- Automatique - Modélisation par fonction de transfert et Analyse des systèmes linéaires continus invariants

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1 - Automatique - Modélisation par fonction de transfert et Analyse des systèmes linéaires continus invariants M1/UE CSy - module P2 (1ère partie)

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3 Avant-propos 3 Avant-propos Le cours d automatique situé en M1 a été structuré en 2 modules : P2 Modélisation, Analyse et Commande des Systèmes Linéaires Continus (avec TP) P8 Projet de commande/simulation sous MATLAB (*) Les modules marqués d une (*) sont des modules au choix. Le présent support de cours concerne la 1ère partie du module P2. Il est incomplet mais il a semblé à l auteur qu il avait néammoins le mérite d exister... Les étudiants sont vivement encouragés à émettre toutes les critiques qu ils jugeront nécessaires pour en améliorer le contenu tant sur le plan de la forme que du fond. Enfin, ce support de cours ne dispense ni de la présence en cours et TD, ni de la lecture des ouvrages de base dont la liste (non exhaustive) est fournie dans l annexe bibliographique.

4 Table des matières I Notions générales 8 1 Introduction Objet de l automatique Classification des systèmes Systèmes continus ou systèmes discrets Systèmes linéaires ou non linéaires Systèmes variants ou invariants Finalité d un système de commande Exemple Outils Mathématiques Rappels sur les nombres complexes Définition Propriétés des nombres complexes Représentation d un nombre complexe dans le plan réel Représentation trigonométrique d un nombre complexe Représentation exponentielle d un nombre complexe Transformation de Laplace

5 Table des matières Définition Propriétés Transformée de Laplace de signaux usuels Table des transformées de Laplace usuelles Inversion de la transformée de Laplace II Représentation des systèmes par fonction de transfert 23 3 Fonction de transfert d un système linéaire stationnaire Définition Exemples Exemple électrique Exemple mécanique Exemple thermique Exemple hydraulique Utilisation de variables d écart Exemple Interprétation physique de la fonction de transfert Classe et gain d un système Structure et stabilité de la réponse d un système Etude de Etude de A p a, a R Ap + B (p a) 2 + b2, a R et b R Généralisation Règle de stabilité

6 6 Table des matières 3.7 Méthodes d analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse fréquentielle des sytèmes linéaires Analyse temporelle Analyse fréquentielle Système du 1er ordre Définition Analyse temporelle Impulsion de Dirac Echelon de position Exercice : Créneau Echelon de vitesse Signal sinusoïdal Analyse fréquentielle Plan de Nyquist Plan de Black-Nichols Plan de Bode Influence d une variation de τ Analyse temporelle Analyse fréquentielle Relation entre tr 5% et BP( 3dB) Exemple 1 : oscilloscope Exemple 2 : table traçante Système du second ordre Définition

7 Table des matières Analyse temporelle Echelon de position Echelon de vitesse Signal sinusoïdal Analyse fréquentielle Lieu de transfert dans le plan de Bode Le coefficient de surtension Q Comparaison d un système du 1er ordre et du second ordre Autres systèmes Retard pur Analyse temporelle Analyse fréquentielle Systèmes d ordre quelconque Exemple Systèmes avec zéro Stabilité Critère de Routh

8 Première partie Notions générales 8

9 Chapitre 1 Introduction 1.1 Objet de l automatique L automatique a pour objet l étude des méthodes permettant d assurer, dans des conditions données, la commande d un système quelconque. Le terme «commande»désigne toute action exercée sur un système pour influencer son évolution dynamique. 1.2 Classification des systèmes Systèmes continus ou systèmes discrets Dans un système continu, les grandeurs caractérisant ce système sont présentes à tout instant. Dans un système discret une grandeur au moins n est connue que pour certaines valeurs du temps (instants d échantillonnage). On rencontre cette dernière classe de systèmes dès que l on insère un calculateur numérique dans une boucle Systèmes linéaires ou non linéaires Dans un système linéaire, on peut appliquer le principe de superposition. Si e 1 (t) s 1 (t) et e 2 (t) s 2 (t) alors e 1 (t) + e 2 (t) s 1 (t) + s 2 (t) 9

