LOI DE PROBABILITÉ PROBABILITÉS CONDITIONNELLES Sommaire. Logiciels

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1 LOI D PROILITÉ PROILITÉS CONDITIONNLLS Sommaire. spérance et variance d une loi. déquation à une loi équirépartie. Probabilité conditionnelle 4. Indépendance. Loi inomiale Logiciels. déquation à une loi équirépartie à l aide de la calculatrice. Élaboration d un test d équirépartition sur tableur. La planche de GLTON à l aide d un tableur Lorsqu une société de vente de pizzas surgelées est en concurrence sur le marché de la grande distribution, elle peut prendre le risque d accepter une baisse de bénéfice unitaire si elle espère vendre plus en volume. Comment le calcul sur les probabilités peut-il être une aide à la décision? voir exercice 86 ide à la décision

2 TSTS PRÉLIMINIRS CTIVITÉS. Vocabulaire des événements ctivité. Fréquences conditionnelles aide en fiche T6 et corrigés Une roue de loterie est formée de cinq secteurs égaux, numérotés de 0 à 4. On lance la roue deux fois de suite et on note les chiffres apparus. On obtient alors un nombre : le premier chiffre sorti est le chiffre des dizaines et le deuxième celui des unités. Déterminer l ensemble de toutes les issues possibles, à l aide d un tableau à deux entrées.. Loi de probabilité Soit l événement : «obtenir un nombre supérieur ou égal à 0». À l aide du tableau, donner le nombre d éléments de. Soit l événement : «obtenir un nombre multiple de 4» et D l événement : «obtenir au moins un chiffre», déterminer les éléments de, de D puis de D et D. 4 Définir, par deux phrases différentes, les événements et D. Une enquête dans une classe de élèves de Terminale S porte sur les études post-bac souhaitées par les élèves. Répartition en pourcentage arrondi à l unité : C: TS-IUT L: Université- CPG total fille 4 7 garçon a) Quelle est la part des filles dans la classe de Terminale S? b) Recopier et compléter l arbre pondéré ci-contre en plaçant les parts sur les branches. F G a) Parmi les filles, quelle est la part des élèves ayant choisi des études courtes? b) Placer ce résultat sur la branche qui convient, puis compléter l arbre. F Parmi les élèves de la Terminale S, quelle est la part des garçons qui ont choisi des études courtes? Où lit-on ce résultat sur l arbre précédent? G C L C L aide en fiche T7 et corrigés aide en fiche T7 et corrigés aide en fiche T4 et corrigés Un tiroir contient six pulls : deux bleus clairs, un noir, un marron et deux blancs. Le matin, Maxime prend, au hasard, un pull dans le tiroir, sans se soucier de la couleur. a) est l ensemble des pulls du tiroir, la loi de probabilité sur est-elle équiprobable? b) F est l ensemble des couleurs des pulls. La loi de probabilité définie sur F est-elle équiprobable? Définir cette loi. C. Probabilité d un événement Sur une étagère sont rangés livres : livres d Honoré de alzac, 4 livres de Victor Hugo et livres d Émile Zola. Les livres de Victor Hugo, d Émile Zola et deux livres d Honoré de alzac sont édités dans la collection X alors que les autres sont édités dans la collection Y. lexis prend, au hasard, un livre sur l étagère. a) Combien y a-t-il d issues possibles? D. Moyenne, variance et écart type Calculer la moyenne, la variance et l écart type des séries suivantes : a) valeur fréquence en % b) valeur, 9 fréquence 0, 0, 0, 0,4 c) Maxime préfère la douceur de la laine des pulls bleus à celle des autres pulls. Il reconnaît les pulls bleus au toucher, ainsi il les choisit plus souvent que les autres. La loi de probabilité sur est alors définie par : couleur bleu noir marron blanc probabilité 4p p p p Calculer p, puis calculer la probabilité que Maxime choisisse un pull foncé. b) Calculer les probabilités des événements suivants : :«Le livre choisi est un livre de Victor Hugo» ; F :«Le livre choisi est un livre de la collection Y» ; G :«Le livre choisi est un livre de la collection X et d Honoré de alzac» ; H :«Le livre choisi n est ni un livre de la collection Y, ni un livre de Victor Hugo». Lors d une tombola, des enveloppes sont vendues au prix de euros. La répartition des lots est donnée par le tableau suivant : valeur du lot fréquence 0,408 0,09 0,00 0, a) Calculer le gain moyen d un joueur. b) Calculer la variance et l écart type du gain. voir rabats de couverture ctivité. Répétitions d épreuves Dans une classe de 0 élèves de Terminale, 8 ont choisi d apprendre à conduire à 6 ans en conduite accompagnée. On interroge un élève au hasard. a) Calculer la probabilité que ce soit un élève pratiquant la conduite accompagnée. b) Recopier et compléter l arbre pondéré en plaçant les probabilités sur les branches. C C On interroge ensuite un deuxième élève de Terminale, dans l ensemble des 0 élèves de la classe. ctivité. Distribution de fréquences a) Simuler, à l aide de la calculatrice, le tirage de 00 chiffres aléatoires, de à 7 compris, et stocker la liste en liste. b) Calculer les fréquences d apparition f, f,, f 7 de chacun des sept chiffres à 0 près et stocker les fréquences en liste. Sont-elles toutes égales? xpliquer. On choisit, au hasard, un nombre entier de à 7 compris. a) Donner la loi de probabilité équirépartie sur : ={;;;4;;6;7}. b) À l aide du calcul sur les listes, calculer le carré de la distance des fréquences observées, f, f,, f 7, à la loi équirépartie, distance définie par la formule ci-après. Compléter l arbre précédent, suivant le résultat pour le premier élève. On interroge un troisième élève toujours dans la classe complète de Terminale. a) À l aide de l arbre précédent, déterminer toutes les issues. b) Combien d issues de cet arbre contiennent exactement un élève pratiquant la conduite accompagnée? c) Comment peut-on utiliser l arbre pour calculer la probabilité d avoir interrogé un seul élève pratiquant la conduite accompagnée? 7 7 d = f + f + + f 7. On effectue 0 simulations d un tirage de 00 chiffres aléatoires de à 7 compris, puis on calcule les 0 valeurs du carré de la distance. La répartition des 0 valeurs de d est donnée par le diagramme en boîte ci-contre. Lire le troisième quartile de cette série. Interpréter le résultat. 0,007 0,006 0,00 0,004 0,00 0,00 0,00 0,

3 COURS PPLICTIONS spérance et variance d une loi. Calculer et interpréter une espérance C est la loi faible des grands nombres L espérance est la valeur qu on peut «espérer» obtenir en moyenne quand on répète un grand nombre de fois l épreuve Comme en statistique, la variance caractérise la dispersion des valeurs autour de l espérance m Voir T 4 utre formule de la variance : V = S p i x i m Soit l ensemble des n résultats provenant d une expérience aléatoire : ={x ; x ; x ;x n }. Lorsqu on répète l épreuve un grand nombre de fois : la distribution de fréquences observées : la moyenne des valeurs observées la variance de la série Définitions x x x x n f f f f n L espérance de la loi de probabilité est la moyenne : m = p x + p x + p x + + p n x n = Σ (p i x i ) La variance de la loi de probabilité est le nombre : V = p (x m) + p (x m) + p (x m) + + p n (x n m) = Σ p i (x i m) Propriétés de linéarité de l espérance tend vers la distribution de fréquences théoriques appelée loi de probabilité : x x x x n p p p p n 0 p i et Σ p i = m = p x + p x + p x + p n x n V = p (x m) + + p n (x n m) Si on ajoute ou retranche un même nombre b à toutes les valeurs x i, alors on ajoute b à l espérance. Si on multiplie toutes les valeurs x i par un même nombre a, on multiplie l espérance par a. Méthode On détermine l ensemble issues de l expérience aléatoire. Ici, le lancer de dés à 4 faces : des On définit la loi de probabilité sur associée à l expérience aléatoire, en calculant la probabilité de chacune des issues. On calcule l espérance à l aide de la formule. Pour calculer l espérance à l aide de la calculatrice, on calcule la moyenne des valeurs x i, pondérées par les valeurs p i. Énoncé : Un joueur mise 6 et un deuxième joueur mise 0. Le maître de jeu lance deux dés tétraédriques équilibrés. Les joueurs reçoivent deux fois la somme des nombres indiqués par les dés. Calculer l espérance de gain des joueurs. Résolution : Lorsqu on lance deux dés tétraédriques, l ensemble des valeurs de la somme est : S ={;;4;;6;7;8}. Le premier joueur mise 6 et reçoit deux fois la somme apparue, donc les valeurs possibles du gain sont : ={ ;0;;4;6;8;0}. La loi de probabilité est donnée dans x i le tableau ci-contre : 4 p i et Σ p i =. L espérance de la loi de probabilité est : 4 64 m = ( ) = = L espérance de gain du premier joueur est de 4. Le deuxième joueur mise 0, les valeurs possibles du gain sont : { 6 ; 4; ;0;;4;6} Voir logiciels, p. 0 Signification : D9 = 0,004, c est-à-dire que lors de 00 simulations de 000 lancers d une pièce équilibrée, 90 % des valeurs de d sont inférieures à 0,004 déquation à une loi équirépartie Étude sur un exemple Valeurs observées Malika se demande si la pièce d un euro qu elle possède est équilibrée. lle la lance 000 fois de suite et observe les fréquences suivantes : PIL FC fréquence 0,8 0,48 Or, Malika sait que pour le lancer d une pièce équilibrée, la loi de probabilité est : résultat PIL FC Pour mesurer la distance entre la loi équirépartie et la distribution observée, elle calcule : d obs = (0,8 0,) + (0,48 0,) 0,0006. Théorème admis p i 0, 0, Simulation de la loi équirépartie On simule à l aide d un tableur 000 lancers d une pièce équilibrée. On note f la fréquence d apparition de PIL et f celle de FC. On calcule la distance 0,006 entre la distribution obtenue et la loi équirépartie 0,004 D9 : d =(f 0,) +(f 0,). On effectue 00 expériences, 0,00 0,000 on obtient 0,0008 alors 00 valeurs d Q dont la répartition est 0,0006 donnée par le 0,0004 diagramme en boîte cicontre. 0,000 Me On lit le décile 9 : Q D 9 = 0,004. 0,0000 D Voir rabats de couverture Voir exercices 6 à 9. Calculer des probabilités simples Voir fiche T7 Penser qu un élève peut faire plusieurs choix! Faire un diagramme de VNN en indiquant les effectifs. 0 Méthode F F G 0 G On a ainsi soustrait 4 à chacun des résultats précédents, les p i restent inchangées donc, d après les propriétés de linéarité de l espérance : m = m 4 = 0. L espérance de gain du deuxième joueur est nulle. On dit que le jeu est équitable, car il ne favorise ni le joueur ni l organisateur. Énoncé : Parmi 48 élèves de Terminale S, 0 élèves pensent poursuivre leurs études en France, élèves souhaitent partir à l étranger dont 0 désirent partager leurs études entre la France et l étranger. Les autres pensent ne pas poursuivre d études. On interroge un élève, au hasard, au sujet de ses projets. On note : F :«étudier en France» ; G :«étudier à l étranger» ; I :«étudier en France ou à l étranger» et J :«interrompre les études». Déterminer les probabilités des événements suivants. Résolution : On choisit un élève au hasard, la loi est donc équirépartie. 0 élèves poursuivent leurs études en France, élèves souhaitent partir à l étranger et 0 élèves pensent étudier en France et à l étranger. Donc : 0 0 P(F ) = = ; P(G) = et P(F G) = = ; % des valeurs de d obtenues lors de la simulation de la loi équirépartie sont inférieures à D 9, si la valeur d obs trouvée lors de l expérience sur la pièce testée est telle que d obs D 9, alors on conclut, avec un risque d erreur de 0 %, que la pièce est équilibrée. J Voir exercices 0 et P(I ) = P(F ) + P(G) P(F G) = + = = J est l événement contraire de I, donc P(J ) = P(I ) = =. 6 6

