Sommaire. Torseur cinétique- Torseur dynamique - Énergie cinétique. Papanicola. 7 octobre P/R dm (1)

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Sommaire. Torseur cinétique- Torseur dynamique - Énergie cinétique. Papanicola. 7 octobre 2012. P/R dm (1)"

Jean Bédard
il y a 7 ans
Total affichages :

1 Cinétique - - Papanicola Lycée Jacques myot 7 octobre 01 Sommaire ésultante cinétique Changement de point Solide indéformable Changement de point de réduction elation entre et δ Solide indéformable Solide indéformable cas particuliers Caractéristiques cinétiques d un ensemble de solide d un ensemble de solides d un ensemble de solides d un ensemble de solides p E/ CE/,E/ V P/ dm P V P/ dm Le torseur cinétique est le torseur des quantités de mouvement d un système matériel E dans son mouvement par rapport au référentiel. (1) p E/ CE/,E/ V P/ dm P V P/ dm V P/ : Vitesse du point P du système matériel E dans son mouvement par rapport au référentiel ; p E/ V P/ dm : ésultante cinétique de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à ;,E/ P V P/ dm : Moment cinétique au point de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à.

torseur cinétique est le torseur des quantités de mouvement d un système matériel E dans son mouvement par rapport au référentiel.

2 ésultante cinétique Soit O un point lié au référentiel et G le centre d inertie de l ensemble matériel E, par définition du centre d inertie : m E OG OP dm. En dérivant par rapport [ au temps ] [ dans : ] d d m E OG OP dm. Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut inverser la dérivation par rapport au temps et l intégration sur la masse : d d m E OG OP dm. On reconnaît la vitesse du point G et celle du point P par rapport au référentiel : p E/ V P/ dm m E V G/ () Changement de point Le champ des moments cinétiques,e/ est équiprojectif, on peut donc écrire : soit B,E/,E/ + B p E/ (3) B,E/,E/ + B m E V G/. (4) L hypothèse de solide indéformable, permet d associer les propriétés du champ des vecteurs vitesses d un solide aux propriétés du torseur cinétique. insi, pour P et deux points liés au solide : V P S/ V S/ + Ω S/ P (5) avec Ω S/ : le vecteur rotation du solide S par rapport au référentiel d où le torseur. p S/ V P S/ dm CS/,S/ P V P S/ dm (6) - résultante cinétique La résultante cinétique devient : p S/ V P/ dm m s V G S/. (7)

Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut inverser la dérivation par rapport au temps et l intégration sur la masse : d d m E OG OP dm.

3 - moment cinétique Déterminons le moment cinétique :,S/ P ( V P S/ dm P V S/ + Ω S/ ) P dm ( ) P dm V ( S/ + P Ω S/ P ) dm avec : P dm m s G et ( P Ω S/ P ) dm I (S) Ω S/,E/ m s G V S/ + I (S) Ω S/. (8) ésultante cinétique Moment cinétique p S/ V P/ dm m s V G S/. (9),E/ m s G V S/ + I (S) Ω S/. (10) - Cas particulier G fixe Mvt de translation G,E/ I G (S) Ω S/,E/ I (S) Ω S/,E/ m s G V S/ Le torseur dynamique est le torseur des quantités d accélération d un système matériel E dans son mouvement par rapport à : E/ Γ P/ dm DE/ δ,e/ P Γ (11) P/ dm

4 Γ P/ : accélération du point P de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à ; E/ Γ P/ dm : résultante dynamique de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à, on montre aussi que E/ m E Γ G/ ; (1) δ,e/ P Γ P/ dm : moment dynamique en de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à. Changement de point de réduction Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur. Pour changer de point de réduction on utilise donc la relation générale des torseurs : δ B,E/ δ,e/ + B m E Γ G/S. (13) elation entre et δ,e/ P V P/ dm, on peut écrire en dérivant d,e/ d P [ d V P/ dm P ] V P/ dm d P d V P/ dm + P V P/ dm [ d OP ] O V P/ dm + P Γ P/ dm ( V P/ ) V / V P/ dm + P Γ P/ dm d,e/ P Γ P/ dm V / V P/ dm elation entre et δ d,e/ P Γ P/ dm P Γ P/ dm δ,e/ ; V / V P/ dm V / V / V P/ dm V P/ dm m E V / V G/. D où la relation cherchée entre le moment dynamique et le moment cinétique : d δ,e/,e/ + m E V / V G/ (14) un point géométrique quelconque et G le centre d inertie de cet ensemble matériel.

