Le nombre d or, une clé d harmonie universelle? par Liliane ROMAN Agrégée d Arts plastiques

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1 Le nombre d or, une clé d harmonie universelle? par Liliane ROMAN Agrégée d Arts plastiques La beauté naît du regard de l homme mais le regard de l homme naît de la Nature 1 Le nombre d or, grandeur mathématique, est utilisé empiriquement dans la recherche d un idéal de proportions et suscite depuis l Antiquité de savantes recherches et aussi de nombreuses interrogations liées à sa forte charge symbolique. Dès que l humain a su maîtriser les outils, il a mis ses aptitudes à domestiquer l Espace, cherchant à lier notre univers sensible à notre univers mental. Les peintures des grottes préhistoriques révèlent une organisation hiérarchisée, squelette d une pensée religieuse. 2 Les hommes des civilisations agraires n ont pas tardé à utiliser la mesure pour délimiter leurs terres, mesure s appuyant d abord sur celles de leur corps le pied la coudée révélant leurs perceptions des proportions. Pour les mathématiciens et philosophes de l Antiquité, le Nombre est le plus haut degré de la connaissance 3 et l interprétation du Nombre fut une des plus anciennes parmi les sciences symboliques. Pythagore affirme dans son Discours sacré que les Nombres sont les éléments de toutes choses et que le monde entier n est qu harmonie et arithmétique. Les recherches entreprises ont fait apparaître une quête métaphysique de l Espace, un moyen d atteindre une harmonie entre l Homme et la Nature. Un de ces moyens fut le Nombre d or : cette constante s exprime par la valeur numérique d environ 1, désignée par la lettre Phi Ф, notation introduite au début du 20 e siècle en hommage à Phidias. Les parties et le tout Dès la plus haute Antiquité, une préoccupation des bâtisseurs égyptiens et grecs a été d établir des rapports de proportions. Euclide 4 puis Vitruve 5 précisent que pour qu un Tout partagé en 2 parties paraisse beau, il doit y avoir entre la grande partie et la petite, le même rapport qu entre le tout et la grande. Les notions d harmonie et de Beauté seraient donc liées à un rapport de proportions idéales, basé sur le Nombre d or. Par la suite, le moine vénitien Luca Pacioli 6 magnifie tous les rapports de proportions. Au début du 20 e siècle, Matila Ghyka 7 approfondit les recherches du philosophe allemand A. Zeising et celles du physicien allemand G.T. Fechner à travers deux ouvrages et renforce le mythe du Nombre d or, influençant les générations d architectes et de peintres à venir. Le partage d un segment selon le nombre d or Considérons une droite AB, partageons la en deux segments par le point C en moyenne et extrême raison. Nous nous trouvons en présence d une Section d or, si le rapport entre AC et CB est égal au rapport entre AB et AC soit AC/CB=AB/AC = 1,618 = Ф Une équation permet d aboutir à Ф = ½ (1+ 5)= 1,618.Le nombre d or représente la longueur du plus grand segment d une droite séparée en deux segments si cette longueur est égale au rapport de la 1 Hubert Reeves, astrophysicien, né à Montréal en Leroi-Gourhan ( ), ethnologue, archéologue et historien, spécialiste de la préhistoire 3 Platon 4 Euclide, Traité des éléments, livre VI, IIIème siècle avant J.C. 5 Vitruve, De Architectura, 1 er siècle avant J.C. 6 Luca Pacioli, La Divine proportion, Matila Ghyka, prince roumain, ingénieur, Le Nombre d or- Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale, 1931, et Esthétique des proportions dans la Nature et dans les Arts,1933 (Gallimard) 1

2 longueur totale de la droite avec cette longueur elle-même et Ф (1,618) a pour inverse 1/Ф = 0,618. A partir de ce nouveau rapport se développe une géométrie du Nombre d or avec de nombreuses possibilités de constructions de rectangles, de triangles, pentagones, décagones, spirales, étoiles avec pour outils le compas et la règle. La suite de Fibonacci 8 introduit les mathématiques arabes en occident. Léonard de Pise émet l idée que l arithmétique et la géométrie sont liées et met en évidence, dans une suite géométrique de Nombres entiers, des rapports certains avec le Nombre d or nombres entiers obtenus en ajoutant la somme des 2 nombres qui précèdent. Cette suite tend vers le Nombre d or avec une précision croissante 8/5 = 1,6 ; 21/13= 1,615 ; 89/55= 1,617. Toutes ces recherches ont favorisé la dimension mystique du Nombre d or dans les rapports à l Espace. Applications et évolutions Nous pouvons repérer des monuments célèbres comme la pyramide de Khéops ou le Parthénon