4 COURS PPLICTIONS Probabilité conditionnelle C. Utiliser un arbre pondéré par les probabilités Rappel de Première : on retrouve la fréquence f (): fréquence conditionnelle de sachant L ensemble devient le nouvel ensemble de référence.. Probabilité de sachant Définition On considère une expérience aléatoire et l ensemble des issues muni d une loi de probabilité P. et sont deux événements de, étant de probabilité non nulle. La probabilité de sachant que est réalisé est notée P ( ) et est définie par le quotient : P( ) P ( ) = P() Remarque : Dans le cas d une loi équirépartie, on a la formule de LPLC : nombre d éléments de et P ( ) =. nombre d éléments de Méthode On définit l ensemble des issues et on établit une partition de. On traduit les données en probabilité. Les premières branches de l arbre sont pondérées par les probabilités des événements formant la partition. Énoncé : Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois fournisseurs, et. % des pièces proviennent du fournisseur, 40 % des pièces proviennent du fournisseur et le reste provient du fournisseur. % des pièces provenant du fournisseur, 0 % de celles provenant du fournisseur et 0, % de celles provenant du fournisseur ont un défaut. On prend, au hasard, une des pièces. a) Construire un arbre de probabilité traduisant la situation. b) Calculer la probabilité de l événement : «la pièce achetée par l artisan présente un défaut». Résolution : On note l ensemble des pièces fabriquées par les trois usines. i est l événement : «la pièce provient de l usine i»; est l événement : «la pièce a un défaut». utre formule : P( ) = P() P () Partition : dire que trois événements forment une partition de signifie que, les événements pris deux à deux sont toujours disjoints et la réunion des trois est l'ensemble.. Formule des probabilités composées Théorème La probabilité de l événement «et», si on connaît la probabilité de l événement et la probabilité de l événement sachant que est réalisé, est : P( ) = P() P ( ) Démonstration : C est une autre écriture de la formule précédente... Formule des probabilités totales Si est un événement de probabilité non nulle et son événement contraire, alors et forment une partition de. Soit un événement de, alors les événements et sont incompatibles et ( ) ( ) =. P() = P( ) + P( ) = P () P() + P () P( ). On peut traduire la situation par un arbre, comme ci-contre, pondéré par les probabilités. Ce cas particulier se généralise et donne la formule des probabilités totales. P () P () On repère les phrases, dans l énoncé, indiquant un changement d ensemble de référence, donc une probabilité conditionnelle. Sur la branche partant de i vers, on note la probabilité de sachant que i est réalisé. On complète l arbre par les probabilités de sachant que i est réalisé en appliquant : la somme des probabilités des branches issues de i est égale à. a) Comme la loi est équirépartie sur, les pourcentages donnés se traduisent par les probabilités suivantes : P( ) = 0,, P( ) = 0,40 et P( ) = P( ) P( ) = 0,. On construit un arbre pondéré : P ( ) On place sur les premières branches les probabilités données. P( ) + P( ) + P( ) =. Les phrases, en bleu, dans l énoncé indiquent une probabilité conditionnelle : la probabilité que la pièce ait un défaut sachant qu elle provient du fournisseur est P () = 0,0. On lit, de même, P () = 0, et P () = 0,00. On complète l arbre par des branches allant vers ou, en les pondérant par les probabilités conditionnelles : 0, 0,4 0, Se souvenir que : la somme des probabilités des branches d un même niveau est égale à : Théorème Si les événements,,, n forment une partition de, alors la probabilité de l événement de l ensemble est : P()= P( ) + P( ) + + P( n ) = P () P( ) + P () P( ) + + P () P( n n ) n Les probabilités P( i ) sont les produits des pondérations des branches joignant les événements puis i puis. On utilise enfin la formule des probabilités totales. 0,0 0, 0,00 P( i ) = P( i ) P i (). P () + P ( ) =. b) On calcule P() à l aide de la formule des probabilités totales : Démonstration : On applique la propriété de la probabilité des événements incompatibles, et la formule des probabilités composées. Voir exercices 7 à 40 P() = P( ) + P( ) + P( ) = 0, 0,0 + 0,40 0, + 0, 0,00 = 0,08. 4

5 COURS PPLICTIONS 4 Indépendance D. Montrer que deux événements sont indépendants ttention : ne pas confondre deux événements indépendants et deux événements incompatibles qui n ont pas d éléments en commun Comme : P( ) = P() P (), alors : P () = P() P( ) = P() P() P () = P() Les lancers successifs d une pièce, d un dé la répétition de tirages dans une boîte de boules, de lettres, etc. avec remise dans la boîte, les réponses à un questionnaire sont des expériences indépendantes 4.. Événements indépendants Soit une expérience aléatoire et l ensemble des résultats, muni d une loi de probabilité P. Soit et deux événements de de probabilités non nulles. Définitions Définition : Les événements et sont indépendants lorsque la probabilité de l un ne dépend pas de la réalisation de l autre. utrement dit : P () = P( ) ou P () = P(). utre définition : Dire que les événements et sont indépendants signifie que la probabilité de l événement «et» est égale au produit de leurs probabilités : P( ) = P() P() On admet que si et sont indépendants, alors et sont aussi indépendants, de même et, et et. xemple Le diagramme : Ici, la part de dans est la même que la part de dans : P () = = 4 8 et P() = = Principe multiplicatif Théorème admis Le tableau : m b Si =, alors : a T m a b P( ) = =. T T T effectif m b effectif a T m a b On peut écrire = ; T T T d où : P( ) = P() P(). L arbre pondéré : P () P () P () P() = P () = P (). insi : P( ) = P() P () = P() P() et : P( ) = P( ) P () = P( ) P(). Dans le cas d une succession d expériences indépendantes, la probabilité d une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. xemple On lance une pièce, puis un dé à 6 faces, puis une pièce, puis de nouveau une pièce, puis un dé à 4 faces. Si on a obtenu FC sur la première pièce, cela n agit pas sur le résultat du lancer du dé à 6 faces, et ainsi de suite. La probabilité d obtenir la liste de résultats (F ; ; P ; P ; ) est alors : = PIL PIL PIL 4 FC 46 FC FC Méthode Pour deux événements indépendants, se méfier de son intuition! Il faut répondre à la question par un calcul. On calcule les probabilités de chacun des deux événements et, puis le produit de ces probabilités. Si ce produit est égal à la probabilité de leur intersection, alors les événements et sont indépendants. Voir exercices à. Calculer la probabilité d une intersection Méthode Remarque : la somme de chaque ligne en jaune est égale à : les fréquences données sont des fréquences conditionnelles sur et D. Pour calculer la probabilité d une intersection lorsque l on connaît des fréquences conditionnelles : si les événements sont indépendants : P( ) = P() P() ; sinon, on applique la formule des probabilités composées : P( ) = P () P(). Voir exercices 4 à 6 Énoncé : On interroge les parents d une famille pour connaître le rhésus sanguin de leurs enfants : positif + ou négatif. On considère les événements : :«les enfants n ont pas tous le même rhésus» et :«au plus, un enfant est de rhésus négatif». Les parents ont deux enfants. Les événements et sont-ils indépendants? Les parents ont trois enfants. Les événements et sont-ils indépendants? Résolution : L ensemble des issues possibles est = {(+ ; +) ; (+ ; ) ; ( ; +) ; ( ; )}. On suppose que la loi définie sur est équiprobable. lors P() = = et P() =, donc P() P() = Or = {(+; ) ; ( ; +)}, donc P( ) = =. 4 Les événements et ne sont donc pas indépendants. L ensemble des issues possibles est : = {(+ ; + ; +) ; (+ ;+ ; ) ; (+ ; ; +) ; ( ; + ; +) ; ( ; ; +) ; ( ; + ; ) ; (+ ; ; ) ; ( ; ; )}. On suppose que la loi définie sur est équiprobable. 6 4 lors P() = = et P() = =, donc P() P() = Or = {( ; + ; +) ; (+ ; +; ) ; (+; ; +)}, donc P( ) =. 8 Les événements et sont donc indépendants. Énoncé : Le tableau représente la répartition de 0 élèves de Terminale en fonction de la première langue étudiée au lycée et l activité préférée en loisirs. sport (S) lecture (L) musique (M) ensemble nglais () 0, 0, 0, 90 llemand (D) 0, 0, 0, 60 ensemble 4 0 On interroge un élève de Terminale au hasard. Calculer la probabilité d interroger un élève de Terminale musicien et étudiant l nglais. 4 Résolution : P (M) = 0, et P(M ) = = 0,, donc P (M ) = P(M ), 0 ce qui signifie que les événements et M sont indépendants. Donc P( M ) = P() P(M ), 90 or P() = = 0,60, donc P( M ) = 0,6 0, = 0,