Changement de point de réduction Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur.

5 elation entre et δ Finalement d δ,e/,e/ + m E V / V G/ Cas particuliers G : δ d G,E/ G,E/ ; fixe de : δ d,e/,e/. Détermination du moment dynamique Il est en général plus facile de déterminer le moment cinétique que le moment dynamique (le champ des vitesses est en général connu) puis de dériver. On choisira de le calculer en un point caractéristique. Pour obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant les moments d un torseur. Pour un solide, à partir de la relation de composition des vitesses des points du solide : V P S/ V Q S/ + Ω S/ QP. ésultante dynamique : S/ m S Γ G S/ (15) Moment dynamique en point géométrique : d δ,s/,s/ + m S V / V G S/ (16) ttention Cette dernière relation est à manipuler avec précaution, en effet V / n est pas toujours facile à évaluer pour un point quelconque, on se limitera donc à calculer le moment dynamique uniquement en des points avec des propriétés particulières. Cas particuliers est confondu avec G, alors : d δ G,S/ G,S/ ; (17) est un point fixe de, alors : d δ,s/,s/. (18) Puis on utilisera la relation de changement de point des torseurs. δ B,S/ δ,s/ + B m S Γ G/S. (19) s Masse ponctuelle L énergie cinétique élémentaire d un point P affecté de la masse dm dans son mouvement par rapport à un repère est donnée par : dt P/ 1 V P/ dm (0) Ensemble matériel L énergie cinétique d un ensemble matériel E en mouvement par rapport à un repère est alors : T E/ 1 V P/ dm (1) L unité de l énergie cinétique est le Joule.

On choisira de le calculer en un point caractéristique. Pour obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant les moments d un torseur.

6 Soit un solide S de masse m, de centre d inertie G, en mouvement par rapport à un repère, un point lié au solide. On peut alors écrire l énergie cinétique du solide dans son mouvement par rapport au référentiel : T S/ 1 V P S/ dm. () Déterminons l énergie cinétique d un solide : T S/ 1 V P S/ dmavec VVPS/ V S/ + Ω S/ P 1 ( V S/ + Ω S/ P) dm 1 ( ( V S/ dm + Ω S/ ) ) P dm T S/ 1 V ( S/ dm + V S/ Ω S/ ) P dm + 1 ( Ω S/ P) dm T S/ 1 V ( S/ dm + V S/ Ω S/ ) P dm + 1 ( Ω S/ P) dm V S/ et Ω S/ indépendant de dm 1 m SV S/ + V ( ) S/ Ω S/ P dm + 1 ( Ω S/ ) ( P Ω S/ ) P dm On reconnaît le produit mixte ( #» u #» v ) w #» invariant par permutation circulaire avec #» u Ω S/, #» v P et w #» ( Ω S/ P ) avec T S/ 1 m SV S/ + m S Ω ( S/ G V ) S/ + 1 ( ( P Ω S/ )) P Ω S/ dm ( ( P Ω S/ P )) dm I (S), l opérateur d inertie du solide S en. Finalement la relation permettant de déterminer l énergie cinétique d un solide : T S/ 1 m SV S/ + m S Ω ( S/ G V ) S/ (3) + 1 Ω S/ I (S) Ω S/

() Déterminons l énergie cinétique d un solide : T S/ 1 V P S/ dmavec VVPS/ V S/ + Ω S/ P 1 ( V S/ + Ω S/ P) dm 1 ( ( V S/ dm + Ω S/ ) ) P dm T S/ 1 V ( S/ dm + V S/ Ω S/ ) P dm + 1 ( Ω S/ P) dm T S/

