REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Transcription

1 REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE N d ordre :.. Série :..... UNIVERSITE MENTOURI - CONSTANTINE FACULTE DES SCIENCES DE L'INGENIEUR DEPARTEMENT D'ELECTRONIQUE THESE Présentée pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En électronique Spécialité : microélectronique par : RECHEM DJAMIL Maitre assistant classe A Titre : Contribution à l étude de transistor MOS à oxyde de grille très mince Devant le jury : président F. MANSOUR Prof. Univ. Mentouri Constantine Directrice de Thèse S. LATRECHE Prof. Univ. Mentouri Constantine Examinateur C. AZIZI Prof. Univ. Oum El Bouaghi Examinateur A. CHAABI Prof. Univ. Mentouri Constantine Examinateur S. BERRAH M.C.A Univ. Béjaïa Soutenue le : 02/06/2010

2

3 To my beloved Father and Mother for their sacrifice and support for my long education

4 Remerciement Remerciements J aimerais tout d abord remercier ma directrice de thèse Madame S. Latreche, Professeur à l université Mentouri de Constantine, avec qui j ai eu le plaisir de travailler durant ces années de thèse: j ai beaucoup appris à ses cotés, tant sur le plan scientifique qu humain. Je tiens aussi à la remercier pour la confiance qu elle m a accordé en me proposant ce sujet de recherche. Je remercie vivement Madame F. Mansour, Professeur à l université Mentouri de Constantine, qui m'a fait l'honneur de présider le jury de ma thèse. J adresse mes vifs remerciements à Mme. C. Azizi, Professeur à l université d Oum El Bouaghi, qui m a fait l honneur d accepter de juger mon travail. J'exprime toute ma reconnaissance à Monsieur A. Chaabi, Professeur à l université Mentouri de Constantine, pour l intérêt qu il a porté à mes travaux en acceptant d être examinateur de cette thèse. Je tiens à remercier sincèrement Monsieur S. Berrah, Maître de conférences à l université de Bejaïa, d avoir bien voulu être examinateur de mon travail. Mes remerciements ne sauraient être complets si je n exprimais pas ma profonde gratitude à ma famille et mes amis, qui m ont tous entourés et m ont donnés la force de passer les moments difficiles. Enfin, je remercie tous les membres du laboratoire LHS chacun en son nom ainsi que tous ceux qui ont contribués de prés ou de loin à l aboutissement de ce travail.

5 Sommaire

6 Sommaire Sommaire Constantes, symboles, abréviations i Liste des figures iv Introduction générale Chapitre I: Introduction aux transistors MOSFETs I.1 Les transistors à effet de champ : principe de fonctionnement et évolution I.1.1 Bref historique I.1.2 Loi de Moore I.1.3 La «Roadmap» I.1.4 Principe de fonctionnement des MOSFETs I Effet de champ & MOSFET I Caractéristiques courant-tension des MOSFETs I.1.5 Principaux paramètres des MOSFETs I.2 Miniaturisation des transistors à effet de champ I.2.1 Pourquoi réduire la taille des transistors? I.2.2 la course de la miniaturisation I.2.3 Effet de canal court (SCE : Short channel effect) I Problèmes liés aux forts champs électriques I Diminution de la tension de seuil dans les canaux courts I Effets de percement I Effets liés aux faibles épaisseurs d oxyde I Effets quantiques dans le canal I.3 Les architectures émergentes I.3.1 MOSFET non conventionnels I Transistors MOS à hétérojonctions I Transistor sur substrat SOI I Transistor à grilles multiples I Transistor MOSFET à double grilles I.3.2 Composants alternatifs I Électronique moléculaire I

7 Sommaire I Nanotubes de carbone I Blocage de Coulomb I.4 Conclusion Chapitre II: Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II.1 Matériaux utilisés dans les MOSFETs II.1.1 Le silicium : matériau de base II Propriétés physiques du Silicium II Structure de bande du Silicium et notions de masse effectives II.1.2 La silice II Propriétés électriques du SiO II.1.3 Diagramme de bandes de la structure MOS II.1.4 Hypothèses utiles faites sur les matériaux concernant les structures MOSFETs II.2 Transport électronique dans le Silicium : phénomènes et éléments de base II.2.1 Transport stationnaire II Conduction à faible champ latéral : Loi d Ohm et mobilité II Conduction à fort champ latéral : saturation de la vitesse des porteurs II.2.2 Transport non stationnaire II.2.3 Transport balistique dans les dispositifs ultracourts II La longueur moyenne libre de l électron (libre parcours moyen) II Transport balistique II.3 Description du transport électronique par la mécanique classique II.3.1 Physique et équations des semi-conducteurs II Equations de Maxwell II Formulation des équations du semi-conducteur (modèle mathématique) II Systèmes d équations des semi-conducteurs II Modèles physique considérés II La densité de charge II Les Mobilités II

8 Sommaire II Génération-Recombinaison II.3.2 Inadéquation du modèle classique II.4 Description du transport électronique par la mécanique quantique II.4.1 Confinement quantique dans les structures MOS II Effets quantiques II Confinement quantique II.4.2 Equations considérées II Equation de Poisson II Equation de Schrödinger II Densité des électrons II Densité de courants électriques II.4.3 Modèle Auto cohérent Schrödinger-Poisson II Résolution auto-cohérente des équations de Schrödinger et de Poisson II.5 Conclusion Chapitre III: Résolution numérique des équations fondamentales de transport électronique dans les semi-conducteurs III.1 Classification des problèmes aux limites III.2 Résolution des problèmes aux dérivées partielles III.2.1 Les différences finies III.2.2 Les volumes finis III.2.3 Les éléments finis III.3 Les différences finies III.3.1 Le développement de Taylor III Développement en série de Taylor III Développement limité de Taylor III.3.2 La méthode des différences finies III.3.3 Procédure de résolution des problèmes aux limites III.4 Présentation du dispositif MOSFET double grille III.5 Résolution des équations du modèle dérive-diffusion III.5.1 Equation discrète de Poisson III

9 Sommaire III.5.2 Equation discrète de continuité des électrons III.5.3 Equation discrète de continuité des trous III.5.4 Solution du système III.6 Résolution des équations couplées de Poisson et de Schrödinger III.6.1 Discrétisation de l équation de Poisson 2D III Résolution du système d équations non-linéaires III.6.2 Discrétisation de l équation de Schrödinger III.6.3 Procédure et algorithme de calcul III.7 Conclusion Chapitre IV: Effet de la réduction des dimensions du DG MOSFET à canal de conduction confiné sur ses performances électriques IV.1 Structure d étude IV.2 Caractéristiques courant-tension IV.2.1 Validation du code de calcul (programme) IV.2.2 Effet des phénomènes quantiques sur le courant électrique IV.3 Etude en régime bloqué IV.3.1 Densité d électrons IV.3.2 Bande de conduction IV.4 Etude en régime de saturation IV.4.1 Densité d électrons IV.4.2 Energie potentielle IV.5 Influence de la grille sur la barrière de potentiel IV.6 Etude de l effet du «DIBL» (Drain Induced Barrier Lowering) IV.7 Effet de la miniaturisation sur les performances électriques des DG MOSFETs IV.7.1 Longueur du canal IV.7.2 Travail de sortie du métal IV.8 Conclusion Conclusion générale Références bibliographiques IV

10 Constantes, symboles, abréviations & Liste des figures

11 Constantes, symboles, abréviations Constantes Significations/Valeurs Unités c Vitesse de la lumière dans le vide, c=2, ms -1 m/s h Constante de Plank, h=6, Js Js ħ Constante de Plank réduite, ħ = h 2π Js Js k B Constante de Boltzmann, k B =8, ev/k J/K m 0 Masse d électron, m 0 =9, kg kg m l Masse longitudinale, m l =0,916. m 0 pour les électrons dans le Si kg m t Masse transverse, m t =0,191. m 0 pour les électrons dans le Si kg q Charge élémentaire, q=1, C C U T kt/q V ε 0 Permittivité diélectrique du vide, ε 0 =8, F/m F/m ε ox Permittivité diélectrique de l oxyde de silicium, ε ox =3,9. ε 0 F/m ε si Permittivité diélectrique du silicium, ε si =11,8. ε 0 F/m Symboles Significations Unités E Champ électrique V/m B Champ magnétique T k Vecteur d onde m -1 µ 0 Mobilité des électrons à faible champ m 2 /Vs µ D Niveau de Fermi dans le drain ev µ eff Mobilité effective des électrons m 2 /Vs µ n Mobilité des électrons m 2 /Vs µ p Mobilité des trous m 2 /Vs µ S Niveau de Fermi dans la source ev C n Coefficient de capture des électrons m 3 s -1 C p Coefficient de capture des trous m 3 s -1 C ox Capacité d oxyde par unité de surface, C ox = ε ox T ox F/m 2 C t Densité de charge due aux centres de recombinaison m -3 d Epaisseur de la ZCE m D n Coefficient de diffusion des électrons m 2 /s D p Coefficient de diffusion des trous m 2 /s DOP Densité de charge fixe ND + -NA - (dopage) m -3 E Energie des électrons ev Ec Energie de la bande de conduction ev Ev Energie de la bande de valence ev E F Energie du niveau de Fermi ev E FI Energie du niveau intrinsèque ev Eg Energie de la bande interdite du semi-conducteur (gap) ev G d Conductance du drain S ou S/m G m Transconductance de sortie S ou S/m GRn Taux de génération Recombinaison des électrons m -3 s -1 GRp Taux de génération Recombinaison des trous m -3 s -1 I D Courant de drain A/m I OFF Courant de drain à l état bloqué A/m i

12 Constantes, symboles, abréviations I ON Courant de drain à l état passant A/m Jn Densité de courant électrique des électrons A/m Jp Densité de courant électrique des trous A/m k x/y/z Composant du vecteur d onde dans la direction x,y ou z m -1 L CH Longueur du canal m L D Longueur du drain m L S Longueur de la source m L eff Longueur effective du canal m L G Longueur de la grille m l pm Libre parcours moyen des porteurs m Mn Mobilité des électrons normalisée - Mp Mobilité des trous normalisée - n Concentrations des électrons m -3 N Concentrations d électrons normalisées (par apport à - n i =1, cm -3 ) n 2D Concentrations des électrons se comporte comme un gaz 2D m -3 N A Concentration en dopant accepteur m -3 N D Concentration en dopant donneur m -3 n i Concentrations intrinsèque du silicium m -3 S Pente sous seuil T Température K T ox Epaisseur d oxyde m T si Epaisseur de la zone active de silicium m V Potentiel électrostatique V V DD Tension d alimentation des technologies CMOS V V DS Tension drain source V V Dsat Tension de saturation V V FB Tension de bande plate (flat-band potential) V V GS Tension grille source V V TH Tension de seuil V v Vitesse des porteurs m/s v sat Vitesse de saturation m/s w Largeur du canal m ρ Densité de charges dans le semi-conducteur Cm -3 σ Conductivité électrique (Ωm) -1 τ n Durées de vie des électrons s τ p Durées de vie des trous s Φ Potentiel électrostatique normalisé par rapport à U T =0,0258V - Φ m Travail de sortie du métal ev Φ n Potentiel de Fermi des électrons V Φ p Potentiel de Fermi des trous V ψ Fonction d onde des particules - Cigle/abréviation AFM AMD BOX CNTFET Signification Atomic force microscope (microscope à force atomique) Advanced mico devices Buried oxide (couche d oxyde enterrée) Carbone nanotube field effect transistor (transistor à nanotube de carbone) ii

13 Constantes, symboles, abréviations DDM DG, DGMOS DIBL DRAM ITRS MEB MOS MOSFET NMOS SOI ZCE Modèle de Drive Diffusion Double gate MOSFET (transistor MOS double grille) Drain induced barrier lowering (abaissemement de la barrière d injection source/drain due à la tension de drain Dynamic random access memory International technology roadmap of semiconducteur (feuille de route internationale des semi-conducteurs Microscope électronique à balayage Métal/oxyde/semi-conducteur MOS field effect transistor, transistor à effet de champ MOS Transistor à effet de champ MOS à canal N Silicon on insulator, substrat silicium sur isolant Zone de charge d espace iii

14 Liste des figures Figure Liste des figures Page I.1 Photographie d un boulier chinois traditionnel.. 4 I.2 Photo de processeur de type Pentium : puce ( 1 cm 2 ) montée sur son boîtier en céramique.. 4 I.3 Evolution relative des technologies de semiconducteurs (prévisions de l ITRS 2004) I.4 Schéma d un transistor MOSFET à canal N sur substrat P conventionne. a) Schéma en coupe b) Schéma en vue de dessus L G longueur de la grille, W largeur du canal et T OX épaisseur d oxyde. 8 I.5 Principe de fonctionnement d un transistor MOS a) Etat bloqué. b) Etat passant 9 I.6 Régimes de polarisation d un transistor MOSFET à canal N sur substrat P (normally off) à faible V DS positif. En (a) désertion en trous sous la grille, en (b) formation du canal de conduction à partir des réservoirs à électrons de source et drain 10 I.7 Caractéristique I D (V DS ) typique à différents V GS d un transistor NMOS [MATH04] I.8 Caractéristique I D (V GS ) à V DS =V DD d un transistor NMOS. Ion, Gm et V T sont indiqués [MARI06] I.9 Caractéristique Log [I D (V GS )] à V DS =V DD d un transistor NMOS. Ion, I OFF et S sont indiqués [MARI06]. 13 I.10 Réduction de la longueur de grille L G des MOSFET dans les mémoires DRAM ainsi que celle prévue pour les années à venir [ITRS].. 16 I.11 Evolution de la bande de conduction dans un MOS «long» (L G >2.d) et un MOS «court» (L G <2.d) selon l axe source-drain à faible V DS et avec V GS égal à la tension de bande plate V FB. «d» épaisseur des ZCE des jonctions caissons/canal [GAUT03].. 17 I.12 Illustration des effets de percement. La tension de drain vient modifier la barrière de potentiel qui limite l injection des porteurs dans le canal (percement en volume) [JERO05].. 18 I.13 Courbes de transfert pour des tensions de drain V D high et V D low.. 19 I.14 Photographie en microscopie électronique en transmission à haute résolution d une capacité MOS dont l épaisseur d oxyde atteint les 0.8 nm [CHAU00] iv

15 Liste des figures I.15 Niveaux d énergie dans la couche d inversion d une structure MOS pour deux niveaux de dopage de substrat [MONS02] (NA = cm 3 et NA = cm 3 ). (b) Profil de concentration des électrons dans une capacité MOS calculé en incluant (trait plein) ou non (tirets) les effets de confinement quantique : le dopage (N) du polysilicium est de cm 3 et le dopage (P) du silicium est de cm -3, la tension de grille étant de 0.3 V [JOHA03].. 21 I.16 Coupe schématique d un HEMT à canal d électrons SiGe/Si/SiGe.. 22 I.17 Coupe schématique d un PMOSFET à hétéro-structures Si/SiGe/Si à canal enterré. 22 I.18 Circuit IBM CMOS en technologie SOI 23 I.19 Image au MEB, d une coupe de transistor à double grille non-autolignée [VINE05] 25 I.20 Image au MEB, d une coupe de transistor à double grille autoalignée [JERO05] I.21 (a) Représentation d un nanotube de carbone monoparoi. (b) Image STM d un nanotube de carbone à résolution atomique (IBM) [IBM] 26 I.22 Coupe schématique du transistor à effet de champ à nanotube de carbone d IBM. 27 II.1 Structure de la maille du Si 30 II.2 II.3 II.4 Zone de Brillouin du silicium. Les points W, L, K et X représentent les directions principales.. 31 a) Diagramme de bandes d énergie du silicium. b) Diagramme de bandes d énergie dans l approximation parabolique.. 33 Ellipsoïdes de masse des vallées Δ le long des directions cristallographiques principales II.5 Motif de base de la silice II.6 Diagramme de bandes du Si-SiO II.7 Diagramme schématique de bandes d énergie d une structure MOS avec un semi-conducteur de type p, pour les différents modes de fonctionnement : accumulation, déplétion et inversion.. 37 II. 8 Structure du transistor MOS SOI à double grille 38 II.9 Diagramme des bandes d énergies suivant la coupe verticale AB, avec d=t Si /2 38 v

16 Liste des figures II.10 Principaux champs électriques dans un transistor et notations utilisées 39 II.11 II.12 II.13 II.14 Représentation de la variation de la vitesse d entraînement des porteurs en fonction du champ électrique latéral. Tant que E<Ec, le transport est stationnaire et v=μ eff E. Pour E>Ec, la vitesse sature à cause des interactions avec le réseau. 41 Vitesse effective des porteurs en fonction de la longueur du canal. Le phénomène de survitesse pour les électrons est observé à 77K pour des canaux inférieurs à 130nm et même à température ambiante pour des canaux inférieurs à 90nm. A 300K la vitesse vaut cm/s > Vsat=10 7 cm/s [CHAN05].. 42 Schéma d une trajectoire typique d un porteur avec ses interactions dans a) un transistor long et b) un transistor ultracourt. l pm : libre parcours moyen des porteurs Mobilités des électrons et des trous dans le silicium en fonction de la concertation d impuretés 48 II.15 Niveaux d énergie dans une capacité MOS en forte inversion.. 52 II.16 II.17 Concentration d électrons dans une capacité MOS en régime de forte inversion. 52 Evolution typique de la bande de conduction le long de l axe source drain dans un transistor balistique II.18 Organigramme général de la Méthode de couplage Poisson Schrödinger. 59 II.19 Schéma du transistor à double grille. Une tranche Schrödinger est hachurée III.1 Discrétisation du domaine d analyse de la fonction f 66 III.2 Géométrie en 2D d un transistor DG-MOSFET symétrique. 68 III.3 Définition du domaine d'intégration pour le volume de la géométrie simulée.. 68 III.4 Algorithme de résolution adopté 73 III.5 Discrétisation de l équation de Poisson en différences finies. a) Dans un matériau homogène de constante diélectrique ε. b) A l interface entre deux matériaux aux constantes diélectriques distinctes ε sup et ε inf. 75 III.6 Evolution de l erreur en fonction du nombre d itérations.. 78 III.7 Schéma d une structure DG MOSFET subdivisé en tranche de Schrödinger 79 III.8 Algorithme de la résolution auto-cohérente des équations de Schrödinger et Poisson vi

17 Liste des figures IV.1 IV.2 IV.3 IV.4 IV.5 Comparaison entre les caractéristiques I DS (V GS ) obtenus par le modèle couplage Schrödinger Poisson et les résultats présentés dans [AHMA06].. 86 Caractéristiques I DS (V GS ) pour V DS =0.6 V obtenus par les modèles (dérivédiffusion) et couplage (Schrödinger-Poisson). 86 Représentation en deux dimensions de la concentration d électrons pour V GS =0.05V et V DS =0.05V.. 87 Concentration d électrons extrait dans la direction du transport au milieu du film à V GS =0.05V et V DS =0.05V. 88 Concentration d électrons dans la direction du confinement pour V GS =0.05V et V DS =0.05V IV.6 Cartographie 2D de la bande de conduction pour V GS =0.05V et V DS =0.05V 89 IV.7 IV.8 IV.9 IV.10 IV.11 Coupe longitudinale de la bande de conduction à V GS =0.05V et V DS =0.05V au milieu du film. 89 Représentation en deux dimensions de la concentration d électrons pour V GS =0.5V et V DS =0.6V Concentration d électrons extrait dans la direction du transport au milieu du film à V GS =0.5V et V DS =0.6V. 91 Concentration d électrons dans la direction du confinement pour V GS =0.5V et V DS =0.6V 91 Profils de concentration de porteurs dans la direction du confinement pour V GS =0.5V et V DS =0.6V, paramétrée par la distance d observation dans le canal 92 IV.12 Cartographie 2D de la bande de conduction pour V GS =0.5V et V DS =0.6V 93 IV.13 Coupe longitudinale de la bande de conduction à V GS =0.5V et V DS =0.6V au milieu du film.. 93 IV.14 Profils de l énergie potentielle le long du canal sous une tension V DS =0.6 V. V GS varie de 0 à 0.6 V par pas de 0.1V IV.15 IV.16 Densité électronique le long du canal. V DS =0.6V et V GS varie de 0 à 0.6 V par pas de 0.1V.. 95 Coupes longitudinales de la bande de conduction à V GS = 0 V au milieu de la zone active (T Si /2) et à différentes polarisations de drain (V DS = 10 mv, 50 mv et 1 V) du DG MOSFET avec L CH = 5 nm et T Si = 1.5 nm 96 vii

