Tome I GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 35

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1 Tome I I ONDES ET PARTICULES. INTRODUCTION AUX IDÉES FON- DAMENTALES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 1 A Ondes électromagnétiques et photons B Corpuscules matériels et ondes de matière C Description quantique d une particule. Paquets d ondes D Particule dans un potentiel scalaire indépendant du temps GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 35 A I Ordre de grandeur des longueurs d onde 37 B I Contraintes imposées par la relation de Heisenberg 41 1 Système macroscopique Système microscopique C I Relation de Heisenberg et paramètres atomiques 43 D I Une expérience illustrant la relation de Heisenberg 47 E I Paquet d ondes à deux dimensions 51 1 Introduction Dispersion angulaire et dimensions latérales Discussion physique F I Lien entre les problèmes à une et à trois dimensions 55 1 Paquet d ondes à trois dimensions Justification des modèles à une dimension G I Paquet d ondes gaussien 59 1 Définition d un paquet d ondes gaussien Calcul de x et p ; relation de Heisenberg Evolution du paquet d ondes H I Potentiels carrés à une dimension 65 1 Comportement d une fonction d onde stationnaire ϕ(x) Étude de certains cas simples J I Paquet d ondes dans une marche de potentiel 77 1 Réflexion totale : E < V Réflexion partielle : E > V K I Exercices 85 vii

2 II LES OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUAN- TIQUE 89 A Espace des fonctions d onde d une particule B Espace des états. Notations de Dirac C Représentations dans l espace des états D Equation aux valeurs propres. Observables E Deux exemples importants de représentations et d observables F Produit tensoriel d espaces d états GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 161 A II Inégalité de Schwarz 163 B II Rappel de quelques propriétés utiles des opérateurs linéaires Trace d un opérateur Algèbre des commutateurs Restriction d un opérateur à un sous-espace Fonctions d opérateurs Dérivation d un opérateur C II Opérateurs unitaires Propriétés générales des opérateurs unitaires Transformation unitaire sur les opérateurs Opérateur unitaire infinitésimal D II Etude plus détaillée des représentations { r } et { p } Représentation { r } Représentation { p } E II Quelques propriétés générales de deux observables Q et P dont le commutateur est égal à i Opérateur S(λ) : définition, propriétés Valeurs propres et vecteurs propres de Q Représentation { q } Représentation { p }. Symétrie entre les observables P et Q F II Opérateur parité Etude de l opérateur parité Opérateurs pairs et impairs Etats propres d une observable B + paire Application à un cas particulier important G II Application des propriétés du produit tensoriel ; puits infini à deux dimensions Définition ; états propres Etude des niveaux d énergie H II Exercices 207 viii

3 III LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 215 A Introduction B Enoncé des postulats C Interprétation physique des postulats sur les observables et leur mesure 229 D Contenu physique de l équation de Schrödinger E Principe de superposition et prévisions physiques GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 271 A III Particule dans un puits de potentiel infini : étude physique Répartition des valeurs de l impulsion dans un état stationnaire Evolution de la fonction d onde de la particule Perturbation apportée par une mesure de la position B III Etude du courant de probabilité dans quelques cas particuliers Expression du courant dans des régions où le potentiel est constant Application aux problèmes de marches de potentiel Courant de probabilité des ondes incidente et évanescente, dans le cas d une réflexion sur une marche de potentiel à deux dimensions C III Ecarts quadratiques moyens de deux observables conjuguées Relation de Heisenberg pour P et Q Paquet d ondes minimum D III Mesures portant sur une partie d un système physique Calcul des prévisions physiques Signification physique d un état produit tensoriel Signification physique d un état qui n est pas un produit tensoriel E III L opérateur densité Position du problème Notion de mélange statistique d états Cas pur. Introduction de l opérateur densité Mélange statistique d états (cas non pur) Exemples d utilisation de l opérateur densité F III Opérateur d évolution Propriétés générales Cas des systèmes conservatifs G III Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg 321 H III Invariance de jauge Position du problème : potentiels scalaire et vecteur associés à un champ électromagnétique ; notion de jauge Invariance de jauge en mécanique classique Invariance de jauge en mécanique quantique ix