7 T S/ 1 m SV S/ + m S Ω ( S/ G V ) S/ + 1 Ω S/ I (S) Ω S/ (4) Cette relation est assez difficile à utiliser, montrons que dans le cas d un solide, l énergie cinétique peut aussi se calculer en réalisant le comoment des torseurs cinématique et cinétique. T S/ 1 VS/ CS/ (5) Torseur cinématique en du solide S par rapport : Ω V S/ # S/» ; V S/ du solide S par rapport ms : C V S/ G S/,S/ T S/ 1. V S/ C S/ 1 Ω # S/» V S/ 1 1 Ω S/ ms V G S/,S/ Ω S/,S/ + m S V S/ V G S/ ( m s G V S/ + I (S) Ω ) S/ + m S V S/ T S/ 1 m SV S/ + m S Ω S/ ( G V ) S/ V G S/ + 1 Ω S/ I (S) Ω S/ On retrouve bien le même résultat. Cette relation est souvent plus facile à mettre en œuvre que la relation générale. L énergie cinétique ne dépend pas du point de calcul, il est donc toujours intéressant de la calculer en un point avec des propriétés simplificatrices. Pour un mouvement de translation, T S/ 1 m SV S/ 1 m S V G S/ En G, centre d inertie du solide : I G (S) la matrice d inertie du solide S en G, (6) T S/ 1 m SV G S/ + 1 Ω S/ I G (S) Ω S/ (7). Pour un mouvement de rotation de centre C, point fixe dans le mouvement de rotation ( rotule ou gyroscope) par rapport au référentiel avec I C (S) la matrice d inertie du solide S en C ; T S/ 1 Ω S/ I C (S) Ω S/ (8) Pour un mouvement de rotation autour d un axe fixe (C, #» u ), dans le référentiel, en C point fixe de l axe de rotation du solide S par rapport au référentiel. T S/ 1 Ω S/ I C (S) Ω S/ 1 I u ω u (9) avec I u le moment d inertie autour de l axe (C, #» u ) et ω u, la vitesse de rotation.

V S/ C S/ 1 Ω # S/» V S/ 1 1 Ω S/ ms V G S/,S/ Ω S/,S/ + m S V S/ V G S/ ( m s G V S/ + I (S) Ω ) S/ + m S V S/ T S/ 1 m SV S/ + m S Ω S/ ( G V ) S/ V G S/ + 1 Ω S/ I (S) Ω S/ On retrouve bien le

8 Caractéristiques cinétiques d un ensemble de solide d un ensemble de solides Soit E un ensemble de n solides S i, en mouvement par rapport au repère Le torseur cinétique d un ensemble de solide, est la somme (en un même point) des torseurs cinétiques de chaque solide. CE/ CSi / (30) La résultante cinétique d un ensemble de solides est la somme des résultantes cinétiques et le moment cinétique en un point d un ensemble de solides est la somme des moments cinétiques de chaque solide en ce même point. p E/ p Si /,E/,Si / (31) Caractéristiques cinétiques d un ensemble de solide d un ensemble de solides Le torseur dynamique d un ensemble de solide, est la somme (en un même point) des torseurs dynamique de chaque solide. DE/ DSi / (3) La résultante dynamique d un ensemble de solides est la somme des résultantes dynamiques et le moment dynamique en un point d un ensemble de solide est la somme des moments dynamiques de chaque solide en ce même point. E/ Si / δ,e/ δ,si / (33) Caractéristiques cinétiques d un ensemble de solide d un ensemble de solides L énergie cinétique d un ensemble de solide est la somme des énergies cinétiques. T E/ T Si / (34) En décomposant sur chaque solide : T E/ 1 VSi / CSi / T E/ 1 Ω Si / mi V Gi S i / V (35) i S/ i,s i / i i emarque : l énergie cinétique ne dépendant pas du point de calcul du comoment, chaque comoment peut-être calculé en un point particulier caractéristique du mouvement considéré.

CE/ CSi / (30) La résultante cinétique d un ensemble de solides est la somme des résultantes cinétiques et le moment cinétique en un point d un ensemble de solides est la somme des moments cinétiques

Documents pareils

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement