Mécanique P06-1MECA0

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1 PRIS Formation d Ingénieurs en Partenariat Section GE Polycopié de cours V Mécanique P06-1MEC0 Cours Magistraux TD ED 1ère nnée Enseignant : Mr DETREZ

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4 Table des matières II Cinématique 1 I.1 Trajectoire, vecteur position I.1.1 L espace I.1.2 Référentiel I.1.3 Trajectoire I.1.4 Vecteur position I.2 Vecteur vitesse et accélération I.2.1 Vecteur vitesse I.2.2 Vecteur accélération I.2.3 Dérivation vectorielle dans un repère I.3 Composition des vitesses et des accélérations I.3.1 Composition des vitesses I.3.2 Composition des accélérations I.4 Champ de vitesse d un solide I.4.1 Paramétrage de la position d un solide I.4.2 ngles d Euler I.4.3 Champ de vitesses d un solide I.5 Cinématique des systèmes de solides I.5.1 Définitions I.5.2 Inventaires des liaisons mécaniques normalisées I.5.3 Cinématique du contact entre deux solides : Glissement, roulement et pivotement I.5.4 Modélisation de la cinématique I.6 Cinématique graphique I.6.1 Mouvements plans I.6.2 Equiprojectivité I.6.3 Centre instantané de rotation I.6.4 Théorème des 3 plans mobiles I.7 Ce qu il faut retenir II Statique 31 II.1 ctions mécaniques II.1.1 Définition II.1.2 Représentation II.1.3 ctions volumiques II.1.4 ctions de contact II.1.5 Moment d action mécanique et couple

5 iv TBLE DES MTIÈRES II.1.6 ctions de liaison II.2 Principe fondamentale de la statique II.2.1 Efforts extérieurs à un système matériel II.2.2 Enoncé II.2.3 Théorème des actions réciproque II.2.4 Cas particuliers II.3 Loi du frottement II.3.1 nalyse du contact ponctuel entre deux solides II.3.2 Loi de Coulomb II.4 Utilisation du principe fondamentale de la statique II.4.1 Degré d hyperstatisme II.4.2 Systèmes isostatiques et hyperstatiques II.4.3 Démarche de résolution des problèmes II.5 Statique graphique II.5.1 Exemple 1 : Solide soumis à trois forces II.5.2 Exemple 2 : Solide soumis à quatre forces II.5.3 Exemple 3 : Encore un solide soumis à quatre forces II.6 Ce qu il faut retenir III Dynamique 61 III.1 Dynamique du point matériel III.1.1 Equation de la dynamique III.1.2 Exemples de force III.1.3 Quantité de mouvement III.1.4 Moment cinétique et moment dynamique III.1.5 Théorème du moment cinétique III.2 Dynamique du solide III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique III.2.2 Torseur cinétique et torseur dynamique III.2.3 Centre d inertie et opérateur d inertie III.2.4 Démarche de résolution d un problème III.3 Energétique III.3.1 Puissance et Travail III.3.2 Energie cinétique III.3.3 Théorème de l énergie cinétique III.4 Ce qu il faut retenir Quelques éléments de géométrie vectorielle 85.1 Les vecteurs Produit scalaire Produit vectoriel Produit mixte Division vectorielle Dérivée d un vecteur Changement de base de dérivation

6 TBLE DES MTIÈRES v B Les Torseurs 95 B.1 Torseurs B.2 Opérations sur les torseurs nnexes 85

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8 Chapitre -I- Cinématique Table des Matières I.1 Trajectoire, vecteur position I.1.1 L espace I.1.2 Référentiel I.1.3 Trajectoire I.1.4 Vecteur position I.2 Vecteur vitesse et accélération I.2.1 Vecteur vitesse I.2.2 Vecteur accélération I.2.3 Dérivation vectorielle dans un repère I.3 Composition des vitesses et des accélérations I.3.1 Composition des vitesses I.3.2 Composition des accélérations I.4 Champ de vitesse d un solide I.4.1 Paramétrage de la position d un solide I.4.2 ngles d Euler I.4.3 Champ de vitesses d un solide I.5 Cinématique des systèmes de solides I.5.1 Définitions I.5.2 Inventaires des liaisons mécaniques normalisées I Liaisons élémentaires I Liaisons composées I En deux dimensions I.5.3 Cinématique du contact entre deux solides : Glissement, roulement et pivotement I Vitesse de glissement I Vecteurs roulement et pivotement I.5.4 Modélisation de la cinématique I Graphe cinématique

9 2 CHPITRE I. CINÉMTIQUE I Graphe de structure ou graphe des liaisons I Mobilité d un système a) Fermeture géométrique b) Fermeture géométrique I Calcul de la mobilité I Mobilité utile et mobilité interne I Résolution d un problème de cinématique I.6 Cinématique graphique I.6.1 Mouvements plans I.6.2 Equiprojectivité I Définition I Démonstration I Utilisation de l équiprojectivité I.6.3 Centre instantané de rotation I Définition I Propriétés I.6.4 Théorème des 3 plans mobiles I.7 Ce qu il faut retenir

10 I.1. TRJECTOIRE, VECTEUR POSITION 3 La cinématique est l étude du mouvement indépendamment des causes qui les produisent. C est-à-dire de la position des objets au cours du temps, mais également de leurs vitesses et accélérations. Les notions de vitesse et d accélération ne sont définies que pour un point et par rapport à un repère. I.1 Trajectoire, vecteur position I.1.1 L espace La représentation du monde extérieur exige de notre part la construction de certains cadres, qui ont leur origine dans une mise en ordre de nos sensations. Le premier de ces cadres est l espace. Bien que notre corps soit en perpétuel changement, nous avons la conscience d un minimum dans ce changement qui nous fait dire que nous sommes immobiles. Lorsque ce minimum n est pas atteint, nous disons qu il y a changement d attitude et de position. Quant, après une série de changements d attitude et de position, tout se passe comme si nous étions restés immobiles, nous disons que nous sommes revenus au même lieu. L accord entre tous les hommes sur l identification des lieux constitue l espace physique. I.1.2 Référentiel L expérience nous apprend que trois renseignements sont nécessaires et suffisants pour repérer un lieu dans l espace. Pour indiquer à quelqu un où se trouve le nid d un oiseau, nous disons par exemple :marchez devant vous pendant cent pas, ensuite tournez à droite et marchez pendant soixante pas, vous serez au pied de l arbre sur la plus haute branche duquel se trouve le nid. Il en découle que la position du nid n est définie que par rapport à une origine, ici le point de départ et également par trois directions. La position d un point n est définie que relativement à un repère à savoir une origine O et trois axes. Par exemple, imaginons une bille roulant dans un train. On peut définir la position de la bille par rapport au train, par rapport à la Terre, éventuellement par rapport au Soleil, etc. Les mouvements de la bille sont différent par rapport à ces différents repères. Notre premier souci, en cinématique, sera de mettre en place un repère de référence où toutes les quantités telles que les positions, les vitesses et accélérations seront calculées par rapport à ce repère. Le repère utilisé en mécanique doit pouvoir modéliser l espace donc il doit être de dimension de trois. Nous choisirons une base ( e 1, e 2, e 3 ) orthonormée et directe pour pouvoir définir le produit vectoriel. Nous prendrons également un point de référence O pour construire le repère de référence (O, e 1, e 2, e 3 ). Le paramétrage d un point M peut se faire de plusieurs façons (Figure I.1) : coordonnées cartésiennes M (x, y, z) coordonnées cylindriques M (r, θ, z) coordonnées sphériques M (ρ, θ, φ) La position du point M variant d un instant à l autre, il convient de définir une mesure scalaire appelée temps, caractérisant la simultanéité des événements des événements dans différents repères. L unité du système internationale de la mesure de temps est la seconde.

11 4 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Figure I.1 Les différents systèmes de coordonnées (Pommier and Berthaud, 2010) La position de M est une fonction de trois variables d espace (x, y, z) ou (r, θ, z) ou (ρ, θ, φ). Chacune de ces variables est une fonction du temps t. L espace à quatre dimensions (x, y, z, t) est appelé référentiel R. Par abus de langage nous noterons de la même façon le repère associé à ce référentiel. Un point M est dit au repos par rapport à un référentiel R si ces coordonnées dans le repère associé à R sont indépendantes du temps x (t) = x 0 y (t) = y 0 z (t) = z 0 t t t ( Remarque I.1 L origine d un repère R 0, i, j, ) k est par définition au repos dans R et ses coordonnées sont nulles O (x = 0, y = 0, z = 0). I.1.3 Trajectoire On appelle trajectoire de M le lieu des positions successives occupées par un point M dans le repère R lorsque le temps varie. Remarque I.2 On remarque alors que les variables d espaces sont elles-mêmes des fonctions du temps si on suit un point M dans son mouvement x = f (t) ; y = g (t) ; z = h (t), ce sont les équations paramétriques du mouvement. I.1.4 Vecteur position On appelle vecteur position de M, le vecteur qui lie le point M à l origine O du repère R. En fonction du type de coordonnées utilisées, le vecteur position peut s écrire :

12 I.2. VECTEUR VITESSE ET CCÉLÉRTION 5 Figure I.2 Trajectoire du point M dans le référentiel R (Chevalier, 2004) Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindrique Coordonnées sphériques OM = x x + y y + z z OM = r e r + z z OM = ρ e r Remarque I.3 Si on choisit un autre point fixe dans le repère R le vecteur M est également un vecteur position caractéristique du mouvement du point M dans R et pourtant le vecteur M et différent du vecteur OM. Le vecteur position n étant pas directement caractéristique du mouvement de M, nous considérons plutôt la vitesse, c est-à-dire variation de position du point M au cours du temps, qui est unique pour un repère donné. I.2 Vecteur vitesse et accélération I.2.1 Vecteur vitesse La variation de position de M dans R entre deux instants infinitésimalement proches est caractérisée par la vitesse. On note celle-ci V (M/R) et son expression est d OM V (M/R) = dt R

13 6 CHPITRE I. CINÉMTIQUE l expression de ces coordonnées cartésiennes sont ẋ (t) V (M/R) = ẏ (t) ż (t) Le vecteur V (M/R) est appelé vecteur vitesse du point M par rapport au repère R. Notons que la dimension physique d une vitesse est une longueur L sur un temps T. Dans le système internalitonal d unités, la vitesse s exprime en mètres par seconde [m.s 1 ]. Propriété I.1 Le vecteur vitesse V (M/R) est tangent à la trajectoire de M dans R. Remarque I.4 Calculer une vitesse par rapport à un repère R ne signifie pas qu il faille exprimer cette vitesse dans la base liée à ce repère. I.2.2 Vecteur accélération La variation de la vitesse d un point M, au cours du temps, est caractérisée par un vecteur : a (M/R) = d V (M/R) dt = d2 OM dt 2 R Ce vecteur est appelé vecteur accélération du point M dans le repère R. La dimension physique d une accélération est une longueur L sur le carré d un temps T 2. Dans le système international d unités, l accélération s exprime en mètres par seconde au carré [m.s 2 ]. I.2.3 Dérivation vectorielle dans un repère La formule de la base mobile est à la base de toutes relations cinématiques. Elle permet de déterminer la dérivée d un vecteur par rapport à un référentiel R 2 connaissant la dérivée du même vecteur par rapport à un autre référentiel R 1. d U dt = d U + Ω (R 1 /R 2 ) U dt R2 R1 R Ω (R1 /R 2 ) est le vecteur taux de rotation de R 1 par rapport à R 2. Pour utiliser la formule de la base mobile, il faut auparavant déterminer le taux de rotation. Pour chaque rotation d angle α i (en radian) autour de k i le vecteur taux de rotation est donnée par Ω (R1 /R 2 ) = i α i ki

14 I.3. COMPOSITION DES VITESSES ET DES CCÉLÉRTIONS 7 La dimension physique du vecteur taux de rotation est un angle [rad] sur temps T [s]. Dans le système international d unités, le taux de rotation s exprime en seconde moins 1 [rad.s 1 ] = [s 1 ] Remarque I.5 Lorsque U (t) est un vecteur u fixe dans R 1 la formule de la base mobile devient : d u dt = Ω (R 1 /R 2 ) u R2 Ce cas particulier est très important dans la pratique car nous le retrouverons très souvent. En effet, cette formule s utilise pour passer de la dérivée dans R 2 à la dérivée dans R 1 où u est fixe. I.3 Composition des vitesses et des accélérations Les vecteurs vitesse et accélération ont été calculés en dérivant le vecteur position OM. Ce vecteur ayant été défini dans un repère R, la vitesse et l accélérations ainsi obtenues sont des grandeurs qui dépendent de ce repère R. On les note : V (M/R) a (M/R) Ce qui veut dire qu un même point M, dans plusieurs référentiels mobiles les uns par rapport aux autres, possède une vitesse par rapport à chacun des référentiels (Figure I.3). Les relations de mouvement permettent de calculer les grandeurs caractéristiques du mouvement d un point par rapport à un repère R 1 (0 1, x 1, y 1, z 1 ), connaissant ces grandeurs par rapport au repère R 2 (0 2, x 2, y 2, z 2 ). Il faut bien sûr connaître le mouvement de R 2 par rapport à R 1. Figure I.3 Composition des vitesses (Chevalier, 2004) Pour déterminer les relations de composition de mouvement, il suffit d exprimer le vecteur position sous la forme : O 0 M = O 0 O 1 + O 1 M

15 8 CHPITRE I. CINÉMTIQUE O 1 et O 2 sont les origines respectives de R 1 et R 2. Il faut ensuite dériver par rapport au repère R 1. On utilise la formule de la base mobile pour faire apparaître des dérivées par rapport à R 2. I.3.1 Composition des vitesses Soient R 1 et R 2 deux repères en mouvement l un par rapport à l autre. La vitesse du point M par rapport à R 1 est par définition : V (M/R1 ) = d O 1 M dt R1 = d O 1 O 2 + O 2 M dt R1 = d O 1 O 2 + d O 2 M dt dt R1 R1 = V (0 2 /R 1 ) + d O 2 M dt Le second terme se transforme à l aide de la formule de la base mobile d O 2 M = d O 2 M + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M dt dt R1 R2 = V (M/R 2 ) + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M R1 donc Posons V (M/R1 ) = V (0 2 /R 1 ) + V (M/R 2 ) + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M V (M, R2 /R 1 ) = V (M/R 1 ) V (M/R 2 ) donc V (M, R2 /R 1 ) = V (0 2 /R 1 ) + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M Dans le mouvement de R 2 par rapport R 1, on définit La vitesse absolue V (M/R 1 ) La vitesse relative V (M/R 2 ) La vitesse d entraînement V (M, R 2 /R 1 ) = V (M R 2 /R 1 ) La vitesse d entraînement dans le mouvement R 2 par rapport R 1 correspond à la vitesse du point M, considéré comme fixe dans le repère R 2, dans son mouvement par rapport à R 1. Elle a pour expression V (M, R2 /R 1 ) = V (0 2 /R 1 ) + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M

16 I.4. CHMP DE VITESSE D UN SOLIDE 9 avec O 2 l origine de R 2. Dans la pratique, une telle relation permet de déterminer la vitesse d un point dont le mouvement est complexe en considérant une suite de référentiels R i successifs, chacun en mouvement simple les uns par rapport aux autres. Si les R i sont (n + 1) référentiels successifs permettant de passer de R 0 à R n on peut écrire une relation de Chasles : Ω (Rn /R 0 ) = Ω (R n /R n 1 ) + + Ω (R 1 /R 0 ) V (M, Rn /R 0 ) = V (M, R n /R n 1 ) + + V (M, R 1 /R 0 ) I.3.2 Composition des accélérations Soient R 1 et R 2 deux repères en mouvement l un par rapport à l autre. Il est aisé de montrer comme précédemment que les accélérations d un point M par rapport à R 1 ou par rapport à R 2 sont liées par la relation a (M/R1 ) = a (M/R 2 ) + a Coriolis (M, R 2 /R 1 ) + a (M, R 2 /R 1 ) Par définition, nous avons L accélération absolue a (M/R 1 ) L accélération relative a (M/R 2 ) L accélération d entraînement a (M, R 2 /R 1 ) a (M, R2 /R 1 ) = a (O 2 /R 2 ) + ( Ω Ω (R 2 /R 1 ) (R2 /R 1 ) ) O 2 M + d Ω (R 2 /R 1 ) O dt 2 M R1 L accélération de Coriolis a Coriolis (M, R 2 /R 1 ) a Coriolis (M, R 2 /R 1 ) = 2 Ω (R 2 /R 1 ) V (M/R 2 ) Remarque I.6 Nous verrons que l utilisation de cette relation n est pas très courante. En effet, en dynamique, seules certaines projections de l accélération suffisent. Nous pouvons tout de même retenir, que la vitesse d entraînement correspondent à la vitesse du point M considéré comme fixe dans le repère d entraînement. Cette remarque permet souvent de se ramener à une succession de cas simple pour les calculs cinématiques d un mouvement plus complexe. I.4 Champ de vitesse d un solide I.4.1 Paramétrage de la position d un solide Un solide indéformable est un ensemble de points dont les distances restent invariantes au cours du temps. On peut privilégier un point O S et définir une base orthonormée liée au solide. On fabrique ainsi un repère R S lié au solide S. La position de ce repère par rapport à un autre repère R est définie par 6 paramètres ou degrés de liberté (ddl) au plus :

