Conception, modélisation géométrique et contraintes en CAO : Une synthèse. Robert Maculet, Marc Daniel

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1 1 Conception, modélisation géométrique et contraintes en CAO : Une synthèse Robert Maculet, Marc Daniel Rapport de Recherche LSIS Laboratoire des Sciences de l Information et des Systèmes, UMR CNRS 6168 Equipe LXAO ESIL, campus de Luminy, case postale 925, Marseille cedex 9, France Résumé : Les logiciels de CAO ont pour perspective de devenir de véritables outils d aide à la conception d objets physiques. Mais la conception préliminaire reste un domaine de recherche largement ouvert. Cet article de synthèse s efforce de montrer qu une approche par contraintes du processus de conception est incontournable pour atteindre ce but. La conception est vue ici comme un processus cyclique d élaboration et de satisfaction de contraintes. Le modèle conceptuel associé est un modèle d objets géométriques sous contraintes. Il est à plusieurs niveaux et intègre des connaissances géométriques et non géométriques. L article se poursuit par l exposé des différentes approches de la modélisation géométrique : paramétrique, variationnelle, par features et déclarative. Il se termine par une présentation rapide des méthodes de résolution et de décomposition des systèmes de contraintes abordées en CAO. Mots-Clés : CAO, processus de conception, conception préliminaire, modélisation géométrique et conceptuelle, contraintes, GCSP, méthodes de décomposition et de résolution.

2 2 1. Introduction Dans les années 70, les logiciels de CAO (Conception Assistée par Ordinateur) n étaient que des logiciels de DAO (Dessin Assisté par Ordinateur). Ils ont évolué petit à petit grâce, d une part à l augmentation des performances du matériel informatique et d autre part à la recherche dans le domaine du logiciel. Mais, aujourd hui, ils ne sont pas encore véritablement des systèmes d aide à la conception. Cet article tente de mettre en perspective l utilisation des contraintes dans le processus de conception et en particulier dans le processus de la conception préliminaire pour qu enfin ces logiciels soient des outils d aide à la conception et à la création. Aussi, on se propose ici de faire une synthèse des différentes approches qui ont été, sont ou seront utilisées dans les logiciels de CAO pour la modélisation géométrique de l objet physique à concevoir. Dans la première section, nous présenterons le processus de conception d un produit et les différentes étapes : cahier des charges (spécifications), conception conceptuelle (conceptual design), conception préliminaire (preliminary design), conception détaillée (detailed design). Les enjeux de la conception y seront montrés ainsi que l importance du modèle géométrique 3D qui est le cœur des logiciels de CAO. Enfin, nous proposerons une représentation des connaissances basée sur un «modèle conceptuel d objets sous contraintes». La deuxième section retrace l évolution et les tendances de la modélisation géométrique au sein de ces logiciels de CAO. Avec l augmentation des capacités de calcul et de stockage des systèmes informatiques, nous avons assisté à l incorporation progressive autour des modèles géométriques de plus en plus de connaissances non géométriques, liés au produit lui-même et de sa fabrication avec l approche par features (par entités ou caractéristiques en français) et de méthodes de traitement automatiques et interactives pour aider le concepteur avec les approches paramétrique et variationnelle. Toutes ces approches peuvent se nommer «approches par contraintes». Enfin, nous terminerons en présentant l approche déclarative avancée par Lucas en Cette approche, qui part d une description de l objet à concevoir, va du cahier des charges à la conception préliminaire. Elle se positionne donc en premier lieu à l étape de la conception conceptuelle. (Conceptual Design). Le modèle conceptuel du produit y est élaboré pour générer le modèle géométrique. La troisième section sera une courte synthèse des différentes méthodes de résolution et de décomposition des systèmes de contraintes utilisées dans les logiciels de CAO ou qui sont en cours d élaboration dans les équipes de recherche. En particulier, le concept de GCSP (Geometric Constraint Satisfaction Problems ou Problèmes de satisfaction de contraintes géomértiques) y sera présenté. 2. Le processus de conception d un produit Un produit (ou objet produit) est fabriqué par l homme par opposition à un objet naturel. Cet objet artificiel peut être très divers mais nous nous limiterons ici dans le cadre de la CAO à un objet 3D réel (produit mécanique : pièce mécanique, automobile, avion, mobilier, produit de design industriel : carrosserie de voiture, capot d un produit électronique -téléphone, ordinateur...-, flacon, maison, bâtiment, installation industrielle, ouvrage de génie civil : pont, autoroute...). En bref, tout objet 3D qui nécessite ou a nécessité dans le passé avant la CAO un plan en 2D (dessin technique) pour sa réalisation. Dans les systèmes de CAO, qui étaient au départ des logiciels de DAO, le modèle 2D ou 3D (ou 2D 1/2 dans le bâtiment par exemple) est central. Le processus de conception/réalisation est le passage de l idée à l objet. Plus l objet à fabriquer est complexe, plus une méthodologie est nécessaire et plus les objets intermédiaires de conception, en particulier les plans, sont indispensables. On assiste ainsi à une rationalisation de la production qui permet de faire baisser le temps et le coût de la construction du produit.

3 3 2.1 Les 4 étapes du processus de conception [Daniel et al. 1997] Nous distinguons là 4 grands niveaux d abstraction. - L étape du cahier des charges ou spécifications. Pour un produit mécanique, c est le cahier des charges fonctionnel (CDCF). Pour un bâtiment, c est le programme de construction (c est-à-dire les surfaces en m2 des espaces architecturaux et leurs relations). - L étape de la conception conceptuelle (conceptual design). Le développement de cette phase peut permettre une approche plus globale du processus de conception. Cette étape devient aujourd hui, à notre avis, un important objet d étude comme nous allons essayer de le monter dans la suite. - L étape de la conception préliminaire (préliminary design) qui débouche sur un Avant-Projet Sommaire (APS) avec des plans à petite échelle. - L étape de la conception détaillé (detailed design) qui est, elle, bien couverte par les logiciels de CAO actuels et qui se termine par des plans à grande échelle. Cahier des charges ou spécifications Conception Conceptuelle Conception Préliminaire Conception Détaillé Dans notre article, nous nous focaliserons sur les étapes de la conception Conceptuelle et de la conception préliminaire. En partant d une idée, le concepteur définit quelque chose de plus précis : le concept qui est souvent exprimé par un dessin 2D à main levée et un court texte descriptif. C est le processus de création du concept. Pour une présentation détaillée du processus de conception, en particulier d un bâtiment, on peut se reporter à [Maculet 1991]. 2.2 Les enjeux de la conception d un produit Les enjeux aujourd hui sont d abord les délais, le coût et la qualité. Mettre sur le marché un produit au plus tôt pour être le premier devient un objectif majeur [Tollenaere et al. 1998]. Le produit doit être à moindre coût et de bonne qualité. De plus, le cycle de vie d un produit est de plus en plus court. L innovation est constante pour renouveler l offre sur le marché. Pour accélérer le processus de conception/fabrication dans l industrie mécanique, on : - étend en aval le processus de conception aux processus de fabrication avec les concepts de «Design for Manufacturing» et de «Features» [Brun 1997] - intégre dans la conception les différents métiers qui interviennent ensemble. C est l ingénierie simultanée, concourante ou conception intégrée. - remonte le plus en amont possible dans le processus de conception et d intégrer la phase conceptuelle permettant ainsi une approche beaucoup plus globale. La notion de Modèle Produit va dans ce sens [ Brun 1997]