18 Liste des figures IV.17 Evolution de la hauteur de barrière en fonction de la tension de drain V DS à V GS = 0 V à différentes profondeurs : sous l oxyde et au milieu de la zone active pour différentes polarisations de drain V DS du DG MOSFET.. 96 IV.18 Évolution de la tension de seuil V TH en fonction de la longueur de canal L CH IV.19 Évolution de la pente sous le seuil (S) en fonction de la longueur de canal L CH IV.20 Courant I OFF en fonction de la longueur de canal L CH IV.21 IV.22 IV.23 IV.24 IV.25 IV.26 Abaissement de la barrière d injection source-drain due à la tension de drain (DIBL) en fonction de la longueur de canal L CH. 99 Courant de fuit (I OFF ) en fonction de la longueur de canal L CH pour différents travaux de sortie du métal de grille Фm Évolution de la tension de seuil (V TH ) en fonction de la longueur de canal L CH pour différents travaux de sortie du métal de grille Фm. 101 Évolution de la pente sous le seuil (S) en fonction de la longueur de canal L CH pour différents travaux de sortie du métal de grille Фm. 102 Abaissement de la barrière d injection source-drain due à la tension de drain (DIBL) en fonction de la longueur de canal L CH pour différents travaux de sortie du métal de grille Фm 102 Courant I OFF et tension de seuil V TH en fonction du travail de sortie du métal de grille Фm. En pointillés : calcul classique. En trait continus : calcul quantique. 103 viii

19 Introduction générale

20 Introduction générale Introduction générale Depuis plus d un siècle, l'industrie électronique reste surprenante, tant dans le domaine technique qu'économique. Sa croissance repose sur l'apparition incessante de nouveaux marchés, basés sur des produits de plus en plus sophistiqués (télévision, magnétoscope, caméscope, DVD...), et sur la pénétration de bien d'autres secteurs d'activité tels que l'automobile. À l'origine et au cœur de cette prodigieuse percée se situe la microélectronique. Celle-ci n a jamais cessé de répondre à l exigence de la rapidité et de l intégration des composants avec leur miniaturisation, tout en recherchant le maintien de leur fiabilité et la réduction des coûts de production. Ainsi, petit à petit, notre quotidien s est enrichi de nombreux dispositifs issus de l industrie microélectronique, tels que les téléphones mobiles, les ordinateurs, les appareils photos numériques etc. Tous ces produits constitués d éléments électroniques de base : la résistance, le condensateur et le transistor. Par conséquent, une parfaite connaissance et maîtrise des phénomènes physiques intervenant dans le fonctionnement de ces composants élémentaires, qui se miniaturisent de jour en jour, sont nécessaires pour concevoir avec le moins d empirisme possible les composants de demain. Alors que Lilienfeld développe le concept du transistor à effet de champ en 1926, c est le transistor bipolaire en germanium qui fût le premier créé (1947), par les physiciens Bardeen et Brattain. Il faut ensuite attendre l année 1960, pour que Kahng et Atalla [KAHN60] reprennent les travaux de Lilienfeld et aient l idée du transistor MOS (Metal Oxyde Semiconductor) avec la silice (SiO 2 ) comme oxyde. Puis en 1963, Hofstein et Heiman proposent le transistor à effet de champ MOSFET (Métal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor). De nos jours, celui-ci joue un rôle central dans la technologie silicium : en effet, les circuits à logique CMOS, à base de NMOSFETs (conduction assurée par les électrons) et PMOSFETs (conduction assurée par les trous) constituent la part la plus importante du chiffre d affaire mondial des circuits intégrés. Bien que la longueur caractéristique des technologies MOS ait été fortement réduite, la structure du MOSFET sur silicium et son principe de fonctionnement n ont pas changé. Cependant, de nouveaux effets sont apparus avec la réduction des dimensions et l utilisation de nouveaux procédés de fabrication. Ces derniers dégradent les caractéristiques électriques des transistors et nuisent à leur fiabilité. L importance de ces effets et la complexité des méthodes pour les contrer sont telles que le monde de la microélectronique, pourtant très frileux, est en train de s intéresser très activement à toutes les architectures alternatives possibles aux transistors MOSFET traditionnels [ANIE03, 1

21 Introduction générale COLL01]. Ainsi, pour atteindre les prochains objectifs fixés par la feuille de route internationale des semi-conducteurs (ITRS), l utilisation d architectures MOSFETs à grilles multiples (MOSFET à double grille) sur SOI (Silicon On Insulator) est très sérieusement envisagée [RHEW02, MOUI01, LUND02]. Ces architectures sont, en effet, particulièrement prometteuses en terme de contrôle électrostatique de canal et font l objet actuellement de recherche intenses, tant en ce qui concerne la modélisation que de la réalisation. Actuellement, la modélisation et la simulation électrique s avèrent être deux outils parfaitement adaptés et peu coûteux pour étudier ces transistors et tenter, en les comprenant, de les minimiser au maximum. Les travaux menés dans le cadre de cette thèse se sont concentrés sur l étude et la modélisation des transistors MOSFETs double grille. Le travail s articulera autour de quatre chapitres principaux : Le premier chapitre de ce mémoire, chapitre introductif, présente le principe de fonctionnement des transistors à effet de champ MOSFET, et décrit l intérêt de leur miniaturisation et les principaux effets issus de la réduction des dimensions qui s opposent à la miniaturisation de ces transistors, nous avons clôturé ce chapitre par la présentation des architectures émergentes et du cas prometteur du transistor DG-MOSFET. Le second chapitre est entièrement consacré à l analyse du transport électronique. Tout d abord nous rappellerons quelques éléments de physique du solide et nous définirons les paramètres qui serviront au cours de notre étude. Deux approches sont alors présentées : Nous commencerons par la description du transport par la mécanique classique, modèle de dérive diffusion, nous donnerons un développement relativement rigoureux de ce modèle qui est régi par les équations de Poisson et les équations de continuité des porteurs, ainsi que les équations de transport à faible champ. Nous passerons ensuite à l exposé du modèle de transport quantique balistique où nous prendrons en compte le fait que les porteurs ne se déplacent pas librement dans la direction perpendiculaire à l interface isolant-semiconducteur, du fait que l énergie des porteurs dans cette direction est quantifiée. Ce modèle est basé sur la résolution couplée des équations de Schrödinger et Poisson à deux dimensions. Le troisième chapitre traite exclusivement l aspect numérique utilisé dans la résolution des équations aux dérivées partielles données par l approche classique ; modèle de dérivediffusion et l approche quantique régie par les équations de Schrödinger et de Poisson. Nous discrétisons ensuite le système d équations à résoudre selon le concept des différences finies. L avantage de nos programmes réside dans leur rapidité d exécution. 2

22 Introduction générale Le quatrième chapitre a pour objectif de présenter les résultats de simulation du transistor MOSFET double grille. Dans la première partie, nous commencerons par la comparaison des résultats obtenus par notre travail avec ceux présentés par A. Ahmadian et ensuite nous comparons les caractéristiques électriques obtenus par les deux approches. Nous présenterons les résultats décrivant le comportement de DG MOSFET en régime bloqué et en régime de saturation. Ensuite, nous présenterons l effet de la tension de grille sur la barrière potentiel. Nous exposerons ensuite l effet d abaissement de la barrière d injection source-drain du à la tension de drain. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à étudier l impact de la longueur du canal et le travail de sortie du métal de grille sur la tension de seuil, la pente sous-seuil, le courant de fuite et l effet DIBL en utilisant, à titre comparatif, l approche classique et l approche quantique pour mettre en évidence les différences engendrées par la prise en compte des effets quantiques. Une conclusion générale permet de faire la synthèse des résultats obtenus et de décrire les perspectives de ce travail de thèse. 3

23 Chapitre I Introduction aux transistors MOSFETs

24 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs Chapitre I Introduction aux transistors MOSFETs Depuis l époque de l antique boulier chinois (Figure I.1), en passant par l additionneur mécanique inventé par Blaise Pascal en 1642 et la machine à recenser de Hollerith en 1890, la vitesse de calcul n a jamais cessé d être améliorée. Les systèmes électroniques ont supplanté depuis longtemps les systèmes mécaniques dans cette course à la performance. Cette augmentation de la vitesse de calcul a naturellement provoqué une réduction du coût de calcul. Elle a permis la diffusion à grande échelle de systèmes très complexes améliorant notre quotidien : ordinateurs, téléphones portables,... Les tubes à vide puis les transistors, d abords discrets puis intégrés en grande quantité sur des «puces» ont permis cette croissance. A l heure actuelle, les acteurs de cette accélération sont les transistors de type MOS (Métal Oxyde Semiconducteur). Ce sont les briques de base des microprocesseurs, tels le Pentium d INTEL présenté en figure I.2, et autres microcontrôleurs qui autorisent sur une surface de quelques centimètres carrés des calculs toujours plus complexes, à des prix toujours plus faibles. Actuellement, la modélisation des composants MOSFETs est essentielle car elle permet de prévoir les comportements des circuits dont ces composants sont les briques de base. Figure I.1: Photographie d un boulier chinois traditionnel. Figure I.2: Photo de processeur de type Pentium : puce ( 1 cm 2 ) montée sur son boîtier en céramique. 4

25 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs Afin de modéliser les dispositifs MOSFETs de petites dimensions, il est nécessaire de rappeler leurs principales caractéristiques physiques et électriques. Nous commençons ce chapitre par un rappel sur le principe de fonctionnement des transistors MOSFETs en définissant les paramètres clés de notre étude. Ensuite, nous présentons l intérêt de la miniaturisation et les principaux effets issus de la réduction des dimensions qui constituent notre principal intérêt de cette étude. Nous clôturerons ce chapitre en présentant les architectures émergentes en détaillant le cas prometteur d une structure nanométrique à double grille : le transistor DG- MOSFET. I.1 Les transistors à effet de champ : principe de fonctionnement et évolution I.1.1 Bref historique Les concepts du transistor à effet de champ ont été brevetés par Lilienfield et Heil en Cependant des difficultés technologiques très importantes ont retardé sa réalisation pratique. En effet, il n apparaîtra sous sa forme moderne qu en 1955 grâce à Ross. Cela bien après la réalisation par Shockley en 1947 du premier transistor de type bipolaire, pourtant théoriquement bien plus sophistiqué. C est en 1960 que Kahng et Attala [KAHN60] ont présenté le premier transistor MOS sur silicium en utilisant une grille isolée dont le diélectrique de grille était en oxyde de silicium SiO 2. Le silicium fut un choix très judicieux. Il est l élément le plus abondant de la croûte terrestre, après l oxygène. De plus, son oxyde est non seulement un très bon isolant électrique mais il s est aussi révélé parfaitement adapté pour former des couches dites de passivation protégeant les circuits, accroissant remarquablement leur fiabilité. Les transistors MOS sur silicium, plus simples et moins chers que leurs concurrents bipolaires, mais intrinsèquement moins performants à génération technologique équivalente, ont connu leur essor dans les années grâce à la technologie CMOS inventée en 1968 qui consomme très peu d énergie. Ainsi des systèmes à bas prix possédant une grande autonomie ont été très largement diffusés : montres à quartz, calculatrices. Depuis, les applications en logique CMOS mais aussi les mémoires qui constituent l autre grande application des MOSFET ont bénéficié d une très forte et continuelle augmentation de leur rapidité et de leur densité d intégration. 5

26 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I.1.2 Loi de Moore En 1973, G. MOORE, l un des co-fondateurs d Intel avait observe que le nombre de transistors intégrés sur une même puce doublait tous les 18 mois [MOOR65]. Cette observation l avait alors conduit à prédire que le nombre de transistors intégrés sur une puce continuerait à doubler tous les 18 mois, jusqu à ce que les limites physiques soient atteintes. La véracité de sa prédiction durant ces 30 dernières années a été telle que l on s y réfère maintenant en tant que «Loi de Moore». Aujourd hui, des circuits intégrés (IC) comprenant plus de 40 millions de transistors sont produits de façon industrielle (microprocesseurs). La longueur de grille des TOMS utilisés pour ces dernières générations de microprocesseurs est égale à 0.13 µm, tandis que la surface de la puce varie de 80 à 150 mm 2. En fait, la diminution de longueur de grille des dispositifs a deux avantages décisifs pour les fabricants: d une part, à puissance égale elle permet de réduire la surface de silicium de la puce, ce qui en termes de coût est bénéfique, et d autre part, elle permet d augmenter la fréquence des circuits, cette dernière étant inversement proportionnelle à la longueur de grille. I.1.3 La «Roadmap» Pour suivre la loi de Moore, l évolution des transistors MOSFET, pilier de cette course à la miniaturisation, est encadrée par des feuilles de route, les «roadmaps» de l ITRS (International Technology Roadmap for Semiconductors) qui doivent orienter les recherches. Des mises à jour de la roadmap paraissent tous les ans et sont publiées par une association internationale de laboratoires et d industriels du secteur des semi-conducteurs [JERO05]. Ce paragraphe résume brièvement l évolution de la technologie CMOS durant ces 20 dernières années, ainsi que les états actuel et futur prédits par la ITRS. La figure I.3 montre l évolution passée et future des différentes technologies en se basant sur la longueur de grille et les fréquences de coupure des transistors. Pour illustrer le bond de ces technologies, il faut rappeler que dans les années 60, l épaisseur de l oxyde de grille des transistors était d environ 1 µm. Elle est actuellement d environ 2.5 nm. 6

27 Fréquence (GHz) L G (nm) Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs Figure I.3: Evolution relative des technologies de semiconducteurs (prévisions de l ITRS 2004). Années Pour résumer ce que seront les prochaines technologies, le Tableau I.1 donne les projections faites par la ITRS sur les paramètres caractéristiques des technologies CMOS. Les valeurs des différents paramètres de la ITRS contenus dans le Tableau I.1 ne sont que des projections dans le futur et les solutions pour arriver à de telles caractéristiques ne sont pas encore entièrement connues ou n existent peut-être même pas pour certaines. Années de production Génération technologique : L G (µm) Largeur du canal : W (µm) Epaisseur de l oxyde : T OX (nm) Tension d alimentation : V DD (V) Tension de seuil : V TH (V) Dopage du substrat : Ns ( cm -3 ) >14 Extension de la zone de charge d espace (nm) Densité d intégration des transistors (Millions/cm 2 ) Tableau I.1: Prédictions de l évolution de quelques paramètres importants des transistors MOS issues de la ITRS 1999 [ROA99]. 7

28 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I.1.4 Principe de fonctionnement des MOSFETs I Effet de champ & MOSFET Un transistor est avant tout un interrupteur commandé : un signal électrique (courant ou tension) de faible puissance, dit de commande, doit contrôler un signal électrique de plus forte puissance. Cela permet deux types de fonctionnement: soit en amplification pour les applications de type analogique, soit en tout ou rien pour les applications logiques. La figure I.4 présente le schéma en coupe d un transistor MOS sur substrat massif. Ce transistor est construit sur substrat en silicium faiblement dopé, dopé P. Il possède 4 électrodes : la source et le drain qui sont les électrodes de puissance, la grille de longueur L G (Figure I.4.a) qui est l électrode de commande, et le contact de substrat. L isolant de grille en oxyde de silicium SiO 2, d épaisseur notée T OX, est intercalé entre l électrode de grille et le substrat de silicium. Les électrodes de source et de drain sont en contact avec des régions très fortement dopées, d un type de dopage inverse à celui du substrat. Dans l exemple de la figure I.4, ils sont dopés N + et de largeur W (Figure I.4.b). Ils constituent des réservoirs de charges symétriquement répartis de chaque côté de l oxyde. a b Figure I.4: Schéma d un transistor MOSFET à canal N sur substrat P conventionne. a) Schéma en coupe b) Schéma en vue de dessus L G longueur de la grille, W largeur du canal et T OX épaisseur d oxyde. 8

29 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs Le nom du transistor MOS découle de sa structure verticale : Métal-Oxyde-Semiconducteur. Cette structure, hachurée sur le schéma de la figure I.4.a, est celle d une capacité Conducteur- Isolant-Semiconducteur. Figure I.5: Principe de fonctionnement d un transistor MOS a) Etat bloqué. b) Etat passant. Le principe de fonctionnement d un tel dispositif est schématisé en figure I.5. La tension de grille crée un champ vertical qui, par l intermédiaire de la capacité MOS, module la densité de porteurs libres à l interface Substrat/Oxyde permettant ainsi de commander sa conductivité. Ce phénomène est appelé «effet de champ». Lorsque la tension de grille ne permet pas de charger «convenablement» les électrodes de la capacité MOS, aucun courant ne peut circuler entre la source et le drain quelle que soit la tension appliquée à l électrode de drain ; c est l état bloqué. Comme illustré en figure I.5.a. Ces transistors bloqués à tension de grille nulle sont dits (normally off). Lorsque V GS devient supérieure à V TH, le nombre de porteurs libres à l interface Substrat-Oxyde est suffisant pour qu ils forment un «canal» conducteur (si et seulement s ils sont du même type que ceux des réservoirs de source et drain). Si, comme illustré sur la figure I.5.b, les porteurs du canal sont des électrons, le transistor est dit à canal N et est appelé NMOS. Lorsque la tension de drain devient positive, un courant de drain I D peut circuler dans le canal, c est l état passant. 9

30 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I Caractéristiques courant-tension des MOSFETs De manière plus quantitative, on obtient les trois zones de fonctionnement classiques : Figure I.6: Régimes de polarisation d un transistor MOSFET à canal N sur substrat P (normally off) à faible V DS positif. En (a) désertion en trous sous la grille, en (b) formation du canal de conduction à partir des réservoirs à électrons de source et drain. a) Zone bloquée Pour des tensions de grille inférieures à la tension de seuil mais supérieures à la tension de bande plate V FB, la zone sous l oxyde est désertée par les porteurs libres. La capacité MOS se trouve en régime de déplétion ; cette situation est illustrée en figure I.6.a. Dans cette zone, la conduction du canal tend à s annuler et le courant de drain est très majoritairement d origine diffusive [DOLL01] : I D qd n grad(n) avec n concentration en électrons libres et D n coefficient de diffusion. Finalement, dans les applications pratiques basées sur l utilisation de MOSFET longs à 300 K, le courant I D sous le seuil est quasi nul on peut considérer : I D 0 A pour V DS > 0 V et V GS < V TH b) Zone ohmique Comme illustré en figure I.6.b, pour des tensions de grille supérieures à la tension de seuil, on atteint le régime d inversion, il y a création d un canal formé par les porteurs libres injectés par les réservoirs de source et de drain. Pour de faibles tensions de drain V DS, la vitesse v des charges libres varie linéairement avec le champ électrique parallèle à la direction source/drain E II (variant comme V DS /L G ) : v = μ eff. E II, où µ eff est appelée mobilité effective des porteurs 10