qui soulèvent de nombreuses interrogations, suscitant des désaccords sur leurs relations avec le Nombre d or. Le Parthénon fut construit entre 447 et 432 avant J.C. à Athènes par les architectes Ictinos et Callicatès, le sculpteur Phidias et avec les conseils du philosophe Anaxagore. Il y a un débat important sur les relations possibles entre les proportions du Temple et le Nombre d or. Le Parthénon relie les Dieux et les hommes, le sensible au rationnel. Il participe d un geste religieux et civique dédié à Athéna et aux Athéniens par la frise des Panathénées. Sa construction repose sur la science du Nombre mais aussi sur une intelligence optique. Les architectes ont cherché à lier les Parties et le Tout dans une juste proportion eurythmie. Les recherches sont-elles calculées ou empiriques? L unité de mesure ou module de base est le rayon de la colonne dorique = 0,948m, mesure prise à la base du fût de la colonne. Ce module détermine la hauteur des colonnes = 0,948X11= 10,43 mètres et détermine les proportions générales du Temple et son ordre dorique. Ce module est cause et effet liant les Parties au Tout. Cette théorie défendue par certaines écoles précise que les mesures ont été réalisées empiriquement à partir de gabarits utilisés sur place pour calculer les rapports obtenus et vérifier si ceux-ci satisfaisaient l œil et l Esprit. L Américain Jay Hambidge, mort en 1924, a repris les mesures de base pour les mettre en relation avec les proportions générales. Les dimensions donnent pour le terrier : largeur = 30,86m ; longueur= 69,51m ; hauteur= 13,728m. Avec 8 colonnes sur le petit côté et 17 colonnes sur le grand côté, quand la longueur vaut 5 (2,236) la largeur vaut 1 : ainsi 30,86 Х 5 = 69m Le terrier s inscrirait dans un rectangle dynamique proche du Nombre d or. Les différentes parties du Temple seraient articulées à partir des rapports harmoniques 5 et du rectangle Ф (1,618), étude fort discutée car les mesures de base sont approximatives. Par contre les architectes ont montré leurs connaissances des phénomènes optiques liés aux déformations des structures monumentales. Ces corrections optiques courbures imperceptibles des horizontales, engraissement des colonnes d angles, inclinaisons vers l intérieur des axes verticaux des colonnes montrent l intelligence optique des architectes dans leurs recherches esthétiques, en se plaçant à l échelle des hommes et de leur sensibilité. Le Parthénon est l expression d un équilibre visuel, somme d un Équilibre entre les Dieux et les hommes. Ce monument laisse entrevoir les difficultés à qualifier les proportions du Nombre d or. Considérons le théâtre d Épidaure (fin 4 e siècle avant J.C.) où «la beauté rejoint la connaissance. L édifice est comparé à un immense fossile pouvant contenir spectateurs, toutes ses mesures sont partagées en moyenne et extrême raison et atteignent un équilibre dynamique comblant les yeux et l esprit. Il comprend 55 gradins séparés en deux zones concentriques : la zone inférieure avec 34 8 Léonard de Pise (1175/1240), LiberAbaci,

3 rangées et la zone supérieure avec 21 rangées. Treize escaliers divisent les gradins en 12 secteurs pour la zone inférieure et en 22 secteurs pour la zone supérieure. Cette division des gradins en 13 allées est déterminée par les propriétés d un pentagone inscrit dans le cercle de son orchestre. En calculant les rapports 55/34 = 1,617 ; 34/21 = 1,619 ; on constate que le plus petit de ces nombres 21 est au plus grand 34 ce que le plus grand est à leur somme 55. Le nombre 55 est partagé en moyenne et extrême raison : les 2 rapports 1,617 et 1,619 encadrent le nombre d or et 21,34 et 55 s inscrivent dans la suite logique des nombres entiers que Fibonacci a mis plus tard en évidence. Le nombre d or donne ici une assise parfaitement raisonnée de l espace et du temps. Si ce théâtre comble dans une harmonie de proportions les yeux et l esprit, son extraordinaire acoustique y fait résonner les pièces d Eschyle, d Euripide et de Sophocle et leurs réflexions philosophiques sur la liberté de conscience humaine au regard des pouvoirs établis et des Dieux. Applications de la géométrie du nombre d or au cours des siècles suivants Plus de 20 siècles nous séparent de l Antiquité et il est impossible d étudier toutes les étapes liées aux évolutions importantes de nos sociétés occidentales. Il est évident que le monde des Arts en fut le miroir. Le nombre d or a subi des fortunes diverses selon qu on lui a attribué des pouvoirs magiques, des pouvoirs rationnels dans