Chapitre 2. Statistiques

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1 . Statistiques Le programme ontenus Modalités ommentaires Séries statistiques à deux variables qualitatives : tris croisés. Étude fréquentielle, notion de fréquence de A sachant B. alculer dans des situations simples une fréquence de A sachant B à partir d un tableau de données. La notion de fréquence conditionnelle permet de montrer l importance du choix de la population de référence pour le calcul statistique. quantitatives : tableaux d effectifs, nuage de points associés, point moyen. Exemples d ajustements. Représenter graphiquement un nuage de points et son point moyen. Toute mise en place d une méthode d ajustement est hors programme. Toutes les indications seront fournies si nécessaire. On observera la forme du nuage et l on pourra tracer, à main levée, dans les cas utiles la droite qui semble «proche» du nuage (droite d ajustement). Activités et applications 1. Étude simultanée de deux caractères Activité 2 1. alcul d Éric : = 5 % alculs d Ophélie : 78 % ; 2 % a) Filière Résultat Filière Résultat énérale Technologique Admis 5 % 35 % 1 % Refusé 8 % 2 % 1 % énérale Technologique Admis 2 % 78 % Refusé 38 % 22 % 1 % 1 % b) Il y a beaucoup plus de personnes issues d une filière générale que de personnes issues d une filière technologique parmi les candidats. Il est donc normal que, parmi les candidats, la proportion de personnes issues d une filière technologique soit faible. Les calculs d Ophélie doivent rassurer Éric. Application 1. réneau horaire Médecin consulté Matinée (avant midi) Milieu de journée (de midi à 1 h ) Fin de journée (après 1 h ) énéraliste Spécialiste f (M) = 23,3 % ; f (J) = 25,2 % f M () =,7 % ; f J () =,3 %. 8 19

2 2. Séries statistiques à deux variables Activité 1. Les deux variables observées sont le nombre de déplacements et le nombre de ventes réalisées. 2. On place les points de coordonnées : ( ; 1), (1 ; 1), (3 ; 21), (2 ; ), (5 ; 21) et ( ; 28). Représentation graphique : a) Le point moyen a pour coordonnées (35 ; 17) : 21 x = = et xy = = 17. b) Voir graphique. Application 1. Nuage de points : y y (nombre de ventes) x (nombre de déplacements) x 2. ( ; 11). Voir raphique. 3. Ajustements d un nuage de points Activité 1. Nuage de points : y (chiffre d affaires) x (budget publicitaire) Forme du nuage de points : les points du nuage sont approximativement alignés. 2. Voir graphique. Application 1. Nuage de points : y (nombre d heures d absence) x (mois) Les points du nuage étant approximativement alignés, un ajustement affine apparaît envisageable. (3 ; 9). Voir graphique. Exercices d entraînement indique que l exercice est corrigé dans le livre élève Tableau d effectifs : Activité Plein air ulturelle Manuelle Sexe (A) () (M) Fille (F) arçon ()

3 2. Tableaux de fréquences (arrondies à,1 %) : Activité Sexe Substitut nicotinique Sevrage tabagique Substitut nicotinique Sevrage tabagique Type de musée Population Enfants (E) Adultes (A) Beaux-arts (B) Histoire, préhistoire, archéologie Plein air (A) Timbre transdermique (T) Timbre transdermique (T) Sciences et techniques Art moderne 1 5 Histoire naturelle (H) Spécialisé (automobile, jouet, mode, etc.) ulturelle () omme () omme () Manuelle (M) Fille (F) 5 % 2 % % arçon () 5 % 8 % % 1 % 1 % 1 % Activité Sexe Plein air (A) ulturelle () Manuelle (M) omprimé () omprimé () Fille (F) 8,18 % 4,55 % 27,27 % 1 % arçon () 53,57 % 14,29 % 32,14 % 1 % 3. a) f (A) =, b) f M () =,. c) f F () =,45 5. d) f () =,8. 2 Tableau d effectifs : Arrêt total (A) Arrêt partiel (P) Tableau de fréquences (arrondies à, 1) : Arrêt total (A),52 3,21 5, Arrêt partiel (P),375,437 5, f T (A) =,25, f (A),33 et f (P) =, Tableau d effectifs : 2. f(e),52 7, f(a),479 3, f(b),124 3 et f(h), a) f H (E),89 7 et f E (H), b) Il s agit de la fréquence conditionnelle f E (H). 5 Source 1. Tableau d effectifs : Internaute Néophyte (N) Expérimenté (E) Magazines ou brochures (B) Auprès des proches (P) Sur Internet (I) En magasin (M) f(n) 3,2 %, f(e) 9,74 % et f(p) 42,11 %. 3. f N (P) 5,52 %, f E (P) 35,85 %, f P (E) 59,38 % et f P (N),3 %. 4. a) f(n). b) f(p). c) f P (N). d) f N (P). 1. Réponse b). 2. Réponse c). 3. Réponse a). 4. Réponse a). 5. Réponse b). 7 8 Exercice résolu dans le livre élève. 1. Effectif de X : 25,72 = 18. Effectif de Y : = 7. Effectif de «A et X» : 18 f X (A) = 18,35 = 3. Effectif de «B et Y» : 7 f Y (B) = 7,8 = 5. X Y A B Fréquence de A : =,