31 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs dans le canal. Le transistor a alors un comportement équivalent à celui d une résistance commandée par V GS. En modélisant habilement le contrôle de charge dû à l effet de champ et le courant de conduction dans le canal [MATH04], on obtient : I D = W μ L eff C ox V GS V TH. V DS V DS 2 G 2 (I. 1) Pour V DS <V DSsat et V GS >V TH Avec C ox =ε ox /T ox capacité surfacique de la structure MOS Il est à noter que le terme en V 2 DS provient de la variation de la charge d inversion le long de la grille sous l effet de la tension de drain qui tend à dépeupler le canal. Quand, dans l expression du courant I D, le terme en V 2 DS n est plus négligeable devant (V GS -V TH ) V DS, on sort du régime purement ohmique, il s agit d une zone de transition où l augmentation du courant avec V DS croissant tend à diminuer. c) Zone source de courant Lorsque V DS > V DSsat, un phénomène de saturation du courant I D apparaît : pincement du canal, saturation de la vitesse des porteurs alors I D ne dépend plus de V DS mais seulement de V GS. Le transistor se comporte alors comme une source de courant commandée par V GS. Pour le cas d une saturation par pincement, I D devient [MATH04]: I D = W L G μ eff C ox V GS V TH 2 2 (I. 2) Pour V DS >V GS -V TH et V GS >V TH Sur cette formule du courant de saturation, on découvre l atout majeur du transistor MOS, celui qui a assuré son succès industriel. Le courant de saturation du transistor MOS est directement lié à ses dimensions géométriques: réduire la longueur L G d un transistor MOS entraîne automatiquement l amélioration de ses performances électriques et cela sans aucun effet négatif (du moins pour les composants faiblement submicroniques ). Cette relation justifie la course à la miniaturisation des composants et explique la très forte augmentation des performances des composants MOS. 11

32 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I.1.5 Principaux paramètres des MOSFETs Les trois régimes de fonctionnement (bloqué, ohmique et source de courant) décrits au paragraphe précédent sont indiqués sur les caractéristiques I D (V DS ) à différentes tensions de grille V GS reportées en figure I.7. Les paramètres importants du transistor sont les suivants : La tension sous le seuil V TH : est la tension de grille nécessaire à la formation d un canal de conduction (couche d inversion) entre la source et le drain. La résistance à l état passant R ON : inverse de la pente de courbe I D (V DS ) à V GS =V DD et faible V DS où V DD est la tension d alimentation du transistor (Figure I.7). Le courant de saturation I ON : c est-à-dire le courant I D à V GS =V DD et V DS =V DD (Figure I.8). La transconductance G m : correspond à la pente de la courbe I D (V GS ) à fort V DS (Figure I.8) est définie par : G m = I D V GS V DS =cste (I. 3) et doit être la plus élevée possible. La transconductance augmente très rapidement lorsque la longueur de canal devient inférieure à 100 nm. Figure I.7: Caractéristique I D (V DS ) typique à différents V GS d un transistor NMOS [MATH04]. 12

33 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs La conductance G d quantifie l imperfection de la saturation. Elle est égale à la pente de la courbe I D (V DS ) à V DS > V DSsat soit : G d = I D V DS V GS =cste (I. 4) Au-dessous du seuil, le blocage n est pas parfait, il existe un courant faible mais non nul (I D 0). Ce courant n est pas un courant de conduction comme à l état passant mais un courant diffusif, d où la dépendance exponentielle de la caractéristique I D (V GS ) sous le seuil illustrée en figure I.9. Le courant à l état bloqué I OFF correspond au courant I D à V GS = 0 V et V DS = V DD (Figure I.9), de plus on définit la pente sous le seuil S comme l inverse de la pente log [I D (V GS )] à faible V GS soit S = log(i D) V GS V DS =cste 1 (I. 5) La pente sous le seuil : elle représente la tension de grille à appliquer (en régime sous le seuil) pour augmenter le courant de drain d une décade : Figure I.8: Caractéristique I D (V GS ) à V DS =V DD d un transistor NMOS. Ion, Gm et V T sont indiqués [MARI06]. Figure I.9: Caractéristique Log [I D (V GS )] à V DS =V DD d un transistor NMOS. Ion, I OFF et S sont indiqués [MARI06]. 13

34 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I.2 Miniaturisation des transistors à effet de champ I.2.1 Pourquoi réduire la taille des transistors? La croissance de l industrie des semi-conducteurs dépend pour l instant de sa capacité à miniaturiser les transistors. L objectif de la démarche est de délivrer de meilleures performances à moindre coût. Des circuits plus petits réduisent la surface globale de la puce électronique et permettent donc de produire plus de transistors sur un même wafer sans impact sur le prix de fabrication. Le coût des circuits diminue ainsi d un facteur de deux tous les 18 mois. Les performances électriques des composants sont également améliorées (tableau I.2). En diminuant la dimension des MOSFETs, le temps de passage de l état "off" à l état "on" diminue linéairement du fait de l évolution du temps de réponse intrinsèque t= longueur de canal/vitesse des porteurs. Un autre avantage est la réduction de la consommation de puissance, utile pour augmenter la durée d autonomie des systèmes mobiles mais aussi pour améliorer la fiabilité des systèmes à hautes performances. Des puces plus petites consomment moins de puissance, donc moins d énergie est utilisée pour chaque opération. En conséquence, le produit puissance-temps de réponse est réduit. Enfin, la rapidité de transmission de l information dans un circuit intégré est limitée par la vitesse de l impulsion électrique. Pour pouvoir augmenter la rapidité globale d une opération, il faut réduire les distances géométriques, et empiler un maximum de données d information dans un minimum d espace pour les rapprocher. Cette évolution permet à un large public d accéder à des services plus performants, moins chers et souvent nouveaux. Des objets technologiques innovants sont ainsi produits et créent de nouveaux marchés dont les retombées financières sont réinvesties dans la course à l intégration (tableau I.2). Année Nœud technologique (nm) Longueur de grille physique (nm) Tension d alimentation (V) Epaisseur d oxyde équivalent (nm) Tension de seuil en saturation (V) courant de fuite nominal des NMOS (µa/mµ) courant de conducteur nominal des NMOS (µa/mµ) Temps de réponse intrinsèque des NMOS (ps) Tableau I.2 : Prévision ITRS des caractéristiques des MOSFETs ultime (high performances). 14

35 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I.2.2 La course de la miniaturisation Jusqu à présent, la stratégie adoptée, dans le but d améliorer les performances des circuits intégrés, tant du point de vue de la densité d intégration que de celui de la rapidité, s est portée sur la diminution des longueurs de grille L G des transistors MOS. C est ce que nous constatons en regardant l évolution des longueurs de grille des transistors dans les mémoires DRAM (Dynamic Random Access Memory) présentée en figure I.10 ainsi que les prévisions pour les prochaines années. Bien entendu, la réduction de la longueur de grille des transistors ne se fait pas sans mettre à l échelle les autres paramètres géométriques du transistor. En effet, si la diminution de cette longueur augmente la valeur du courant I ON circulant dans les transistors à l état passant, il ne faut pas qu elle se fasse au détriment du courant traversant le transistor à l état bloqué (qui se doit d être le plus faible possible pour minimiser les pertes énergétiques) ou de la conductance de drain en régime de saturation. L ensemble de ces problèmes électrostatiques parasites engendrés par la diminution de la longueur de grille sont appelés problèmes de canal court et ont, globalement, pour conséquence une perte du contrôle de la conductivité du canal par la tension de grille V GS. Une solution évidente pour améliorer l efficacité de la commande de la capacité MOS, lors de la réduction de la longueur de grille, réside dans la diminution de l épaisseur d oxyde de façon à accroître la capacité surfacique équivalente C ox =ε ε ox /T OX. En général, on s efforce de garder un rapport L G / T OX variant entre 40 et 50 dans les circuits CMOS [THOM98]. Toutefois, la réduction de l épaisseur d oxyde T OX ne peut se faire sans une réduction de la tension d alimentation V DD afin d éviter le claquage de l oxyde. L épaisseur T OX n est pas le seul paramètre sur lequel on peut jouer afin de limiter les conséquences néfastes de la réduction de L G, augmenter le dopage du substrat se révèle aussi une bonne solution pour limiter les extensions des zones de charge d espace source/substrat et drain/substrat. Cette solution ayant pour effets secondaires une détérioration de la mobilité des porteurs dans le canal (par augmentation du nombre des chocs entre les porteurs et les impuretés ionisées) ainsi qu une forte influence sur la valeur de la tension de seuil V TH, on lui préfère des technologies à dopage rétrograde [JOHA03]. L évolution considérable de la micro-informatique, tant au niveau de la puissance de calcul que de la miniaturisation des composants, illustre parfaitement les progrès effectués dans la réduction des dimensions caractéristiques des transistors MOS. De ce fait, durant une soixantaine d année, 15

36 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs nous sommes passés de l ENIAC [Première «calculatrice» électronique réalisée en 1944 par PRESPER J. ECKERT et JOHN W. MAULCHY à l université de Pennsylvannie (Philadelphie)] et de ses tubes à vide réalisant 5000 additions par seconde aux micro-processeurs Pentium 4 tournant à 3 Ghz et traitant plus de 5000 millions d instructions par seconde dans le même temps, des lampes triodes macroscopiques, nous sommes passés à des transistors MOS ne mesurant qu une petite dizaine de nanomètres de longueur de grille. Toutefois des dimensions caractéristiques de l ordre du nanomètre ne vont pas sans poser de nouveaux problèmes tant technologiques que théoriques. Figure I.10: Réduction de la longueur de grille L G des MOSFET dans les mémoires DRAM ainsi que celle prévue pour les années à venir [ITRS]. I.2.3 Effet de canal court (SCE : Short channel effect) La future génération de transistor MOS, actuellement en phase d étude en laboratoire de recherche, atteindra des dimensions caractéristiques de l ordre du nanomètre. Au delà des difficultés de lithographie qu il faudra résoudre avant de pouvoir espérer une réalisation industrielle, ces «NanoMOS» imposent de nouveaux défis technologiques à relever et dévoilent de nouveaux phénomènes, en particulier de nature quantique, jusqu alors négligeables. Dans les parties qui suivent viennent les détails éclaircissants les effets de canal court. 16

37 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I Problèmes liés aux forts champs électriques Etant donné que les dimensions des dispositifs ont considérablement diminué, les champs électriques dans le transistor augmentent. Par conséquent, La présence d un fort champ transverse confine les électrons à l interface Si/SiO 2. Or, à cause des réflexions diffusives contre cette interface très rugueuse, le nombre de collisions subies par les porteurs augmente très sensiblement par rapport à celui inhérent au substrat massif. En conséquence, la mobilité des porteurs diminue dans le canal lorsque le champ transverse augmente. Des modèles plus ou moins empiriques de mobilité effective tenant compte de l influence du champ de confinement E y ont été proposés, tels que : μ eff = μ 0 1+ E y E0 α, avec E 0 =200 kv/cm, α = de 0.5 à 2 et µ 0 mobilité faible champ. I Diminution de la tension de seuil dans les canaux courts En effet, l injection des électrons dans la zone active du transistor est contrôlée au niveau du canal par la barrière de potentiel commandée par V GS (Figure I.11), et au niveau du substrat par la barrière de potentiel de la jonction Source (N + )-Substrat (P). Lorsque les épaisseurs des ZCE des jonctions caissons-canal s étendent sur toute la longueur du canal, la barrière de potentiel dans le canal court est abaissée par rapport à sa valeur dans un canal «long». Le nombre de porteurs présents dans le canal augmente alors. La tension de seuil à partir de laquelle se produit le phénomène d inversion est donc plus faible. SCE Figure I.11: Evolution de la bande de conduction dans un MOS «long» (L G >2.d) et un MOS «court» (L G <2.d) selon l axe source-drain à faible V DS et avec V GS égal à la tension de bande plate V FB. «d» épaisseur des ZCE des jonctions caissons/canal [GAUT03]. 17

38 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I Effets de percement De même, des phénomènes dits de percement surviennent lorsque les dimensions des zones désertées (ZCE) Source/Substrat et Drain/Substrat deviennent comparables à la longueur de la grille L G, la distribution du potentiel dans le canal dépend alors à la fois du champ transversal (contrôlé par la tension de grille), mais aussi du champ longitudinal (contrôlé par la tension de drain). En effet, comme indiqué en figure I.12, une augmentation de la tension de drain induit un accroissement de la ZCE côte drain, ce qui provoque l abaissement de la barrière de potentiel Source/Substrat. Cet effet est appelé DIBL : «Drain Induced Barrier Lowering». Le percement (ou DIBL), comme la réduction de la longueur de grille L G, a pour premier effet de diminuer la tension de seuil. L effet DIBL est habituellement mesuré par le décalage de la courbe de transfert en régime sous seuil ΔV TH divisé par le ΔV DS entre deux courbes résultant de deux tensions de drain différentes (Figure I.13). DIBL= ΔV TH / ΔV DS (mv/v) Figure I.12: Illustration des effets de percement. La tension de drain vient modifier la barrière de potentiel qui limite l injection des porteurs dans le canal (percement en volume) [JERO05]. 18

39 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs Log (I D ) V DS (high) DIBL V DS (low) V GS Figure I.13: Courbes de transfert pour des tensions de drain V DS high et V DS low. I Effets liés aux faibles épaisseurs d oxyde Parallèlement à la réduction de la longueur de grille L G, l épaisseur d oxyde de grille se doit d être réduite afin de pallier les effets de canal court et d améliorer le contrôle du canal de conduction. Ainsi, pour les MOSFET de 30 nm de longueur de grille, on est amené à réaliser des oxydes de grille d épaisseur proche des 0.8 nm (Figure I.14). À de telles épaisseurs, correspondant à quelques couches atomiques, la maîtrise précise de la régularité de l oxyde le long du canal semble bien difficile puisqu elle nécessite un contrôle au plan atomique près. Pourtant, l uniformité de cette couche d oxyde est nécessaire, non seulement sur un transistor, mais surtout sur l ensemble des centaines de millions de transistors composant maintenant une puce, afin d obtenir des caractéristiques homogènes (V TH,...). Les fluctuations de l épaisseur d oxyde peuvent aussi conduire à l apparition de fragilités aux endroits les plus minces causées par une augmentation du champ électrique supporté et remettant en cause l intégrité de l oxyde aux fortes tensions. Cet effet peut, en outre, être accentué par la pénétration, facilitée par la finesse de la couche d oxyde, des dopants provenant de la grille en polysilicium [BUCH99]. Pour des épaisseurs inférieures à 2 nm, l oxyde devient suffisamment fin pour permettre le passage des porteurs par effet tunnel direct. Ce passage est à l origine d un courant tunnel de grille d autant plus important que l épaisseur d oxyde est faible. Ce nouvel effet, d origine quantique, modifie profondément les caractéristiques électriques du transistor MOS. En 19

40 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs particulier, l apparition d un courant de grille entraîne un accroissement du courant à l état bloqué et donc de la puissance dissipée ; il perturbe également le bon fonctionnement du transistor à l état passant puisque les électrons du canal peuvent s échapper vers la grille par l intermédiaire de l oxyde. Figure I.14: Photographie en microscopie électronique en transmission à haute résolution d une capacité MOS dont l épaisseur d oxyde atteint les 0.8 nm [CHAU00]. I Effets quantiques dans le canal Comme nous venons de le voir précédemment, les nanomos se caractérisent notamment par l apparition de phénomènes de nature quantique jusqu alors inexistants ou tout du moins dans une large part négligeable. Ainsi, encore le passage des électrons par effet tunnel à travers la grille, il apparaît également une quantification des niveaux d énergie dans le canal de conduction (Figure I.15.a). En effet, avec l augmentation du dopage du canal dans les transistors, le puits de potentiel de confinement dans lequel circulent les porteurs devient de plus en plus étroit, augmentant par là même l écart entre les différents niveaux d énergie, comme l illustre la figure I.15.a. Cet effet modifie, en particulier, la position du maximum de densité des porteurs qui se trouve décalée d environ 1 nm de l interface entre l oxyde et le semi-conducteur (Figure I.15.b). Il en découle une capacité MOS effective plus faible que celle prévue théoriquement et 20

41 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs par conséquent une sous-estimation de la tension de seuil V TH par surestimation de l efficacité de la grille. Figure I.15: Niveaux d énergie dans la couche d inversion d une structure MOS pour deux niveaux de dopage [MONS02] (NA = cm 3 et NA = cm 3 ). (b) Profil de concentration des électrons dans une capacité MOS calculé en incluant (trait plein) ou non (tirets) les effets de confinement quantique : le dopage (N) du polysilicium est de cm 3 et le dopage (P) du silicium est de cm -3, la tension de grille étant de 0.3 V [JOHA03]. I.3 Les architectures émergentes C est pourquoi, au vu de l ensemble des problèmes actuels, et surtout à venir, de l industrie des transistors MOS, tant du point de vue technologique que théorique, il est nécessaire d inventer des solutions novatrices et révolutionnaires. Tout comme il y a un demi-siècle, lors de l avènement de l électronique sur semi-conducteur au détriment des tubes à vide, on envisage de nouveaux concepts permettant d améliorer, voire de remplacer la technologie MOS. En particulier, on essaye de profiter des phénomènes quantiques, jusqu ici parasites, apparaissant à l échelle nanométrique afin de développer de nouveaux composants. La section suivante présente quelques uns des champs d investigation, aujourd hui en pleine effervescence, destinés à améliorer, sinon remplacer les technologies actuelles. Ces nouveaux composants joueront un rôle très important dans l avenir de la nanoélectronique. 21

42 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I.3.1 MOSFET non conventionnels I Transistors MOS à hétérojonctions Un premier concept de nouvelle architecture est issu des techniques d ingénierie de bande interdite. Celles-ci consistent à associer dans un même dispositif des semi-conducteurs de bandes interdites différentes de façon à créer des discontinuités dans la bande de conduction et/ou de valence. En particulier, des transistors HEMT (High Electron Mobility Transistor) à hétérostructure SiGe/Si/SiGe (Figure I.16) offrent de très bonnes performances à hautes fréquences [ANIE03], conséquences du transport lié à l architecture HEMT (canal non dopé et bonne interface) et à la forte mobilité des électrons dans un canal de silicium contraint en tension entre deux couches de SiGe [DOLL97]. Dans le cadre de la technologie CMOS, on cherche à exploiter les effets bénéfiques de la contrainte sur le transport afin d augmenter le courant I ON à l état passant [COLL03, JURC99], par exemple, en utilisant un canal SiGe enterré à forte mobilité dans le cas du PMOSFET à hétérostructures Si/SiGe/Si (Figure I.17). Il existe ainsi un certain nombre de déclinaisons de ce type de composants (à canal surfacique ou enterré, avec ou sans adjonction d atomes de carbone,...), chacune ayant ses avantages et ses inconvénients. Figure I.16: Coupe schématique d un HEMT à canal d électrons SiGe/Si/SiGe. Figure I.17: Coupe schématique d un PMOSFET à hétéro-structures Si/SiGe/Si à canal enterré. 22

43 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I Transistor sur substrat SOI Une solution nous est apportée par la technologie SOI (Silicon On Insulator) dont les très nettes améliorations, en qualité et en coût, la rendent particulièrement attrayante ; d autant plus qu elle reste compatible avec les technologies CMOS classiques et à hétérostructures Si/SiGe [ALLI01]. Cette technologie est, entre autres, utilisée par AMD (Advanced Micro Devices) dans la dernière génération de ses micro-processeurs. Comme l illustre la figure I.18, la technologie SOI consiste à réaliser des transistors sur une fine couche de silicium, dont l épaisseur peut être de quelques dizaines de nanomètres, voire moins, séparée du substrat par une couche de SiO 2 enterrée (en anglais buried oxide soit BOX en abrégé). L avantage de cette architecture en terme de limitation du courant de fuite volumique par le substrat parait évident. Si le film de silicium est, de plus, peu, voire non dopé, il peut être entièrement déserté en porteurs libres à tension de grille nulle, ce qui est également avantageux en ce qui concerne le courant de percement en surface. Dans un tel dispositif, la tension drain peut cependant induire des effets de canal court conséquents par influence électrostatique à travers l oxyde enterré (surtout quand l épaisseur du BOX est importante). Figure I.18: Circuit IBM CMOS en technologie SOI. 23

44 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs I Transistor à grilles multiples Outre ses avantages dans la limitation des effets de canal court, la technologie SOI a aussi favorisé l émergence d architectures dans lesquelles le canal de conduction du transistor est commandé par la même tension de grille sur deux, trois, voire quatre côtés. Un schéma de principe du transistor à double grille est présenté en figure I.19. L idée repose sur le fait que, si l épaisseur du film actif de silicium entre les différentes grilles est suffisamment faible, la tension de grille peut commander le volume global de silicium entre la source et le drain. La conduction s effectuant alors de manière volumique et non plus surfacique, on s attend à des effets avantageux pour la valeur de I ON. De plus, la prise de contrôle du canal se révélant plus importante, on s affranchit des effets de canal court liés à l influence de V DS : la diminution de l épaisseur d isolant devient moins cruciale. Les transistors à architecture à grilles multiples font l objet actuellement de recherches intenses, tant en ce qui concerne la modélisation que de la réalisation. Les dimensions de la zone active étant réduites à moins de quelques dizaines de nanomètres dans toutes les directions, beaucoup de questions se posent sur la physique du transport dans ces dispositifs: importance du transport balistique [RHEW02] ou par effet tunnel [MOUI01] entre source et drain. Dans notre thèse, une étude sera axée sur les transistors à double grilles. I Transistor MOSFET à double grilles Les architectures planaires classiques sur SOI sont basées sur celles des transistors simple grille sur SOI. L oxyde enterré est remplacé par un second empilement de grilles symétriques du premier mais électriquement indépendant. Ces dispositifs ne nécessitent pas de résolution lithographique inférieure à la longueur de grille L G car le procédé «Smart cut» permet, sans lithographie, de réaliser des couches actives ultraminces (< 10 nm). Ces dernières sont, en effet, particulièrement prometteuses en terme de contrôle électrostatique de canal et font l objet actuellement de recherche intenses, tant en ce qui concerne la modélisation que de la réalisation [LUND02, ZHIB00, YIMI05]. Les transistors à double grille planaires réalisés à l heure actuelle n ont pas leurs deux grilles parfaitement alignées. En effet, les grilles sont gravées successivement et sont alignées «optiquement». L imprécision sur le non alignement des grilles génère une forte dispersion des caractéristiques des composants courts [WIDI04] interdisant la fabrication en grande série. En effet, lorsque la grille inférieure recouvre un des caissons, la capacité parasite est accrue, 24

45 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs dégradant le «CV/I» qui correspond à la constante de temps caractéristique de la charge (ou de décharge) de la capacité. A très fort désalignement, on peut même avoir un dispositif ne possédant qu une seule grille active. Cependant, les dispositifs peu désalignés, même courts (L G inférieur à 20 nm), sont très performants [VINE05]. Pour fabriquer les transistors ultimes, la réalisation de transistors planaires auto-alignés est indispensable mais technologiquement complexe. La figure I.20 présente la structure morphologique d un tel transistor. Figure I.19: Image au MEB, d une coupe de transistor à double grille non-autolignée [VINE05]. Figure I.20: Image au MEB, d une coupe de transistor à double grille autoalignée [JERO05]. I.3.2 Composants alternatifs I Électronique moléculaire L électronique moléculaire part d une approche radicalement différente de celle des circuits intégrés classiques où à partir d une tranche de silicium, on construit des transistors, de quelques nanomètres de dimensions caractéristiques, par gravures successives (approche «bottom-up»). En effet, à de telles échelles, il semble préférable de procéder par assemblage de constituants de tailles intrinsèquement nanométriques. Un choix tout naturel pour ces constituants de base se porte sur les molécules voire les atomes. Or, si la fabrication atome par atome de nano-composants ne relève plus de la science- fiction grâce à des outils comme le STM (Scanning Tunneling Microscope ou microscope à effet tunnel) ou l AFM (Atomic Force Microscope ou microscope à force atomique) il est regrettable qu elle ne soit reproductible et 25

46 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs surtout pas rentable à l échelle industrielle. Les molécules offrent, elles, l énorme avantage d être fonctionnalisables et permettent d envisager l autoassemblage, par voie chimique, à peu de frais et en grande quantité de nano-composants. I Nanotubes de carbone Depuis leur découverte en 1991 par SUMIO IIJIMA, les nanotubes de carbone n ont cessé de passionner les physiciens, toutes disciplines confondues et, notamment, en électronique. Ces cylindres de quelques nanomètres de diamètre (Figure I.21) et de plus de 100 nm de longueur, sont composés d un plan de graphite enroulé sur lui-même et dont l orientation décide du caractère métallique ou semi-conducteur du nanotube. Aidés par l engouement actuel des industriels pour ce type de technologie, des remplaçants potentiels aux transistors ont été réalisés en laboratoire (Figure I.22). Les applications ne se limitent naturellement pas aux transistors et des composants plus complexes tels que des portes logiques simples [DERY01] ou des mémoires [RUEC00] ont déjà été réalisés avec succès. Les nanotubes souffrent toutefois d un problème délicat lié à leur réalisation : si leur fabrication en grand nombre ne pose aucun souci, les procédés utilisés ne permettent que difficilement d opérer une sélection des nanotubes produits [COLL01] tant du point de vue de leurs dimensions que du point de vue de leurs propriétés électronique (métallique ou semiconductrice) et typologique (monoparoi, multiparoi). Tout comme les molécules, les difficultés d interconnexions avec les électrodes extérieures sont aussi, pour l heure, un frein à la production industrielle. La figure I.22 présente une coupe schématique d un transistor CNTFET auquel nous participons pour l aspect simulation dans le cadre d un projet CNEPRU. (a) (b) Figure I.21: (a) Représentation d un nanotube de carbone monoparoi. (b) Image STM d un nanotube de carbone à résolution atomique (IBM) [IBM]. 26

47 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs Figure I.22: Coupe schématique du transistor à effet de champ à nanotube de carbone d IBM. I Blocage de Coulomb Parmi les champs de recherche, l utilisation du caractère quantique de la charge électrique, offre des perspectives très prometteuses. En effet, l émergence du caractère granulaire de la charge électrique dans le transport des électrons par effet tunnel entre des boîtes quantiques de faibles dimensions (de l ordre du nanomètre), permet d envisager la réalisation de remplaçants potentiels pour les transistors ou de cellules mémoire à haute densité d intégration, très fiables, fonctionnant sous de faibles tensions et ayant la possibilité de stocker plusieurs bits à la fois. Ces nouveaux composants, basés sur le caractère quantique de la charge électrique, utilise à leur profit le phénomène dit de blocage de Coulomb permettant le transit des électrons de manière individuelle, afin de contrôler très précisément le courant véhiculé. I.4 Conclusion La miniaturisation des transistors MOS et plus particulièrement la diminution de la longueur du canal a permis d augmenter la densité d intégration et la vitesse de fonctionnement des circuits. Cette réduction des dimensions a engendré des phénomènes parasités (DIBL, modification de la tension de seuil, augmentation de courant de fuite,.) qui détériorent les caractéristiques des 27

48 Chapitre I : Introduction aux transistors MOSFETs dispositifs très fortement submicroniques. Toutefois, les technologies ont imaginé des procédés de fabrication particuliers en vue de conserver ces caractéristiques technologiques (SOI, DG- MOSFET, CNTFET,..). 28

49 Chapitre II Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique

50 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique Chapitre II Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique L étude du transport électronique est devenue l un des enjeux majeurs des futures générations de composants MOSFETs. Une description physique des phénomènes de transport nécessite forcément de connaitre les lois régissant le comportement des porteurs dans notre structures MOS. Cela signifie savoir ériger un modèle mathématique convenable et connaître les paramètres physiques de base du modèle. Le sujet est largement débattu dans la littérature et il est abordé selon diverses approches. Afin de modéliser le comportement électrique des transistors double grille à oxyde très mince, il est nécessaire de présenter les différents matériaux qui constituent les transistors MOSFETs que l on étudie; le silicium comme élément essentiel, son oxyde (la silice) comme isolant. D abord nous rappellerons quelques éléments de physique du solide pour bien situer le cadre théorique dans lequel on se place, bien spécifier les approximations que l on fait et les paramètres qui serviront au cours de notre étude. On rappellera notamment le formalisme des diagrammes de bandes d énergie dans lequel on se place pour traiter le problème. Ensuite, nous discuterons des différents régimes de transport décrivant le comportement des porteurs dans les semiconducteurs. Une attention particulière est portée au transport balistique auquel nous nous sommes intéressés. Dans un deuxième temps, dans le cœur de l étude, deux approches ont été présentées : Nous commencerons cette partie par la description du transport par la mécanique classique, nous allons donner un développement relativement rigoureux de ces équations de base en partant des équations de Maxwell, pour aboutir à l équation bien connue dite équation de Poisson et aux équations de continuité des porteurs, ainsi que les équations de transport. Du fait de la miniaturisation des transistors MOSFETs dans le régime nanométrique, les effets quantiques ne peuvent plus être négligés alors qu ils étaient considérés comme inexistants dans les modèles classiques. L intégration de ces effets dans les simulateurs de dispositifs apparaît 29

51 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique donc nécessaire. Dans ce sens, La simulation des transistors a donc besoin de nouvelles théories et techniques de modélisation pour améliorer la compréhension physique des dispositifs de taille nanométrique. Après avoir justifié que l approche classique ne traduit pas la réalité physique dans le régime nanométrique, nous présenterons un modèle de transport quantique, basé sur la résolution auto-cohérente des équations de Schrödinger et de Poisson à deux dimensions. II.1 Matériaux utilisés dans les MOSFETs II.1.1 Le silicium : matériau de base Le silicium est l un des éléments essentiels en électronique, appuyé par le fait que la technologie actuelle permet l obtention de Si pur à plus de 99,99% (tirage Czochralski, zone fondue flottante). De plus, il est aujourd hui possible de fabriquer des monocristaux parfaits de silicium d un volume de l ordre de m 3. Le silicium ainsi que les autres éléments de la colonne IV du tableau périodique (C, Ge) forment des cristaux covalents. Ces éléments génèrent des liaisons covalentes, avec leurs quatre atomes voisins, en mettant en commun leurs quatre électrons de valence. Les électrons de valence dans le cas du diamant ont une énergie de liaison importante, ce qui confère au diamant sa propriété d isolant (ou plutôt de semi-conducteur à large bande interdite). Cette énergie est nulle dans le cas de l étain, ce qui en fait un bon conducteur. Dans le cas du silicium, cette énergie a une valeur intermédiaire à température ambiante, faisant de lui un semi-conducteur permettant des applications intéressantes. Le réseau cristallin du Si est celui du diamant (figure II.1). Il cristallise selon la maille diamant constituée de la superposition de deux sous réseaux cubiques à faces centrées décalés d un quart de diagonale principale. Le paramètre de maille du silicium est de 5,43 Å. Figure II.1: Structure de la maille du Si. 30

52 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique La cellule élémentaire (cellule de Wigner-Seitz) du réseau réciproque communément appelée zone de Brillouin [KIT98] est représentée sur la figure II.2 en fonction du vecteur d onde k. Figure II.2: Zone de Brillouin du silicium. Les points W, L, K et X représentent les directions principales. II Propriétés physiques du Silicium Paramètres symboles Si énergie interdite Eg [ev] à 300 K constante du réseau cristallin α 0 [nm] nombre de vallées équivalentes N 6 masse effective des électrons, direction longitudinale m * n,l /m masse effective des électrons, direction transverse m * n,t /m masse effective de densités d états de la bande de conduction (calcul de densité d états) m * c,doc /m masse effective de densités d états de la bande de conduction (calcul de conductivité) m * c,cond /m masse effective des trous lourds m * p,h /m masse effective des trous légers m * p,l /m masse effective de densités d états de la bande de valence m * v /m mobilité des électrons µ n [cm 2 /Vs] 1450 mobilité des trous µ p [cm 2 /Vs] 370 Tableau II.1: Propriétés de Si. La masse au repos de électron est m 0 = kg. 31

53 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II Structure de bande du Silicium et notions de masse effective Afin d étudier le transport des porteurs de charge dans un semi-conducteur, il est nécessaire de connaître la relation de dispersion, qui lie leur vecteur d onde et leur énergie. Pour un électron dans le vide, cette relation de dispersion s écrit : E = ħ2 k 2 2m 0 (II. 1) Avec E l énergie, m 0 la masse de l électron libre, k son vecteur d onde et ħ la constante de Planck divisée par 2π. L ensemble de ces fonctions de dispersion des électrons dans l espace réciproque est appelé structure de bande ou structure électronique du semi-conducteur. La structure des bandes de conduction et de valence est représentée sur la figure II.3. Ici, on s intéressera uniquement à la bande permise supérieure qui est la bande de conduction. Les bandes de valence et de conduction respectives dans les différentes directions du cristal de silicium sont bien connues [SZE07, MATH04]. La figure II.3-a en donne une représentation dans les directions cristallographiques <111> et <100>. En général, seuls les niveaux d énergie voisins du minimum de la bande de conduction peuvent recevoir des électrons. De même, seuls les niveaux voisins du maximum de la bande de valence peuvent recevoir des trous. A ces faibles niveaux d énergie, on peut considérer, en première approximation que les bandes sont de forme parabolique. La relation de dispersion peut alors être représentée par le diagramme de bandes schématisé sur la figure II.3-b. La figure II.3 montre que le minimum de la bande de conduction se situe à k 0 = /a du centre de la zone de Brillouin dans les 6 directions équivalentes <100> (Le silicium étant un cristal cubique, les directions <100>, <010>, <001>,<100>, <010> et <001> sont équivalentes), a étant le paramètre de maille du réseau [KIT98]. Par conséquent, il y a 6 minima équivalents appelé vallées Δ. Pour des énergies légèrement supérieures à E C (k 0 ), les surfaces équi-énergie sont des ellipsoïdes de révolution centré en k 0 (Figure II.4). Dans ces conditions, l énergie des électrons sur ces surfaces est donnée par E = E C + ħ2 2m l (k x k 0 ) 2 + ħ2 2m t k y 2 k z 2 (II. 2) 32

54 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique m l représente la masse effective de l électron dans son mouvement suivant l axe de révolution de l ellipsoïde, c est-à-dire selon l axe portant le point K 0 où se situe le minimum considéré. m t représente la masse effective de l électron dans son mouvement dans le plan perpendiculaire à cet axe. m l est appelée masse effective longitudinale et m t masse effective transverse. Avec m l =0.916m 0 et m t =0.190m 0 [MATH04], où m 0 est la masse de l électron libre. a) b) Figure II.3: a) Diagramme de bandes d énergie du silicium. b) Diagramme de bandes d énergie dans l approximation parabolique. K y Gate confinement direction (100) K x K z Figure II.4: Ellipsoïdes de masse des vallées Δ le long des directions cristallographiques principales. 33

55 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique On peut définir la masse effective des électrons (des trous) comme inversement proportionnelle à la courbure de bande, chaque minimum de bande de conduction (de valence). m = ħ 2 2 (II. 3) E k2 Autrement dit, une particule effective j est une particule libre de masse effective mj, qui porte en elle le potentiel cristallin. Un potentiel électrostatique est dû à l influence conjuguée des ions du cristal et de tous les autres électrons libres. Le potentiel vu par ces électrons doit avoir la périodicité du réseau cristallin. La masse effective contient en quelque sorte l inertie additionnelle que donne à l électron le potentiel cristallin, c est-à-dire contient l effet global du potentiel cristallin sur l électron. On qualifie de liés, les électrons situés sur les orbitales des atomes et de quasi-libres, ceux extraits des atomes mais subissant le potentiel cristallin. Dans notre problème, nous nous intéresserons uniquement aux particules quasi-libres qui participent à la conduction dans le semiconducteur. II.1.2 La silice Pour la plupart des dispositifs étudiés, l oxyde de grille a été obtenu par oxydation thermique du silicium. C est la technique la plus couramment utilisée depuis les années 50, car c est elle qui donne les oxydes de meilleure qualité, même si d autres procédés tels que le dépôt chimique en phase vapeur (CVD) permettent aujourd hui d obtenir des oxydes de qualités équivalentes. La silice peut se trouver sous trois formes allotropiques (même composition chimique, mais arrangements atomiques différents): cristalline (ordre cristallographique à longue distance), vitreuse (ordre à courte distance) et amorphe (absence d ordre) [MAN98]. La structure obtenue par oxydation thermique est la silice vitreuse. Elle est amorphe dans le cas d un mauvais contrôle de la croissance de l oxyde. L unité structurelle de base de la silice est un atome de silicium entouré de quatre atomes d oxygène constituant les sommets d un tétraèdre (figure II.5). La silice est constituée d un arrangement de tétraèdres SiO 4 reliés entre eux par l intermédiaire des sommets oxygènes. Ces tétraèdres sont caractérisés par la distance atomique Si-O (de 1,6 à 34

56 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique 1,63 Å), et par la valeur de l angle θ entre les liaisons O-Si-O (θ varie de 110 à 180, avec une valeur moyenne de 144 pour la silice amorphe [MAN98]). Figure II.5: Motif de base de la silice. II Propriétés électriques du SiO2 a) Diagramme de bandes Un diagramme de bandes représente les états d énergie permis des électrons. La théorie des bandes repose sur celles des orbitales atomiques. Ce diagramme est représenté ci dessous : E c 1,0 ev 3,2 ev E vide 8,9 ev E c 1,1 ev E v 4,6 ev E v SiO 2 Si Figure II.6: Diagramme de bandes du Si-SiO 2 A partir de ce diagramme on constate que la largeur de la bande interdite de l oxyde est relativement importante (environ 8,8 ev contre 5,1 ev pour le nitrure de silicium Si 3 N 4, par exemple), ce qui est à l origine du caractère isolant du SiO 2. Les valeurs des hauteurs de barrière vues par les porteurs sont élevées: 3,2 ev pour les électrons et 4,6 ev pour les trous. L oxyde est donc assez bien protégé contre les injections de porteurs, en particulier de celle des trous. 35

57 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique b) Propriétés électriques de l oxyde La résistivité élevée de l oxyde (de l ordre de à Ω.cm), confirme sa propriété d isolant électrique. A température ambiante, les valeurs de la conductivité et de la diffusitivité thermique, sont assez faibles (respectivement 0,014 Wcm -1 C et 0,006 cm 2 s -1 ). La mobilité des porteurs dans le SiO 2 à la température ambiante, est de 10 à 20 cm 2 V -1 s -1 pour les électrons et de l ordre de 10-5 cm 2 V -1 s -1 pour les trous. Ces valeurs sont très nettement inférieures à celles généralement rencontrées dans le silicium cristallin (typiquement 1400 cm 2 V -1 s -1 pour les électrons, et 400 cm 2 V -1 s -1 pour les trous). L oxyde présente cependant une constante diélectrique relativement faible par rapport à celle du Si 3 N 4, par exemple (respectivement 3,9ε 0 et 7ε 0 ). II.1.3 Diagramme de bandes de la structure MOS Les dispositifs étudiés dans cette thèse sont de type Métal/SiO 2 /Si. Un exemple de structure de bandes, est donné sur la figure II.7. Avec l aide de la figure II.7, nous allons rappeler le principe des différents modes de fonctionnement du transistor MOS. Lorsqu une tension V GS est appliquée, la structure de bande, prés de l interface Si-SiO 2 est modifiée. Trois situations peuvent être distinguées (dans la région du canal) : accumulation, déplétion et inversion, comme indiqué aux figures II.7 a-b-c, respectivement. Pour une tension de la grille négative, les porteurs majoritaires (trous) sont attirés à l interface du semi-conducteur et une très fine couche de charge positive (la couche d accumulation) est alors formée (Fig. II.7.a). Avec l augmentation de V GS, la courbure des bandes devient plus faible, jusqu à une certaine valeur où il n y a plus de courbure des bandes. Cette valeur particulière de tension de grille est appelée la tension des bandes plates V FB (flatband potential). Au-delà de ce point, la courbure des bandes est opposée à celle en accumulation, une charge négative est en train de se former. En fait, la charge positive de la grille repousse les trous de la surface du semi-conducteur et fait apparaître une charge négative (due aux ions accepteurs immobiles), appelée charge de déplétion (Fig. II.7.b). Quand la tension de la grille augmente encore plus, la courbure des bandes vers le bas devient plus prononcée (Fig. II.7.c). Dans cette situation, la surface du semi-conducteur se comporte comme un matériau de type n, d ou le nom de région d inversion. On parle d inversion forte lorsque la concentration des porteurs minoritaires en surface devient supérieure à la concertation des majoritaires dans le volume. 36

