Enseigner les mathématiques à la maternelle

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1 Françoise Cerquetti-Aberkane & Catherine Berdonneau La mise en place des activités L organisation matérielle de la classe Une action en trois étapes : 1. Une activité motrice globale 2. Une activité motrice circonscrite 3. Une action intériorisée L organisation pratique de la classe 1. Les échanges lors des regroupements 2. Seuls ou en interaction avec un petit groupe 3. Des actions à faire et refaire Les activités de vie pratique 1. Mathématiser une situation Il s agit de : Partir d un contexte matériel En extraire, par un processus intellectuel, un modèle mathématique Raisonner dans le modèle mathématique pour en tirer des conséquences en fait démontrer des théorèmes Revenir au contexte matériel pour y appliquer les résultats obtenus. C est une démarche très exigeante qui amène souvent à des illusions de la part du maître 2. Exploiter des situations de la vie pratique Les affichages 1. Affichage permanent Bandes numériques jusqu à 31 : une horizontale, une verticale. Tous les chiffres sont écrits de la même couleur. Affiche avec toutes sortes de triangles Affiche sur la symétrie en GS quand on a commencé à y travailler. 2. Affichage momentané Constellations type domino, du dé ; représentations avec les doigts en additif et soustractif. Page 1 sur 13

2 Panneau avec les chiffres rugueux Affiches avec toutes sortes de figures géométriques Les albums Créer une bibliothèque mathématique à partir des titres suivants : Jeux mathématiques, M. Anno - Père Castor Pong au cirque, D. Picon - Epigones Noël de un à dix, Gründ Je compte de 1 à 100 en m amusant, A. Rosenberg - Coq d or Entraînement à la gestion mentale L évocation : Rappeler mentalement dans le présent une perception antérieure. C est une activité mentale essentielle car c est elle qui permet la constitution d images mentales. L enseignant doit prévoir dans toute activité de manipulation, un moment où l enfant est entraîné à prendre de la distance par rapport à ses perceptions, à les traduire en évocations. Les autres gestes mentaux : L attention : traduire en évocation les perceptions au fur et à mesure qu on les reçoit. La mémorisation : le projet d utiliser ultérieurement les évocations effectuées au moment de la perception. Elle comporte 4 conditions mentales : Percevoir avec le projet d évoquer Évoquer en plaçant ce qu on évoque dans un imaginaire d avenir S entraîner à restituer les évocations comme si l on était dans la situation future projetée S assurer que l essentiel est bien évocable et évoqué sans que l on ait besoin de faire retour à l objet de perception Elle se répartit en 2 formes : Le su par cœur sans compréhension Le su par interprétation qui exige la compréhension (La compréhension suppose attention, évocation puis confrontation de l évocation avec l objet de la perception NB. On développe ces compétences en amenant les enfants à exercer leurs sens. Le développement d un sens entraîne conjointement un progrès des autres. Page 2 sur 13

3 La résolution de problème Partir du vécu PS : faire résoudre des problèmes dans des situations vécues. MS : commencer à les faire coder. NB. La correspondance scolaire donne du sens à ce codage. Ex : Donner un ballon à chaque groupe de deux élèves. Trois étapes : 1. résoudre le problème 2. expliquer ce que l on a fait et schématiser 3. résoudre un problème du même type sans manipuler ou avec des jetons. Rôle et place de la trace écrite Une trace : pour qui, pourquoi? Pour montrer le travail des élèves ou l utiliser, on peut photocopier ou photographier des manipulations et les reconstruire pour les poursuivre. Une mémoire vivante Pour que l enfant puisse se référer à un document écrit comme auxiliaire de mémoire il faut que le document figure sur : un cahier que l on va l amener à feuilleter des panneaux dont on va lui montrer l intérêt. La trace en faux négatif et faux positif L activité sur support papier doit être gardée pour la phase terminale d un apprentissage. L échec à un travail sur fiche ne signifie pas forcément que la notion n est pas comprise, il peut provenir du support. La réussite ne traduit pas forcément la compréhension. Il peut s agit de la copie d un modèle ou de la reproduction d une succession de gestes observés privées de sens. En conclusion Les séances collectives comportant un modèle au tableau ou avec du matériel de démonstration manipulé par quelques élèves ou le maître seul suivi d une fiche photocopiée ne constituent pas un apprentissage. Attention : aux malentendus liés à la confusion en un objet et sa représentation aux représentations privilégiées Page 3 sur 13

