Optimisation combinatoire et synthèse FPGA. Laurent Lemarchand LABSTICC/UBO

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1 Optimisation combinatoire et synthèse FPGA Laurent Lemarchand LABSTICC/UBO 1

2 Synthèse combinatoire sur FPGA à base de LUT présentation Circuits FPGA et LUT Flot de synthèse Représentation par réseaux booléens Besoins en puissance de calcul : parallélisation et partitionnement (cf TCAD IEEE janvier 212) Algorithmes 2

3 Synthèse combinatoire sur FPGA à base de LUT flot de synthèse Circuits FPGA et LUT Cellules Routage 3

4 Synthèse combinatoire sur FPGA à base de LUT flot de synthèse Circuit 1 4-LUT Temps d'exécution (mn) Simplification Mis II 2 Décomposition K-bornée RothKarp Couverture (surface) Mis-Pga 6 Couverture (délais unitaires) Flowmap

5 Synthèse combinatoire sur FPGA à base de LUT taille des problèmes de synthèse Virtex-II 1 Virtex-II 3 Portes 1 millions 3 millions 1 millions Bascules LUT 124 Multiplieur Bloc de RAM (kbit) Spartan- Spartan Virtex-5 LX3 Virtex-5 LX5 Virtex-5 LX85 Virtex-5 LX11 2 millions

6 Synthèse combinatoire sur FPGA à base de LUT taille des problèmes de synthèse Algorithmes en O(n2) au mieux Explosion combinatoire Problèmes de ressources Calcul Mémoire Temps (mn) Taille (litéraux) 6

7 Synthèse combinatoire sur FPGA à base de LUT taille des problèmes de synthèse Algorithmes en O(n2) au mieux Explosion combinatoire Problèmes de ressources Calcul Mémoire Temps (mn) Diviser pour régner Partitionner le circuit Taille (litéraux) 7

8 Synthèse combinatoire sur FPGA à base de LUT réseau booléen Graphe acyclique orienté 8

9 Synthèse combinatoire sur FPGA à base de LUT conversion technologique et réseau booléen Graphe acyclique orienté (DAG) en entrée G = (V, E) Sortie: DAG K-faisable G' = (V', E') : v V', entrées(v) K Un sommet = Une K-LUT Conversion technologique Plusieurs critères Surface : #LUT Délais : chemins critiques Routabilité : degrés & densité 9

10 Programmation dynamique principe (Bellman) Décomposer le problème P en sous-problèmes P1, P2,..., Pn Résoudre les sous-problèmes pour obtenir les solutions v1, v2,..., vn Combiner ces solutions pour résoudre P : V* = f(v1, v2,..., vn) Mécanisme récursif 1

11 Programmation dynamique conditions d'utilisation Principe d'optimalité Une solution est optimale ssi. ses sous-solutions sont optimales Exemple : plus court chemin : (A,B) est optimal ssi (A,C) et (B,C) sont optimaux. A B C 11

12 Principe d'optimalité contre exemple Recherche de plus court chemin de profondeur donnée dans un arbre profondeur 1 profondeur 2 Il faut examiner toutes les solutions partielles 12

13 Programmation dynamique plus court chemin : Ford-Bellman a 3 b -2 2 c 2 2 d 5 2 e g 2 f 4 Calcul de chemins : plus court chemin de successeurs Récursivement : (s) = min s' preds(s) a à l'un de ses (s') + w s' s Autres exemples : Chortle-crf, allocation de ressources, gestion de stock... 13

14 Programmation dynamique Application : Chortle-crf Conversion technologique de circuits logiques sur FPGA a e a g f b d c h b c 3-LUT fct(a,b,c) g Grouper les noeuds logiques en k-luts : une LUT peut implanter n'importe quelle fonction logique d'au plus k entrées (table de vérité) 14

15 Programmation dynamique Application : Chortle-crf Progression des entrées vers les sorties b1 e d b2 La solution pour d+b1+b2 doit Minimiser le nombre de LUT Minimiser le fanin de la LUT de tête 15

16 Optimisation combinatoire Algorithmes gloutons Greedy : construisent une solution pas à pas, sans jamais revenir sur les choix effectués Très rapides Souvent loin de l'optimum Améliorables par recherche locale Exemples Sac à dos Recouvrement Stable maximum Voyageur de commerce 16