58 Métal Oxyde Semi-conducteur Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique (a) Accumulation E Fm V G <V FB E C E F E i E V (b) Déplétion E C E i E Fm V G > V FB E F E V (c) Inversion E C E i E F E V V G >> V FB E Fm Figure II.7: Diagramme schématique de bandes d énergie d une structure MOS avec un semi-conducteur de type p, pour les différents modes de fonctionnement : accumulation, déplétion et inversion. 37

59 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique Cas du DG-MOSFET : Dans notre étude, le schéma et le diagramme de bande du transistor MOS à double grille sont représentés sur les figures suivantes : Figure II. 8: Structure du transistor MOS SOI à double grille. Niveau de Fermi dans la source (n + ) grille SiO 2 E C Si SiO 2 grille V GS E I V GS E V Niveau de Fermi des électrons de la grille A -d 0 +d B Figure II.9: Diagramme des bandes d énergies suivant la coupe verticale AB, avec d=t Si /2. 38

60 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II.1.4 Hypothèses utiles faites sur les matériaux concernant les structures MOSFETs Nous récapitulons, dans ce paragraphe, les différentes hypothèses et approximations liées aux matériaux constituant les structures MOSFETs que nous utilisons dans notre étude. Le silicium est clivé dans la direction <100>. Nous nous situons dans l approximation de la masse effective. La bande de conduction est considérée comme parabolique. Le gap indirect du silicium fait que le diagramme d énergie de la bande de conduction est constitué de six vallées équivalentes. Dans la direction <100>, il faut donc considérer deux types d électrons, les électrons longitudinaux et les électrons transversaux. La silice considérée se comporte comme un cristal. Les charges piégées dans l oxyde sont négligées ainsi que les charges d interfaces. Négligence d injection des porteurs dans l oxyde II.2 Transport électronique dans le Silicium: phénomènes et éléments de base II.2.1 Transport stationnaire La conduction électrique et de manière plus générale, le transport, résultent d une perturbation de l équilibre thermodynamique du système. Lorsque le champ électrique (la perturbation) est maintenu constant, un état de déséquilibre permanent s installe et crée un flux de porteurs. Un pseudo-équilibre thermodynamique stable est atteint et le transport est alors dit stationnaire. y x Source Grille E eff Drain E eff : champ électrique vertical ou transverse E : champ électrique latéral ou longitudinal E Figure II.10: Principaux champs électriques dans un transistor et notations utilisées. 39

61 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II Conduction à faible champ latéral : Loi d Ohm et mobilité Pour des champs faibles (<10 3 V/cm), la loi d Ohm s applique : J = ς. E (II. 4) Elle relie la densité de courant à sa cause, le champ électrique, par la conductivité : ς = q. n. μ eff (II. 5) avec μ eff la mobilité effective à faible champ et n la densité surfacique de porteurs. μ eff = q. τ m cc (II. 6) avec τ le temps moyen de relaxation entre deux collisions et m cc la masse effective de conductivité des porteurs. L hypothèse de champ faible implique que lors du transport il n y a pas d échauffement des porteurs. L énergie acquise par les porteurs entre deux collisions est en moyenne complètement perdue lors de la collision. La vitesse d entraînement (ou de dérive) des porteurs est alors proportionnelle au champ électrique: v = μ eff. E (II. 7) II Conduction à fort champ latéral : saturation de la vitesse des porteurs Dans les dispositifs submicroniques, pour une polarisation de drain de seulement 1V, le champ électrique résultant dépasse déjà 10 4 V/cm. Au-delà de 10 3 V/cm, la loi d Ohm cesse d être valable car la vitesse d entraînement dans de tels composants n est plus proportionnelle au champ électrique. L énergie des porteurs augmente, augmentant en même temps la fréquence des collisions, ce qui entraîne une chute de la mobilité puis une saturation de la vitesse de l ensemble des porteurs. La vitesse présente donc en fonction du champ une loi de variation linéaire puis un régime de saturation (figure II.11). Lorsque la perturbation est permanente (champ constant), un équilibre stable est atteint. La vitesse de saturation stationnaire atteinte alors par les porteurs (~10 7 cm/s) 40

62 v(cm/s) Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique résulte d un équilibre entre accélération par le champ et freinage par les collisions avec le réseau et les impuretés, est indépendante de la polarisation de drain. v saturation ~ 10 7 cm/s Ec = champ critique ~ V/cm E (V/cm) Figure II.11: Représentation de la variation de la vitesse d entraînement des porteurs en fonction du champ électrique latéral. Tant que E<Ec, le transport est stationnaire et v=μ eff E. Pour E>Ec, la vitesse sature à cause des interactions avec le réseau. II.2.2 Transport non stationnaire Lorsque le champ varie fortement dans l espace ou le temps, typiquement lorsqu un porteur pénètre dans une région à fort champ, le phénomène de survitesse ou velocity overshoot, bien connu dans les semi-conducteurs à gap direct (GaAs), apparaît dans le Si à température ambiante [CHAN05]. Il se caractérise par le fait que la vitesse d une partie des porteurs est supérieure à la vitesse d entraînement stationnaire correspondant à ce champ. La vitesse stationnaire est de nouveau obtenue au bout d un certain temps. Le transport durant cette période est hors équilibre ou non stationnaire. Cela signifie que pendant un certain temps et donc sur une certaine distance, les porteurs ont une vitesse moyenne qui peut être sensiblement supérieure à la vitesse de dérive ou même à la vitesse de saturation. Cela est possible car le temps de relaxation nécessaire pour ramener le système à l équilibre n est pas nul. S il était très faible, à cause par exemple d un nombre trop important d impuretés dans le canal, l équilibre serait maintenu et la survitesse n aurait pas lieu. Ce phénomène de transport non stationnaire peut donc se révéler très intéressant dans le cas d un transistor fortement submicronique, à la condition qu il se produise à l entrée du canal (la source) : les porteurs sont en survitesse sur une grande partie voire même la totalité du canal de conduction. Le courant de drain est alors augmenté et sera sous estimé par le modèle de dérive diffusion. 41

63 Vitesse (10 7 cm/s) Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique De plus, lorsque la longueur du canal approche le libre parcours moyen des porteurs, les probabilités d interactions peuvent devenir très faibles et les porteurs peuvent traverser le canal sans aucune interaction. C est le cas ultime du transport non stationnaire : le transport balistique, où les vitesses peuvent atteindre plus de cm/s. Quelques détails supplémentaires sur le régime balistique seront abordés dans le paragraphe suivant. 77K 300K Vsat Figure II.12: Vitesse effective des porteurs en fonction de la longueur du canal. Le phénomène de survitesse pour les électrons est observé à 77K pour des canaux inférieurs à 130nm et même à température ambiante pour des canaux inférieurs à 90nm. A 300K la vitesse vaut cm/s > Vsat=10 7 cm/s [CHAN05]. Longueur du canal (μm) II.2.3 Transport balistique dans les dispositifs ultracourts Avant de parler de transport balistique, il convient de discuter brièvement de la longueur caractéristique du transport, le libre parcours moyen (l pm ). II La longueur moyenne libre de l électron (libre parcours moyen) Le libre parcours moyen, l pm (electron mean free path) est la longueur moyenne que l électron peut parcourir à l intérieur du matériau sans collision avec le réseau cristallin du matériau. La comparaison entre cette longueur et les dimensions de l échantillon (L= longueur et w = largeur) définissent plusieurs régimes de fonctionnement : Transport diffusif : pour des échantillons dont les dimensions sont beaucoup plus grandes que l pm, l pm << L, w. Transport balistique : pour des échantillons beaucoup plus petits que l pm, l pm >> L, w. 42

64 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II Transport balistique Les modèles physiques, permettant d obtenir les relations courant/tension dans les transistors MOS à canaux relativement long sont basés sur l hypothèse dite «de mobilité». Elle suppose que les porteurs subissent un nombre d interactions suffisamment important pour leur permettre d être constamment en équilibre local avec le réseau cristallin, comme illustré schématiquement en figure II.13-a. Il existe alors une relation unique entre le champ électrique E et la vitesse moyenne des porteurs v: v = μ eff. E (μ eff mobilité effective). a) b) Figure II.13: Schéma d une trajectoire typique d un porteur avec ses interactions dans a) un transistor long et b) un transistor ultracourt. l pm : libre parcours moyen des porteurs. Dans les transistors ultimes où la longueur de grille est fortement submicronique, la longueur du canal est de l ordre de la distance moyenne entre deux interactions, appelée libre parcours moyen l pm. Le nombre d interactions subies par les porteurs lors de leur traversée d un canal ultracourt est donc très faible, comme illustré sur le schéma de la figure II.13-b. Ce nombre peut même être nul, le porteur est alors qualifié de «balistique». L hypothèse d un régime de mobilité est donc sérieusement remise en question dans les dispositifs ultracourts. II.3 Description du transport électronique par la mécanique classique L étude du transport électronique est devenue l un des enjeux majeurs des futures générations de composants MOSFETs. Dans cette partie, nous présenterons les équations fondamentales qui régissent le transport d un gaz électronique classique (modèle Dérive Diffusion) à partir du formalisme de Boltzmann, celui-ci demeure opérationnel et occupe une place importante dans l industrie des semi-conducteurs. Or les tailles des dispositifs diminuant, les effets quantiques deviennent importants donc il devient nécessaire d utiliser des nouveaux 43

65 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique modèles prenant en compte ces effets. Après avoir discuté les limites de modèle classique, nous présenterons le modèle promoteur dit couplage Schrödinger-Poisson qui prendra la relève pour décrire le transport électronique dans les nano-composants. II.3.1 Physique et équations des semi-conducteurs II Equations de Maxwell J.C. Maxwell [MAX85] mit au point ses équations il y a de cela environ 130 ans; elles décrivent les phénomènes de l électromagnétisme et elles sont universelles, en tout cas, jusqu'à présent. Elles sont même invariantes à travers les transformations de Lorentz et cela avant l avènement de la théorie de la relativité. Initialement, rares étaient les cas où l on savait leur donner une solution : seuls quelques systèmes simple permettaient d aboutir à une étude analytique. Avec l avènement des techniques numériques et l ère des ordinateurs puissants, on a pu efficacement appliquer celles-ci à de nombreux systèmes: div E = ρ ε (II. 8) Rot E = B t (II. 9) div B = 0 (II. 10) c 2. Rot E = J cond ε + E t (II. 11) E : champ électrique ρ : densité de charges intérieures ε : permittivité du matériau B : champ magnétique c : vitesse de la lumière 44

66 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique Ces équations sont applicables en général à tous les matériaux et en particulier aux semiconducteurs. On introduit de plus une fonction scalaire φ qui représente le potentiel électrique défini par : E = grad φ (II. 12) II Formulation des équations du semi-conducteur (modèle mathématique) En physique du solide, l interprétation des phénomènes de conduction dans un semiconducteur se fait en toute rigueur par application des théories de la mécanique quantique. On en déduit alors par approximation une équation de transport pour chaque type de particule, dite équation de Boltzmann. Cependant, une deuxième approximation conduit alors à considérer les courants des trous et d électrons comme la somme d une composante de diffusion proportionnelle au gradient des porteurs et d une composante de déplacement correspondante à la loi d Ohm. Les équations ainsi obtenues, donc les équations de transport, ne sont pas universellement valides, mais elles décrivent suffisamment bien la plupart des composants au silicium et en particulier les transistors MOS. II Systèmes d équations des semi-conducteurs Sous les hypothèses précédemment adoptées en considérant une température uniforme dans le matériau, les équations de base qui régissent les phénomènes de conductions dans les semi-conducteurs sont regroupés ci-dessous : div grad φ = ρ ε (II. 13) div J n q n t div J p + q p t = q. GRn (II. 14) = q. GRp (II. 15) J n = q. n. μ n. E n + q. D n. grad n (II. 16) J p = q. p. μ p. E p q. D p. grad p (II. 17) 45

67 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique Les trois premières équations qui représentent l équation de Poisson et les équations de continuité dérivent directement des équations de Maxwell et s appliquent donc à tout matériau dont la permittivité est isotrope. Pour les appliquer au cas des semi-conducteurs, il faudrait en tenir compte au niveau du terme de Génération-Recombinaison. Une attention particulière doit être prise dans le cas des deux dernières équations. En effet, les effets de fort dopage n apparaissent pas explicitement dans ces équations. Ces derniers sont introduits par les termes E n et E p qui sont les champs électriques effectifs spécifiques à chaque porteur, et tel que : E n = E grad( Eg) 2. q (II. 18) et E p = E + grad Eg 2. q (II. 19) ΔEg représente la réduction de la bande interdite. Il faut noter que les courants autres que ceux générés par le champ électrique et les gradients de concentration de charges ont été négligés dans ces deux dernières relations. Ce système d équations permet de décrire le comportement électrique de la plupart des composants basés sur le silicium. A ce système d équations, il faut rajouter la relation qui lie le champ électrique au potentiel (II.12) et celle donnant le courant total. J = J n + J p + ε. E t (II. 20) II Modèles physique considérés Dans le système d équations que nous venons de décrire, la physique des composants intervient dans les trois facteurs: 46

68 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II La densité de charge La densité de charge ρ qui fait intervenir les concentrations en porteurs libres, n pour les électrons et p pour les trous et la concentration en impuretés électriquement actives. Celles-ci intervient dans l équation de Poisson et est définie par : ρ = q. p n + DOP + C t (II. 21) n et p sont les densités des porteurs libres, DOP la densité de charges fixes ND +, NA -, et C t la densité de charge due aux centres recombinants. Cette dernière est souvent négligée lorsqu on travaille en régime statique ou bien lorsque les transitions peuvent être considérées comme instantanées. La densité de charge DOP est évaluée soit par des fonctions analytiques telles que des «gaussiennes» ou des «erreurs complémentaires», soit en récupérant les données d un simulateur de «process» technologique. II Les Mobilités Les mobilités des électrons μ n et des trous μ p dépendent d un certain nombre de paramètres (dopage, champ électrique, température ). Dans notre cas, nous intéressons surtout à sa dépendance avec le dopage. Nous supposons pour simplifier, que touts les impuretés sont ionisées. Un modèle, tiré de l expérience, de cette mobilité à été proposé par Caughey et Thomas en 1967 [CAU67]: μ n LI = μ n min + μ n L μ n min 1 + C C n 0 α n (II. 22) μ p LI = μ p min + μ p L μ p min 1 + C C p 0 α p (II. 23) Cette forme de mobilité intègre à la fois la mobilité liée au réseau μ L et celle due aux impuretés ionisées. 47

69 Mobilités (cm 2 /V/S) Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique Le problème qui se pose est le choix des diverses constantes de ces deux lois ; les résultats publiés sont relativement inhomogènes [SEL84], bien que correspondant tous à des mesures expérimentales. La figure II.14 représente l évolution des mobilités en fonction de la concentration d impuretés pour les valeurs des paramètres suivantes [CAU67]: T=300 K ; α p =0.76 ; α n =0.72 ; μ min n =65 cm 2 /V/sec ; μ min p =47.7 cm 2 /V/sec ; C 0 n = cm -3 ; C 0 p = cm -3 Il est possible d utiliser d autres formulations de la dépendance de la mobilité-concentration [SEL84, DOR81]; les courbes obtenues sont similaires à celle présentée sur la figure II Si 10 3 μ n μ p Concentration (cm -3 ) Figure II.14: Mobilités des électrons et des trous dans le silicium en fonction de la concertation d impuretés. Il faut noter que la mobilité dépend également du champ électrique, plusieurs auteurs l ont mentionné [VAS71, LAT85]. II Génération-Recombinaison Nous avons vu au paragraphe précèdent que l écriture des équations de continuité introduit deux termes GRn et GRp qui décrivent les phénomènes de génération-recombinaison, et qui représentent les divers mécanismes physiques qui vont perturber les densités de porteurs. Si on considère un semi-conducteur à l'équilibre thermique, il se produit en permanence un processus de génération de paires électrons-trous par agitation thermique. Cependant il existe 48

70 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique aussi le processus inverse, un électron se recombine avec un trou, c'est la recombinaison. Dans un semi-conducteur à l'équilibre, les deux processus s'équilibrent de façon à ce que la concentration en porteurs libres reste constante. Par définition, la recombinaison est le retour de l électron de l état excité à l état initial ou de le bande de conduction vers la bande de valence, car il ne peut rester dans un état excité que pour un temps faible (t<10-8 s). Ce retour de l électron de l état excité vers l état stable peut avoir lieu selon plusieurs façons. Nous nous intéressons surtout à la recombinaison en volume de type SHR (Schokley-Read-Hall). Une recombinaison SHR fait intervenir un centre recombinant (impureté, défaut cristallin, défaut de surface, ), sur lequel un électron et un trou se recombinent. L'énergie libérée par la recombinaison se dissipe dans le réseau cristallin. Pour un tel mécanisme de recombinaison faisant intervenir un électron, un trou et un centre recombinant, on a un taux de recombinaison qui prend la forme: 2 n. p n i R SHR = τ p. p + p t + τ n. n + n t (II. 24) Où n t et p t sont les densités de centres recombinants et τ n et τ p sont les durées de vie des électrons et des trous associées au mécanisme de recombinaison en question. Ce taux de recombinaison peut aussi être exprimé en fonction des sections de capture efficace des centres recombinants visà-vis des trous et des électrons. Les équations de continuité (II.14) et (II.15), les équations de densité de courant (II.16) et (II.17) ainsi que l équation de Poisson constituent le système auto cohérent de base du transport classique. Actuellement, la majorité des logiciels de simulation de MOSFETs commercialisés à travers le monde se basent sur la résolution de ce système d équation dans le cas de l application de la mécanique classique. II.3.2 Inadéquation du modèle classique Du fait de la réduction des dimensions, les champs électriques appliqués augmentent et avec eux, la vitesse de dérive des porteurs. Lorsque le champ électrique excède V/cm, la vitesse de dérive n est plus proportionnelle au champ appliqué. En augmentant encore le champ, la vitesse de dérive approche de celle thermique et les processus de diffusion s intensifient : la vitesse de dérive converge alors vers un maximum appelé vitesse de saturation (v sat ). Dans le 49