4 L évaluation Le plus souvent l observation continue, soutenue par quelques prises de notes, suffit à donner des informations de manière assez précise sur les compétences de la plupart des élèves d une classe. Comment procéder? Observer Ecouter Contrôle Ce qui est acquis, ce qui est compris Quand? La périodicité de deux fois par trimestre paraît satisfaisante. Jeux et matériels Définir le jeu Le jeu est une activité physique ou mentale, gratuite, généralement fondée sur la convention ou la fiction, qui n a, dans la conscience de la personne qui s y livre, d autre fin qu elle-même et que le plaisir qu elle procure. L atelier de jeu Des caractéristiques communes : Des jeux à règles Une activité de groupe Un enjeu explicite et une compétition Divers critères de classement : Mode de fonctionnement : adresse, hasard, stratégie, connaissances Contenu cognitif : numérique, appariements, logique, reconnaissance de formes Le jeu source d apprentissage Morceler l atelier de jeu. Limiter les effectifs à 3 ou 4 élèves mais accepter des spectateurs à condition qu ils ne perturbent pas le jeu. Phase d appropriation en petit groupe ou en regroupement Observation Exploration sensorielle Commentaires Formulation d hypothèses Esquisse d une règle Page 4 sur 13

5 Arrêt sur image Quand le jeu est connu de tous, il faut s interrompre soit durant une partie avec le petit groupe concerné soit hors d un partie avec toute la classe pour analyser ce que l on fait, les divers moments du jeu, les stratégies adoptées. Faire évoluer la gamme des jeux C est indispensable. On peut : Modifier la règle du jeu Faire varier certains aspects Complexifier le jeu Conserver la mémoire du jeu : C est utile à partir de la MS. La réalisation d une trace écrite prend du sens si elle est exploitée ultérieurement pour des comparaisons avec d autres jeux ou pour faciliter des échanges verbaux sur les jeux. Intérêt des jeux Socialisation Apprendre à respecter les autres, à jouer à son tour, à attendre, à respecter le matériel, à perdre. Développement de compétences transversales Apprendre à effectuer des choix, prendre des décisions, adopter une stratégie. Communication Entre pairs, surtout pour des jeux coopératifs. Avec l enseignant pour réguler, comprendre, commenter Inconvénients Le temps L argent Le bruit Savoir perdre Le manque d initiative Choisir un jeu La résistance du matériel La compatibilité entre la taille des éléments et l âge des enfants La correspondance entre contenu prétendu et réel sur le plan cognitif La pluralité des utilisations L attrait du jeu Page 5 sur 13

6 Les matériels, des jeux solitaires Comme les adultes, les enfants peuvent s adonner à des jeux solitaires que l on appellera matériels et qu il convient d installer dans un coin. Les matériels sources d apprentissage Le libre accès qui peut toutefois pénaliser les plus lents La libre découverte ce qui suppose un rangement rationnel et explicite Les essais qui peuvent se faire en lien avec l observation d autres enfants ou du maître La répétition L utilisation en aveugle qui favorise la prise de conscience par l enfant du fait qu il peut évoquer le matériel, c'est-à-dire ramener dans sa tête une perception antérieure. Intérêt de l utilisation de matériels Souplesse d utilisation Individualisation du travail Affinement des perceptions Respect du silence Inconvénients des matériels Pas de véritables inconvénients Modalités de choix Le matériel doit : Être à la portée de l enfant Lui permettre d apprendre Isoler la difficulté Associer exercice mental et activité musculaire Contrôler l erreur si possible. Permettre plusieurs utilisations Le jeu spéculatif : les "défis" ou situations problèmes Mots croisés, puzzles à pièces nombreuses, casse-tête ont des caractéristiques proches de situations problèmes : Une règle du jeu facile à comprendre L incertitude quand à la durée de l activité et sa réussite éventuelle L autonomie parfaite quant à la validation du résultat. Les "défis" sources d apprentissage Généralement proposé à toute la classe Lors d un moment de regroupement ou laissé à portée de mains Ne peut se cantonner à la durée des ateliers Utilité de ménager des moments de discussion Page 6 sur 13

