Mécanique P06-1MECA0

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1 PRIS Formation d Ingénieurs en Partenariat Section GE Polycopié de cours V Mécanique P06-1MEC0 Cours Magistraux TD ED 1ère nnée Enseignant : Mr DETREZ

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4 Table des matières II Cinématique 1 I.1 Trajectoire, vecteur position I.1.1 L espace I.1.2 Référentiel I.1.3 Trajectoire I.1.4 Vecteur position I.2 Vecteur vitesse et accélération I.2.1 Vecteur vitesse I.2.2 Vecteur accélération I.2.3 Dérivation vectorielle dans un repère I.3 Composition des vitesses et des accélérations I.3.1 Composition des vitesses I.3.2 Composition des accélérations I.4 Champ de vitesse d un solide I.4.1 Paramétrage de la position d un solide I.4.2 ngles d Euler I.4.3 Champ de vitesses d un solide I.5 Cinématique des systèmes de solides I.5.1 Définitions I.5.2 Inventaires des liaisons mécaniques normalisées I.5.3 Cinématique du contact entre deux solides : Glissement, roulement et pivotement I.5.4 Modélisation de la cinématique I.6 Cinématique graphique I.6.1 Mouvements plans I.6.2 Equiprojectivité I.6.3 Centre instantané de rotation I.6.4 Théorème des 3 plans mobiles I.7 Ce qu il faut retenir II Statique 31 II.1 ctions mécaniques II.1.1 Définition II.1.2 Représentation II.1.3 ctions volumiques II.1.4 ctions de contact II.1.5 Moment d action mécanique et couple

5 iv TBLE DES MTIÈRES II.1.6 ctions de liaison II.2 Principe fondamentale de la statique II.2.1 Efforts extérieurs à un système matériel II.2.2 Enoncé II.2.3 Théorème des actions réciproque II.2.4 Cas particuliers II.3 Loi du frottement II.3.1 nalyse du contact ponctuel entre deux solides II.3.2 Loi de Coulomb II.4 Utilisation du principe fondamentale de la statique II.4.1 Degré d hyperstatisme II.4.2 Systèmes isostatiques et hyperstatiques II.4.3 Démarche de résolution des problèmes II.5 Statique graphique II.5.1 Exemple 1 : Solide soumis à trois forces II.5.2 Exemple 2 : Solide soumis à quatre forces II.5.3 Exemple 3 : Encore un solide soumis à quatre forces II.6 Ce qu il faut retenir III Dynamique 61 III.1 Dynamique du point matériel III.1.1 Equation de la dynamique III.1.2 Exemples de force III.1.3 Quantité de mouvement III.1.4 Moment cinétique et moment dynamique III.1.5 Théorème du moment cinétique III.2 Dynamique du solide III.2.1 Principe Fondamental de la Dynamique III.2.2 Torseur cinétique et torseur dynamique III.2.3 Centre d inertie et opérateur d inertie III.2.4 Démarche de résolution d un problème III.3 Energétique III.3.1 Puissance et Travail III.3.2 Energie cinétique III.3.3 Théorème de l énergie cinétique III.4 Ce qu il faut retenir Quelques éléments de géométrie vectorielle 85.1 Les vecteurs Produit scalaire Produit vectoriel Produit mixte Division vectorielle Dérivée d un vecteur Changement de base de dérivation

6 TBLE DES MTIÈRES v B Les Torseurs 95 B.1 Torseurs B.2 Opérations sur les torseurs nnexes 85

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8 Chapitre -I- Cinématique Table des Matières I.1 Trajectoire, vecteur position I.1.1 L espace I.1.2 Référentiel I.1.3 Trajectoire I.1.4 Vecteur position I.2 Vecteur vitesse et accélération I.2.1 Vecteur vitesse I.2.2 Vecteur accélération I.2.3 Dérivation vectorielle dans un repère I.3 Composition des vitesses et des accélérations I.3.1 Composition des vitesses I.3.2 Composition des accélérations I.4 Champ de vitesse d un solide I.4.1 Paramétrage de la position d un solide I.4.2 ngles d Euler I.4.3 Champ de vitesses d un solide I.5 Cinématique des systèmes de solides I.5.1 Définitions I.5.2 Inventaires des liaisons mécaniques normalisées I Liaisons élémentaires I Liaisons composées I En deux dimensions I.5.3 Cinématique du contact entre deux solides : Glissement, roulement et pivotement I Vitesse de glissement I Vecteurs roulement et pivotement I.5.4 Modélisation de la cinématique I Graphe cinématique

9 2 CHPITRE I. CINÉMTIQUE I Graphe de structure ou graphe des liaisons I Mobilité d un système a) Fermeture géométrique b) Fermeture géométrique I Calcul de la mobilité I Mobilité utile et mobilité interne I Résolution d un problème de cinématique I.6 Cinématique graphique I.6.1 Mouvements plans I.6.2 Equiprojectivité I Définition I Démonstration I Utilisation de l équiprojectivité I.6.3 Centre instantané de rotation I Définition I Propriétés I.6.4 Théorème des 3 plans mobiles I.7 Ce qu il faut retenir