10 Finalité d un système de commande Les systèmes décrits par des équations différentielles linéaires homogènes et à coefficients constants sont linéaires Systèmes variants ou invariants Un système variant est tel que l équation différentielle qui le décrit a des coefficients fonction du temps alors que les coefficients sont constants pour un système invariant. 1.3 Finalité d un système de commande Commander un système consiste à choisir un système de commande qui exerce une loi de commande afin que la sortie évolue pour répondre à un certain but. Ce signal de commande u(t) sera fourni à partir de la loi de commande en fonction du but poursuivi. But poursuivi Système de commande signal de commande u(t) SYSTÈME sortie Fig Exemple (voir cours)

11 Chapitre 2 Outils Mathématiques 2.1 Rappels sur les nombres complexes Définition C : corps des nombres complexes. z C z = (a, b) = a + j b j est le nombre complexe (, 1) tel que j 2 = 1 On appelle : a la partie réelle de z notée Re(z). b la partie imaginaire de z notée Im(z). On rappelle que C est muni : d une loi additive : z 1 + z 2 = z 3 (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ) d une loi multiplicative : z 1.z 2 = z 3 (a 1, b 1 ).(a 2, b 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 11

12 Rappels sur les nombres complexes Propriétés des nombres complexes conjugué de z : z z = a + j b z = a j b module de z : A = z = z z = a 2 + b 2 argument de z : ϕ = Arg(z) défini modulo 2 π si A sin ϕ = b A cosϕ = a A tanϕ = b a (2 des 3 relations précédentes suffisent à définir ϕ sans ambiguïté) module et argument du produit de 2 nombres complexes z et z : z z = z z Arg(z z ) = Arg(z) + Arg(z ) module et argument du quotient de 2 nombres complexes z et z : z z = z z ( ) z Arg = Arg(z) Arg(z ) z Représentation d un nombre complexe dans le plan réel La représentation d un nombre complexe (et du nombre complexe conjugué) dans le plan réel est donnée sur la Figure 2.1. Plan complexe = Plan de Nyquist (en automatique) Représentation trigonométrique d un nombre complexe z = a + j b = A cos ϕ + j A sin ϕ = A (cosϕ + j sin ϕ)

13 2.2. Transformation de Laplace 13 Im(z) b M d affixe z ϕ ϕ a Re(z) b M d affixe z Fig Représentation exponentielle d un nombre complexe cosϕ = 1 ϕ2 2! + ϕ4 4! ϕ6 6! + sinϕ = ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! ϕ7 7! + cosϕ + j sinϕ = 1 + j ϕ ϕ2 2! j ϕ3 3! + ϕ4 4! + j ϕ5 5! + = 1 + j ϕ + = e jϕ (j ϕ)2 2! + (j ϕ)3 3! + (j ϕ)4 4! + z = a + j b = A e j ϕ 2.2 Transformation de Laplace Définition Soit f une fonction réelle de la variable t. t R f f(t)

14 Transformation de Laplace ( ) f croit moins vite qu une exponentielle quand t lim f(t) t + e pt =. On appelle transformation de Laplace (monolatère) l application telle que : f(t) + L L[f(t)] = F(p) = f(t) e pt dt p C La fonction F, de la variable complexe p 1, est appelée transformée de Laplace de f. Remarque : Cette intégrale converge si Re(p) > σ appelé rayon de convergence. Exemple Considérons le signal suivant, appelé échelon de Heaviside (ou échelon de position unité) et calculons sa transformée de Laplace. 1 échelon unité t Fig. 2.2 f(t) = 1 pour t [, + [ F(p) = + e pt dt = [ 1p ] + e pt = 1 p Remarque : Nous verrons plus loin que dans le cas de signaux «simples», le calcul de la transformée de Laplace peut être effectué sans recourir au calcul intégral, à la condition de connaître la transformée de Laplace de quelques signaux de base. 1 les anglophones désignent par s la variable de Laplace.