17 10 CHPITRE I. CINÉMTIQUE 3 translations pour la position du point 0 S ; 3 rotations pour l orientation de la base R S ). Si ce solide est en liaison avec R le nombre de ddl est inférieur à 6. I.4.2 ngles d Euler Lorsque le solide est astreint à un certain mouvement par des liaisons, la cinématique du système fixe généralement sans ambiguïté le choix du paramétrage. Dans les cas moins nets, on utilise souvent les angles d Euler (ψ, θ, ϕ) qui minimisent les calculs et les projections. On souhaite passer d une base orthonormée B ( x, y, z ) à une base B ( i, j, k ) liée à un solide, par exemple (Figure I.4). Il faut donc choisir 3 rotations (Figure I.5). Figure I.4 ngles d Euler (Chevalier, 2004) L intersection du plan ( x, y ) qui est orthogonal à z et du plan ( i, j ) est orthogonal à k s appelle la ligne des nœuds, le vecteur directeur de cette droite s appelle le vecteur nodal u. On passe de z à k par une rotation θ autour du vecteur nodal u. C est la nutation. Le passage d une base à l autre peut alors se faire par 3 rotations planes : la précession ψ autour de z, la nutation θ autour de u et la rotation propre φ autour de k. Le vecteur rotation instantanée a comme expression : Ω (B /B) = ψ z + θ u + φ k Remarque I.7 Vous avez sûrement constaté que les figures de calculs traduisant les rotations planes sont systématiquement faites dans le cas où l angle de rotation est compris entre 0 et π. Ce n est pas un hasard, mais une indispensable précaution à 2 prendre pour obtenir les résultats des produits scalaires et vectoriels sans erreur de signe. Il est fortement conseillé, dans un problème, de commencer par dessiner les figures de calculs, qui vous feront gagner beaucoup de temps lors de la mise en équation du problème. qui

18 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 11 #» v #» y #» k #» z #» j #» w #» u #» w #» i ψ #» x θ #» φ #» v u #» z #» #» u k I.4.3 Figure I.5 Figures de calculs Champ de vitesses d un solide La base de la cinématique du solide est la notion de conservation des distances entre deux points. La formule de la base mobile appliquée entre un repère S lié au solide et le repère R de référence permet de montrer que la vitesse d un point P du solide et la vitesse d un point M appartenant au même solide sont reliées par la relation V (P, S/R) = V (M, S/R)+ Ω (S/R) MP avec Ω (S/R) le vecteur taux de rotation de S par rapport à R. Le couple formé par l union du vecteur taux de rotation et du champ de vecteurs vitesses, constitue ce que l on nomme un torseur cinématique { Ω (S/R) {V S/R = V (M, S/R) M Les vecteurs Ω (S/R) et V (M, S/R) sont les éléments de réduction du torseur cinématique du solide au point M. Le premier terme, Ω (S/R), est la résultante du torseur et le second, V (M, S/R), est le moment du torseur. I.5 Cinématique des systèmes de solides I.5.1 Définitions Lorsque la mécanique du solide est appliquée à des mécanismes, les mouvements relatifs entre solides sont limités par l existence de liaisons entre les différentes pièces du mécanisme. insi, un système de solides est constitué de deux sous-ensembles : l ensemble des solides indéformables ; l ensemble des liaisons entre solides. Le système de solides pourra donc être représenté par des graphes, dont l analyse permet de définir le nombre d inconnues cinématiques du système. Il existe deux types de graphe : Graphe cinématique : les liaisons constituent les sommets, les solides constituent les arcs.

19 12 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Graphe de structure : les solides constituent les sommets, les liaisons constituent les arcs. Par ailleurs, cette représentation permet d aider au choix des sous-systèmes à isoler, des théorèmes généraux à appliquer et des projections pertinentes à effectuer. Degrés de liberté d une liaison (ddl) Dans le repère local associé à la liaison entre deux solides, les mouvements relatifs des deux solides sont limités à trois translations et trois rotations au maximum. Parmi ces 6 mouvements élémentaires, le nombre de mouvements élémentaires indépendants autorisés par la liaison définit les degrés de liberté (ddl) de cette liaison. I.5.2 Inventaires des liaisons mécaniques normalisées On appelle liaisons élémentaires les liaisons obtenues à partir des surfaces géométriques élémentaires : plan, sphère, cylindre. Ces surfaces seront supposées géométriquement parfaites. De plus, les liaisons seront supposées sans jeux. Le choix d une liaison est principalement gouverné par le nombre de degrés de liberté à supprimer. Les liaisons élémentaires offrent un premier choix mais ne couvrent que 6 possibilités. L imagination peut conduire vers d autres solutions obtenues en combinant les liaisons élémentaires. L association de liaisons élémentaires conduit aux liaisons composées. I Liaisons élémentaires L association deux à deux des surfaces élémentaires permet d introduire les liaisons parfaites : Plan Plan Liaison appui-plan Cylindre Cylindre Liaison pivot-glissant Sphère Sphère Liaison rotule Cylindre Plan Liaison linéaire rectiligne Sphère Plan Liaison appui-ponctuel Sphère Cylindre Liaison linéaire-annulaire Liason pivot-glissant (2 ddl) L assemblage de 2 cylindres concentriques donne la liaison pivot-glissant. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z z y x La liaison pivot glissant est une liaison à deux degrés de liberté : un degré de

20 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 13 rotation et un degré de translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici x ) de la liaison ainsi que la position d un point quelconque de l axe de rotation (ici le point ). Le torseur cinématique qui caractérise la liaison pivot-glissant est de la forme suivante : { (ω x, 0, 0) {V 2/1 = (V x, 0, 0) ( x,, ) Liaison rotule (3 ddl) L assemblage de 2 sphères concentriques donne la liaison rotule. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z y La liaison rotule a trois degrés de liberté en rotation, aucun en translation. Seule la position du centre de la rotule est nécessaire à sa définition géométrique. Le torseur cinématique associé est de la forme suivante : { (ω x, ω y, ω z ) {V 2/1 = (0, 0, 0) (,, ) Liaison appui-plan (3 ddl) L assemblage de 2 plans donne la liaison appui-plan. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z y La liaison appui-plan à trois degrés de libertés, elle permet les translations dans le plan de contact suivant x et y, ainsi qu une rotation autour de la normale au plan k. La caractérisation géométrique de cette liaison, est faite par un point du plan de contact (ici ) et la normale à ce plan (ici z ). Le torseur cinématique associé est de la forme : { (0, 0, ω z ) {V 2/1 = (V x, V y, 0) (,, z )

21 14 CHPITRE I. CINÉMTIQUE z z y x Liaison linéaire annulaire (4 ddl) L assemblage d un sphère dans un cylindres donne la liaison linéaire annulaire. Celle-ci est schématisée de la façon suivante La liaison linéaire annulaire est une liaison à 4 degrés de liberté : trois degrés de rotation et un degré de translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction de translation (ici x ) de la liaison ainsi que la position d un point quelconque de l axe du cylindre (ici le point ). Le torseur cinématique qui caractérise la liaison linéaire annulaire est de la forme suivante : { (ω x, ω y, ω z ) {V 2/1 = (V x, 0, 0) ( x,, ) Liaison linéaire rectiligne (4 ddl) L assemblage d un cylindres sur un plan donne la liaison linéaire rectiligne. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z z y x La liaison linéaire rectiligne est une liaison à 4 degrés de liberté : deux degrés de rotation et deux degré de translation. C est la liaison qui nécessite le plus d informations géométrique pour être définie. Il est nécessaire de préciser le plan par sa normale (ici z ) ainsi que la ligne de contact (ici x ) et un point de cette ligne (ici ). Le torseur cinématique qui caractérise la linéaire rectiligne est de la forme suivante : { (ω x, 0, ω z ) {V 2/1 = (V x, V y, 0) P ( x, y, z ) La base ( x, y, z ) est liée au solide contenant la ligne de contact, ici le solide supérieur.

22 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 15 Liaison appui-ponctuel (5 ddl) L assemblage d une sphère sur un plan donne la liaison appui-ponctuel. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z y I La liaison appui-ponctuel est une liaison à 5 degrés de liberté : trois rotations et deux translations. Elle nécessite de préciser le plan par sa normale (ici z ) et le point de contact (ici ). Le torseur cinématique qui caractérise l appui-ponctuel est de la forme suivante : { (ω x, ω y, ω z ) {V 2/1 = (V x, V y, 0) Liaisons composées (,, z ) Liaison rotule à doigt (2 ddl) La liaison rotule à doigt est une liaison rotule à laquelle un degrés de liberté a été retiré. Elle est schématisée de de la façon suivante z y La liaison rotule à doigts a deux degrés de liberté en rotation, aucun en translation. La position du centre de la rotule (ici ) et la direction bloqué en rotation (ici y ) sont nécessaires à sa définition géométrique. Le torseur cinématique associé est de la forme suivante : { (ω x, 0, ω z ) {V 2/1 = (0, 0, 0) (, y, )

23 16 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Liaison glissière (1 ddl) Elle est schématisée de la façon suivante : z z y x La liaison glissière est une liaison à un degré de liberté en translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici x ) de la liaison. Le torseur cinématique qui caractérise la liaison glissière est de la forme suivante : { (0, 0, 0) {V 2/1 = (V x, 0, 0) ( x,, ) Remarque I.8 Il n est pas nécessaire de préciser le point car le torseur {V 2/1 est invariant, il a la même expression quelque soit le point où il est exprimé. Liaison pivot (1 ddl) Elle est schématisée de la façon suivante : z z y x La liaison pivot est une liaison à un degrés de liberté en rotation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici x ) de la liaison ainsi que la position d un point quelconque de l axe de rotation (ici le point ). Le torseur cinématique qui caractérise la liaison pivot est de la forme suivante : { (ω x, 0, 0) {V 2/1 = (0, 0, 0) ( x,, )

24 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 17 Liaison hélicoïdale (1 ddl) Elle est schématisée de la façon suivante : z z y x La liaison hélicoïdale est une liaison qui permet une translation ainsi qu une rotation. Toutefois elle n est qu à un seul degrés de liberté car la rotation et la translation sont liées par le pas p de l hélice. Si la vitesse de rotation est ω x, alors la vitesse de translation sera égale à pω/2π. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici x ) de la liaison, la position d un point quelconque de l axe de rotation (ici le point ) ainsi que la valeur du pas de l hélice, noté classiquement p. Le torseur cinématique qui caractérise la liaison hélicoïdale est de la forme suivante : { (ω x, 0, 0) {V 2/1 = ( pωx, 0, 0) 2π ( x,, ) Liaison encastrement (0 ddl) La liaison encastrement est une liaison qui ne permet aucun degrés de liberté. Elle est également appelée liaison complète. Tout mouvement est interdit. Toutes les fixations de carter ou de bâti sur un socle sont des liaisons encastrement. Il n y a pas de schématisation normalisée pour cette liaison puisque les pièces en liaison complète sont représentées, sous forme filaire, comme un solide solide. Le torseur cinématique qui caractérise la liaison encastrement est nul { (0, 0, 0) {V 2/1 = (0, 0, 0) (,, ) I En deux dimensions Dans le cas d un problème bidimensionnelle, il suffit de trois degrés de liberté pour repère deux solides l un par rapport à l autre : les deux translations du plan une rotation d axe orthogonal au plan Ces degrés de liberté sont les mêmes que ceux de la liaison appui-plan. Il existe quatre liaisons normalisés dans le plan : Liaison appui-ponctuel (2 ddl) d axe (, x ) avec x dans le plan {V 2/1 = { ω z (0, V y ) ( x, y, z )

25 18 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Liaison pivot (1 ddl) de direction (, z ) avec z la normale au plan { ω {V z 2/1 = (0, 0) (,, z ) Liaison glissière (1 ddl) d axe x dans le plan { 0 {V 2/1 = (V x, 0) ( x, y, z ) Liaison encastrement (0 ddl) {V 2/1 { 0 = (0, 0) ( x, y, z ) I.5.3 I Cinématique du contact entre deux solides : Glissement, roulement et pivotement Vitesse de glissement Figure I.6 Géométrie d un contact ponctuel (Chevalier, 2004) Lors d un contact ponctuel en I de deux surfaces régulières appartenant respectivement aux solides S 1 et S 2, la vitesse de glissement est définie par la différence entre la vitesse du point géométrique par rapport à S 2 et la vitesse du point géométrique de contact par rapport au solide S 1 : G (I, S1 /S 2 ) = V (I/S 2 ) V (I/S 1 )

26 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 19 Cette vitesse est dans le plan tangent commun (π), à S 1 et S 2 (Figure I.6). Elle est par définition égale à la vitesse du point coïncident I dans le mouvement de S 1 par rapport à S 2 G (I, S 1 /S 2 ) = V (I, S 1 /S 2 ) I Vecteurs roulement et pivotement Le mouvement relatif de S 1 par rapport à S 2 est défini par le torseur des vitesses relatives : { Ω (S1 /S 2 ) {V S1/S2 = V (I, S1 /S 2 ) I Le vecteur taux de rotation se décompose en deux parties : la projection du taux de rotation sur la normale n 12 au plan tangent commun, (π), qui se nomme le pivotement [ Ω Ω p (S 1 /S 2 ) = (S1 /S 2 ). ] n n la composante dans le plan tangent qui se nomme le roulement Ω r (S 1 /S 2 ) = Ω (S 1 /S 2 ) Ω p (S 1 /S 2 ) Remarque I.9 Les engrenages sont généralement modélisés par des liaisons appuiponctuel dans les problèmes plans et par des liaisons linéaires rectilignes en trois dimensions. Pour parfaire cette modélisation, il est nécessaire d adjoindre une condition de roulement sans glissement, c est-dire que la vitesse de glissement entre les roues dentées est nulle V (I, Roue1 /Roue 2 ) = 0 où I est le point de contact des deux roues dentées. utrement, la condition de roulement sans glissement entre S 1 et S 2 impose que la vitesse de glissement soit nulle V (I, S1 /S 2 ) = 0 I.5.4 Modélisation de la cinématique Un système de solides indéformables est composé de deux sous-ensembles : les solides et les liaisons entre les solides. Une représentation peut donc en être faite au moyen d un graphe cinématique ou d un graphe de liaison. I Graphe cinématique Lorsqu on représente un système de solides par un graphe cinématique, les solides se représentent par des lignes et les liaisons par des symboles. Les symboles représentatifs des liaisons sont dessinés en respectant la normalisation et les positions spatiales relatives des entités géométriques caractéristiques. Un graphe cinématique est donc en général un graphe tridimensionnel et se dessine en perspective sauf dans le cas particulier des mécanismes plans. La fonction principale du graphe cinématique est d aider à la compréhension du fonctionnement du système, à la visualisation du paramétrage.