10 I.1. TRJECTOIRE, VECTEUR POSITION 3 La cinématique est l étude du mouvement indépendamment des causes qui les produisent. C est-à-dire de la position des objets au cours du temps, mais également de leurs vitesses et accélérations. Les notions de vitesse et d accélération ne sont définies que pour un point et par rapport à un repère. I.1 Trajectoire, vecteur position I.1.1 L espace La représentation du monde extérieur exige de notre part la construction de certains cadres, qui ont leur origine dans une mise en ordre de nos sensations. Le premier de ces cadres est l espace. Bien que notre corps soit en perpétuel changement, nous avons la conscience d un minimum dans ce changement qui nous fait dire que nous sommes immobiles. Lorsque ce minimum n est pas atteint, nous disons qu il y a changement d attitude et de position. Quant, après une série de changements d attitude et de position, tout se passe comme si nous étions restés immobiles, nous disons que nous sommes revenus au même lieu. L accord entre tous les hommes sur l identification des lieux constitue l espace physique. I.1.2 Référentiel L expérience nous apprend que trois renseignements sont nécessaires et suffisants pour repérer un lieu dans l espace. Pour indiquer à quelqu un où se trouve le nid d un oiseau, nous disons par exemple :marchez devant vous pendant cent pas, ensuite tournez à droite et marchez pendant soixante pas, vous serez au pied de l arbre sur la plus haute branche duquel se trouve le nid. Il en découle que la position du nid n est définie que par rapport à une origine, ici le point de départ et également par trois directions. La position d un point n est définie que relativement à un repère à savoir une origine O et trois axes. Par exemple, imaginons une bille roulant dans un train. On peut définir la position de la bille par rapport au train, par rapport à la Terre, éventuellement par rapport au Soleil, etc. Les mouvements de la bille sont différent par rapport à ces différents repères. Notre premier souci, en cinématique, sera de mettre en place un repère de référence où toutes les quantités telles que les positions, les vitesses et accélérations seront calculées par rapport à ce repère. Le repère utilisé en mécanique doit pouvoir modéliser l espace donc il doit être de dimension de trois. Nous choisirons une base ( e 1, e 2, e 3 ) orthonormée et directe pour pouvoir définir le produit vectoriel. Nous prendrons également un point de référence O pour construire le repère de référence (O, e 1, e 2, e 3 ). Le paramétrage d un point M peut se faire de plusieurs façons (Figure I.1) : coordonnées cartésiennes M (x, y, z) coordonnées cylindriques M (r, θ, z) coordonnées sphériques M (ρ, θ, φ) La position du point M variant d un instant à l autre, il convient de définir une mesure scalaire appelée temps, caractérisant la simultanéité des événements des événements dans différents repères. L unité du système internationale de la mesure de temps est la seconde.

11 4 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Figure I.1 Les différents systèmes de coordonnées (Pommier and Berthaud, 2010) La position de M est une fonction de trois variables d espace (x, y, z) ou (r, θ, z) ou (ρ, θ, φ). Chacune de ces variables est une fonction du temps t. L espace à quatre dimensions (x, y, z, t) est appelé référentiel R. Par abus de langage nous noterons de la même façon le repère associé à ce référentiel. Un point M est dit au repos par rapport à un référentiel R si ces coordonnées dans le repère associé à R sont indépendantes du temps x (t) = x 0 y (t) = y 0 z (t) = z 0 t t t ( Remarque I.1 L origine d un repère R 0, i, j, ) k est par définition au repos dans R et ses coordonnées sont nulles O (x = 0, y = 0, z = 0). I.1.3 Trajectoire On appelle trajectoire de M le lieu des positions successives occupées par un point M dans le repère R lorsque le temps varie. Remarque I.2 On remarque alors que les variables d espaces sont elles-mêmes des fonctions du temps si on suit un point M dans son mouvement x = f (t) ; y = g (t) ; z = h (t), ce sont les équations paramétriques du mouvement. I.1.4 Vecteur position On appelle vecteur position de M, le vecteur qui lie le point M à l origine O du repère R. En fonction du type de coordonnées utilisées, le vecteur position peut s écrire :

12 I.2. VECTEUR VITESSE ET CCÉLÉRTION 5 Figure I.2 Trajectoire du point M dans le référentiel R (Chevalier, 2004) Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindrique Coordonnées sphériques OM = x x + y y + z z OM = r e r + z z OM = ρ e r Remarque I.3 Si on choisit un autre point fixe dans le repère R le vecteur M est également un vecteur position caractéristique du mouvement du point M dans R et pourtant le vecteur M et différent du vecteur OM. Le vecteur position n étant pas directement caractéristique du mouvement de M, nous considérons plutôt la vitesse, c est-à-dire variation de position du point M au cours du temps, qui est unique pour un repère donné. I.2 Vecteur vitesse et accélération I.2.1 Vecteur vitesse La variation de position de M dans R entre deux instants infinitésimalement proches est caractérisée par la vitesse. On note celle-ci V (M/R) et son expression est d OM V (M/R) = dt R

13 6 CHPITRE I. CINÉMTIQUE l expression de ces coordonnées cartésiennes sont ẋ (t) V (M/R) = ẏ (t) ż (t) Le vecteur V (M/R) est appelé vecteur vitesse du point M par rapport au repère R. Notons que la dimension physique d une vitesse est une longueur L sur un temps T. Dans le système internalitonal d unités, la vitesse s exprime en mètres par seconde [m.s 1 ]. Propriété I.1 Le vecteur vitesse V (M/R) est tangent à la trajectoire de M dans R. Remarque I.4 Calculer une vitesse par rapport à un repère R ne signifie pas qu il faille exprimer cette vitesse dans la base liée à ce repère. I.2.2 Vecteur accélération La variation de la vitesse d un point M, au cours du temps, est caractérisée par un vecteur : a (M/R) = d V (M/R) dt = d2 OM dt 2 R Ce vecteur est appelé vecteur accélération du point M dans le repère R. La dimension physique d une accélération est une longueur L sur le carré d un temps T 2. Dans le système international d unités, l accélération s exprime en mètres par seconde au carré [m.s 2 ]. I.2.3 Dérivation vectorielle dans un repère La formule de la base mobile est à la base de toutes relations cinématiques. Elle permet de déterminer la dérivée d un vecteur par rapport à un référentiel R 2 connaissant la dérivée du même vecteur par rapport à un autre référentiel R 1. d U dt = d U + Ω (R 1 /R 2 ) U dt R2 R1 R Ω (R1 /R 2 ) est le vecteur taux de rotation de R 1 par rapport à R 2. Pour utiliser la formule de la base mobile, il faut auparavant déterminer le taux de rotation. Pour chaque rotation d angle α i (en radian) autour de k i le vecteur taux de rotation est donnée par Ω (R1 /R 2 ) = i α i ki