4 4 2.3 Le modèle géométrique, coeur des logiciels de CAO Le processus de conception d un objet produit est un enrichissement au fur et à mesure de nombreux modèles de représentation des connaissances. En particulier, si on étudie l élaboration de la forme d un objet, nous pouvons distinguer le modèle conceptuel, le modèle topologique, le modèle morphologique, le modèle géométrique et le modèle physique. On peut rassembler dans le modèle spatial les 3 modèles topologique, morphologique et géométrique. Modèle conceptuel Modèle topologique Modèle morphologique Modèle géométrique Modèle physique Au-delà de la forme qui correspond à ce modèle spatial, nous avons le modèle structurel (ou modèle physique ou modèle matériel ou modèle technologique) où la forme et la matière (ou les forces) sont intimement liées. Ce modèle structurel est basé sur une hiérarchie spatiale des différents composants du produit. Par ailleurs, nous avons le modèle fonctionnel du produit avec sa hiérarchie fonctionnelle. Pour résumer, nous pouvons avancer que l espace de conception d un produit est composé par 3 axes principaux : la fonction, la forme et la matière. Le processus de conception est le chemin que parcourt le concepteur dans cet espace pour aboutir à l objet à concevoir. FORME MATIERE FONCTION En CAO, le modèle est la représentation informatique de l'objet en cours de conception. C'est la maquette numérique, virtuelle de l'objet. Aujourd hui, le modèle géométrique est le cœur d'un système de CAO. Et comme le montre Jean-Marc Brun [Brun 1997] cette place centrale permet d établir la cohérence des modèles. Le «modèle produit» est constitué d une juxtaposition de modèles spécifiques des différents points de vue. Par exemple, nous pouvons avoir en plus pour le calcul avec la méthode des éléments finis, un modèle géométrique simplifié de maillages. Notons ici que le problème de cohérence est un problème fondamental. Soit il existe plusieurs modèles dont il faut maintenir la cohérence, soit il existe un seul modèle global dont on extrait différents points de vue. Dans ce cas, il est nécessaire d assurer la cohérence entre les vues et de remonter les actions effectuées sur ces vues vers ce modèle unique. Après cette présentation rapide du processus de conception en CAO, approfondissons la modélisation conceptuelle qui lui est associée et introduisons la notion de contrainte.

5 5 2.4 La conception et le modèle conceptuel d objets sous contraintes Modéliser est une des fonctions de base du cerveau humain. Modéliser, c est d abord se représenter une chose ou un phénomène. Un modèle est une représentation de la réalité, une abstraction, une représentation simplifiée d'un processus, d'un système. L homme crée ainsi dans son cerveau des représentations du monde réel : les concepts. Rappelons brièvement que les neurosciences ont identifié les objets mentaux [Changeux 1983] qui se composent de percepts (perception de l'objet physique), d'images mentales (visions intérieures des objets) [Piaget 1961] et de concepts. Monde des idées CONCEPT Monde réel OBJET Le concept de "table" est une image simplifiée, "squelettique"de l'objet physique "table". La formation d'un concept s'accompagne d'une schématisation, d'une abstraction de l'objet réel par élimination des détails. Le langage naturel étant le mode de représentation privilégié de l'homme, nous avons donc le triangle : objet, concept, mot. Par exemple le mot "table" est associé au concept "table", c'est-à-dire une représentation mentale abstraite d'un objet physique «table». CONCEPT MOT OBJET Les modèles, représentations simplifiées du monde réel, sont très divers et peuvent être plus ou complexes : des mots du langage naturel aux modèles réduits et aux maquettes numériques de CFAO en passant par les modèles mathématiques. Le concepteur, au tout début du processus de conception, après avoir pris connaissance du cahier des charges, a une image mentale de l objet matériel à concevoir qui se précisera au fur et à mesure du développement du processus. Cette image mentale est en rapport avec les modèles conceptuels généraux du concepteur, c est-à-dire avec l ensemble des connaissances du concepteur qu il a, par exemple, sur une table. Ses connaissances générales dépendent de sa culture : ainsi, pour concevoir une table à manger, le concepteur occidental pensera à une table haute alors qu un concepteur oriental, à une table basse. Cette image mentale dépend aussi des connaissances particulières au projet induit par le cahier des charges du projet.

