CURRICULUM VITAE. Directeur de thèse : Nizar Touzi, Ecole Polytechnique

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1 CURRICULUM VITAE Dylan Possamaï 26 ans 21, boulevard de Grenelle Célibataire Paris Nationalité française Mail : Tél : FORMATION Doctorat de Mathématiques Appliquées Ecole Polytechnique, Palaiseau Soutenue le 12 décembre 2011 au Centre de Mathématiques Appliquées de l école Polytechnique, obtenue avec mention très honorable Directeur de thèse : Nizar Touzi, Ecole Polytechnique Jury : Nicole El Karoui, Université Paris VI (Présidente du jury) Laurent Denis, Université d Evry (Rapporteur) Jin Ma, University of Southern California (Rapporteur) Anis Matoussi, Université du Maine (Examinateur) Bruno Bouchard, Université Paris Dauphine (Examinateur) Huyên Pham, Université Paris VII (Examinateur) Emmanuel Gobet, Ecole Polytechnique (Examinateur) Henri Pagès, Banque de France (Invité) Sujet de thèse : Voyage au cœur des EDSRs du second ordre et autres problèmes contemporains de Mathématiques Financières Thèmes : expansion de prix d options au voisinage de grande liquidité/ Théorie d existence et d unicité pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades du second-ordre/ Equations aux dérivées partielles complètement non-linéaires/ Maximisation d utilité et prix d indifférence en volatilité incertaine/ Options Américaines en volatilité incertaine/ Incitations optimales à la régulation bancaire et applications à la titrisation d Asset-Backed CDS Master 2 Probabilité et Applications, mention Probabilités et Finance Université Paris VI Obtenu avec mention Très bien Ecole Polytechnique (Ecole d Ingénieur) Ecole Polytechnique, Palaiseau Diplôme d'inénieur de l'école Polytechnique, majeure de Mathématiques appliquées avec spécialisation en Mathématiques financières Baccalauréat Scientifique Lycée Jean-Baptiste Say, Paris Spécialité Mathématiques, obtenu avec mention Très Bien EXPERIENCES PROFESSIONNELLES Avril mois Avril Mois Pricing Partners - Paris Stage de recherche quantitative au sein de l équipe quant Etude, réalisation et implémentation en C++ de modules de pricing, de schémas de discrétisation et de modules de calibration pour des modèles à volatitlité stochastiques multifacteurs, dont le modèle Double Heston et les modèles de Wishart à un et plusieurs facteurs Société Générale Asset Management Alternative Investments Paris La Défense Stage de recherche quantitative au sein de l équipe d arbitrage de volatirlité

2 Etude des processus multifractals et de leur application en Finance, utilisation et étude du modèle MRW (Multifractal Random Walk) pour la prévision de risques, implémentation Java et R de modules de prévisions de volatilité et de Value at Risk et application à de possibles stratégies d arbitrage ACTIVITES D'ENSEIGNEMENT Depuis octobre 2009 Depuis 2006 Université Paris-Diderot, Paris Moniteur chargé de travaux dirigés Cours particuliers et en groupes Cours de Mathématiques, Physique, Microéconomie et Econométrie de niveau Terminale à M1 COMPETENCES LINGUISTIQUES COMPETENCES INFORMATIQUES Anglais Allemand lu, écrit et parlé (Toefl IBT 110; Toefl ITP 657; GRE (Q 800, V 600, W 4.5)) lu, écrit et parlé (Examen du ZMP obtenu en 2007) Windows, Linux, Mac, Microsoft Office, Open Office, Latex Scilab, Matlab, Maple, Mathematica, C, C++, Java, R