14 I.3. COMPOSITION DES VITESSES ET DES CCÉLÉRTIONS 7 La dimension physique du vecteur taux de rotation est un angle [rad] sur temps T [s]. Dans le système international d unités, le taux de rotation s exprime en seconde moins 1 [rad.s 1 ] = [s 1 ] Remarque I.5 Lorsque U (t) est un vecteur u fixe dans R 1 la formule de la base mobile devient : d u dt = Ω (R 1 /R 2 ) u R2 Ce cas particulier est très important dans la pratique car nous le retrouverons très souvent. En effet, cette formule s utilise pour passer de la dérivée dans R 2 à la dérivée dans R 1 où u est fixe. I.3 Composition des vitesses et des accélérations Les vecteurs vitesse et accélération ont été calculés en dérivant le vecteur position OM. Ce vecteur ayant été défini dans un repère R, la vitesse et l accélérations ainsi obtenues sont des grandeurs qui dépendent de ce repère R. On les note : V (M/R) a (M/R) Ce qui veut dire qu un même point M, dans plusieurs référentiels mobiles les uns par rapport aux autres, possède une vitesse par rapport à chacun des référentiels (Figure I.3). Les relations de mouvement permettent de calculer les grandeurs caractéristiques du mouvement d un point par rapport à un repère R 1 (0 1, x 1, y 1, z 1 ), connaissant ces grandeurs par rapport au repère R 2 (0 2, x 2, y 2, z 2 ). Il faut bien sûr connaître le mouvement de R 2 par rapport à R 1. Figure I.3 Composition des vitesses (Chevalier, 2004) Pour déterminer les relations de composition de mouvement, il suffit d exprimer le vecteur position sous la forme : O 0 M = O 0 O 1 + O 1 M

15 8 CHPITRE I. CINÉMTIQUE O 1 et O 2 sont les origines respectives de R 1 et R 2. Il faut ensuite dériver par rapport au repère R 1. On utilise la formule de la base mobile pour faire apparaître des dérivées par rapport à R 2. I.3.1 Composition des vitesses Soient R 1 et R 2 deux repères en mouvement l un par rapport à l autre. La vitesse du point M par rapport à R 1 est par définition : V (M/R1 ) = d O 1 M dt R1 = d O 1 O 2 + O 2 M dt R1 = d O 1 O 2 + d O 2 M dt dt R1 R1 = V (0 2 /R 1 ) + d O 2 M dt Le second terme se transforme à l aide de la formule de la base mobile d O 2 M = d O 2 M + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M dt dt R1 R2 = V (M/R 2 ) + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M R1 donc Posons V (M/R1 ) = V (0 2 /R 1 ) + V (M/R 2 ) + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M V (M, R2 /R 1 ) = V (M/R 1 ) V (M/R 2 ) donc V (M, R2 /R 1 ) = V (0 2 /R 1 ) + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M Dans le mouvement de R 2 par rapport R 1, on définit La vitesse absolue V (M/R 1 ) La vitesse relative V (M/R 2 ) La vitesse d entraînement V (M, R 2 /R 1 ) = V (M R 2 /R 1 ) La vitesse d entraînement dans le mouvement R 2 par rapport R 1 correspond à la vitesse du point M, considéré comme fixe dans le repère R 2, dans son mouvement par rapport à R 1. Elle a pour expression V (M, R2 /R 1 ) = V (0 2 /R 1 ) + Ω (R 2 /R 1 ) O 2 M

16 I.4. CHMP DE VITESSE D UN SOLIDE 9 avec O 2 l origine de R 2. Dans la pratique, une telle relation permet de déterminer la vitesse d un point dont le mouvement est complexe en considérant une suite de référentiels R i successifs, chacun en mouvement simple les uns par rapport aux autres. Si les R i sont (n + 1) référentiels successifs permettant de passer de R 0 à R n on peut écrire une relation de Chasles : Ω (Rn /R 0 ) = Ω (R n /R n 1 ) + + Ω (R 1 /R 0 ) V (M, Rn /R 0 ) = V (M, R n /R n 1 ) + + V (M, R 1 /R 0 ) I.3.2 Composition des accélérations Soient R 1 et R 2 deux repères en mouvement l un par rapport à l autre. Il est aisé de montrer comme précédemment que les accélérations d un point M par rapport à R 1 ou par rapport à R 2 sont liées par la relation a (M/R1 ) = a (M/R 2 ) + a Coriolis (M, R 2 /R 1 ) + a (M, R 2 /R 1 ) Par définition, nous avons L accélération absolue a (M/R 1 ) L accélération relative a (M/R 2 ) L accélération d entraînement a (M, R 2 /R 1 ) a (M, R2 /R 1 ) = a (O 2 /R 2 ) + ( Ω Ω (R 2 /R 1 ) (R2 /R 1 ) ) O 2 M + d Ω (R 2 /R 1 ) O dt 2 M R1 L accélération de Coriolis a Coriolis (M, R 2 /R 1 ) a Coriolis (M, R 2 /R 1 ) = 2 Ω (R 2 /R 1 ) V (M/R 2 ) Remarque I.6 Nous verrons que l utilisation de cette relation n est pas très courante. En effet, en dynamique, seules certaines projections de l accélération suffisent. Nous pouvons tout de même retenir, que la vitesse d entraînement correspondent à la vitesse du point M considéré comme fixe dans le repère d entraînement. Cette remarque permet souvent de se ramener à une succession de cas simple pour les calculs cinématiques d un mouvement plus complexe. I.4 Champ de vitesse d un solide I.4.1 Paramétrage de la position d un solide Un solide indéformable est un ensemble de points dont les distances restent invariantes au cours du temps. On peut privilégier un point O S et définir une base orthonormée liée au solide. On fabrique ainsi un repère R S lié au solide S. La position de ce repère par rapport à un autre repère R est définie par 6 paramètres ou degrés de liberté (ddl) au plus :

17 10 CHPITRE I. CINÉMTIQUE 3 translations pour la position du point 0 S ; 3 rotations pour l orientation de la base R S ). Si ce solide est en liaison avec R le nombre de ddl est inférieur à 6. I.4.2 ngles d Euler Lorsque le solide est astreint à un certain mouvement par des liaisons, la cinématique du système fixe généralement sans ambiguïté le choix du paramétrage. Dans les cas moins nets, on utilise souvent les angles d Euler (ψ, θ, ϕ) qui minimisent les calculs et les projections. On souhaite passer d une base orthonormée B ( x, y, z ) à une base B ( i, j, k ) liée à un solide, par exemple (Figure I.4). Il faut donc choisir 3 rotations (Figure I.5). Figure I.4 ngles d Euler (Chevalier, 2004) L intersection du plan ( x, y ) qui est orthogonal à z et du plan ( i, j ) est orthogonal à k s appelle la ligne des nœuds, le vecteur directeur de cette droite s appelle le vecteur nodal u. On passe de z à k par une rotation θ autour du vecteur nodal u. C est la nutation. Le passage d une base à l autre peut alors se faire par 3 rotations planes : la précession ψ autour de z, la nutation θ autour de u et la rotation propre φ autour de k. Le vecteur rotation instantanée a comme expression : Ω (B /B) = ψ z + θ u + φ k Remarque I.7 Vous avez sûrement constaté que les figures de calculs traduisant les rotations planes sont systématiquement faites dans le cas où l angle de rotation est compris entre 0 et π. Ce n est pas un hasard, mais une indispensable précaution à 2 prendre pour obtenir les résultats des produits scalaires et vectoriels sans erreur de signe. Il est fortement conseillé, dans un problème, de commencer par dessiner les figures de calculs, qui vous feront gagner beaucoup de temps lors de la mise en équation du problème. qui

