Maths et nombre d'or

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1 Maths et nombre d'or Sommaire 1) 2) 3) 4) Définition du nombre d'or Origine de la lettre φ Histoire du nombre d'or Architecture et phi 5) Le nombre d'or et la peinture 6) Le nombre d'or et la musique 7) Le nombre d or et la géométrie

2 1) Définition du nombre d'or : Le "nombre d'or" est le nombre φ= 1+ 1, Les géomètres et les philosophes ont calculé ce nombre qui donne l'harmonie parfaite d'une forme ou d'une construction. AI /IB = AB/AI, soit de façon graphique : 2) Origine de la lettre φ : Le nombre d'or est désigné par la lettre φ (Phi), pour faire allusion au célèbre sculpteur Phidias, qui décora le Parthénon à Athènes. C'est Théodore Cook qui introduisit cette notation en Si étonnant qu'il y paraisse, ce n'est qu'en 1932 qu'est né le terme "nombre d'or". C'est un prince roumain, Matila Ghyka, diplomate et ingénieur, qui l'invente. il lui consacre un volumineux ouvrage. Phidias faisant visiter le Parthénon à ses amis ; scène imaginée et peinte par Lawrence Alma-Tadema.

3 3) Histoire du nombre d'or : Il y a ans : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'andros découvert sous la mer des Bahamas). Vue aérienne de la structure submergée du "Temple" situé à proximité de l'ile d'andros av JC : La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or. Vè siècle avant J-C. ( av.jc) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'athéna Parthénos. Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport. IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments. XIIIème siècle : Ensuite, c'est dans le "Liber Abacci" de Fibonacci (Léonard de Pise), vers 1220, que l'on mentionne ce nombre avec la résolution de l'équation x² = x + 1. On a donc : φ2 = φ + 1 ; φ3 = 2φ + 1 ; φ4 = 3φ + 2 ; φ5 = 5φ Fibonacci invente aussi une suite de nombres dans laquelle chaque terme est égal à la somme des deux termes précédents (1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55...). Si l'on poursuit cette suite et que l'on fait le rapport d'un nombre sur celui qu'il précède, on découvre que ce rapport tend vers φ. Fibonacci nous donne ainsi un moyen de déterminer le célèbre nombre d'or.

4 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion"). Il considère les attributs esthétiques de φ. L'auteur montre comment la divine proportion se retrouve dans l'architecture et la peinture. Léonard de Vinci mentionnait d'ailleurs vers 1500 la "Sectio Aurea". Au XIXème siècle : Adolf Zeising ( ), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l'esthétique et l'architecture. Il cherche ce rapport, et le trouve (on trouve facilement ce qu'on cherche...) dans beaucoup de monuments classiques. C'est lui qui introduit le côté mythique et mystique du nombre d'or. Au début du XXème siècle : Matila Ghyka, diplomate roumain, s'appuie sur les travaux du philosophe allemand Zeising et du physicien allemand Gustav Theodor Fechner ; ses ouvrages L'esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927) et Le Nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale (1931) insistent sur la prééminence du nombre d'or et établissent définitivement le mythe. Au cours du XXème siècle : des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d'or. C'est seulement en 1932 qu'un prince roumain l'appellera le "Nombre d'or" : Le Corbusier fait breveter son Modulor qui donne un système de proportions entre les différentes parties du corps humain.

