Géoréférencement et RGF93

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1 Géoréférencement et RGF93 Théorie et concepts - Fiche T9 T9 Janvier 2010 Distances et surfaces : comment prendre en compte l altération linéaire? 2010/09 Introduction La Terre est modélisée sous la forme d'un ellipsoïde sur lequel les objets sont géoréférencés à l'aide de coordonnées géographiques. Sur cette surface mathématique, on sait mesurer un angle, une distance ou une surface. C'est cet ellipsoïde qui servira, dans la plupart des cas, de référence pour toute mesure linéaire ou surfacique. L'objectif des projections cartographiques est bien de passer d un référentiel en trois dimensions matérialisé par des coordonnées géographiques à un référentiel plan matérialisé par des coordonnées cartographiques planes. Malheureusement, les ellipsoïdes ne sont pas des surfaces développables. Le passage d une représentation courbe de la Terre à une représentation plane n est jamais parfait. Ce passage se fait par un modèle mathématique de déformation qui permet de prendre en compte certaines propriétés géométriques des référentiels. Il existe de nombreuses méthodes mathématiques plus communément appelées projections pour représenter sur un plan, des éléments qui sont situés sur un ellipsoïde. Il existe une infinité de projections. En général, on classe les projections selon 3 critères : Le type de déformations induites qui aura un impact sur la qualité géométrique, Le type de canevas qui influe sur la représentation des méridiens et des parallèles sur le plan, L aspect de la représentation pour l'orientation de la surface de projection par rapport à l'ellipsoïde. Même en minimisant tous ces effets, le passage d une représentation courbe de la Terre à une représentation plane, entraîne des déformations géométriques qui affectent les distances, les angles et les surfaces Il est impossible de construire des projections qui conservent à la fois les angles et les surfaces. En revanche, certaines projections conservent seulement les angles, d'autres seulement les surfaces. On classe les projections planes selon leurs propriétés géométriques : Les projections conformes conservent localement les angles, les formes. Les projections équivalentes conservent les surfaces. Les autres projections sont dites aphylactiques. Ainsi, en fonction de ces caractéristiques géométriques, on trouvera des utilisations différentes pour chaque type de projection : Représentations conformes : l'angle mesuré en représentation plane est égal à l'angle correspondant sur la sphère ou l'ellipsoïde. Utilisation : sciences géographiques, artillerie, navigation. Représentations équivalentes : intérêt pour le calcul des petites aires. Utilisation : calcul de l'impôt foncier (cadastre), études d'occupation des sols, etc. Représentations aphylactiques : elles permettent de ne pas avoir des déformations angulaires ou aérolaires (surfaciques) extrêmes et laissent une grande "liberté esthétique" au cartographe. Utilisation : représentations générales de la Terre à très petite échelle. Si certaines projections conservent les angles, d'autres les surfaces, aucune projection ne conserve les distances. Ainsi, une distance mesurée sur une carte ou un plan n est pas égale à la distance de référence mesurée sur l ellipsoïde. Nous présentons dans cette fiche le cas des projections coniques Lambert. 1 Fiche T9 - Distances et surfaces Janvier 2010

2 Quelques notions de distance Si l on considère le plan vertical passant par deux points A et B de la surface terrestre et le centre de la terre, h A est la hauteur au dessus de l ellipsoïde du point A, h B celle de B. Ao (Bo) est l'intersection entre la droite passant par A (B) et le centre de l'ellipsoïde de référence et la surface de cet ellipsoïde. On peut définir plusieurs distances entre A et B : 1. Distance suivant la pente ou distance spatiale : Dp C'est la distance du plus court chemin séparant A de B. Elle peut être mesurée sur le terrain et tient compte de la topographie des lieux. Sa précision est directement liée à l'outil de mesure utilisé. Dp = AB 2. Distance réduite à la surface de référence ou distance sur l'ellipsoïde : D 0 Sur un plan ou sur une carte, ou pour une distance très grande, il est impossible de connaître la véritable distance spatiale car on ne mesure qu une distance projetée. A défaut de distance spatiale, on préfère généralement utiliser une distance équivalente calculée sur la surface mathématique de référence. C'est la distance sur l'ellipsoïde. Il s'agit du plus court chemin pour aller de Ao à Bo en suivant la surface de l'ellipsoïde. Cette distance de référence n'est pas strictement égale à la distance spatiale que l'on mesurerait sur le terrain, mais elle s'en approche et surtout, on sait la mesurer facilement et avec exactitude. D 0 = A 0 B 0 3. Distance horizontale : Dh La distance horizontale est mesurée sur la surface de niveau passant soit par le point le plus bas, soit par le point le plus haut ou mieux encore, à la hauteur moyenne des deux points. Dh = AB si on la calcule à la hauteur du point A (cf. schéma ci-dessus) Pour la distance définie à la hauteur moyenne de A et B. Dh moyen = D 0 (1 + (h A + h B )/2R) avec R = m (rayon moyen de la terre approximé à une sphère) Le tableau suivant donne les écarts Dh D 0 Hauteur moyenne Dh D 0 sur une distance de 1000 m en cm pour une distance de 1000 m selon la hauteur moyenne des points A et B. 100 m 1,6 cm Remarque : on peut généralement confondre 500 m 7,8 cm hauteur ellipsoïdale et altitude en France, sauf 1000 m 15,7 cm pour de très grandes distances m 31,4 cm 3000 m 47,1 cm 4000 m 62,5 cm 2 Fiche T9 - Distances et surfaces Janvier 2010