71 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique silicium, les électrons présentent (à 300K) une vitesse limite de cm/s sous un champ électrique de V/cm. Symétriquement, les trous ont une vitesse de saturation (à 300K) de cm/s quand le champ atteint V/cm. De plus, des variations rapides du champ électrique ont lieu sur des distances comparables aux longueurs caractéristiques du transport, c est-à-dire les longueurs moyennes de relaxation du moment et de l énergie. Débute alors un régime de transport dans lequel le champ électrique n est plus homogène dans le temps et l espace et où la vitesse des porteurs dépasse la vitesse de saturation d équilibre : on parle de velocity overshoot [BAC85, CHO85, MUN02]. Le concept de vitesse de dérive moyenne ou de mobilité devient sans fondement. Si l on réduit encore les dimensions, la distance à traverser par les porteurs est inférieure à la distance moyenne entre deux événements diffusants ( libre parcours moyen). Une grande proportion de porteurs est alors capable de traverser tout le canal (depuis le point d injection jusqu au point d extraction) sans subir de collision. Les électrons peuvent se déplacer sans diffuser, comme dans un tube à vide: le transport est balistique. Les nanomosfets fabriqués actuellement présentent des dimensions bien inférieures au libre parcours moyen des semiconducteurs. De plus, leurs dimensions sont désormais comparables à la longueur d onde de DE BROGLIE, grandeur à partir de laquelle les effets quantiques et la nature ondulatoire des électrons ne sont plus négligeables. Une bonne approximation de cette longueur d onde peut être donnée en considérant le cas d un électron libre dans la bande de conduction qui s exprime ici par: λ = 2π k = 2m E F E c (II. 25) Les nanotransistors doivent donc être modélisés par une théorie qui tient compte des variations rapides spatiales du champ électrique et qui inclue les effets quantiques. II.4 Description du transport électronique par la mécanique quantique II.4.1 Confinement quantique dans les structures MOS II Effets quantiques La réduction des dimensions des dispositifs jusqu a des tailles nanométriques met en évidence des phénomènes de nature quantique, jusqu alors considérés comme inexistants ou en 50

72 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique grande partie négligeable. Ces effets quantiques sont essentiellement de trois ordres: les effets liés au confinement quantique, au courant tunnel et aux phénomènes d interférences quantiques. L effet de confinement doit donc être pris en compte dans notre étude. II Confinement quantique Les épaisseurs de canal des dispositifs MOSFETs sont aujourd hui proches des longueurs d onde des électrons. En conséquence, les porteurs dans la couche d inversion sont libres de se mouvoir parallèlement au canal de conduction. Par contre, du fait des forts champs électriques, leurs mouvements perpendiculairement à la surface du canal sont confinés dans un puits de potentiel étroit, ou puits de confinement. Ces effets de confinement se manifestent essentiellement sous deux aspects: La quantification de la bande d énergie en sous-bandes (valeurs propres de l équation de Schrödinger) dans le puits de potentiel formé à l interface oxyde/silicium (Figure II.15). Les porteurs dans la couche d inversion se comportent alors comme dans un gaz à deux dimensions (au lieu d un gaz à trois dimensions ou continuum d énergie dans le cas classique). Leur mouvement est libre dans le plan de la structure et quantifié dans la direction perpendiculaire. Pour déterminer précisément la densité d états d énergie lors de l application d un potentiel sur la grille d une structure MOS, un traitement quantique du problème s impose. Il nécessite la résolution couplée de l équation de Schrödinger, qui permet de déterminer les états stationnaires d énergie, les fonctions d ondes et les concentrations de porteurs associées, et de l équation de Poisson, qui permet d évaluer le potentiel dans la structure pour une distribution de porteurs donnée. La détermination de la distribution des porteurs dans la direction transverse au transport par la superposition de fonctions d ondes (fonctions propres de l équation de Schrödinger) chacune associée à une sous-bande d énergie. Ceci a pour conséquence de décaler le maximum de la densité de porteurs à quelques nanomètres de l interface oxyde/silicium à l intérieur du silicium. Les écarts entre un calcul quantique et les approches classiques sont illustrés sur la figure II.16. Le calcul, issu de la mécanique quantique et plus représentatif de la réalité, impose une concentration nulle à l interface diélectrique de grille-semi-conducteur alors que le calcul mené avec la statistique de Fermi surestime la concentration de porteurs proches de l interface. 51

73 Concentration d électrons (cm -3 ) Niveau d énergie (ev) Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique Bande de conduction Distance (nm) Figure II.15: Niveaux d énergie dans une capacité MOS en forte inversion. Classique Quantique Distance (nm) Figure II.16: Concentration d électrons dans une capacité MOS en régime de forte inversion. 52

74 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II.4.2 Equations considérées II Equation de Poisson Les lois d échelle idéales permettent de conserver l équation de Poisson invariante par rapport à la miniaturisation, c'est-à-dire que les champs électriques présents dans un transistor court sont toujours identiques à ceux apparaissant dans des transistors plus longs. Afin de prendre en compte les effets canaux courts, nous effectuons une résolution de l équation de Poisson suivant la dimension transversale au canal et la dimension longitudinale à celui-ci. L équation de Poisson pour une structure à deux dimensions s écrit comme suit: d 2 V(x, y) dx 2 + d2 V(x, y) dy 2 ρ x, y = (II. 26) ε 0 ε r Où V x, y : Le potentiel électrostatique. ρ x, y : La densité de charge. ε 0 La permittivité du vide. ε r La permittivité diélectrique du milieu (SiO 2 dans notre cas). La densité volumique de charge résulte à la fois de la présence des électrons libres, des trous libres, et des impuretés ionisées de type donneur (N D + ), et de type accepteur (N A - ): ρ x, y = q p x, y n x, y + N D + x, y N A x, y (II. 27) p est la concentration des trous que l ont peut négliger dans l hypothèse d un canal complètement déserté. Avec (dans l hypothèse de complète ionisation des impuretés dopantes). N D + = N D et N A - = N A 53

75 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II Equation de Schrödinger L équation de Schrödinger est l équation fondamentale de la mécanique quantique. Il s agit d une équation aux dérivées partielles qui décrit l évolution au cours du temps de la fonction d onde d un système physique. Elle prend la forme suivante: iħ Ψ t = HΨ (II. 28) Où H est l opérateur Hamiltonien associé à l énergie totale du système considéré. Celui-ci est la somme des opérateurs d énergie cinétique T et potentielle V: H t = T + V t (II. 29) L opérateur Hamiltonien dépend donc du temps si les potentiels qui entrent en jeu dépendent eux-mêmes explicitement du temps. Lorsque l opérateur H ne dépend pas du temps, on aboutit par séparation des variables spatiotemporelles, à une équation aux valeurs propres, appelée équation de Schrödinger stationnaire. Dans ce cas, l équation de Schrödinger 2D dans le plan x-y (indépendante du temps), dans l hypothèse de la masse effective, s écrit sous la forme simplifiée: ħ2 2m x d 2 ħ2 Ψ x, y dx2 2m y d 2 Ψ x, y qv x, y Ψ x, y = E x Ψ x, y (II. 30) dy2 La résolution quantique exacte de systèmes 2D ou 3D nécessite un outil de calcul numérique très puissant. De plus en plus de laboratoires et industries s équipent donc de cluster, c est-à-dire d une grappe d ordinateurs connectés entre eux (jusqu à 150 unités) et travaillant en parallèle sur la même tâche. Cette évolution a incité les chercheurs à proposer des alternatives physiques et/ou numériques susceptibles de réduire le temps de calcul. L approximation de l espace des modes est le fruit de cette volonté et permet de transformer, sous certaines conditions, un problème 2D ou 3D en plusieurs problèmes 1D indépendants, et qui peut être résolues en utilisant un simple PC. Les références suivantes décrivent l approche "mode-space" et définissent son domaine de validité [ZHIB02, JERO05, MARC05]. Nous avons vu au paragraphe précédent que dans la direction perpendiculaire à l interface, les porteurs devaient se situer sur des niveaux d énergie discrets. Par contre, dans le plan parallèle à l interface, on admettra que les porteurs ne voient qu un potentiel constant et seront 54

76 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique donc considérés comme libres dans ce plan. Ceci va nous permettre de simplifier la résolution de l équation de Schrödinger. Pour étudier de manière efficace les effets quantiques dans les dispositifs ultimes, l approche par mode ou «mode-space» est très répandue. Elle a pour objectif de découpler l équation de Schrödinger 2D stationnaire en 2 équations 1D selon l axe y et selon l axe x. Dan ce cas, L équation de Schrödinger 1D (indépendante du temps), dans l hypothèse de la masse effective s écrit sous la forme simplifiée: ħ2 d 2 2m y dy 2 Ψ i x, y qv x, y Ψ i x, y = E i x Ψ i x, y (II. 31) E i (x) et i (x,y) correspondent respectivement à l énergie et à la fonction d onde associées au niveau i de la sous bande correspondant à la tranche x. nous supposerons que les fonctions d onde des électrons sont nulles à l interface oxyde/si (la pénétration des électrons dans l oxyde est négligeable), en négligeant l effet tunnel. qv(x,y) désigne l énergie potentielle électrostatique, qui s obtient en résolvant l équation de Poisson en 2D. Comme nous l avons déjà mentionné (cf.ii.1.1.2), la masse effective des porteurs (électrons et trous) est inversement proportionnelle à la dérivée seconde de E(k), c'est-à-dire à la courbure des bandes d énergie dans l espace des vecteurs d ondes. On montre alors qu il existe 6 vallées correspondantes à des surfaces équipotentielles [MATH04]. Ces ellipsoïdes sont schématisés sur la figure II.4. L énergie des électrons sur ces surfaces est donnée par : E = E C + ħ2 2m l k x k ħ2 2m t k y + k z 2 (II. 32) avec m l et m t les masses effectives longitudinales et transversales. Leurs valeurs mesurées expérimentalement sont, dans le silicium m l =0.916m 0, m t =0.191m 0. Ces valeurs très différentes vont entrainer l existence de deux séries de sous-bandes d énergies. Lorsqu un champ électrique E est appliqué dans la direction [100], les électrons occupant les vallées 1 et 2, série des sousbandes secondaire (unprimed) seront entrainés et la masse effective alors mise en jeu dans ce mouvement sera la masse effective longitudinale, m l (masse effective des électrons lourds), correspondant au grand axe de l ellipsoïde. Dans le même temps, la masse effective de conduction des électrons occupant les vallées 3, 4, 5, 6 (série des sous-bandes primaire) sera la masse effective m t (masse effective des électrons légers), qui correspond au petit axe de 55

77 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique l ellipsoïde de révolution. En conséquence, la résolution de l équation de Schrödinger s effectue deux fois, une pour la masse effective longitudinale et une autre fois pour la masse effective transverse. En raison de la différence importante qui existe entre m l et m t, la série de sous-bandes secondaire (unprimed) correspond à un faible niveau énergie par rapport à la série de sousbandes primaire (primed) qui correspond à un niveau énergie plus élevée. Il s en suit que la masse des électrons dans le second cas est plus faible, favorisant ainsi leur transport. On limite les calculs aux 2 ou 3 sous-bandes occupées par vallée. II Densité des électrons Intéressons nous maintenant plus en détail aux équations des densités d électrons n. Le profil de l énergie le long du canal pour le transistor MOS balistique est illustré sur la figure suivante : Figure II.17: Evolution typique de la bande de conduction le long de l axe source drain dans un transistor balistique. On peut diviser ce profil en deux régions: les points à gauche du pic de l énergie (région 1), et les points à droite du pic de l énergie (région 2). Dans la région 1, les électrons qui ont des énergies inférieures à E pic sont dans un état d équilibre avec le réservoir de source, les électrons qui ont des énergies plus élevées à E pic proviennent soit du réservoir de source (right-going elecrons), soit réservoir de drain (left-going elecrons). La même explication peut être faite dans la région 2. Ceci est expliqué par le fait que 56

78 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique chaque porteur est associé à une onde incidente et une onde réfléchie (mécanique quantique). Les réservoirs de source et drain sont caractérisés par deux niveaux de Fermi μ s et μ D. La densité d électrons dans la région 1 pour une sous-bande i s écrire comme suit [ZHIB02]: n gauc e x = n 2Di ln 1 + e μ s + 1 π E peak 0 de x E x J 1 2 μ s E x + 1 π de x J 1 E E x 2 peak μ D E x (II. 33) Où l indice (gauche) est retenu pour la région 1. Le tildé ~ signifie que toutes les quantités sont indiquées par rapport à la sous bande de potentiel E i (x), et étalonnées par rapport à l'énergie thermique K B T, J 1/2 est l intégrale de Fermi d ordre -1/2 et n 2Di la densité électronique de surface pour chaque sous bande, elle est donnée par : n 2Di = m x m y πħ 2 K B T 2 Une équation similaire est obtenue pour la densité des électrons dans la région 2: n droite x = n 2Di ln 1 + e μ D + 1 π E peak 0 de x E x J 1 2 μ D E x + 1 π de x J 1 E E x 2 pe ak μ s E x (II. 34) Enfin, pour obtenir la densité électronique totale, il suffit de sommer les contributions de chaque sous-bande. Il faut noter que dans les équations II.33 et II.34, on a considéré uniquement une seule vallée. Pour prendre en compte la contribution de toutes les vallées il faut multiplier ces équations par le facteur de dégénérescences des vallées, qui est 4 pour les sous-bandes primaire et 2 pour les sous-bandes secondaire. II Densité de courants électriques En suivant la même procédure le courant peut être calculé facilement. Comme le courant est conservé dans toute la structure il peut être évalué à n importe quelle section perpendiculaire à la direction de courant. 57

79 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique J = q ħ 2 m y 2 k B T π 3 2 J1 2 μ s E peak J1 2 μ D E peak (II. 35) Où le tildé ~ assume la même signification que celle en équation (II.33) et J +1/2 est l intégrale de Fermi d ordre +1/2 (pour l approximation analytique de J +1/2 et J 1/2 voir [ABR00, VAS99]). La densité de courant totale est obtenue en sommant les contributions de chaque vallée et de chaque sous-bande. II.4.3 Modèle Auto cohérente Schrödinger-Poisson A ce jour, de par l importance du rôle que peuvent jouer les effets quantiques sur les performances électriques des dispositifs, l introduction de ces effets dans les méthodes de simulation constitue un réel enjeu. Pour cela différentes approches numériques permettant de coupler les effets quantiques, sont proposées dans la littérature. Une description physique exacte des effets quantiques nécessite forcément de résoudre l équation de Schrödinger. En parallèle, il est nécessaire de résoudre l équation de Poisson, il s agit donc d effectuer un calcul Schrödinger-Poisson couplé ou auto-cohérent. II Résolution auto-cohérent des équations de Schrödinger et de Poisson L approche traitée dans ce paragraphe et qui parfois appelée couplage Schrödinger-Poisson est actuellement plus connue en littérature sous le nom de self consistent Schrödinger Poisson. Cette approche intuitive est utilisée par de nombreux auteurs, citons [HSI79, SUN91, RAN96, LO99, GHE00, CAS00, AND04, CON08]. Le principe de cette approche est de découpler la direction du transport x, pour laquelle le mouvement des porteurs est supposé semi-classique, de la direction transverse au transport y, pour laquelle les porteurs sont confinés et leur énergie est supposée être quantifiée sur toute l épaisseur du film de silicium. Ainsi donc les porteurs dans le canal étant libres de se mouvoir parallèlement au canal mais leurs mouvements perpendiculaires sont confinés dans un puits potentiel. Afin d expliciter le fonctionnement général de cette méthode, l algorithme général des principales étapes est présenté sur la figure II

80 Direction de confinement Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique Le dispositif simulé est subdivisé en tranches dans la direction du transport x appelées tranches Schrödinger (Figure II.19). Dans chacune de ces tranches, le profil de potentiel étant connu (potentiel de départ V 0 (x,y)). L équation de Schrödinger est résolue dans la direction du confinement y et permet d obtenir les niveaux d énergie E et leur fonction d onde associée (x,y). Equation de Schrödinger Potentiel Densité de porteurs Equation de Poisson Figure II.18: Organigramme général de la Méthode de couplage Poisson - Schrödinger Direction de transport x y Figure II.19: Schéma du transistor à double grille. Une tranche Schrödinger est hachurée. 59

81 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique En effet, l équation de Schrödinger est une équation aux valeurs propres. Chacune des fonctions d onde est une solution de cette équation et la valeur propre qui lui est associée correspond au niveau d énergie. La résolution de l équation de Schrödinger s effectue successivement pour chacune des vallées. Le programme calcule d abord les valeurs propres qui nous intéressent (correspondant aux énergies les plus basses), puis il calcule les vecteurs propres correspondants, c'est-à-dire les fonctions d onde. Connaissant E ij et sa fonction d onde ij associée, la densité des porteurs sur chacune des sousbandes d énergie dans chacune des tranches Schrödinger est calculée à partir des équations (II.33, II.34). Connaissant les densités de porteurs n, il est alors possible de calculer la densité de charge ρ donnée par l équation II.27. La résolution de l équation de Poisson 2D à partir de la densité de charge donne accès au potentiel de Poisson à laquelle succède une nouvelle résolution de l équation de Schrödinger dans chacune des tranches. Les itérations se succèdent ainsi en fonction du temps. Il y a donc auto-cohérence entre les résolutions de Schrödinger 1D et de l équation de Poisson 2D. Le critère d arrêt de la méthode est basé sur l erreur existant entre les potentiels issus de deux itérations successives. Le principal avantage de cette approche est d avoir accès à la connaissance des niveaux d énergie et des fonctions d onde dans la direction transverse au transport par la résolution de l équation de Schrödinger. Les effets quantiques dans la direction du confinement sont aussi pris en compte. La résolution auto-cohérente des équations de Schrödinger et de Poisson nécessite un traitement numérique utilisant un algorithme de convergence. Nous proposons, dans le chapitre suivant, une description détaillée des aspects numériques de la résolution du problème que l on a à traiter. 60

82 Chapitre II : Modélisation d un transistor MOSFET double grille à canal nanométrique II.5 Conclusion Après avoir rappelé quelques généralités sur les matériaux utilisés dans le transistor double grille auquel nous nous intéressons, nous avons exposé les phénomènes de transport des porteurs dans un semi-conducteur. Dans un premier temps, nous avons présenté le régime stationnaire de transport où la vitesse d entrainement des porteurs est proportionnelle au champ électrique, ensuite on a décrit les phénomènes de transport non stationnaires où la vitesse des porteurs n est plus proportionnelle au champ électrique appliqué. Du fait de la réduction des dimensions du transistor, la longueur du canal approche le libre parcours moyen des porteurs. Ces derniers peuvent donc traverser le canal sans aucune interaction; dans ce contexte nous avons donné quelques détails sur le régime balistique pour expliquer les phénomènes physiques qui apparaissent dans le transistor double grille. Pour étudier le comportement électrique des composants MOSFETs à double grille ultramince, une simulation fine du comportement des porteurs est indispensable. Dans cette partie du chapitre nous avons présenté deux modèles : dans un premier temps, on a présenté une description classique des phénomènes de transport basés sur l équation de Poisson couplé avec les équations de continuité qui dérivent directement des équations de Maxwell. Les effets quantiques jouent un rôle très important dans le comportement électrique des transistors MOS, leur présence perturbe le fonctionnement conventionnel du TMOS. Pour cette raison dans un deuxième temps, et après avoir montré les limites du modèle classique pour simuler le transport électronique du nano-composant, nous avons donné une description des phénomènes de transport par la mécanique quantique fondée sur l équation de Poisson à deux dimensions couplée avec l équation de Schrödinger présentée dans le cas de l approximation de l espace des modes. Cette méthode permet une étude précise de la physique des dispositifs de très petites dimensions. 61