5 3) architecture et Phi: Le nombre d or et les pyramides d Egypte proportions On a beaucoup glosé sur les proportions des pyramides d'egypte, et sur les mystérieuses propriétés qu'elles leur communiquaient. C'est Hérodote qui nous a donné le principe géométrique de leur construction. La construction des Grandes Pyramides d'egypte remonte au milieu du 3e millénaire avant Jésus Christ ( av. J.C.). Petit rappel chronologique : les premières traces connues de civilisation remontent en Egypte au 7e millénaire avant Jésus Christ. La dernière période glaciaire est achevée, nous entrons dans la période néolithique, âge de la pierre polie. les nécropoles (qui témoignent d'un avancement spirituel de la civilisation) les plus anciennes retrouvées datent de 5500 av. J.C av. J.C. marque le commencement de la civilisation egyptienne antique, ou "Egypte pharaonique". L'historien-voyageur grec Hérodote, qui naquit 2000 ans après la construction des pyramides, rapporte que, lorsqu'il était en Egypte, des prêtres lui avaient appris que les pyramides du plateau de Gizeh avaient été dessinées et construites de manière à ce que la surface de chacun des triangles soit égale à celle du carré de côté égal à la hauteur de la pyramide. Pour éclaircir un peu la suite des évènements, il ne faut pas confondre le triangle "apparent" de la pyramide (en vue de face) et le triangle "réel" (la figure ci-contre montre les deux triangles ensembles, dessinés à partir de la même base), celui qu'il faudrait par exemple découper dans du papier pour réaliser une maquette de la pyramide.

6 L'hypothèse rapportée par Hérodote entraîne la relation suivante entre la base B (côté du carré de base) et la hauteur H de la pyramide : où φ est le nombre d'or! La hauteur communément admise pour la grande pyramide de Gizeh (la plus à gauche sur l'illustration liminaire en couleurs, et paraissant plus petite que la seconde, construite sur un plateau plus élevé), celle de Chéops, ou plutôt Khufu, est de 148,5 m de hauteur, cette hauteur correspondant à peu près la hauteur de la pyramide au moment de sa construction. La base, de 232 m, est mesurée sur un bâtiment dont on a retiré les pierres de parement. Elle est donc un peu trop petite. Avec l'hypothèse de H = 148,5 m, nous trouvons B = 233,5 m, soit 1,5 m de plus que la base actuelle de la pyramide. Cela n'est pas choquant, comte tenu de l'enlèvement des pierres de parement. Ainsi, le rapport entre la hauteur des triangles de la pyramide (188,9 m) / moitié de la base = φ, le nombre d or. On mentionne aussi le nombre d'or dans les proportions de la pyramide de Meïdoum: les Égyptiens ont en effet choisi une pente, pour les faces, de 14/11 (la hauteur étant de 280 coudées et la base de coudées, la pente est égale à 280/220 = 14/11). Concernant le nombre d'or, la proportion de 14/11 entraîne un

7 rapport apothème/demi-base égal à, proche de. Le nombre d or en Grèce antique. Le Parthénon d'athènes fait apparaître un peu partout le nombre d'or. Certains se sont employés à le chercher et l'ont bien sûr trouvé! Et s'il avait cherché 2, l'auraient-ils trouvé?? Le Parthénon s'inscrit dans un rectangle doré, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur à la hauteur était égal au nombre d'or. Sur la figure : DC/DE =. Sur la toiture du temple, GF/GI = Le rectangle GBFH est appelé rectangle Parthénon. Durant la période classique de la Grèce Antique, on trouve dans les œuvres une grande importance accordée à la recherche de l harmonie. On trouve aussi le

8 nombre d or dans l architecture comme pour la façade du Parthénon qui s inscrit dans un rectangle d or.

9 Le Parthénon : Le Théâtre d Epidaure : Le théâtre d Epidaure possède également une utilisation du nombre d or par rapport aux gradins ( 55 gradins répartis en deux séries de 34 et 21 rangs, les résultats de 34/21 et ( 34+21) / 34 sont très proches du nombre d or.

10 Dans le domaine de la sculpture, le visage est proportionné par rapport à des rectangles d or ainsi que le corps. Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d Athéna Parthénos. Phidias : Athéna Parthénos :

11 Les bâtisseurs de cathédrales Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituées de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l'époque, relatives au corps humain : la paume, la palme, l'empan, le pied et la coudée. Les longueurs étaient donnée en lignes, une ligne mesurant environ 2 mm (précisément 2,247 mm) : paume palme empan pied coudée 34 lignes 55 lignes 89 lignes 144 lignes 233 lignes 7,64 cm 12,63 cm 20 cm 32,36 cm 52,36 cm