son application mécanique Les bâtisseurs des Cathédrales en se transmettant leurs connaissances par l Art du compas et de la règle ont fait du nombre d or un symbole religieux. Arcs en plein cintre, brisés, ogivaux, cercles, pentagone (où le symbole du chiffre 5 est le centre de l harmonie, union du Ciel et de la Terre) sont la quintessence de la magie des Espaces architecturaux. Fibonacci 9, Alberti 10, Dürer 11 et Fra Luca Pacioli 12 en redécouvrant les études d Euclide, de Pythagore, de Platon et de Vitruve, montrent l importance des mathématiques dans la quête du secret de l Univers, en cherchant à rendre plus accessibles les calculs complexes de la Géométrie du Nombre d or. A la Renaissance la quête de l humanisme se traduit par la recherche d une vision unitaire de l Espace. La perspective associe la géométrie et les nouvelles lois optiques. Les artistes comme Véronèse, Dürer, Vinci utilisent la section d or en la combinant à d autres systèmes de composition plus simple. Ils cherchent à exprimer le passage entre un monde magique à l échelle de Dieu et un monde à l échelle de l homme, passage entre l irrationnel et le rationnel où le nombre reste présent. Par la suite, au 17 e et au 18 e, la géométrie du Nombre sert surtout de base aux courants architecturaux. Là, s affrontent les tenants du Classicisme et les tenants du Baroque qui cherchent à appliquer les nouvelles découvertes scientifiques sur le mouvement des planètes. Au 20 e, c est dans le contexte de tous les bouleversements politiques, sociaux et des deux guerres mondiales, que se fait le retour en force de l Esprit de géométrie et du Nombre d or. Le peintre Paul Serusier 13, les cubistes comme Juan Gris 14 affirmeront que C est de l architecture (du tableau) que naît le sujet et qu il faut partir des tracés harmoniques de la Section d or pour construire une vision rationnelle de l Espace. De nombreux courants européens s engageront dans cette voie, tant en peinture qu en architecture. 9 Fibonacci ( ) 10 Alberti ( ) 11 Dürer ( ) 12 Fra Luca Pacioli, op.cit. 13 Paul Serusier, ABCD de la peinture, Juan Gris, Discours à la Sorbonne, 15 mai

4 Mondrian et Le Corbusier pratiquent une démarche originale dans cette nouvelle approche du Nombre d or. Piet Mondrian fait partie du groupe hollandais De Stijl 15 fondé en A la recherche d un langage universel, il part de l observation de la Nature et dégage avec rigueur un vocabulaire fondamental : des lignes verticales et horizontales qui s opposent dans des rapports harmonieux. Les proportions et les positions des lignes dépendent des tracés régulateurs issus du Nombre d or, conditionnés par le seul format de la toile. Le nombre d or est Cause et Effet et affirme une vision raisonnée et équilibrée à partir de la seule Essence des moyens plastiques : les lignes et les couleurs uniquement fondamentales (rouge, jaune et bleu) plus le noir et le blanc. L abandon de la Nature, jugée trop anecdotique, trop individuelle, affirme par la Géométrie, sa quête de l Universalité une économie de moyens au service de l Universel. L espace est d autant plus puissant qu il met en jeu, un nombre limité de forces. Mondrian adepte de théosophie, rejoint, d une certaine façon l idéal platonicien qui veut que l Art ne tire pas sa valeur de l imitation des choses mais d un accord avec les principes d ordre supérieur. Les choses ne sont qu un Ecran entre les Hommes et les Idées. Le Corbusier 16 cherche une théorie pouvant s appliquer à toutes les disciplines artistiques et qui soit en accord avec la civilisation mécanicienne : partir des formes élémentaires pour permettre une Harmonie entre les composants de la Nature et les procédés de l Art. Pour lui «la nature est mathématique, les chefs d œuvre de l Art sont en consonance avec la Nature. Ils expriment les lois de la Nature et s en servent». Il s agit d organiser l Espace pour épanouir l homme mais en rationalisant les procédés. Il invente un outil de mesure harmonique à l échelle humaine, universellement applicable à l Architecture. C est le Modulor 17 - module et or silhouette humaine standardisée qui montre les proportions d un corps, d un homme debout, bras levé, proportions tendant vers le Nombre d or, en appui sur la suite de Fibonacci. Les proportions montrent que le rapport entre la taille 1,83m et la hauteur des pieds au nombril 1,13m est de 1,619 comme le rapport entre la hauteur totale 2,26m et la hauteur du buste avec le bras levé 1,40m = 1,614. Le Modulor détermine les dimensions des habitations et devient