Construction distribuée de groupes pour le calcul à grande échelle. O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Eyraud-Dubois, H.
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- Louise Lemieux
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1 Construction distribuée de groupes pour le calcul à grande échelle O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Eyraud-Dubois, H. Larchevêque O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 1 / 33
2 Les plates formes à grande échelle Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 2 / 33
3 Les plates formes à grande échelle Les plates formes à grande échelle Exploitation de ressources disponibles chez les utilisateurs Ressources reliées entre elles via Internet Résolution de problèmes trivialement parallélisables O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 3 / 33
4 Les plates formes à grande échelle Fonctionnement Chaque utilisateur est un client Un serveur central distribue de petites tâches indépendantes sur les ressources disponibles Récupère et traite les résultats O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 4 / 33
5 Les plates formes à grande échelle Nouvelles perspectives Décentralisé : suppression du serveur Tâches indépendantes plus grosses : intraitable par un hôte seul Regroupement de plusieurs hôtes pour travail en commun O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 5 / 33
6 Les plates formes à grande échelle Regroupement des hôtes Basée sur une notion de proximité "géographique" Notion de distance basée sur les temps de communications Problèmes : Espace à plusieurs dimensions 1 Distance entre deux points varie au cours du temps Nécessité d'une structure qui nous permette de connaître nos voisins On se ramène à un problème de bin covering. 1 F. Dabek et al., Vivaldi : A Decentralized Network Coordinate System, 2004 O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 6 / 33
7 Bin Covering avec diamètre contraint Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 7 / 33
8 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 8 / 33
9 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Qu'est ce que c'est? Un ensemble d'éléments Chacun possède un poids Le but : Les assembler en groupes de poids total dépassant une certaine valeur T Maximiser le nombre de groupes créés à partir d'une liste donnée On normalise les poids par rapport à T, pour que la valeur à dépasser soit 1 O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 9 / 33
10 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering NP-Complétude et approximations Problème NP-Complet Algorithmes d'approximation : obtenir un nombre de sacs le plus proche possible de l'optimal En centralisé : 2/3, 3/4 2 PTAAS, Polynomial Time Asymptotic Approximation Scheme 3 2 S.F. Assmann et al., On a dual version of the one-dimensional bin packing problem, J. Csirik et al., Better approximation algorithms for bin covering O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 10 / 33
11 Bin Covering avec diamètre contraint Introduction de la contrainte de distance Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 11 / 33
12 Bin Covering avec diamètre contraint Introduction de la contrainte de distance Qu'est ce que c'est? Reprend le principe du bin covering : ensemble d'éléments pondérés à empaqueter Chaque hôte hébergeant possède des coordonnées Contraintes sur la formation des groupes : Poids supérieur à 1 Diamètre inférieur à d max Dénition (Diamètre d'un groupe) Plus grande distance entre deux membres d'un même groupe O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 12 / 33
13 Bin Covering avec diamètre contraint Introduction de la contrainte de distance Cadre de notre étude Dénition (Convexité d'un groupe) Groupe convexe Aucun élément non membre dans l'enveloppe convexe de ce groupe Problème jamais étudié Premiers résultats en dimension 1, création de groupes convexes En dimension 1, groupe convexe Intervalle O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 13 / 33
14 Premiers Résultats Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 14 / 33
15 Premiers Résultats Théorème Toute solution créant des groupes ayant les trois propriétés suivantes est une solution à un facteur de 1/3 par rapport à l'optimal : Propriété (P1) Chaque groupe est convexe et de poids supérieur ou égal à 1 Propriété (P2) Chaque groupe a un poids strictement inférieur à 2 Propriété (P3) Il n'existe pas, entre une paire de groupes convexes, d'intervalle constructibles, de taille inférieure à d max, dans lequel la somme des poids est supérieure ou égale à 1 O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 15 / 33
16 Premiers Résultats Résultat Théorème On a un algorithme avec facteur d'approximation 1/3 qui permet de faire du bin covering avec diamètre contraint en dimension 1, de manière distribuée en O(log 2 n) étapes O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 16 / 33
17 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 17 / 33
18 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 18 / 33
19 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Principe Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Trouver une solution qui s'autorise à former des groupes de diamètre plus grand que d max Le comparer à l'optimal contraint à d max On choisit, en dimension d, d'autoriser notre groupe à avoir un diamètre de 3d max On utilise un algorithme glouton en deux phases Cet algorithme glouton construit des groupes de poids inférieurs à 2 O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 19 / 33