3 PUBLICATIONS En cas d'audition, les travaux [1], [5] et [6] ci-dessous seront adressés. Articles parus dans des revues à comité de lecture [1] Possamaï, D., Soner, H.M., Touzi, N. (2011). Large liquidity expansions of superhedging costs, Asymptotic Analysis : Theory, Methods and Applications, à paraître. Articles soumis [2] Possamaï, D. (2011). Second-order backward stochastic differential equations with continuous coefficients, arxiv: v2. [3] Possamaï, D., Zhou, C. (2011). Second-order backward stochastic differential equations with quadratic growth, arxiv: v2. [4] Matoussi, A., Possamaï, D., Zhou, C. (2011). Robust utility maximization in nondominated models with 2BSDEs, arxiv: v4. [5] Matoussi, A., Possamaï, D., Zhou, C. (2011). Second-order reflected bakward stochastic differential equations, arxiv: v1. [6] Pagès, H., Possamaï, D. (2011). A mathematical treatment of bank monitoring incentives, arxiv: v1. Autres articles [7] Gauthier, P., Possamaï, D. (2009). Efficient simulation of the Double Heston model, ssrn working paper series, [8] Gauthier, P., Possamaï, D. (2009). Efficient simulation of the Wishart model, ssrn working paper series, [9] Gauthier, P., Possamaï, D. (2009). Prices expansions in the Wishart model, ssrn working paper series, Travaux en cours Kazi-Tani, N., Possamaï, D., Zhou, C. (2012). Existence, uniqueness and representation for second-order BSDEs with jumps. Kazi-Tani, N., Possamaï, D., Zhou, C. (2012). Quadratic BSDEs with jumps and related non-linear expectations : a fixed point approach. Kazi-Tani, N., Possamaï, D., Zhou, C. (2012). A probabilistic representation for fully nonlinear Partial-Integro Differential Equations. Possamaï, D., Soner, H.M., Touzi, N. (2012). Homogenization and asymptotics for small transaction costs, the multidensional case.

4 ACTIVITES DE RECHERCHE Participation à des conférences avec communication orale 6th Bachelier World Congress, Toronto, Canada, 24 juin Large liquidity expansion of super-hedging costs. 34th Conference on Stochastic Processes and their Applications, Osaka, Japan, 6 septembre 2010 Asymptotic effects of illiquidity. Conférence New advances in Backward SDEs for financial engineering applications, Tamerza, Tunisie, 27 octobre BSDEs with continuous coefficients. 6th Symposium on BSDEs, Los Angeles, USA, 10 juin 2011 Quadratic 2BSDEs and utility maximization under uncertainty. 6th Bachelier Colloquium, Métabief, France, 14 janvier Quadratic 2BSDEs and utility maximization under uncertainty. 7th Bachelier World Congress, Sydney, Australie, juin 2012 A mathematical treatment of bank monitoring incentives. Exposés à des séminaires et groupes de travail Rencontres des chaires de la FBF, Paris, France, 16 avril 2010 Asymptotic effects of illiquidity Séminaire des doctorants du CMAP, Paris, France, 13 octobre 2010 Asymptotic effects of illiquidity. Groupe de travail de l université du Maine, Le Mans, France, 23 février RBSDEs and American options under volatility uncertainty Groupe de travail de l école des Ponts, Noisy, France, 17 mars RBSDEs and American options under volatility uncertainty. Groupe de travail de l école Polytechnique, Palaiseau, France, 16 mai 2011 Quadratic 2BSDEs and utility maximization under uncertainty. Groupe de travail de l université Paris VI, Paris, France, 24 novembre 2011 Quadratic 2BSDEs and utility maximization under uncertainty. Groupe de travail de l université d Evry, Evry, France, 1 décembre 2011 Quadratic 2BSDEs and utility maximization under uncertainty. Journée des doctorants dans le cadre du séminaire Bachelier de l IHP, Paris, France, 2 décembre 2011 A mathematical treatment of bank monitoring incentives