6 COURS PPLICTIONS Loi inomiale F. Reconnaître et appliquer la loi binomiale Note : Jacob RNOULLI (64 70) : rs Conjectandi paru en 7.. Loi de RNOULLI Définition Lorsqu une expérience aléatoire n a que deux issues appelées succès et échec, on la nomme épreuve de RNOULLI. On note p la probabilité du succès et q = p la probabilité de l échec. Nota bene : Le succès peut être un événement désagréable et l échec un événement heureux. p q S Méthode On reconnaît la répétition de quatre épreuves de RNOULLI, identiques et indépendantes et on définit avec soin la probabilité du succès p. Énoncé : ziz et enoît pratiquent le tennis. Ils décident de jouer 4 matchs dans l année. La probabilité que enoît gagne un match est 0,4. Les résultats des matchs sont indépendants les uns des autres. À la fin de chaque match, le perdant verse 0 euros dans une cagnotte avec laquelle ils s offriront un repas à la fin de la saison. a) Quelle est la probabilité que enoît ne gagne qu une seule fois? b) Déterminer la probabilité que enoît gagne au moins une fois. c) Quelle est la loi de probabilité associée à la dépense de enoît? d) Calculer l espérance de dépense en fin d année pour enoît. Remarque : si le succès est noté et l échec 0, l espérance de la loi de RNOULLI est p et l écart type : s = 4pq Notation : cette loi est notée ; p) Comme il y a n épreuves, si on a k succès, alors il y a n k échecs Définir une loi de RNOULLI de paramètre p, c est associer à l expérience aléatoire une loi de probabilité discrète définie par :.. Loi inomiale x i S p i p q Lors de la répétition de n épreuves de RNOULLI, identiques et indépendantes, on s intéresse au nombre de succès de la liste ordonnée obtenue à la fin des n épreuves. On obtient alors l ensemble des résultats ={0; ; ; ; n}. La loi de probabilité sur cet ensemble est nommée loi binomiale de paramètres n et p, où p est la probabilité de succès de la loi de RNOULLI et n le nombre d épreuves de RNOULLI. La probabilité d obtenir une liste ordonnée de k succès et n k échecs à la fin des n épreuves peut se calculer en appliquant le principe multiplicatif : er lancer e lancer S S S On établit un arbre pondéré donnant toutes les listes ordonnées de succès et d échecs obtenues à la fin des 4 épreuves. On applique le principe multiplicatif pour obtenir la probabilité d une liste particulière. L arbre pondéré permet de compter les listes contenant le même nombre de succès. Résolution : Chaque match est une épreuve de RNOULLI de succès l événement S :«enoît gagne le match», de probabilité p = 0,4. À chaque match, la probabilité du succès ne change pas et ne dépend pas du match précédent. On a donc une répétition de 4 épreuves de RNOULLI identiques et indépendantes. On construit un arbre pondéré qui donne toutes les listes de succès et d échecs à la fin des 4 épreuves. a) L événement :«enoît gagne exactement une fois» est formé des listes : (S ; ; ; ) ; ( ; S ; ; ) ; ( ; ; S ; ) ; ( ; ; ; S). Chaque liste a pour probabilité p q, donc : P() = 4 0,4 0,6 = 0,46. b) L événement :«enoît gagne au moins une fois» est l événement contraire de l événement C :«enoît ne gagne aucun match», c est-à-dire «enoît perd 4 fois». Or, L événement C correspond à la liste ( ; ; ; ), donc : P(C) = q 4 = 0,6 4 =0,96 et P() = P(C) = 0,8704. c) La loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres (4 ; 0,4) est : n-ième lancer S S S S S S S Lorsqu on calcule la probabilité : «d obtenir au moins un.», il est préférable de calculer la probabilité de l événement contraire : «d obtenir aucun». La probabilité d obtenir la liste de résultats (S, S, S,, S,,,, ) est p k q n k. k succès er match e match e match p S q p S S p q p q p q p q S S S S p p 4 e match S S S S S S S S q p q n k échecs nombre de succès k 0 4 Il n y a qu une seule liste contenant 0 succès : elle contient n échecs. Il n y a qu une seule liste contenant n échecs : elle contient 0 succès. Donc, la probabilité d obtenir n échecs consécutifs est q n = ( p) n. Pour obtenir la loi de probabilité du nombre de succès, on dresse un arbre de choix et on compte le nombre de listes contenant k succès. n notant n k le nombre de listes contenant k succès, on obtient la loi binomiale : probabilité p i q 4 4 q p 6 q p 4 q p p 4 nombre de succès 0 k n probabilité p i q n n p q n n p q n n k p k q n k p n On peut remarquer que : m = n p. Voir exercices 6 à 68 La loi de probabilité associée à la dépense de enoît est alors : d i en p i à 0 4 0,06 0,6 0,46 0,46 0,96 d) L espérance de dépense de enoît est : m = 0, , , ,46 0 = 6. L espérance de dépense pour enoît, à la fin de l année, est de 6 euros. 8 9

7 LOGICILS LOGICILS Objectif : tester l adéquation de données observées à une loi équirépartie déquation à une loi équirépartie à l aide de la calculatrice.. Étudier l exemple Dans le but de sensibiliser les conducteurs, la sécurité routière a étudié les rapports d accidents dans le département de l Oise, en 00. lundi mardi mercredi jeudi vendredi samedi dimanche Objectif : observation de 4 épreuves de RNOULLI identiques et indépendantes La planche de GLTON à l aide d un tableur La planche de GLTON est un jeu d obstacle formé de petits cylindres répartis géométriquement. On lâche une bille en haut de la planche : à chaque obstacle, elle peut passer indifféremment et avec autant de chance, à gauche ou bien à droite de l obstacle. Ici, le jeu contient 4 niveaux d obstacles. On veut connaître la loi de probabilité de chacune des cases où la bille tombe 0 ; ; ; ; 4. Note : on admet que, si on simule n tirages, les valeurs de d obs sont de l ordre de /n et diminuent quand n augmente On préfère souvent calculer les valeurs de n d obs qui restent stables quand n augmente Dans ce cas, D9 ne dépend pas de n Les résultats sont-ils compatibles avec la loi équirépartie sur l ensemble ={;;;4;;6;7}? Calculer en liste les fréquences f i des accidents suivant le jour de la semaine. n supposant que les accidents sont équirépartis dans la semaine, la probabilité p pour chaque jour est p =. 7 a) Calculer d obs = Σ (f i p) par b) On a simulé à l aide d un tableur, 00 expériences de 000 tirages de nombres aléatoires. On a obtenu 00 valeurs de d. Le neuvième décile de cette série est D 9 = 0,006, c est-à-dire que 90 % des valeurs de d, pour une loi équirépartie, sont inférieures à 0,006. Ici, on obtient d obs = 0,007, d obs est supérieur à D 9, donc on rejette l hypothèse d équirépartition des accidents sur la semaine, avec un risque d erreur de 0 %... pplications Le numéro de la case correspond au nombre de déplacements de la bille vers la droite droite gauche Travail sur papier On considère comme Succès le fait de passer à droite de l obstacle et comme Échec le fait de passer à gauche. a) Donner la probabilité p du succès. b) Dresser un arbre de RNOULLI correspondant à la situation décrite. Établir la loi de probabilité sur {0 ; ; ; ; 4}. Pauline étudie son nombre d heures de sommeil, en moyenne, par nuit. lundi mardi mercredi jeudi vendredi samedi dimanche Simulation sur tableur de la distribution de fréquences a) Le point de départ de la bille a pour coordonnées (4 ; 4 ). Préparer le tableau ci-dessous. Objectif : simuler 00 fois une série de 000 expériences modélisables par la loi équirépartie sur : { ;;;4;;6;7} afin d obtenir la répartition des valeurs de d a) Calculer la probabilité théorique p de chaque jour, en supposant que les heures de sommeil sont équiréparties dans la semaine. b) Calculer d obs = Σ (f i p), où les f i sont les fréquences associées à chaque jour. c) Peut-on considérer que les heures de sommeil de Pauline sont équiréparties sur la semaine? Élaboration d un test d équirépartition sur tableur a) Simuler le tirage de 000 nombres aléatoires compris entre et 7. n cellule, écrire Utiliser la poignée de recopie jusqu en cellule 00. b) Écrire les nombres de à 7 en plage : 8. Calculer en cellule C le nombre de apparus lors des 000 tirages : L instruction : SI(L()<0,;-;) crée un nombre aléatoire dans [ 0 ; [ et si ce nombre est inférieur à 0,, il donne, sinon donne ce qui correspond bien au choix de la bille devant un obstacle b) Un passage à droite de l obstacle ajoute + à l abscisse, un passage à gauche ajoute : en cellule, taper vec la poignée de recopie, copier cette formule vers la droite jusqu en cellule. c) Simulation de 00 trajets Sélectionner la plage :, puis recopier vers le bas jusqu en ligne 0. Déterminer les abscisses des points d arrivée : en cellule J, taper Recopier vers le bas jusqu en cellule J 0 et préparer le tableau ci-dessous. c) Calculer d en cellule C9, où d est la distance entre la distribution de fréquences observées et la loi équirépartie : Pour représenter le diagramme en bâtons, sélectionner la plage L4 : P4 et cliquer d) Copier le résultat obtenu en cellule. Recommencer l expérience de manière à obtenir 00 valeurs de d en colonne. e) n cellule D, calculer le décile 9 de la série des 00 valeurs de d : Donner la valeur du décile D 9 et interpréter ce résultat. ppuyer sur F9 pour recommencer une simulation Calculer les effectifs en M : puis calculer la fréquence correspondante en M4. Recopier vers la droite à l aide de la poignée de copie jusqu en cellule Q4. Représenter le diagramme en bâtons des fréquences. d) Recommencer les simulations avec 00, puis 000 trajets. Comparer alors les résultats à la loi de probabilité obtenue à partir de l arbre dressé au. 0

8 FIR L POINT OUTILS Savoir calculer et interpréter l espérance d une loi Comment faire Une loi de probabilité P sur ={x ; x ; ;x n } est définie par le tableau ci-contre L espérance de la loi P est : x p x p x p x n p n m = p x + p x + p x + + p n x n = Σ (p i x i ) L espérance est la valeur qu on peut «espérer» obtenir en moyenne quand on répète un grand nombre de fois l épreuve Voir application, p. Mise au point des connaissances antérieures. Médiane, quartiles, déciles, diagrammes en boîte Voir T Déterminer la médiane, les quartiles et le neuvième décile de la série suivante : Loi de probabilité Voir T7 On lance une pièce de euro, puis un dé tétradrique. À PIL on associe et à FC on associe 0. On note la somme des points obtenus. a) Construire un arbre pour déterminer toutes les issues. b) Déterminer la loi de probabilité. calculer et interpréter la variance et l écart type d une loi reconnaître et calculer une probabilité conditionnelle La variance de la loi de probabilité P est le nombre V = Σ p i (x i m) L écart type est la racine carrée de la variance s = V La variance et l écart type caractérisent la dispersion des valeurs autour de l espérance m Voir cours, p. et étant deux événements de et P() non nulle On choisit, au hasard, un individu réalisant l événement parmi ceux réalisant l événement. La probabilité de l événement est alors conditionnée par et notée P () P( ) La probabilité de sachant que est réalisé est P () = P() Voir cours, p. 4 Déterminer la médiane, les quartiles de la série suivante : La calculatrice affiche l écran ci-contre. Comparer les résultats affichés à ceux calculés. a) Lire sur le diagramme en boîte suivant la médiane, les premier et troisième quartiles, ainsi que le neuvième décile. Interpréter chacun des résultats. 6 On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. a) Construire un arbre pour déterminer toutes les issues. b) On s intéresse au nombre de fois où PIL est apparu. Déterminer la loi de probabilité. 7 On prend deux pièces parmi pièces de :,, 0,, 0, et 0,. a) Faire un tableau pour déterminer toutes les issues et toutes les sommes possibles. b) On s intéresse à la somme obtenue. Déterminer la loi de probabilité. construire un arbre pondéré par les probabilités appliquer la formule des probabilités totales prouver que des événements sont indépendants calculer P( ) reconnaître un schéma de RNOULLI Connaissant une partition,,, n de l ensemble, on s intéresse à un événement. On traduit les données par un arbre pondéré : 4 Voir application C, p. Les événements,,, n de probabilité non nulles forment une partition de. La probabilité de peut se calculer par : P() = P( ) + P( ) + + P( n ) n ou encore P() = P () P( ) + P () P( ) + + P n () P( n ) Voir cours, p. 4 Les événements et de probabilités non nulles sont indépendants si, et seulement si : P () = P() ou P () = P() ou P( ) = P() P() Voir application D, p. 7 Si les événements et sont indépendants : P( ) = P() P() Si les événements et ne sont pas indépendants et si l on connaît la probabilité de et la probabilité conditionnelle de sachant que est réalisé : P( ) = P() P () Dans les autres cas : P( ) = P() + P() P( ) Voir application, p. 7 Vérifier qu il y a répétition de n épreuves de RNOULLI, identiques et indépendantes Énoncer clairement l événement «succès» de probabilité p qui doit rester identique dans la répétition des épreuves Dresser un arbre à n niveaux pondéré par les probabilités p et q = p, pour obtenir la probabilité d obtenir k succès Voir application F, p b) Mêmes questions sur l histogramme suivant : Réalisé avec Sinequanon. Part en pourcentage 4 Cent touristes se sont inscrits pour une visite guidée de la ville de Paris. La répartition des inscriptions est donnée, en pourcentage, dans le tableau suivant : visite de nuit (N) visite de jour (J) visite en car (C) 0 0 visite à pied (P) 0 40 a) Quelle est la part des touristes visitant Paris la nuit? Quelle est la part des touristes visitant Paris la nuit en car? b) Quelle est la part des touristes visitant Paris la nuit, parmi ceux voyageant en car? c) Quelle est la part des touristes visitant Paris en car parmi ceux ayant choisi la visite de nuit? 8 Une boîte contient trois billes jaunes, une bille verte et une bille noire. On tire, au hasard, une bille de la boîte et sans la remettre dans la boîte, puis on tire une seconde bille. On s intéresse au nombre de billes jaunes tirées. a) À l aide d un arbre, déterminer toutes les issues. b) Compléter le tableau suivant : nombre de billes jaunes 0 probabilité 0 4. Probabilité d un événement 9 Les élèves d une classe de Terminale se répartissent de la façon suivante : 4 4 On note : «l ensemble des élèves déjeunant à la cantine le mercredi midi». On note : «l ensemble des élèves participant à l association sportive». On choisit un élève, au hasard, dans la classe. a) Quelle formule doit-on utiliser pour calculer P() ainsi que P()? b) Préciser l événement par une phrase. Calculer P( ). c) Définir par une phrase l événement. Calculer P( ). d) Citer la formule permettant, dans ce cas, de calculer P( ). Calculer P( ). 9