4 1 1. Êtes-vous favorable? opposé? sans opinion? fumeur? non fumeur? a) Fréquence des personnes favorables parmi les 95 fumeurs : 7 %. 135 b) Fréquence des personnes favorables parmi les 221 non fumeurs : 1 % Exercice résolu dans le livre élève. Tableau de données : x i y i 12, 12,5 12,2 12,4 12,3 z i 5,2 5,3 5,2 5,7 7, Altitude (en km) x i Température (en ) y i 15,4,8 1,2 1,5 1,9 2 8,5,5 3 1, ,27,1 1 1.,37.,1 Le pourcentage d évolution du SMI horaire de 1997 à 2 est d environ 37, %. 2. Unités : 1 cm pour 1 année en abscisse et 1 cm pour,1 euro en ordonnée ; origine du repère ( ; ). Nuage de points : y (SMI horaire, en ) 8,4 8,3 8,2 8,1 7,9 8 7,8 7,7 7, 7,5 7,4 7,3 7,2 7,1,9 7,8,7,,5,4,3,2, Nuage de points de la série statistique (x ; y) : y (nombre de femmes) Nuage de points de la série statistique (x ; z) : z (nombre d hommes)

5 18 Nuage de points de la série statistique (x ; y) : Nuage de points de la série statistique (x ; z) : Nuage de points de la série statistique (x ; t) : 19 2 y (pain, en kg) z (bœuf, en kg) 2 19, , ,5 17 1,5 1 15, , t (eau, en L) Année Rang de l année x i Part des femmes parmi les élus y i 1,9 % 1,7 % 1,7 % 4, % 5,5 % Année Rang de l année x i Part des femmes parmi les élus y i 5,8 % 5, % 5,9 % 1,8 % 12,1 % 2. Nuage de points : 3. (1,3 ; 5,5) Voir correction exercice 19. Voir correction exercice 2. a) Un ajustement affine paraît envisageable, car les b) Un ajustement affine ne paraît pas envisageable, car les points du nuage sont loin d être alignés. c) Un ajustement affine paraît envisageable, car les d) Un ajustement affine paraît envisageable, car les e) Un ajustement affine ne paraît pas envisageable, car les points du nuage sont loin d être alignés. f) Un ajustement affine paraît envisageable, car les 24 y (part des femmes parmi les élus) 13, 12, 11, 1, 9, 8, 7,, 5, 4, 3, 2, 1, x (rang de l'année), ,4 53,3 53,2 53,1 53, 52,9 52,8 52,7 52, 52,5 52,4 52,3 52,2 52,1 52, y (pourcentage de scolarisation) M 2 M 5 x (année)