12 Pour passer d'une mesure à la suivante, on peut constater que l'on multiplie par le nombre d'or, environ 1,618. Si on demande à des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le format des rectangles sera (dans 75% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du nombre d'or. Peut-être le rectangle quelconque est-il le rectangle d'or? Si, en vous mesurant, les rapports "hauteur totale / distance sol-nombril"et "distance sol-nombril / distance nombril-sommet du crâne" sont égaux (environ 1,6), vous êtes bien proportionnés... D'après Zeising, l'homme à la section d'or! L homme de Vitruve D'après un croquis de Léonard De Vinci, Groquik semblait être bien proportionné... Alors, pourquoi a-t-il été remplacé par le chétif lapin Quicky? La Cathédrale Notre Dame à Paris a-t-elle été construite par hasard? Vous êtes-vous déjà intéressés à l architecture de Notre Dame de Paris? Si oui, vous avez sans doute découvert des tas de choses au niveau du style, des statues et de la composition Mais, Vous êtes-vous déjà demandés pourquoi elle a été construite avec ces dimensions? Si je vous pose cette question c est parce que cette cathédrale, mondialement

13 connue, utilise dans ses proportions le fameux : Nombre d Or!!! -Observons et analysons la façade Ouest de la Cathédrale Notre Dame de Paris. => On remarque qu elle s inscrit dans un rectangle. Qu elle pourrait être décomposée en 3 étages et ceux-ci en 3 parties successives. On peut retrouver des rectangles au niveau des encadrements des portes (sauf celle du milieu) puis dans le deuxième étage (entre le vitrail principal et les deux tours) => Si on divise la longueur (environ 69 m) de la façade par la largeur de la façade (environ 40 m) on obtient environ le nombre d or ( environ ) ( Normalement avec les dimensions données on obtient : mais on remarque que c est un résultat assez proche du Nombre d Or, Attention! il faut prendre en compte dans la hauteur les fioritures du toit des tours ). On peut conclure que la façade a été bâtie selon les règles du Nombre d Or. => Pourquoi le Nombre d Or : Car ce nombre est considéré comme la divine proportion et que comme nous sommes dans un cadre religieux, il faut que la bâtiment soit parfait et en rapport avec le spirituel. On constate que cette cathédrale n est pas aussi haute que les autres cathédrales gothique du fait de sa construction suivant le Nombre d Or -Le Nombre d Or dans les autres églises: On retrouve ce Nombre dans l architecture Romane : Le tympan des églises romanes est souvent caractérisé par l inclusion en son centre d un Mandorle inscrit dans un réctangle d Or. Le Tympan c est une pièce de remplissage d une voûte, en plein cintre ou en arc brisé, souvent utilisé pour présenter un haut-relief dans les églises d architecture romane ou gothique. Le Mandorle est un ensemble de personnages regroupés en un ovale. C est une

14 sculpture. La cathédrale de Dol-de-Bretagne en est un exemple. Pour en savoir plus vous pouvez aller sur le site que voici: La cathédrale de Dol-en-Bretagne : Saint-Samson : VIème Siècle. Le Taj Mahal.

15 Architecture du XXème Siècle : Le Corbusier Le Corbusier construit et représente sa grille sur la silhouette d'un homme debout, levant un bras. En bâtissant l'échelle humaine, le Corbusier rejoint notamment les architectes de la Grèce antique. Comme ceux ci il aménage l'espace architectural pour que le corps s'y reconnaisse. Sa réflexion sur le comportement de l'homme, sur l'équilibre des volumes, de leurs dimensions et proportions l'amène à établir une grille de mesures s'appuyant sur le "Nombre d'or". Il construit sa grille par rapport aux différentes parties du corps humain et l'appelle "le Modulor". C'est avant tout la prise en compte de l'homme, "cet animal qui doit pouvoir s'ébrouer tout à son aise dans l'espace de sa maison", qui guide les choix architecturaux de Le Corbusier. "La nature est mathématique, les chefs-d'œuvre de l'art sont en consonance avec la nature. Ils expriment les lois de la nature et ils s'en servent". Voilà bien le credo sur lequel Le Corbusier fonde son action. Au modulor va s'ajouter un besoin de normalisation aussi bien en architecture qu'en construction mécanique. Cette normalisation s'impose esthétiquement, "pour plus d'harmonie" et économiquement dans cette phase de reconstruction urgente au lendemain de la guerre. La nécessité est la construction en masse de logements (le Corbusier va jusqu'à parler de "machine à habiter"). Le modulor est ainsi utilisé pour respecter l'échelle humaine. Le Modulor lui apparait aussi comme le moyen de dépasser les deux systèmes de mesure qui divisent la planète. L'échelle du Modulor suit la progression de Fibonacci, suite qui tend vers le nombre d'or, principe qui va de soi puisque pour Le Corbusier l' "on a démontré et principalement à la Renaissance que le corps humain obéit à la règle d'or".