15 2.2. Transformation de Laplace Propriétés L est linéaire : L[a f 1 + b f 2 ] = a L[f 1 ] + b L[f 2 ] = a F 1 + b F 2 Calcul de L [ ] df dt Considérons une fonction f continue et dérivable pour t (elle admet une limite à droite quand t + ) Posons : En intégrant par partie : [ ] df(t) L = dt F(p) = L[f(t)] + df(t) dt e pt dt v = e pt dv = p e pt dt du = df(t) dt dt u = f L [ ] df dt = [f(t) e pt ] + + p + f(t) e pt dt = lim f(t) e pt lim f(t) e pt + p F(p) t + t } {{ } = L [ ] df = p F(p) f() dt En tant que fonction f() = lim t + f(t) = f(+ ). Attention : Dans le cas d un signal que l on ne peut plus considérer comme une fonction (Cf. théorie des distributions), on montre, et nous l admettrons, que pour prendre en compte une éventuelle discontinuité en t = la formule précédente devient : L [ ] df = p F(p) f( ) dt

16 Transformation de Laplace [ t ] Calcul de L f(ξ) dξ Posons g(t) = t f(ξ) dξ Intégrons par partie : L[g(t)] = + g(t) e pt dt v = g(t) dv = f(t) dt du = e pt dt u = 1 p e pt [ t ] L f(ξ) dξ = = [ [ = 1 p 1 p e pt g(t) ] + 1 t p e pt f(ξ) dξ + ] + } {{ } = + e pt f(t) dt 1 p e pt f(t) dt + 1 p e pt f(t) dt [ t ] L f(ξ) dξ = F(p) p Théorème du retard : On suppose que f(t) = pour t <. Considérons un retard de τ (τ > ) appliqué au signal f(t). f(t) f(t-τ) τ τ t Fig. 2.3 L[f(t τ) u(t τ)] = On fait le changement de variable : t = t τ + f(t τ) e pt dt

17 2.2. Transformation de Laplace 17 L[f(t τ) u(t τ)] = + τ = e pτ = e pτ F(p) f(t ) e p(t +τ) dt + e pt f(t ) dt +e pτ f(t ) e pt dt τ } {{ } = L[f(t τ) u(t τ)] = e pτ L[f(t) u(t)] Théorème de la valeur initiale : f( + ) = lim p + p F(p) F(p) Théorème de la valeur finale : f(+ ) = lim p p F(p) valable que si p F(p) a tous ses pôles à partie réelle strictement négative Transformée de Laplace de signaux usuels Impulsion de Dirac Soit le signal δ τ (t) représenté sur la Figure τ τ t Fig. 2.4 On définit l impulsion de Dirac δ(t) comme la limite de δ τ (t) lorsque τ tend vers. + δ(t) dt = 1 Nous démontrerons plus loin que : L[δ(t)] = 1

18 Transformation de Laplace Echelon de position unité On considère l échelon de position unité u(t) représenté sur la Figure échelon unité t Fig. 2.5 L[u(t)] = 1 p Echelon de vitesse unité (ou rampe de vitesse de pente 1) r(t) = t u(t) 1 rampe 1 t Fig. 2.6 L[r(t)] = 1 p 2 Exercice Cet exercice est destiné à montrer comment le calcul de la transformée de Laplace peut être simplifié dans le cas de signaux «simples» Soit à calculer la transformée de Laplace du signal f(t) représenté sur la Figure 2.7.

19 2.2. Transformation de Laplace 19 f(t) 1 τ t Fig. 2.7 Ce signal peut être considéré comme résultant de la somme de 2 signaux f 1 (t) et f 2 (t) comme indiqué sur la Figure f(t) f 1(t) τ t f 2 (t) Fig. 2.8 Ces 2 signaux possèdent des transformées de Laplace «connues» : f 1 (t) est un échelon de vitesse de pente 1 τ. L[f 1 (t)] = 1 τ p 2 f 2 (t) est un échelon de vitesse de pente 1 décalé de τ (on applique le théorème du τ retard). L[f 2 (t)] = 1 τ p 2 e pτ On en déduit la transformée de Laplace de f(t) : L[f(t)] = 1 τ p 2 (1 e pτ )

20 Transformation de Laplace Table des transformées de Laplace usuelles Cf. Figure 2.9.

21 2.2. Transformation de Laplace 21 Fig. 2.9 Table des transformées de Laplace usuelles

22 Transformation de Laplace Inversion de la transformée de Laplace Il existe essentiellement 3 techniques : 1) consulter une table de transformées de Laplace (Cf. Figure 2.9). 2) décomposer en éléments simples si la transformée de Laplace est une fraction rationnelle (voir exemples en cours). 3) utiliser la formule de Bramwich.