9 XRCICS XRCICS. Q.C.M. et VRI-FUX. SPÉRNC T VRINC D UN LOI. pplications directes. Calculer et interpréter une espérance, p.. Calculer des probabilités simples, p. 0 VRI ou FUX. Justifier la réponse. On considère une loi de probabilité sur un ensemble de résultats : { ; ;;4;;6}. x i 4 6 p i 0, 0, 0, 0, 0, 0, a) L espérance est multipliée par 00, si on traduit les probabilités en pourcentage. b) L espérance augmente de, si tous les résultats augmentent de. c) L espérance diminue de 0 %, si tous les résultats diminuent de 0 %. d) Si seul le résultat 6 change et passe à 7, l espérance augmente de 0, point. VRI ou FUX. Justifier la réponse. On considère la loi de probabilité d un jeu : x i 6 4 p i 0, 0, 0, 0, 0, 0, Répondre sans utiliser la calculatrice. a) Le jeu est équitable. b) La variance est égale à,4. c) Si P() = 0, et P() = 0, et les autres probabilités sont inchangées, l espérance et la variance diminuent. d) Si la loi de probabilité reste celle de départ, la valeur 6 passe à 7 et la valeur passe à, alors l espérance ne change pas, mais la variance augmente. e) Si la loi de probabilité reste celle de départ et seule la valeur change et passe à 0, l espérance et la variance augmentent. Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses. La loi de probabilité associée à une expérience aléatoire est : x i 0 4 p i 0, 0, 0, 0,0 0, L espérance de cette loi est :,, 0,,6 Si tous les x i augmentent de, alors l espérance : ne change pas augmente de augmente de Si on diminue tous les x i de,, alors : le jeu est équitable l espérance diminue de, l espérance ne change pas 4 Si tous les x i augmentent de 0 %, alors, l espérance : ne change pas augmente de 0 % augmente de 0 % est multipliée par 0, Si on remplace la valeur 4 par, alors l espérance : diminue de est divisée par est égale à 0,7 diminue de 0, 6 L écart type est environ égal à :,4,4,4 0,78 7 Si les valeurs de x i augmentent de 0 %, l écart type : ne change pas augmente de 0 % est multiplié par 0, est multipliée par, VRI ou FUX Une boîte contient beaucoup de billes unicolores : rouges, vertes ou bleues. On prend une poignée de billes. On s intéresse aux événements : :«deux billes au moins sont vertes» ; :«les trois billes sont de la même couleur» ; C :«il y a au moins une bille rouge» ; D :«aucune bille n est rouge» ; :«le tirage est tricolore». Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier. a) Les événements et sont incompatibles (ou disjoints). b) et sont contraires. c) et C sont disjoints. d) C et D sont contraires. e) et sont disjoints. 4 Q.C.M. Trouver la seule bonne réponse. et sont deux événements tels que : P() = 0,7, p() = 0,4 et P( ) = 0,. P( ) = 0,9, 0,6 P( ) = 0,8 0, 0, P( ) = 0,8 0, 0, 4 P( ) = 0,8 0,9 0, VRI ou FUX. Corriger si la réponse est fausse. Dans un restaurant, la carte montre que 60 % des menus proposent des poissons (S), 0 % des menus proposent des glaces (G) et 0 % des menus ne proposent ni poisson ni glace. a) P( S) = 0,40 ; b) P(S G) = 0,80 ; c) P(S G) = 0, ; d) P(S G) = 0, ; e) S G et S G sont incompatibles. 6 Dans chaque cas, compléter la loi de probabilité et calculer la moyenne m et la variance s sans utiliser la calculatrice. a) x i 0 7 b) c) p i 0, 0, 0, x i p i 0, 0, 0, 0, x i p i 0,4 0, 0, 0, 0,0 7 On lance deux dés, l un cubique (de à 6) et l autre tétraédrique (de à 4). Établir la loi de probabilité du dernier chiffre du produit des deux numéros obtenus, puis calculer l espérance et la variance. 8 Un joueur mise 0 points et lance trois pièces, une de, une de et une de 0,0. Il gagne 0 points s il obtient trois FC, il gagne 0 points s il obtient deux FC et ne gagne rien sinon. Le gain algébrique est la différence entre ce que le joueur reçoit à l issue de la partie et sa mise. Déterminer l ensemble de toutes les issues possibles. Déterminer la loi de probabilité du gain algébrique du joueur. Calculer l espérance du gain algébrique. Le jeu est-il équitable? 9 Un joueur mise x euros et lance deux dés cubiques équilibrés. Si la somme des deux nombres apparus est égale à 7, il gagne, sinon il ne gagne rien. Combien doit miser le joueur au début du jeu pour que ce jeu soit équitable?. pprofondissement Une partie de loterie consiste à lâcher une bille dans un appareil qui comporte six portes de sortie, numérotées de à 6. La loi de probabilité sur l ensemble des numéros de porte est telle que : p = p 6 = t, p = p =t et p = p 4 =p. Règle du jeu : un joueur mise et lance la bille : si la bille franchit les portes ou 6, il reçoit ; si la bille franchit les portes ou 4, le joueur reçoit ; 0 u cours d une enquête sur un groupe de personnes suisses ou belges, on a posé la question «Êtes-vous allés au moins une fois hors de l urope?». 0 % des personnes ont répondu OUI, 40 % des personnes du groupe sont des elges dont % ont répondu OUI. On reprend, au hasard, la fiche d une personne du groupe. a) Calculer la probabilité pour que ce soit un elge qui ait répondu OUI. b) n déduire la probabilité que la personne ait répondu OUI ou soit un elge. c) Quelle est la probabilité que la personne soit un Suisse qui ait répondu NON? À l entrée d un immeuble, le digicode comprend cinq chiffres : 4, et deux lettres : et. Un code est formé d une lettre et d un nombre à deux chiffres pris parmi les chiffres de à. xemple : codes ou. a) À l aide de deux tableaux, établir tous les codes possibles. Codes commençant par Codes commençant par b) On effectue un code au hasard. Calculer la probabilité d obtenir le bon code. c) Le gérant qui détermine le code le fait au hasard. Calculer la probabilité pour que le code choisi comporte deux chiffres identiques. d) Calculer la probabilité que le code commence par et se termine par. e) Calculer la probabilité que le code commence par ou se termine par. si la bille franchit les portes ou, le joueur ne reçoit rien. Le gain algébrique est la différence entre ce que le joueur reçoit à l issue de la partie et sa mise. a) n résolvant une équation, montrer que t =. b) Donner l ensemble des gains algébriques possibles. Déterminer la loi de probabilité sur. c) Calculer l espérance de gain de ce jeu. 4 4