18 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 11 #» v #» y #» k #» z #» j #» w #» u #» w #» i ψ #» x θ #» φ #» v u #» z #» #» u k I.4.3 Figure I.5 Figures de calculs Champ de vitesses d un solide La base de la cinématique du solide est la notion de conservation des distances entre deux points. La formule de la base mobile appliquée entre un repère S lié au solide et le repère R de référence permet de montrer que la vitesse d un point P du solide et la vitesse d un point M appartenant au même solide sont reliées par la relation V (P, S/R) = V (M, S/R)+ Ω (S/R) MP avec Ω (S/R) le vecteur taux de rotation de S par rapport à R. Le couple formé par l union du vecteur taux de rotation et du champ de vecteurs vitesses, constitue ce que l on nomme un torseur cinématique { Ω (S/R) {V S/R = V (M, S/R) M Les vecteurs Ω (S/R) et V (M, S/R) sont les éléments de réduction du torseur cinématique du solide au point M. Le premier terme, Ω (S/R), est la résultante du torseur et le second, V (M, S/R), est le moment du torseur. I.5 Cinématique des systèmes de solides I.5.1 Définitions Lorsque la mécanique du solide est appliquée à des mécanismes, les mouvements relatifs entre solides sont limités par l existence de liaisons entre les différentes pièces du mécanisme. insi, un système de solides est constitué de deux sous-ensembles : l ensemble des solides indéformables ; l ensemble des liaisons entre solides. Le système de solides pourra donc être représenté par des graphes, dont l analyse permet de définir le nombre d inconnues cinématiques du système. Il existe deux types de graphe : Graphe cinématique : les liaisons constituent les sommets, les solides constituent les arcs.

19 12 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Graphe de structure : les solides constituent les sommets, les liaisons constituent les arcs. Par ailleurs, cette représentation permet d aider au choix des sous-systèmes à isoler, des théorèmes généraux à appliquer et des projections pertinentes à effectuer. Degrés de liberté d une liaison (ddl) Dans le repère local associé à la liaison entre deux solides, les mouvements relatifs des deux solides sont limités à trois translations et trois rotations au maximum. Parmi ces 6 mouvements élémentaires, le nombre de mouvements élémentaires indépendants autorisés par la liaison définit les degrés de liberté (ddl) de cette liaison. I.5.2 Inventaires des liaisons mécaniques normalisées On appelle liaisons élémentaires les liaisons obtenues à partir des surfaces géométriques élémentaires : plan, sphère, cylindre. Ces surfaces seront supposées géométriquement parfaites. De plus, les liaisons seront supposées sans jeux. Le choix d une liaison est principalement gouverné par le nombre de degrés de liberté à supprimer. Les liaisons élémentaires offrent un premier choix mais ne couvrent que 6 possibilités. L imagination peut conduire vers d autres solutions obtenues en combinant les liaisons élémentaires. L association de liaisons élémentaires conduit aux liaisons composées. I Liaisons élémentaires L association deux à deux des surfaces élémentaires permet d introduire les liaisons parfaites : Plan Plan Liaison appui-plan Cylindre Cylindre Liaison pivot-glissant Sphère Sphère Liaison rotule Cylindre Plan Liaison linéaire rectiligne Sphère Plan Liaison appui-ponctuel Sphère Cylindre Liaison linéaire-annulaire Liason pivot-glissant (2 ddl) L assemblage de 2 cylindres concentriques donne la liaison pivot-glissant. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z z y x La liaison pivot glissant est une liaison à deux degrés de liberté : un degré de

20 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 13 rotation et un degré de translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici x ) de la liaison ainsi que la position d un point quelconque de l axe de rotation (ici le point ). Le torseur cinématique qui caractérise la liaison pivot-glissant est de la forme suivante : { (ω x, 0, 0) {V 2/1 = (V x, 0, 0) ( x,, ) Liaison rotule (3 ddl) L assemblage de 2 sphères concentriques donne la liaison rotule. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z y La liaison rotule a trois degrés de liberté en rotation, aucun en translation. Seule la position du centre de la rotule est nécessaire à sa définition géométrique. Le torseur cinématique associé est de la forme suivante : { (ω x, ω y, ω z ) {V 2/1 = (0, 0, 0) (,, ) Liaison appui-plan (3 ddl) L assemblage de 2 plans donne la liaison appui-plan. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z y La liaison appui-plan à trois degrés de libertés, elle permet les translations dans le plan de contact suivant x et y, ainsi qu une rotation autour de la normale au plan k. La caractérisation géométrique de cette liaison, est faite par un point du plan de contact (ici ) et la normale à ce plan (ici z ). Le torseur cinématique associé est de la forme : { (0, 0, ω z ) {V 2/1 = (V x, V y, 0) (,, z )

21 14 CHPITRE I. CINÉMTIQUE z z y x Liaison linéaire annulaire (4 ddl) L assemblage d un sphère dans un cylindres donne la liaison linéaire annulaire. Celle-ci est schématisée de la façon suivante La liaison linéaire annulaire est une liaison à 4 degrés de liberté : trois degrés de rotation et un degré de translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction de translation (ici x ) de la liaison ainsi que la position d un point quelconque de l axe du cylindre (ici le point ). Le torseur cinématique qui caractérise la liaison linéaire annulaire est de la forme suivante : { (ω x, ω y, ω z ) {V 2/1 = (V x, 0, 0) ( x,, ) Liaison linéaire rectiligne (4 ddl) L assemblage d un cylindres sur un plan donne la liaison linéaire rectiligne. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z z y x La liaison linéaire rectiligne est une liaison à 4 degrés de liberté : deux degrés de rotation et deux degré de translation. C est la liaison qui nécessite le plus d informations géométrique pour être définie. Il est nécessaire de préciser le plan par sa normale (ici z ) ainsi que la ligne de contact (ici x ) et un point de cette ligne (ici ). Le torseur cinématique qui caractérise la linéaire rectiligne est de la forme suivante : { (ω x, 0, ω z ) {V 2/1 = (V x, V y, 0) P ( x, y, z ) La base ( x, y, z ) est liée au solide contenant la ligne de contact, ici le solide supérieur.