16 Illustration du modulor série rouge mètres Pouces 4,79 116"1/2 2,96 72" 1,83 44"1/2 1,13 27"1/2 0,70 17" 0,43 10"1/2 0,26 6"1/2 Echelle humaine du Modulor série bleue Mètres pouces 9,57 233" 5,92 144" 3,66 89" 2,26 55" 1,40 34" 0,86 21" 0,53 13"

17 Schéma de la fonctionnalité à l'échelle humaine du Modulor Quelques exemples de l'échelle du Modulor : Hauteur de plafond : 226 cm Hauteur de table : 70 cm Hauteur d'un élément de cuisine : 86 cm Hauteur de chaise : 43 cm Hauteur de bar : 113 cm Ces valeurs sont utilisées pour mettre en oeuvre un milieu de vie dans lequel on se sent bien.

18 Building : Il y a le «United Nations building» à New York. La construction a duré 6 ans, de 1947 à Le building est composé de 3 rectangles d or comme on peut le voir sur la photo. Maison : Il s'agit d'une des maisons dont le Corbusier a été l'architecte. Or si l'on observe attentivement les proportions qui ont été attribuées à la façade on peut remarquer que plusieurs rapport nous donnent le nombre d'or. Sur ce shéma de la façade, on a : AG/GE = AE/AC = CE/DE = BD/BC = BC/BF = phi Le corbusier s'est également inspiré de son modulor pour les bâtiments suivants :

19 La cité radieuse La Cité Radieuse aussi connues sous le nom d «Unité d habitation» est en fait une résidence construite sous forme de barres sur pilotis. Imaginée par Le Corbusier, cette véritable «ville dans la ville» a été construite entre 1945 et 1952 près du boulevard Michelet à Marseille. En plus de 360 appartements en duplex séparés par de véritables «rues intérieures», sur le toit, une piscine, un gymnase, une école maternelle ainsi qu un théâtre en plein air. A l intérieur, de nombreux cafés, restaurants, hôtels, commerces, épiceries, boulangeries, etc. Au début, tout le monde était hostile à la constructions d un tel immeuble qu ils voyaient plutôt comme des cages à lapins en béton, mais aujourd hui tout le monde est admiratif devant ce bâtiment notamment ses habitants qui qualifient la cité d «extraordinaire, impressionnante, géniale» et qui disent encore que «pour rien au monde, désormais, nous ne quitterons ce village dans la ville» dans une interview du journal la Croix en La Cité Radieuse est depuis devenue Monument Historique ; elle a fêté ses 50 ans en 2002, toujours sans aucune ride!!!soulignons aussi que le bâtiment attire de plus en plus de touristes chaque année.

20 La piscine sur le toit de la Cité Radieuse La chapelle de Ronchand A Ronchamp, une chapelle édifiée en 1924 était bombardée pendant la seconde guerre mondiale. Dès la fin de la guerre, de nombreuses tentatives ayant pour but de reconstruire une nouvelle chapelle échouent. C est alors que l archevêché de Besançon souhaite faire appel au Corbusier pour construire la nouvelle chapelle. Ce dernier accepte. On assiste alors à la naissance de Notre-Dame du Haut, la chapelle de Ronchamp en Pour l architecture, pas de clocher ; uniquement 3 tours qui servent de chapelles secondaires. En 1975, on rajoute un campanile à la chapelle, réalisé avec les proportions du Modulor, mais là encore, aucune précision. En annexe, on construit aussi une pyramide, monument commémoratifs des combats ayant détruit la première chapelle en Concrètement, le monument est une chapelle toute blanche, coiffée d un toit grisâtre, qui frappe par la pureté de ses lignes. Le Corbusier disait : «J ai voulu créer ici un lieu de silence, de prière, de paix, de joie intérieure.