23 Deuxième partie Représentation des systèmes par fonction de transfert 23

24 Chapitre 3 Fonction de transfert d un système linéaire stationnaire 3.1 Définition e(t) SYSTÈME s(t) Fig. 3.1 Le système est linéaire stationnaire et e(t) et s(t) sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants, homogène de type : d m e a m dt + a d m 1 e m m 1 dt + + a de m 1 1 dt + a d n s e = b n dt + b d n 1 s n n 1 dt + + b ds n 1 1 dt + b s a) Cas des conditions initiales nulles. Les hypothèses : e( ) =, de dt ( ) =,..., d m 1 e dt m 1 ( ) = et : s( ) =, permettent d écrire que : ds dt ( ) =,..., 24 d n 1 s dt n 1 ( ) =

25 3.1. Définition 25 et : e(t) d i e dt i s(t) d j s dt j L E(p) L p i E(p) L S(p) L p j S(p) i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n La transformée de Laplace de l équation différentielle s écrit alors : donc : a m p m E(p) + a m 1 p m 1 E(p) + + a 1 p E(p) + a E(p) = b n p n S(p) + b n 1 p n 1 S(p) + + b 1 p S(p) + b S(p) S(p) E(p) = a + a 1 p + + a m 1 p m 1 + a m p m b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n = T(p) T(p) est la fonction de transfert du système. b) Cas des conditions initiales non nulles. Si les hypothèses précédentes ne sont pas satisfaites : de dt d 2 e dt 2. d m e dt m L p E(p) e( ) L L p [p E(p) e( )] de dt ( ) = p 2 E(p) p e( ) de dt ( ). p m E(p) + P m 1 (p) avec P m 1 (p) un polynôme de degré (m 1) fonction des conditions initiales. En remplaçant dans l équation différentielle, il vient : S(p) = a + a 1 p + + a m 1 p m 1 + a m p m b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n E(p)+ I(p) b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n avec I(p) polynôme de degré (m 1) fonction des conditions initiales.

26 Exemples On retiendra que dans le cas général : S(p) = N(p) D(p) } {{ } T(p) E(p) + I(p) D(p) I(p) dépend de l état initial du signal de sortie et du signal d entrée. Remarque : Si les conditions initiales sont nulles : I(p) = = S(p) = N(p) S(p) E(p) = D(p) E(p) = N(p) D(p) = T(p) 3.2 Exemples Exemple électrique Circuit CR (voir cours) Exemple mécanique Chariot (voir cours) Exemple thermique Enceinte (voir cours)

27 3.3. Utilisation de variables d écart Exemple hydraulique Cuve (voir cours) 3.3 Utilisation de variables d écart La présence de conditions initiales non nulles peu poser des problèmes dans l utilisation de la transformation de Laplace. Une manière élégante de contourner le problème est de travailler avec des variables dites d écart qui représentent la différence entre une grandeur donnée x(t) et sa valeur initiale x( ). Par exemple, si θ(t) désigne une température et θ( ) désigne la valeur initiale de cette température, nous désignerons par θ (t) = θ(t) θ( ) la variable d écart associée. En utilisant les variables d écart, on se ramène à un système à conditions initiales nulles (dans l exemple précédent θ ( ) = ), ce qui simplifie la mise en œuvre de la transformation de Laplace. De plus, nous verrons en TD que l on est parfois confronté au cas de systèmes non linéaires que l on linéarise autour d un point de fonctionnement (état d équilibre) en utilisant des variables d écart par rapport au point de fonctionnement Exemple On considère le système régi par l équation différentielle : ds(t) dt + 2 s(t) = e(t) (3.1) On suppose que l entrée e(t) varie en échelon comme indiqué sur la figure 3.2. Première partie : résolution classique. 1) Calculer S(p) en fonction de E(p) et des conditions initiales. 2) Calculer E(p) et en déduire S(p). 3) Calculer s(t).