10 XRCICS XRCICS Un sac contient sept jetons : un rouge, deux jaunes et quatre verts. Une partie consiste à tirer un jeton du sac : s il est rouge, le joueur gagne 0 ; s il est jaune, le joueur perd ; s il est vert, le joueur retire un deuxième jeton sans avoir replacé le premier jeton tiré, si le deuxième est rouge, il gagne 8, sinon il perd 4. On s intéresse au gain algébrique (gain ou perte) à la fin d une partie, soit l ensemble des gains. a) Établir un arbre représentant toutes les éventualités à la fin d une partie, et les gains obtenus pour chaque branche. b) Calculer la probabilité de l événement : G :«le joueur est gagnant». c) Déterminer la loi de probabilité sur l ensemble des gains. Calculer alors l espérance de gain. Déterminer le gain algébrique à attribuer à un joueur lorsque le deuxième jeton tiré est rouge, pour que l espérance de gain soit nulle. 4 Une roue de loterie présente de nombreux secteurs munis d une marque. Chaque secteur permet de gagner 00, 0, ou ou ne rien gagner (0 ) : 8% gagnent ; le cinquième gagne ; le vingtième gagne 0 et plus, dont le dixième gagne 00. On admet que la répartition des secteurs selon le gain définit une loi de probabilité. Déterminer la loi de probabilité par traduction des informations données. Justifier que plus des deux tiers des secteurs ne gagnent rien (0 ). a) Montrer que l espérance de gain est,. b) Si le prix du billet est de, calculer l espérance de recette par billet pour le gérant de cette loterie. Les frais fixes se montent à 00. Combien de billets au minimum ce gérant doit-il vendre pour réaliser un profit? Une entreprise fabrique des puces électroniques. Ces puces peuvent être défectueuses à cause de deux défauts de fabrication et. On teste chaque puce. On vérifie le défaut : 0% des puces présentent le défaut. On vérifie le défaut :4 % des puces présentent le défaut. près tous les tests : % des puces présentent les deux défauts. On choisit, au hasard, une puce de cette fabrication. Calculer la probabilité des événements suivants : :«la puce a au moins l un des deux défauts» ; F :«la puce a le défaut seulement» ; G :«la puce a un défaut et un seul» ; H :«la puce n a ni le défaut, ni le défaut». type C type C. pplications directes 9 On souhaite savoir si un dé à quatre faces (un tétraèdre) peut être considéré comme parfaitement équilibré. Pour cela, on numérote de à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance ce dé 60 fois en notant le nombre n i de fois, où chaque face est cachée. On obtient les résultats suivants : face cachée i 4 effectif n i On note f i la fréquence relative à la face i et d obs le réel : d obs = f i. 4. pprofondissement 0 Les guichets d une agence bancaire d une petite ville sont ouverts au public cinq jours par semaine : les mardi, mercredi, jeudi, vendredi et samedi. Le tableau ci-dessous donne la répartition journalière des 0 retraits d argent liquide effectués aux guichets une certaine semaine. jour de la semaine mardi mercredi jeudi vendredi samedi type C On simule ensuite 000 fois I expérience consistant à tirer 60 fois un chiffre, au hasard, parmi l ensemble { ; ; ; 4} puis, pour chaque simulation, on calcule : D = F i, où F i est la fréquence d apparition de la face i. Le 9 e décile de la série statistique des 000 valeurs D est égal à 0, u vu de l expérience réalisée, et au risque de 0 %, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré? Un pisciculteur possède un bassin qui contient trois variétés de truites : communes, saumonées et arc-en-ciel. Il voudrait savoir s il peut considérer que son bassin contient autant de truites de chaque variété. Pour cela, il effectue, au hasard, 400 prélèvements d une truite avec remise et obtient les résultats suivants : variétés Commune Saumonée rc-en-ciel effectifs Q.C.M. et VRI-FUX. DÉQUTION À UN LOI ÉQUIRÉPRTI 6 VRI ou FUX. Corriger si la réponse est fausse. On considère la loi équirépartie sur un ensemble et p la probabilité de chacune des issues. a) Si est l ensemble des jours de la semaine, alors : p =. 7 b) Si est l ensemble des couples obtenus en lançant deux dés cubiques, alors p =. 6 c) Si est l ensemble des issues lors de trois lancers successifs d une pièce de, alors p =. 6 7 Q.C.M. Donner la seule bonne réponse. Pour évaluer l adéquation de la distribution des fréquences f i d une expérience aléatoire à k issues, on calcule d obs qui est égale à : Σ (f i k) f i Σ f i k k 8 Q.C.M. Donner la seule bonne réponse. On simule 00 fois la loi équirépartie, on obtient 00 valeurs de d. Le neuvième décile de cette série est D 9. On réalise une expérience et on mesure la distance d obs. On accepte l adéquation à la loi équirépartie, si d obs est : supérieure à D 9 inférieure à D 9 égale à D 9 Si d obs est inférieure au neuvième décile de cette série, on accepte l adéquation à la loi équirépartie avec un risque d erreur de : % 0% 9 % 90 % Si d obs est supérieure au 9 e centile de cette série, on rejette l adéquation à la loi équirépartie avec un risque d erreur de : % 0% % % rang i du jour 4 nombre de retraits On veut tester l hypothèse : «le nombre de retraits est indépendant du jour de la semaine». On suppose donc que le nombre des retraits journaliers est égal à du nombre des retraits de la semaine. On pose d obs = retraits du i-ième jour. i = f i, où f i est la fréquence des Ces valeurs ont permis de construire le diagramme en boîte ci-dessous, où les extrémités des «pattes» correspondent respectivement au premier décile et au neuvième décile Lire sur le diagramme une valeur approchée du neuvième décile. n argumentant la réponse, dire si pour la série observée au début, on peut affirmer, avec un risque d erreur inférieur à 0 %, que «le nombre de retraits est indépendant du jour de la semaine». a) Calculer les fréquences de prélèvement f c d une truite commune, f s d une truite saumonée et f a d une truite arcen-ciel. On donnera les valeurs décimales exactes. b) On pose d = f c + f s + f a. Calculer 400d arrondi à 0 ; on note 400d obs cette valeur. À l aide d un ordinateur, le pisciculteur simule le prélèvement, au hasard, de 400 truites suivant la loi équirépartie. Il répète 000 fois cette opération et calcule, à chaque fois, la valeur de 400 d. Le diagramme à bandes ci-dessous représente la série des 000 valeurs de 400 d obtenues par simulation. 9 effectifs ,,,, 4 4, Déterminer une valeur approchée à 0, près par défaut, du neuvième décile D 9 de cette série. n argumentant soigneusement la réponse, dire si on peut affirmer, avec un risque d erreur inférieur à 0 %, que : «le bassin contient autant de truites de chaque variété». 6 7

11 XRCICS XRCICS. PROILITÉ CONDITIONNLL. pprofondissement. Q.C.M. et VRI-FUX Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses. La probabilité de l événement sachant que l événement est réalisé est : P( ) P() Q.C.M. Trouver toutes les affirmations vraies. On considère trois événements, et C d un même ensemble que l on peut schématiser par le diagramme de VNN ci-dessous. On connaît l effectif de chaque partie. C 4 9 P( ) P() L ensemble a 40 résultats et est muni d une loi de probabilité P équiprobable. P( ) = P( C) = P () = P (C) = P C () = P () = 8 4 Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses. 60 % d une population est vaccinée (V ) contre une maladie. On constate que % des personnes vaccinées font une réaction allergique. Parmi les personnes non vaccinées, 0 % sont victimes de la réaction allergique. On choisit, au hasard, une personne vaccinée. La probabilité d obtenir une personne victime d une réaction allergique est : P (V ) P() P V () 0,0 0,0 0,6. pplications directes 0 7 P( ) P() C. Utiliser un arbre pondéré par les probabilités, p. 7 et sont deux événements de tels que : P() = 0,4, P () = 0,8 et P () = 0,. Construire un arbre pondéré, puis calculer : P( ) et P(). 8 et sont deux événements de tels que : P() = 0,4, P( ) = 0, et P( ) = 0,. Calculer P () et P (). On choisit, au hasard, une personne non vaccinée. La probabilité d obtenir une personne victime d une réaction allergique est : P (V ) P() P V () 0,0 0,0 0,6 La probabilité d obtenir, parmi les personnes ayant une réaction allergique, une personne vaccinée est : P(V ) P V () P() P (V ) Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses. On reprend la situation de l exercice précédent. La probabilité d obtenir, dans la population, une personne victime d une réaction allergique et vaccinée est : P (V ) P V () P( V ) P() + P(V ) P( V ) La probabilité d obtenir, dans la population, une personne victime d une réaction allergique est : P (V ) P V () P() 0, 0,07 La probabilité d obtenir, dans la population, une personne ni allergique ni vaccinée est : P ( V ) P V ( ) P( V ) 0,6 0,97 6 VRI ou FUX. Corriger si la réponse est fausse. Quel que soit l événement de, et forment une partition de. Pour tous les événements et C, on a : P() = P( C) + P( C). Si les événements et forment une partition de, alors, C étant un événement de, les événements C et C sont disjoints. 4 Si les événements et forment une partition de, alors : a) P() + P() = P() ; b) Pour tout événement C de : P(C) = P() P(C) + P() P(C). 9 et sont deux événements de : P() = 0,, P () = 0,0 et P () = 0,. Établir un arbre pondéré avec ces données et le compléter. Calculer P(). 40,, C et D sont quatre événements de tels que, et C forment une partition de. On a P() = 0,, P() = 0,, P (D) = 0,0, P (D) = 0, et P C (D) = 0,. Établir un arbre pondéré et calculer P(D). 4 Dans un groupe de 0 personnes, on remarque les hommes portant la cravate ou ayant les yeux bleus. On compte 0 hommes portant la cravate, hommes qui ont les yeux bleus, dont 8 portent la cravate. On discute avec une personne choisie au hasard dans ce groupe. On note C :«c est un homme à cravate» et :«c est un homme aux yeux bleus». Déterminer les probabilités : P(C), P(), P(C ) et P (C). 4 Dans un lycée, 60 % sont des filles, 40 % sont des élèves de Seconde, dont % sont des filles. On prend, au hasard, la fiche d une élève de ce lycée. On note : F :«l élève est une fille» et S :«l élève est en Seconde». Traduire ces informations dans un tableau. n déduire les pondérations de l arbre ci-dessous. S S total S F F S F F S total 00 S Préciser les probabilités P(F ), P(S) et P(S F ). 4 Un joueur de tennis réussit sa première balle de service à 7 % et sa seconde balle à 90 %. Quelle est la probabilité pour qu il commette une double faute (service faux à la seconde balle)? 44 Une équipe de basket est composée de 6 joueurs ayant de très grandes performances dans la réussite de paniers : deux de ces 6 joueurs réussissent à 80 %, trois réussissent à 90 % et le dernier, lfred, réussit à 9 %. On assiste à un match où chaque basketteur a tenté le même nombre de paniers et on choisit, au hasard, l une des tentatives. On note : :«lfred a tenté le panier» ; R :«le panier est réussi». a) Déterminer les probabilités suivantes : P(), P (R) et P( R). b) Déterminer P(R). On utilisera un arbre pondéré. 4 Une chaîne de magasins commercialise des vélos tout terrain. lle s adresse exclusivement à quatre fournisseurs F, F, F et F 4 qui produisent respectivement 0 %, 0 %, 0 % et 40 % du stock. type C L essentiel de ces vélos est vendu dans deux magasins et la production de chaque fournisseur est répartie selon le tableau ci-dessous : fournisseur F F F F 4 magasin 0 0,8 0, 0,4 magasin 0,6 0 0, 0, autres magasins 0,4 0, 0 0, part en % du stock total 0 % 0 % 0 % 40 % Un vélo est vendu dans l un des magasins. a) Quelle est la probabilité qu il provienne de F 4? b) Quelle est la probabilité qu il soit vendu dans le magasin, sachant qu il provient du fournisseur F? c) Quelle est la probabilité qu il soit vendu dans le magasin et provienne du fournisseur F 4? a) À l aide d un arbre pondéré, déterminer la probabilité que le vélo soit vendu dans le magasin. b) Déterminer la probabilité que le vélo provienne du fournisseur F 4, sachant qu il est vendu dans le magasin. 46 Une entreprise veut recette investir dans un projet dont les coûts s élèvent à probabilité 0,4 0, euros et lui rapporte chaque année ou 000. Représenter, à l aide d un arbre, les différentes recettes possibles au bout de ans. Quelle est la probabilité que la recette de l entreprise atteigne euros? Donner la loi de probabilité associée à la recette de l entreprise. Calculer l espérance de la recette pour l entreprise. Le projet est-il rentable? 47 À la pause de 0 h, indifféremment, Myriam boit un jus d orange, mange une pomme ou une barre de céréales qu elle a apporté. Si elle a bu un jus d orange, la probabilité qu elle choisisse une orange au déjeuner est 0,0. Si elle a mangé une pomme, la probabilité qu elle choisisse une orange au déjeuner est 0,. Si elle a mangé une barre de céréales, la probabilité qu elle choisisse une orange au déjeuner est 0,. On note : J :«Myriam boit un jus d orange» ; P :«Myriam mange une pomme» ; :«Myriam mange une barre de céréales» ; O :«Myriam mange une orange». Calculer P(J O), P(O ) et P(O). Quelle est la probabilité que Myriam boive un jus d orange à 0 h sachant qu elle mangera une orange au déjeuner? 8 9