7 Intérêt Confrontation de l enfant à une vraie situation problème Fort engagement de l enfant Développement des compétences de résolution de problème. Inconvénients Durée du temps de recherche d où peu de défi dans l année Risque de découragement des élèves La formation de l esprit logique Classement et sériation Ce qu il faut savoir Une remarque : classer et ranger ont un sens spécifique en mathématique. La notion d ensemble est beaucoup plus complexe que l idée intuitive de collection car : Il peut y avoir un ensemble rassemblant des objets disparates On trouve des ensembles infinis, celui des entiers, celui des points d une droite Toute propriété ne permet pas de constituer un ensemble : les enfants blonds de la classe Apparier, trier, classer des éléments Les diverses propriétés que peuvent avoir des éléments d un ensemble peuvent être utilisées pour construire des sous-ensembles selon les valeurs d un critère, par des opérations de tri, classement ou ordonnancement Le classement correspond en mathématique à une relation d équivalence. Ordonner des éléments Les relations d ordre permettent de constituer des chaînes d éléments distincts pour lesquels deux à deux la propriété est vraie dans un sens mais pas dans l autre. Codage et décodage Comment représenter les propriétés et les relations reliant différents objets? On étudiera en particulier les arbres et les tableaux à double entrée. Le tableau à double entrée est utile pour présenter plus simplement des résultats, des classements. Il faut amener les enfants à se l approprier en présentant des activités différencies et en montrant qu il ne permet pas de résoudre tous les problèmes de classement à plusieurs critères. Suites et algorithmes Une suite est un ensemble ordonné. Un algorithme est une suite finie d actions élémentaires devant être exécutées dans un ordre précis Page 7 sur 13

8 permettant de résoudre une classe de problèmes de la vie courante la cuisson d un morceau de viande, le nettoyage d un sol ou intellectuelle résoudre une soustraction. Suites ou algorithmes Algorithme répétitif : répétition indéfinie de la même suite d actions élémentaires. Suite répétitive : on peut isoler un motif qui se reproduit indéfiniment à l identique, par exemple une frise. Algorithme récursif : reprise régulière d actions élémentaires avec transformation constante d une étape à la suivante Le travail sur les suites, d abord non répétitives, puis définies par la reproduction d une cellule génératrice, et ultérieurement par la transformation régulière de la cellule génératrice permet d aborder la possibilité de planifier un travail et de développer des compétences méthodologiques. Repérage dans l espace Connaissance générale de l espace La topologie est l étude des propriétés de l espace qui restent invariantes par une transformation continue. À la maternelle il s agit de l étude intuitive de ces notions. Les activités géométriques permettent une autre approche de l espace que celle abordée en EPS ou en géographie ; elles préparent l enfant à l abstraction et l initient au raisonnement et à la formulation d hypothèses. Modifier les représentations de l enfant Le faire passer de la représentation topologique à d autres représentations. Les différentes géométries L espace projectif : déformation des éléments mais conservation de l alignement des points (projection d une ombre au sol, perception de l œil) L espace affine : étirement compression des éléments mais conservation du parallélisme des droites (Thalès) L espace euclidien : agrandissement u rétrécissement des éléments mais conservation des formes, des angles et des rapports de longueurs des segments (plan à l échelle, agrandissement de figures) L espace cartésien : conservation des formes et des mesures, modification des orientations (symétrie, rotation) L indispensable mise en place de l image du corps La structuration de l espace ne peut se faire que lorsque l enfant a acquis une image mentale correcte de son propre corps ce qui passe par des activités pluridisciplinaires. Page 8 sur 13