28 Utilisation de variables d écart e(t) e( + ) e( ) Fig. 3.2 Deuxième partie : résolution en utilisant les variables d écart. On définit les variables dites d écart : e (t) = e(t) e( ) s (t) = s(t) s( ) 4) À partir de l équation (3.1), calculer l équation différentielle reliant les variables d écart e (t) et s (t). 5) Calculer S (p) en fonction de E (p). 6) Calculer E (p). 7) Calculer s (t) et en déduire s(t). 8) Comparer les résultats de 3) et 7). Solution : 1) ds dt + 2 s(t) = e(t) p S(p) s( ) + 2 S(p) = E(p) S(p) = E(p) p s( ) p + 2 2) E(p) = e(+ ) p

29 3.3. Utilisation de variables d écart 29 S(p) = e(+ ) p(p + 2) + s( ) p + 2 3) s(t) = e(+ ) (1 e 2t ) + s( ) e 2t 2 4) ds dt + 2 s(t) = e(t) ds dt + 2 (s (t) + s( )) = e (t) + e( ) ds dt + 2 s (t) = e (t) + e( ) 2 s( ) } {{ } = NB : 2 s( ) = e( ) car l équation (3.1) est vraie aussi en régime permanent (à t =, ds dt = ). Finalement : ds dt + 2 s (t) = e (t) 5) p S (p) + 2 S (p) = E (p) S (p) = E (p) p + 2 NB : on trouve la fonction de transfert du système. 6) E (p) = e(+ ) e( ) p (attention à l amplitude de l échelon!!) S (p) = e(+ ) e( ) p(p + 2)

30 Interprétation physique de la fonction de transfert 7) s (t) = e(+ ) e( ) (1 e 2t ) 2 s(t) = s (t) + s( ) = e(+ ) e( ) (1 e 2t ) + s( ) 2 8) En utilisant la relation s( ) = e( ) fournie par le régime permanent, on montre 2 que les résultats 3) et 7) sont identiques. 3.4 Interprétation physique de la fonction de transfert Considérons la réponse du système à une impulsion de Dirac. e(t) = δ(t) L E(p) = 1 S(p) = T(p) E(p) = T(p) La fonction de transfert d un système est égale à sa réponse impulsionnelle. 3.5 Classe et gain d un système T(p) = a + a 1 p + + a m 1 p m 1 + a m p m b + b 1 p + + b n 1 p n 1 + b n p n On peut écrire T(p) sous la forme canonique : T(p) = K p r 1 + α 1 p β 1 p + r N n ordre du système (degré du dénominateur) r classe du système K gain du système

31 3.6. Structure et stabilité de la réponse d un système 31 Si r =, on dit que le système ne possède pas d intégration. Si r, on dit que le système possède r intégrations. 3.6 Structure et stabilité de la réponse d un système Nous avons vu au 3.1 que dans le cas général : S(p) = N(p) D(p) } {{ } T(p) E(p) + I(p) D(p) I(p) dépend de l état initial du signal de sortie et du signal d entrée. On peut écrire : S(p) = N(p) D(p) E(p) I(p) + D(p) } {{ } } {{ } solution forcée solution libre La solution forcée S F (p) = N(p) E(p) est provoquée par l entrée. D(p) La solution libre S L (p) = I(p) D(p) s annule avec les conditions initiales. On démontre que le comportement du système en régime permanent peut être étudié en se limitant à la réponse libre. La stabilité du système, c est-à-dire la capacité du système à «rejoindre» une consigne d entrée, est déterminée par le comportement du système placé dans des conditions initiales non nulles et laissé libre. Le terme I(p) D(p) A p a peut être décomposé en éléments simples du type : ou Ap + B (p a) 2 + b 2 et puissances successives avec : a R et b R

32 Structure et stabilité de la réponse d un système Pôles de I(p) D(p) : Ils sont donnés par l équation D(p) = qui a pour solutions : p = a p = a + j b p = a j b Etude de A p a, a R Si S L (p) = A p a alors s L (t) = A e at u(t) 1) cas : a > le système est instable (il part à l infini) 2) cas : a < le système est stable (il tend à retrouver son état d équilibre) (voir cours) Etude de Ap + B (p a) 2 + b2, a R et b R On suppose que S L (p) se réduit à Ap + B (p a) 2 + b 2 S L (p) = = Ap + B [p (a + j b)][p (a j b)] α p (a + j b) + β p (a j b) Pour trouver α, on multiplie par [p (a + j b)], ce qui conduit à l expression :