6 b) Un ajustement affine est envisageable, car les 2. a) Voir graphique. b) oefficient directeur :,2 ; ordonnée à l origine : 52. Équation : y =,2x b) Un ajustement affine est envisageable, car les 2. a) (5,5 ; 177,8). b) Voir graphique. 27 y (nombre de tensiomètres) y (nombre de mises en chantier, en milliers) x (nombre de balances) b) Un ajustement affine apparaît envisageable, car les 2. a) Voir graphique. b) (AB) : y =,24x 1. A B 28 y (bénéfice cumulé) b) Un ajustement affine est envisageable, car les 2. (3 ; 29,8). 3. a) Voir graphique. b) Oui, car la droite est «proche» des points du nuage. c) appartient bien à, car ses coordonnées vérifient l équation de la droite : 1 3,2 = 29, y (nombre de bactéries par unité de volume, en milliers) 7,5 5, ,5 4 3, ,5 2 1, x (temps, en heures) b) Un ajustement affine de ce nuage apparaît envisageable, car ses points sont approximativement alignés. 2. a) 1 (5 ; 3,31) et 2 (8 ; 5,71). b) Voir graphique. Oui, car elle est «proche» des points du nuage. c) Le coefficient directeur de ( 1 2 ) est 5,71 3,31 m = =, L équation réduite de ( 1 2 ) est donc de la forme y =,8x + p. Le point 1 (5 ; 3,31) appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l équation réduite de la droite : 3,31 =,8 5 + p, soit p =,9. ( 1 2 ) a pour équation réduite y =,8x,9. 5 x (année) 24

7 Exercice résolu dans le livre élève. Exercice résolu dans le livre élève. y (nombre d enfants le vendredi) x (nombre d enfants le lundi) b) Un ajustement affine de ce nuage apparaît envisageable, car les points du nuage sont approximativement alignés. c) Voir graphique. 2. a) Pour x = 55, on lit y = 8. Le nombre d enfants le vendredi s élèverait à 8, pour un nombre d enfants le lundi qui s élèverait à 55 une semaine donnée. b) Pour y = 87, on lit x = 59. Le nombre d enfants le lundi s élèverait à 59, pour un nombre d enfants le vendredi qui s élèverait à 87 une semaine donnée. Je fais le point Savez-vous calculer une fréquence conditionnelle? Énoncé 1 otisation FSE oui (O) non (N) Sixième (S) inquième () f (O) = =, ; f S (O) = =, f O () =,45 ; f N () =, Énoncé 2 Tableau d effectifs : Filles (F) arçons () Asthmatiques (A) Symptômes asthmatiques (S) Aucun trouble (T) f F (S) = =,5 49 et f (S) = =, f T (F) =, et f F (T) = =, f (A) =, et f A ()= 77,49. Savez-vous établir un tableau de données à partir du graphique d un nuage de points? Énoncé 1 Tableau de données : x i y i

8 Énoncé 2 Tableau de données : x i y i Savez-vous représenter le nuage de points d une série statistique et son point moyen? Énoncé 1 1. Nuage de points : (75,5 ; 27). Énoncé 2 1. Nuage de points : y (nombre de milliers d entrées dans les salles de cinéma) y (nombre de glaces vendues) 8 2. (31,5 ; 32) x (nombre de milliers de téléviseurs) x (température, en ) Savez-vous réaliser un ajustement affine graphique et l utiliser pour établir une estimation? Énoncé Un ajustement affine apparaît envisageable, car les b) Voir graphique. 2. Pour x =, on lit y = 3. La demande estimée correspondant au prix de euros est 3 unités ; Pour y = 8, on lit x = 1. Le prix estimé correspondant à la demande de 8 unités est 1 euro. Énoncé 2 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1,5 y (demande, en milliers d unités) x (prix, en euros) z (offre, en milliers d unités) x (prix, en euros) Un ajustement affine apparaît envisageable, car les b) (4, ; 2,3). c) Voir graphique. 2. Pour x =, on lit z = 3. 2

9 L offre estimée correspondant au prix de euros est 3 unités. Pour z = 1, on lit x = 2. Le prix estimé correspondant à l offre de 1 unités est 2 euros. Savez-vous déterminer une équation d une droite d ajustement et l utiliser pour établir une estimation? Énoncé 1 1. (1 987,5 ; 24). 2. Le coefficient directeur de 1 est m =,42, donc l équation réduite de 1 est de la forme y =,42x + p. Le point (1 987,5 ; 24) appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l équation réduite de la droite : 24 =, ,5 + p, soit p = 858,75. 1 a pour équation réduite y =,42x + 858, Pour x = 2 1, y =, ,75 = 14,55. On peut estimer la part des dépenses alimentaires de ces habitants en 21 à 14, %. Énoncé : y =,12x Pour x = 21, y =, = 13,2. On peut estimer la part des dépenses de santé de ces habitants en 21 à 13,2 % a), b) Résultat Moyenne : x = 17,5 Somme des N valeurs : x 1 + x x N = 15 Effectif total : N = Moyenne : xy = 17 Somme des N valeurs : y 1 + y y N = 1 2 Notation sur l écran x Σ x n xy Σ y x 2. x = 1 + x x N 15 = = 17,5 et N y 1 2 xy = 1 + y y N = = 17. N 3 A2 A3 Partie A 2. Nuage de points : Activités guidées 34 A1 1. a), b), c) 3. Un ajustement affine apparaît envisageable, car les 2. (17,5 ; 17). Partie B 1. (3,5 ; 5,9). 1 : q = 1,9t + 9, A( ; 9,9) et B(7 ; 1,5). 2 : q = 1,2t + 9, (1,5 ; 7,95) et 2 (5,5 ; 3,85). 3 : q = 1,25t + 9,

10 Partie 1. a), b), c) 38 A5 Partie A 1. Nuage de points : d) S = 1, S = 1, S = 1, Partie D 1. S < S < S. La plus petite somme a été obtenue avec les valeurs des coefficients m et p de la droite On utilise l équation de la droite q = 1,9t + 9,715. Pour t = 8, q = 1, ,715 =,995. La quantité de médicament présente dans le sang au bout de 8 heures peut être estimée à 1 mg. 3. S 1 = 1,5 19 < S. 37 A4 1. La forme du nuage de points permet d envisager un ajustement affine, car les points sont approximativement alignés. 2. a) Les points du nuage étant approximativement alignés, on peut considérer qu il existe alors un lien affine entre le nombre de noyades et le nombre de climatiseurs vendus. b) Non. 2. Les points du nuage étant loin d être alignés, un ajustement affine n est pas justifié. Partie B 1. Les points du nuage apparaissent approximativement situés sur la courbe représentative de la fonction inverse a) Voir graphique. b) Un ajustement affine apparaît envisageable, car les 4. a) (1,8 ; 1,). b),81 1,8 +,142 = 1, ; le point appartient à la droite d ajustement, car ses coordonnées vérifient son équation. Partie Pour x = 1, z =,81 1 +,142 = 8,242. La population peut être estimée à : 1 y =,12 millions au bout de 1 heures. 8,242 Problèmes a) f (B) = 25 %. 28

11 b) On peut seulement dire que parmi les personnes choisissant la forme générique, les jeunes sont moins nombreux que leurs aînés. 2. a) Profession de santé Hommes Femmes Aide-soignants Auxiliaires de puériculture Masseurskinésithérapeutes Forme du médicament énérique Non () générique ans ou plus (A) Moins de ans (B) b) f A () = = 43,75 % 9 14 et f B () = 58,33 %. 24 c) Le choix du médicament sous forme générique est plus fréquent chez les moins de ans que chez les plus de ans. La conclusion proposée à la question 1. b) n est pas correcte. 1. Le nombre de personnes ayant reçu le diplôme de masseurs-kinésithérapeutes était Tableau d effectifs (arrondis au nombre entier le plus proche) : Infirmiers a), b), a), b), b) Un ajustement affine apparaît envisageable, car les c) (3,5 ; 2 5). Voir graphique. 2. L année 28 correspond au rang x = 7. Pour x = 7, on lit y 22 5 ; soit une cote estimée à Pour y = 23, on lit x 7,7 ; soit à partir de l année y (taux de pénétration, en %) y (cote, en euros) x (année) b) Un ajustement affine est envisageable, car les 2. a) Voir graphique. b) La droite 1 est plus «proche» des points du nuage. 3. a) L année 27 correspond au rang x = 7. Pour x = 7, on lit y 78, soit 78 %. Pour y = 85, on lit x 8,, soit pour

12 b) Pour x = 7, y = = 78, soit 78 %. On résout l inéquation 4x + 5 > 85, soit x > 8,75, c est-à-dire à partir de ela peut s expliquer par le fait que les prix de vente des génériques sont globalement moins élevés que ceux des spécialités remboursables. 2. a) Nuage de points : y (part des ventes, en quantité) A b) Un ajustement affine apparaît envisageable, car les 3. (3 ; 1,74). 4. Voir graphique. 5. Le coefficient directeur de la droite (A) est 1,74 3,93 m = = 2,2. 3 L équation réduite de (A) est donc de la forme y = 2,2x + p. Les coordonnées du point A vérifient l équation réduite de la droite : 3,9 = 2,2 + p, soit p = 3,9. La droite (A) a donc pour équation réduite y = 2,2x + 3,9.. a) L année 2 correspond au rang x =. Pour x =, y = 2,2 + 3,9 = 17,52. On peut estimer la part des ventes, en quantité, des médicaments génériques en 2 à environ 17,5 %. b) On résout l inéquation 2,2x + 3,9 > 18, soit x >,21, c est-à-dire à partir du rang 7. À partir de 27 (rang x = 7), la part des ventes, en quantité, des médicaments génériques devrait dépasser 18 %. 7. Pour x =, on lit y 17,5 et pour y = 18, on lit x,2 (voir graphique). 44 Tableau de données : Année Rang Degré d alphabétisation de l année x i y i 197 1,32 % ,98 % ,8 % ,54 % ,444 % ,97 % ,99 % ,14 % 1. a) 41,99 1, ,14, soit 44,14 %. 44,14 b) 1,32, soit 1,32 %. 2,9 2. Voir tableau. 3. a) Nuage de points : y (degré d alphabétisation, en %) b) Un ajustement affine est envisageable, car les 4. a) p = 14,51. : y =,87x + 14,51. b) Voir graphique. 5. a) L année 25 correspond au rang x = 35. Pour x = 35, on lit y 45 ; soit 45 %. b) Pour y = 4, on lit x 3, soit à partir de 2 (rang x = 3). c) Pour x = 35, y =, ,51 = 45,221, soit 45,221 %. On résout l inéquation :,87x + 14,51 > 4, soit x > 35,889, c est-à-dire à partir du rang 3. 3

13 45 1. a) L affirmation est exacte, 31,3 23, car 32, %. 23, 31,3 b) 2,8 %. 15, La dépense de médicaments représentait 2,8 % de la dépense de SBM en , 115,1 c) 3,8 %. 115,1 2. a) Nuage de points : 175, 17, 15, 1, 155, 15, 145, 1, 135, 13, 125, 12, 115, 11, b) Oui, car les points du nuage sont approximativement alignés. 3. (3,5 ; 133,3). y (dépense de SBM, en milliards d euros) a) Les coordonnées du point vérifient l équation réduite de la droite : 133,3 = m 3,5 + 17,75, soit m = 7,3. La droite a pour équation réduite y = 7,3x + 17,75. b) Voir graphique. 5. a) L année 27 correspond au rang x = 8. Pour x = 8, on lit y 1, soit 1 milliards d euros. b) Pour y = 1, on lit x 7,2, soit à partir de 27 (rang x = 8). c) Pour x = 8, y = 7, ,75 = 1,15, soit 1,2 milliards d euros. On résout l inéquation : 7,3x + 17,75 > 1, soit x > 7,15, c est-à-dire à partir du rang 8. 4 b) Un ajustement affine peut être envisagé, car les 2. a) Voir graphique. b) Pour x =, on lit y 123, soit une fréquence cardiaque de 123 battements par minute environ. Pour y = 148, on lit x 55, soit une intensité d environ 55 kilojoules par minute. 3. a) Le coefficient directeur de la droite (AB) est m = = 1, L équation réduite de (AB) est donc de la forme y = 1,x + p. Les coordonnées du point B vérifient l équation réduite de la droite : 144 = 1, 53 + p, soit p = 59,2. La droite (AB) a donc pour équation réduite y = 1,x + 59,2. b) Pour x =, y = 1, + 59,2 = 123, ,2 Pour y = 148, x = = 55,5. 1, x (intensité) 1. a) y (fréquence cardiaque) (*) 3 1,17 = A Année Montant en 3 51 (*) b) Le responsable sportif confond le pourcentage d évolution qui diminue chaque année avec le montant de la subvention qui augmente chaque année. B 31

14 2. a) Nuage de points : y (évolution, en %) x (année) b) Un ajustement affine apparaît envisageable, car les 3. Le coefficient directeur de la droite (AB) est 14,4 m = = 2, L équation réduite de (AB) est donc de la forme y = 2,8x + p. Les coordonnées du point B vérifient l équation réduite de la droite : = 2, p, soit p = 5 28,4. La droite (AB) a pour équation réduite y = 2,8x ,4. 4. a) Pour x = 29, y = 2, ,4 = 3,2. Le pourcentage d évolution de la subvention de 28 à 29 serait 3,2 %. b) ,32 = 5 342,4. Le montant de la subvention en 29 serait environ ,2 2,8 2,4 1, 1,2,8,4 59, 59,2 58,8 2 y (poids, en kg) x (rang de la semaine) b) Un ajustement affine est envisageable, car les 2. (4,5 ; 1,25). 3. Les coordonnées du point vérifient l équation réduite de la droite : 1,25 =,42 4,5 + p, soit p = 3, a) Voir graphique. b) Pour y = 59, on lit x 9,8, soit à la fin de la 1 e semaine. La personne n aura donc pas atteint son objectif. c) L inéquation,42x + 3,14 < 59 est équivalente à,42x < 4,14, soit x > 9,85 49 y (nombre de boissons vendues) x (température, en ) b) Un ajustement affine est envisageable, car les 2. 1, = 44, donc le point du nuage, de coordonnées (2 ; 44), correspondant au 2 e jour appartient à la droite d équation y = 1,4x 14. 1, = 148, donc le point du nuage, de coordonnées (3 ; 148), correspondant au e jour appartient à la droite d équation y = 1,4x a) Pour x = = 35, y = 1, = 2, soit 2 boissons vendues. b) Pour x = 25, y = 1, = 9, soit 9 boissons vendues. c) On résout l inéquation 1,4x 14 1, successivement équivalente à x ; 1,4 x 31,15, c est-à-dire approximativement à partir de Pour x = 35, on lit y 2. Pour x = 25, on lit y 9. Pour y = 1, on lit x a) 3 1,2 = 3 ; la température du 7 e jour est de 3. 32

15 b) Pour x = 3, y = 1, = 21,4, soit une estimation de 21 boissons vendues le 7 e jour Les coordonnées (3 ; 2) vérifient l équation de : 2 = p, soit p = 5. : y = 15x Pour x =,9, y = 15,9 5 = 38,5. Le montant des importations correspondant est estimé à ,5 3. Pourcentage d évolution :,4, soit 38,5 un pourcentage d évolution de 4 % entre le montant estimé et le montant réel des importations. Tableur sur papier 1. On entre 1 dans la cellule 3 et 2 dans la cellule 4. On sélectionne les cellules 3 et 4, puis on utilise la poignée de remplissage vers le bas jusqu à la cellule a) Formule (2) =1*(B3-B2)/B2. b) En cliquant dans la cellule D, on obtient la formule =1*(B-B5)/B5. 3. a) Un ajustement affine est justifié, car les points du nuage sont approximativement alignés. b) Pour x =, on lit y 7,5 ; on peut estimer le pourcentage d évolution du nombre de bactéries du jour numéro 5 au jour numéro à 7,5 %. 4. a) Formules (1) =SOMME(1:7) et (2) =SOMME(3:7). On utilise le bouton somme Σ de la barre d outils. b) Formules (2) =8/$A$7 et (3) =8/5. c) On utilise la fonction MOYENNE. 5. a) Le coefficient de la droite est 7,37, donc l équation réduite de est de la forme y = 7,37x + p. Les coordonnées du point moyen vérifient l équation réduite de la droite : 29, = 7, p, soit p = 51,71. La droite a pour équation réduite y = 7,37x + 51,71. b) Pour x =, y = 7, ,71 = 7,49, soit environ 7,5 %. On retrouve par le calcul l estimation du pourcentage d évolution du nombre de bactéries du jour numéro 5 au jour numéro déterminée à la question 3. b). c) Si le pourcentage d évolution du nombre de bactéries du jour numéro 5 au jour numéro est 7,5 %, alors le nombre de bactéries au jour numéro peut être estimé à 3 8, car 1, = 3 859,25. 33