4 J III Propagateur de l équation de Schrödinger Introduction. Idée physique Existence et propriétés d un propagateur K(2, 1) Formulation lagrangienne de la mécanique quantique K III Niveaux instables. Durée de vie Introduction Définition de la durée de vie Description phénoménologique de l instabilité d un niveau L III Exercices 351 M III Etats liés dans un puits de potentiel de forme quelconque Quantification de l énergie des états liés Valeur minimale de l énergie du niveau fondamental N III Etats non liés d une particule en présence d un puits ou d une barrière de potentiel de forme quelconque Matrice de transmission M(k) Coefficients de transmission et de réflexion Exemple O III Propriétés quantiques d une particule dans une structure périodique à une dimension Traversée successive de plusieurs barrières de potentiel identiques Discussion physique : notion de bande d énergie permise ou interdite Quantification des niveaux d énergie dans un potentiel de structure périodique ; effet des conditions aux limites IV APPLICATION DES POSTULATS À DES CAS SIMPLES : SPIN 1/2 ET SYSTÈMES À DEUX NIVEAUX 397 A Particule de spin 1/2 : quantification du moment cinétique B Illustration des postulats sur le cas d un spin 1/ C Etude générale des systèmes à deux niveaux GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 427 A IV Les matrices de Pauli Définition ; valeurs propres et vecteurs propres Propriétés simples Une base commode de l espace des matrices B IV Diagonalisation d une matrice hermitique Introduction Changement d origine pour le repérage des valeurs propres Calcul des valeurs propres et vecteurs propres x

5 C IV Spin fictif 1/2 associé à un système à deux niveaux Introduction Interprétation de l hamiltonien en termes de spin fictif Interprétation géométrique D IV Système de deux spins 1/ Description quantique Prédiction des résultats de mesure E IV Matrice densité d un spin 1/ Introduction Matrice densité d un spin parfaitement polarisé (cas pur) Exemple de mélange statistique : spin non polarisé Spin 1/2 à l équilibre thermodynamique dans un champ statique Décomposition de la matrice densité sur les matrices de Pauli F IV Résonance magnétique Traitement classique ; référentiel tournant Traitement quantique Lien entre le traitement classique et le traitement quantique : évolution de M Equations de Bloch G IV Modèle simple pour la molécule d ammoniac Description du modèle Fonctions propres et valeurs propres de l hamiltonien La molécule d ammoniac considérée comme un système à deux niveaux 482 H IV Effets d un couplage entre un état stable et un état instable Introduction. Notations Influence d un couplage faible sur des niveaux d énergies différentes Influence d un couplage quelconque sur des niveaux de même énergie J IV Exercices 495 V L OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION 501 A Introduction B Valeurs propres de l hamiltonien C Etats propres de l hamiltonien D Discussion physique GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 529 A V Etude de quelques exemples physiques d oscillateurs harmoniques531 1 Vibration des noyaux d une molécule diatomique Vibration des noyaux dans un cristal Oscillations de torsion d une molécule : exemple de l éthylène Atomes muoniques lourds xi