9 Géométrie Le réel et l image La plupart du temps on ne précise pas si l on parle d un objet ou de sa représentation. Pour les objets géométriques, il est impossible de présenter les objets eux-mêmes aux enfants. Dès la GS, les enfants sont capables de percevoir et d utiliser la distinction entre objet réel et objet géométrique. Glossaire Remarque : - Le cercle : le bord de la figure - Le disque : la surface de la figure. On peut parler de rond mais si on utilise le terme cercle, il faut le faire à bon escient et ne pas parler de "l intérieur du cercle". Se familiariser avec des figures On peut aborder trois domaines : les figures planes les transformations les figures tridimensionnelles Il faut éviter que les images mentales ne se construisent de manière stéréotypée d où la nécessité de varier les activités, les présentations pour limiter les prégnances perceptives. Activités numériques Lorsqu on écrit un nombre en chiffres sous la dictée on ne code pas l oral de même lorsqu on lit un nombre écrit en chiffres, on ne décode pas de l écrit. Écriture et lecture des nombres Travailler séparément l oral et l écrit La comptine numérique doit être travaillée pour elle-même. Il faut permettre aux enfants de lire les nombres écrits en chiffres en utilisant une lecture positionnelle. (123 : 1 suivi de 2 suivi de 3). Quand les deux systèmes sont suffisamment maîtrisés on fait le lien entre les deux. Parallèlement, on apprend aux élèves à bien tracer les chiffres. L aspect ordinal Cela suppose connaître : à l écrit l algorithme de l écriture chiffrée à l oral, la comptine numérique L aspect cardinal Pour indiquer combien d objets compte une collection, l enfant doit : Page 9 sur 13

10 connaître la comptine numérique orale de façon stable et correcte savoir associer un élément à un mot et à un seul par exemple à l aide d un geste comprendre que le dernier mot indique le nombre d objets intégrer que l ordre, la place, la nature des objets n on pas d importance. Ces apprentissages se font par imprégnation et imitation. L aspect groupement base Il relève plutôt du CP mais divers jeux peuvent le préparer. On échange deux objets contre un qui vaut plus. Histoire et pratique des nombres Les différents systèmes de numération ont été d abord inventés pour noter les quantités et servir de mémoire. Pour qu un système soit pratique, il faut que l écriture des nombres soit simple et que la quantité de signes ne soit pas trop importante. Il y a trois grands types de systèmes de numération. Le système additif : ex la numération romaine Il fait appel à un nombre limité de signes, chacun ayant une valeur constante. Un nouveau signe est créé pour chaque nouveau groupement de la base. L ordre des signes n a pas d importance. On ne peut écrire qu une quantité limitée de nombres. Le système additif et multiplicatif : ex la numération sino-japonaise Il fait appel à un nombre fini de signes différents, chacun ayant une valeur constante. Chaque nombre est écrit avec un ensemble de signes. Pour trouver la valeur d un nombre on multiplie chaque nombre par celui qui le précède s il est inférieur. Notre numération orale fonctionne selon ce procédé avec beaucoup d irrégularités toutefois. Le système positionnel La valeur des signes dépend de leur position. Ce système repose sur un groupement d unités puis de groupes d unités selon une règle : la base. Pour nous la base 10. Dans certaines numérations on s appuie sur la base 5. Notre système actuel de numération Comme la plupart des pays européens nous avons : à l oral : un système additif et multiplicatif à l écrit : un système positionnel L étude du premier système n est pas une aide pour l apprentissage du second. Page 10 sur 13

11 Caractéristiques du système français de numération orale Nous avons 28 mots pour exprimer les nombres : 16 mots pour les 16 premiers nombres 5 mots pour vingt, trente, quarante, cinquante, soixante 6 mots pour certaines puissances de 10 : cent, mille, million, milliard, billion, trillion Un mot qui ne sert que pour lire le zéro. Avec tous ces mots il est difficile de lire un nombre de 30 chiffres par exemple, car la combinaison de tous ces mots aboutit à un énoncé incompréhensible. Les enfants et les nombres Ils ont souvent du mal à mémoriser la suite des seize premiers nombres surtout ceux se terminant par "ze" phonème acquis plus tard. L impossibilité de trouver un algorithme oral pour les nombres entre dix et vingt explique ces difficultés. Les irrégularités 70 et 90 qui proviennent sans doute de la base 20, "cent" et non "un cent" mais "un million"... Tout ceci ne peut être appris que par imprégnation. Les noms de nombres sont à fournir sans état d âme et sans chercher à faire "entendre" quelque chose. Caractéristiques de notre système de numération écrite Elle comprend 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 La base du système est 10 La position du chiffre indique la puissance de la base qu il représente Le 0 permet d indiquer qu une puissance de la base est absente Les dix chiffres permettent d écrire une infinité de nombres L algorithme écrit ne comporte aucune irrégularité À propos de partage Il existe trois sortes de partage : Les partages équitables et maximum : chacun a le même nombre d éléments et on ne peut distribuer un élément de plus même s il y a un reste (cas de la division euclidienne). Les partages équitables non maximum : chacun a le même nombre d éléments mais il reste de quoi donner encore un ou plusieurs éléments à chacun (cas des jeux de cartes avec une pioche). Les partages non équitables, maximum ou non. Page 11 sur 13