5 Journée de la chaire FDD, Clamart, France, 6 décembre 2011 A mathematical treament of bank monitoring incentives. Groupe de travail de l université Marne-la-Vallée, Noisy, France, 25 janvier 2012 A mathematical treatment of bank monitoring incentives. Participation à des conférences et écoles d été sans exposé Participation au programme thématique Quantitative Finance, Foundations and Applications, Fields Institute, Toronto, Canada, 1-20 juin 2010 (séjour de trois semaines dans l'institut). Participation au cours New Mathematical Models in Economics and Finance, Institute for Mathematics and its Applications, University of Minnesota, USA, 7-18 juin Participation à la 3th SMAI European Summer School in Financial Mathematics, Paris, France, août Participation à la conférence Market Microstructure, Confronting many Viewpoints, Paris, France, 6-10 décembre Participation à la conférence Modelling and Managing Financial risks, Paris, France, janvier Participation au 5 th Bachelier Colloquium, Métabief, France, janvier Participation à 4 th European Summer School in Financial Mathematics, Zürich, Suisse, 5-9 septembre Participation à la Spring School, Stochastic Analysis in Finance, Roscoff, France, 6-15 mars 2012.

6 ACTIVITES D'ENSEIGNEMENTS Moniteur chargé de travaux dirigés, Université Paris-Diderot /2010 : Probabilités niveau L3, 64h à raison de 4h par semaine au second semestre /2010 : Encadrement de 5 groupes de 3 élèves de L1 dans le cadre d'un module de pré-professionalisation en Mathématiques, à raison de 2h30 par semaine au second semestre /2011 : Analyse et Algèbre niveau L1, 64h à raison de 4h30 par semaine au second semestre /2012 : Analyse et Algèbre niveau L1, 64h à raison de 4h30 par semaine au premier semestre. Cours particuliers et en groupes depuis 2006 Mathématiques, Physique, Microéconomie, Econométrie de niveau terminale à M1.

7 ACTIVITES ADMINISTRATIVES Referee pour les revues suivantes Electronic Journal of Probability Mathematical Finance SIAM Journal on Financial Mathematics International Journal of Theoretical and Applied Finance Stochastic Processes and their Applications

8 RESUME DES TRAVAUX DE THESE Mon travail de thèse, effectué au sein du Centre de Mathématiques Appliquées de l'ecole Polytechnique sous la direction de Nizar Touzi se décompose en deux parties indépendantes. Dans la première partie, je m'intéresse essentiellement à la notion d'équation différentielle stochastique rétrogrades du second ordre (2EDSR dans la suite). Cette dernière a été introduite il y a peu par Jianfeng Zhang, Mete Soner et Nizar Touzi [9]. Si les équations différentielles stochastiques rétrogrades classiques, introduites par Bismuth [1] dans le cas linéaire, puis par Pardoux et Peng [7], sont intimement liées à la classe des équations aux dérivées partielles (EDP dans la suite) dites semi-linéaires, les 2EDSR fournissent une représentation probabiliste pour une classe d'edp complètement non-linéaire. Ces objets ouvrent ainsi la voie à la résolution numériques de ces dernières par des méthodes du type Monte-Carlo. Il s'agit d'une avancée remarquable pour ce type de problèmes, notamment en grande dimension, pour lesquelles les méthodes numériques classiques (type différence finies) sont généralement impuissantes. Notons également que ces 2EDSR permettent de traiter des problèmes de contrôle stochastique faisant intervenir une pénalisation par la variation quadratique du processus de contrôle (un problème rentrant dans cette classe fait l'objet d'un des chapitres de la seconde partie de la thèse). Du point de vue du formalisme mathématique, les 2EDSR sont définies de manière analogue aux EDSR mais sous une famille non-dominée de mesures de probabilités sur l'espace canonique des trajectoires continues. Cette définition implique d'importantes difficultés techniques liées à la manipulation des ensembles négligeables dans ce contexte, et lie ce problème à l'analyse stochastique quasi-certaine développée notamment par Denis et Martini [4]. Le premier chapitre de cette partie a pour objet une première extension des résultats d'existence et d'unicité obtenus dans [9] dans un cadre Lipschitzien à un cadre essentiellement continu et à croissance linéaire. La technique de preuve s'inspire des travaux de Lepeltier et San Martin [6] et consiste essentiellement à procéder à des approximations Lipschitziennes et à ensuite passer à la limite. Néanmoins, le cadre non-dominé dans lequel nous travaillons rend caduc un certain nombre de théorèmes classiques de la théorie des probabilités, comme le théorème de convergence monotone où certaines inégalités classiques de la théorie des martingales, et nécessite ainsi un travail plus important que dans le cadre classique. Ce chapitre est aussi l'occasion de mettre en exergue à quel point nous pouvons espérer généraliser les techniques classiques d'étude des EDSR au cadre des 2EDSR. Ce chapitre constitue un article, soumis pour publication, dont je suis le seul auteur et qui a été présenté dans le cadre de la conférence New advances in Backward SDEs for financial engineering application qui a eu lieu à Tamerza en octobre Le second chapitre est le premier fruit d'une collaboration avec le professeur Anis Matoussi de l université du Maine et son étudiant Chao Zhou. Il pousse plus loin les résultats du premier chapitre et généralise les résultats d existence et d unicité pour des 2EDSRs au cas à croissance quadratique. Nous y prouvons également des formule du type Feynman-Kac pour des EDP complètement non-linéaires à générateur quadratique, ainsi qu'une représentation probabiliste de l'unique solution au sens de la viscosité de ces EDP. Dans ce cadre quadratique, nous montrons que les techniques utilisées dans le premier chapitre ne sont pas applicables en l'état, essentiellement à cause de l'absence d'un théorème de convergence monotone