83 Chapitre III Résolution numérique des équations fondamentales de transport électronique dans les semi-conducteurs

84 Chapitre III : Résolution numérique des équations Chapitre III Résolution numérique des équations fondamentales de transport électronique dans les semi-conducteurs L activité scientifique s est longtemps articulée autour d une démarche dialectique entre la théorie et l expérience. Ces dernières décennies ont vu la simulation numérique s imposer comme une troisième approche dans la plupart des disciplines de la recherche et du développement (R&D) et en particulier dans le domaine de la microélectronique. Le triptyque théorie-modélisation, simulation numérique et expérimentation est ainsi affirmé comme le cœur du processus de R&D, soutenu par les progrès des ordinateurs et du génie logiciel. La simulation numérique est également un puissant outil d analyse, elle est le seul moyen à déterminer avec précision les quantités physiques (densité d électron, énergie, courant.) qui permettront la meilleure compréhension des phénomènes mis en jeu. Dans ce chapitre, nous effectuerons l étude numérique du transistor MOSFET double grille. Nous présenterons dans un premier temps une introduction à la méthode numérique de résolution des équations aux dérivés partielles. Nous parlerons ensuite de la résolution numérique des équations couplées données par le modèle de dérive-diffusion sur différents domaines préalablement définis. Les progrès de la technologie métal-oxyde-semiconducteur (MOS) conduisent à des transistors de taille nanométrique. A ce niveau de miniaturisation, les effets quantiques ne sont plus négligeables et modifient ostensiblement les propriétés de transport des matériaux. Dans ce contexte, la résolution couplée des équations de Schrödinger et de Poisson constitue une méthode pertinente pour décrire le comportement quantique des nano-transistors. Cette dernière nécessite un traitement numérique utilisant un algorithme de convergence. Nous proposerons alors dans la dernière partie de ce chapitre, une description des aspects numériques de la résolution auto cohérente des équations Schrödinger et de Poisson. 62

85 Chapitre III : Résolution numérique des équations III.1 Classification des problèmes aux limites Les problèmes aux limites sont régis par des équations aux dérivées partielles (E.D.P) accompagnées de conditions aux limites spécifiques. Selon le type d équation, on définit le problème aux limites correspondant. Si l équation est elliptique, le problème est elliptique et on a un problème d équilibre ou de valeurs aux limites (PVL). Si l équation est parabolique le problème est parabolique et on a un problème de valeurs initiales (PVI). Si l équation est hyperbolique le problème est hyperbolique et on a un problème de valeurs propres (PVP). III.2 Résolution des problèmes aux dérivées partielles Dans cette partie, nous exposons quelques méthodes numériques de résolution des problèmes aux dérivées partielles décrivant des phénomènes physiques. Pour passer d un problème exact continu régit par une E.D.P au problème approché discret, il existe trois grandes familles de méthodes : III.2.1 Les différences finies La méthode consiste à remplacer les dérivées partielles par des différences divisées ou combinaisons de valeurs ponctuelles de la fonction en un nombre fini de points discrets ou nœuds du maillage. Avantages : grande simplicité d'écriture et faible coût de calcul. Inconvénient : limitation à des géométries simples. III.2.2 Les volumes finis La méthode intègre, sur des volumes élémentaires de forme simple, les équations écrites sous forme de loi de conservation. Elle fournit ainsi de manière naturelle des approximations discrètes conservatives et particulièrement bien adaptées aux équations de la mécanique des fluides. Sa mise en œuvre est simple avec des volumes élémentaires rectangles. 63

86 Chapitre III : Résolution numérique des équations Avantages : permet de traiter des géométries complexes avec des volumes de forme quelconque, détermination plus naturelle des conditions aux limites de type Neumann. Inconvénient : peu de résultats théoriques de convergence. III.2.3 Les éléments finis La méthode consiste à approcher, dans un sous-espace de dimension finie, un problème écrit sous forme variationnelle (comme minimisation de l'énergie en général) dans un espace de dimension infinie. La solution approchée est dans ce cas une fonction déterminée par un nombre fini de paramètres comme, par exemple, ses valeurs en certains points ou nœuds du maillage. Avantages : traitement possible de géométries complexes, nombreux résultats théoriques sur la convergence. Inconvénient : complexité de mise en œuvre et grand coût en temps de calcul et mémoire. La méthode utilisée dans le cadre de ce travail est la méthode des différences finies. En effet cette méthode reste la plus utilisée dans la simulation des composants semi-conducteurs. Elle consiste à construire et résoudre un système d équations algébriques dont les inconnues sont les valeurs des variables à rechercher en un nombre fini de points du domaine étudié. III.3 Les différences finies La méthode des différences finies est une méthode numérique de résolution des équations différentielles ordinaires ou des équations aux dérivées partielles. Sa formulation est basée sur l approximation locale au voisinage d un point donné des fonctions dérivées apparaissant dans les équations différentielles. Les fonctions dérivées sont approchées par fonctions polynomiales données par le développement en série de Taylor. Dans ce chapitre, on utilise la méthode des différences finies pour résoudre des problèmes aux limites régis par des équations aux dérivées partielles. 64

87 Chapitre III : Résolution numérique des équations III.3.1 Le développement de Taylor III Développement en série de Taylor Si une fonction f(x) est analytique, indéfiniment dérivable au voisinage d un point x=x 0, alors cette fonction peut être approchée par une fonction polynomiale écrite sous la forme de série convergente qu on appelle série de Taylor [TAHA07, SIBO82]. f x = f x 0 + x x 0 f x 0 + (x x 0) 2 f x 2! 0 + (x x 0) n f (n) x n! 0 + (III. 1) Le second membre de l équation est le développement en série de la fonction f au voisinage du point x=x 0. L équation s écrit encore sous la forme : f x = n=1 x x n 0 f n x n! 0 (III. 2) III Développement limité de Taylor En fait, dans l équation (III.1), on ne peut tenir compte que d un nombre fini de termes : on effectue une troncature de série. On a donc un développement à termes finis c est le développement limité de Taylor (appelée aussi formule de Taylor) de la fonction f autour du point x=x 0 f x = f x 0 + x x 0 f x 0 + (x x 0) 2 f x 2! 0 + (x x 0) n f (n) x n! 0 + R n (III. 3) Le dernier terme de l équation (III.3) est appelée reste ou erreur de troncation, est donné par la formule de Lagrange. R n = x x 0 n+1 f (n+1) ξ x x n + 1! 0 ξ x + x 0 (III. 4) 65

88 Chapitre III : Résolution numérique des équations III.3.2 La méthode des différences finies La méthode des différences finies est une méthode d approximation des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles. La méthode consiste à : a) Discrétiser la fonction f(x) aux différents points M i de coordonnées x i espacés d un pas h= x selon la direction, x (figure III.1). b) Reformuler les dérivées partielles qui apparaissent dans l équation aux dérivées partielles. Les fonctions dérivées sont des dérivées approchées en utilisant le développement limité de Taylor de la fonction f au voisinage des points x i. La discrétisation de la fonction f sera de la façon suivante : x x i x i =x 1 +(i-1)h f i =f(x i ) f i+1 =f(x i +h) etc f(x) M i-1 M i M i+1 f i-1 f i f i+1 h h a x i-1 x i x i+1 b x Figure III.1: Discrétisation du domaine d analyse de la fonction f 66

89 Chapitre III : Résolution numérique des équations III.3.3 Procédure de résolution des problèmes aux limites La résolution d un problème aux limites par la méthode des différences finies se fait selon les principales étapes suivantes : a) Construire le maillage ou grille du domaine. b) Transformer l équation aux dérivées partielles et l exprimer sous forme de schéma numérique de différences finies. c) Ecrire l équation de différences finies aux points du maillage. d) Obtenir le système d équations algébriques discrètes K. Φ = Φ c. Φ c est le vecteur connu donné par les conductions aux limites non homogènes, K est la matrice des coefficients et Φ est le vecteur solution recherché en tout point du maillage. e) Trouver la solution Φ en résolvant le système d équations K. Φ = Φ c. III.4 Présentation du dispositif MOSFET double grille Nous avons déjà présenté le DG-MOSFET, en particulier sa structure morphologique de base, à la figure I.20. Nous allons maintenant décrire plus en détail ses caractéristiques technologiques. La Figure III.2 représente une vue en coupe du n-mosfet double grille qui nous a servi de référence lors de notre étude. Les principales caractéristiques technologiques de ce TMOS sont les suivantes : L épaisseur de silicium : Tsi=1.5nm L épaisseur d oxyde : Tox=1.5nm La longueur de grille : L G =L CH La longueur de la source/drain: L S /L D =5nm La dose de dopants des zones source/drain: N S/D =10 20 cm -3 Le niveau dopage du canal: ni (canal intrinsèque) Les jonctions PN sont supposées abruptes. et enfin le travail de sortie de la grille: Φ m =4.25eV (Al) 67

90 Chapitre III : Résolution numérique des équations z x Grille Métal y oxyde b Source (n + ) Canal (p) Drain (n + ) L CH oxyde Grille a Figure III.2: Géométrie en 2D d un transistor DG-MOSFET symétrique III.5 Résolution des équations du modèle dérive-diffusion Soit n le nombre de points de maillage en x et m en y. Un point sera représenté par son indice en x, i, et en y, j, ou bien par un indice global k donné par : k = j 1. n + i. Tout point du domaine de maillage sera défini par ses coordonnées (x i, y j ) et une fonction f en ce point sera notée f i,j ou bien f k. Considérons la figure III.3, qui représente une portion de maillage au point k. Les points marqués en rond correspondent aux points réels de maillage. Si l'équation générale à discrétiser est de la forme : K+n K-1 R K K+1 K-n Figure III.3: Définition du domaine d'intégration pour le volume de la géométrie simulée. 68

91 Chapitre III : Résolution numérique des équations x p x, y U x + y p x, y U y = f U, x, y (III. 5) U : la fonction recherchée, P et f : des fonctions déterminées à priori. En appliquant, la formule de Green et en intégrant l'équation (III.5) sur un domaine Rk dont les frontières sont situées à mis chemin des points de maillage [MAYA09]. L'équation discrète obtenue est donc : G k U k 1 + B k U k n + D k U k+1 + H k U k+n C k U k = F U k, x i, y j (III. 6) Avec les coefficients: G k = p( x i + x i 1 2 D k = p( x i + x i+1 2, y j ), y j ) B k = p x i, y j + y j x i x i 1 (x i+1 x i 1 ) 2 x i+1 x i (x i+1 x i 1 ) 2 y j y j 1 y j +1 y j 1 H k = p x i, y j + y j y j +1 y j y j +1 y j 1 C k = G k + B k + D k + H k (III. 7) III.5.1 Equation discrète de Poisson Au point k, on obtient l équation de Poisson discrète F k Φ Φ, Φ n, Φ p = 0 (III. 8) Qui s écrit : G k Φ k 1 + B k Φ k n + D k Φ k+1 + H k Φ k+n C k Φ k Φ n k. e Φ k + Φ p k. e Φ k + DOP k = 0 (III. 9) Avec les coefficients 69

92 Chapitre III : Résolution numérique des équations G k = D k = B k = 2 x i x i 1 (x i+1 x i 1 ) 2 x i+1 x i (x i+1 x i 1 ) 2 y j y j 1 y j +1 y j 1 H k = 2 y j +1 y j (y j +1 y j 1 ) C k = G k + B k + D k + H k (III. 10) La fonction U représente le potentiel Ф, les fonctions f et p sont définies par: f = Φ n k e Φ k Φ p k e Φ k DOP k p = 1 dans le semi-conducteur Où Φ n = N. e Φ et Φ p = P. e Φ f = Q ox p = ε ox ε si dans l oxyde III.5.2 Equation discrète de continuité des électrons Il est commode d introduire la notation suivante : MN k 1/2 = MN( x i + x i 1 2, y j ) MN k+1/2 = MN( x i + x i+1 2, y j ) MN k n/2 = MN(x i, y j + y j 1 ) 2 70

93 Chapitre III : Résolution numérique des équations MN k+n/2 = MN x i, y j + y j +1 2 (III. 11) L équation discrète de continuité des électrons F k n Φ, Φ n, Φ p = 0 est de la forme suivante [HEYD72] : G k. MN k 1/2. e (Φ k +Φ k 1 )/2 n. Φ k 1 + B k. MN k n/2. e (Φ k +Φ k n )/2 n. Φ k n + D k. MN k+1/2. e (Φ k +Φ k+1 )/2 n. Φ k+1 + H k. MN k+n/2. e (Φ k +Φ k+n )/2 n. Φ k+n G k. MN k 1/2. e (Φ k +Φ k 1 )/2 + D k. MN k+1/2. e (Φ k +Φ k+1 )/2 + B k. MN k n/2. e (Φ k +Φ k n )/2 + H k. MN k+n/2. e (Φ k +Φ k+n )/2. Φ k n + G k = 0 (III. 12) III.5.3 Equation discrète de continuité des trous électrons. L'équation discrétisée F k p Φ, Φ n, Φ p = 0 se déduit de manière analogue à celle des G k. MP k 1/2. e (Φ k +Φ k 1 )/2 p. Φ k 1 + B k. MP k n/2. e (Φ k +Φ k n )/2 p. Φ k n + D k. MN k+1/2. e (Φ k +Φ k+1 )/2 p. Φ k+1 + H k. MP k+n/2. e (Φ k +Φ k+n )/2 p. Φ k+n G k. MP k 1/2. e (Φ k +Φ k 1 )/2 + D k. MP k+1/2. e (Φ k +Φ k+1 )/2 + B k. MP k n/2. e (Φ k +Φ k n )/2 + H k. MP k+n/2. e (Φ k +Φ k+n )/2. Φ k p + G k = 0 (III. 13) Où G k, D k, H k et B k ont la même signification qu en (cf. III.5.1). MN mobilité des porteurs et G taux de recombinaison. III.5.4 Solution du système Nous sommes donc amenés à résoudre un système de 3m.n équations algébriques (trois équations par m, n points de maillage en x et en y) dont les inconnues sont les valeurs du potentiel, des électrons et des trous. F Φ (Φ, N, P) = 0 F N (Φ, N, P) = 0 71

94 Chapitre III : Résolution numérique des équations F P Φ, N, P = 0 (III. 14) La résolution d'un tel système s'avère particulièrement délicate à cause du grand nombre d'inconnues introduites par la nécessité d'un maillage dense d'une part et à cause du couplage et des fortes linéarités d'autre part. Le premier point nécessite une capacité de stockage et un temps de calcul important. En revanche, le second exige des algorithmes numériques stables. Les équations, pour les trois points du maillage peut se mettre sous la forme : M X = S (III. 15) Où M : la matrice des coefficients G, B, D, H et C X : le vecteur inconnu ; S : le vecteur des termes du second membre de l équation. Pour résoudre le système d équations (III.15) nous employons une méthode itérative [LAT98-1] qui permet, à partir d une solution approchée X n, de calculer une meilleure solution X n+1. La méthode numérique de résolution est celle préconisée par Gauss-Seidel. Le choix de cette méthode à été motivé par sa bonne convergence et le gain en mémoire machine. Les critères de la convergence ont été fixés à 10-9 jusqu'à Cette méthode assure une convergence très rapide. On arrête le calcul lorsque deux valeurs successives sont suffisamment voisines. Dans notre cas, nous arrêtons le processus itératif en testant [LAT98-2] : max X k m+1 X k m ε dans le cas du potentiel max X k m +1 X k m X k m +1 ε dans le cas des densités de porteurs n et p. 72

95 Chapitre III : Résolution numérique des équations Evaluation de MN, MP et G à partir de Φ k, Φ n k, Φ p k F k n Φ, Φ n, Φ p = 0 F k p Φ, Φ n, Φ p = 0 Φ n k+1 = Φ n k + ΔΦ n k+1 Φ p k+1 = Φ p k + ΔΦ p k+1 F k Φ Φ, Φ n, Φ p = 0 Φ k+1 = Φ k + ΔΦ k+1 Non Test de convergence Oui Résultats Figure III.4: Algorithme de résolution adopté 73

96 Chapitre III : Résolution numérique des équations III.6 Résolution des équations couplées de Poisson et de Schrödinger III.6.1 Discrétisation de l équation de Poisson 2D La résolution numérique de l équation de Poisson est obtenue en utilisant la loi de Gauss : ε E x, y ds = Ω e p n + N D N A dω (III. 16) Où E est le champ électrique, p est la concentration en trous, n est la concentration en électrons, N D et N A sont les concentrations en donneurs et accepteurs, q est la charge élémentaire et ε est la constante diélectrique dépendant de la position spatiale. A partir du théorème d Ostrogradski et de la relation E = gradv où V est le potentiel électrostatique, l équation de Poisson (ou forme locale de la loi de Gauss) s écrit : ΔV = q. p n + N D N A ε = ρ ε (III. 17) avec ρ la densité de charges. La solution d un tel système peut s obtenir en maillant le domaine étudié en Nx Ny noeuds, où Nx et Ny représentent le nombre de noeuds suivant les directions x et y respectivement. La solution 2D de l équation de Poisson est ainsi composée de Nx Ny valeurs de potentiels, initialement inconnus, correspondant à chaque nœud du réseau. Afin d obtenir les équations susceptibles de résoudre le système d inconnues, nous devons appliquer l équation (III.17) aux nœuds internes et utiliser des conditions particulières aux limites pour les nœuds frontaliers. Etudions tout d abord le cas d un nœud interne quelconque [m, n] (ligne m et colonne n) de la figure III.5.a. L approximation des différences finies aux dérivées spatiales exprime l équation (III.17) sous la forme [ZHIB02, VENU03] : a b V m 1,n + b a V m,n 1 2 a b + b a V m,n + b a V m,n+1 + a b V m+1,n = ab ε q N D N A n m,n (III. 18) où a et b sont les pas de réseau dans les directions x et y respectivement. Suivant que le nœud [m, n] se situe dans les oxydes ou le silicium, la constante diélectrique ε est ε ox ou ε Si. 74

97 Chapitre III : Résolution numérique des équations Dans le cas où le nœud est positionné sur une interface Si/SiO 2, la continuité de la composante perpendiculaire ε E s écrit : ε sup E sup = ε inf E inf (III. 19) et également sous la forme : ε sup V y sup = ε inf V y inf (III. 20) où ε sup et ε inf sont les constantes diélectriques du matériau respectivement au-dessus et audessous de l interface. En utilisant les notations de la figure III.5.b, nous obtenons : a b V m 1,n + b 2a 1 + ε inf ε sup + a b ε inf V m,n 1 a b + b a 1 + ε inf ε sup V m,n + b 2a 1 + ε inf ε sup V m,n+1 ε sup V m+1,n = ab ε q N D N A n m,n (III. 21) ε V m-1,n ε sup V m-1,n V m,n-1 V m,n V m,n+1 V m,n-1 V m,n V m,n+1 b a b a V m+1,n ε inf V m+1,n a) b) Figure III.5: Discrétisation de l équation de Poisson en différences finies. a) Dans un matériau homogène de constante diélectrique ε. b) A l interface entre deux matériaux aux constantes diélectriques distinctes ε sup et ε inf. Au niveau des contacts des grilles, les conditions aux limites de Dirichlet restent valables. L équation à laquelle doit satisfaire le potentiel de grille est donc : V m,n = V GS V FB (III. 22) 75