6 B V Etude des états stationnaires en représentation { x }. Polynômes d Hermite Les polynômes d Hermite Les fonctions propres de l hamiltonien de l oscillateur harmonique C V Résolution de l équation aux valeurs propres de l oscillateur harmonique par la méthode polynomiale Changement de fonction et de variable Méthode polynomiale D V Etude des états stationnaires en représentation { p } Fonctions d onde dans l espace des impulsions Discussion physique E V L oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions L opérateur hamiltonien Séparation des variables en coordonnées cartésiennes Dégénérescence des niveaux d énergie F V Oscillateur harmonique chargé placé dans un champ électrique uniforme Equation aux valeurs propres de H (E ) en représentation { x } Discussion physique Utilisation de l opérateur translation G V Etats cohérents quasi classiques de l oscillateur harmonique Recherche des états quasi classiques Propriétés des états α Evolution d un état quasi classique au cours du temps Exemple d application : étude quantique d un oscillateur macroscopique 601 H V Modes propres de vibration de deux oscillateurs harmoniques couplés Vibrations des deux particules en mécanique classique Etats de vibration du système en mécanique quantique J V Modes de vibration d une chaîne linéaire indéfinie d oscillateurs harmoniques couplés ; phonons Etude classique Etude quantique Application à l étude des vibrations dans un cristal : les phonons K V Modes de vibration d un système physique continu. Application au rayonnement ; photons Position du problème Modes de vibration d un système mécanique continu : exemple de la corde vibrante Modes de vibration du rayonnement : les photons xii

7 L V Oscillateur harmonique à une dimension en équilibre thermodynamique à la température T Energie moyenne Discussion physique Applications Distribution de probabilité de l observable X M V Exercices 667 VI MOMENTS CINÉTIQUES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE 673 A Introduction : importance du moment cinétique B Relations de commutation caractéristiques des moments cinétiques C Théorie générale du moment cinétique D Application au moment cinétique orbital GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 709 A VI Les harmoniques sphériques Calcul des harmoniques sphériques Propriétés des harmoniques sphériques B VI Moment cinétique et rotations Introduction Etude succincte des rotations géométriques R Opérateurs de rotation dans l espace des états. Exemple d une particule sans spin Opérateurs de rotation dans l espace des états d un système quelconque Rotation des observables L invariance par rotation C VI Rotation des molécules diatomiques Introduction Rotateur rigide. Etude classique Quantification du rotateur rigide Manifestations expérimentales de la rotation des molécules D VI Moment cinétique des états stationnaires d un oscillateur harmonique à deux dimensions Introduction Classification des états stationnaires au moyen des nombres quantiques n x et n y Classification des états stationnaires en fonction de leur moment cinétique767 4 Etats quasi classiques xiii

8 E VI Particule chargée dans un champ magnétique. Niveaux de Landau Rappels classiques Propriétés quantiques générales d une particule dans un champ magnétique782 3 Cas où le champ magnétique est uniforme F VI Exercices 801 VII PARTICULE DANS UN POTENTIEL CENTRAL. ATOME D HYDROGÈNE 809 A Etats stationnaires d une particule dans un potentiel central B Mouvement du centre de masse et mouvement relatif pour un système de deux particules en interaction C L atome d hydrogène GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 839 A VII Systèmes hydrogénoïdes Systèmes hydrogénoïdes comprenant un électron Systèmes hydrogénoïdes sans électron B VII Exemple soluble de potentiel central : l oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions Résolution de l équation radiale Niveaux d énergie et fonctions d onde stationnaires C VII Courants de probabilité associés aux états stationnaires de l atome d hydrogène Expression générale du courant de probabilité Application aux états stationnaires de l atome d hydrogène D VII Atome d hydrogène plongé dans un champ magnétique uniforme. Paramagnétisme et diamagnétisme. Effet Zeeman Hamiltonien du problème. Terme paramagnétique et terme diamagnétique866 2 Effet Zeeman E VII Etude de quelques orbitales atomiques. Orbitales hybrides Introduction Orbitales atomiques associées à des fonctions d onde réelles Hybridation sp Hybridation sp Hybridation sp F VII Niveaux de vibration-rotation des molécules diatomiques Introduction Résolution approchée de l équation radiale Evaluation de quelques corrections xiv

9 G VII Exercices Particule dans un potentiel à symétrie cylindrique Oscillateur harmonique à trois dimensions dans un champ magnétique uniforme INDEX 911 xv