9 suffisamment général dans notre cadre non-dominé. Néanmoins, ce problème peut être surmonté en construisant une solution à la 2EDSR trajectoire par trajectoire, ce qui permet d'éviter les problèmes liés aux ensembles négligeables, mais créé des problèmes de mesurabilité complexes qu'il est nécessaire de résoudre. Ce chapitre constitue un article écrit en collaboration avec Chao Zhou et soumis pour publication. Les résultats du deuxième chapitre sont appliqués dans le troisième à un problème de concret de mathématiques financières. Nous considérons ainsi le problème de maximisation d utilité pour un investisseur faisant face à un marché financier où la volatilité est incertaine, et montrons que la fonction valeur de ce problème peut s'exprimer en terme d'une 2EDSR à croissance quadratique. Nous retrouvons et étendons ainsi un certain nombre de résultats obtenus par Denis et Kervarec [5], qui résolvaient ce problème par des méthodes de dualité convexe. Néanmoins, notre approche permet d'obtenir dans certains cas des solutions explicites du problème qui restaient inaccessibles dans l'approche par dualité, et permet ainsi de comprendre de manière plus fine les conséquences de l'introduction de l'incertitude de volatilité dans ce type de problème. Ce chapitre constitue un article écrit en collaboration avec Anis Matoussi et Chao Zhou, et a été présenté au 6th International Symposium on Backward SDEs à Los Angeles. Enfin, nous introduisons dans le dernier chapitre une notion de 2EDSR réfléchie sur un obstacle, pour laquelle nous prouvons des résultats d existence et d unicité sous des hypothèses du type Lipschitz. Nous appliquons ensuite cette théorie au problème de pricing d options Américaines en volatilité incertaine. Nous obtenons ainsi une interprétation du prix et de la couverture d'une telle option en termes d'une 2EDSR réfléchie, problème résolu ici pour la première fois à notre connaissance. Il est à noter que cette notion de 2EDSR réfléchies sur un obstacle est naturellement liée à des équations aux dérivées partielles complètement nonlinéaires avec obstacle, mais aussi à des problèmes d'arrêt optimal non-standard faisant intervenir une famille non dominée de mesures de probabilité. Ce chapitre constitue un article en collaboration avec Anis Matoussi et Chao Zhou et a été soumis pour publication. La deuxième partie de ma thèse se divise en l'étude de deux problèmes indépendants de mathématiques financières. Le premier chapitre s'est essentiellement orienté vers l'obtention de nouveaux résultats concernant le modèle de liquidité introduit par Cetin, Jarrow et Protter [2], dans lequel le risque de liquidité est pris en compte en modélisant le prix d'un actif financier comme dépendant à la fois du temps et de la quantité d'actifs achetés. Dans ce cadre, il a été prouvé par Cetin, Soner et Touzi [3] que le prix de sur-réplication d'une option Européenne était solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles non-linéaire. Utilisant des techniques d'homogénéisation pour les solutions de viscosité, nous avons ainsi réussi à prouver rigoureusement des développements asymptotiques pour des prix d'options au voisinage de grande liquidité, non seulement pour des payoffs réguliers, mais également pour des payoffs continus et convexes sous des hypothèses plus faibles, vérifiées par de nombreuses options couramment utilisées en Finance. Nous avons également réussi à étendre ces résultats aux options dont le payoff est discontinu, dans le sens où nous avons obtenu des bornes pour le premier ordre de l'expansion, mettant en lumière un phénomène de type transition de phase lors du passage de conditions terminales continues à des conditions terminales discontinues. Les problèmes mathématiques soulevés par ce type d'options dans ce cadre étant jusqu'alors mal compris, il s'agit d'une avancée intéressante. Nous

