre résultats de caractérisations que ceux de Milnor, conernant notamment le critère de Laplace. on peut citer Chernoff(1954) et Maskin (1979), Barrett et Pattanaik (1988). d autres critères existent bien sur : critère moyenne variabilité et critère de Starr (1966). 75/97