27 20 CHPITRE I. CINÉMTIQUE I Graphe de structure ou graphe des liaisons l inverse, lorsqu on représente un système de solides par un graphe de structure, les solides sont représentés par des bulles et les liaisons par des lignes. Ce graphe pourra être complété par la suite par des vecteurs figurant les actions mécaniques. Sur chaque ligne, il y a le nom de la liaison qu il représente ainsi que ses caractéristiques géométriques. Dans les bulles sont placées les symboles alphanumériques désignant les solides. Le graphe de structure a deux fonctions principales : aider à la détermination de la mobilité du système c est à dire du nombre minimal de paramètres permettant de décrire complètement la cinématique du système, aider au choix des sous-systèmes à isoler, des théorèmes généraux de la dynamique à utiliser, des projections à effectuer pour répondre à un problème posé. I Mobilité d un système La mobilité d un système correspond au nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire totalement la cinématique du système. Dans un mécanisme, chaque liaison présente un certains nombre de degrés de liberté. Mais la mobilité du système complet n est pas égale à la somme des degrés de liberté de chacune des liaisons. Le graphe de structure sera généralement employé pour déterminer la mobilité du système. En effet, lorsque le graphe présente des fermetures, des équations supplémentaires entre les paramètres apparaissent, ce qui diminue d autant la mobilité du système. a) Fermeture géométrique Lorsque dans le graphe de liaison apparaît un chemin fermé, (S 1, S 2,..., S n 1, S n, S 1 ) alors, la fermeture géométrique de ce chemin s écrit : et et O 1 O O n 1 O n + O n O = 0 P (B 1 /B 2 ).P (B 2 /B 3 )... P (B n 1 /B n ).P (B n /B 1 ) = Id où (O i, B i ) est le repère, d origine O i et de base B i, attaché au solide S i. P (B i /B i+1 ) est la matrice de passage de la base B i à la base B i+1 et Id la matrice identité. Pour chaque chemin fermé, on obtient six équations scalaires. Dans la pratique, on utilise que la première relation qu on a l habitude de noter : OO = 0 Cette relation donne au maximum dans le cas tridimensionnelle trois équations scalaires indépendantes. b) Fermeture géométrique Si le chemin fermé possède des liaisons cinématiques, il est possible alors écrire une équation de fermeture cinématique portant sur le torseur cinématique du chemin fermé :

28 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 21 M {V S1/S2 + M {V S2/S3 + + M {V Sn/Sn 1 + M {V Sn/S1 Dans cette expression, tous les torseurs doivent impérativement être écris au même point M. Cette expression conduit également à six équations scalaires qui sont les dérivées de celle obtenue par la fermeture géométrique associée au même chemin fermé. Remarque I.10 Le choix d utiliser une fermeture géométrique ou une fermeture cinématique sera guidé par des conditions de simplicité de mise en œuvre et conduira souvent à une procédure mixte. Dans la pratique on préféra la fermeture cinématique pour le vecteur taux de rotation bien plus simple que l utilisation des matrices de passages. D un autre côté la fermeture géométrique OO = 0 est souvent plus simple que la fermeture cinématique qui nécessite le calcul des vitesses en un même point M. I Calcul de la mobilité La mobilité est le nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire totalement la cinématique du système. Pour l obtenir, il faut suivre la procédure suivante : 1. Déterminer le nombre maximal de chemins fermés indépendants, γ. Ce nombre s appelle le nombre cyclomatique et vaut : γ = N l N s + 1 ou N l est le nombre de liaisons et N s est le nombre de solides. 2. Calculer la mobilité du système m qui est déterminée par m = I c E c avec E c est le nombre d équation cinématique et I c est le nombre d inconnues cinématiques. Le nombre d équations cinématiques est lié au nombre cyclomatique { 6γ en 3D E c = 3γ en 2D I c est la somme des degrés de libertés associés à chaque liaison. La mobilité peut être déterminé en imaginant le blocage d un degré de liberté d une liaison. On regarde si le système reste mobile ou non. S il reste mobile, on ajoute un deuxième blocage d un nouveau degré de liberté et ainsi de suite jusqu a l immobilité complète du système. La mobilité est alors le nombre de blocages effectues. I Mobilité utile et mobilité interne On peut classer les paramètres de position en deux catégories suivant qu ils sont associés a des liaisons avec l extérieur du système ou à des liaisons internes au système. Par commodité, on parlera de paramètres utiles et de paramètres internes. = { 0

29 22 CHPITRE I. CINÉMTIQUE La mobilité d un système se décompose en une mobilité interne et mobilité utile m = m u + m i La mobilité utile correspond au nombre d actionneurs (moteurs ou pistons) nécessaire au fonctionnement du système. Elle peut être trouvée en utilisant la procédure du blocage des liaisons avec l extérieur (c est-dire là où on peut mettre un actionneur). On observe le système sous la forme d une boîte noire dont les seuls degrés de liberté observables et accessibles (donc blocables) sont ceux des liaisons avec l extérieur. Cette procédure donne la mobilité utile m u. La mobilité interne m i = m m u n a aucun rôle fonctionnel, elle correspond à un mouvement d un solide ou d un ensemble de solides à l intérieur du système. I Résolution d un problème de cinématique 1. Identifier les solides, identifier les liaisons. 2. Identifier le nombbre de degrés de liberté et le paramétrage qui y est associé. 3. Tracer les figures de calcul associées au paramétrage. 4. Tracer le graphe de structure. 5. Calculer le nombre de chemins fermés indépendants. 6. Expliciter les équations de fermeture soit par fermeture cinématique ou soit par fermeture géométrique. I.6 Cinématique graphique I.6.1 Mouvements plans La cinématique se restreint aux systèmes dont les solides sont en mouvement plans (cas 2D). On appelle mouvement plan de solides tout mouvement dont un plan P du solide S reste constamment dans un plan fixe d un repère R. Ce plan P s appelle le plan de glissement et la connaissance de la cinématique des deux solides dans le plan de glissement permet de connaître les vitesses dans tous les plans parallèle à P. L étude de ces mouvement se fait dans le plan glissement. Le vecteur rotation est orthogonal au plan P, il n a donc qu une composante sur l axe z. Ω S/R = ω z I.6.2 I Equiprojectivité Définition Le champ des vitesses d un solide S par rapport à référentiel R est équiprojectif, c est-à-dire : quels que soient les points et B on a V (, S/R). B = V (B, S/R). B

30 I.6. CINÉMTIQUE GRPHIQUE 23 I Démonstration Les vitesses du point et du point B dans le mouvement de S par rapport à R sont reliées par la relation V (, S/R) = V (B, S/R) + Ω (S/R) B En prenant le produit scalaire des deux membres de l équation avec le vecteur B on obtient directement le résultat recherché. En effet, le produit mixte de trois vecteurs coplanaires est nul : ( Ω ) (S/R) B. B = ( ) Ω (S/R). B B = 0 donc I Premier cas ( Ω ) V (, S/R). B = V (B, S/R). B + (S/R) B. B V (, S/R). B = V (B, S/R). B Utilisation de l équiprojectivité Figure I.7 Equiprojectivité entre deux points et B (Chevalier, 2004) L équiprojectivité permet de déterminer la norme de la vitesse de B connaissant la vitesse de et la direction de la vitesse de B (Figure I.7). La longueur de la projection du vecteur vitesse V (, S/R) sur la droite (B) est notée a. Pour construire le vecteur vitesse V (B, S/R), il suffit de porter au point B la longueur a sur la droite (B) et de mener la perpendiculaire à (B) au point b. L intersection de cette perpendiculaire avec la direction de V (B, S/R) permet de construire V (B, S/R). Second cas Si on applique ensuite l équiprojectivité entre les points et C d une part et B et C d autre part, on obtient l intégralité du vecteur vitesse V (C, S/R). L extrémité du vecteur V (C, S/R) se trouve à l intersection de la perpendiculaire à (C) en c et de la perpendiculaire à (BC) en c.

31 24 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Figure I.8 Equiprojectivité entre trois points, B et C (Chevalier, 2004) I.6.3 I Centre instantané de rotation Définition Soit I un point particulier se trouvant sur la perpendiculaire en de V (, S/R) et sur la perpendiculaire en B de V (B, S/R) (Figure II.8). Compte tenu de la propriété d équiprojectivité, il est clair que la vitesse du point I considéré comme un point de S, est nulle par rapport à R. On appelle ce point le Centre Instantané de Rotation (C.I.R.) du mouvement de S par rapport au plan de référence. On a V (I, S/R) = 0 Figure I.9 Construction du Centre Instantané de Rotation de S par rapport à R. I est l intersection des perpendiculaires au vitesses (Chevalier, 2004)

32 I.6. CINÉMTIQUE GRPHIQUE 25 Remarque I.11 Tout se passe comme si le solide S tournait autour du point I SR à l instant de la figure. Le C.I.R. n occupe pas une position fixe dans le temps, ni par rapport au plan de référence ni par rapport au solide lui-même. Sa définition est instantanée et son utilisation n a d intérêt que pour une configuration donnée. Remarque I.12 Notons que le C.I.R. est caractéristique d un repère par rapport à un autre. Dans un système plan constitué de N solides S i en mouvement par rapport R 0, il existe évidemment N C.I.R. que nous pourrons noter I i0. Il existe également, tous les C.I.R. des référentiels liés au solide S i par rapport au repère lié au solide S j que l on peut noter I ij. Bien sûr, le C.I.R. I kj est confondu avec le C.I.R. I jk. I Propriétés Propriété I.2 Si l on connaît deux supports de vecteurs vitesses V (, S/R) et V (B, S/R) respectivement aux points et B dans le mouvement de S par rapport à R. lors le C.I.R., noté I SR, du mouvement de S par rapport à R est l intersection de la perpendiculaire à V (, S/R) en et de la perpendiculaire à V (B, S/R) en B. Propriété I.3 La vitesse d un point P dans le mouvement du solide S par rapport à R est proportionnelle la distance à la distance P I SR et à la vitesse de rotation ωs/r dans le mouvement de S par rapport R. V (P, S/R) = ω S/R P ISR Exemple : l hélice d avion Figure I.10 Hélice d avion La vitesse des points B et C dans le mouvement de l hélice par rapport à l avion ne peuvent pas s obtenir à partir de la vitesse V (, helice/avion) par équiprojectivité car

33 26 CHPITRE I. CINÉMTIQUE la projection de V (, helice/avion) sur la droite (B) est nulle. Mais elle s obtient très facilement à l aide du triangle caractérisant le champ de vitesse. Ce triangle s obtient à partir de la droite (I) et de la droite (I ) où I est le C.I.R. dans le mouvement de l hélice par rapport à l avion et l extrémité du vecteur vitesse V (, helice/avion) =. La vitesse de rotation de l hélice par rapport à l avion se calcul aisément ω = I [m] [m.s 1 ] = [ rad.s 1] Propriété I.4 Si les solides S 1 et S 2 sont en liaison pivot d axe (O, z ) alors O = I S1 S 2 est le centre instantané de rotation dans le mouvement S 1 par rapport à S 2. Propriété I.5 Si les solides S 1 et S 2 sont en liaison appui-ponctuel de normale (, x ) et qu il y a roulement sans glissement alors V (, S/R) = 0 donc = I S1 S 2 est le centre instantané de rotation dans le mouvement S 1 par rapport à S 2. Propriété I.6 Si le solide S 2 est en translation par rapport à S 1 alors le C.I.R., I 12, est porté à l infini. Le vecteur vitesse est le même en tout point du solide de S 2. I.6.4 Théorème des 3 plans mobiles Notons que les C.I.R. n occupent pas des positions quelconques les uns par rapport aux autres. En effet, si l on considère 3 solides S 0, S 1 et S 2, on peut définir trois C.I.R. notés I 10, I 20 et I 21. lors on a I 10, I 20 et I 21 sont alignés De plus, les vitesses de rotations sont inversement proportionnelles aux distances entre les différents C.I.R. ω 2/0 = I 21I 10 ω 1/0 I 21 I 20 Références Chevalier, L. (2004). Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Ellipses. Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.

34 I.7. CE QU IL FUT RETENIR 27 I.7 Ce qu il faut retenir Trajectoire, vecteur position La trajectoire du point M dans le repère R est le lieu des positions successives occupées par M dans R lorsque le temps varie La trajectoire est définie par un vecteur position OM (t), où O est fixe dans R. Vecteur vitesse et accélération La vitesse du point M par rapport au référentiel R d OM [ V (M/R) = ] m.s 1 dt R avec O fixe dans le repère R. L accélération du point M par rapport au référentiel R d V (M/R) a (M/R) = = d2 OM [ ] m.s 2 dt dt 2 R R avec O fixe dans le repère R. Changement de repère pour la dérivée d U = d U + Ω (R dt dt 0 /R) U R R0 Le vecteur taux de rotation Ω (R 0 /R) de R 0 par rapport à R Ω (R0 /R) = [ α ] i k i rad.s 1 i où (α i, ) k i définissent toutes les rotations permettant de passer de R à R 0 Remarque I.13 Bien que la dérivée vectorielle U s effectue par rapport à un repère R donné, il est néanmoins déconseillé de projeter U dans R avant ou après avoir effectué la dérivation. Remarque I.14 Généralement pour calculer la dérivée d un vecteur U, on utilise la formule de changement de repère, en choisissant un repère R 0 tel que d U = 0 dt R0

35 28 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Composition des vitesses Vitesse d entraînement du point M dans le mouvement du solide S 2 par rapport au solide S 1 V (M, S2 /S 1 ) = V (M/S 1 ) V (M/S 2 ) Compositions des vitesses relatives et des vecteurs taux de rotations Ω (Rn /R 0 ) = Ω (R n /R n 1 ) + + Ω (R 1 /R 0 ) V (M, Rn /R 0 ) = V (M, R n /R n 1 ) + + V (M, R 1 /R 0 ) Champ de vitesse d un solide Torseur cinématique {V S2/S1 Relation de changement de point = { Ω (S2 /S 1 ) V (, S2 /S 1 ) V (B, S2 /S 1 ) = V (, S 2 /S 1 ) + Ω (S 2 /S 1 ) B Cinématique d un système de solide Condition de roulement sans glissement, soit I le point de contact de deux solide S 1 et S 2 V (I, S2 /S 1 ) = 0 Fermeture géométrique Fermeture cinématique {V N/0 {V N/N 1 = + OO = 0 {V N 1/N {V 2/1 + {V 1/0 ttention cette relation est vraie si tous les torseurs sont exprimés en même point M. Le choix du point du point M est fait afin de minimiser les calculs. Nombre de fermetures de chaîne cinématique indépendantes γ est appelé le nombre cyclomatique γ = N liaison N solide + 1

36 I.7. CE QU IL FUT RETENIR 29 Cinématique d un système de solide Mobilité du système m m = I c E c où I c est le nombre d inconnues cinématiques, il se calcul en sommant les nombres de ddl associés à chacune des liaisons. E c est le nombre d équation cinématique, qui vaut E c = 6γ (cas 3D) et E c = 3γ (cas 2D) Résolution d un problème de cinématique 1. Identifier les solides, identifier les liaisons. 2. Identifier le nombbre de degrés de liberté et le paramétrage qui est associé. 3. Tracer les figures de calcul associées au paramétrage. 4. Tracer le graphe de structure. 5. Calculer le nombre de chemins fermés indépendants. 6. Expliciter les équations de fermeture soit par fermeture cinématique ou soit par fermeture géométrique. Cinématique graphique (Cas 2D) Equiprojectivité (Figures I.7 et I.8) V (, S/R). B = V (B, S/R). B Centre Instantané de Rotation (CIR) du mouvement de 1 par rapport 0, I 10 (Figure II.8) V (I10, 1/0) = 0 La vitesse en du point P dans le mouvement de 1 par rapport à 0 est perpendiculaire à la droite (P I 10 ) et sa norme vaut V (P, 1/0) = ω 10. P I 10 Les centres des liaisons pivots et les points de contact des liaisons appui-ponctuel, où il y a roulement sans glissement, sont des CIR Soient trois solides 1, 2 et 3 alors les trois CIR I 10, I 20 et I 21 sont alignés

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38 Chapitre -II- Statique Table des Matières II.1 ctions mécaniques II.1.1 Définition II.1.2 Représentation II.1.3 ctions volumiques II.1.4 ctions de contact II Répartition surfacique de force II Répartition linéique de force II.1.5 Moment d action mécanique et couple II Définition II Torseur des actions mécaniques II Torseur couple II Moment d une répartition de force de contact II.1.6 ctions de liaison II Expressions des torseurs d inter-efforts II.2 Principe fondamentale de la statique II.2.1 Efforts extérieurs à un système matériel II.2.2 Enoncé II.2.3 Théorème des actions réciproque II.2.4 Cas particuliers II.3 Loi du frottement II.3.1 nalyse du contact ponctuel entre deux solides II.3.2 Loi de Coulomb II.4 Utilisation du principe fondamentale de la statique II.4.1 Degré d hyperstatisme II.4.2 Systèmes isostatiques et hyperstatiques II.4.3 Démarche de résolution des problèmes II.5 Statique graphique

39 32 CHPITRE II. STTIQUE II.5.1 Exemple 1 : Solide soumis à trois forces II.5.2 Exemple 2 : Solide soumis à quatre forces II.5.3 Exemple 3 : Encore un solide soumis à quatre forces II.6 Ce qu il faut retenir

40 II.1. CTIONS MÉCNIQUES 33 II.1 II.1.1 ctions mécaniques Définition On appelle action mécanique, toute cause physique susceptible de maintenir ou de modifier les mouvements d un corps ou de déformer un corps. Il existe deux grandes catégories d actions mécaniques : les actions à distance liées à des champs de force (ex : champ d accélération de la pesanteur ou champ électromagnétique) ; les actions de contact (ex : action de la main sur la poignée d une porte, pression de l eau sur un plongeur). Ces actions s exercent soit sur un volume (ex : la pesanteur), soit sur une surface (ex : contact entre deux solides) ou encore sur une ligne (ex : dans les problèmes en deux dimensions). Remarque II.1 Deux solides S 1 et S 2 sont dits en interaction si une modification de position de l un entraîne une modification de position de l autre. Quatre actions élémentaires sont responsables de tous les phénomènes physiques observés dans l univers, chacune se manifestant par une force dite force fondamentale. Ce sont : l interaction nucléaire forte l interaction nucléaire faible l interaction électromagnétique la gravitation. Les deux premières ont un rayon d action comparable aux dimensions atomiques ( = m). Les deux dernières ont un rayon d action beaucoup plus grand et se manifestent sous la forme d actions à distance. ux échelles microscopiques, la gravitation est la plus faible des quatre interactions fondamentales de la physique ; elle devient dominante au fur et à mesure que les échelles de distance augmentent. II.1.2 Représentation La modélisation d une action mécanique requiert généralement la précision : de la cause de l action ; de la nature de l action ; du point d application P de l action mécanique ; de l élément de matière qui subit l action. En mécanique des solides, toutes les actions mécaniques peuvent être modélisées par un vecteur lié F. Un vecteur lié F se caractérise par quatre éléments : une direction un sens une norme un point d application

41 34 CHPITRE II. STTIQUE II.1.3 ctions volumiques Interaction gravitationnelle La gravitation est le phénomène d interaction physique à l origine de l attraction réciproque des masses. La force gravitationnelle (ou loi de Newton) exercée par le point matériel P 1 de masse m 1 sur le point matériel P 2 de masse m 2 a pour : Direction la droite (P 1 P 2 ) Sens vers le point P 1 Norme G 0 m 1 m 2 Point d application P 2 La force gravitationnelle peut s écrire P 1 P 2 F g (P 1 P 2 ) = G 0 m 1 m 2 3 P 1 P 2 ou G 0 est la constante de gravitation universelle qui vaut 6, m 3 kg 1 s 2. Force de pesanteur, le poids La loi de Galilée (accélération de la pesanteur g) se retrouve à partir de la loi de Newton. En prenant, en première approximation P 1 P 2 = RT, avec R T égal au rayon terrestre et m 1 égale à la masse de la Terre, on en déduit : m 1 g = G 0 2 = 9.81 ms 2 P 1 P 2 On en déduit que l action mécanique gravitationnelle agissant sur tout système Σ de masse m est de Direction la normal unitaire à la surface de la terre (la verticale), z Sens Norme Point d application vers le sens de la terre, z mg le centre de gravité du système Σ, G d où l expression du poids P agissant sur le système Σ de masse m, au point G P (T erre Σ) = mg z ction à distance En règle générale, les actions mécaniques à distance comme la pesanteur ou les forces électromagnétiques peuvent être modélisée par une densité volumique de force f v (P ) en tout point P. Elle s exprime en Newton par mètre cube [N.m 3 ]. l aide de cette définition l action à distance F v s appliquant sur le système Σ F v = f v (P ) dv Σ Bien entendu, la dimension physique de la résultante des actions mécaniques volumique, F v, est le Newton [N].