17 Méthodes par voisinage voisinage Définir une fonction de voisinage V : S Sn Fournit un ensemble de n solutions similaires à s S Explorer ces n solutions pour en trouver une meilleure que s Algorithme pas forcement polynomial Problème d'optimalité Faire de l'exploration à partir de plusieurs solutions générées aléatoirement 17

18 Exploration locale problème du 2-partitionnement Dans un graphe G = (X, E) avec X = 2n trouver une partition X = X1 U X2 t.q X1 = X2 = n qui minimise le nombre d'arêtes entre les parties Voisinage par échange de paires c=7 c=5 = a b b a 18

19 2-partitionnement heuristique de Kernighan-Lin A chaque étape, choisir l'échange qui maximise le gain en terme de coupe Contrainte : un sommet ne peut être échangé qu'une seule fois N/2 étapes au maximum 19

20 multi-partitionnement techniques Extensions du bi-partitionnement Par récursion Par adaptation directe de Kernighan Lin k-partitionnement : Minimiser la coupe globale Équilibrer la taille des parties Possibilités de partitionnement multi-niveaux (Métis) 2

21 multi-partitionnement HMétis Partitionnement multi-niveaux 21

22 multi-partitionnement applications Répartition de trafic aérien noeuds : avions, tours, points de virage arcs : routes minimiser les interactions entre contrôleurs Partitionnement de circuits noeuds : portes logiques arcs/arêtes : connexions créer et optimiser des sous-systèmes 22

23 Synthèse par partitionnement Partitionnement de données Raisons : diviser pour régner Simple, Multi algorithmes Taille des problèmes Gain de temps Parallélisable Qualité? Synthèse multi algorithmes Rarement optimale Meilleures heuristiques Limiter les pertes d'information 23

24 Synthèse par partitionnement Partitionnement de réseau booléen Eviter un maximum de pertes. Un réseau scindé en 2 Affectation des sommets en partie 1 ou 2 qui minimise la coupe 24

25 Synthèse par partitionnement Partitionnement de réseau booléen Eviter un maximum de pertes. Des I/O primaires créées 25

26 Synthèse par partitionnement Perte d'optimalité par perte d'information Perte d'information A et B dans 2 parties distinctes Sommets déconnectés par le partitionnement 26

27 Synthèse par partitionnement Equilibrage de la charge (1/2) Chaque partie doit générer la même charge de calcul Évaluer a priori les temps d'exécution des algorithmes de synthèse 27

28 Synthèse par partitionnement Equilibrage de la charge (2/2) Dépend de l'algorithme de synthèse Et des réseaux Algorithme (a) (b) Simplification booléenne O(n) O(1) Couverture technologique O(1) O(n) 28

29 Synthèse par partitionnement Résultats Dépendant du type d'algorithme Local. Ex : décomposition en réseau faisable Global. Ex : optimisation des délais Optimisation des chemins critiques Critères d'évaluation Temps de synthèse et accélération Qualité Exemples de couverture technologique pour FPGA Mis-PGA Flowmap-d 29

30 Synthèse par partitionnement Mis-PGA Optimisation de la surface Nombre de LUT (de CLBs = 2 LUTs dans les xc41) Décompositions locales et globales (Et/Ou, Roth/Karp, noyaux, ) Simplifications réseaux globales (réinjections, substitution,...) Couverture exacte ou heuristique (BCP) Temps de synthèse importants Sunstitution automatique d'heuristiques suivant la taille des problèmes Impact sur les temps de synthèse 3

31 Synthèse par partitionnement Mis-PGA : Qualité Optimisation de la surface. #CLBs pour 12 circuits bench optimisation logique combinatoire LGSYNTH'91 Nombre de LUT (de CLBs = 2 LUTs dans les xc41) Perte en Qualité / synthèse globale sans partitionnement 31

32 Synthèse par partitionnement Mis-PGA : temps de synthèse Temps cumulé de synthèse sur un processeur Accélération 32

33 Synthèse par partitionnement Flowmap-d - Qualité Exemple : Flowmap-d : optimisation des délais Chemins critiques (U) ou délais nominaux (N, congestion) 33

