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1 NEK-Math App Présentation des formations à l étranger Présentation des formations à l étranger Mardi 11 Octobre 2005 deux séances aux horaires de petites classes Le lieu sera précisé par mail 1

2 NEK-Math App Présentation des formations à l étranger GESTION DYNAMIQUE des RISQUES FINANCIERS Majeure de Mathématiques Appliquées Nicole EL KAROUI 2

3 NEK-Math App PRÉAMBULE PRÉAMBULE Introduction à la finance de marché objectif : présenter les idées de base de la finance moderne, de l industrie du risque en particulier. Etudier les principes de la finance de marché qui conduisent à la théorie des options, de leur évaluation et de leur couverture jusqu à la formule de Black et Scholes et ses nombreuses applications. Changement de proba. Probabilité risque neutre Finance moderne sur multi-sous-jacents Le principe de non arbitrage- Evaluation risque neutre. Changement de numéraire. Une ouverture vers le monde des taux d intérêt : modèle de Vasicek, Heath-Jarrow-Morton Le monde des taux Le meilleur glossaire en français : http : 3

4 NEK-Math App Les marchés financiers dans la vie quotidienne Les marchés financiers dans la vie quotidienne La révolution des années 1970 Dérégulation : Libéralisation du dollar, puis des taux d intérêt Internationalisation des opérations financières Révolution informatique En France, , création du MATIF et du MONEP Les marchés Important élément de la vie quotidienne des gens (fonds de pension) Accroissement important de la participation de petits investisseurs (e-business) Attention médiatisée des grands crashs financiers 4

5 NEK-Math App Industrie du Risque financier Industrie du Risque financier La dérégulation n aurait pu être implémentée sans fournir aux investisseurs les moyens de gérer leurs risques. Plus que $15 trillions annuellement en nominal Grand éventail de simples contracts (futures, options, swaps,..) Beaucoup de produits plus exotiques (credit derivatives, catastrophe bonds, exotic options, etc.) Différents sous-jacents : stocks, devises, taux d intérêt, commodities,...appelés titres de base, ou titres support 5

6 NEK-Math App Les contrats les plus classiques Les contrats les plus classiques Les contrats à terme C est l analogue de la promesse de vente : le prix de l opération est fixé aujourd hui, mais la transaction n aura lieu qu à l échéance du contrat. Risque de contrepartie Option d achat ou Call option Une option d achat donne à l acheteur le droit (mais non l obligation) d acheter un titre risqué, le sous-jacent à un prix pré-specifié = le prix d exercice= le strike=k à une date pré-specifiée dans le futur= maturité le gain potentiel à maturité est (X T K) + = valeur intrinsèque, si X T est le prix en T du sous-jacent. Le prix du contrat ou prime est payé en début de période 6

7 NEK-Math App Exemple Exemple Le 02 Jan 2003, le CAC 40 cotait pts. Les prix d exercice des options d achat étaient les suivants 3100 pts en dedans (in the money) pour un Call 3150 pts en dedans (in the money) pour un Call 3200 pts à la monnaie (at the money) 3250 pts en dehors (out of the money) pour un Call 3300 pts en dehors (out of the money) pour un Call 3350 pts en dehors (out of the money) pour un Call 7

8 NEK-Math App Exemple : suite Exemple : suite Le 02 Jan 2003, les primes des options d achat et de vente d échéance 31 Jan 2003 sur le CAC 40 cotant pts, sont de : Prix d exercice Option d achat Option de vente 3100 pts pts pts 3150 pts pts pts 3200 pts pts pts 3250 pts pts pts 3300 pts pts pts 3350 pts pts pts 8

9 NEK-Math App Profil de risque d une option d achat Profil de risque d une option d achat Fig. 1 Profil de prix et valeur intrinsèque en fonction du strike. 9

10 NEK-Math App Les straddles Les straddles Un straddle est un dérivé constitué d un call et d un put de mêmes paramètres. Le straddle à la monnaie a une sensibilité par rapport à une variation du sous-jacent très faible. Π T K S T Figure 2 Payoff d un straddle vis à vis du vendeur. 10

11 NEK-Math App Structuration and Options exotiques Structuration and Options exotiques Pour couvrir des expositions spécifiques, des contrats plus complexes sont proposés : options exotiques. Elles sont path dependent, ou dépendant d un grand nombre de sous-jacents. Certaines options laissent à l acheteur le choix de la date d exercice : ce sont les options américaines Par exemple, une option barrière est activée seulement si le sous-jacent passe sous (sur )un seuil décrit par contract, pendant la vie de l option. 11

