Automatique (AU3): Correction. Département GEII, IUT de Brest contact:

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1 Automatique (AU3): Correction des systèmes bouclés Département GEII, IUT de Brest contact:

2 Plan de la présentation 1 Introduction Hypothèses Correcteur idéal : Correcteurs usuels 2 Correcteur P Exemple Exemple 3 Correcteur PI Exemple Exemple 4 Correcteur PD Exemple Exemple 5 Correcteur PID Exemple Exemple Techniques de réglage

3 Introduction 3/ 25 Rappel des objectifs : Comparateur Correcteur Système E(p) ɛ(p) S(p) + C(p) F(p) G(p) Capteur Nous allons utiliser un correcteur pour satisfaire les contraintes d un cahier des charges : stabilité du système bouclé, précision du système bouclé. dynamique du système bouclé,...

4 Introduction: Hypothèses 4/ 25 Hypothèses Nous admettrons que la boucle possède un retour unitaire E(p) + ɛ(p) C(p) S(p) Problématique : Comment regler C(p) pour satisfaire le cahier des charges?

5 Introduction: Correcteur idéal : 5/ 25 Correcteur idéal Nous voulons calibrer C(p) pour que la fonction de transfert en boucle fermée respecte un modèle H m (p) C(p) 1 + C(p) = H m (p) (1) C(p) = H m (p)(1 + C(p)) (2) C(p) (1 H m (p)) = H m (p) (3) Le correcteur idéal à donc pour fonction de transfert : C(p) = H m (p) (1 H m (p)) (4) Sauf que : Les contraintes du cahier des charges ne sont pas nécessairement spécifiées sous la forme d une fonction de transfert modèle H m (p). Le correcteur C(p) n est pas forcement réalisable en pratique.

6 Introduction: Correcteur idéal : 6/ 25 Exercice : Trouver la fonction de transfert C(p) pour que le système se comporte en boucle fermée comme un système de premier ordre avec K = 1 et τ = 1s. E(p) + ɛ(p) 2? 3p 2 +2p+1 S(p)

7 Introduction: Correcteurs usuels 7/ 25 Correcteurs usuels : Avant propos E(p) + C(p) F(p) S(p) Objectifs : Gain (db) Pulsation (rad/s) Figure: Module de la Boucle Ouverte Apporter du gain uniquement en Basse fréquence Precision. Phase (deg) Pulsation (rad/s) Figure: Phase de la Boucle Ouverte Apporter de la phase à proximité du point critique Stabilité.

8 Introduction: Correcteurs usuels 8/ 25 Correcteurs usuels : Avant propos Correcteur proportionnel (P) C(p) = K (5) Correcteur proportionnel/intégral (PI) ( ) 1 + Ti p C(p) = K T i p Correcteur proportionnel/dérivé (PD) (6) C(p) = K (1 + T d p) (7) Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID) ( C(p) = K ) T i p + T dp (8)

9 Correcteur proportionnel (P) 9/ 25 Expression : La fonction de transfert d un correcteur P est donnée par C(p) = K (9) Réponse harmonique : Gain Phase : C(jω db = 2 log(k) (1) ϕ(ω) = o (11)

10 Correcteur proportionnel (P) 1/ 25 Exemple : Correcteur P C(p) (a) Module de la Boucle Ouverte avec K = C(p) (b) Phase de la Boucle Ouverte avec K = 2.9 En résumé : Si K < 1 + amélioration de la stabilité. - détérioration de la précision. Si K > 1 + amélioration de la précision. - détérioration de la stabilité.

11 Correcteur proportionnel (P) 11/ 25 Exemple : Correcteur P sortie.5 e(t) C(p) t (s) Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 2.9

12 Correcteur proportionnel/intégral (PI) 12/ 25 Expression : La fonction de transfert d un correcteur PI est donnée par ( ) 1 + Ti p C(p) = K T i p (12) Réponse harmonique : Gain C(jω db = 2 log(k) + 1 log ( 1 + T 2 i ω 2) 2 log(t i ω) (13) Phase : ϕ(ω) = 18 π arctan(t iω) 9 (14) En basse-fréquence, le correcteur PI apporte un gain infini mais réduit la phase de 9 o. En haute-fréquence, le correcteur PI apporte un gain 2 log(k).

13 Correcteur proportionnel/intégral (PI) 13/ 25 Réponse harmonique : Diagramme de Bode du correcteur 6 Gain (db) 4 2 2log(K)+31/T i 2log(K) Pulsation (rad.s -1 ) (a) Gain (K = 2.9, T i = 8.5s) Phase (deg) o 6 1/T i Pulsation (rad.s -1 ) (b) Phase (K = 2.9, T i = 8.5s) En résumé : + Précision parfaite (présence d un intégrateur dans la boucle ouverte). - Diminution de la stabilité. - Ralentissement du système.