34 Synthèse par partitionnement Flowamp-d : temps de synthèse Flowmap-d : O(n2) 34

35 Synthèse par partitionnement Résultats Flowmap-d Qualité Perte (25%) si délais unitaires (chemins critiques) Gain (1%) si délais nominaux (meilleure optimisation locale de la congestion viua des heuristiques) Speed up : Supra linéaires si circuits assez grand Temps de synthèse suffisants pour absorber le surcoût lié à la parallélisation 35

36 Amélioration des méthodes de descente problématique Rappel : antagonisme entre Améliorer une solution courante Explorer suffisament l'espace de recherche Exploitation Exploration Toujours le problème des extrema locaux Politique de compromis z min k o??? 36

37 Recuit simulé simulated annealing (SA) Méta heuristique Principe d'évolution du compromis exploit./explor. Basé sur la cuisson des métaux pour obtenir un cristal Evolution des niveaux d'énergie à l'intérieur du métal E(X) tremp e Descente rapide en température réchauffage recuit X 37

38 Recuit simulé analogie physique/optimisation physique optimisation 38

39 Recuit simulé principe Explorer au hasard l'espace de recherche Faire varier un degré de non déterminisme (température) Haut au début : comportement très aléatoire Bas à la fin : exploration de type algorithme de descente 39

40 Recuit simulé un pas de l'algorithme principal A partir de la solution courante si, explorer le voisinage pour obtenir si+1 Si f(si+1) f(si) <, accepter si+1 Sinon, accepter si+1 avec la probabilité (minimisation) f si i f s i p si si 1 =e T Distribution de Gibbs-Bolzmann 4

41 Recuit simulé Algorithme Espace S, Évaluation f(s)(min), température(t) accepter( f,t) température initiale T = T Meilleure solution s = sbest = glouton() Algo SA tant que critère1 faire tant que critère2 faire s2 = voisin(s, S) f = f(s2) - f(s) si f(s2) < f(sbest) sbest= s2 si f < ou accepter( f, T) s = s2 fin tant que T = température(t) fin tant que fin 41

42 Recuit simulé Application: placement dans VPR Versatile Placement and routing : chaine globale 42

43 Recuit simulé Application: placement dans VPR Versatile Placement and routing : placement Graphe de connectivité 43

44 Recuit simulé Application: placement dans VPR Fonction d'évaluation de la qualité d'un placement Pénalise les placements nécessitant bcp de routage là où les canaux sont étroits. Boites englobantes des signaux Signaux Facteur de coût des signaux multi-points : 1 si T<3 jusqu'à 2.79 si T=5 Capacités de routage horizontales et verticales moyennes sur bb 44

45 Recuit simulé Application: placement dans VPR Algorithme général de placement pour n éléments (fonctions ou I/O pads) Générer un placement initial aléatoire A chaque étape, échanger par paire des emplacements d'éléments, et évaluer le coût du nouveau placement 45

46 Recuit simulé Application: placement dans VPR Caractéristiques du recuit T init : 2 x l'écart-type du coût après n échanges Pour chaque T, évaluer 1.n1.33 échanges Règle d'évolution de T : Tnew =. Told dépend du ratio d'acceptation Raccept durant Told : si important, diminution rapide de la température Fin quand T<.5 x Cost/Nnets 46

47 Méthode Tabou Principe Méthode par voisinage A chaque étape, calculer les voisins V(x) de la solution courante x et choisir la meilleure x' (même si x' moins bonne que x) Guider la recherche en interdisant certaines solutions pendant un nombre t d'itérations (mémoire à court terme) liste T de solutions tabous Recherche de x' dans V(x) \ T Permet d'éviter de cycler en moins de t fois sur une solution Ajout de x' à T pour éviter d'y revenir Pb : tout conserver dans T, comparer tout V(x) à T 47

48 Méthode Tabou problème d'évolution des solutions Deconnexion de la solution optimale, blocage dans une solution locale,... Sol. optimale SCAN IMAGE SIARY P. Siary Métaheuristiques pour l'optimisation 48