12 XRCICS XRCICS 4. INDÉPNDNC. pprofondissement. Q.C.M. et VRI-FUX 48 VRI ou FUX. rgumenter. Si deux événements et sont indépendants, alors : a) P( ) = P() + P() ; b) P () = P() ; c) P () = P() ; d) P( ) = P() P() ; e) P() = P(). Des événements incompatibles sont indépendants. Des événements indépendants sont incompatibles. 4 Si l on réalise cinq épreuves indépendantes, on peut appliquer le principe multiplicatif pour calculer la probabilité d obtenir une liste de résultats obtenus à la fin des cinq épreuves. 49 VRI ou FUX. Corriger si la réponse est fausse. Un jeu se joue à l aide de trois dés à six faces. a) Si on lance les trois dés simultanément, les expériences sur ces dés sont indépendantes.. pplications directes D. Montrer que deux événements sont indépendants, p. 7 et sont deux événements de tels que : P() = 0,, P( ) = 0,08 et P( ) = 0,. Les événements et sont-ils indépendants? et sont deux événements de tels que : P() = 0,, P() = 0,7 et P( ) = 0,76. Les événements et sont-ils indépendants? et sont deux événements de tels que : P() = 0,4, P() = 0, et P( ) = 0,. Les événements et sont-ils indépendants?. Calculer la probabilité d une intersection, p. 7 4 Reprendre l exercice de l application, p. 7. Calculer la probabilité d interroger un élève de Terminale étudiant l nglais et pratiquant un sport. Les événements et S sont-ils indépendants? On interroge, au hasard, un élève qui pratique un sport. Quelle est la probabilité qu il étudie l anglais? b) Si on lance le premier dé, puis le deuxième, puis le troisième, la probabilité d obtenir 6 sur chacun des dés n est pas la même. c) Si on lance le même dé trois fois de suite, les résultats obtenus à chaque expérience ne sont pas indépendants. 0 Q.C.M. Donner toutes les bonnes réponses. Dans une classe de Terminale S, il y a % de redoublants. La probabilité de réussir au ac est de 80 % chez les non redoublants. 0 % des redoublants échouent au ac. près le ac, on rencontre, au hasard, un élève de cette classe. On note : :«l élève a le ac» et R :«l élève était redoublant». P R ( ) = 0, P(R) = 0, P( R) = 0, P() = 0,8 R et sont indépendants Une entreprise de location de voiture propose plusieurs types de véhicules. Le gérant constate que 0 % des véhicules loués sont des monospaces. Parmi les clients louant des monospaces, 80 % choisissent la climatisation. 0 % des clients louant un autre type de véhicules demandent la climatisation. Un client vient louer une voiture. Calculer la probabilité qu il loue un monospace ayant la climatisation. Calculer la probabilité qu il loue une voiture standard sans climatisation. 6 Dans une médiathèque, les abonnés choisissent, de manière indépendante, un DVD et un CD. n étudiant les locations de DVD, le responsable de la vidéothèque constate que 60 % des abonnés louent des DVD de science-fiction. Le responsable de la discothèque constate que 0 % des abonnés louent des CD de musique classique. On interroge un abonné au hasard. Quelle est la probabilité pour que cet abonné ait choisi un DVD de science-fiction et un CD de musique classique? Quelle est la probabilité que cet abonné ait choisi un DVD qui ne soit pas de science-fiction et un CD de musique classique? 7 Un hypermarché vend par paquet d un kilogramme, des clémentines et des oranges, en provenance d urope (Italie, spagne) et du Maroc. Le nombre de kilogrammes mis en vente est donné cidessous. Un acheteur prend, au hasard, un paquet de un kilogramme de ces fruits. a) Quelle est la probabilité des événements : C :«acheter des clémentines»? I :«acheter un paquet italien»? b) Les événements C et I sont-ils indépendants? a) Quelle est la probabilité p d acheter des clémentines, sachant que l acheteur ne veut que des produits «européens»? b) Quelle est la probabilité p d acheter «européen» sachant que des clémentines ont été choisies? c) n déduire la probabilité d acheter «marocain» sachant que des clémentines ont été choisies. 8 Une boîte contient des jetons rouges ou verts, tous sont numérotés 0 ou. Il y a 00 jetons rouges, dont 0 portent le numéro 0, et 0 jetons verts numérotés 0. On prend, au hasard, un jeton de la boîte. On note : R :«le jeton est rouge» et Z :«le jeton porte le numéro 0». Déterminer le nombre de jetons verts numérotés contenus dans la boîte afin que les événements R et Z soient indépendants. 9 u cours d une réunion de famille, personnes sont conviées ; cinq portent le même nom de famille Dupond, trois se prénomment Jacques, dont un Jacques Dupond. On rencontre, au hasard, une personne ayant assisté à cette réunion. Montrer que les événements «s appeler Dupond» et «s appeler Jacques» sont indépendants. On tire au sort une première personne, puis une deuxième pour représenter ce groupe. On note : D : «la première personne est un Dupond» ; D : «la deuxième personne est un Dupond». a) Établir les pondérations de l arbre ci-contre. D D b) n déduire la probabilité que la deuxième personne soit un Dupond. Italie spagne Maroc clémentines oranges D D D D type C type C 60 On dispose d un dé en forme de tétraèdre régulier peint possédant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ;on suppose le dé parfaitement équilibré. Une partie consiste à effectuer deux lancers successifs et indépendants de ce dé. À chaque lancer, on note la couleur de la face cachée. On considère les événements suivants : est l événement : «à l issue d une partie, les deux faces notées sont vertes» ; F est l événement : «à l issue d une partie, les deux faces notées sont de la même couleur». Calculer les probabilités des événements et F ainsi que la probabilité de sachant F. 6 À l issue d une compétition, des sportifs sont contrôlés par un comité antidopage qui doit se prononcer sur leur positivité ou négativité au dopage. Or, d une part certains produits dopants restent indétectables aux contrôles et, d autre part, certains médicaments ont un effet de dopage inconnu du sportif ; le comité prend donc sa décision avec un risque d erreur. On note : D l événement : «Le sportif est dopé» ; O l événement : «Le sportif est déclaré positif» ; l événement : «Le comité a commis une erreur». Dans cette question, on suppose que, parmi les sportifs, 0 % ne sont pas dopés et que la probabilité d être déclaré positif est indépendante de l état réel du sportif (dopé ou non dopé). Lors d une étude sur des compétitions antérieures, on a pu observer que ce comité déclarait positifs 0 % des sportifs. On choisit un sportif au hasard. Calculer la probabilité : a) que le sportif soit non dopé et déclaré positif ; b) que le sportif soit dopé et déclaré négatif ; c) de l événement. Dans cette question, on note p la fréquence des dopés parmi les sportifs contrôlés. On suppose que la probabilité d être déclaré positif n est pas la même selon que le sportif est réellement dopé ou non. La probabilité qu un sportif dopé soit déclaré positif est 0,9 ; La probabilité qu un sportif non dopé soit déclaré positif est 0,. On choisit un sportif au hasard. a) Construire un arbre pondéré illustrant la situation. b) Calculer la probabilité de. c) Calculer, en fonction de p, la probabilité que ce sportif soit déclaré positif. d) On s intéresse à la probabilité qu un sportif ayant été déclaré positif soit réellement dopé. Montrer que cette probabilité, notée f (p), est définie par : 0,9 p f (p) =. 0,8 p + 0, Résoudre l inéquation f (p) 0,9. Interpréter ce résultat. 0