22 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 15 Liaison appui-ponctuel (5 ddl) L assemblage d une sphère sur un plan donne la liaison appui-ponctuel. Celle-ci est schématisée de la façon suivante z y I La liaison appui-ponctuel est une liaison à 5 degrés de liberté : trois rotations et deux translations. Elle nécessite de préciser le plan par sa normale (ici z ) et le point de contact (ici ). Le torseur cinématique qui caractérise l appui-ponctuel est de la forme suivante : { (ω x, ω y, ω z ) {V 2/1 = (V x, V y, 0) Liaisons composées (,, z ) Liaison rotule à doigt (2 ddl) La liaison rotule à doigt est une liaison rotule à laquelle un degrés de liberté a été retiré. Elle est schématisée de de la façon suivante z y La liaison rotule à doigts a deux degrés de liberté en rotation, aucun en translation. La position du centre de la rotule (ici ) et la direction bloqué en rotation (ici y ) sont nécessaires à sa définition géométrique. Le torseur cinématique associé est de la forme suivante : { (ω x, 0, ω z ) {V 2/1 = (0, 0, 0) (, y, )

23 16 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Liaison glissière (1 ddl) Elle est schématisée de la façon suivante : z z y x La liaison glissière est une liaison à un degré de liberté en translation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici x ) de la liaison. Le torseur cinématique qui caractérise la liaison glissière est de la forme suivante : { (0, 0, 0) {V 2/1 = (V x, 0, 0) ( x,, ) Remarque I.8 Il n est pas nécessaire de préciser le point car le torseur {V 2/1 est invariant, il a la même expression quelque soit le point où il est exprimé. Liaison pivot (1 ddl) Elle est schématisée de la façon suivante : z z y x La liaison pivot est une liaison à un degrés de liberté en rotation. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici x ) de la liaison ainsi que la position d un point quelconque de l axe de rotation (ici le point ). Le torseur cinématique qui caractérise la liaison pivot est de la forme suivante : { (ω x, 0, 0) {V 2/1 = (0, 0, 0) ( x,, )

24 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 17 Liaison hélicoïdale (1 ddl) Elle est schématisée de la façon suivante : z z y x La liaison hélicoïdale est une liaison qui permet une translation ainsi qu une rotation. Toutefois elle n est qu à un seul degrés de liberté car la rotation et la translation sont liées par le pas p de l hélice. Si la vitesse de rotation est ω x, alors la vitesse de translation sera égale à pω/2π. Pour définir cette liaison il est nécessaire de préciser la direction (ici x ) de la liaison, la position d un point quelconque de l axe de rotation (ici le point ) ainsi que la valeur du pas de l hélice, noté classiquement p. Le torseur cinématique qui caractérise la liaison hélicoïdale est de la forme suivante : { (ω x, 0, 0) {V 2/1 = ( pωx, 0, 0) 2π ( x,, ) Liaison encastrement (0 ddl) La liaison encastrement est une liaison qui ne permet aucun degrés de liberté. Elle est également appelée liaison complète. Tout mouvement est interdit. Toutes les fixations de carter ou de bâti sur un socle sont des liaisons encastrement. Il n y a pas de schématisation normalisée pour cette liaison puisque les pièces en liaison complète sont représentées, sous forme filaire, comme un solide solide. Le torseur cinématique qui caractérise la liaison encastrement est nul { (0, 0, 0) {V 2/1 = (0, 0, 0) (,, ) I En deux dimensions Dans le cas d un problème bidimensionnelle, il suffit de trois degrés de liberté pour repère deux solides l un par rapport à l autre : les deux translations du plan une rotation d axe orthogonal au plan Ces degrés de liberté sont les mêmes que ceux de la liaison appui-plan. Il existe quatre liaisons normalisés dans le plan : Liaison appui-ponctuel (2 ddl) d axe (, x ) avec x dans le plan {V 2/1 = { ω z (0, V y ) ( x, y, z )

25 18 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Liaison pivot (1 ddl) de direction (, z ) avec z la normale au plan { ω {V z 2/1 = (0, 0) (,, z ) Liaison glissière (1 ddl) d axe x dans le plan { 0 {V 2/1 = (V x, 0) ( x, y, z ) Liaison encastrement (0 ddl) {V 2/1 { 0 = (0, 0) ( x, y, z ) I.5.3 I Cinématique du contact entre deux solides : Glissement, roulement et pivotement Vitesse de glissement Figure I.6 Géométrie d un contact ponctuel (Chevalier, 2004) Lors d un contact ponctuel en I de deux surfaces régulières appartenant respectivement aux solides S 1 et S 2, la vitesse de glissement est définie par la différence entre la vitesse du point géométrique par rapport à S 2 et la vitesse du point géométrique de contact par rapport au solide S 1 : G (I, S1 /S 2 ) = V (I/S 2 ) V (I/S 1 )

