Statistique spatiale. I- Introduction II- Autocorrélation spatiale III- Modélisation

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Nadine François
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1 Statistique spatiale I- Introduction II- Autocorrélation spatiale III- Modélisation

2 I- Introduction

3 Généralités Les méthodes de statistique spatiale servent à décrire, modéliser des données géo-référencées ou localisées (décrites par des lieux) : Ø coordonnées du barycentre d une zone administrative Ø couple longitude/latitude Ø coordonnées UTM (Universal Transvers Mercator ) Domaines d application de la statistique spatiale : géologie, écologie, météorologie, épidémiologie, démographie.

administrative Ø couple longitude/latitude Ø coordonnées UTM (Universal Transvers Mercator )

4 Types de données 3 types de données géoréférencées : données géostatistiques, données laticielles, données ponctuelles. On note S la localisation d un site de mesure et X ( s), s S le phénomène étudié : température, densité de population, etc X est une variable aléatoire indexée par S. s { }

On note S la localisation d un site de mesure et X ( s), s S le

5 Types de données Données Géostatistiques (données continues, interpolables) Ø S est un sous ensemble continu de R 2 ; Ø X(s) est à valeurs réelles, mesurée en des sites choisis (s 1, s n ) de S Ex : température, altitude Questions : données (x s1, x sn ) Ø Autocorrélation spatiale Ø Prédiction de X sur tout S (krigeage, simulation) Ø Modélisation de la loi du processus continu de { X ( s), s S} Outil logiciel : packages geor, spatial de R

altitude Questions : données (x s1, x sn ) Ø Autocorrélation spatiale Ø Prédiction de X sur tout S (krigeage,

6 Types de données Exemple : Cumul de pluies dans 100 stations météo suisses le jour du passage du nuage de Tchernobyl (jeu sic.100 du package geor de R) > sic.100 $coords V2 V $data Les 100 stations sont choisies au hasard dans un réseau de 367 stations Coords : Les coordonnées des lieux par rapport au centre de la suisse (distances en km). s1, s100 valeurs de S continu Data : niveaux de pluies (en mm) X(s) en chaque lieu

7 Types de données Données laticielles (mesurées qu en un nombre fini fixé de points) Ø S est discret et fixé. Les sites représentent en général des unités géographiques, repérées par un graphe de voisinage Ø X est observée sur S. données { x( s), s S} Ex : hauteur des arbres d une foret, pixels sur image, sex-ratios dans les districts de l inde Questions : Ø Définition d un voisinage (distance entre deux sites) Ø Etude de l autocorrélation spatiale Ø Modélisation de la loi du vecteur aléatoire discret { X ( s), s S} Outil logiciel : packages spdep, geoxp-r de R

données { x( s), s S} Ex : hauteur des arbres d une foret, pixels sur image, sex-ratios dans les districts de l inde Questions : Ø Définition

8 Types de données X(s)=nombre de cas de mort subite dans le comté s S= ensemble des 100 comtés Atelier Spatial RASMA Saint Louis du Sénégal 14

9 Types de données Carte des sex-ratio en Inde X(s)= sex-ratio dans le district s S= districts de l Inde

10 Types de données Données ponctuelles : La localisation s est elle-même l objet de l étude. Ø S est un processus ponctuel (ensemble de points aléatoires) de R 2 Ø Le nombre de réalisations ponctuelles et leur localisation X sont aléatoire Ex: Etude de la répartition spatiale d une espèce d arbres dans une forêt. Question: Ø Homogénéité de la localisation des site est-elle plutôt régulière, présente-t-elle des agrégats? Ø Modélisation des processus S et X Outil logiciel : package spatstat de R

localisation X sont aléatoire Ex: Etude de la répartition spatiale d une espèce d arbres dans une forêt.

11 Types de données

12 Spécificité des méthodes statistiques Hétérogénéité : chaque localisation est spécifique Dépendance Les données analysées sont dépendantes (autocorrélation spatiale) les dépendances sont plus complexes qu en séries temporelles

données analysées sont dépendantes (autocorrélation

13 Spécificité des méthodes statistiques Conséquences sur les méthodes Ø Les méthodes de statistique inférentielle (estimation, modélisation classique,...) ne sont plus valables : ex les estimateurs standard de la variance, des moindres carrés dans un modèle RLM sont généralement biaisés. Ø Comment définir la qualité d estimation : Définition de l asymptotique? Ø outils statistiques spécifiques permettant de tenir compte de l autocorrélation spatiale dans les analyses statistiques classiques et d éviter que celle-ci n introduise des biais dans l estimation des paramètres

..) ne sont plus valables : ex les estimateurs standard de la variance, des moindres carrés dans un modèle RLM sont généralement biaisés.

14 Spécificité des méthodes statistiques Intérêt de la prise en compte de la dimension spatiale des données dans un modèle de régression : exemple du sex-ratio en Inde (Guilmoto, 2008, Populations). inde=read.csv("table2b.csv", header=t, sep=";") > reg=lm(sr0601~ldens01+tfr01+surv01+urb01+litr01_ 2+WAGRIC+SRPART+BUDDH+CHRISTIAN+JAIN+MUSLIM +SIKH+DALIT+TRIBAL, data=inde) Ø summary(reg) Ø La part de variance expliquée est seulement de 51%. Les limites de cette modélisation ne relèvent pas de la nature des données. Il est peu probable qu une variable insoupconnée explique la part de variance non expliquée. Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** LDENS TFR e-10 *** SURV URB LITR01_ e-06 *** WAGRIC SRPART * BUDDH CHRISTIAN JAIN *** MUSLIM e-06 *** SIKH < 2e-16 *** DALIT TRIBAL e-07 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 576 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 14 and 576 DF, p-value: < 2.2e-16

csv", header=t, sep=";") > reg=lm(sr0601~ldens01+tfr01+surv01+urb01+litr01_ 2+WAGRIC+SRPART+BUDDH+CHRISTIAN+JAIN+MUSLIM +SIKH+DALIT+TRIBAL, data=inde) Ø summary(reg) Ø La part de variance expliquée

15 Spécificité des méthodes statistiques > plot(reg$fitted, reg$residuals) Ø acf(reg$residuals, main="autocorrélation des résidus") Il existe une corrélation des résidus du modèle : les observations du sex-ratio ne sont pas indépendantes. Les hypothèses du modèle linéaire ne sont pas satisfaites Prise en compte de l autocorrélation spatiale des résidus.

résidus du modèle : les observations du sex-ratio ne sont pas indépendantes.

16 Spécificité des méthodes statistiques

17 Spécificité des méthodes statistiques Dans la suite du cours, on étudiera des données laticielles : Ø Ø Ø on observe un phénomène X (pluviométrie, sex-ratio, ) sur n sites fixés L observation x dont on dispose (sex-ratio réel, pluviométrie réelle) peut être vue comme une réalisation de X sur les n sites, ou de façon équivalente comme une réalisation du vecteur aléatoire X= (X1, Xn). On note Px sa loi. On cherche, à partir de l observation x, à avoir des précisions sur la loi PX de ce vecteur Ø Ø Modélisation de la loi de X : Recherche d une famille de loi pour PX, éventuellement dépendante de variables explicatives Estimation des paramètres de cette loi Outils utilisés Ø Ø Tests d autocorrélation spatiale : permettent, au vu de x de tester si les composantes de X sont ou non dépendantes. Modèles d autoregression spatiale : modèles explicatifs spécifiant aussi la forme de dépendance spatiale.

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