42 II.1. CTIONS MÉCNIQUES 35 II.1.4 ctions de contact L action de contact sur une partie δ c S d un solide S est modélisée par une densité vectorielle p (M) normale à la surface δ c S au point M et dirigée vers l intérieur de la matière. La norme de p (M) dépends généralement du point M. La densité vectorielle p (M) est appelée répartition de charge ou pression de contact. II Répartition surfacique de force Répartition uniforme z F = L1 L 2 p 0 z p 0 = z y G y L 1 x L 2 x Figure II.1 Répartition uniforme de pression Une répartition sufacique uniforme de pression contact p (M) = p 0 z est constant pour tout point M de la surface semblable (Figure II.1). La dimension physique de p 0 est des Newton par mètres carré [N.mm 2 ], c est-à-dire des Pascal [P a]. Il est intéressant de noter que p 0 est homogène à une pression, elle peut donc être exprimée en bar [bar = 10 5 P a]. L action mécanique d une répartition uniforme de pression de contact d intensité p 0 agissant sur une surface plane δs est de Direction normal à la surface de contact, z Sens dirigée vers l intérieur de la matière, z Norme volume de la répartition de charge, p 0 δs = L 1 L 2 p 0 Point d application le centre de gravité la surface δs, G Répartition quelconque Pour une répartition de charge quelconque sur une surface gauche δs, la direction, le sens et la norme de la force résultante F c sont donnés par l intégrale : Fc = p (M) ds M δs Le point d application G de F c est le point qui équilibre la répartition p (M), c est-àdire tel que le moment de F c en G est nul. G est le centre de gtravité du volume défini

43 36 CHPITRE II. STTIQUE par la répartition de charge. En définitive l action de contact sur une surface quelconque est définie par Direction celle de F c Sens Norme Point d application ce-lui de F c F c G, centre de gravité du volume de défini par la répartition de charge II Répartition linéique de force Dans le cas d une répartition linéique de force p (M) a pour dimension physique des Newton par mètres [N.mm 1 ] Répartition uniforme F = Lp0 y y y L p 0 x B = C B x Figure II.2 Répartition linéique de charge uniforme Dans le cas d une répartition linéique uniforme de force de contact p (M) = p 0 y pour tout M [, B] (Figure II.2). L action mécanique d une répartition linéique de force uniforme d intensite p 0 agissant sur le segment [, B] est de Direction normal à la surface de contact, z Sens Norme Point d application dirigée vers l intérieur de la matière, z ire de la répartition de charge, p 0 L C (le milieu de [, B]) Répartition triangulaire Dans le cas d une ( répartition ) linéique triangulaire de force de contact (Figure II.3), p (M) = x x pmax y x B x pour tout M (x, y, z) [, B]. L action mécanique d une répartition linéique triangulaire agissant sur le segment [, B] est de

44 II.1. CTIONS MÉCNIQUES 37 F = Lp max 2 y y y p max = x x L B 2L C L 3 3 B Figure II.3 Répartition linéique de charge triangulaire Direction Sens Norme Point d application normal à la surface de contact, z dirigée vers l intérieur de la matière, z ire de la répartition de charge, 1p 2 maxl C, tel que C = 1 B 3 Répartition quelconque Pour une répartition quelconque sur une courbe de l espace L (s) paramétrée par l abscisse curviligne s, la direction, le sens et la norme de la force résultante F c sont donnés par l intégrale : Fc = p (M) ds M L Le point d application G de F c est le point qui équilibre la répartition p (M), c est-àdire tel que le moment de F c en G est nul. G est également le centre de gravité de la surface définit par la répartition de charge. En définitive l action de contact sur une surface quelconque est définie par Direction celle de F c Sens Norme Point d application ce-lui de F c F c G, centre de gravité de la répartition de charge II.1.5 Moment d action mécanique et couple II Définition Une action mécanique est un vecteur lié qui est un vecteur attaché à un point P de l espace. Ce point étant le point d application de la force. On appelle moment d une force appliquée en P par rapport à un point, la grandeur vectorielle ( M, ) F définie par ( M, ) F = F P Remarque II.2 Du point de vue de la modélisation des actions mécaniques

45 38 CHPITRE II. STTIQUE une force est généralement associée à une action susceptible de créer un mouvement de translation ; un moment est généralement associé à une action susceptible de créer un mouvement de rotation. Remarque II.3 Dans le cas d un problème plan, le moment en dû à une force lié au point P s exerçant sur un solide S est égale à ( M, ) F = ± P F z Si la force F tends à faire tourner le solide S dans le sens trigonométrique alors le moment est positif. l inverse, si la force tends à faire tourner le solide dans le sens horaire alors le moment est négatif. II Torseur des actions mécaniques Comme en cinématique, les actions mécaniques peuvent être caractérisées par un torseur statique. Par exemple, l action d un solide S 1 sur un solide S 2 s écrit au point { R S1 S {S1 S2 = 2 M (, S 1 S 2 ) Le vecteur R S1 S 2 est la résultante du torseur et le vecteur M (, S 1 S 2 ) est le moment au point dû à l action de S 1 sur S 2. Pour trouver l effet de l action de S 1 sur S 2 en point B, il suffit de transporter le torseur en B {S 1 S 2 à l aide de la formule suivante = B { R S1 S 2 M (B, S 1 S 2 ) M (B, S 1 S 2 ) = M (, S 1 S 2 ) + R S1 S 2 B II Torseur couple Le torseur couple est un torseur d un inter-efforts qui a une résultante nulle : {T Couple = { 0 Le torseur couple est invariant par changement de point. Dans la pratique, il sert à modéliser l action : d un moteur ; d un engrenage sur son arbre ; de serrage pour une vis ou un boulon. C

46 II.1. CTIONS MÉCNIQUES 39 II Moment d une répartition de force de contact Répartition surfacique Le moment au O produit par une répartition surfacique de force de contact p (M) est défini par une intégrale qui correspond à la somme des moments au point O produit par les forces élémentaires p (M) liée au point M M (O, p ) = M δs OM p (M) ds Le processus d intégration est le même que celui utiliser pour obtenir la résultante des efforts de pression. Le torseur des efforts de pression au point O sur un solide S 1 est donc { p (M) ds {P ression S 1 = M δs OM p (M) ds O M δs On montre également que se torseur peut s écrit { Fc {P ression S 1 = Fc GO avec F c la résultante des efforts de contact et G le point équilibrant la répartition de pression de contact. Répartition linéique De la même manière le torseur dû aux actions de contacts linéique au point O sur un solide S 1 est donc { p (M) ds {P lineique S 1 = M L OM p (M) ds O O M L On montre également que se torseur peut s écrit { Fc {P lineique S 1 = Fc GO avec F c la résultante des efforts de contact et G le point d application de F c. O II.1.6 ctions de liaison Torseur des inter-efforts Le torseur des inter-efforts du solide S 2 sur le solide S 1 est le torseur complémentaire (ou dual) du torseur cinématique des vitesses relatives de S 1 par rapport à S 2. On le note { R { S2 S {S 2 S 1 = 1 (X 21, Y 21, Z 21 ) = M (P, S 2 S 1 ) (L 21, M 21, N 21 ) P P ( x, y, z )

47 40 CHPITRE II. STTIQUE Le vecteur R S2 S 1 correspond à la force transmissible par la liaison du solide S 2 sur le solide S 1. Le vecteur M (P, S 2 S 1 ) correspond au couple transmissible du solide S 2 sur le solide S 1 par la liaison au point P, il dépend évidemment du point P choisi. Liaisons parfaites Une liaison parfaites est une liaison idéale qui n a ni jeux ni frottement. Dans ces conditions, il existe une composante d effort dans le torseur d inter-efforts que si le degré de liberté correspondant dans le torseur cinématique est bloqué. Exemple Figure II.4 Pression de contact dans une liaison pivot sans frottement et sans jeux (Pommier and Berthaud, 2010) S il n y a pas de frottement, en chaque point, l action de contact surfacique est normale au plan tangent au contact. Dans un guidage en rotation, toutes les actions sont dirigées vers le centre O de la liaison. Le moment des action de contact par rapport au point O est nul (Figure II.4). C est pourquoi on ne considère que deux composantes de force et pas de moment en O dans ce type d articulation pour un problème plan : {S 2 S 1 = O { X 21 x + Y21 y 0 De façon générale, une liaison parfaite est une liaison qui ne dissipe pas de puissance. La puissance P int se définit comme le comoment d un torseur des efforts et d un torseur

48 II.1. CTIONS MÉCNIQUES 41 cinématique : {V S1/S2 {S 2 S 1 P int = = 0 P P = Ω (S 1 /S 2 ). M (P, S 2 S 1 ) + V (P, S 1 /S 2 ). R (S 2 S 1 ) La puissance dissipé P int est indépendante du point choisi pour exprimer le torseurs des inter-efforts et le torseur cinématique. Néanmoins, il est impératif d exprimer ces torseurs au même point P. Dans ces conditions les composantes des deux torseurs sont complémentaires. Ceci est un résultat général qui donne, pour des liaisons plus complexes, des information sur les efforts transmissibles en fonction des mouvements autorisés. II Expressions des torseurs d inter-efforts Liaison encastrement (0 ddl) z { { 1 2 = (X 12, Y 12, Z 12 ) (L 12, M 12, N 12 ) (,, ) y Liaison pivot (1 ddl) z z { { 1 2 = (X 12, Y 12, Z 12 ) (0, M 12, N 12 ) ( x,, ) y x Liaison glissière (1 ddl) z z { { 1 2 = (0, Y 12, Z 12 ) (L 12, M 12, N 12 ) ( x,, ) y x

49 42 CHPITRE II. STTIQUE Liaison hélicoïdale (1 ddl) { 1 2 = { (X 12, Y 12, Z 12 ) ( px 12, M ) 2π 12, N 12 ( x,, ) z y x z avec p le pas Liaison rotule à doigt (2 ddl) z { { 1 2 = (X 12, Y 12, Z 12 ) (L 12, 0, 0) ( x,, ) y Liaison pivot glissante (2 ddl) z z { { 1 2 = (0, Y 12, Z 12 ) (0, M 12, N 12 ) ( x,, ) y x Liaison rotule (3 ddl) z { { 1 2 = (X 12, Y 12, Z 12 ) (0, 0, 0) (,, ) y Liaison appui-plan (3 ddl) z { { 1 2 = (0, 0, Z 12 ) (L 12, M 12, 0) (,, z ) y

50 II.2. PRINCIPE FONDMENTLE DE L STTIQUE 43 Liaison linéaire annulaire (4 ddl) z z { { 1 2 = (0, Y 12, Z 12 ) (0, 0, 0) ( x,, ) y x Liaison linéaire rectiligne (4 ddl) z z { { 1 2 = (0, 0, Z 12 ) (0, M 12, 0) ( x, y, z ) y x Liaison appui-ponctuel (5 ddl) z { { 1 2 = (0, 0, Z 12 ) (0, 0, 0) (,, z ) y II.2 Principe fondamentale de la statique II.2.1 Efforts extérieurs à un système matériel Soit un système matériel Σ, constitué de N solides indéformables. On appelle torseur des forces extérieures à Σ, le torseur résultant de toutes les actions mécaniques qui s exercent de l extérieur de Σ (noté Σ) sur Σ. Les efforts qui agissent entre deux solides de Σ sont des efforts intérieurs au système. Le torseur des efforts extérieurs à Σ se note : { { F ( ) Σ Σ II.2.2 Enoncé Σ Σ = 0 M ( 0, Σ Σ ) Nous ne nous étendrons pas sur la notion de référentiel Galiléen. Il faut savoir que, compte tenu de l expansion de l Univers, un tel référentiel n existe pas. On appelle donc abusivement référentiel Galiléen tout référentiel immobile à l échelle du système étudié. Dans le cas des sciences de l ingénieur le référentiel terrestre ou géocentrique sera considéré Galiléen.

51 44 CHPITRE II. STTIQUE Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.) Pour qu un système de solide indéformable Σ initialement au repos dans un référentiel Galiléen, soumis à des actions mécaniques, reste en équilibre, il faut que le torseur des efforts extérieurs à Σ soit nul : { { Σ Σ = 0 Ce principe est en fait un cas particulier du Principe Fondamentale de la Dynamique. On en déduit deux théorèmes : Théorème de la résultante Théorème du moment résultant F ( Σ Σ ) = 0 M ( O, Σ Σ ) = 0 II.2.3 Théorème des actions réciproque Enoncé Soient deux solides S 1 et S 2 qui sont liaisons alors {S 1 S 2 = {S 2 S 1 Démonstration On isole l ensemble de solide Σ = {S 1 S 2. Le Principe Fondamental de la Statique appliqué à Σ conduit à : { { Σ Σ = 0 or les actions extérieures à Σ sont la somme de deux contributions : Les actions extérieures à Σ s appliquant sur S 1 {Σ S 1 Les actions extérieures à Σ s appliquant sur S 2 {Σ S 2

52 II.2. PRINCIPE FONDMENTLE DE L STTIQUE 45 donc on a {Σ S 1 + {Σ S 2 On isole le solide S 1. Le bilan des actions mécaniques extérieurs à S 1, nous amène à considérer : Les actions de S 2 sur S 1 {S2 S1 = { 0 Les actions extérieures à Σ = {S 1 S 2 {Σ S 1 Le P.F.S. implique que {Σ S1 = {S 2 S 1 On isole le solide S 2 On obtient de façon analogue que {Σ S 2 = {S 1 S 2 En combinant les trois expressions obtenues par l application du P.F.S. sur chacun des systèmes isolés, on obtient la relation recherchée { {S 2 S 1 {S 1 S 2 soit {S 2 S 1 + = = {S 1 S 2 0 II.2.4 Cas particuliers Solides soumis à deux forces Si un système Σ est soumis à deux forces en et B, le P.F.S. au point O, nous dit : { F + F B = 0 O F + OB FB = 0 Si on se place en pour exprimer l équation de moment, on en tire : B F B = 0 B et F B sont colinéaires. Règle II.1 Un solide ou un ensemble de solides est en équilibre sous l action de deux forces si ces deux forces sont directement opposées et de même module.