26 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 19 Cette vitesse est dans le plan tangent commun (π), à S 1 et S 2 (Figure I.6). Elle est par définition égale à la vitesse du point coïncident I dans le mouvement de S 1 par rapport à S 2 G (I, S 1 /S 2 ) = V (I, S 1 /S 2 ) I Vecteurs roulement et pivotement Le mouvement relatif de S 1 par rapport à S 2 est défini par le torseur des vitesses relatives : { Ω (S1 /S 2 ) {V S1/S2 = V (I, S1 /S 2 ) I Le vecteur taux de rotation se décompose en deux parties : la projection du taux de rotation sur la normale n 12 au plan tangent commun, (π), qui se nomme le pivotement [ Ω Ω p (S 1 /S 2 ) = (S1 /S 2 ). ] n n la composante dans le plan tangent qui se nomme le roulement Ω r (S 1 /S 2 ) = Ω (S 1 /S 2 ) Ω p (S 1 /S 2 ) Remarque I.9 Les engrenages sont généralement modélisés par des liaisons appuiponctuel dans les problèmes plans et par des liaisons linéaires rectilignes en trois dimensions. Pour parfaire cette modélisation, il est nécessaire d adjoindre une condition de roulement sans glissement, c est-dire que la vitesse de glissement entre les roues dentées est nulle V (I, Roue1 /Roue 2 ) = 0 où I est le point de contact des deux roues dentées. utrement, la condition de roulement sans glissement entre S 1 et S 2 impose que la vitesse de glissement soit nulle V (I, S1 /S 2 ) = 0 I.5.4 Modélisation de la cinématique Un système de solides indéformables est composé de deux sous-ensembles : les solides et les liaisons entre les solides. Une représentation peut donc en être faite au moyen d un graphe cinématique ou d un graphe de liaison. I Graphe cinématique Lorsqu on représente un système de solides par un graphe cinématique, les solides se représentent par des lignes et les liaisons par des symboles. Les symboles représentatifs des liaisons sont dessinés en respectant la normalisation et les positions spatiales relatives des entités géométriques caractéristiques. Un graphe cinématique est donc en général un graphe tridimensionnel et se dessine en perspective sauf dans le cas particulier des mécanismes plans. La fonction principale du graphe cinématique est d aider à la compréhension du fonctionnement du système, à la visualisation du paramétrage.

27 20 CHPITRE I. CINÉMTIQUE I Graphe de structure ou graphe des liaisons l inverse, lorsqu on représente un système de solides par un graphe de structure, les solides sont représentés par des bulles et les liaisons par des lignes. Ce graphe pourra être complété par la suite par des vecteurs figurant les actions mécaniques. Sur chaque ligne, il y a le nom de la liaison qu il représente ainsi que ses caractéristiques géométriques. Dans les bulles sont placées les symboles alphanumériques désignant les solides. Le graphe de structure a deux fonctions principales : aider à la détermination de la mobilité du système c est à dire du nombre minimal de paramètres permettant de décrire complètement la cinématique du système, aider au choix des sous-systèmes à isoler, des théorèmes généraux de la dynamique à utiliser, des projections à effectuer pour répondre à un problème posé. I Mobilité d un système La mobilité d un système correspond au nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire totalement la cinématique du système. Dans un mécanisme, chaque liaison présente un certains nombre de degrés de liberté. Mais la mobilité du système complet n est pas égale à la somme des degrés de liberté de chacune des liaisons. Le graphe de structure sera généralement employé pour déterminer la mobilité du système. En effet, lorsque le graphe présente des fermetures, des équations supplémentaires entre les paramètres apparaissent, ce qui diminue d autant la mobilité du système. a) Fermeture géométrique Lorsque dans le graphe de liaison apparaît un chemin fermé, (S 1, S 2,..., S n 1, S n, S 1 ) alors, la fermeture géométrique de ce chemin s écrit : et et O 1 O O n 1 O n + O n O = 0 P (B 1 /B 2 ).P (B 2 /B 3 )... P (B n 1 /B n ).P (B n /B 1 ) = Id où (O i, B i ) est le repère, d origine O i et de base B i, attaché au solide S i. P (B i /B i+1 ) est la matrice de passage de la base B i à la base B i+1 et Id la matrice identité. Pour chaque chemin fermé, on obtient six équations scalaires. Dans la pratique, on utilise que la première relation qu on a l habitude de noter : OO = 0 Cette relation donne au maximum dans le cas tridimensionnelle trois équations scalaires indépendantes. b) Fermeture géométrique Si le chemin fermé possède des liaisons cinématiques, il est possible alors écrire une équation de fermeture cinématique portant sur le torseur cinématique du chemin fermé :

28 I.5. CINÉMTIQUE DES SYSTÈMES DE SOLIDES 21 M {V S1/S2 + M {V S2/S3 + + M {V Sn/Sn 1 + M {V Sn/S1 Dans cette expression, tous les torseurs doivent impérativement être écris au même point M. Cette expression conduit également à six équations scalaires qui sont les dérivées de celle obtenue par la fermeture géométrique associée au même chemin fermé. Remarque I.10 Le choix d utiliser une fermeture géométrique ou une fermeture cinématique sera guidé par des conditions de simplicité de mise en œuvre et conduira souvent à une procédure mixte. Dans la pratique on préféra la fermeture cinématique pour le vecteur taux de rotation bien plus simple que l utilisation des matrices de passages. D un autre côté la fermeture géométrique OO = 0 est souvent plus simple que la fermeture cinématique qui nécessite le calcul des vitesses en un même point M. I Calcul de la mobilité La mobilité est le nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire totalement la cinématique du système. Pour l obtenir, il faut suivre la procédure suivante : 1. Déterminer le nombre maximal de chemins fermés indépendants, γ. Ce nombre s appelle le nombre cyclomatique et vaut : γ = N l N s + 1 ou N l est le nombre de liaisons et N s est le nombre de solides. 2. Calculer la mobilité du système m qui est déterminée par m = I c E c avec E c est le nombre d équation cinématique et I c est le nombre d inconnues cinématiques. Le nombre d équations cinématiques est lié au nombre cyclomatique { 6γ en 3D E c = 3γ en 2D I c est la somme des degrés de libertés associés à chaque liaison. La mobilité peut être déterminé en imaginant le blocage d un degré de liberté d une liaison. On regarde si le système reste mobile ou non. S il reste mobile, on ajoute un deuxième blocage d un nouveau degré de liberté et ainsi de suite jusqu a l immobilité complète du système. La mobilité est alors le nombre de blocages effectues. I Mobilité utile et mobilité interne On peut classer les paramètres de position en deux catégories suivant qu ils sont associés a des liaisons avec l extérieur du système ou à des liaisons internes au système. Par commodité, on parlera de paramètres utiles et de paramètres internes. = { 0