49 Méthode Tabou liste tabou Si f(x') > f(x), et m le mouvement pour passer de x à x', ajout de m-1 à la liste T : stockage des mouvements au lieu des solutions ( M << X ) Empêche de revenir à x qui est meilleur immédiatement Stocke les directions de recherche. Si un voisin obtenu via une direction interdite est meilleur, lever l'interdit Critères d'aspiration (statistiques sur mouvements) Mémoire à long terme, apprentissage global Seuils d'interdiction A(x, m). Exemples : A(x,m) = f min on accepte uniquement les mouvements tabous améliorant la solution globale f min A(x,m) = (m) tabou levé si amélioration > à la dégradation entrainée par m-1 49

50 Méthode Tabou algorithme simple Espace X, Évaluation f(x)(min), Liste tabou T = vide Voisinage V(x) et VT(x), voisins x' non tabous (x' = m(x), m T) Solution courante x = xbest = glouton() ou random() Algo Tabou tant que non Fin faire C = VT(x) x' = argminc f(x). avec x' = m(x) si f(x') > f(x) alors T = T U { m-1 } si T > maxt alors T = T \ { plus ancien m } si f(x') < f(xbest) alors xbest= x' x = x' fin tant que fin 5

51 Méthode Tabou Application: affectation quadratique Utilisable pour du placement de composants, d'unités de production, choix de portes d'embarquement, Ensemble fixé de sites, et distances entre ces points connues Ensemble d'éléments à placer sur les sites (un par site) et flux connus entre les éléments flux Minimiser flux(e1 e2). distance(site(e1), site(e2)) Programme quadratique 51

52 Méthode Tabou Application: affectation quadratique Exemple : Placement avec distance de Manahattan Solution optimale Connexions (flux) entre modules Traits proportionnels aux # connexions 52

53 Méthode Tabou Application: affectation quadratique Voisinages possibles pour les problèmes de permutations Inversion Transposition Déplacement V(x) = n V(x) = ½ n.(n 1) [choisi pour QAP] V(x) = n.(n 2)

54 Méthode Tabou Application: affectation quadratique Mouvement inverse Si m = (i, j) (mouvement qui transpose i et j) p= (p m) = m-1 peut être défini comme tout mouvement qui remettrait i en position pi et j en position pj Nombre de mouvements tabous Durée d'interdiction statique ou dynamique. Exemples : Durée = 7 Tirage aléatoire dans l'intervalle [ n-1%.. n+1% +4] (n : taille du problème) 54

55 Méthode Tabou Application: affectation quadratique Stockage des mouvements tabous Matrice T[a][p] = k a interdit sur p jusqu'à l'iteration k m = (i, j) effectué à l'itération t et m-1 interdit pour une durée d On pose T[i ][pi] = k + d et T[j][pj] = k + d avant l'application du mouvement m à p ( p = p m ) Un mouvement (a,b) est autorisé à une étape k' ultérieure si k' > T[a][pb] k' > T[b][pa] 55

56 Méthode Tabou Application: affectation quadratique Exemple. Solution initiale p = ( ) du QAP ci dessous F D Coût de 72. Meilleur mouvement (1,3), d'un coût de 6 On interdit m=(1,3) pour 9 iterations. T matrix

57 TD/TP Méthode Tabou vs AG Application: affectation quadratique Utiliser l'utilitaire de calcul de coût pour effectuer les premières étapes de l'algorithme tabou avec les données précédentes /home/commun_depinfo/enseignants/lemarchand/m2lse/qap ou qap.exe (linux/windows) Proposer un algorithme génétique pour effectuer la résolution du même problème de QAP [trps rappels AG]. Fonction de coût? Fonction de mutation? Fonction de cross over (recherche web sur les cross over pour 57 les représentations par permutation, par ex. TSP)

58 TD/TP Méthode Tabou vs GA Application: affectation quadratique sources dans /home/commun_depinfo/enseignants/lemarchand/m2lse/ Implanter un algorithme tabou de base pour le QAP (travailler à partir de qap.c) Ajouter une règle d'aspiration Exploiter les éléments de l'ag pour le TSP pour construire un algorithme pour le QAP (gatsp.c) Comparer les 2 approches 58