53 46 CHPITRE II. STTIQUE Figure II.5 Solides soumis à deux forces (Chevalier, 2004) Solides soumis à trois forces Si un système de solides Σ est soumis à trois forces, le P.F.S. nous dit : { F + F B + F C = 0 O F + OB FB + OC F C = 0 La relation de moment est vraie quel que soit le point O. Si on l écrit au point pour, on en tire : B F B = C F C = 0 Le vecteur de gauche est orthogonal au plan formé par B et F B, le vecteur de droite est orthogonal au plan formé par C et F C donc F B et F C sont dans le plan (BC). Par suite l équation de résultante nous dit que F est également dans le plan (BC). Si on appelle I le point où les directions de F B et F C se coupent, on a : I F = 0 I et F sont donc colinéaires. Dans le cas où les directions de F B et F C sont parallèles l équations de résultante projeter sur vecteur n orthogonal à F B et F C donnent : F. n = 0 donc F, F B et F C sont colinéaires. Règle II.2 Un solide est en équilibre sous l action de trois forces extérieures si ces trois forces sont coplanaires, concourantes ou parallèles et que leur somme géométrique est nulle. II.3 Loi du frottement Les lois de frottement (ou loi de Coulomb) sont utiles en mécanique lorsqu on ne peut plus raisonnablement faire l hypothèse de frottement négligeable. On introduit

54 II.3. LOI DU FROTTEMENT 47 Figure II.6 Solides soumis à trois forces (Chevalier, 2004) alors (en plus de des actions de liaison vérifiant que la puissance dissipée P int est nulle dans la liaison) de nouvelles actions mécaniques qui s opposent aux mouvements des pièces en contact. Si on fait un bilan des équations et des inconnues, on constate alors un déséquilibre qui nous empêche de résoudre le problème. Il faut alors écrire des équations supplémentaires, ce sont les lois de Coulomb. Il s agit d un modèle de frottement simple pour un contact sec ou onctueux. II.3.1 nalyse du contact ponctuel entre deux solides Lors du contact en un point I, entre deux solides S 1 et S 2, on peut caractériser le déplacement relatif par trois mouvements de base : le glissement, le roulement et le pivotement. Nous ferons l hypothèse que S 1 et S 2 sont deux solides, et que l un d entre eux au moins est limité par une surface régulière. Le contact a lieu en un point I, il existe donc un plan tangent commun (Π) aux deux solides. Ce plan est caractérisé par un vecteur unitaire n 12 normal au plan tangent commun et dirigé de S 2 vers S 1 (car c est S 1 que l on isolera dans cette étude). La rotation de S 1 par rapport à S 2 se décompose autour de la normale : c est le pivotement ; et dans le plan (Π) : c est le roulement. u niveau du point I, un déplacement de S 1 par rapport à S 2 est possible : c est le glissement, il a lieu dans le plan tangent. Nous avons vu dans la première partie du cours (description du mouvement) que le glissement est caractérisé par un vecteur de glissement de S 1 par rapport S 2 en I. Chacun de ces mouvements de base de S 1 par rapport à S 2 est freiné par des efforts de S 2 sur S 1, si on abandonne l hypothèse de contact parfait. Dans la pratique lorsqu on isole le solide S 1, les frottements résistants au roulement et au pivotement sont faibles devant le frottement résistant au glissement. On les néglige donc en première approximation. L action de S 2 sur S 1, notée F (S 2 S 1 ) se décompose en : une force T 21 dans le plan tangent commun (Π) qui s oppose au glissement de S 1 par rapport à S 2 ; une force N 21 normale au plan tangent commun dirigée vers l intérieur de la

55 48 CHPITRE II. STTIQUE Figure II.7 Contact en deux solides (Chevalier, 2004) matière, soit suivant le vecteur n 12 II.3.2 Loi de Coulomb Si le contact est ponctuel et si on néglige le frottement de roulement et de pivotement, le torseur des efforts de S 2 sur S 1 est {S 2 S 1 = I { N 21 + T 21 0 N 21 = N 21 n 21 est l effort normal : il est forcément dirigé vers l intérieur de la matière. T 21 = T 21 t est la composante tangentielle de l effort. S il existe un mouvement de glissement de S 1 par rapport à S 2 alors l action tangentielle de contact sera opposée au sens de la vitesse de glissement de S 1 par rapport à S 2. De plus, on observe expérimentalement que dans le cas d un frottement sec ou légèrement lubrifié T 21 est proportionnel au module de N 21, le rapport est noté f d : c est le coefficient de frottement dynamique. Il dépend du couple de matériaux de S 1 et S 2, de l état de surface, d une éventuelle lubrification mais ne dépend ni de la force normale, ni de la vitesse de glissement. Il est bien sûr toujours positif. On traduit cette observation par les équations vectorielles suivantes ; ce sont les lois de Coulomb :

56 II.3. LOI DU FROTTEMENT 49 Si il y a glissement au contact V (I, 1/2) 0 alors T 21 = f d.n 21 V (I, 1/2) T 21 = 0 V (I, 1/2). T 21 < 0 La première équation nous donne le module de l effort tangentielle, la seconde équation nous donne sa direction (coliniaire à la vitesse de glissement) et la troisième équation son sens (opposée à la vitesse de glissement). Si il n y a pas glissement au contact V (I, 1/2) = 0 alors T 21 f.n 21 Les deux dernières équations ont disparues et ne nous donnent plus de renseignements sur la direction et le sens de l effort tangentiel. De plus la première équation devient une inégalité et on dit que l effort est compris dans le cône de frottement de sommet I et de demi-angle au somment ϕ qui est relié au coefficient d adhérence f (Figure??) : tan ϕ = f Figure II.8 Cône de frottement (Chevalier, 2004) Remarque II.4 Le coefficient de frottement f est différent du coefficient de frottement dynamique f d, on a f > f d Le coefficient f correspond en fait à la valeur de f d au démarrage du mouvement. Ceci traduit le fait que la force tangentielle T 21 nécessaire pour créer le glissement de 1 par

57 50 CHPITRE II. STTIQUE rapport à 2 est supérieure à celle nécessaire pour l entretenir. Le tableau II.1 donne différentes valeurs pour des couples de matériaux usuels. Matériau 1 Matériau 2 f f d cier cier cier Fonte cier Bronze cier Téflon cier Nylon 0.35 Fonte Bronze 0.2 Bois Bois à 0.2 Métal Bois 0.6 à à 0.2 Métal Glace 0.02 Pneu voiture Route Table II.1 Valeurs indicatives des coefficients d adhérence f et de frottement f d Remarque II.5 La statique est l étude des systèmes au repos, en équilibre, nous sommes donc toujours dans le mauvais cas d application de lois de Coulomb. Pour pouvoir résoudre les problèmes, nous ferons les hypothèses ci-dessous. Grâce à ces deux hypothèses, qu il ne faut jamais perdre de vue, on peut expliciter les loi de Coulomb. Hypothèse 1 En statique, dès qu il existe du frottement, on étudie le cas limite du glissement commençant, donc T 21 = fn 21 Hypothèse 2 L action tangentielle au glissement commençant possède la même direction que l action tangentielle lors du mouvement. Pour résoudre un problème, on doit définir une vitesse supposée de glissement V (I, 1/2) permettant de définir la direction et le sens de l effort tangentiel V (I, 1/2). T 21 < 0 Remarque II.6 Le cas d un contact parfait correspond à un coefficient de frottement nul. II.4 Utilisation du principe fondamentale de la statique Lors de l étude statique d un ensemble matériel Σ, la première des choses à faire est de modéliser. Ce travail est généralement fait pour vous lors d exercices ou de devoirs, mais il est important de ne pas perdre de vue ce point. L ingénieur confronté à un problème réel n aura plus la possibilité de se raccrocher à un énoncé précis pour faire ses calculs, et la justesse de ses résultats dépendra de la pertinence de sa modélisation.

58 II.4. UTILISTION DU PRINCIPE FONDMENTLE DE L STTIQUE 51 Le système matériel est modélisé par un ensemble fini de N solides indéformables. La géométrie et les données de masses sont mesurables donc, connues. Les actions mécaniques vont être modélisées par des forces et des couples. Il convient à ce niveau, de distinguer les forces connues (ex : la pesanteur, la poussée de tel ou tel actionneur, l effort de serrage imposé par l utilisateur) et les forces inconnues (ex : réaction d un support, efforts dans une liaison entre deux pièces,...). On fait donc un bilan, c està-dire, on compare le nombre d inconnues statiques I s du système avec le nombres d équations statique E s disponibles par application du P.F.S. aux différents solides du système. II.4.1 Degré d hyperstatisme Le résultat de ce bilan s exprime à l aide du degrés d hyperstatisme h h = I s E s Le nombre d inconnues statiques I s s obtient en dénombrant les inconnues de liaisons. Le nombre d équations statiques dépend du nombre de solides que l on peut isoler et du degrés de mobilité du système m. Le nombre de solides que l on peut isoler est (N 1), car on ne peut pas isoler le bâti, d où l expression { 6 (N 1) m en 3D E s = 3 (N 1) m en 2D Il est possible de déterminer le degrés d hyperstatisme à l aide d une analyse cinématique du système qui conduit à l expression suivante { 6γ + m I c en 3D h = 3γ + m I c en 2D avec γ le nombre cyclomatique et I c le nombre d inconnues cinématiques. II.4.2 Systèmes isostatiques et hyperstatiques Une fois que l on a calculé le degrés d hyperstatisme trois cas se présentent à nous : h < 0 Le problème est mal posé, les conditions ou les contraintes imposées sont trop fortes. Le problème n est pas soluble. Il faut revenir sur les hypothèses faites lors de la modélisation, si le problème est concret. S il s agit d un devoir, revoyez votre dénombrement des inconnues et de la mobilité, vous vous êtes sûrement trompé quelque part car h est par définition positif. h > 0 Le système est hyperstatique (trop d inconnues par rapport au nombre d équations). Il faut introduire des lois de comportement supplémentaires, soit lois de frottement (loi de Coulomb), soit des lois de déformation élastique (lois de Hook) qui seront abordées dans le cours de Résistance des Matériaux en deuxième année. h = 0 tout va bien, nous avons autant d équations que d inconnues. Le problème est soluble. Cela n ira peut-être pas tout seul, mais vous partez dans de bonnes conditions. La résolution proprement dite dépend ensuite essentiellement des questions posées.

59 52 CHPITRE II. STTIQUE II.4.3 Démarche de résolution des problèmes Soit un système Σ de N solides soumis à des actions extérieures dont on veut déterminer une inconnue statique ou toutes les inconnues statiques. La démarche à suivre est la suivante 1. Faire le schéma de structure (schéma de liaison) de Σ 2. Rajouter les actions extérieures à Σ (ex : pesanteur, action d un vérin ou d un moteur) 3. Dénombrer les inconnues statiques I s 4. Déterminer la mobilité du système m 5. Calculer le degrés d hyperstatisme h = I S E S + m 6. Si le système est isostatique, on continue la résolution, si il est hyperstatique il ne sert à rien de continuer l étude. 7. Chercher les systèmes à isoler : (a) Repérer les solides ou ensembles de solides soumis à deux forces, ceci permet de déterminer la direction des deux efforts ; (b) Repérer les sous-systèmes de solides S i les plus grands possibles ayant moins de 6 inconnues statiques à déterminer (3 inconnues statiques en 2 dimensions). L intérêt de prendre des sous-systèmes les plus grands possibles est d éviter des calcul inutiles d inconnues de liaison. 8. ppliquer le Principe Fondamental de la Statique aux systèmes ainsi repérés. Penser à utiliser les zéros des liaisons pour projeter vos équations et pour choisir le point d application du théorème du moment. 9. Réitérer les deux dernières opérations 7 et 8 jusqu à la résolution du problème. II.5 Statique graphique Les règles déterminées pour l études de systèmes soumis à deux ou trois forces sont à la base des méthodes graphiques. On utilise la règle des solides soumis à deux forces pour déterminer les directions. II.5.1 Exemple 1 : Solide soumis à trois forces Prenons maintenant l exemple d un solide isolé soumis à trois forces : F, F B et F C appliquées respectivement aux points, B et C, dont nous ne connaissons que F (direction et intensité) et la direction de F B. Nous proposons ci-dessous les étapes de résolution d un tel problème : 1. Une représentation graphique du problème peut être effectuée. Il faut à ce stade faire le bilan des données sur le solide isolé. Nous ne pouvons résoudre un problème graphiquement que si nous avons au plus trois inconnues (ici c est le cas, nos inconnues sont une direction et deux intensités). 2. Grâce aux deux directions connues, on détermine le point de concours I des trois forces. On en déduit donc la direction de la force inconnue F C (représentée par la ligne (IC)).

60 II.5. STTIQUE GRPHIQUE Puisque nous savons que la somme géométrique des trois forces est nulle, nous pouvons représenter un triangle regroupant les trois forces, souvent nommé triangle des forces. Pour cela on trace la force connue F à une échelle choisie. Ensuite, à l extrémité de cette force, on vient représenter les directions de F B et F C par des lignes parallèles à (IB) et (IC) respectivement. Enfin, on trace les vecteurs F B et F C en faisant attention à ce que l extrémité de chaque force rencontre l origine de la suivante. 4. La dernière étape consiste à mesurer les intensités des forces jusque là inconnues ( F B et F C ) à l échelle choisie précédemment. On reporte les résultats obtenus sur le solide isolé. Figure II.9 Résolution graphique d un solide soumis à trois forces (Pommier and Berthaud, 2010)

61 54 CHPITRE II. STTIQUE II.5.2 Exemple 2 : Solide soumis à quatre forces Si les forces ne sont pas parallèles, le nombre maximal d inconnues déterminables, pour chaque équilibre étudié, est de trois. u-delà, la résolution n est pas possible ou ne peut être que partielle. Deux cas principaux se présentent, chacun amenant des résolutions graphiques différentes : une direction et deux modules inconnus ou trois modules inconnus. Sur les quatre forces, deux présentent des éléments inconnus et les deux autres (ou plus) sont complètement connues. Méthode de résolution : déterminer la résultante de toutes les forces connues afin de se ramener à trois forces concourantes et au cas de résolution du paragraphe précédent. Figure II.10 Résolution graphique d un solide soumis à quatre forces (Fanchon, 1998)

62 II.5. STTIQUE GRPHIQUE 55 II.5.3 Exemple 3 : Encore un solide soumis à quatre forces Toutes les directions des forces sont connues, une seule force sur les quatre est complètement connue. Méthode de résolution ou méthode de Culman : mettre les quatre forces en deux groupes de deux forces concourantes (points de concours I et J) afin de se ramener à deux résultantes R 1 et R 2 égales et opposées, ayant même ligne d action (IJ). Figure II.11 Résolution graphique d un solide soumis à quatre forces par la méthode du Culman (Fanchon, 1998) Références Chevalier, L. (2004). Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Ellipses. Fanchon, J.-L. (1998). Guide de Mécanique : Sciences et technologies industrielles. Dunod. Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.

63 56 CHPITRE II. STTIQUE II.6 Ce qu il faut retenir ctions mécaniques ction du poids Direction Sens Norme Point d application ctions de contact z la normal unitaire à la surface de la terre (la verticale), z vers le sens de la terre, z mg le centre de gravité du système Σ, G F = L1 L 2 p 0 z p 0 = z y G y L 1 x L 2 x F = Lp0 y y y L p 0 x B = C B x F = Lp max 2 y y y p max = x x L B 2L C L 3 3 B

64 II.6. CE QU IL FUT RETENIR 57 Principe fondamentale de la statique Enoncé Pour qu un système de solide indéformable Σ initialement au repos dans un référentiel Galiléen, soumis à des actions mécaniques, reste en équilibre, il faut que le torseur des efforts extérieurs à Σ soit nul : { { Σ Σ = 0 Théorème des actions réciproque Soient deux solides S 1 et S 2 qui sont liaisons alors {S 1 S 2 = {S 2 S 1 Solides soumis à deux forces Un solide soumis ou un ensemble de solides est en équilibre sous l action de deux forces si ces deux forces sont directement opposées et de même module. Solides soumis à trois forces Un solide est en équilibre sous l action de trois forces extérieures si ces trois forces sont coplanaires, concourantes ou parallèles et que leur somme géométrique est nulle.

65 58 CHPITRE II. STTIQUE Loi du frottement Si il y a glissement au contact G (I, 1/2) 0 alors T 21 = f d.n 21 G (I, 1/2) T 21 = 0 G (I, 1/2). T 21 < 0 La première équation nous donne le module de l effort tangentielle, la seconde équation nous donne sa direction (coliniaire à la vitesse de glissement) et la troisième équation son sens (opposée à la vitesse de glissement). Si il n y a pas glissement au contact G (I, 1/2) = 0 alors T 21 f.n 21 Les deux dernières équations ont disparues et ne nous donnent plus de renseignements sur la direction et le sens de l effort tangentiel. De plus la première équation devient une inégalité et on dit que l effort est compris dans le cône de frottement de sommet I et de demi-angle au somment ϕ qui est relié au coefficient d adhérence f : Problème de statique avec frottement tan ϕ = f La statique est l étude des systèmes au repos, en équilibre, nous sommes donc toujours dans le mauvais cas d application de lois de Coulomb. Pour pouvoir résoudre les problèmes, nous ferons les hypothèses ci-dessous. Grâce à ces deux hypothèses, qu il ne faut jamais perdre de vue, on peut expliciter les loi de Coulomb. Hypothèse 1 En statique, dès qu il existe du frottement, on étudie le cas limite du glissement commençant, donc T 21 = fn 21 Hypothèse 2 L action tangentielle au glissement commençant possède la même direction que l action tangentielle lors du mouvement. Pour résoudre un problème, on doit définir une vitesse supposée de glissement V (I, 1/2) permettant de définir la direction et le sens de l effort tangentiel V (I, 1/2). T 21 < 0

66 II.6. CE QU IL FUT RETENIR 59 Utilisation du principe fondamentale de la statique Soit un système Σ de N solides soumis des actions mécaniques extérieures dont on veut déterminer une inconnue statique ou toutes les inconnues statiques. La démarche à suivre pour atteindre se but est la suivante 1. Faire le schéma de structure (schéma de liaison) de Σ 2. Rajouter les actions mécaniques extérieures à Σ (ex : pesanteur, action d un vérin ou d un moteur) 3. Dénombrer les inconnues statiques I s 4. Déterminer la mobilité du système m m = I c E c avec E c = 6γ (en 3D) ou E c = 3γ (en 2D). 5. Calculer le degrés d hyperstatisme h = I S E S où E S est le nombre d équations de la statique E S = 6 (N 1) m E S = 3 (N 1) m en 3D en 2D h peut être obtenue par h = 6γ + m I c h = 3γ + m I c en 3D en 2D 6. Si le système est isostatique, on continue la résolution, si il est hyperstatique il ne sert à rien de continuer l étude. 7. Chercher les systèmes à isoler : (a) Repérer les solides ou ensembles de solides soumis à deux forces, ceci permet de déterminer la direction des efforts ; (b) Repérer les sous-systèmes de solides S i les plus grands possibles ayant moins de 6 inconnues statiques à déterminer (3 inconnues statiques en 2 dimensions). L intérêt de prendre des sous-systèmes les plus grands possibles est d éviter les calculs inutiles d inconnues de liaison. 8. ppliquer le Principe Fondamental de la Statique aux systèmes ainsi repérés. Penser à utiliser les zéros des liaisons pour projeter vos équations et pour choisir le point d application du théorème du moment. 9. Réitérer les deux dernières opérations 7 et 8 jusqu à la résolution du problème.