29 22 CHPITRE I. CINÉMTIQUE La mobilité d un système se décompose en une mobilité interne et mobilité utile m = m u + m i La mobilité utile correspond au nombre d actionneurs (moteurs ou pistons) nécessaire au fonctionnement du système. Elle peut être trouvée en utilisant la procédure du blocage des liaisons avec l extérieur (c est-dire là où on peut mettre un actionneur). On observe le système sous la forme d une boîte noire dont les seuls degrés de liberté observables et accessibles (donc blocables) sont ceux des liaisons avec l extérieur. Cette procédure donne la mobilité utile m u. La mobilité interne m i = m m u n a aucun rôle fonctionnel, elle correspond à un mouvement d un solide ou d un ensemble de solides à l intérieur du système. I Résolution d un problème de cinématique 1. Identifier les solides, identifier les liaisons. 2. Identifier le nombbre de degrés de liberté et le paramétrage qui y est associé. 3. Tracer les figures de calcul associées au paramétrage. 4. Tracer le graphe de structure. 5. Calculer le nombre de chemins fermés indépendants. 6. Expliciter les équations de fermeture soit par fermeture cinématique ou soit par fermeture géométrique. I.6 Cinématique graphique I.6.1 Mouvements plans La cinématique se restreint aux systèmes dont les solides sont en mouvement plans (cas 2D). On appelle mouvement plan de solides tout mouvement dont un plan P du solide S reste constamment dans un plan fixe d un repère R. Ce plan P s appelle le plan de glissement et la connaissance de la cinématique des deux solides dans le plan de glissement permet de connaître les vitesses dans tous les plans parallèle à P. L étude de ces mouvement se fait dans le plan glissement. Le vecteur rotation est orthogonal au plan P, il n a donc qu une composante sur l axe z. Ω S/R = ω z I.6.2 I Equiprojectivité Définition Le champ des vitesses d un solide S par rapport à référentiel R est équiprojectif, c est-à-dire : quels que soient les points et B on a V (, S/R). B = V (B, S/R). B

30 I.6. CINÉMTIQUE GRPHIQUE 23 I Démonstration Les vitesses du point et du point B dans le mouvement de S par rapport à R sont reliées par la relation V (, S/R) = V (B, S/R) + Ω (S/R) B En prenant le produit scalaire des deux membres de l équation avec le vecteur B on obtient directement le résultat recherché. En effet, le produit mixte de trois vecteurs coplanaires est nul : ( Ω ) (S/R) B. B = ( ) Ω (S/R). B B = 0 donc I Premier cas ( Ω ) V (, S/R). B = V (B, S/R). B + (S/R) B. B V (, S/R). B = V (B, S/R). B Utilisation de l équiprojectivité Figure I.7 Equiprojectivité entre deux points et B (Chevalier, 2004) L équiprojectivité permet de déterminer la norme de la vitesse de B connaissant la vitesse de et la direction de la vitesse de B (Figure I.7). La longueur de la projection du vecteur vitesse V (, S/R) sur la droite (B) est notée a. Pour construire le vecteur vitesse V (B, S/R), il suffit de porter au point B la longueur a sur la droite (B) et de mener la perpendiculaire à (B) au point b. L intersection de cette perpendiculaire avec la direction de V (B, S/R) permet de construire V (B, S/R). Second cas Si on applique ensuite l équiprojectivité entre les points et C d une part et B et C d autre part, on obtient l intégralité du vecteur vitesse V (C, S/R). L extrémité du vecteur V (C, S/R) se trouve à l intersection de la perpendiculaire à (C) en c et de la perpendiculaire à (BC) en c.

31 24 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Figure I.8 Equiprojectivité entre trois points, B et C (Chevalier, 2004) I.6.3 I Centre instantané de rotation Définition Soit I un point particulier se trouvant sur la perpendiculaire en de V (, S/R) et sur la perpendiculaire en B de V (B, S/R) (Figure II.8). Compte tenu de la propriété d équiprojectivité, il est clair que la vitesse du point I considéré comme un point de S, est nulle par rapport à R. On appelle ce point le Centre Instantané de Rotation (C.I.R.) du mouvement de S par rapport au plan de référence. On a V (I, S/R) = 0 Figure I.9 Construction du Centre Instantané de Rotation de S par rapport à R. I est l intersection des perpendiculaires au vitesses (Chevalier, 2004)

32 I.6. CINÉMTIQUE GRPHIQUE 25 Remarque I.11 Tout se passe comme si le solide S tournait autour du point I SR à l instant de la figure. Le C.I.R. n occupe pas une position fixe dans le temps, ni par rapport au plan de référence ni par rapport au solide lui-même. Sa définition est instantanée et son utilisation n a d intérêt que pour une configuration donnée. Remarque I.12 Notons que le C.I.R. est caractéristique d un repère par rapport à un autre. Dans un système plan constitué de N solides S i en mouvement par rapport R 0, il existe évidemment N C.I.R. que nous pourrons noter I i0. Il existe également, tous les C.I.R. des référentiels liés au solide S i par rapport au repère lié au solide S j que l on peut noter I ij. Bien sûr, le C.I.R. I kj est confondu avec le C.I.R. I jk. I Propriétés Propriété I.2 Si l on connaît deux supports de vecteurs vitesses V (, S/R) et V (B, S/R) respectivement aux points et B dans le mouvement de S par rapport à R. lors le C.I.R., noté I SR, du mouvement de S par rapport à R est l intersection de la perpendiculaire à V (, S/R) en et de la perpendiculaire à V (B, S/R) en B. Propriété I.3 La vitesse d un point P dans le mouvement du solide S par rapport à R est proportionnelle la distance à la distance P I SR et à la vitesse de rotation ωs/r dans le mouvement de S par rapport R. V (P, S/R) = ω S/R P ISR Exemple : l hélice d avion Figure I.10 Hélice d avion La vitesse des points B et C dans le mouvement de l hélice par rapport à l avion ne peuvent pas s obtenir à partir de la vitesse V (, helice/avion) par équiprojectivité car