10 fournissons également des simulations numériques de résolution par différence finies des EDP intervenant ici, nous permettant d'effectuer des comparaisons avec nos expansions théoriques. Ces travaux, en collaboration avec Mete Soner et Nizar Touzi ont depuis été acceptés pour publication dans la revue Asymptotic Analysis : Theory, Methods and Applications. L'article en question a en outre été présenté au 6 th World Congress of the Bachelier Finance Society, ainsi qu'à la 34th Conference on Stochastic Processes and Their Applications qui a eu lieu en septembre 2010 à Osaka. Enfin, la dernière partie de ma thèse est le fruit d'une collaboration avec Henri Pagès, chercheur au sein de la Banque de France, qui a été entamée en mars Nous avons travaillé sur un modèle de Principal/Agent avec aléa moral permettant de modéliser des contrats entre une banque et des investisseurs, faisant intervenir des instruments financiers nommés Credit Default Swaps, et lié au problème de la titrisation de crédits. Le problème est alors de décrire les contrats qui sont optimaux pour les investisseurs et qui incitent la banque à avoir un comportement responsable quant à la gestion de ses crédits. Nous avons obtenu une formulation mathématique claire de ce problème, qui conduit à un problème de contrôle optimal stochastique non standard du fait de la contrainte d'incitation. Nous utilisons alors des techniques introduites par Sannikov [8], permettant de se ramener à un cadre standard. Notre formulation conduit alors à un problème complètement résoluble pour lequel les contrats optimaux ainsi que la fonction valeur sont décrits explicitement. Nous avons ainsi coécrit un article soumis pour publication et qui sera présenté au 7th Bachelier World Congress qui aura lieu en juin prochain à Sydney. Références [1] Bismuth, J.M. (1973). Conjugate convex functions in optimal stochastic control, J. Math. Anal. Appl., 44: [2] Çetin, Jarrow and Protter (2004). Liquidity Risk and arbitrage pricing theory, Finance and Stochastics, 8: [3] Çetin, Soner and Touzi (2007): Options Hedging for small investors under liquidity costs, Finance and Stochastics, 14: [4] Denis, L., Martini, C. (2006). A theoretical framework for the pricing of contingent claims in the presence of model uncertainty, Annals of Applied Probability, 16(2): [5] Denis, L., and Kervarec, M. (2007). Utility functions and optimal investment in nondominated models, preprint. [6] Lepeltier, J. P. and San Martin, J. (1997). Backward stochastic differential equations with continuous coefficient, Statistics & Probability Letters, 32(5): ff [7] Pardoux, E. and Peng, S (1990). Adapted solution of a backward stochastic di erential equation, Systems Control Lett., 14:55 61.

11 [8] Sannikov, Y. (2008). A continuous-time version of the principal-agent problem, Review of Economic Studies, 75, [9] Soner, Touzi and Zhang (2011). Wellposedness of second order backward SDEs, Probability Theory and related Fields, à paraître.

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