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68 Chapitre -III- Dynamique Table des Matières III.1 Dynamique du point matériel III.1.1 Equation de la dynamique III.1.2 Exemples de force III.1.3 Quantité de mouvement III.1.4 Moment cinétique et moment dynamique III.1.5 Théorème du moment cinétique III.2 Dynamique du solide III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique III.2.2 Torseur cinétique et torseur dynamique III Définitons III Expressions des résultantes cinétique et dynamique 67 III Expressions des moments cinétique et dynamique. 68 III Cas d un ensemble de solides matériels indéformables 68 III.2.3 Centre d inertie et opérateur d inertie III Centre d inertie III Opérateur d inertie III Exemples classiques d opérateur d inertie III.2.4 Démarche de résolution d un problème III Utilisation des théorème généraux III Calculs des projections du moment dynamique III.3 Energétique III.3.1 Puissance et Travail III Puissance d une force III Puissance d une action mécanique sur un solide.. 74 III Puissances des inter-efforts III Travail d une force III.3.2 Energie cinétique

69 62 CHPITRE III. DYNMIQUE III.3.3 Théorème de l énergie cinétique III.4 Ce qu il faut retenir

70 III.1. DYNMIQUE DU POINT MTÉRIEL 63 Les deux premiers chapitres de ce cours ont introduit les notions de mouvement et d action mécanique. En effet, la cinématique est la science décrivant le mouvement des solides sans s occuper de ces causes. La statique nous a permis de déterminer les actions mécanique assurant l équilibre des solides au repos. La dynamique englobe ces deux théories car elle relie la description du mouvement aux actions mécaniques qui en sont la cause. La dynamique repose sur les équations du mouvement due à Sir Isaac Newton ( ) qui ont fait leurs preuves depuis des siècles sous le nom de Principe Fondamentale de la Dynamique. Ces équations que nous allons décrire dans le cas du point matériel puis dans le cas du solide matériel indéformable forment l un des postulats de la mécanique classique. III.1 Dynamique du point matériel Un point matériel P est un point de l espace auquel est associé une masse m. III.1.1 Equation de la dynamique Pour étudier les phénomènes mécaniques, il faut choisir un système de référence. Dans des systèmes de références différents les lois du mouvement n ont pas nécessairement la même forme. Naturellement, il faut choisir un système de référence tel que les lois de la mécanique soient les plus simples. Par rapport à système de référence quelconque, l espace n est ni homogène ni isotrope et le temps n est pas uniforme. Cependant, on peut toujours trouver un système de référence par rapport auquel l espace sera homogène et isotrope et le temps uniforme. Un tel système est appelé référentiel Galiléen. Dans le cas des sciences de l ingénieur, le référentiel terrestre peut être considère comme Galiléen. La dynamique du point matériel P de masse m soumis aux forces F i est gouvernée par une équation de la forme m a (P/R g ) = m d2 OP = F dt 2 i Rg où O est un point fixe dans un référentiel Galiléen R g. III.1.2 Exemples de force Il existe un grand nombre de forces pouvant s exercer sur une particule matériel, dans cette section nous en donnons une liste non-exhaustive Force de gravité La force de gravité exercée par un point matériel P 2 de masse m 2 sur le point matériel P 1 de masse m 1 est proportionnelle aux masses m 1 et m 2 et inversement proportionnel au carré de la distance r entre P 1 et P 2 P 1 P 2 F (P2 P 1 ) = Gm 1 m 2 3 m 1m 2 r P 1 P 2 2

71 64 CHPITRE III. DYNMIQUE G est une constante, appelée constante gravitationnelle qui est environ égale à N.m 2.kg 2 Force due à un ressort La force exercée par un ressort sur une particule P est proportionnel au déplacement du point P par rapport à sa position d équilibre OP 0 F (ressort P ) = kp0 P k est appelée la raideur du ressort. Force due à un frottement visqueux La force exercée par un frottement visqueux est proportionnel à la vitesse du point matériel par rapport au référentiel Galiléen F (fv P ) = η d OP = η V (P/R dt g ) Rg η est appelée la viscosité. Force due à un frottement sec Le force due à un frottement sec est constant est s oppose au mouvement F (fs P ) = f e, f est le coefficient de frottement. avec 1 e = V (P/Rg ) V (P/R g ) III.1.3 Quantité de mouvement Les équations de mouvement sont des équations différentielles du second ordre. fin de les transformer en équations différentielles du premier ordre, on introduit la quantité de mouvement p (P/R g ) défini par p (P/Rg ) = m d OP dt L équation du mouvement du point matériel P de masse m peut se mettre sous le forme d p (P/R g ) dt = F i Rg d OP = 1 p (P/Rg ) dt m Rg Rg On peut définir également la quantité d accélération qui est la dérivé temporelle de la quantité de mouvement dans le référentiel Galiléen Γ (P/Rg ) = d p (P/R g ) dt = m a (P/R g ) Rg

72 III.2. DYNMIQUE DU SOLIDE 65 III.1.4 Moment cinétique et moment dynamique Pour un point matériel P, le moment cinétique σ (O, P/R g ) par rapport à O est défini par σ (O, P/Rg ) = OP p (P/R g ) Le moment cinétique est donc le moment de la quantité de mouvement par rapport à O. Par analogie avec la quantité de mouvement, le moment cinétique permet de définir l analogue de la masse : le moment d inertie I. En effet, pour une particule dont la vitesse angulaire est θ autour de l axe ( O, k ), on a σ (O, P/Rg ) = I θ k ou I = mr 2 avec r la distance de O à P. Le moment dynamique au point O est le moment de la quantité d accélération par rapport au point O δ (O, P/Rg ) = OP Γ (P/R g ) III.1.5 Théorème du moment cinétique La dynamique du point matérielle P de masse m vérifie également l équation du moment cinétique d σ (O, P/R g ) dt = M (O, ) F i P Rg III.2 Dynamique du solide Dans la pratique technologique propre à l ingénieur, rare sont les particules matérielles livrées à elle-même. On a affaire à des solides matériels indéformables. Un solide matériel indéformable est un assemblage continu de points matériels de masse élémentaire par une unité de volume ρ (M), appelée densité. La densité est homogène à une masse sur un volume [g.m 3 ]. La masse totale m S d un solide S s obtient par intégration de la masse volumique sur le volume V S du solide S m S = ρ (M) dv V S Cette formule se simplifie dans le cas où la masse volumique ρ est constante m S = ρv S près avoir énoncé le Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D.) pour un solide matériel indéformable, nous montrerons comment les notions de quantité de mouvement, de moment cinématique, de quantité d accélération et de moment dynamique sont transposées au cas du solide. vant de donner un mode d emploi pour la résolution des problèmes de dynamique, nous introduirons l opérateur d inertie I [O, S] du solide S au point O qui permet de calculer le moment cinétique puis le moment dynamique.

73 66 CHPITRE III. DYNMIQUE III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique Il existe au moins un référentiel Galiléen R g dans lequel le torseur des efforts extérieurs au système matériel Σ est égale au torseur dynamique de Σ par rapport à R g { Σ Σ = {D Σ/Rg On tire de ce principe fondamentale les deux théorème généraux de la mécanique qui sont la version pour un solide indéformable de des équations de conservation Théorème de la résultante dynamique F ( Σ Σ ) = Rd (Σ/R g ) Théorème du moment dynamique M ( O, Σ Σ ) = δ (O, Σ/R g ) Ces deux théorèmes, comme dans le cas de la statique donnent 6 équations scalaires en 3 dimensions et seulement 3 équations en 2 dimensions. III.2.2 Torseur cinétique et torseur dynamique III Définitons chaque point matériel M du solide S, on associe des densités (volumiques) de quantité de mouvement quantité d accélération moment cinétique au point O moment dynamique au point O ρ (M) V (M/R g ) ρ (M) a (M/R g ) ρ (M) OM V (M/R g ) ρ (M) OM a (M/R g ) En intégrant ces grandeurs sur le volume V S du solide S, on obtient La résultante cinétique ou la quantité de mouvement du solide S, [g.m.s 1 ] p (S/Rg ) = ρ (M) V (M/R g ) dv V S La résutante dynamique du solide S, [g.m.s 2 ] R d (S/R g ) = ρ (M) a (M/R g ) dv V S

74 III.2. DYNMIQUE DU SOLIDE 67 Moment cinétique du solide S au point O, [g.m 2.s 1 = N] σ (O, S/Rg ) = ρ (M) OM V (M/R g ) dv V S Moment dynamique du solide S au point O, [g.m 2.s 2 = N.m] δ (O, S/Rg ) = ρ (M) OM a (M/R g ) dv V S Ces quatre quantités servent à définir Torseur cinétique {CS/Rg Torseur dynamique {D S/Rg = = O O { p (S/Rg ) σ (O, S/Rg ) { Rd (S/R g ) δ (O, S/Rg ) Ceci signifie que les moments cinétique et dynamique du solide S en point peuvent être obtenus à l aide de la relation fondamentale des torseurs σ (, S/Rg ) = σ (O, S/R g ) + p (S/R g ) O δ (, S/Rg ) = δ (O, S/R g ) + R d (S/R g ) O III Expressions des résultantes cinétique et dynamique Dans la pratique les composantes de ces torseurs ne sont pas obtenues à partir des relations intégrales qui ne sont que des définitions. En effet, les résultantes cinétique et dynamique s obtient respectivement à partir de la vitesse et l accélération du centre d inertie G S du solide S de masse m S par rapport au référentiel Galiléen. On montre aisément que p (S/Rg ) = m S V (GS /R g ) R d (S/R g ) = m S a (GS /R g ) On rappelle que V (G/Rg ) = d OG, dt Rg a (G/Rg ) = d2 OG dt 2 Rg avec O fixe dans R g.

75 68 CHPITRE III. DYNMIQUE III Expressions des moments cinétique et dynamique Pour le calcul des moments cinétique et dynamique s est légèrement plus compliqué. Premièrement, ces deux quantités sont reliés par l expression suivante dont la démonstration est laissée à titre d exercice au lecteur δ (, S/Rg ) = d σ dt (, S/R g) + m S V (/Rg ) V (G/R g ) Rg En exprimant la vitesse du point M par rapport à R g en fonction de la vitesse du point dans la définition du moment cinétique au point, on obtient σ (, S/Rg ) = ρ (M) M V (M, S/R g ) dv V S = ρ (M) M V (, S/R g ) dv V S + ρ (M) [ Ω M (S/Rg ) ] M dv V S = m S G V (, S/Rg ) + I [, S]. Ω (S/R g ) où I [, S] est une matrice 3 3, appelé opérateur d inertie. Cet opérateur dépend de la répartition de masse dans le solide S autour du point, c est la généralisation de la notion de moment d inertie au cas du solide matériel. Il dépend à la fois de la géométrie du solide S et du point où il est exprimé. Ces composantes ont pour unité le gramme mètre carré [g.m 2 ]. Le calcul de cet opérateur fera l objet de la prochaine section. Remarque III.1 On remarquera que les expressions des moments cinétique et dynamique se simplifient lorsque le point est confondu avec le centre d inertie G S du solide S δ (GS, S/R g ) = d σ dt (G S, S/R g ), Rg σ (GS, S/R g ) = I [G S, S]. Ω (S/R g ) un point O fixe dans R g δ (O, S/Rg ) = d σ dt (O, S/R g), Rg σ (O, S/Rg ) = I [O, S]. Ω (S/R g ) Dans la pratique, nous utiliserons ces formules plus simples pour ensuite transporter les moments dynamique et cinétique au point voulu à l aide de la relation de torseur. III Cas d un ensemble de solides matériels indéformables Les torseurs cinétique et dynamique d un ensemble de N solides matériels Σ = {S 1,..., S N s obtient en additionnant les torseurs associés à chaque solide matériel S i N N {C Σ/Rg = {C Si/Rg, {D Σ/Rg = {D Si/Rg i=1 i=1

76 III.2. DYNMIQUE DU SOLIDE 69 III.2.3 Centre d inertie et opérateur d inertie III Centre d inertie Le centre d inertie d un solide matériel S, de masse m S, est le barycentre G S des masses OG S = 1 ρ (M) OM dv m S V S Ce qui donne en projetant dans une base orthonormée ( x, y, z ) x G = 1 ρ (x, y, z) x dxdydz m S V S y G = 1 ρ (x, y, z) y dxdydz m S V S z G = 1 ρ (x, y, z) z dxdydz m S V S Dans le cas d un ensemble de solide matériel Σ = {S 1,..., S N on peut utiliser la même définition en remplaçant V S par V Σ le volume de l ensemble de solide matériel, mais on peut également utilisé les propriétés des barycentres G Σ = 1 m Σ N i=1 m Si G Si Propriété III.1 Pour un solide S dont la répartition de masse admet un (ou plusieurs) axe(s) de symétrie(s) le centre d inertie G S appartient à cet (ou ces) axe(s) de symétrie(s). Remarque III.2 Il ne faut pas confondre les notions de centre d inertie et de centre de gravité. La première représente le barycentre des masses alors que la seconde est le point d application de la force de gravité. Dans le cas où le champs de gravité est uniforme en tout point du solide considéré, ce qui est très souvent le cas pour l ingénieur, le centre d inertie et le centre de gravité sont les mêmes. III Opérateur d inertie L opérateur d inertie I [, S] du solide S en est un opérateur linéaire de R 3 défini par son application à un vecteur u de l espace I [, S]. ( u = M u ) M ρ (M) dv V S La linéarité de l intégrale induit la linéarité de l opérateur d inertie donc si nous considérons le système de solides matériels Σ = {S 1,..., S N alors nous avons I [, Σ] = N I [, S i ] i=1 Cette propriété est vraie quelque soit le point choisi à condition que tous les opérateurs soient exprimés au même point. Notons que cette propriétés

77 70 CHPITRE III. DYNMIQUE est essentiellement utilisée pour décomposer un solide en solide élémentaire dont l opérateur d inertie est connu. Nous déconseillons fortement son utilisation dans le cas de système de solides en mouvement les uns par rapport aux autres. En effet, vu que l opérateur d inertie caractérise la répartition des masses dans le systèmes si les solides constitutifs de Σ se déplacent au cours du temps cela induit une modification de cette répartition des masses et donc l opérateur d inertie I [, Σ] dépendra du temps. Comme nous le savons tout opérateur linéaire de R 3 peut s écrire sous forme d une matrice 3 3 donc l opérateur d inertie peut se mettre sous la forme I [, S] = F E F B D E D C x S, y S, z S M = x y z x S, y s, z S Les expressions des coefficients de l opérateur s obtient à partir des coordonnées (x, y, z) du point M dans le repère (, x S, y S, z S ) = ρ ( y 2 + z 2) dv, B = ρ ( x 2 + z 2) dv, C = ρ ( x 2 + y 2) dv V S V S V S D = ρyz dv, E = ρxz dv, F = ρxy dv V S V S V S Notons que dans ces expressions la masse volumique peut dépendre des coordonnées (x, y, z) du point M., B et C sont les moments d inertie par rapport aux axes (, x S ), (, y S ) et (, z S ). D, E et F sont les produits d inertie. Propriété III.2 (Cas où le solide S admet un plan de symétrie matériel) Si P est le plan de symétrie matériel de normale z S pour le solide S. Pour tout point P, l opérateur d inertie s écrit I [, S] = F 0 F B C x S,y S,z S D = E = 0 Propriété III.3 (Cas où le solide S admet deux plans de symétrie matériels) Si P 1 est le plan de symétrie matériel de normale z S pour le solide S et P 2 celui de normale y S. Pour tout point ( ) où la droite est l intersection de P 1 et P 2, l opérateur d inertie s écrit I [, S] = B C x S,y S,z S D = E = F = 0 Propriété III.4 (Cas où le solide S admet un axe de révolution matériel ( )) Si ( ) est un axe de révolution matériel de direction z S alors pour tout point ( ), l opérateur d inertie s écrit 0 0 I [, S] = 0 0 E = D = 0 et = B 0 0 C,,z S