33 26 CHPITRE I. CINÉMTIQUE la projection de V (, helice/avion) sur la droite (B) est nulle. Mais elle s obtient très facilement à l aide du triangle caractérisant le champ de vitesse. Ce triangle s obtient à partir de la droite (I) et de la droite (I ) où I est le C.I.R. dans le mouvement de l hélice par rapport à l avion et l extrémité du vecteur vitesse V (, helice/avion) =. La vitesse de rotation de l hélice par rapport à l avion se calcul aisément ω = I [m] [m.s 1 ] = [ rad.s 1] Propriété I.4 Si les solides S 1 et S 2 sont en liaison pivot d axe (O, z ) alors O = I S1 S 2 est le centre instantané de rotation dans le mouvement S 1 par rapport à S 2. Propriété I.5 Si les solides S 1 et S 2 sont en liaison appui-ponctuel de normale (, x ) et qu il y a roulement sans glissement alors V (, S/R) = 0 donc = I S1 S 2 est le centre instantané de rotation dans le mouvement S 1 par rapport à S 2. Propriété I.6 Si le solide S 2 est en translation par rapport à S 1 alors le C.I.R., I 12, est porté à l infini. Le vecteur vitesse est le même en tout point du solide de S 2. I.6.4 Théorème des 3 plans mobiles Notons que les C.I.R. n occupent pas des positions quelconques les uns par rapport aux autres. En effet, si l on considère 3 solides S 0, S 1 et S 2, on peut définir trois C.I.R. notés I 10, I 20 et I 21. lors on a I 10, I 20 et I 21 sont alignés De plus, les vitesses de rotations sont inversement proportionnelles aux distances entre les différents C.I.R. ω 2/0 = I 21I 10 ω 1/0 I 21 I 20 Références Chevalier, L. (2004). Mécanique des systèmes et des milieux déformables. Ellipses. Pommier, S. and Berthaud, Y. (2010). Mécanique générale. Dunod.

34 I.7. CE QU IL FUT RETENIR 27 I.7 Ce qu il faut retenir Trajectoire, vecteur position La trajectoire du point M dans le repère R est le lieu des positions successives occupées par M dans R lorsque le temps varie La trajectoire est définie par un vecteur position OM (t), où O est fixe dans R. Vecteur vitesse et accélération La vitesse du point M par rapport au référentiel R d OM [ V (M/R) = ] m.s 1 dt R avec O fixe dans le repère R. L accélération du point M par rapport au référentiel R d V (M/R) a (M/R) = = d2 OM [ ] m.s 2 dt dt 2 R R avec O fixe dans le repère R. Changement de repère pour la dérivée d U = d U + Ω (R dt dt 0 /R) U R R0 Le vecteur taux de rotation Ω (R 0 /R) de R 0 par rapport à R Ω (R0 /R) = [ α ] i k i rad.s 1 i où (α i, ) k i définissent toutes les rotations permettant de passer de R à R 0 Remarque I.13 Bien que la dérivée vectorielle U s effectue par rapport à un repère R donné, il est néanmoins déconseillé de projeter U dans R avant ou après avoir effectué la dérivation. Remarque I.14 Généralement pour calculer la dérivée d un vecteur U, on utilise la formule de changement de repère, en choisissant un repère R 0 tel que d U = 0 dt R0

35 28 CHPITRE I. CINÉMTIQUE Composition des vitesses Vitesse d entraînement du point M dans le mouvement du solide S 2 par rapport au solide S 1 V (M, S2 /S 1 ) = V (M/S 1 ) V (M/S 2 ) Compositions des vitesses relatives et des vecteurs taux de rotations Ω (Rn /R 0 ) = Ω (R n /R n 1 ) + + Ω (R 1 /R 0 ) V (M, Rn /R 0 ) = V (M, R n /R n 1 ) + + V (M, R 1 /R 0 ) Champ de vitesse d un solide Torseur cinématique {V S2/S1 Relation de changement de point = { Ω (S2 /S 1 ) V (, S2 /S 1 ) V (B, S2 /S 1 ) = V (, S 2 /S 1 ) + Ω (S 2 /S 1 ) B Cinématique d un système de solide Condition de roulement sans glissement, soit I le point de contact de deux solide S 1 et S 2 V (I, S2 /S 1 ) = 0 Fermeture géométrique Fermeture cinématique {V N/0 {V N/N 1 = + OO = 0 {V N 1/N {V 2/1 + {V 1/0 ttention cette relation est vraie si tous les torseurs sont exprimés en même point M. Le choix du point du point M est fait afin de minimiser les calculs. Nombre de fermetures de chaîne cinématique indépendantes γ est appelé le nombre cyclomatique γ = N liaison N solide + 1

36 I.7. CE QU IL FUT RETENIR 29 Cinématique d un système de solide Mobilité du système m m = I c E c où I c est le nombre d inconnues cinématiques, il se calcul en sommant les nombres de ddl associés à chacune des liaisons. E c est le nombre d équation cinématique, qui vaut E c = 6γ (cas 3D) et E c = 3γ (cas 2D) Résolution d un problème de cinématique 1. Identifier les solides, identifier les liaisons. 2. Identifier le nombbre de degrés de liberté et le paramétrage qui est associé. 3. Tracer les figures de calcul associées au paramétrage. 4. Tracer le graphe de structure. 5. Calculer le nombre de chemins fermés indépendants. 6. Expliciter les équations de fermeture soit par fermeture cinématique ou soit par fermeture géométrique. Cinématique graphique (Cas 2D) Equiprojectivité (Figures I.7 et I.8) V (, S/R). B = V (B, S/R). B Centre Instantané de Rotation (CIR) du mouvement de 1 par rapport 0, I 10 (Figure II.8) V (I10, 1/0) = 0 La vitesse en du point P dans le mouvement de 1 par rapport à 0 est perpendiculaire à la droite (P I 10 ) et sa norme vaut V (P, 1/0) = ω 10. P I 10 Les centres des liaisons pivots et les points de contact des liaisons appui-ponctuel, où il y a roulement sans glissement, sont des CIR Soient trois solides 1, 2 et 3 alors les trois CIR I 10, I 20 et I 21 sont alignés

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38 Chapitre -II- Statique Table des Matières II.1 ctions mécaniques II.1.1 Définition II.1.2 Représentation II.1.3 ctions volumiques II.1.4 ctions de contact II Répartition surfacique de force II Répartition linéique de force II.1.5 Moment d action mécanique et couple II Définition II Torseur des actions mécaniques II Torseur couple II Moment d une répartition de force de contact II.1.6 ctions de liaison II Expressions des torseurs d inter-efforts II.2 Principe fondamentale de la statique II.2.1 Efforts extérieurs à un système matériel II.2.2 Enoncé II.2.3 Théorème des actions réciproque II.2.4 Cas particuliers II.3 Loi du frottement II.3.1 nalyse du contact ponctuel entre deux solides II.3.2 Loi de Coulomb II.4 Utilisation du principe fondamentale de la statique II.4.1 Degré d hyperstatisme II.4.2 Systèmes isostatiques et hyperstatiques II.4.3 Démarche de résolution des problèmes II.5 Statique graphique

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