13 XRCICS XRCICS. LOI INOMIL. pprofondissement. Q.C.M. et VRI-FUX 6 VRI ou FUX. Corriger si la réponse est fausse. Une expérience aléatoire à trois issues, et C est une loi de RNOULLI? Dans une loi de RNOULLI, la probabilité du succès est toujours égale à celle de l échec. Une loi binomiale de paramètre ( ; 0,7) est une loi de RNOULLI. 6 VRI ou FUX. Corriger si la réponse est fausse. Si l on répète 4 épreuves de RNOULLI indépendantes, on obtient une loi binomiale. On lance 4 fois une pièce de bien équilibrée. La loi de probabilité du nombre de PIL apparus à la fin des 4 lancers suit une loi binomiale. On lance fois le même dé cubique. La loi de probabilité du nombre de six apparus suit une loi binomiale. 4 Lors de répétitions d une épreuve de RNOULLI de paramètre 0,, la probabilité d obtenir succès est 0,6. Une loi de probabilité associée à une expérience aléatoire suit une loi binomiale de paramètre ( ; 0,4). La probabilité d obtenir un succès est alors 0,4 0,6. 64 Q.C.M. Trouver la seule bonne réponse. Pour une expérience suivant une loi de RNOULLI telle que probabilité du succès est p et celle de l échec est q, on a toujours : p p = q p q p 0, p = q. pplications directes F. Reconnaître et appliquer la loi binomiale, p. 9 6 La boulangerie ne vend que des brioches et des croissants. Pour lui être agréable, mais sans se concerter, la mère, le père et la sœur de Léa lui achètent, au hasard, l une de ces viennoiseries. a) Quelle est la probabilité que Léa ait deux brioches et un croissant? b) Quelle est la probabilité que Léa ait trois brioches à manger? c) Quelle est la probabilité que Léa puisse manger au moins un croissant? 66 Quelle est la probabilité qu en lançant trois dés tétraédriques, le joueur obtienne au moins un quatre? Une expérience aléatoire suit une loi de RNOULLI de paramètre 0,4. La loi de probabilité est : issue S p i 0,6 0,4 issue 0 p i 0, 0, 0,4 issue S p i 0,4 0,6 Pour une loi binomiale de paramètre (n ; p), le nombre n est : le nombre de succès à la fin de l expérience aléatoire la probabilité d obtenir un succès le nombre de répétition de l épreuve de RNOULLI 4 Si l on tire successivement et sans remise trois boules d une urne contenant 6 boules rouges et deux boules vertes, le nombre de boules rouges obtenues : suit une loi de RNOULLI suit une loi binomiale suit la loi : 0 0, 0,7 0, 0,7 0, 0,7 Lors de trois répétitions identiques et indépendantes d une épreuve de RNOULLI de paramètre 0,, la probabilité d obtenir au moins un succès est : 0, 0, 0,8 0, 0,8 + 0,8 0, +0,8 0,8 0, 67 Un CD compilation des anciens succès d un chanteur contient chansons inédites parmi les proposées. La fonction RNDOM du lecteur de CD choisit, au hasard, quatre chansons. a) Quelle est la probabilité d obtenir deux chansons inédites? b) Quelle est la probabilité d obtenir au moins une chanson inédite? 68 On lance 4 dés à 6 faces bien équilibrés. Quelle est la probabilité d obtenir un seul six? On lance un dé à 6 faces quatre fois de suite. Quelle est la probabilité d obtenir une seule fois un 4? 69 Dans une boîte de ganaches (chocolats à très forte teneur en cacao), il y a 60 % de ganaches amères, dont le quart est enrobé de poudre de cacao, et, % des ganaches non amères sont aussi enrobées de poudre de cacao. a) Dresser un arbre pondéré qui traduise les données. n déduire la probabilité qu une ganache soit enrobée de poudre de cacao. b) On note p la probabilité pour qu une ganache soit amère, sachant qu elle est enrobée de cacao. Montrer que p =. 4 On prend quatre ganaches enrobées de cacao et on les mange une à une. On admet qu il y en a suffisamment dans la boîte pour que la probabilité de prendre une ganache amère reste toujours égale à 0,7, même après avoir pris 0 ou ganaches enrobées de cacao. Déterminer la probabilité des événements suivants : a) les quatre ganaches sont amères ; b) au moins une ganache n est pas amère ; c) on mange trois ganaches amères, puis une non amère ; d) on mange exactement une ganache non amère parmi les quatre. Madé préfère les ganaches non amères enrobées de poudre de cacao. lle prend et mange 0 ganaches enrobées de poudre de cacao et se plaint : toutes les ganaches sont amères! a) Quelle est la probabilité pour que cet événement se réalise? b) lle décide de manger n chocolats pour être «sûre» d avoir au moins un de ses préférés, avec une probabilité supérieure à 0,9. Combien doit-elle manger au minimum de chocolats enrobés de cacao? 70 Une machine remplit des paquets dont le poids prévu est de 0 g. La répartition du poids réel des paquets est donnée par le diagramme en boîte ci-dessous : x min D Q Me Q D9 x max On rappelle que, par lecture, 0 est le premier décile, 7 est le décile 9 et 48 est la médiane. On prélève un paquet au hasard. On admet que son poids suit la loi de probabilité donnée par les fréquences obtenues à partir du diagramme en boîte. a) Calculer la probabilité que le paquet ait un poids inférieur ou égal à 4 g. b) Établir la loi de probabilité du poids du paquet par lecture du diagramme. poids [0 ; 0] ]0 ; 4] ]4 ; 48] p i 0, poids [48 ; 60] ]60 ; 7] ]7 ; 80] p i 0, On prélève trois paquets au hasard. a) Quelle est la probabilité pour que les trois paquets aient un poids supérieur à 4 g? b) Quelle est la probabilité pour que les deux premiers paquets aient un poids inférieur ou égal à 0 g et le dernier un poids supérieur à la médiane? Tous les paquets sont contrôlés avant leur fermeture. On admet que la probabilité que le paquet soit signalé non conforme au contrôle est : si son poids est inférieur ou égal à 0 g ; 0,9 si le poids est entre 0 g et 4 g (4 compris) ; 0,8 si le poids est entre 4 g et 48 g ; sinon, le paquet est déclaré conforme. Le coût de mise en conformité du paquet est de 0,6. Soit = { 0,6 ; 0 } l ensemble des coûts possibles. a) À l aide d un arbre pondéré, déterminer la probabilité pour qu un paquet soit déclaré non conforme. b) n déduire la loi de probabilité sur l ensemble et calculer son espérance. n donner une interprétation concrète. 7 Les résultats seront donnés en fractions irréductibles. Un club de tennis comporte 00 adhérents : 00 hommes et 00 femmes. Le tennis, en compétition, est pratiqué par 0 % des hommes et 0 % des femmes. Les autres adhérents pratiquent ce sport uniquement pour le loisir. On choisit, au hasard, un adhérent. On note : F :«l adhérent est une femme» et C :«l adhérent pratique la compétition». a) Calculer les probabilités P(F ) et P F (C). Énoncer par une phrase cette dernière probabilité. b) Décrire l événement C F et calculer sa probabilité. c) Calculer P(C). On mettra en valeur le raisonnement employé. L adhérent choisit la compétition. Quelle est la probabilité que ce soit une femme? Le secrétaire de ce club doit contacter un certain nombre d adhérents. Il les choisit parfaitement au hasard, sans se préoccuper s il les a déjà choisis ou non. a) S il choisit 4 adhérents, quelle est la probabilité qu il contacte exactement une femme qui pratique la compétition? b) Combien d adhérents au minimum doit-il choisir pour contacter au moins une femme qui pratique la compétition, avec une probabilité supérieure à 0,99?

14 XRCICS XRCICS type C type C 7 Parmi les stands de jeux d une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d acier lorsque le joueur actionne un bouton. Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre. Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible. Lorsque la bille n atteint pas la cible, elle revient à son point de départ. Dans la suite de l exercice, on note : C : l événement «la cible est atteinte» ; : l événement «la bille est avalée». Une étude préliminaire a démontré que : la probabilité d atteindre la cible lors d un lancer est égale à 0, ; lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à 0,. Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de probabilité. On actionne le bouton. a) Calculer la probabilité P que la bille soit avalée. b) Calculer la probabilité P qu elle reste sur la cible. Une partie se déroule selon la règle ci-dessous. Pour jouer, on paie 0,0 et on actionne le bouton qui lance la bille : si la bille est avalée, on gagne un lot d une valeur de g euros ; si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ; si la bille rate la cible, on perd la mise. Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d un joueur. On recopiera et on complétera le tableau ci-dessous. gain 0,0 0 g 0,0 probabilité 4 a) Montrer que l espérance de gain d un joueur en fonction de g est : = 0,06 g 0,8. b) On prévoit qu un grand nombre de parties seront jouées. Pour quelles valeurs de g les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice? 7 spérance et fonction Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges. 0 % des jetons sont bleus, et il y a trois fois plus de jetons blancs que de bleus. Un joueur tire un jeton au hasard : s il est rouge, il remporte le gain de base ; s il est blanc, il remporte le carré du gain de base ; s il est bleu, il perd le cube du gain de base. On suppose que le gain de base est de. a) Déterminer la loi de probabilité sur l ensemble des résultats possibles. b) Calculer le gain moyen que l on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages. 6. XRCICS D SYNTHÈS On cherche à déterminer la valeur g 0 du gain de base, telle que l espérance de gain soit maximale. Le résultat sera arrondi au centime d euro. Soit x le gain de base en euros. a) Montrer que le problème revient à étudier les éventuels extremums de la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f (x) = 0, x +0, x +0,6 x. b) Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + [. Conclure sur le problème posé. 74 Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses et si possible les justifier. Un sac contient 0 % de billes, 0 % de jetons et 0 % de pièces de monnaie. Les objets de couleur rouge représentent 0 % des billes et 0 % des jetons. Une machine prélève un objet au hasard. On pourra s aider d un arbre. a) la probabilité d obtenir un objet rouge est : 0,7 0, 0,4 b) la probabilité d obtenir une pièce de monnaie, sachant que ce n est pas une bille est : 0,4 0, 0, c) la probabilité d obtenir une bille sachant que c est un objet rouge est : 0,4 0, 0, Dans ce sac, on prélève un objet, on note sa nature (bille, jeton ou pièce) et sa couleur, puis on le remet dans le sac. On prend ainsi 4 objets. a) La probabilité d obtenir 4 pièces est : 0,8 0,0 0,006 b) La probabilité d obtenir un seul jeton est : 0,46 0, 0,09 c) La probabilité de n obtenir aucun jeton est : 0,7 0,999 0,40 7 Q.C.M. Statistique et loi inomiale Le diagramme en boîte ci-dessous donne la répartition des salariés d un secteur de l industrie en France, suivant leur salaire mensuel. Le décile est D = 900 et le décile 9 est D9 = 000. On admet que le nombre de salariés étant très grand, on peut dire que 0 % des salariés ont un salaire inférieur à 900 et 90 % ont un salaire supérieur à 900. On peut faire des lectures analogues pour les autres paramètres du diagramme en boîte. 800 D 400 D Trouver la seule bonne réponse. Le salaire médian est : le salaire de la moitié des salariés le milieu entre 800 et Le salaire moyen est : inférieur au salaire médian supérieur au salaire médian on ne peut pas conclure 0 % des salariés ont : un salaire inférieur à 00 un salaire supérieur à 000 un salaire entre 00 et Le pourcentage de salariés ayant un salaire entre 900 et 00 est de : % % 0 % On choisit, au hasard, trois salariés de l entreprise. La probabilité (*) que les trois salariés aient un salaire supérieur à 000 est : On choisit, au hasard, trois salariés. La probabilité (*) qu aucun des salariés n ait un salaire inférieur à 900 est : 0,79 0, On choisit n salariés au hasard. La probabilité (*) qu au moins un salarié ait un salaire entre 00 et 900 est : nettement supérieure à 0, lorsque n est supérieur ou égal à supérieure à 0,999 lorsque n est supérieur ou égal à 0 inférieur à 0, lorsque n est supérieur à * Le nombre de salariés est assez grand pour que l on assimile ce tirage à un tirage avec remise. 76 Probabilité conditionnelle, loi inomiale et exponentielle Un grand magasin offre des réductions importantes sur une partie de son stock, stock formé de trois collections rli, ila et Cali. La collection rli représente le quart de son stock en valeur, la collection ila en représente le tiers et la collection Cali le reste. 40 % de la collection rli est soldée, 7 % de la collection ila est soldée et 4 % de la collection Cali est soldée. Un client se présente et prend totalement au hasard une pièce du stock. On note : S :«la pièce est soldée» ; :«la pièce est de la collection rli» ; de même pour et C. a) À l aide d un arbre de probabilité, démontrer que la probabilité pour qu une pièce soit soldée est p = 0,4. b) n déduire la probabilité qu une pièce soit de la collection ila, sachant qu elle est soldée. On prend pièces au hasard, de façon indépendante les unes des autres. Déterminer la probabilité qu une seule pièce soit soldée. On utilisera un arbre. type C a) Déterminer en fonction de n la probabilité P n pour que, parmi n pièces, au moins une pièce soit soldée. b) Résoudre avec soin l inéquation 0, n 0,9999. n déduire le nombre de pièces à choisir pour que cette probabilité P n dépasse 0, Probabilités et fonction Un boulanger a fabriqué 0 petits pains : 0 pains au pavot et 0 pains aux noix. Il place x pains au pavot et 0 x pains aux noix dans un panier rouge. Il place 0 x pains au pavot et x pains aux noix dans un panier bleu. Son petit fils, Nicolas, prend un pain dans le panier rouge et le met dans le panier bleu. Surpris par son grand père, il replace dans le panier rouge un pain pris dans le panier bleu. On désigne par l événement : «chacun des paniers contient les mêmes parts de pains au pavot et aux noix avant et après la manipulation de Nicolas.» a) Construire un arbre pondéré pour traduire la situation lorsque x =4.Calculer P(). b) Montrer que, pour tout x de 0 à 0, on a : x P() = + 0x c) Résoudre l inéquation P() P( ). Pour quelle valeur de x, Nicolas a-t-il le plus de chance que son grand père ne se soit pas rendu compte de sa manipulation? d) Pour quelle valeur de x, P() est-elle maximale? 78 Répartition, indépendance et probabilités conditionnelles Dans un lycée qui ne reçoit pas d interne, la répartition des 89 élèves se fait de la façon suivante : niveau Seconde Première Terminale Total externes demi-pensionnaires 8 0 total 80 Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On rencontre un élève du lycée au hasard. On note : l événement : «l élève rencontré est externe», S l événement : «l élève rencontré est en Seconde», et T l événement : «l élève rencontré est en Terminale». n supposant que tous les élèves ont la même probabilité d être rencontrés, calculer les probabilités suivantes arrondies à 0 : a) P( S) ; b) P( T ). a) Les événements et T sont-ils indépendants? Justifier la réponse. b) Citer deux événements incompatibles. 4 Calculer les probabilités conditionnelles suivantes : a) P S ( ) ; b) P (T ). 4