78 III.2. DYNMIQUE DU SOLIDE 71 Propriété III.5 (Cas où le solide S est d épaisseur négligeable (plaques)) Si la dimension du solide S est négligeable suivant l axe z S alors pour tout point dans le plan de la plaque de normale z S, l opérateur d inertie s écrit I [, S] = F 0 F B B x S,y S,z S D = E = 0 et C = + B Il ne faut pas retenir par cœur la forme de cet opérateur car si la plaque est normale à y S, on a I [, S] = 0 E 0 + C 0 E 0 C x S,y S,z S D = E = 0 et B = + C Dans le cas d un point matériel P, l opérateur d inertie est nul en P. Or, nous savons que le moment d inertie d un point matériel P de masse m n est pas nulle pour tous autres points. Ceci signifie que l opérateur d inertie du point matérielle P n est pas nul en un point P. Cela nous amène à la question : Comment passe-t-on de l expression de l opérateur d inertie du solide S au point P à celle au point? Propriété III.6 (Thèorème de Huygens généralisé ) Soit S un solide matériel de masse m S et I [G S, S] son opérateur d inertie au centre d inertie G S alors l opérateur du solide S au point, de coordonnées (X, Y, Z ) dans la repère (G S, x S, y S, z S ) d origine G S le centre d inertie, s obtient I [, S] = I [G S, S] + m S (Y + Z ) 2 X Y X Z X Y (X + Z ) 2 Y Z X Z Y Z (X + Y ) 2 x S, y S, z S Remarque III.3 Une des conséquences du théorème de Huygens est que l opérateur d inertie du solide S est minimum lorsqu il est exprimé en son centre d inertie G S. Donc plus l axe de rotation du mouvement ( ) de S par rapport à R g s éloigne du centre d inertie G S de S plus il sera difficile de faire tourner le solide S autour ( ). Remarque III.4 (Equilibrage statique) L équilibrage statique d un solide S en rotation consiste à répartir les masses du solide de tel sorte que le centre de gravité se place sur l axe de rotation du solide S. L équilibrage statique est pratiqué pour que toutes positions angulaires du solide soit une position d équilibre potentiel. En effet, lorsque le centre de gravité appartient à l axe de rotation du solide les forces de pesanteurs n engendrent pas de moment autour de cet axe et ça quelque soit la position angulaire du solide S. Remarque III.5 (Equilibrage dynamique) L équilibrage dynamique d un solide matériel S en rotation au tour de l axe (, z S ) par rapport au bâti s effectue en mettant à zéro les produits d inertie de I [, S] correspondant à cette rotation (c està-dire ici D = E = 0). L équilibrage dynamique permet d optimiser la durée de vie

79 72 CHPITRE III. DYNMIQUE de la liaison pivot entre le solide S et la bâti en évitant les effets de balourd qui engendrent des efforts variables (donc des vibrations) dans les paliers de la liaison pivot. L équilibrage dynamique comme l équilibrage statique se pratique généralement par ajout ou enlèvement de matière, dans le cas de l équilibrage d une roue de voiture des masselottes sont ajoutées. III Exemples classiques d opérateur d inertie Cylindre Pour un cylindre matériel homogène de masse M de hauteur h et de rayon R. Le centre d inertie G est sur l axe de révolution orienté suivant z S et il est au milieu du cylindre. Son opérateur d inertie au centre d inertie G s écrit I [G, Cylindre] = ( ) R M 2 + h ( ) R 0 M 2 + h MR ,, z S Disque En remarquant qu un disque est un cylindre de hauteur négligeable (h 0), on obtient l expression de l opérateur d inertie en son centre d inertie I [G, Disque] = MR MR MR 2 2,, z S Barre rectiligne Le cas de la barre rectiligne est également un cas limite du cylindre mais cette fois pour un rayon négligeable (R 0) d où l expression de l opérateur d inertie au centre d inertie I [G, Barre] = Mh Mh ,, z S Sphère Pour une sphère matérielle homogène de masse M et de rayon R, l opérateur d inertie s écrit au centre d inertie 2MR MR I [G, Sphere] = MR ,, Cube Pour un cube matériel homogène de masse M et d arrête a, l opérateur d inertie est Ma Ma I [G, Sphere] = Ma ,,

80 III.3. ENERGÉTIQUE 73 III.2.4 Démarche de résolution d un problème III Utilisation des théorème généraux Le lecteur pourra revenir à la section utilisation du principe fondamentale de la statique. Les remarques faites sont d autant plus valables en dynamique car nous aurons à calculer les termes dynamiques. Notre principal souci étant de faire un minimum de calculs, nous passerons donc du temps à faire une analyse de notre système. Notre démarche sera la suivante : à l issue d une schématisation du système à étudier, nous ferons le choix des paramètres cinématiques juste nécessaires pur traduire le mouvement (p paramètres cinématiques). Nous ferons ensuite l inventaire des actions mécaniques qui agissent dans notre système. On distingue les actions mécaniques connues, telles que la pesanteur, les couples résistants en sortie de mécanisme ou l action des ressorts et les actions mécaniques inconnues telles que les actions de liaisons (q efforts inconnues). Si le nombre d inconnues (p + q) est égal au nombre d équations 6N (où N est le nombre de solide à isoler), alors le problème admet une solution. Il faut exactement savoir ce qu on cherche et choisir astucieusement, parmi les (p + q) inconnues celles qui vont répondre aux questions posées, sans introduire d inconnues supplémentaires. lors, seulement, on développera les calculs nécessaires pour arriver aux résultats. Règle III.1 Il est conseillé d utiliser les zéros des liaisons pour écrire les équations de la dynamique pour éviter d introduire des inconnues de liaisons inutiles. Par exemple écrire le théorème du moment dynamique au centre des liaisons pivot et en le projetant suivant l axe de la liaison ou en écrivant la projection du théorème de la résultante dynamique sur l axe des glissières. III Calculs des projections du moment dynamique Comme nous venons de le voir, il est souvent plus judicieux de calculer les projections des quantités dynamiques au lieu de calculer entièrement le torseur dynamique. En utilisant la formule de dérivation du produit scalaire, on obtient δ (, S/Rg ). [ d σ (, S/Rg ). ] u u = [ d u σ (, S/R g ). dt R g dt ( + m V S u (/Rg ) ) V (G/R g ) Le dernier terme de cette expression peut être calculé à l aide des propriétés du produit mixte ( V u (/Rg ) ) ( V (G/R g ) = u ) V (/Rg ). V (G/R g ) = ( V V (/R g ). (G/Rg ) ) u ] R g III.3 Energétique Souvent lors de l étude dynamique des systèmes constitués de plusieurs solides, la recherche des équations du mouvement conduit à développer de nombreuses projections

81 74 CHPITRE III. DYNMIQUE issues du P.F.D. Lorsque la détermination des projections n est pas immédiates on peut avoir recours à une autre approche : la méthode énergétique. Lorsque les liaisons sont supposées parfaites l approche énergétique permet de ne pas s encombrer des actions de liaisons. III.3.1 III Puissance et Travail Puissance d une force La puissance d une force F s exerçant sur le point matériel P est la quantité d énergie par unité de temps fournie par cette force au point matériel, elle est définie par le produit scalaire de la force avec la vitesse de P par rapport au référentiel Galiléen ( F ) P P/Rg = F. V (P/R g ) Cette quantité s exprime en Watt [W = N.m.s 1 ], c est une grandeur instantanée qui vérifie les ( propriétés suivantes F ) P P/Rg est nulle si la force F est nulle ( F ) P P/Rg = 0 si la vitesse de P dans son mouvement par rapport à R g est( nulle F ) P P/Rg = 0 si la vitesse de P dans son mouvement par rapport à R g III est perpendiculaire la force F Puissance d une action mécanique sur un solide Soit un solide S soumis à une action mécanique dont le torseur des inter-efforts est { { F ( S) S = M (, S) La notion de puissance s étend à une action mécanique s exerçant sur un solide S P ( S/R g ) = { S {V S/Rg = F ( S). V (, S/R g ) + M (, S). Ω (S/R g ) Cette expression est indépendante du point choisi pour exprimer les torseurs d interefforts et cinématique, mais il faut impérativement que ces deux torseurs soient exprimés au même point. La puissance est une grandeur extensive, c est-à-dire additive, la puissance produite par une action mécanique sur un système de solides matériels Σ = {S 1,..., S n P ( Σ/R g ) = n P ( S i /R g ) i=1

82 III.3. ENERGÉTIQUE 75 III Puissances des inter-efforts La puissance est une grandeur définie par rapport à un référentiel Galiléen. Si on considère deux solide S 1 et S 2 ont peut définir la puissance des inter-efforts entre S 1 et S 2 par P (S 1 S 2 ) = P (S 1 S 2 /R g ) + P (S 2 S 1 /R g ) {S 1 S 2 {V S2/S1 {S 2 S 1 = = {V S1/S2 Le référentiel Galiléen n apparaît plus dans cette expression. La puissance des interefforts que nous avions introduit lors de la présentations des liaisons permet de quantifier l énergie dissipée par unité de temps par les actions mécaniques entre les solides S 1 et S 2. Lorsque la liaison entre les solides S 1 et S 2 est parfaite (sans jeu et sans frottement) la dissipation est nulle donc la puissance des interefforts est nulle. III Travail d une force On appelle travail d une action mécanique entre l instant t 1 et l instant t 2, la somme des puissances de cette action entre les instants t 1 et t 2 ( F ) W S/Rg = t2 t 1 P ( F S/Rg ) (t) dt Le travail d une force est homogène à une énergie en s exprime en Joule [J = N.m]. La notion de travail vérifie les propriétés suivantes : 1. Deux actions mécaniques mécaniques sur le solide S ayant le même torseur d intereffort produisent le même travail. 2. Le travail d un ensemble d actions mécaniques dont la somme des torseurs est nulle est également nul. III.3.2 Energie cinétique On définit l énergie cinétique d un solide matériel S comme le comoment du tenseur cinématique de S dans son mouvement par rapport au référentiel Galiléen et de son torseur cinétique T (S) = 1 2 { V S/Rg {C S/Rg = 1 Ω (S/Rg ). σ (, S/R g ) + 1 V (, S/Rg ). V (G/R g ) 2 2 Encore une fois, cette expression est indépendante du point choisi pour exprimer les torseurs cinétique et cinématique, mais il faut impérativement que ces deux

83 76 CHPITRE III. DYNMIQUE torseurs soient exprimés au même point. L énergie cinétique du solide S correspond à l énergie produite par son mouvement dans le référentiel Galiléen. Elle correspond donc à l énergie nécessaire pour stopper le mouvement du solide S dans le référentiel Galiléen. Elle s exprime évidemment en Joule [J = N.m] L énergie cinétique est également une grandeur extensive donc l énergie cinétique emmagasinée par un système de solides matériels Σ = {S 1,..., S n est T (Σ) = n T (S i ) i=1 III.3.3 Théorème de l énergie cinétique Il existe un référentiel Galiléen dans lequel, pour tout système de solides matériels indéformables Σ = {S 1,..., S n, la dérivée de l énergie cinétique est égale à la somme des puissances développées par les efforts extérieurs P ext et la puissance développées par les efforts intérieurs entre les solides P int dt (Σ) dt = P ext + P int = P ( Σ Σ ) + i j P (S i S j ) En toute état de cause, le théorème de l énergie cinétique ne donne qu une seule équation scalaire, mais si les liaisons sont parfaites et que la cinématique est bien connu, l application de ce théorème donne directement l équation de mouvement du système. Références Chevalier, L. (2004). Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Ellipses. Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.

84 III.4. CE QU IL FUT RETENIR 77 III.4 Ce qu il faut retenir Dynamique du point matériel Equation de la dynamique La dynamique du point matériel P de masse m soumis aux forces F i est gouvernée par l équation m a (P/R g ) = m d2 OP = F dt 2 i où O est un point fixe dans un référentiel Galiléen R g. Quantité de mouvement d une particule P de masse m Rg P (P/Rg ) = m d OP dt Moment cinétique d une particule P de masse m au point O Théorème de l énergie cinétique Rg σ (O, P/Rg ) = m OP P (P/R g ) d σ (O, P/R g ) dt = M (O, ) F i P Rg Dynamique du solide matériel P.F.D. Il existe au moins un référentiel Galiléen R g dans lequel le torseur des efforts extérieurs au système matériel Σ est égale au torseur dynamique de Σ par rapport à R g { Σ Σ = {D Σ/Rg Théorème de la résultante dynamique ( ) F Σ Σ = Rd (Σ/R g ) Théorème du moment dynamique M ( O, Σ Σ ) = δ (O, Σ/R g )

85 78 CHPITRE III. DYNMIQUE Torseur dynamique Torseur dynamique d un solide matériel S de masse m { Rd (S/R g ) {D S/Rg = δ (O, S/Rg ) Torseur dynamique d un ensemble de N solides matériels Σ = {S 1,..., S N N {D Σ/Rg = {D Si/Rg Relation de torseur correspondante O i=1 δ (, S/Rg ) = δ (O, S/R g ) + R d (S/R g ) O Expression de la résultante dynamique R d (S R g ) = m a (G S /R g ) Expression du moment dynamique au point O δ (O, S/Rg ) = d σ dt (O, S/R g) + m S V (O/Rg ) V (G/R g ) Rg L expression du moment du dynamique se simplifie pour O fixe par rapport R g δ (O, S/Rg ) = d σ dt (O, S/R g) Rg au centre d inertie O = G S δ (GS, S/R g ) = d σ dt (G S, S/R g ) Calcul des projections du moment dynamique δ (, S/Rg ). [ d σ (, S/Rg ). ] u u = [ d u σ (, S/R g ). dt R g dt ( + m V S u (/Rg ) ) V (G/R g ) Rg ] R g

86 III.4. CE QU IL FUT RETENIR 79 Torseur cinétique Torseur cinétique d un solide matériel S de masse m { p (S Rg ) {C S/Rg = σ (O, S/Rg ) Torseur cinétique d un ensemble de N solides matériels Σ = {S 1,..., S N N {C Σ/Rg = {C Si/Rg Relation de torseur correspondante O i=1 σ (, S/Rg ) = σ (O, S/R g ) + p (S R g ) O Expression de la quantité de mouvement p (S/Rg ) = V (G S /R g ) G S est le centre d inertie du solide S Expression du moment cinétique au point O σ (O, S/Rg ) = m S OG S V (O, S/R g ) + I [O, S]. Ω (S/R g ) Cette expression se simplifie pour O fixe par rapport R g σ (O, S/Rg ) = I [O, S]. Ω (S/R g ) au centre d inertie O = G S σ (GS, S/R g ) = I [G S, S]. Ω (S/R g )

87 80 CHPITRE III. DYNMIQUE Centre d inertie Le centre d inertie d un solide matériel S, de masse m S, est le barycentre G S des masses OG S = 1 ρ (M) OM dv m S V S Opérateur d inertie L opérateur d inertie d un solide S s exprime sous la forme d une matrice 3 3 F E x I [, S] = F B D M = y E D C z x S, y S, z S x S, y s, z S Les expressions des coefficients de l opérateur s obtient à partir des coordonnées (x, y, z) du point M dans le repère (, x S, y S, z S ) = ρ ( y 2 + z 2) dv, B = ρ ( x 2 + z 2) dv, C = ρ ( x 2 + y 2) dv V S V S V S D = ρyz dv, V S E = ρxz dv, V S F = ρxy dv V S Notons que dans ces expressions la masse volumique peut dépendre des coordonnées (x, y, z) du point M., B et C sont les moments d inertie par rapport aux axes (, x S ), (, y S ) et (, z S ). D, E et F sont les produits d inertie. Thèorème de Huygens généralisé Soit S un solide matériel de masse m S et I [G S, S] son opérateur d inertie au centre d inertie G S alors l opérateur du solide S au point, de coordonnées (X, Y, Z ) dans la repère (G S, x S, y S, z S ) d origine G S le centre d inertie, s obtient I [, S] = I [G S, S] + m S (Y + Z ) 2 X Y X Z X Y (X + Z ) 2 Y Z X Z Y Z (X + Y ) 2 x S, y S, z S

88 III.4. CE QU IL FUT RETENIR 81 Energétique Puissances La puissance d une action mécanique est { {V S/Rg P ( S/R g ) = S = R ( S). V (, S/R g ) + M (, S). Ω (S/R g ) La puissance des inter-efforts entre les solides S 1 et S 2 est définie par P (S 1 S 2 ) = P (S 1 S 2 /R g ) + P (S 2 S 1 /R g ) {S 1 S 2 {V S2/S1 {S 2 S 1 = = {V S1/S2 Ces expressions sont indépendantes du point choisi pour exprimer les torseurs cinétique et cinématique, mais il faut impérativement que ces deux torseurs soient exprimés au même point. Energie cinétique L énergie cinétique d un solide S est { T (S) = 1 V S/Rg {C S/Rg 2 = 1 Ω (S/Rg ). σ (, S/R g ) + 1 V (, S/Rg ). V (G/R g ) 2 2 Cette expression est indépendante du point choisi pour exprimer les torseurs cinétique et cinématique, mais il faut impérativement que ces deux torseurs soient exprimés au même point. Théorème de l énergie cinétique Il existe un référentiel Galiléen dans lequel, pour tout système de solides matériels indéformables Σ = {S 1,..., S n, la dérivée de l énergie cinétique est égale à la somme des puissances développées par les efforts extérieurs P ext et la puissance développées par les efforts intérieurs entre les solides P int dt (Σ) dt = P ext + P int = P ( Σ Σ ) + i j P (S i S j )