6 6 Pour une table, le dictionnaire nous donne comme premier sens du mot : «Objet formé essentiellement d une surface plane horizontale, généralement supportée par un pied, des pieds, sur laquelle on peut poser des objets». Cette définition est parfaitement déclarative. Nous avons ici un CDCF (Cahier des Charges Fonctionnel) minimum avec des contraintes géométriques et fonctionnelles. La contrainte géométrique «surface horizontale» est en fait une contrainte conséquence d une contrainte fonctionnelle : «surface sur laquelle on peut poser des objets». C est pourquoi, nous pouvons affirmer que toute contrainte dans la description d un objet physique à fabriquer se traduit in fine par des contraintes géométriques [Maculet 1992]. Par exemple, lorsque le matériau d une pièce mécanique ou d un élément de la structure d un bâtiment a été choisi, une contrainte de résistance mécanique se traduit par une forme et des dimensions. Et ceci est d autant plus vrai que le problème de placement se pose dans la plupart des assemblages d objets artificiels : on essaye de mettre le maximum d objets dans un minimum d espace. Le produit, la hiérarchie spatiale, la hiérarchie fonctionnelle et la hiérarchie conceptuelle Un produit a d abord une fonction donnée (exemple : la table à concevoir est une table à manger). Ce produit est composé par une hiérarchie de différents objets plus simples. Une table est un assemblage d un plateau et de pieds. Chaque composant à une fonction déterminée. Comme le montre Brun [Brun 1997], durant le processus de conception, se développent parallèlement le modèle fonctionnel et le modèle matériel (physique) couplés dans le modèle produit. Les 2 arborescences deviennent de plus en plus détaillées tout le long du processus. La hiérarchie des composants du produit correspond à la hiérarchie fonctionnelle. La forme de l objet se précise par étapes. Le modèle géométrique assure la cohérence ce qui explique pourquoi la majorité des concepteurs est attachée au graphisme et au travail sur la géométrie. Ces hiérarchisations fonctionnelles et spatiales illustrent bien deux modes fondamentaux de l activité de notre pensée : la classification tout d abord et ensuite la hiérarchisation. Elles permettent d organiser et de structurer nos connaissances, et de créer ainsi de nouveaux concepts. Ainsi se créent des niveaux d abstraction plus élevés. Nous montons par niveau d abstraction dans une hiérarchie conceptuelle. Et le langage est l outil fondamental de création de concepts. Pour un concepteur, la profondeur des niveaux d abstraction dépasse rarement 4 ou 5. Cela semble une limite humaine pour appréhender un problème de conception. La conception est un processus de satisfaction de contraintes : L espace de conception d un objet artificiel est composé par 3 axes principaux : la fonction, la forme et la matière. Cet espace est immergé dans un ensemble de contraintes que l on peut nommer l environnement ou le contexte du projet. L imaginaire et la créativité du concepteur est au départ sans limites, sans contraintes. D où, les séances de «brain-storming». L espace des solutions est infini. Le concepteur part d un bloc de marbre vierge. Mais «il faut se limiter» quand on passe dans la réalité des choses. Il faut respecter les contraintes de l environnement. Au fur et à mesure, le concepteur intègre les contraintes du projet. Certaines contraintes peuvent être impératives, on doit les respecter d une manière absolue. D autres contraintes peuvent être plus ou moins respectées, elles sont non absolues. Les contraintes permettent de tailler dans le bloc de l espace total. Elles représentent les limites et la marge de manœuvre du concepteur. Si au début de la conception, le problème est sous-contraint, on arrive rapidement, par ajout successif de contraintes, à un problème sur-contraint. Il faut donc alors retirer ou relâcher certaines contraintes. Cette boucle de conception/reconception s arrête lorsque le concepteur estime qu au niveau de l avancement du projet (par exemple au niveau de l avant-projet sommaire) le problème est bien-contraint. Nous pouvons donc dire que la conception est un processus de satisfaction de contraintes car le problème de la conception est un problème ouvert, mal structuré. Le mot Satisfaction provient de «satisfacticing» d Herbert A. Simon [Simon 1974]. Ce prix Nobel est l un des fondateurs de l intelligence artificielle qui au début travaillait sur la résolution de problèmes puis sur les sciences de la conception. Ce terme Satisfaction indique bien que dans le processus de conception on ne recherche pas la solution optimale mais une bonne solution, une solution acceptable satisfaisante. Après une présentation du processus de conception d un objet physique comme d abord un processus d élaboration progressive des contraintes puis de satisfaction de ces contraintes, nous allons faire le point dans la section suivante sur les modeleurs CAO d aujourd hui.

7 7 3. Evolution des modeleurs de CAO Les modeleurs de CAO actuels permettent de plus en plus une mise à jour du modèle après une modification d une partie et d intégrer les intentions du concepteur. La tendance d évolution des systèmes de CAO est d intégrer au modèle purement géométrique d autres informations non géométriques et à des niveaux différents (par exemple les contraintes d ingénierie ou les features). L objectif est de permettre une mise à jour du modèle après une modification d une partie de l objet. La conception d un produit est un raffinement continuel, c est une boucle de conception/reconception. Plusieurs approches existent à l heure actuelle pour répondre à ces besoins: l approche paramétrique et l approche variationnelle d une part et l approche par features d autres part. (Il est à remarquer que certains auteurs mettent ces différentes approches dans la dénomination Parametric Design) La première distinction que l on peut faire est le niveau d abstraction. Le niveau paramétrique/variationnel est le premier niveau d abstraction de la modélisation géométrique, niveau que nous nommerons niveau1 (on introduira dans la suite le «niveau 0» qui est le niveau de manipulation des variables). Au «niveau 1», les objets manipulés sont les objets géométriques élémentaires (points, lignes, arcs...) de la géométrie. Les modeleurs CAO ont dès l origine travaillé avec ces éléments simples et c est à ce niveau que les modeleurs paramétriques et variationnels se placent pour résoudre les contraintes. Les contraintes géométriques élémentaires associées sont par exemple la distance entre 2 points (contrainte numérique), la relation de perpendicularité entre deux droites (contrainte booléenne). Avec l approche par features, les objets géométriques sont plus complexes : ils sont formés par un assemblage d éléments simples de niveau 1, par exemple une rainure dans une pièce mécanique. Nous nommerons ce niveau, «le niveau 2». Les modeleurs à base de features travaillent donc au «niveau 1» mais aussi au «niveau 2». Les contraintes «niveau 2» sont associées à ces objets «niveau 2». Par exemple, «la rainure fait la longueur de la pièce» est une contrainte de «niveau 2». Pour résoudre les problèmes de contraintes, on travaille la plupart du temps au niveau des variables (ou paramètres) que nous définissons comme niveau 0. Ainsi, le point peut être défini par 2 paramètres : x et y en 2D, et 3 paramètres (x, y, z) en 3D. La distance entre les deux points est alors une contrainte qui s exprime sous la forme d une fonction explicite (contrainte orientée) ou d une équation algébrique (contrainte non orientée). Nous avons là la deuxième distinction entre modeleurs : entre contrainte orientée et contrainte non orientée. Exemple de contrainte orientée : Soit un rectangle de longueur L et de largeur l. La largeur l est d abord déterminée, puis on détermine L avec la contrainte orienté : L := 2 * l. Il s agit d une fonction qui correspond en informatique à l affectation. L l Exemple de contrainte non orientée : L (2 * l) = 0. Ici on peut modifier indifféremment l ou L.