33 3.6. Structure et stabilité de la réponse d un système 33 Ap + B p (a j b) = α + β[p (a + j b)] p (a j b) et on pose p = a + j b, ce qui conduit à : α = A(a + j b) + B a + j b (a j b) = (Aa + B) + j Ab 2j b α = A 2 j Aa + B 2b Le même type de calcul pour β conduit à : β = A 2 + j Aa + B 2b = α S L (p) = α p (a + j b) + α p (a j b) On posera par la suite α = r + j i, avec r = A 2 et i = Aa + B 2b s L (t) = α e at e j bt + α e at j bt e = e at [(r + j i)e j bt + (r j i)e j bt ] = e at [r(e j bt + e j bt ) + j i(e j bt e j bt )] = e at [2r cos(bt) + j i(2j sin(bt))] = 2e at [r cos(bt) i sin(bt)] s L (t) = 2 [ ] r 2 + i 2 e at r r2 + i cos(bt) i 2 r2 + i sin(bt) 2 On pose : r r2 + i 2 = cosϕ i r2 + i 2 = sin ϕ

34 Structure et stabilité de la réponse d un système α = r + j i = α e jϕ s L (t) = 2 α e at [cos(bt) cosϕ sin(bt) sin ϕ] s L (t) = 2 α e at cos(bt + ϕ) = A e at cos(bt + ϕ) Ae at s L (t) Ae at 1) cas : a < et b quelconque. Le système atteint naturellement une position d équilibre 2) cas : a > et b quelconque. Le système est instable 3) cas : a = et b quelconque. Le système est oscillatoire (voir cours) Généralisation (voir cours) Règle de stabilité Un système est stable si sa solution libre ne tend pas vers lorsque t On montre qu un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative.

35 3.6. Structure et stabilité de la réponse d un système 35 Fig. 3.3 Structure de la réponse en fonction de la position des pôles

36 3.7. Méthodes d analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse 36 fréquentielle des sytèmes linéaires 3.7 Méthodes d analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse fréquentielle des sytèmes linéaires Analyse temporelle On soumet le système à des entrées types (échelon de position, échelon de vitesse) et l on calcule la réponse temporelle s(t). avantages caractère visuel de la sortie très clair; régime transitoire comme régime permanent. inconvénients méthode lourde, parfois complexe si l ordre est supérieur à 3. conclusion méthode employée dans le but d identifier un système, par comparaison avec certaines réponses types pré-établies Analyse fréquentielle On soumet le système à l entrée sinusoïdale de pulsation w variable. On démontrera plus tard que, en régime permanent : Si e(t) = e sin(wt) u(t) alors s(t) = s O sin(wt + ϕ) u(t) même pulsation w pour les signaux d entrée et de sortie. déphasage ϕ entre l entrée et la sortie. L analyse fréquentielle va consister à évaluer le rapport s e (w) (appelé gain du système) de l amplitude de la sortie à l amplitude de l entrée et le déphasage ϕ(w) de la sortie par rapport à l entrée en fonction de w. avantages cette méthode permet l étude des performances de précision, de rapidité et de stabilité du système. inconvénients méthode peu «visuelle». conclusion méthode très utile et très employée car très pratique. elle permet de plus la synthèse des réseaux correcteurs.

37 3.7. Méthodes d analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse fréquentielle des sytèmes linéaires 37 Expressions du gain et du déphasage e(t) = e sin(wt) u(t) L E(p) = e w p 2 + w 2 s(t) = s sin(wt + ϕ) u(t) = s (sin(wt) cosϕ + sin ϕ cos(wt)) u(t) S(p) = s [cosϕ ] w p 2 + w + sin ϕ p 2 p 2 + w 2 [ w S(p) = s cosϕ + p sin ϕ ] p 2 + w 2 w S(p) = s [ E(p) cos ϕ + p sin ϕ ] e w Si on pose p = jw, l expression précédente s écrit : S(jw) = s e E(jw)(cosϕ + j sin ϕ) S(jw) = s e E(jw) e jϕ S(jw) E(jw) = T(jw) = s e e jϕ On retiendra le résultat important : s e = T(jw) : gain du système à la pulsation w. ϕ = Arg[T(jw)] : déphasage entrée/sortie à la pulsation w.