98 Chapitre III : Résolution numérique des équations où V FB est la tension de bande plate qui traduit la différence des travaux de sortie du métal de grille et du silicium. Dans les contacts source et drain, les conditions aux limites de Neumann remplacent celle de Dirichlet, c'est-à-dire n. V = 0. Ces conditions aux limites de Neumann permettent en général d ajuster la valeur du potentiel des contacts source et drain afin d assurer l électro-neutralité des charges dans ces régions. Pour les nœuds où on n a pas de contacts métalliques, le potentiel est fixé par : V m,n V m±1,n = 0 Pour les bords gauche et droit V m,n V m,n±1 = 0 Pour les bords haut et bas 2V m,n V m+1,n + V m,n±1 = 0 Pour les deux nœuds des coins supérieurs 2V m,n V m 1,n + V m,n±1 = 0 Pour les deux nœuds des coins inférieurs (III.23) Connaissant la charge électronique n, les équations (III.18), (III.21), (III.22) et (III.23) constituent un système non-linéaire dont la résolution peut être directement effectuée. III Résolution du système d équations non-linéaires Une fois le système non-linéaire construit, il n y a plus qu à le résoudre pour connaitre les valeurs nodales V m,n recherchées. Donc l objectif de cette partie est de décrire la méthode de Newton-Raphson qui est considérée comme une méthode très efficace pour résoudre les systèmes non-linéaires. Soit à résoudre un système a n équations non-linéaires écrit sous la forme : F 1 V 1, V 2,, V n = 0 F 2 V 1, V 2,, V n = 0 F n V 1, V 2,, V n = 0 (III. 24) Sous la forme matricielle, le système (III.24) s écrit : F V = 0 (III. 25) 76

99 Chapitre III : Résolution numérique des équations Où V est un vecteur qui contient les variables indépendants, et F un vecteur qui contient les fonctions F α V. (avec α varie de 1 à Nx.Ny ) V = V 1 V 2 V n, F V = F 1 V 1, V 2,, V n F 2 V 1, V 2,, V n F n V 1, V 2,, V n = F 1 V F 2 V F n V (III. 26) Le système non-linéaire est résolu par la méthode de Newton-Raphson où la matrice Jacobienne pour notre problème est donnée comme : F α,β V F α V V β (III. 27) F α,β V = F 1, F 2,, F n V 1, V 2,, V n = F 1 F 1 F 1 V 1 V 2 V n F 2 F 2 F 2 V 1 V 2 V n F n F n F n V 1 V 2 V n = F α V V β n n (III. 28) La méthode de Newton-Raphson consiste à créer une suite de vecteur : V (1), V (2),, V (k),. tel que V k = V k 1 1 F α,β V k 1 F α V k 1 (III. 29) ΔV (k) = V (k) V (k 1) 1 = F α,β V k 1 F α V k 1 (III. 30) 1 où F α,β V k 1 est la matrice inverse de la matrice Jacobienne. Cette méthode permet d avoir une convergence bien rapide. Donc le nombre des itérations est petit. Mais la taille de la matrice Jacobienne est grande (Nx.Ny) 2, elle nécessite donc une capacité mémoire de stockage importante. On arrête le processus lorsque le maximum de fonction F α V est plus petit qu'une certaine tolérance. Les critères de convergence ont été fixés à ε =

100 Max F (V) Chapitre III : Résolution numérique des équations La figure III.6 présente le profile de convergence de la boucle Newton-Raphson. Le résidu maximum de F α V est tracé en fonction du nombre d itérations. 1x10 0 1x10-5 1x Boucle de Newton-Raphson Figure III.6: Evolution de l erreur en fonction du nombre d itérations. III.6.2 Discrétisation de l équation de Schrödinger Dans notre étude du DGMOSFET, le confinement se fait dans une seule direction (puit quantique) ; nous résolvons alors l équation de Schrödinger en une seule dimension. La technique de résolution de l équation de Schrödinger est alors la subdivision de la structure en tranches dans la direction de transport. Celles-ci sont appelées tranches de Schrödinger. La résolution est alors réalisée en pseudo 2D. La figure III.7, illustre la structure double grille subdivisée en tranche de Schrödinger. Dans chaque tranche (ou même colonne). On connait, le profil du potentiel, donc la résolution de l équation de Schrödinger dans la direction de confinement (axe y) permet d obtenir les niveaux d énergies et les fonctions d ondes. 78

101 Chapitre III : Résolution numérique des équations X Tranche de Schrödinger y Figure III.7: Schéma d une structure DG MOSFET subdivisé en tranche de Schrödinger On rappelle que l équation de Schrödinger indépendante du temps s écrit, dans la direction y perpendiculaire à l interface Si/SiO 2 : ħ2 d 2 2m y dy 2 Ψ i x, y qv x, y Ψ i x, y = E i x Ψ i x, y (III. 31) où my masse effective selon l axe de confinement, E i et Ψ i correspondent respectivement à l énergie et à la fonction d onde associées au niveau énergétique discret «i» et V(x,y) est le potentiel électrostatique, -qv(x,y), l énergie potentielle. Nous approximons l opérateur de la dérivée seconde par la méthode classique de différences finies comme suit : d 2 dy 2 Ψ i x, y = Ψ i x, y j +1 2Ψ i x, y j + Ψ i x, y j 1 Δy 2 (III. 32) j 1. N, y 1 et y N représentent les limites de la fenêtre Schrödinger. Pour l indice courant j, cette équation discrétisée devient : 79

102 Chapitre III : Résolution numérique des équations ħ2 Ψ i x, y j +1 2Ψ i x, y j + Ψ i x, y j 1 2m y Δy 2 qv x, y j Ψ i x, y j = E i x Ψ i x, y j (III. 33) En considérant des conditions aux limites nulles : Ψ i x, y 0 = Ψ i x, y N+1 = 0 (donc on considère qu il n y a pas de pénétration des électrons dans l oxyde) et en répétant cette opération pour tous les indices j (de 1 à N), l équation de Schrödinger discrétisée se met sous la forme matricielle : H Ψ i = E i Ψ i (III. 34) Où H est l Hamiltonien du système défini par : q ħ 2 H = 2m y ( y) 2 V x, y V x, y V x, y V x, y N V x, y N (III. 35) Les niveaux d énergies E i (valeurs propres) et les fonctions d ondes associées Ψ i (vecteurs propres) de la matrice réelle H sont obtenus en faisant appel à la fonction MATLAB «EIG». Celle-ci permet de résoudre le problème avec des conditions aux limites, du domaine considéré, nulles pour les fonctions propres. Ainsi, les conditions aux limites nulles des fonctions d onde sont implicitement prises en compte dans la fonction «EIG» [OLIV02, MATL01]. III.6.3 Procédure et algorithme de calcul Nous exposons dans ce paragraphe l algorithme de résolution auto-cohérente des équations de Poisson et de Schrödinger. L équation de Schrödinger est couplée à celle de Poisson afin de converger vers la solution autocohérente. L algorithme suivi, pour cela, est représenté ci-dessous : 80

103 Chapitre III : Résolution numérique des équations Etape 1 : Résoudre l équation de Poisson afin d obtenir un potentiel électrostatique de départ. Etape 2 : Résoudre l équation de Schrödinger quasi bidimensionnel pour calculer les premières sous-bandes électroniques de chaque vallée ainsi que leur fonction d onde associée. Etape 3 : calcul de la répartition 2D des porteurs (électrons) à l aide de l équation de transport de Boltzmann. Etape 4 : Résoudre l équation de Poisson afin d obtenir le nouveau potentiel électrostatique. Si la convergence est atteinte, le courant est calculé ; sinon on reprend les étapes 2, 3 et 4. Comme critère d arrêt du processus, nous imposons la convergence de l énergie potentielle de telle sorte que max E c k+1 E c k < tolérance (III. 36) On peut synthétiser les différentes étapes du calcul complet sur l organigramme de la figure III.8. Ce programme permet, de déterminer d une part, la concentration des porteurs dans le semi-conducteur et le potentiel électrostatique et d autre part, les niveaux d énergie et leur fonction d onde associée. Les opérations décrites sur la figure III.8 sont répétées jusqu à la convergence, pour finalement obtenir la caractéristique I D (V GS ) ou I D (V DS ) pour tous les régimes de fonctionnement. 81

104 Chapitre III : Résolution numérique des équations Solution initiale : Pour déterminer le potentiel de départ Résolution de l équation de Schrödinger : calcul des niveaux d énergie et des fonctions d onde correspondantes Calcul de la répartition à 2D des porteurs à l aide de l équation de transport de Boltzmann Résolution de l équation de Poisson (nouveau potentiel électrostatique) Test de convergence max(e k+1 c E k c ) < tolérance Calcul du courant électrique FIN Figure III.8: Algorithme de la résolution auto-cohérente des équations de Schrödinger et Poisson. 82

105 Chapitre III : Résolution numérique des équations III.7 Conclusion L objectif de ce chapitre était d introduire l aspect numérique utilisé dans la résolution des équations aux dérivées partielles données par l approche classique ; modèle de dérive-diffusion et l approche quantique qui est régie par les équations de Schrödinger et de Poisson et la statistique de Boltzmann. L approche classique est formulée par l équation de Poisson et les équations de continuité formant un système couplé non linéaire que nous avons pu résoudre par des méthodes numériques en les discrétisant au préalable par le concept des différences finies. Nous avons pu atteindre des précisions de l ordre de sur les variables de base en l occurrence le potentiel électrique et les densités de porteurs n et p. De plus, et afin de décrire le comportement quantique du transistor double grille DG- MOSFET, nous avons présenté la résolution numérique pseudo-bidimensionnelle des équations couplées de Schrödinger et de Poisson. La discrétisation de ces dernières est faite par la méthode des différences finies et la résolution numérique adoptée est celle de Newton-Raphson en raison particulièrement de la convergence quadratique (faible nombre d itérations) offerte par cette méthode par rapport à d autres méthodes. 83

106 Chapitre IV Effet de la réduction des dimensions du DG MOSFET à canal de conduction confiné sur ses performances électriques

107 Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions Chapitre IV Effet de la réduction des dimensions du DG MOSFET à canal de conduction confiné sur ses performances électriques Au chapitre précédent, nous avons présenté une étude numérique des équations de transport électronique dans les transistors MOS et nous avons donné deux approches de simulations numériques. Ce quatrième et dernier chapitre présente les résultats de simulations concernant les DG MOSFETs. Dans la première section, nous commencerons par la comparaison des résultats obtenus par notre travail avec ceux présentés par A. Ahmadian et ensuite nous comparons les caractéristiques électriques obtenus par les deux approches. La section suivante présente les résultats décrivant le comportement électrique de DG MOSFET en régime bloqué et en régime de saturation, obtenus à l aide des méthodes de calcul exposées auparavant, basés sur la résolution auto-cohérente des équations de Schrödinger et de Poisson 2D. Ensuite, nous présenterons l effet de la tension de grille sur la barrière de potentiel. La section 6 étudie l effet d abaissement de la barrière d injection source-drain due à la tension de drain. Nous nous intéresserons alors à étudier l impact de quelques paramètres des transistors MOSFETs double grille; à savoir, la longueur du canal L CH et le travail de sortie du métal de grille Фm, sur la tension de seuil V TH, la pente sous-seuil S, le courant de fuite I OFF et l effet DIBL. Pour cela nous utiliserons en même temps l approche classique et l approche quantique afin de souligner les différences engendrées par la prise en compte des effets quantiques. La dernière section sera consacrée aux conclusions établies par ce chapitre. 84

108 Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions IV.1 Structure d étude Le dispositif double-grille simule est représenté sur la figure III.2. Il est caractérisé par une longueur de la source/drain L S /L D = 5 nm, une épaisseur de film de silicium T Si = 1.5 nm, une épaisseur d oxyde T ox = 1.5 nm, la dose de dopants des zones source/drain N S/D =10 20 cm -3 par contre le canal est non dopé et le travail de sortie du métal de la grille Φm égale à 4.25 ev. IV.2 Caractéristiques courant-tension IV.2.1 Validation du code de calcul (programme) Dans un premier temps et dans un souci de valider les résultats obtenus par le simulateur mis au point, nous commençons par comparer nos résultats avec ceux présentés par A. Ahmadain pour différentes longueurs du canal et pour des géométries similaires. La comparaison des résultats montre une bonne concordance. De plus, on constate clairement l augmentation du courant de fuite I OFF lorsque la longueur du canal diminue. Celui-ci devient important pour des longueurs inferieures à 10 nm (figure IV.1). Notons, quand même, la légère différence qui existe entre nos résultats et ceux présentés dans [AHMA06] pour des longueurs de 5 nm et à faible V GS. En effet, A. Ahmadain prend en compte l effet tunnel qui existe entre la source et le drain, présent pour des dimensions de cet ordre de grandeur. IV.2.2 Effet des phénomènes quantiques sur le courant électrique La caractéristique électrique du courant de drain en fonction de la tension de grille I D (V GS ) pour une polarisation de drain de 0.6 V est présentée sur la figure IV.2 en échelle logarithmique. Elle représente une comparaison entre le modèle classique (modèle dérive diffusion) et le modèle quantique issu du couplage des équations de Poisson et Schrödinger. Afin de mieux comprendre les effets engendrés par le confinement des porteurs (effets quantique) et évaluer leur influence sur les caractéristiques électriques, nous comparons les caractéristiques électriques I D (V GS ) obtenues par les deux modèles. Nous notons bien que les valeurs de courant de drain sont réduites par l influence des effets quantiques, plus en régime d inversion faible qu en régime d inversion fort. Cette figure clarifie bien les limites des méthodes classiques usuelles pour décrire le transport de charge dans les nano composants. 85

109 Courant de drain I D [ A/ m] Courant de drain I DS [ A/ m] Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions V D S = 0.6 V L CH Couplage Schrodinger Poisson... Réf [AHMA06] L CH =5 nm L CH =10 nm L CH =15 nm L CH =20 nm L CH =25 nm L CH =5 nm L CH =10 nm L CH =15 nm L CH =20 nm L CH =25 nm ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 V GS [Volt] Figure IV.1: Comparaison entre les caractéristiques I D (V GS ) obtenus par le modèle couplage Schrödinger Poisson et les résultats présentés dans [AHMA06] V DS = 0.6V L CH = 15nm Couplage Schrodinger Poisson Modèle Dérivé Diffusion ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 V GS [Volt] Figure IV.2: Caractéristiques I D (V GS ) pour V DS =0.6 V obtenus par les modèles (dérive-diffusion) et le couplage (Schrödinger-Poisson). 86

110 Concentration d électrons (m -3 ) Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions IV.3 Etude en régime bloqué Dans cette partie, nous allons présenter les résultats de calcul obtenus, par le modèle quantique (couplage Schrödinger-Poisson), pour une tension de grille V GS inférieure à la tension de seuil, en prenant la tension de drain V DS égal à 0.05V. IV.3.1 Densité d électrons La figure IV.3 montre la répartition bidimensionnelle de la densité d électrons avant le passage du courant (V GS =0.05V). On constate deux plots de source et de drain où la concentration des électrons est celle de l équilibre thermodynamique. Dans le canal la densité d électrons est faible (régime de faible inversion) ; on n a donc pas de zone d inversion considérable pour véhiculer un courant important. Pour compléter la cartographique précédente, les profils 1D de concentrations des électrons dans la direction du transport au milieu du film et dans la direction du confinement sont présentés en figure IV.4 et figure IV.5. Drain Source Canal Distance (m) Distance (m) Figure IV.3: Représentation en deux dimensions de la concentration d électrons pour V GS =0.05V et V DS =0.05V. 87

111 Concentration d électrons (m -3 ) Interface Si/ox Concentration d électrons (m -3 ) Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions 2 x x 10-8 Distance (m) Figure IV.4: Concentration d électrons extrait dans la direction du transport au milieu du film à V GS =0.05V et V DS =0.05V. 3 x au milieu du canal x 10-9 Distance (m) Figure IV.5: Concentration d électrons dans la direction du confinement pour V GS =0.05V et V DS =0.05V. 88

112 Energie (ev) Energie (ev) Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions IV.3.2 Bande de conduction En figure IV.6 se trouve la cartographique 2D de la bande de conduction calculée pour V GS =0.05V, on distingue clairement deux barrières de potentiel : source-canal et drain-canal. Grille Source Canal Grille Drain Distance (m) Distance (m) Figure IV.6: Cartographie 2D de la bande de conduction pour V GS =0.05V et V DS =0.05V Distance (m) x 10-8 Figure IV.7: Coupe longitudinale de la bande de conduction à V GS =0.05V et V DS =0.05V au milieu du film. 89

113 Concentration d électrons (m -3 ) Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions La coupe longitudinale de la bande de conduction au milieu du film (figure IV.7) montre bien ces barrières où la barrière entre la source et le canal est importante, donc le nombre de porteurs participant au courant est négligeable. IV.4 Etude en régime de saturation Les résultats présentés dans cette partie ont été obtenus, par le modèle quantique (couplage Schrödinger-Poisson), pour la polarisation suivante V GS =0.5 V et V DS =0.6 V. IV.4.1 Densité d électrons La figure IV.8 présente la répartition de la densité électronique dans le composant, où on observe les deux diffusions source et drain. Dans le canal, la densité décroît de la source jusqu au drain ; quantativement, la densité prés de la source est plus élevée par contre au voisinage du drain apparait le phénomène typique du pincement du canal de conduction. La répartition des électrons en fonctions de l ordonnée x (directions du transport) est représentée en figure IV.9. La courbe montre bien la zone inversée (régime d inversion forte) dans le canal où la densité est très grande devant le dopage. Drain Source Canal Distance (m) Distance (m) Figure IV.8: Représentation en deux dimensions de la concentration d électrons pour V GS =0.5V et V DS =0.6V. 90

114 Concentration d électrons (m -3 ) Interface Si/ox Concentration d électrons (m -3 ) Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions x Distance (m) x 10-8 Figure IV.9: Concentration d électrons extrait dans la direction du transport au milieu du film à V GS =0.5V et V DS =0.6V. 2.5 x au milieu du canal x 10-9 Distance (m) Figure IV.10: Concentration d électrons dans la direction du confinement pour V GS =0.5V et V DS =0.6V. 91

115 Concentration d électrons (m -3 ) Interface Si/ox Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions x x 10-9 Distance (m) a b c d e a. Dans le canal à 2 nm de la jonction S/C b. à 4 nm de la jonction S/C c. au milieu du canal d. à 4 nm de la jonction C/D e. à 2 nm de la jonction C/D Figure IV.11: Profils de concentration de porteurs dans la direction du confinement pour V GS =0.5V et V DS =0.6V, paramétrée par la distance d observation dans le canal. La courbe de répartition des électrons au milieu du canal dans la direction de confinement (figure IV.10) permet d apprécier la zone inversée. Celle-ci est plus importante au milieu du canal. La densité de porteurs dans cette couche décroit au fur et à mesure qu on s approche de l interface oxyde/silicium, l effet du confinement des porteurs est alors évident. En effet, on observe l apparition d un maximum unique localisé au milieu de la zone active [JERO05, ZHIB02]. Afin de mettre en évidence le phénomène de pincement dans le canal, nous avons considéré des coupes de la concentration des électrons pris dans la direction du confinement : à 2 nm de la jonction source-canal, à 4 nm de la jonction source-canal, au milieu du canal, à 4 nm de la jonction canal-drain et à 2 nm de la jonction canal-drain (figure IV.11). Nous observons très nettement sur cette figure le canal qui se pince davantage qu on se rapproche du drain. IV.4.2 Energie potentielle Pour les mêmes polarisations appliquées précédemment, une présentation en deux dimensions de l énergie potentielle (bande de conduction) des électrons est tracée sur la figure IV.12. De plus une coupe longitudinale de la bande de conduction dans la direction du transport au milieu du film est extraite sur la figure IV.13. Nous observons une barrière de potentiel prés 92

116 Energie (ev) Energie (ev) Chapitre IV : Effet de la réduction des dimensions de la fin de la source et au début du canal. Cette barrière de potentiel détermine la quantité des électrons entrant le canal. La hauteur de celle-ci est modulée par le potentiel de la grille. Source Grille Grille Drain Distance (m) Distance (m) Figure IV.12: Cartographie 2D de la bande de conduction pour V GS =0.5V et V DS =0.6V x 10-8 Distance (m) Figure IV.13: Coupe longitudinale de la bande de conduction à V GS =0.5V et V DS =0.6V au milieu du film. 93