12 Approche de la mesure Grandeur et mesure Il est important de faire comprendre aux enfants que les notions de petit, grand, moyen, sont relatives. Le travail sur les grandeurs et l approche de la mesure doit être mené de front avec l acquisition de la notion de conservation. Grandeurs mesurables Pour faire des mesures il faut disposer d un étalon, un instrument type de mesure fixe servant d unité de comparaison. Le choix des étalons est arbitraire, de même que les relations qui lient les différentes unités entre elles. 1. La longueur : Dans la langue courante, le concept de longueur se traduit par une variété de termes : longueur, largeur, hauteur, épaisseur, profondeur. Les comparaisons et mesures de longueur sont en général faciles à vérifier. 2. La surface : Pour comparer deux surfaces, on procède par recouvrement mais le plus souvent il faut passer par le découpage et collage sans interstice. La vérification est possible. 3. Le volume : Sauf lorsqu un des solides peut entrer dans l autre ou que la différence d encombrement saute aux yeux, il faut procéder indirectement par immersion successive de chacun des deux objets dans un même récipient. 4. La masse : Aucune comparaison directe des masses n est possible sauf cas particuliers où la différence est évidente. Il faut passer par la pesée ou la balance à deux plateaux. Grandeurs non mesurables Ce sont des grandeurs seulement repérables : 1. La température : Si l on mélange de l eau à 100 avec de l eau à 20, on n obtient pas de l eau à 120. Il n y a pas additivité des températures. Il faut donc recourir à un instrument de repérage et non de mesure : le thermomètre. 2. Le temps : Voir ci-dessous Repérage dans le temps Qu est-ce que le temps? L étude du temps concerne : 1. L histoire 2. La géologie 3. La biologie 4. La physique D un point de vue mathématique le temps ne présente aucun intérêt particulier. Néanmoins, il faut garder à l'esprit deux aspects : 1. l instant que le mathématicien assimile à un point sur une droite Page 12 sur 13

13 2. la durée qui serait un intervalle de cette droite orientée. La mesure de durée nécessite, sauf cas particuliers, le recours à des instruments de mesure sophistiqués. La mesure effectuée ne permet pas de vérification car le temps s écoule de manière irréversible. Les hommes et le temps Pour l être humain, la conscience du temps s appuie sur : 1. des repères extérieurs naturels, l alternance jour/nuit 2. un rythme biologique : éveil, activité, repas, sommeil qui se règle sur des repères extérieurs et peut se modifier quand ceux-ci disparaissent (expérience dans une grotte ) La vie sociale Les questions relatives au temps portent sur : 1. La simultanéité : être à l heure. On règle habituellement sa montre à la minute près avec une incertitude de deux ou trois minutes alors qu on dispose d instrument permettant une plus grande précision. 2. La durée : mesurer de longues durées exprimées en heures voire en jours et en années, mesurer avec précision des intervalles courts pour un médecin, pour des athlètes. Le temps de l enfant L enfant vit environné d instruments de repérage du temps et d adultes qui s y réfèrent. Il va devoir apprendre à structurer le temps : 1. construire la chronologie 2. mettre en place la notion de durée délicate car subjective 3. acquérir des notions culturelles Fréquentation du calendrier Elle est utile dès la petite section. Chronologie, irréversibilité L irréversibilité de la succession des instants complexifie la structuration du temps par les enfants. Le temps présente aussi un aspect cyclique. Entre deux événements non simultanés, les liens d antériorité/postériorité peuvent être de deux types : 1. antériorité non causale : seule la mémoire permet de reconstituer la chronologie 2. antériorité causale : on ne peut interchanger l ordre des événements sans perdre la logique de leur articulation Page 13 sur 13