12 NEK-Math App Structuration and Options exotiques L imagination du marché est sans limite : c est une bonne nouvelle pour les mathématiciens, puisque leur boulot est de donner un prix à toutes ces options, mais moins bonne pour la santé des marchés financiers... La principale question est Quel est le prix de ces contrats? qui prennent partie d une valeur incertaine dans le futur. Les mathématiques se sont révélées la discipline de référence en gestion des risques, dans les problèmes de pricing et de couverture. L idée de base est la gestion infinitésimale des risques. 12

13 NEK-Math App Utilité des marchés des options Utilité des marchés des options Transfert des risques des agents économiques les banques. permet aux agents de se rencentrer sur leur activité spécifique les banques utilisent leur compétences spécifiques pour gérer ces nouveaux risques, en espérant une certaine rentabilité. les produits dérivés donnent accès à des marchés dans lesquelles on n aurait pas pu investir directement. ils augmentent la liquidité du marché, et ont un fort effet de levier 13

14 NEK-Math App Utilité des marchés des options 1 Première modélisation des cours 14

15 NEK-Math App Modélisation mathématique Modélisation mathématique Brownien géométrique Depuis Samuelson en 1960, la dynamique des actions est modélisée comme ds t S t = µ t dt + σdŵt S t = f(t, Ŵt) = xexp(µt + σŵt 1 2 σ2 t) où S t est le prix de l action au temps t µ t est le rendement par unité de temps σ est la volatilité de l action Ŵt est un mouvement brownien. 15

16 NEK-Math App Des exemples Des exemples Dollar-Yen pendant la période Avril 99-Nov

17 NEK-Math App Simulation brownienne Simulation brownienne Trajectoires de brownien simulées avec différents coefficients de diffusion (c=1,1,1,0.9) 2 1 Echelle c = 1 Echelle c = 1.1 Echelle c =

18 NEK-Math App Propriétés du brownien géométrique Propriétés du brownien géométrique Les moments E(S t ) = xe µt, E(S 2 t ) = x 2 exp(2µ + σ 2 )t var(s t ) = x 2 exp(2µt)(exp(σ 2 t) 1) Sharpe ratio= (S t x) var(s t ) est indépendant de x et µ. Par unité de temps, il est la prime de risque λ associé a Ŵ prime de risque = λ = 1 dt E(dS t 1 r) S t dt var(ds t ) = µ r ds t S t σ S t 18

19 NEK-Math App Propriétés du brownien géométrique Loi log-normale h(y)l(t, x, y)dy = h(xexp((µ 1 2 σ2 )t + σ tu))g(t, u)du La densité de la loi de S t est l µ,σ 2(t, x, y) = d 0 (x, y, t) = = f(y)g(t, d 0 (xe µt, y) 1 σy dy 1 σy 2πt exp( 1 2 d 0(xe µt, y, t) 2 ) 1 σ2 t Log(x y ) 1 2 σ t 19

20 NEK-Math App Les densités Les densités La densité gaussienne en fonction du temps La densité lognormale en fonction du temps 20

21 NEK-Math App Limites de la modélisation Limites de la modélisation Paramètres constants irréalistes Problèmes des queues épaisses : processus de Lévy La prime de risque n est pas spécifique d un titre mais d une source de bruit 21

22 Evaluation et couverture NEK-Math App des produits financiers Evaluation et couverture des produits financiers 22

23 NEK-Math App Louis Bachelier (1900) Louis Bachelier (1900) En 1900, Louis Bachelier dans sa these intitulée Théorie de la speculation pose les bases de la finance moderne. Il insiste sur la dissymétrie des risques qui rend l existence même des contrats d options problématique L acheteur a un risque réduit à la prime. Le vendeur est beaucoup plus exposé en cas de fort tendance de marché. Mais l incertitude à long terme est la résultante de petits mouvements plus facilement controlables. Il remarque que le jeu doit être équitable... Ce travail remarquable a été oublié pendant plus de 60 ans. 23

24 NEK-Math App Portrait de Bachelier Portrait de Bachelier 24

25 NEK-Math App Black, Scholes and Merton : 1973 Black, Scholes and Merton : 1973 En 1973, Fisher Black, Myron Scholes and Robert Merton, prix Nobel (1997) introduisent la théorie du portefeuille dans le monde des options. Avec le concept de portefeuille de couverture, ils utilisent un point de vue dynamique qui les conduit à la fameuse formule de Black and Scholes pour l évaluation et la couverture des options. Le point de vue est complétement nouveau, puisqu il s agit non pas d estimer les pertes futures mais de couvrir 25