3 4. Distance réduite à la représentation plane : Dr C'est la distance cartésienne mesurée sur une carte ou sur un plan. Elle est généralement mesurée à l'aide d'une règle graduée sur un document papier ou à l'aide d'un outil informatique équivalent dans un logiciel de topographie ou SIG. On calcule alors la distance entre deux points A et B, appelée distance cartésienne, en appliquant le théorème de Pythagore : Il suffit alors de calculer l'altération linéaire propre de la distance AB pour obtenir la distance sur l'ellipsoïde. D 0 = Dr + altération linéaire Altération linéaire Pour un utilisateur SIG, la notion de distance est presque toujours liée à une représentation plane. Ses besoins se limitent, très souvent, à mesurer une distance ou une surface sur des données numériques en coordonnées planes. Dans ce cas, on ne retiendra que deux distances, la distance réduite à la représentation plane (Dr) et la distance de référence sur l'ellipsoïde (D 0 ) que l'on pourra obtenir après calcul de l'altération linéaire. Dans une zone géographique subissant de faibles altérations linéaires, pour des mesures de très courtes distance ou pour des travaux dont la précision est décamétrique on confond les deux distances Dr et D 0. Autrement, toute mesure de distance doit tenir compte de l'altération linéaire. Rappel théorique Module linéaire : m = Dr / D 0 C'est le rapport entre une distance en projection et la distance équivalente sur l'ellipsoïde. Altération linéaire : e = m 1 Calcul de l'altération linéaire pour une projection Lambert sécante m : module linéaire N : grande normale : latitude isométrique ϕ : latitude du lieu ϕ 0 : latitude origine de la projection a : demi-grand axe de l'ellipsoïde e : première excentricité de l'ellipsoïde Formule approchée d : distance à l'isomètre central (parallèle de latitude ϕ 0 qui peut être approximé par Y Y 0 ) R = 6378 km 3 Fiche T9 - Distances et surfaces Janvier 2010

4 Paramètres des projections Projection ϕ 0 Y 0 (m) k 0 n C Lambert ' , , ,426 CC , , ,058 CC , , ,119 CC , , ,269 CC , , ,393 CC , , ,698 CC , , ,882 CC , , ,995 CC , , ,901 CC , , ,252 Altération surfacique La projection conique de type Lambert est dite conforme. Elle conserve les angles mais pas les surfaces dont l'altération entre représentation plane et ellipsoïde est directement liée à l'altération linéaire. Pour l'altération surfacique (ou aréolaire) son module n'est autre que le carré du module linéaire, on a donc : module surfacique = (module linéaire)² soit 1 + e S = (1 + e L )² = e L + e L 2 d'où e S = 2e L + e L 2 1. Le passage au RGF93 : impact sur les surfaces Le changement de système de référence induit un changement d'ellipsoïde ce qui se traduit par une légère évolution des surfaces de référence, calculées sur l'ellipsoïde. Dans le cas du passage au RGF93, on passe de l'ellipsoïde Clarke IGN 1880 à l'ellipsoïde international IAG GRS 80. Quel est l'impact sur les surfaces mesurées? En calculant les modules surfaciques des deux systèmes, on peut évaluer l'évolution des surfaces selon qu'elles sont calculées dans l'un ou l'autre des deux systèmes (Cf. tableau cidessous). Latitude Variation de surface entre NTF et RGF93 Latitude Variation de surface entre NTF et RGF93 41,3-0,25 % 47-0,16 % 42-0,24 % 48-0,14 % 43-0,23 % 49-0,12 % 44-0,21 % 50-0,11 % 45-0,19 % 51-0,09 % 46-0,18 % En conclusion, une surface sur l'ellipsoïde d'un polygone en Lambert II étendu verra sa valeur diminuer entre -0,09 % et -0,25 % selon la latitude après sa reprojection en Lambert Les outils de calcul Pour ceux que les formules effraient, il existe bien évidemment des outils qui permettent rapidement, à partir de la latitude d'un lieu, de connaître l'altération linéaire locale. 4 Fiche T9 - Distances et surfaces Janvier 2010