38 Chapitre 4 Système du 1er ordre 4.1 Définition Le système du 1 er ordre a pour fonction de transfert : T(p) = K 1 + τ p { K gain statique τ constante de temps 4.2 Analyse temporelle Impulsion de Dirac e(t) = δ(t) L E(p) = 1 S(p) = T(p) E(p) si s( ) = S(p) = T(p) = K 1 + τp = K τ 1 p + 1 τ s(t) = K τ e t τ u(t) La réponse en fonction du temps est donnée Figure

39 4.2. Analyse temporelle 39 K/τ,37 K/τ s(t) τ t Fig. 4.1 Cherchons l équation de la tangente au point (t = +, s( + ) = K τ ) Cette équation est de la forme : y = a t + b. b = s( + ) = K τ a = ds dt (+ ) ds dt = K τ ( 1 ) τ e t τ ds a = lim t + dt = K τ 2 L équation de la tangente s écrit donc : y = K τ ( 1 t ) τ Cherchons le point d intersection de la tangente avec l axe des temps : y = pour 1 t τ = t = τ pour t = τ s(τ) = K τ e 1, 37 K τ

40 Analyse temporelle pour t = 3τ s(3τ) = K τ e 3, 5 K τ Au bout de 3τ, le système du premier ordre a atteint la valeur finale (s(+ ) = ) à 5% près. Plus τ augmente, plus le système met du temps à atteindre sa valeur finale Echelon de position e(t) = e u(t) L E(p) = e p S(p) = T(p) E(p) = Ke p(1 + τp) ( 1 = Ke p 1 ) p + 1 τ On en déduit : s(t) = Ke (1 e t τ ) u(t) La réponse en fonction du temps est donnée Figure 4.2 Ke,63Ke s(t) τ t Fig. 4.2 Cherchons l équation de la tangente au point (t = +, s( + ) = )

41 4.2. Analyse temporelle 41 Cette équation est de la forme : y = a t + b. b = s( + ) = a = ds dt (+ ) ds dt = Ke ( ) 1 t τ e τ ds a = lim t + dt = Ke τ L équation de la tangente s écrit donc : y = Ke τ t La tangente passe par le point (t = τ, y(τ) = Ke ). pour t = 3τ s(3τ) =, 95Ke Le système a atteint la valeur finale (s(+ ) = Ke ) à 5% près Exercice : Créneau Soit le circuit RC représenté sur la Figure 4.3 On suppose que le condensateur est initialement déchargé et que s( ) =. Calculer et représenter s(t) pour le signal d entrée représenté sur la Figure 4.4. On a : e(t) s(t) = R i(t) i(t) = C ds(t) dt L équation différentielle régissant le comportement du circuit s écrit : e(t) = R C ds(t) dt + s(t)

42 Analyse temporelle R i(t) e(t) C s(t) Fig. 4.3 e(t) e t τ Fig. 4.4 En prenant la transformée de Laplace de cette équation et en posant θ = RC, il vient : E(p) = θ(p S(p) s( )) + S(p) Puisque s( ) =, il vient : S(p) = θp E(p) T(p) = S(p) E(p) = θp On reconnaît la forme caractéristique du système du 1 er ordre. θ = RC, est appelée constante de temps du système. 1ère étape : calculer la transformée de Laplace E(p) du signal d entrée. On pourrait utiliser la définition de la transformée de Laplace qui fait appel au calcul intégral.

43 4.2. Analyse temporelle 43 On va plutôt utiliser la méthode de superposition, qui est beaucoup plus rapide (Cf ). Le signal e(t) (un créneau) peut être considéré comme résultant de la somme de 2 signaux e 1 (t) et e 2 (t) comme indiqué sur la Figure 4.5. e e(t) e 1 (t) τ t e e 2 (t) Fig. 4.5 La transformée de Laplace en découle naturellement : L[e(t)] = e p e p e τp = e ( ) 1 e τp p 2 ième étape : en déduire S(p). S(p) = θp e p ( 1 e τp ) S(p) = e p(1 + θp) e p(1 + θp) e τp (4.1) 3 ième étape : calculer la transformée de Laplace inverse de S(p). On va d abord calculer la transformée de Laplace inverse du terme : effectuant sa décomposition en éléments simples. 1 p(1 + θp), en Posons : F(p) = 1 p(1 + θp) F(p) = 1 p θ 1 + θp On en déduit : f(t) = (1 e t θ ) u(t)