26 NEK-Math App Black et Scholes Black et Scholes Scholes et Black 26

27 NEK-Math App Robert Merton Robert Merton Robert Merton est né en 1944 à New York. Il est professeur nà Harvard 27

28 NEK-Math App Absence d arbitrage Absence d arbitrage Loi fondamentale de la Finance de marché : Dans un marché liquide, il n est pas possible de gagner de l argent à coup sûr à partir d une richesse nulle Unicité des prix Deux stratégies qui donnent le même flux dans tous les états du monde ont la même valeur à toute date intermédiaire. Parité Call -Put Call t (T, K) Put t (T, K) = S t KB(t, T ) 28

29 NEK-Math App Quelques considérations de bon sens Quelques considérations de bon sens Soit un vendeur d option d achat Gestion dynamique s il est passif, il place la prime à la banque et attend de voir s il est actif, il peut acheter des actions de manière à avoir un portefeuille qui évolue comme le marché. Son risque sera moindre à maturité Il y a une différence importante d information entre les prix et les portefeuilles de couverture les prix reflètent une estimation de la valeur des flux futurs. la valeur du portefeuille est connue en t. Elle reflète la qualité de la gestion passée du gestionnaire. 29

30 NEK-Math App Quelques considérations de bon sens Le fait que ces deux points de vue se rejoignent est dans le fond assez surprenant. Et le prix? S il et possible de trouver un portefeuille qui réplique, alors sa valeur est le prix de l option. C est l absence d arbitrage. 30

31 NEK-Math App Portefeuille dynamique Portefeuille Portefeuille dynamique Un portefeuille est une stratégie pour acheter ou vendre des titres de base δ t 0 =position acheteuse δ t 0 =position vendeuse placer le reste à la banque au taux de r Autofinancement= aux dates de renégociation, ne pas modifier la valeur du portefeuille. dv t = δ t ds t + (V t δ t S t )rdt = rv t dt + δ t (ds t rs t dt) δ t = δ(t, S t ) 31

32 NEK-Math App Formulation mathématique du risque nul Formulation mathématique du risque nul Répliquer le flux terminal h(s T ) par un portefeuille ne ddépendant que de (t, S t ). Cette hypothèse repose sur l efficience des marchés qui exprime que le prix d un actif à un instant donné incorpore toute l information passée ainsi que les anticipations des agents sur ce titre. Plus précisément, le problème est donc de trouver un couple de fonctions v(t, x), δ(t, x) régulières telles que dv(t, S t ) = v(t, S t ) r dt + δ(t, S t )(ds t rs t dt) (1) v(t, S T ) = h(s T ) 32

33 NEK-Math App Evaluation par EDP Evaluation par EDP Théorème : Soit h une fonction continue, à croissance au plus linéaire, pour laquelle l EDP ci-dessous admet une solution régulière v(t, x) sur ]0, T ] ]0, + [ t.q v(t, x) = h(x) et 1 2 σ2 x 2 v xx(t, x) + r x v x(t, x) + v t(t, x) rv(t, x) = 0 Le flux h(s T ) est duplicable par un portefeuille, de valeur v(t, S t ), et de couverture δ(t, S t ) = v x(t, S t ). On a aussi que v(t, x) = e rt u(t, 1 σ (Lnx (r 1 2 σ2 )t)) avec 1 2 u ww(t, w) + u t(t, w) = 0 u(t, w) = h(exp(r 1 2 σ2 )T + σw) 33

34 NEK-Math App Options barrières Options barrières Soit ]B, H[ (B < H) un intervalle et T B,H = inf{s T ; S t H ou S t B} L option de flux terminal h(t B,H, S(T B,H )) est une option barrière up si B = 0, une option barrière down si H = une option double barrière sinon Portefeuille répliquant de la forme b(t, S(T B,H t)), où b satisfait l EDP d évaluation. Seules les conditions au bord sont changées. pour t < T, b(t, B) = h(t, B) b(t, H) = h(t, H) pour t = T, b(t, x) = h(t, x) pour tout x [B, H] 34

35 NEK-Math App Le paramètre de tendance Le paramètre de tendance Le prix de l option ne dépend pas du rendement µ du titre risqué, du fait que le marché est haussier ou baissier. Surprenant, puisque la première motivation de ces produits dérivés commes les Calls ou les Puts est de se couvrir contre ces mouvements Efficacité de la gestion dynamique ; les imperfections elles dépendent de la dentence des marchés. Reste le risque du aux fluctuations 35

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