un moyen d établir un confort maximal entre l homme et son espace vital, à partir d un système lié à la morphologie humaine afin que cet animal puisse s ébrouer tout à son aise dans l espace de la maison. Dans ces Villages verticaux que sont les Cités Radieuses, la hauteur des plafonds sera de 2,26m, de la table 0,70m, de la chaise 0,40m Le Modulor met l homme au centre de l architecture, sur la base de lois qui régissent la Nature, tout en développant un moyen de standardiser économiquement et esthétiquement la production de nouveaux logements, après la deuxième guerre mondiale. C est un outil qui permet de rationaliser la préfabrication des Machines à habiter. Mais Le Corbusier cherche aussi un espace vital, à l échelle de l homme, par des Machines à rêver où s affirment les Droits à l Espace, au Soleil, à la Nature. Architecte et urbaniste il n oublie pas qu il y a toujours nécessité de création esthétique dans une acoustique visuelle avec la Nature. Le Nombre d or, la suite de Fibonacci, participent à la création de ses œuvres telles que la chapelle de Notre- Dame du Haut 18 où il affirme sa quête de mettre en 15 Architectes Van Doesburg et Rietveld 16 Edouard Jeanneret, dit Le Corbusier, né en Suisse ( ), horloger de formation, architecte, peintre, écrivain, refuse tous les cloisonnements entre les champs disciplinaires. Fonde en 1919 à Paris, le Mouvement Puriste et la revue Esprit nouveau. 17 Le Modulor, 1942, fut appliqué dans les cinq cités radieuses (Marseille, Rezé/Nantes, Firminy, Briey en Forêt et Berlin) 18 Notre- Dame du Haut à Ronchamp

5 résonance la géométrie, l homme et la Nature. Le Nombre d or serait pour Le Corbusier une construction rationnelle pour une recherche spirituelle. Relations entre une approche raisonnée des espaces et notre perception de la nature En botanique, des fleurs, des plantes montrent des arrangements tels que les scientifiques y ont cherché une forme d harmonie. Léonard de Vinci avait déjà constaté que les feuilles s implantaient le long de la tige, en s écartant selon un angle constant et se développaient en décrivant des spires, dans des rapports ½,1/3,2/5, qui nous renvoient à 2,3,5, suite de Fibonacci au rapport du Nombre d or. Dès le 18 e siècle, des arrangements spiralés de tournesols, de pommes de pin, l implantation de pétales de fleurs furent étudiés dans cette science appelée Phyllotaxie. L exemple le plus connu, le tournesol, présente des arrangements spiralés au centre de la fleur. Ces parastiches sont disposées d une manière similaire pour toutes les fleurs d une même espèce. Les parastiches s enroulent dans deux sens différents ; il y a 34 spirales dans le sens inverse des aiguilles d une montre et 21 spirales dans le sens contraire. Ces spirales se superposent les unes sur les autres : 21 et 34 sont deux termes successifs de la suite de Fibonacci et 34/21 = 1,61905 D autres études au 19 e siècle confirment ces analyses en répertoriant de nombreuses espèces (fleurs, fruits, légumes). Les marguerites ont 34, 55 ou 89 pétales toujours la suite de Fibonacci. Le botaniste allemand Hofmeister a étudié les processus de croissance sur une pomme de pin, en Là encore les parastiches sont dans un rapport proche du Nombre d or, 13 dans un sens, 8 dans l autre, 13/8-1,62 = Ф. Pour Hofmeister ceci explique l Universalité des spirales des plantes. Des chercheurs français 19 ont démontré en 1992 que le Nombre d or et l angle d or interviennent dans la solution du problème complexe de croissance et de répartition des structures des Primordia [écailles ou feuilles des pommes de pin]. Reste qu il existe encore beaucoup de questions à résoudre sur la croissance des plantes. Nombre d or et règne animal Les coquillages, comme le Nautilus pompilius, semblent montrer une relation étroite avec le Nombre d or. La coquille du nautilus est une spirale d or s inscrivant dans un rectangle d or, mais c est une spirale logarithmique qui traduit un phénomène de croissance. Pour l étude des proportions du corps humain, la plus grande prudence s impose, car il faut distinguer ce qui est la représentation de l état naturel. Le Canon des sculptures grecques traduit un idéal de Beauté et une échelle proche des Dieux. L homme vitruvien de Léonard de Vinci auquel on attribue souvent des proportions d or est fort discuté. Il est plus proche d une construction orthogonale que de l application du Nombre d or. Le seul rapport possible serait entre la hauteur du corps et la distance entre le nombril et les pieds, environ 1,639. D autres