44 Analyse temporelle L équation (4.1) s écrit : S(p) = e F(p) e F(p) e τp En appliquant le théorème du retard, il vient : s(t) = e f(t) u(t) e f(t τ) u(t τ) s(t) = e (1 e t θ ) u(t) e (1 e (t τ) θ ) u(t τ) Si t [, τ] : s(t) = e (1 e t θ ) Si t [τ, + [ : s(t) = e (1 e t θ ) e (1 e (t τ) θ ) = e (e (t τ) θ e t θ ) = e (1 e τ θ ) e (t τ) θ En remarquant que : s(τ) = e (1 e τ θ ) On peut écrire : s(t) = s(τ) e (t τ) θ La réponse en fonction du temps est donnée Figure 4.6 Remarque : Ce résultat pouvait être obtenue sans aucun calcul (ou presque), en examinant ce qui se passe physiquement. Entre et τ, il s agit de la charge d un condensateur (initialement déchargé) avec la constante de temps θ sous une tension appliquée e. s(t) = e (1 e t θ ) Cette charge se poursuit jusqu à l instant τ, et à cet instant précis, la tension au bornes du condensateur est de : s(τ) = e (1 e τ θ )

45 4.2. Analyse temporelle 45 e e(t) s(t) θ τ θ+τ t Fig. 4.6 A partir de l instant τ, le condensateur se décharge dans la résistance. La décharge d un condensateur (de tension initiale v ) à partir de t = est donnée par : s(t) = v e t θ On en déduit l équation de décharge d un condensateur de tension initiale s(τ) à partir de l instant τ (on applique pour cela le théorème du retard). s(t) = s(τ) e (t τ) θ On retrouve le résultat obtenu par le calcul Echelon de vitesse e(t) = e t u(t) L E(p) = e p 2 S(p) = T(p) E(p) = Ke p 2 (1 + τp) On effectue la décomposition en éléments simples : Ke p 2 (1 + τp) = A p + B p + C τp

46 Analyse temporelle on trouve : d où : On en déduit : A = Ke τ B = Ke C = Ke τ 2 S(p) = Ke [ τ p + 1 p 2 + τ p + 1 τ s(t) = Ke ( τ + t + τe t τ ) u(t) ] s(t) = (Ke (t τ)) u(t) + ( ) Ke τe t τ u(t) } {{ } } {{ } s 1 (t) s 2 (t) La réponse en fonction du temps est donnée Figure 4.7 s(t) Keτ s 2 (t) -Keτ τ s1(t) t Fig. 4.7 Remarques : a) b) s(t) lim = Ke t + t lim s(t) Ke t = Ke τ t + On en déduit que la droite d équation y = Ke (t τ) est une asymptote oblique à la courbe. On a, en régime permanent : ε(t) = Ke(t) s(t) = Ke τ(1 e t τ ) u(t) ε(+ ) = Ke(+ ) s(+ ) = Ke τ appelé erreur de trainage

47 4.2. Analyse temporelle Signal sinusoïdal L w e(t) = e sin(wt) u(t) E(p) = e p 2 + w 2 S(p) = T(p) E(p) = Ke w (p 2 + w 2 )(1 + τp) On décompose en éléments simples : S(p) = A 1 + τp + Bp + C p 2 + w 2 ou A 1 + τp + B p jw + C p + jw On trouve : A = Ke wτ w 2 τ 2 B = Ke τw 1 + w 2 τ 2 C = Ke w 1 + w 2 τ 2 wτ 1 S(p) = Ke 1 + w 2 τ 2 p + 1 τ + wτ p w 2 τ 2 p 2 + w } {{ 2 } cos wt 1 w 1 + w 2 τ 2 p 2 + w } {{ 2 } sin wt s(t) = Ke w t sin wt 1 + w 2 τ 2[τe τ + w τ coswt] or : sin(wt) τw cos(wt) = w 2 τ 2 [ 1 + w2 τ sin(wt) wτ w2 τ cos(wt)] 2 On pose : cosϕ = sin ϕ = w2 τ 2 wτ 1 + w2 τ 2 [ ] wτ t 1 s(t) = Ke 1 + w 2 τ 2e τ w2 τ sin(wt + ϕ) 2 u(t)