8 8 3.1 L approche paramétrique L approche paramétrique est la continuation naturelle des premiers modeleurs (B-Rep, CSG ). D un objet géométrique avec une configuration (positions, dimensions, orientations) parfaitement définie, on passe à un objet défini par des paramètres (ou variables). Le paramétrage est dimensionnel et fonctionnel. Par exemple, on peut considérer qu un modeleur CSG qui conserve l historique de construction est un modeleur paramétré dit «historybased». Cette approche est une approche procédurale, séquentielle, constructive car elle permet de modifier un modèle par changement des instanciations des objets géométriques dans un certain ordre seulement. Par exemple, un modeleur paramétrique permet de construire le triangle suivant défini par deux cotés et un angle C dac a A dab B Pour résoudre le problème, il suffit de le résoudre séquentiellement ; on positionne le point A, puis on trace la droite horizontale où l on porte le point B à la distance dab, ensuite on trace la droite qui fait un angle a avec AB et enfin on place le point C à une distance dac. Par contre, l exemple suivant d un triangle dont on ne connaît que la longueur des 3 côtés, ne peut pas être résolu séquentiellement. C dac dbc A dab B

9 9 Ici, il est nécessaire d appliquer les 2 distances dac et dbc simultanément pour résoudre le problème (la construction des 2 cercles est une solution au problème). Ce sont 2 contraintes couplées et le problème est cyclique. Une approche variationnelle est alors nécessaire. Cependant, l approche paramétrique est une approche efficace car on évite ainsi le bouclage de modification des objets. C est pourquoi les modeleurs paramétriques sont maintenant en 3D alors que les modeleurs variationnels sont aujourd hui encore essentiellement en 2D (les sketcheurs) à cause de la complexité de la résolution. Le graphe de contraintes entre des objets géométriques est un graphe orienté et les relations sont des fonctions (les noeuds sont les objets, les arcs sont les relations ou contraintes orientées). Un problème est dit paramétrique si ce problème peut être décomposé en un ensemble de sous-problèmes tel que chacun de ces sous problèmes peut se résoudre les uns après les autres d une façon séquentielle [Hoffman et al. 2001]. Ainsi, un seul objet est placé après le placement successif d autres objets. On a donc un historique de construction. Pour modifier le modèle, il faut reconstruire ainsi le modèle. On ne peut pas résoudre le problème globalement et placer les objets simultanément. Les limites de ces systèmes découlent de cette simplicité de résolution. Il n y a pas de couplage possible entre les contraintes géométriques et d ingénierie [Chung et al. 1989]. Chaque étape du processus de résolution utilise une seule contrainte sur les objets géométriques (cette contrainte est au «niveau 1» à laquelle correspond un sous-système d équations au niveau variables c est-à-dire au «niveau 0»). Les contraintes ne doivent pas être cycliques comme par exemple dans le cas typique de la construction du triangle dont on connaît les longueurs des 3 côtés ou des constructions à la règle et au compas [Lesage 2000]. Ce sont des sous-systèmes irréductibles. On peut dire qu un solveur paramétrique de contraintes résout un système non linéaire d équations qui a une structure triangulaire fixe, c est-à-dire pouvant être résolu par une séquence fixe [Hoffman 1998]. Le problème doit être impérativement bien-contraint. Or au cours de la conception, le problème est le plus souvent sous-contraint et parfois sur-contraint. Le problème n est bien-contraint qu à la fin de la conception. Aussi pour répondre mieux aux besoins du concepteur, s est développée l approche variationnelle. 3.2 L approche variationnelle Le terme géométrie variationnelle a été employé à partir de 1981 en CAO avec Lin, Gossard et Light [Lin et al. 1981]. L approche variationnelle est une approche complètement déclarative. Les objets géométriques (points, droites ) sont de même niveau («niveau 1») que pour le paramétrique. Les contraintes entre les objets sont dans les deux sens. Le graphe des contraintes est donc non orienté. Un problème est dit variationnel si ce problème peut être décomposé en sous-problèmes pouvant être résolus simultanément [Hoffman et al. 2001]. Avec un tel système, les objets sous contraintes sont placés simultanément les uns par rapport aux autres. Le solveur de contraintes doit résoudre donc simultanément un système de contraintes qui sont des contraintes géométriques mais aussi des contraintes d ingénierie. Or ces dernières sont souvent des relations entre des paramètres géométriques et non géométriques du produit. Cela induit donc généralement un fort couplage entre ces deux types de contraintes. Le solveur alors permet de trouver 0 (surcontraint), une, des voire les solutions (sous-contraint). Le concepteur peut à tout moment reformuler le problème. Ce type de système est plus proche de son processus de conception qui est une reconception permanente. Mais cette approche de résolution globale des contraintes est complexe. Plus le nombre d objets géométriques est grand, plus la résolution est difficile et le temps de réponse est long. Or le concepteur travaille en interactif sur les systèmes de CAO C est pour cette raison que les modeleurs variationnels sont pour l essentiel en 2D. On les appelle des stekcheurs car on peut travailler avec cet outil à l étape de l esquisse, de l ébauche et faire ainsi de la conception préliminaire. Pour répondre à ce défi, on a mis au point des méthodes de décomposition qui viennent compléter les méthodes de résolution. La troisième section présentera les méthodes utilisées et les recherches en cours.