89

90 nnexes

91

92 nnexe -- Quelques éléments de géométrie vectorielle.1 Les vecteurs Définition Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d arrivée B. On définit un vecteur lié, par quatre caractéristiques une direction, la droite (B) un sens, de vers B une norme, la distance d (, B) un point d application, Coordonnés d un vecteur Dans l espace vectoriel à trois dimensions, trois vecteurs i, j et k indépendant forme une base. L association d un point O à cette base constitue un repère. Soit et B ayant pour coordonnées respectives (x, y, z ) et (x B, y B, z B ) dans le repère ( 0, i, j, k avec ) alors le vecteur B a pour coordonnées B = X i + Y j + Z k X = x B x Y = y B y Z = z B z Les vecteurs peuvent également être écrits en colonne X x B x B = Y = y B y Z z B z (0, i, j, k ) (0, i, j, k )

93 86 NNEXE. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Norme d un vecteur La norme (ou le module) d un vecteur est la distance en entre l origine et l extrémité de ce vecteur. On note B = d (, B) = X 2 + Y 2 + Z 2.2 Produit scalaire Définition Le produit scalaire des deux vecteurs u et v est le nombre réel suivant noté u. v : u. v = u v cos ( u, v ) Propriétés On a les propriétés suivantes : 1. Symétrie : u. v = v. u 2. Linéarité : u. (α v + w ) = α u. v + u. w Expression analytique ( Dans une repère orthonormée 0, i, j, ) k le produit scalaire des deux vecteurs v1 de coordonnés (x 1, y 1, z 1 ) et v 2 de coordonnées (x 2, y 2, z 2 ) s écrit : v1. v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Exemple Soient deux bases orthonormées directes B 1 ( x 1, y 1, z 1 ) et B 2 ( x 2, y 2, z 2 ). La base B 2 s obtient de la base B 1 par rotation d angle #» θ 12 autour du vecteur z 1 = z 2 = z 12. #» y 1 y 2 #» x 2 #» z 12 θ 12 #» x 1 Figure.1 Figure de calcul Pour effectuer les calculs vectoriels proprement, nous traçons des figures de calculs associées à chaque rotation entre les bases. Dans notre exemple nous avons une seule rotation entre B 1 et B 2 donc il ne faut qu une seule figure de calcul (Figure.1). Dans

94 .3. PRODUIT VECTORIEL 87 cette figure, le vecteur représentant l axe z 12 est normal au plan de la figure et il est sortant. Les vecteurs x 1, y 1 et x 2, y 2 sont placés de sorte que les bases B 1 et B 2 soient directes. partir de cette figure, il facile de montrer les résultats suivants, en projetant les vecteurs de B 2 ( x 2, y 2, z 2 ) sur les vecteurs de B 1 ( x 1, y 1, z 1 ) x1. x 2 = cos θ 12 x1. y 2 = sin θ 12 x1. z 12 = 0 y1. x 2 = sin θ 12 y1. y 2 = cos θ 12 y1. z 12 = 0 z 12. x 2 = 0 z 12. y 2 = 0 z 12. z 12 = 1 Remarque.1 Pour éviter les erreurs de signes lors des projections (ou des calculs produits scalaires), il est nécessaire de toujours représenter les figures de calculs dans la configuration de la figure.2. C est-à-dire de placer ici le vecteur x 2 dans le premier cadrant entre x 1 et y 1, pour θ 12 [ 0, π 2 ]..3 Produit vectoriel Définition Le produit vectoriel des deux vecteurs u et v est le vecteur note u v tel que, u v soit perpendiculaire au plan ( u, v ), le trièdre ( u, v, u v ) soit direct et la norme de u v soit égale a : Interprétation géométrique u v = u v sin ( u, v ) La norme du produit vectoriel u v, représente la surface du parallélogramme défini par les deux vecteurs u et v. Figure.2 Produit vectoriel (Pommier and Berthaud, 2010)

95 88 NNEXE. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Propriétés On a les propriétés suivantes : 1. ntisymétrie : u v = v u 2. Linéarité : u (α v + w ) = α u v + u w ( i ) 3. pplication à une base orthonormée directe, j, k i i = 0 j i = k k i = j i j = k j j = 0 k j = i i k = j j k = i k k = 0 4. Double produit vectoriel (formule de Gibbs) u ( v w ) = ( u w ). v + ( u v ). w Expression analytique ( Dans une repère orthonormée 0, i, j, ) k le produit vectoriel de deux vecteurs v1 de coordonnées (x 1, y 1, z 1 ) et v 2 de coordonnées (x 2, y 2, z 2 ) s écrit : v1 v 2 = (y 1 z 2 z 1 y 2 ) i + (z 1 x 2 x 1 z 2 ) j + (x 1 y 2 y 1 x 2 ) k en notation colonne v1 v 2 = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 = z 2 y 1 z 2 z 1 y 2 z 1 x 2 x 1 z 2 x 1 y 2 y 1 x 2 Exemple On reprendre l exemple de la section.2, c est-à-dire de deux bases orthonormées directes B 1 ( x 1, y 1, z 1 ) et B 2 ( x 2, y 2, z 2 ) en rotation l une par rapport à l autre d un angle θ 12 autour du vecteur z 12. #» y 2 #» y 1 #» x 2 #» z 12 θ 12 #» x 1 On a les résultats suivant Figure.3 Figure de calcul

96 .4. PRODUIT MIXTE 89 x1 x 2 = sin θ 12 z12 x1 y 2 = cos θ 12 z12 x1 z 12 = y 1 y1 x 2 = cos θ 12 z12 y1 y 2 = sin θ 12 z12 y1 z 12 = x 1 z 12 x 2 = y 2 z12 y 2 = x 2 z12 z 12 = 0.4 Produit mixte Définition Le produit mixte des trois vecteurs u, v et w est le nombre réel suivant est note ( u, v, w ) : ( u, v, w ) = u. ( v w ) Interprétation géométrique La valeur absolue du produit mixte ( u, v, w ) représente le volume du parallélépipède défini par les trois vecteurs u, v et w. Figure.4 Produit mixte (Pommier and Berthaud, 2010) Propriétés 1. Permutation des opérateurs : ( u, v, w ) = u. ( v w ) = ( u v ). w 2. Distributivité par rapport à l addition : ( u + x, v, w ) = ( u, v, w ) + ( x, v, w ) 3. Multiplication par un réel : (α u, β v, γ w ) = αβγ ( u, v, w ) 4. Permutation des vecteurs : ( u, v, w ) = ( v, u, w ) 5. Permutation circulaire : ( u, v, w ) = ( w, u, v ) = ( v, w, u )

97 90 NNEXE. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE 6. Nullité dans le cas de vecteurs coplanaires : si u, v et w sont coplanaires alors ( v, w, u ) = 0 Expression analytique Dans une base orthonormée ( x, y, z ) le produit mixte des trois vecteurs v 1 de composantes (x 1, y 1, z 1 ), v 2 (x 2, y 2, z 2 ) et v 3 (x 3, y 3, z 3 ) se calcule comme le déterminant suivant : ( v 1, v 2, x 1 x 2 x 3 v 3 ) = y 1 y 2 y 3 = x 3 y 2 z 1 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 x 1 y 3 z 2 x 2 y 1 z 3 + x 1 y 2 z 3 z 1 z 2 z 3 Exemple Dans le cas de l exemple de la section.2, les propriétés du produit mixte peuvent être utiles, par exemple z 12. ( y 2 x 1 ) = ( z 12, y 2, x 1 ) = ( z 12 y 2 ). x 1 = x 2. x 1 = cos θ 12 De plus, on a x2. ( y 2 x 1 ) = 0 car les vecteurs x 2, y 2 et x 1 sont coplanaires..5 Division vectorielle Définition Soient deux vecteurs et B non nuls et orthogonaux, le résultat de la division vectorielle est l ensemble des vecteurs x tels que : x = B Solution générale L ensemble x est défini de la manière suivante, α étant un réel : x = B. + α

98 .6. DÉRIVÉE D UN VECTEUR 91.6 Dérivée d un vecteur Définition Par définition la dériver d un vecteur v (t) par rapport a la variable t, dans une base B ( x, y, z ) est le vecteur suivant : d v dt v (t + h) v (t) = lim h 0 B h Par conséquent, la dérivée d un vecteur v dépend du choix de la base de référence B dans lequel est exprimé le vecteur. En pratique, il est donc nécessaire de toujours préciser par rapport à quelle base est effectuée la dérivée. Propriétés 1. Lnéarité : d (α v 1 + v 2 ) dt = α d ( v 1 ) B dt + d ( v 2 ) B dt B 2. Dérivée du produit scalaire : d ( v 1. v 2 ) dt = d ( v 1 ) B dt. v 2 + v 1. d ( v 2 ) B dt 3. Dérivée d un produit vectoriel : d ( v 1 v 2 ) dt = d ( v 1 ) B dt v 2 + v 1 d ( v 2 ) B dt 4. Dérivée d un produit mixte : d ( v 1, v 2, ( v 3 ) d v1 dt = B dt, v 2, ) v 3 + B ( v2, d v 2 dt B, ) v 3 + B 5. Dérivée d un vecteur dépendant d une fonction : d v (θ (t)) dt = d v (θ) dθ (t) B dθ B dt Exemples B ( v1, v 2, d v 3 dt ) B On se place toujours dans le cas de deux bases orthonormées directes B 1 ( x 1, y 1, z 1 ) et B 2 ( x 2, y 2, z 2 ) en rotation l une par rapport à l autre d un angle θ 12 autour du vecteur z 12. Les dérivée des vecteurs de la B 1 ( x 1, y 1, z 1 ) rapport à la base B 1 sont nulles d x 1 dt = d y 1 B1 dt = d z 1 B1 dt = 0 B1

99 92 NNEXE. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE La projection des vecteurs x2 = cos θ 12 x1 + sin θ 12 y1 y2 = sin θ 12 x1 + cos θ 12 y1 z2 = z 1 En dérivant les expressions de droite, on obtient d x 2 dt d y 2 dt d z 2 dt = θ 12 sin θ 12x1 + θ 12 cos θ 12y1 B1 = θ 12 cos θ 12x1 θ 12 sin θ 12y1 B1 = 0 B1.7 Changement de base de dérivation Vocabulaire La base dans laquelle on exprime les composantes des vecteurs sera indifféremment appelée, base de calcul ou base de projection. La base dans laquelle est effectuée la dérivation, sera indifféremment appelée base de dérivation ou référentiel du mouvement. Dérivée d un vecteur exprimé dans la base de dérivation Dans ce cas particulier, la base de projection est confondue avec le référentiel du mouvement choisi. lors, si un vecteur v s exprime dans un repère R (0, x, y, z ) associé à cette base B à l aide de trois composantes (a, b, c), comme les trois vecteurs unitaires de cette base sont constants : d v (t) dt = da B dt x + db dt dc y + z dt Dérivée d un vecteur exprimé dans une base distincte de la base de dérivation Supposons une base de projection B 1 ( x 1, x 2, x 3 ) dans laquelle le vecteur v est exprimé à l aide de trois composantes (a 1, a 2, a 3 ). Supposons aussi une base B ( e 1, e 2, e 3 ) attachée au référentiel du mouvement et distincte de la première. Lors de la dérivation du vecteur v par rapport au référentiel du mouvement B, il faut tenir compte du fait que les vecteurs unitaires de la base B 1 dans laquelle est exprimé le

100 .7. CHNGEMENT DE BSE DE DÉRIVTION 93 vecteur v ne sont pas constants dans la base de dérivation B 1. insi : d v dt = da 1 d x 1 x1 + a 1 B dt dt B + da 2 d x 2 x2 + a 2 dt dt + da 3 dt x3 + a 3 d x 3 dt Soit en rassemblant les termes : d v dt = d { v d x 1 B dt + a 1 d x 2 B1 dt + a 2 d x 3 B dt + a 3 B dt B ce stade nous avons besoin de l expression des dérivées des vecteurs unitaires de la base B 1 par rapport au référentiel du mouvement B : d x 1 dt = Ω (B 1 /B) x 1 B d x 2 dt = Ω (B 1 /B) x 2 B d x 3 dt = Ω (B 1 /B) x 3 B donc a 1 d x 1 dt d x 2 + a 2 d x 3 B dt + a 3 B dt = Ω (B 1 /B) (a 1x1 + a 2x2 + a 3x3 ) = Ω (B/B 1 ) v B Le vecteur Ω (B 1 /B) est homogène à l inverse d un temps, c est le taux de rotation de la base B 1 par rapport à la base B. Ces composantes dans la base B 1 sont Ω (B1 /B) = α x 1 + β x 2 + γ x 3 ( α, β, ) γ où sont les dérivées temporelles des trois angles de rotation de la base B 1 par rapport à B, (α, β, γ). Finalement, on obtient la formule de dérivation dans la base mobile : d v dt = d v B dt + Ω (B 1 /B) v B1 B B Quelques propriétés du vecteur vitesse de rotation 1. Composition des vecteurs vitesses de rotations Ω (B3 /B 1 ) = Ω (B 3 /B 2 ) + Ω (B 2 /B 1 ) 2. Inversion des bases de dérivations Ω (B2 /B 1 ) = Ω (B 1 /B 2 )

101 94 NNEXE. QUELQUES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Exemple Dans le cas de l exemple de la section.2, le vecteur vitesses de rotations de B 2 par rapport à B 1 est Ω (B2 /B 1 ) = θ 21 z12 Donc la formule de changement de base de dérivation conduit à d x 2 dt = d x 2 B1 dt + Ω (B 2 /B 1 ) x 2 B2 De même on obtient et = θ 21 z12 x 2 = θ 21 y2 d y 2 dt = θ 21x2 B1 d z 2 dt = 0 B1 La projection de ces expressions conduit aux mêmes résultats que dans la section.6. L avantage de ces expressions, c est quelles sont plus concises. Remarque.2 Les expressions de d x 2 dt et d y 2 dt dans la base B 2 sont plus simples. B1 B1 Bien qu on dérive par rapport à la base B 1, l utilisation de la formule de changement de base de dérivation conduit à des expressions simples dans la base B 2.

102 nnexe -B- Les Torseurs B.1 Torseurs Le torseur est l outil privilégié de la mécanique du solide. Il est utilise pour représenter le mouvement d un solide, caractériser une action mécanique, formuler le principe fondamental de la dynamique de manière générale. Definitions Un torseur est un ensemble défini par : 1. Un vecteur noté R appelé la résultante du torseur. 2. Un champ de vecteur M vérifiant la relation M B = M + R B 3. M est appelé le moment au point du torseur. { 4. Le torseur T se note de la façon suivante au point { T = { R M Propriété B.1 Le champ de moment d un torseur est équiprojectif M. B = M B. B et réciproquement si un champ de vecteur est équiprojectif alors s est un champ de moment d un torseur

103 96 NNEXE B. LES TORSEURS Invariants d un torseur Entre deux points quelconques et B de l espace, l expression d un torseur change, mais il existe deux quantités qui se restent inchangées se sont les deux invariants : Premier invariant la résultante R Second invariant la projection du moment du torseur sur sa résultante M. R = M B. R Point central, axe central et moment central Un point central est un point où le moment du torseur à la même direction que la résultante. L ensemble des points centraux est l axe ( centrale. Si l on connaît un point centrale H, l axe centrale est défini par la droite H, ) R engendrée par la résultante passant par H. Le moment central est le moment du torseur en un point quelconque de son axe central. La norme du moment d un torseur est minimale pour les points centraux. Par conséquent si le moment d un torseur est nul en un point, ce point appartient à l axe central. Glisseur On appelle glisseur, un torseur { G, s il existe au moins un point tel que { { R G = 0 ( L expression d un glisseur reste inchangée tout le long de l axe, ) R, c est-à-dire ( si l on fait glisser la résultante suivant, ) R le torseur est le même. Le second invariant d un glisseur est nul R. M M = 0 et réciproquement si le second invariant d un torseur est nul alors c est un glisseur. Torseur couple On appelle couple, un torseur { C, si la résultante R est nulle. { C = { 0 Un torseur couple est indépendant du point où on l exprime. C

104 B.2. OPÉRTIONS SUR LES TORSEURS 97 B.2 Opérations sur les torseurs Soient deux torseurs {T 1 = { R1 M 1, {T 2 = { R2 M 2 Comme nous le verrons pour effectuer des opérations sur les torseurs, il faut impérativement qu ils soient exprimés en un même point. Egalité On dit que deux torseurs sont égaux si R 1 = R 2 M 1 = M 2 avec ces deux égalité, il est aisé de montrer que M 1 = M 2 quelque soit le point B. On le note cette égalité {T 1 {T 1 = Pour égaler deux torseurs il faut impérativement les exprimer au même point. ddition La somme de deux torseurs se définit par { {T 1 {T 2 Multiplication par un scalaire T = + = { R1 + R 2 M 1 + M 2 La multiplication d un torseur par scalaire est définie par { { λ R λ T = λ M Comoment Le comoment de deux torseurs est un scalaire défini par {T 1 {T 2 = R 1. M 2 + M 1. R 2 Cette grandeur scalaire ne dépend pas du point utilisé pour le calcul.,

105 98 NNEXE B. LES TORSEURS Théorème de décomposition d un torseur avec Tout torseur se décompose de façon unique en la somme d un glisseur et d un couple. {T 1 {G 1 {C 1 avec R 2 1 = R 1. R 1 Références {C 1 = = + { 0 M 1. R 1 R R1 2 1 Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.