14 Correcteur proportionnel/intégral (PI) 14/ 25 Exemple : Correcteur PI C(p) (c) Module de la Boucle Ouverte avec K = 2.8 et Ti = 8.47s 2 C(p) (d) Phase de la Boucle Ouverte avec K = 2.8 et Ti = 8.47s

15 Correcteur proportionnel/intégral (PI) 15/ 25 Exemple : Correcteur PI sortie.5 e(t) C(p) t (s) Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 2.8 et Ti = 8.47s

16 Correcteur proportionnel/intégral (PI) 16/ 25 Exemple : Si le choix de T i est trop faible, le système peut devenir instable! sortie.5 e(t) C(p) t (s) Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 2.8 et Ti =.85s

17 Correcteur proportionnel/dérivé (PD) 17/ 25 Expression : La fonction de transfert de ce correcteur est donnée par Réponse harmonique : Gain Phase : C(p) = K (1 + T d p) (15) C(jω db = 2 log(k) + 1 log ( 1 + T 2 d ω2) (16) ϕ(ω) = 18 π arctan(t dω) (17) En basse-fréquence, le correcteur apporte un gain 2 log(k). En haute-fréquence, le correcteur PD augmente la phase de +9 o et apporte un gain infini.

18 Correcteur proportionnel/dérivé (PD) 18/ 25 Réponse harmonique : Diagramme de Bode du correcteur 4 8 Gain (db) 2 2 log(k) log(k) 1 T d Pulsation (rad.s 1 ) (a) Gain (K = 2.3, T d = 2.9s) Phase (deg) o 1 T d Pulsation (rad.s 1 ) (b) Phase (K = 2.3, T d = 2.9s) En résumé : + Amélioration de la stabilité (par apport de phase). + Amélioration de la rapidité. - Amplification des bruits de mesure situés en hautes-fréquence.

19 Correcteur proportionnel/dérivé (PD) 19/ 25 Exemple : Correcteur PD C(p) (c) Module de la Boucle Ouverte avec K = 2.3 et T d = 2.9s C(p) (d) Phase de la Boucle Ouverte avec K = 2.3 et T d = 2.9s

20 Correcteur proportionnel/dérivé (PD) 2/ 25 Exemple : Correcteur PD sortie.5 e(t) C(p) t (s) Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 2.8 et T d = 2.9s

21 Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID) 21/ 25 Expression : La fonction de transfert d un correcteur PID est donnée par ( C(p) = K ) T i p + T dp (18) But : Exploiter à la fois l action intégrale et de l action dérivée Précision parfaite (action intégrale en basse fréquence) Augmentation de la stabilité (action dérivée aux moyennes et hautes fréquences) THE correcteur universel, à la fois précis et stabilisant!

22 Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID) 22/ 25 Réponse harmonique : Diagramme de Bode du correcteur o Gain (db) 2 2 log(k) log(k) 1 1 T i T d Pulsation (rad.s 1 ) (a) Gain (K = 2, T d = 1s, T i = 1s) Phase (deg) 5 1 T i 45 o 1 T d Pulsation (rad.s 1 ) (b) Phase (K = 2, T d = 1s, T i = 1s) En résumé : le correcteur universel + Amélioration de la stabilité + Amélioration de la précision

23 Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID) 23/ 25 Exemple : Correcteur PID C(p) (c) Module de la Boucle Ouverte avec K = 1.5, Ti = 2.9s et Td =.73s. 2 3 C(p) (d) Phase de la Boucle Ouverte avec K = 1.5, Ti = 2.94s et Td =.73s.

24 Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID) 24/ 25 Exemple : Correcteur PID sortie.5 e(t) C(p) t (s) Figure: Réponse indicielle de la boucle fermée avec K = 1.5, Ti = 2.94s et Td =.73s.

25 Correcteur proportionnel/intégral/dérivé (PID) 25/ 25 Techniques de réglage Méthodes algébriques : Calibration mathématique des paramètres pour obtenir le comportement desiré. Voir TD Voir TP : régulation de niveau, etc... Méthodes temporelles : Technique de Ziegler-Nichols Voir TP : correction d un système de 3 e ordre. Méthodes graphiques : Calibration graphique des paramètres à partir du tracé de la boucle ouverte dans le plan de Bode Hors programme.