10 L approche par features En français, les features se traduisent par identités ou caractéristiques. Il existe des features de plusieurs types en particulier des features de forme pour la géométrie. On a intégré au modèle de base des entités permettant de tenir compte du processus de fabrication. Ces entités sont des ensembles complexes d éléments simples. Les entités peuvent être géométriques mais aussi technologiques. La modélisation par features associe les informations fonctionnelles et d ingénierie aux informations géométriques et de forme dans le modèle produit. Dans la hiérarchie spatiale d une pièce, nous nous trouvons à un niveau plus élevé que dans l approche paramétrique ou variationnelle. Nous avons appelé ce niveau le «niveau 2» Les premiers travaux sont de Shah [1986] et Mark [1987]. Il existe deux types d approches pour les features [Shah et al. 1994] : l approche procédurale qui est similaire à l approche paramétrique en ce qui concerne la résolution et l approche déclarative similaire à l approche variationnelle. Mais la plupart des systèmes industriels de CAO basée sur la modélisation par features sont paramétriques, donc procéduraux et dépendant de l ordre de création des features). Ce sont des modeleurs history-based utilisant la B-Rep comme principal modèle géométrique. Nous allons dans le paragraphe suivant présenter la modélisation déclarative qui peut être vue comme une extension de la modélisation par features bien qu il n ait pas de lien historique entre ces 2 approches. Nous nous situons là à un niveau d abstraction encore plus élevé, à un niveau global car l approche déclarative se positionne au niveau de la modélisation conceptuelle et des concepts que l on peut générer à partir du cahier des charges. Nous avons nommé le niveau le «niveau 3» L approche déclarative Aujourd hui, la recherche en modélisation géométrique pour la CAO tend à proposer des outils à un niveau d abstraction plus élevé comme on l a vu précédemment avec l approche paramétrique et variationnelle qui se place au niveau objets géométriques élémentaires («niveau 1») et l approche par features qui est au niveau objets géométriques un peu plus complexes («niveau 2»). La modélisation géométrique déclarative se situe dans cette perspective et l on peut dire que l on passe à un «niveau 3» avec un modèle conceptuel ou sémantique. L'article de Lucas a posé les fondements de cette approche en 1989 [Lucas et al. 1989]. L'objectif est d'engendrer des objets physiques en donnant simplement un ensemble de propriétés. L'ordinateur construit une, des ou les solutions correspondant à la description. Le concepteur est ainsi libéré des calculs et peut se concentrer sur la phase de création. La modélisation déclarative part du cahier des charges et va jusqu à la conception préliminaire. Le but de cette approche est de faire rapidement des esquisses ou des ébauches de la forme de l objet à fabriquer et de poursuivre jusqu à la conception détaillée. Les domaines d application de cette approche sont variés : polyèdres [Martin 1988], contrôle spatial [Chauvat 1994], modélisation de scène en synthèse d images [Gaildrat 1993], [Plemenos 1994], courbes [Daniel 1996], [Daniel et al. 1997], surfaces [Lagreca et al. 2002]... Un système de modélisation déclarative comprend un outil de description, un outil de génération et un outil de prise de connaissance des solutions [Lucas et al. 1995] La description : la modélisation conceptuelle L outil de description permet au concepteur de décrire d une façon déclarative l objet ou l ensemble des objets qu il veut concevoir. On est ici dans la phase de la conception conceptuelle où l on doit expliciter le modèle conceptuel du système d information. Au fur et à mesure de la boucle de conception/reconception, la description de l objet, au départ vague et peu précise, s enrichira d informations géométriques et non géométriques et deviendra de plus en plus précise. A ce propos, Desmontils a introduit la logique floue en modélisation déclarative [Desmontils et al. 1997]. L interface privilégiée, car la plus simple à mettre en oeuvre, est le langage naturel ou un langage pseudonaturel avec un vocabulaire donné et un arbre de description [Daniel et al. 1997], [LaGreca et al. 2002]. Le

11 11 concepteur énonce dans sa langue un texte descriptif formé de phrases déclaratives c est-à-dire, suivant la terminologie grammaticale, non interrogatives et non exclamatives. Pour préciser le terme déclaratif, notons la définition d un langage informatique déclaratif :c est un langage avec lequel on pose le problème; la résolution se fait sans en indiquer la procédure, contrairement aux langages procéduraux.[laurière 1976]. On peut bien sûr imaginer tout mode d interface avec le concepteur : le clavier, des menus, la voix avec de la reconnaissance vocale, le geste en 2D avec la souris ou le stylet, le geste en 3D avec un gant numérique. Cependant, au niveau de la conception préliminaire, l outil privilégié du concepteur (l ingénieur, le designer ou l architecte) d un objet physique est le croquis, le schéma en 2D. Aussi des recherches sont menées dans ce sens [Qin et al. 2000] La génération d aucune, d une, de ou des solutions Toutes les propriétés que le concepteur a énoncées peuvent se traduire sous une forme ou sous une autre par des contraintes. Le problème posé par la description peut n avoir aucune, une, des solutions ou une infinité de solutions. Pour les trouver, on peut utiliser suivant le problème non seulement les méthodes de résolution et de décomposition, vues précédemment dans la section 3, mais aussi d autres méthodes de génération de formes. En effet, dans l approche déclarative, le système de contraintes est souvent, surtout au début de la boucle de conception/reconception, très sous-contraint. Ces méthodes peuvent se classer en 2 modes [Lucas et al. 95] : d une part, le mode exploration qui utilise des algorithmes spécifiques correspondant à des contraintes données, des arbres d exploration dans un univers de solutions possibles finis ou infinis (dénombrables) et, d autre part le mode échantillon, qui propose une solution avec des tirages aléatoires, sans contrôle ou avec contrôle, sur les paramètres de l objet à générer. Ce mode échantillon est bien adapté lorsque les solutions se trouvent dans un espace continu et quand le système de contraintes est très sous-contraint La prise de connaissance des solutions La prise de connaissance rapide des solutions proposées puis le choix d une ou de plusieurs solutions pour continuer la boucle de conception/reconception demandent des outils appropriés (choix automatique d un point de vue, possibilité d explorer visuellement un grand nombre de solutions potentielles...) Ce bref tour d horizon de la modélisation déclarative nous montre l importance du langage et de la modélisation conceptuelle pour passer du concept à l objet. Cependant, nous devons noter qu à l heure d aujourd hui, que la plupart des exemples traités avec cette approche correspondent à une exploration combinatoire ainsi que le peu d expérience dans la conception d objets complexes. Pour terminer notre article, nous présentons succinctement dans la prochaine section les différentes méthodes de résolution des systèmes de contraintes que l on rencontre en CAO. 4. Méthodes de résolution et de décomposition de contraintes en CAO L idée de travailler avec les contraintes est apparu dès le début de la modélisation géométrique en DAO avec Sutherland [Sutherland 1963]. À l heure actuelle, la modélisation par contraintes, en particulier avec le variationnel, aboutit à de grands systèmes d équations. Pour aider le concepteur qui travaille en interactif, il faut que la résolution soit efficace. Les systèmes d équations utilisées en CAO sont quelconques : linéaires, non linéaires polynomiaux, algébriques ou transcendants, ce qui accroît la difficulté de la résolution.. Pour résoudre simultanément un grand système d équations représentant des contraintes très interdépendantes, il est nécessaire de faire une décomposition en des sous-systèmes les plus indépendants possible, d où le concept de PPSI (Plus Petit Système Indépendant) [Lesage 2002]. Dans un problème industriel, le nombre d équations et de variables se compte en centaines voir en milliers. Nous allons présenter différentes méthodes de résolution puis de décomposition que l on a utilisées ou cherchées à utiliser en CAO.