21 plan de la chapelle de Ronchanp Le couvent de la Tourette Le couvent Sainte Marie de la Tourette est commandé à LE CORBUSIER par l ordre des dominicains suite à un regain de vocations religieuses. Il est construit et 1953 et Cette réalisation est la dernière grande œuvre réalisée en France par LE CORBUSIER à EVREUX près de LYON. Contrairement à la cité radieuse de MARSEILLE, LE CORBUSIER crée un lieu d austérité propre à la méditation, à l étude et à l élévation de l esprit. Pour la construction, au lieu d élever le couvent par rapport au sol, l architecte décide de l abaisser à partir de la ligne horizontale du toit ; là encore, il utilise une véritable forêt de pilotis pour compenser les irrégularités du relief sur un terrain en pente. L Eglise n a ni vitraux ni rosaces, mais comporte des fentes colorées recevant la lumière du soleil. Dans la cour, de nombreux volumes géométriques (cubes, pyramides, cylindres ) qui créent une certaine complexité pleine de variations. Pour les cellules installées autour des bâtiments, et ouvertes sur le reste du paysage, LE CORBUSIER définit des dimensions fondées sur le nombre d or. Là encore, il s inspire de son modulor.

22 Construction architecture et Phi :un exemple Caractéristiques principales :

23 Composition du plan et des élévations à partir du nombre d'or, Palmarès Salon Maison Bois Angers ) Le nombre d'or et la peinture : «Quand je me hasarde à parler de mathématiques en Art, on sourit comme à un fou. Dans notre société, on oppose les mathématiques à l'art comme on oppose la science à la religion...». PaulSérusier, 1902 Les dimensions des tableaux sont souvent tels que le rapport longueur/largeur soit égal au nombre d'or.

24 L AMOUR VACHE GERICAULT De nombreux peintres tels Nicolas Poussin, Titien, Michel-Ange, Léonard de Vinci ou Raphaël ont utilisé le nombre φ dans leurs œuvres. La "Joconde" de Léonard de Vinci est peinte selon des proportions basées sur φ. Salvador Dali a utilisé le rectangle d'or pour certaines de ses toiles Dali a placé La Cène dans un dodécaèdre régulier, symbole de l'univers pour Platon. Le dodécaèdre possède 12 faces et il y a 12 apôtres! L'organisation du tableau suit la règle de proportion régie par le nombre d'or. Le point de fuite est situé à la tête du Christ. MONDRIAN :

25 Composition A, par Piet Mondrian (1923) : de nombreux rectangles sont dans la divine proportion! 4) Le nombre d'or en bande dessinée. Plus contemporain, nous avons la bande dessinée, dont le style actuel (avec des phylactères) a été importé en Europe par Hergé dans Tintin. Or cette oeuvre qui s'étend de 1930 à 1976 regorge d'utilisations du nombre d'or. La preuve : voici quelques vignettes... Le sceptre d'ottokar, deuxième édition, planche 3, case 7. Ce mystérieux personnage qui espionne Tintin doit le photographier avec une fausse montre. Celle-ci est située sur un point d'or.

26 Le crabe aux pinces d'or, deuxième édition, planche 35, case 5. Alors que le capitaine Haddock s'apprête à déguster une bouteille, celle-ci éclate, cassée par les balles d'un agresseur. Le point à partir duquel les éclats partent est doré.