15 PRP C PRP C Question Comment faire ou rédiger? vec un tableau à double entrée donné, calculer : P( ) n utilisant les données de l énoncé : trouver P() et P (). Calculer P( ) Traduire l énoncé à l aide d un arbre de probabilité et calculer P() On choisit, au hasard, un individu réalisant. Calculer la probabilité qu il réalise sachant réalisé Établir une loi de probabilité sur et calculer son espérance On choisit n individus au hasard et de façon indépendante. On s intéresse au nombre X de fois où on obtient Donner la loi de probabilité de X. POUR ÊTR U POINT L JOUR DU C Dans le cas où on choisit un individu au hasard, on demande de calculer la probabilité que l individu présente les deux caractères et On regarde à l intersection de la ligne et de la colonne du tableau «Trouver» indique une lecture en terme de probabilité de l énoncé : P () signifie «probabilité de sachant que est réalisé (si on a )» Vu les données P( ) = P() P () L énoncé présente souvent une répartition en parties,,,..., et, pour chacune de ces parties, donne la fréquence d un caractère On dresse alors un arbre pondéré Voir cours, p. 4 On calcule P() par la formule des probabilités totales Cette question est posée quand on a déjà calculé la probabilité de. On demande ici de calculer la probabilité conditionnelle de sachant que est réalisé : P ( ) = P( ) P() = P( ) P () P() ={x ; x ; ;x n } est alors un ensemble de nombres : gains, coûts On établit la probabilité p i de chaque élément x i de L espérance est m = Σ (p i x i ) Voir Faire le point pour l interprétation, p. On trouve aussi : on admet que l expérience est assimilée à un tirage avec remise Cela signifie que l on a une répétition de n épreuves de RNOULLI, identiques et indépendantes ; le «succès» étant «obtenir» de probabilité p X suit alors une loi binomiale de paramètres (n ; p) La probabilité d obtenir une liste composée de k succès est p k q n k, obtenue en appliquant le principe multiplicatif On dresse un arbre à n niveaux pour déterminer le nombre de listes présentant k succès Voir application F, p. 9 Q.C.M. T VRI-FUX? 80 VRI ou FUX. Corriger si la réponse est fausse Dans un groupe de 0 personnes, sont parties en vacances, dont 8 au bord de la mer, habitent la région parisienne, parmi celles-ci 9 sont parties en vacances. a) La probabilité qu une personne ne soit pas partie en vacances est de. 4 b) La probabilité qu une personne soit partie en vacances sachant qu elle habite la région parisienne est de 0,7. c) La probabilité qu une personne du groupe soit partie en 8 vacances au bord de la mer est de. d) La probabilité pour qu une personne soit de la région parisienne sachant qu elle est partie en vacances est de 0,6. e) u moins une personne de la région parisienne est partie en vacances au bord de la mer. 8 VRI ou FUX. et sont deux événements indépendants. 7 P() = et P() =, donc P( ) =. 0 XRCICS. POUR S XRCR La loi de probabilité x i 0 des gains d un jeu est définie par : p i 0,4 0, 0, 0, a) l espérance est 0, ; b) le jeu est équitable ; c) l écart type est ; d) V =. 8 Q.C.M. Trouver toutes les bonnes réponses. On répète deux fois une expérience de RNOULLI dont la probabilité de succès est 0,. La probabilité d obtenir un seul succès est 0, La probabilité d obtenir au moins un succès est 0, La probabilité d obtenir deux succès est 0,6 Un artisan fabrique 60 % de bagues en perles (), les autres sont en argent (). Chaque type de bague est proposé en deux tailles 0 ou. Parmi les bagues en perles, 0 % des bagues sont de taille et 0 % des bagues en argent sont de taille 0. Les événements O :«être de taille 0» et :«être en argent» sont indépendants P( O) = 0, et P( O) = 0,7 On choisit une bague au hasard, la probabilité d obtenir une bague de taille est 0,8 On choisit une bague de taille, la probabilité qu elle soit en argent est 0, type C Montrer que la probabilité de est. type C ÉNONCÉ 79 Un magasin de jardinage fait une promotion sur une table de jardin et son lot de 4 chaises. près une semaine de promotion, on a pu établir que 0 % des personnes entrant dans le magasin achètent une table. Parmi les personnes qui achètent une table, 80 % achètent les chaises. Parmi les personnes qui n achètent pas de table, 0 % achètent les chaises. Une personne entre dans le magasin. On note : T :«la personne achète une table» ; C :«la personne achète le lot de 4 chaises». Traduire par un arbre pondéré la situation. Donner P T (C). a) Calculer la probabilité que la personne achète un lot de chaises. b) Calculer la probabilité que la personne n achète pas de table, sachant qu elle a acheté les chaises. Quatre personnes entre dans le magasin. Calculer la probabilité qu au moins une personne achète l ensemble table-chaises. NLYS D L ÉNONCÉ Lire au moins jusqu à la première question pour savoir de quoi on parle et connaître les lettres employées pour les événements. Ne pas anticiper sur les questions et les suivre avec soin. Si un pourcentage est donné dans l énoncé, toujours se poser la question «quel est l ensemble de référence sur lequel porte ce %?». «Parmi les personnes» signifie que l on a une fréquence conditionnelle. L étude statistique permet d établir les probabilités. La première phrase donne P(T ) = 0,. P T (C) est la probabilité que la personne achète les chaises, sachant qu elle a acheté la table. a) P(C) = P(C T ) + P(C T ). Voir b) On demande P C ( T ). Voir On peut penser que les personnes entrent de façon indépendante les unes des autres. On a alors répétition de 4 épreuves de RNOULLI de paramètre p = 0,08 = P(T C). On utilise l événement contraire «aucune personne n achète l ensemble table-chaises». La probabilité cherchée est ( 0,08) 4. 8 Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur les deux thèmes Cinéma ou Musique. Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le thème Cinéma, les autres portant sur le thème musique. Le candidat s appelle Pierre. Partie. On pose à Pierre une question choisie, au hasard, dans la boîte et on sait que : la probabilité que Pierre réponde correctement à une question «Cinéma» est ; la probabilité que Pierre réponde correctement à une question «Musique» est. 4 On note : C :«la question porte sur le Cinéma» ; M :«la question porte sur la Musique» ; :«Pierre répond correctement à la question posée». Déterminer la probabilité de l événement : «la question posée porte sur le thème «Musique» et Pierre y a répondu correctement». On suppose que Pierre n a pas répondu correctement à la question posée. Quelle est la probabilité pour que la question posée ait porté sur le thème «Cinéma»? Partie. n fait, le jeu se déroule de la façon suivante : on pose à Pierre une première question (selon les modalités vues en.) et il marque points s il répond correctement et le jeu s arrête. Sinon, on lui pose une deuxième question, choisie indépendamment de la première, et il marque points s il répond correctement et le jeu s arrête. Sinon, on lui pose une troisième question et il marque point s il répond correctement. Sinon, le jeu s arrête et il ne marque aucun point. À chaque fois qu une question est tirée, on remet dans la boîte une question portant sur le même thème. Traduire cette situation à l aide d un arbre de probabilités. Définir la loi de probabilité du nombre de points marqués par Pierre. Calculer l espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre. 6 7

16 TRVUX Deux modélisations différentes pour la probabilité du même événement 84 Paradoxe Un parc d attraction propose une promenade en barque. Trois barques, et, de deux places sont proposées aux visiteurs. Deux personnes entrent dans ce parc et choisissent, au hasard, un numéro de barque. a) Construire un arbre traduisant la situation. b) Quelle est la probabilité que les deux personnes soient dans la même barque. On numérote maintenant les six places disponibles dans les trois barques :,,,, et. Chaque personne choisit le numéro de sa place parmi les six numéros proposés. a) Construire un arbre traduisant la situation. b) Quelle est la probabilité que les deux personnes soient assises dans la même barque? Note : on appuiera le raisonnement sur un arbre pondéré 8 Le test de dépistage Un test de dépistage d une maladie réagit positivement pour 99 % des individus malades et % des individus non malades. On note : M :«l individu est malade» et T :«l individu réagit positivement au test». On suppose que, à un instant, la probabilité pour qu un individu soit atteint de cette maladie est 0,0. a) Calculer les probabilités P(M T ) et P( M T ). n déduire P(T ). b) Déterminer la probabilité qu un individu soit non malade, sachant que le test est positif. On suppose que la probabilité qu un individu soit atteint de cette maladie est p. 99p a) Montrer que P T (M) =. 98p + b) Étudier le sens de variation de cette fonction. La représenter dans un repère orthonormal, d unité 0 cm, pour p [0 ; 0,]. c) Déterminer pour quelles valeurs de p, on a : P T (M) 0,9. Interpréter concrètement par une phrase le résultat. Pour une autre maladie, un test de dépistage réagit positivement à 00 % sur les individus malades et % sur les non malades. a) Démontrer que la probabilité que l individu ne soit pas atteint par cette maladie sachant que le test est positif est donnée par : p f (p) = ; 9p + où p est la probabilité qu un individu soit atteint par cette maladie. b) Étudier le sens de variation de cette fonction. La représenter dans le repère précédent. c) On estime un test convenable si cette probabilité est inférieure à %. Pour quelles valeurs de p ce test est-il convenable? Commenter. 86 ide à la décision Une société GL produit des plats surgelés, entre autres une pizza qu elle fabrique à exemplaires par an. Sa marge de bénéfice sur cette pizza est de. La chaîne de supermarché PRI lui propose de fabriquer des pizzas sous la marque PRI, vendues dans 0 % % 0 % toutes leurs surfaces de vente, avec une marge bénéficiaire de 0,, tout en conservant sa propre marque. La société GL sait que l apparition + 0 % + 4 % + 60 % de cette nouvelle marque lui fait perdre une partie de son marché. Mais le nouveau marché est estimé au triple de ce que perd la société GL. Si la société GL accepte, elle sait qu elle perd 0 % de son marché, avec une probabilité de 0,, ou % de son marché, avec une probabilité de 0,, ou 0 % de son marché, avec une probabilité de 0,. cas C C C perte de marché GL gain de marché PRI probabilité 0, 0, 0, Les pertes et gains de marché sont donnés dans le tableau. a) Dans le cas C, calculer le nombre de pizzas GL et le nombre de pizzas PRI prévues, et en déduire le bénéfice. b) Procéder de même pour le bénéfice et le bénéfice, pour les cas C et C. c) Calculer l espérance de bénéfice si la société GL accepte de produire des pizzas PRI, et comparer au bénéfice obtenu en gardant les habituelles. La société GL, ayant appris qu un concurrent risque d accepter le marché, cherche à négocier avec PRI un prix de 0, de marge par pizza. a) Calculer la nouvelle espérance de bénéfice. b) Quelle est alors la perte de bénéfice pour PRI par rapport à la proposition précédente? 8