12 Les méthodes de résolution Les méthodes formelles Les méthodes formelles (ou symboliques) donnent des résultats exacts mais sont lentes (temps exponentiel). Elles sont nombreuses : la méthode des bases de Gröbner [Chou et al. 1987], la méthode de Ritt-Wu [Wu 1986], [Gao et al. 1988], la méthode des résultants [Bondyfalat 2000]. On a aussi des méthodes à base de règles géométriques [Lathan et al. 1996] comme, par exemple les méthodes de construction formelle à la règle et au compas. Le logiciel de calcul formel Mapple a été utilisé [Nguyen et al. 1996]. On peut classer parmi ces méthodes l approche de Mathis [Mathis 1997], [Dufour et al. 1998]. Ces méthodes sont d ailleurs utilisées dans la plupart des méthodes de décomposition géométriques à base de règles Les méthodes numériques itératives Les méthodes numériques sont celles les plus employées car elles sont rapides (temps polynomial). Par contre elles ne sont pas exactes. Elles sont adaptées aux systèmes de grande taille de la CAO. Pour ces raisons, certaines de ces méthodes sont aujourd hui utilisées dans des logiciels de CAO industriels. Les méthodes classiques pour résoudre ces systèmes d équations non linéaires sont itératives. Il est absolument nécessaire avant d appliquer une des méthodes d avoir une solution approchée de la solution cherchée. Ce n est d ailleurs pas un inconvénient en CAO puisque le concepteur part toujours d une solution. A cette étape de la résolution, cette solution n est pas encore assez contrainte ; le système est sous-contraint. Le concepteur rajoute ensuite des contraintes. Sutherland [1963] et Borning [1981] ont utilisé, entre autres, une technique d approximation : une méthode de relaxation (minimisation de la somme des carrés des erreurs, c est-à-dire les écarts entre la valeur désirée de la contrainte et la valeur calculée). La méthode la plus employée est une méthode connue en Analyse numérique : la méthode de Newton-Raphton ou une variante [Lin et al. 1981], [Light et al. 1982], [Nelson 1985]. Cette méthode a un inconvénient, elle converge mal. La méthode par homotopie (dite aussi méthode de continuation) [Michelucci et al. 1994] [Lamure et al. 1995] converge d une manière plus continue, plus prévisible, moins chaotique que la méthode de Newton-Raphton. Ces méthodes sont plus ou moins compatibles avec les méthodes de décomposition. Ces méthodes ne sont pas bien sûr complètes. On n a pas toutes les solutions. Remarquons enfin que la résolution d un système d équation non linéaire peut être ramenée au calcul d un minimum d une fonction. Aussi voyons maintenant les méthodes d optimisation Les méthodes numériques d optimisation : équations, inéquations et fonction objectif Pour résoudre un système d équations ou/et d inéquations avec une fonction objectif à optimiser (recherche du maximum ou du minimum) on peut utiliser des méthodes de programmation mathématique et d optimisation combinatoire issus de la théorie des graphes et de la recherche opérationnelle [Gondran et al. 1979]: la programmation linéaire (par exemple la méthode du simplexe), optimisation non linéaire (gradient conjugué) avec contraintes, le recuit simulé, la méthode tabou, les algorithmes génétiques, les réseaux de neurones. En Cao, les multiplicateurs de Lagrange ont été utilisés ainsi que la méthode BFGS (Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) [Ge et al. 1999] ou le recuit simulé. Par exemple, quand on a un système linéaire d équations et/ou d inéquations, on utilise un algorithme du simplexe ou une méthode dérivée du simplexe sur les rationnels (réels en précision infinie). Dans les cas précédents, les variables sont continues (réelles). Cette condition est quasiment indispensable en CAO. Cependant, dans certains cas, on est obligé d utiliser des méthodes d optimisation avec des variables discrètes (entiers, booléennes, ); on peut utiliser la programmation en nombres entiers, en particulier les méthodes par séparation et évaluation qui sont à l origine des CSP que nous allons voir maintenant.

13 13 Les CSP discrets : Les méthodes CSP (Constraint Satisfaction Problems) pour les GCSP (Geometric CSP) Les méthodes CSP sont des méthodes issues de la recherche opérationnelle et l intelligence artificielle. Les premiers travaux datent de plus de vingt ans [Waltz 1972], [Montanari 1974], [Laurière 1976], [Macworth 1977]. Les CSP sont des contraintes quelconques entre des variables dont les domaines d instanciation (ou de définition ou de valeurs) sont discrets et les problèmes traités sont combinatoires. Un CSP est défini par -un ensemble de n variables V = {V1,, Vn} -un ensemble de n domaines D = {D1,, Dn} avec Di ensemble fini des valeurs associées à Vi -un ensemble de m contraintes = {C1,, Cm} avec Ci dépendant d un sous-ensemble des n variables. On cherche une, des ou les valeurs par variable satisfaisant l ensemble des contraintes. On est ici au niveau variables («niveau0»). Ces méthodes CSP discrètes, de complexité exponentielle, sont basées sur l énumération et le filtrage. Ce filtrage, appelé aussi propagation des contraintes, permet de réduire les domaines de définition des variables au fur et à mesure de la résolution. Mais il faut faire un compromis entre ce prétraitement et l énumération. On se contente donc de faire une propagation locale, en général la cohérence d arc : à chaque couple de variables en relation, on supprime les instances qui ne respectent pas cette contrainte. Pour une présentation des CSP avec un point de vue conception, on peut lire [Yannou 1998] La communauté CSP a développé des axes de recherche utiles au concepteur. Les CSP dynamiques permettent d ajouter ou de retrancher une ou des contraintes. Cela permet une utilisation interactive de cet outil par le concepteur. Au début du processus de conception, le problème est comme on l a vu sous-contraint. On peut donc renforcer ou rajouter des contraintes. Des algorithmes incrémentaux ont été développés. A un moment donné, le problème devient sur-contraint, il n y a plus de solutions. On doit alors relâcher ou enlever une ou des contraintes pour revenir à un système sous-contraint. A la fin du processus de conception, on obtient un système bien contraint. Un autre axe de recherche est intéressant pour la conception: la satisfaction partielle des contraintes. On fait ici la distinction entre contraintes absolues que le concepteur doit respecter strictement et les contraintes non absolues. Dans cette dernière catégorie, on peut établir des préférences, faire de l optimisation, introduire la logique floue Les GCSP : Si les CSP sont définis au niveau variables («niveau 0») par un triplet (X, D, C) avec X : Variables, D : Domaines des variables, C : Contraintes sur les variables, les GCSP eux sont définis au niveau objets géométriques («niveau1» et même «niveau2») par un triplet (O, G, C) avec O : Objets géométriques caractérisés par un ensemble de variables, G : Configuration ou domaines d instanciation des objets géométriques, C : Contraintes sur les objets géométriques. Ce groupement des variables par objet permet une meilleure efficacité de la recherche. Une des premières applications des CSP en modélisation géométrique (GCSP pour une application particulière) sur un problème quasi réel est la conception préliminaire d une maison individuelle composée d espaces architecturaux rectangulaires [Maculet 91], [Charman 95], [Medjoud 96], [Medjoud et al. 2000]. L espace architectural a été discrétisé avec une trame orthogonale régulière. Mais les temps de réponse sont incompatibles dans certains cas avec le travail interactif du concepteur (20 secondes maximum). Pour contourner la nature discrète des variables, on pourrait bien sûr utiliser des variables semi-continues (flottants correspondant à la précision désirée) mais on aurait alors une explosion combinatoire encore plus importante.