27 6) Le nombre d'or et la musique : Les Pythagoriciens, vers 460 avant JC, avaient déjà fait des recherches sur les intervalles sonores. Il existe certains rapprochements entre le nombre φ et une des gammes les plus célèbres. La forme du violon a des proportions esthétiques très liées au nombre d'or. Les luthiers étaient alors préoccupés par la beauté des proportions. En musique, il agit principalement dans des rapports de durées et, il agit comme un facteur physique important car, dans certains cas, le rapport des fréquences de deux notes vaut phi. Ce nombre incarne donc la perfection qu elle soit visuelle ou auditive. Le nombre d or est aussi recherché à la fois dans le rythme et dans l harmonie. Le terme d harmonie désigne ici une technique permettant de choisir les différentes notes jouées simultanément. Du XVIe siècle au début du XXe siècle, elle est essentiellement tonale, à l image de la musique de Bach ou Mozart( La cinquième symphonie de Beethoven, les sonates de Mozart). Aucune série de deux notes ne définit une proportion d or. L approximation la plus proche étant la quinte obtenue par deux sons dont les fréquences définissent un rapport de 3/2. Pour cela, le nombre d or est souvent recherché dans la musique du XXe siècle, la musique contemporaine. De nouvelles gammes sont explorées, comme la gamme décatonique. Dans celle-ci, l octave est partagé en 10 parties égales. Le rythme est plus largement associé au nombre d or et sur une période musicale plus vaste. Cependant, le nombre d or est aussi utilisé dans les gammes et les intervalles musicaux : on mesure l intervalle séparant 2 notes de musique en calculant le rapport des fréquences caractérisant respectivement la note la plus aiguë et la note la plus grave. La fréquence étant le nombre de vibration par seconde de la note. Il y a un rapprochement entre le nombre d or et l une des gammes les plus célèbres : la gamme naturelle ou encore appelée la gamme des physiciens ou gamme de Zarlin. Les Pythagoriciens, vers 460 avant J-C, avaient déjà fait des recherches sur les intervalles sonores. Il existe certains rapprochements entre le nombre et une des gammes les plus célèbres. La forme du violon a des proportions esthétiques très liées au nombre d or. Les luthiers étaient alors préoccupés par la beauté des proportions.

28 7) Le nombre d'or et la géométrie : Le pentagone régulier peut être construit grâce au nombre d'or. Le pentagone régulier étoilé a d'ailleurs eu un rôle important dans la "secte" des Pythagoriciens, vers 460 avant JC, puisque c'était leur emblème. Un rectangle d'or est tel que son rapport longueur/largeur soit égal à φ. Si on retire à ce rectangle un carré de côté sa largeur, il conserve ses proportions avec le rectangle qui reste. Le pentagone régulier Un pentagone régulier est un polygone à cinq côtés inscrit dans un cercle (tous les points formant le pentagone sont sur un même cercle) et dont tous les côtés et tous les angles ont les mêmes mesures. L'angle entre deux côtés consécutifs du pentagone régulier vaut 108. Il existe deux pentagones réguliers. Le plus courant est celui dit convexe, l'autre (l'étoile de shérif) est dit étoilé

29 Pentagone régulier et nombre d'or Le pentagone régulier est une figure d'or car la proportion entre une diagonale et un côté est le nombre d'or. AC/AD = Le triangle ABC et le triangle ACD sont tous deux des triangles isocèles dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or : ce sont deux triangles d'or. Cela vient du fait que la trigonométrie peut aussi être dorée : (Voir des détails un peu plus bas : la trigonométrie en or). Construction du pentagone régulier Sur un cercle (C) de centre O, on trace deux diamètre perpendiculaires. On place le point I, milieu du rayon [OD]. On trace le cercle de centre I et de rayon IA. Il coupe [OB] en J. On trace le cercle de centre A et de rayon [AJ]. Il coupe le cercle (C) en deux points E et F. Le cercle de centre E et de rayon EA coupe (C) en G (et en A). Le cercle de centre F et de rayon FA coupe (C) en H (et en A). AEGHF est un pentagone régulier.

30 Triangles d'or Triangle d'or Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or. Les deux triangles d'or possibles Leurs angles mesurent 36 et 72. Les triangles d'or dans le pentagone régulier Dans le pentagone régulier ci-contre, le triangle ABC et le triangle ACD sont tous deux des triangles isocèles dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or : ce sont deux triangles d'or.

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