5 a) Le logiciel CIRCE de l'ign Nous rappelons que ce logiciel, distribué par l'ign, est gratuit. Il peut être téléchargé à partir du site de l'ign à l'adresse suivante : Ce logiciel calcule l'altération linéaire en un point, quand on transforme ses coordonnées en coordonnées planes. L'altération est fournie en mm/km. b) La feuille de calcul du CERTU : Nom du fichier : Calcul_altération_linéaire_sécant.ods Cette feuille de calcul développée sur le module Calc de la suite libre OpenOffice est constituée de 3 feuilles distinctes : Feuille «Calcul altération» : Elle permet de calculer l'altération linéaire en un point en saisissant sa latitude en degrés décimaux. Les projections prévues sont le Lambert 93 et les 9 projections coniques conformes CC42 à CC50. Les altérations sont fournies en m/km avec 4 décimales pour le Lambert 93 et en cm/km avec 2 décimales pour les coniques conformes. Elle permet également le calcul d'une longueur sur l'ellipsoïde à partir des coordonnées des extrémités d'un segment en projection et de l'altération linéaire en ces deux points. Feuille «Tableau par latitude» : Cette feuille est un tableau qui fournit les altérations linéaires sur la France entière calculées tous les dixièmes de degré pour les projections du RGF93 et celles de la NTF. Elle sont proposées en m/km avec 4 décimales. Ce tableau permet d'interpoler rapidement une altération linéaire en fonction de sa latitude. Feuille : «Graphiques» : Présentation des altérations linéaires des projections liées aux anciens et nouveaux systèmes de référence français. c) Table MapInfo des altérations linéaires par commune Nous proposons, pour les communes de la France métropolitaine, une table MapInfo des altérations linéaires calculées au centroïde de chaque commune. Cette table est donc constituée de points représentant les centroïdes des communes et comportant les attributs suivants : Nom_Région : nom de la région Nom_Département : nom du département Nom_Commune : nom de la commune Code_INSEE : code INSEE de la commune Statut : Commune simple, canton, préfecture, sous-préfecture Long : longitude en Lambert 93 en degrés décimaux Lat : latitude en Lambert 93 en degrés décimaux Altération_m_par_km : altération linéaire calculée au centroïde de la commune en m/km Le fichier est téléchargeable sous le nom de Centroïdes_commune_altération.tab Cette table n est pas disponible sur Internet. d) Grille des altérations linéaires sous MapInfo A partir de la table précédente des centroïdes des communes, nous avons calculé, à l'aide de Vertical Mapper, une grille régulière au pas de 1 km où chaque pixel comporte l'altération linéaire moyenne comme attribut. Cette table est téléchargeable sous le nom de Grille_Altération_L93.tab 5 Fiche T9 - Distances et surfaces Janvier 2010

6 Dans la pratique L'altération linéaire représente l'écart qui existe entre une longueur mesurée sur la surface de référence et sa projection sur une représentation plane. La subtilité de cette grandeur est difficile à percevoir car elle s'applique à un élément linéaire, alors qu'elle se calcule en un point. Ainsi, pour corriger la longueur d'un segment AB, on calculera l'altération linéaire en chaque extrémité et on retiendra la moyenne à appliquer au segment. L'objectif est de calculer la distance de référence mesurée sur l'ellipsoïde (D 0 ) d'un segment AB à partir de sa longueur cartésienne mesurée sur une carte (D r ). 1. Mesure de la distance cartésienne Cette mesure peut être obtenue de plusieurs manières : Mesure avec une règle graduée sur une carte papier Mesure avec un outil spécifique d'un logiciel Mesure à partie des coordonnées planes de chaque extrémité (X A, Y A, X B, Y B ) 2. Calcul de l'altération linéaire en A et B Pour calculer l'altération linéaire en chaque extrémité : Convertir les coordonnées cartésiennes de A et B en coordonnées géographiques (l'altération linéaire est fonction de la latitude) Avec le logiciel CIRCE de l'ign Avec le logiciel MapInfo (Longitude/Latitude) Calculer l'altération linéaire en A et en B Avec le logiciel CIRCE de l'ign (lors d'une transformation en coordonnées plane, en mode interactif, CIRCE affiche l'altération linéaire locale en mm/km) En utilisant la feuille de calcul du CERTU (Calcul_altération_linéaire_sécant.ods). Il suffit pour cela de saisir la latitude en degrés décimaux. 3. Calcul de la distance de référence sur l'ellipsoïde (D 0 ) Pour calculer l'altération linéaire moyenne à appliquer sur la distance AB, on calcule la moyenne des altérations mesurées en A et en B. Cette altération est exprimée en unité de mesure (mm/km ou m/km). Il suffit de l'appliquer à la distance totale AB. Certu Centre d Études sur les réseaux les transports l urbanisme et les constructions publiques 9, rue Juliette Récamier Lyon Cedex 06 téléphone : télécopie : e moy = (e A + e B )/2 et D 0 = D r / (1 + e moy /1000) D r et D 0 sont exprimées en mètres et e moy en m/km En utilisant la feuille de calcul du CERTU (Calcul_altération_linéaire_sécant.ods), il suffit de saisir les coordonnées planes de A et B ainsi que les altérations linéaires en A et B. Cette fiche a été produite par le Pôle géomatique du ministère, pour plus d informations et/ou accéder aux autres fiches merci de vous référez au lien suivant : Certu, la reproduction totale du document est libre de droits. En cas de reproduction partielle, l accord préalable du Certu devra être demandé. L ensemble des droits des illustrations, sauf mention contraire, sont détenus par le Certu. Bandeau illustratif : extrait des triangles fondamentaux de la carte topographique de la France Fiche T9 - Distances et surfaces Janvier 2010