14 14 Les CSP continus : résolution par intervalles Aussi pour dépasser la limitation de ces CSP à variables discrètes, trop contraignante pour des GSCP généraux, on a développé des CSP et des GCSP avec des domaines à variables continues avec des intervalles réels. La propagation des contraintes se fait alors sur les intervalles puis il y a dichotomie. Cette technique de résolution par intervalles est un mariage entre l analyse par intervalles [Moore 1966] et les CSP [Davis 1987], [Falting 1994], [Lhomme & Rueher. 1997]. Plusieurs techniques ont été mises au point : 2B-consistance, 3B-consistance, kbconsistance, Box-consistance et Bound-consistance. Pour un panorama plus détaillé de ces techniques, lire [Delobel 2000]. Jermann a utilisé dans un GCSP de type général (pour un modeleur de type variationnel) la résolution par intervalles [Jermann 2002]. Comme nous l avons déjà précisé, les systèmes de contraintes en CAO étant très importants, il est absolument nécessaire de décomposer ces systèmes. C est ce que l on va voir maintenant. 4.2 Les méthodes de décomposition On peut classer les méthodes en 2 catégories : les méthodes de décomposition équationnelles et les méthodes de décomposition géométriques [Jermann 2002]. Les méthodes équationnelles se situent au niveau variables-équations, c est-à-dire au «niveau 0» et donc décomposent des CSP quelconques. Les méthodes géométriques sont au niveau objets géométriques-contraintes, c est-à-dire au «niveau 1» et s appliquent donc aux GCSP. Le graphe objets-contraintes est un graphe simplifié du graphe variables-équations. En effet, un objet géométrique (exemple un point A) étant représenté par un sommet dans le graphe des objets-contraintes, on peut ainsi fusionner en un seul sommet toutes les variables de cet objet (exemple XA, YA, ZA), chacune étant un sommet du graphe variables-équations. Chacune de ces 2 méthodes se subdivise en 2 sous-méthodes : les méthodes structurelles et les méthodes à base de règles. Les premières se basent sur la structure du système à décomposer pour identifier les sous-systèmes solubles. Les secondes s appuient sur un répertoire de modèles de sous-systèmes solubles pour faire la décomposition Les méthodes de décomposition équationnelles Les méthodes de décomposition équationnelles structurelles Ces méthodes s appliquent au graphe variables-équations («niveau0»). Pour la décomposition du système, on utilise le graphe bi-parti associé. Un graphe bi-parti est un graphe dont l ensemble des sommets peut être réparti en 2 ensembles tel que 2 sommets du même ensemble ne soient jamais adjacents. Ici, il suffit de prendre comme premier ensemble de sommets les variables et comme second ensemble les équations. La décomposition de ce graphe bi-parti non-orienté est basée sur le couplage maximum ou le couplage maximum pondéré [Gondran et al. 1979]. Le système d équations est décomposé en sous-systèmes sous, bien ou sur-contraints. Il existe plusieurs méthodes : de Lathan et Middledich [Lathan et al. 1996], de Hsu et Brüdelin [Hsu et al. 1997]. Ait-Aoudia, Jegou, Michelucci [Aitaoudia et al. 1993] et Bliek, Trombettoni, Neveu [Bliek et al. 1998] ont associés les deux méthodes :La méthode DM-CFC : DM pour Dulmage et Mendelsohn [Dulmage et al. 1958] et CFC pour Composantes fortement connexes. Lesage, Léon et Serré [Lesage et al. 2000] a aussi eu recourt à la DM-CFC considérant 2 graphes : celui des distances et celui des angles. Les méthodes de décomposition équationnelles à base de règles Une règle étant définie par un modèle de sous-graphe objets-contraintes, on cherche tous les sous-graphes du graphe objets-contraintes pouvant correspondre au modèle de sous-graphe associé à cette règle. On peut classer ces méthodes en 3 catégories : la propagation des degrés de liberté (méthode PDOF) [Sutherland 63], [Trombertoni 1997], [Bliek et al. 1998], la propagation de conflit [Borning 1981] et le couplage maximum [Serrano 1991].