20 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Impact sur le facteur d'approximation Théorème Il est possible d'obtenir un facteur d'approximation avec diamètre contraint à 3d max de 1/3 par rapport à l'optimal contraint à d max en utilisant un algorithme glouton à plusieurs phases vériant les propriétés suivantes Propriété (P1) Chaque groupe a un poids supérieur ou égal à 1 Propriété (P2) Chaque groupe a un poids strictement inférieur à 2 Propriété (P3) Il n'existe pas, dans l'espace privés des groupes créés, d'ensemble de points constructibles, de diamètre inférieur à 3d max et dans lequel la somme des poids est supérieure ou égale à 1 O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 20 / 33
21 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 21 / 33
22 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures L'algorithme glouton Phase 1 : Tant qu'il existe un groupe constructible, de diamètre d d max et de poids P avec 1 P < 2, le construire. Oter ses éléments de l'espace et continuer. On crée ainsi n 1 groupes en phase P1 Phase 2 : Même chose avec les éléments restant en créant des groupes de diamètre d 3d max. n 2 groupes sont créés en phase P2 O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 22 / 33
23 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Quelques dénitions Rappels : Dénition (Diamètre d'un groupe) Plus grande distance entre deux membres d'un même groupe Dénition (Element groupable) Un élément est dit groupable si il appartient à un groupe constructible, de poids P 1 et de diamètre d d max Dénition (Zone étendue) La zone étendue d'un groupe G est l'ensemble des points y tels que d(g; y) d max (comprenant donc les points de G) O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 23 / 33
24 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Lemmes de base Lemme (Diamètre d'une zone étendue) Le diamètre de la zone étendue d'un groupe créé en phase P1 est inférieure ou égale à 3d max Lemme (Lemme 2) Tout groupe formé par une solution optimale contrainte à d max est totalement inclus dans la zone étendue d'un groupe formé par l'algorithme glouton en phase P1 O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 24 / 33
25 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Idée de la preuve On compte le nombre de groupes créés optimalement : les groupes à former étant de poids P 1, cela revient à compter le poids total des éléments groupables : card(opt(d max )) e elem groupables w(e) O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 25 / 33
26 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Idée de la preuve On a donc : card(opt(d max )) e elem groupables w(e) card(opt(d max )) g1 construit en P1 w(g 1) + g2 construit en P2 w(g 2) + w perdu card(opt(d max )) < 2n 1 + 2n 2 + n 1 card(opt(d max )) < 3(n 1 + n 2 ) Donc : n 1 + n 2 > 1/3card(Opt(d max )) O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 26 / 33
27 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Version économe Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 27 / 33
28 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Utilisation d'un glouton économe Version économe Le glouton économe fonctionne de la même façon que le glouton classique, en deux phases, mais la première phase est plus précise : Phase 1 : Tant qu'il existe un groupe constructible, de diamètre d d max et de poids P avec P 1, le construire. En ôter ensuite tous les éléments qui ne sont pas nécessaires à la validité du groupe. Enn, ôter les éléments de ce groupe de l'espace et continuer. On crée ainsi n 1 groupes en phase P1 Phase 2 : Même chose avec les éléments restant en créant des groupes de diamètre d 3d max. n 2 groupes sont créés en phase P2 O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 28 / 33
29 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Version économe Conséquences d'une telle économie En agissant ainsi, on est sûr d'avoir le lemme principal suivant : Lemme Si un groupe de phase 1 a pour poids 1 + w, 0 w < 1, alors tout élément de ce groupe a un poids strictement supérieur à w, et ce groupe a un nombre d'éléments e < 1 + 1/w. Et d'avoir celui-ci : Lemme Si un groupe de phase 1 a N éléments alors w(groupe) < 1 + 1/(N 1). Notamment si N = 3, w(groupe) < 3/2. Avec cette propriété, on prouve un facteur d'approximation de 2/5. O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 29 / 33
30 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Contre exemple Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 30 / 33
31 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Contre exemple du facteur 1/2 Contre exemple Fig.: e > 0. L'optimal fait 17 groupes (ovales), le glouton, 8 (carrés) O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 31 / 33
32 Perspectives Plan 1 Les plates formes à grande échelle 2 Bin Covering avec diamètre contraint Bin Covering Introduction de la contrainte de distance 3 Premiers Résultats 4 Extension du facteur d'approximation aux dimensions supérieures Facteur d'approximation avec augmentation de ressources Version économe Contre exemple 5 Perspectives O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 32 / 33
33 Perspectives Perspectives On a un encadrement du facteur d'approximation F avec augmentation de ressources : 2/5 < F < 8/17 Extension de nos résultats au bin packing contraint Algorithmes distribués traduisant nos résultats Dynamicité des hôtes Dynamicité des poids des hôtes : problème inhérent aux plates formes à grande échelle. Compliqué à gérer même en une dimension O. Beaumont, N. Bonichon, P. Duchon, L. Construction Eyraud-Dubois, distribuée H. Larchevêque de groupes (LaBRI) pour le calcul à grande échelle 33 / 33
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