recherches ont été réalisées au niveau des bras, mais les écarts sont trop grands par rapport à Ф. Des chercheurs 20 ont attiré l attention sur le mythe de la beauté naturelle du Nombre d or qui entraîne des interprétations abusives. Les proportions du corps humain sont dépendantes des pays, des races Des interprétations rapides pourraient avoir des relents racistes Il n est donc pas possible d établir de règles liées à un code quelconque d autant que des études récentes annoncent une évolution continue de la taille des hommes jusque vers 2020 (plus de 1,95m) avec une diminution du crâne et un allongement des membres. Par contre Jean-Claude Pérez 21 indique que les milliers de nucléotides qui composent l ADN s auto organisent selon des structures numériques contrôlées par les proportions des Nombres de Fibonacci. Ainsi ce constat rejoint une observation de M.Ghyka : 19 Stéphane Douady et Yves Coudert 20 G. Markowsky, J.P. Delahaye et M. Neveux 21 Jean-Claude Pérez, ADN décrypté 5

6 La divine proportion est le symbole raccourci de la forme vivante, de la pulsation, de la croissance. Avons-nous une perception intuitive du nombre d or? Les premières expériences ont été réalisées par Fechner 22, préoccupé par les relations entre excitation et sensation. Il souhaitait trouver une assise rationnelle à la notion de Beauté. Dans un de ses tests, dix rectangles de proportions différentes étaient présentés à une centaine de personnes qui devaient choisir le plus esthétique : 76% des réponses s articulaient autour du rapport 24/31, soit 1,619. Fechner en déduisit que le public avait une préférence pour la Divine proportion. Des chercheurs du 20 e siècle, trouvant cette conclusion trop approximative, ont renouvelé l expérience. Deux étudiants 23 ont proposé un nouveau test : 48 rectangles de proportions différentes disposés de manière aléatoire (seule la hauteur des rectangles est fixe, les largeurs varient), sont à choisir par 1178 étudiants. Seuls 23% des étudiants identifient le rectangle proche du Nombre d or. Des analyses montrent que des phénomènes subjectifs liés à la position des rectangles, à leur proximité, aux intervalles perturbent les conclusions. Un autre chercheur démontre la difficulté à distinguer des figures visuellement proches. Il n est pas possible actuellement d affirmer d une manière scientifique que nous avons une perception intuitive des proportions proches du Nombre d or et que les choix des critères de Beauté ne reposent que sur cet idéal de la Divine proportion. En conclusion Le Nombre d or exerce une fascination particulière, c est un nombre irrationnel appliqué à des espaces construits d une manière rationnelle. C est l irrationnel au service du monde visible. Et en même temps, les proportions raisonnées ont toujours été le moyen d atteindre un idéal magique ou spirituel. Néanmoins, le Nombre d or, très présent dans la nature, continue à interpeller les scientifiques et les philosophes. L étude des structures proches d organisations harmoniques si elle montre un arrangement efficace des éléments n aboutit pas encore à des concepts suffisamment fiables. Et la raison de l apparition du Nombre d or chez les végétaux comme chez les animaux reste un mystère. L intelligence humaine est dans une situation unique : elle est incluse dans la nature, donc imprégnée de ses lois ; les formes dorment en elle comme un possible latent, alors qu elles sont réalisées concrètement dans le monde physique Gustav Fechner, physicien, philosophe allemand ( ). 23 Cyril Jaquier et Kevin Drapel, Ecole technique fédérale de Lausanne, René Huyghe( ),historien d art et philosophe 6

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10 Le Nombre d or, collection Que sais-je? Dr R. Allendy, Le symbolisme des nombres, Paris, 1948 Matila Ghyka, Le nombre d or, Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale, Gallimard, 1931 Matila Glyka, Esthétique des proportions dans la nature et dans les art, Gallimard, 1933 Jean-Paul Delahaye, «La numérologie du nombre d or», Pour la science n 262, Belin, 1999 Marguerite Neveux, Le nombre d or, radiographie d un mythe, collection Points-Sciences, Le Seuil,1995 Charles Bouleau, «La géométrie secrète des peintres», Charpentes, Le Seuil,1963 Michel Seuphor, Piet Mondrian, sa vie, son œuvre, Flammarion, 1956 Le Corbusier, Le Modulor, essai sur une mesure harmonique à l échelle humaine, applicable universellement à l architecture et à la mécanique, Paris, 1950 Robert Vincent, Géomètrie du Nombre d or, Edition Chalagam,