15 Les méthodes de décomposition géométriques Ces méthodes travaillent toujours au niveau objets géométriques-contraintes (niveau1). Le principe est d identifier les sous-systèmes rigides. Un système rigide est l équivalent d un système bien-contraint. Le concept de rigidité est central dans ces techniques géométriques de décomposition. Un assemblage d objets est rigide s il est indéformable. Ce concept est issu de la topologie structurale [Graver 2002] qui étudie les structures à barres, de la mécanique des structures et de la théorie des mécanismes. Une structure est hyperstatique si le nombre d inconnues est plus grand que le nombre d équations d équilibre. Une structure est isostatique s il est égal. C est un mécanisme s il est inférieur. (Cela renvoie aux notions de système sur-contraint, bien-contraint et sous-contraint). Il faut noter qu il existe des structures isostatiques dites critiques qui ne sont pas rigides pour une position géométrique particulière, celle où le déterminant du système d équations d équilibre statique est nul. Ce sont des mécanismes particuliers. Le calcul de cette structure qui devient rigide par les déformations peut se faire avec la méthode itérative de relaxation dynamique [Maculet 1987]. Les méthodes de décomposition géométriques structurelles Il y a l approche descendante de Owen [Owen 1991] de D-Cubed Ltd avec le solveur DCM 2D, celle de Hoffman, Lomonosov et Sitharane (HLS)[Hoffman et al. 1997]. Cette méthode HLS de rigidification récursive a été utilisée par Jerman dans laquelle il a rajouté les concepts de degré de rigidité et de rigidité structurelle étendue. On a aussi la méthode ascendante (constructive) de Fudos-Hoffman [Bouma et al. 1995], la méthode de Bondyfalal [2000] et la méthode de Hoffman et Joan-Arinyo [Hoffman et al. 1997] Les méthodes de décomposition géométriques à base de règles La décomposition se fait ici avec le mécanisme d unification de Prolog par exemple [Brüderlin 1986], avec le moteur d inférence d un système expert [Verroust 1990], avec l analyse des degrés de liberté [Kramer 1991]. On trouve aussi la méthode de Mathis [Mathis 1997], [Dufour et al. 1998], la méthode de Sosnov et Macé [2002], la méthode de Joan-Arinyo et Soto-Riera [1999]. Pour plus de détails sur ces méthodes, voir [Jermann 2002]. Il est souhaitable de choisir une méthode de décomposition permettant une collaboration entre différentes méthodes de résolutions comme la méthode HLS. Ainsi chaque sous-système décomposé est résolu par le solveur le plus approprié. Ainsi, on peut obtenir un modeleur CAO efficace car le temps de décomposition est polynomial et est donc négligeable par rapport au temps de résolution. 5- Conclusion La conception d un objet physique est vue dans cet article d abord comme un processus d élaboration de contraintes sachant que toute propriété peut se traduire par des contraintes. La conception devient alors un processus de satisfaction de contraintes. Nous avons avancé aussi que ces contraintes s expriment in fine par des contraintes géométriques. Nous avons suivi le fil de l évolution des logiciels de CAO : du DAO vers une véritable aide à la conception. L apport de cet article est de montrer que le concept de contrainte est indispensable pour obtenir cet véritable outil de conception, basé sur un modèle géométrique enrichi de connaissances non géométriques de plus en plus nombreuses et de plus en plus de haut niveau. Nous avons défini ici différents niveaux dans la hiérarchie spatiale : le «niveau 1» pour les objets géométriques simples (points, droites...) utilisés dans l approche paramétrique et variationnelle, le «niveau 2» pour les objets géométriques composés d éléments simples de l approche par features, le «niveau 3» pour l approche déclarative où nous avons introduit le modèle conceptuel d objets sous contraintes (le «niveau 0» est quant à lui pour les variables mathématiques). Cette approche conceptuelle (ou sémantique) de la modélisation s ouvre sur la représentation des connaissances étudiée ces 20 dernières années en intelligence artificielle et en sciences cognitives. L application la plus utilisée aujourd hui en informatique est la représentation des connaissances par objets. Elle est issue des réseaux sémantiques. Rappelons qu un réseau sémantique est un graphe orienté dont les sommets et les arcs sont étiquetés. Et

16 16 ce type de représentation par objets s est beaucoup plus développé à l heure actuelle que les représentations s exprimant directement en logique mathématique (logique des propositions, des prédicats...). La représentation des connaissances spatiales est étudiée depuis 10 ans [Jeansoulin 1996][Ligozat 1993] alors que la représentation des connaissances temporelles depuis 20 ans. Les 13 relations temporelles ont été identifiées par Allen en 1981 [Allen 1981] et les 8 relations spatiales (RCC-8) par Maculet [1991] et par Randell, Cui et Cohn (RCC) [1992]. La description d un cheminement ou d un objet pour une implémentation informatique est l un des enjeux de ce domaine. Simon [1974] n avait-il pas écrit :«...la représentation de l espace et des objets dans l espace sera un des thèmes centraux de la science de la conception»? D un autre côté, la systémique, science de la modélisation des systèmes complexes, issue de la cybernétique et du structuralisme est une métaconnaissance du processus de modélisation. Cette approche globale de la réalité s appuie sur la notion de système. Un système est un ensemble d éléments en interaction dynamique, organisé en fonction d un but [Le Moigne 1978]. Le système peut être ouvert et interagit donc avec son environnement. Un système a un aspect structural, organisation spatiale des éléments du système, et a un aspect fonctionnel, organisation temporelle des processus et des phénomènes dépendant du temps. Aujourd hui, les systèmes d information se fondent sur une approche systémique et les approches objets telles que OOM et UML. Ces modèles conceptuels peuvent être considérer comme un prolongement de cette approche systémique. Cette approche s est maintenant généralisée en informatique aux méthodes de conception et de développement ainsi qu aux bases de données. Cette représentation des connaissances par objets pour la modélisation et le traitement des informations développée depuis plus d une dizaine d années en informatique. Elle aboutit aujourd hui à un standard de fait, le langage UML, en particulier pour les systèmes d informations des entreprises. Dans le domaine de la CAO, la tendance est la même : le standard STEP de description et d échanges de données s impose. Remarquons pour terminer tant dans UML que dans STEP on a introduit un langage déclaratif basé sur les contraintes : OCL (Object Constraint Language) pour UML et l extension ISO TC184/SC4 pour STEP. Bibliographie [Ait-Aoudia et al. 1993] S. Ait-Aoudia, R. Jegou, D. Michelucci, Reduction of constraint systems, Proceedings of the Compugraphics Conference, Alvor, Portugal, pp , [Allen 1981] Allen J.F., A general model of action and time, TR 97, University of Rochester, Departement of Computer Science, [Bliek et al. 1998] C. Bliek, B. Neveu, G. Trombettoni, Using graph decomposition for solving continuous CSPs, Principles and Practice of Constraint Programming, CP'98, Springer LNCS 1520, pages , Pise, Italie, novembre 98. [Bondyfalat 2000] D. Bondyfalat, Interaction entre symbolique et numérique: application à la vision artificielle, Thèse de doctorat en informatique, Université de Nice Sophia Antipolis, [Borning 1981] A. Borning, The programming language aspects of thinglab, a constraint oriented simulation laboratory, ACM Transactions on Programming Languages and Systems, 3: , octobre [Bouma et al. 1995] W. Bouma, I. Fudos, C. M. Hoffmann, J. Cai, R. Paige, A Geometric Constraint Solver, Computer-Aided Design, vol. 27, no. 6, pp , [Brüderlin 1986] B. Brüderlin, Constructing three-dimensional geometric objects defined by constraints, Proceedings of the ACMSiggraph Workshop in Interactive 3D Graphics, Chapel Hill, North Carolina, pp , [Brun 1997] Brun Jean-Marc, «Modèle produit : les conditions de cohérence et leur évolution au cours du processus de conception», Revue de CFAO et d informatique graphique, Vol. 12, n 5, 1997, pp

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