TRIANGLES ET PARALLÈLES CHAPITRE G2. 2 Pyramides en vrac! 1 Reconnaître un solide. Perspective cavalière
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- Michele Bonnet
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1 Perspective cavalière 2 Pyramides en vrac! 1 Reconnaître un solide Nomme chaque solide représenté ci-dessous. a. Pavé droit b. ône de c. Pyramide révolution d. Prisme droit e. Pyramide f. ylindre de révolution J T L M R K g. ône de h. Prisme droit i. cube révolution Recopie et complète le tableau ci-dessous : ommet Nature de la base quadril atère quadril atère trian gle hexago ne Nom de la base LTR JK MION auteur T M P Nombre d'arêtes Nombre de faces TRINGL T PRLLÈL PITR G2
2 point( -5.23, -1.8 ) { (- 0.8,-0.13) }; point( 1.3, ); s segment(, ); I milieu( s ) { i }; cei cercle(, I ) { i }; cei cercle(, I ) { i }; perp s perpendiculaire(, s ) { i }; perp s perpendiculaire(, s ) { i }; 2 inte rsection( perps, cei, 1 ) { i }; intersection( perps, cei, 2 ) { i }; 2 inte rsection( perps, cei, 1 ) { i }; intersection( perps, cei, 2 ) { i }; biss2i bissectrice( 2,, I ) { i }; 2 intersection( cei, biss2i, 1 ) { i }; intersection( cei, biss2i, 2 ) { (-0.83,-0.5) }; s segment(, ); para s parallele(, s ) { i }; para biss2i parallele(, biss2i ) { i }; intersection( parabiss2i, paras ); poly polygone(,,, ); s segment(, ); s segment(, ); intersection( s, s ) { (-0.33,0.13) }; para s parallele(, s ) { i }; perp paras perp endiculaire(, paras ) { i }; pointsur( perpparas, 6.63 ) { (0.13,-0.73) }; s segment(, ); s segment(, ); s segment(, ); s segment(, ); s segment(, ); 3 ônes de révolution en vrac! K O M a. Pour chaque cône de révolution, nomme : son sommet ; Pour le : Pour le : P le centre et des diamètres de sa base ; Pour le : centre O et diamètre [] Pour le : centre et diamètre [R] sa hauteur ; Pour le : [O] Pour le : [P] tous les segments représentant des génératrices. Pour le : [] [] [M] [K] Pour le : [P][PR][P][P][P] b. Quelle est la nature de KO et KM dans le dessin? KO est rectangle en O et KM est isocèle en. t celle de P dans le dessin? P P est rectangle en. R 4 Pyramide régulière à base carrée est une pyramide régulière à base carrée telle que 7,3 cm et. a. Nomme le sommet et la base de cette pyramide. ommet : ase : b. Que représente le segment [] pour la pyramide? Justifie. a hauteur, (passe par le sommet et perpendiculaire au plan de base) c. Indique en centimètres, la longueur de chacune des arêtes de cette pyramide. Justifie. (carré) 7,3 cm (pyramide régulière) d. Quelle est la nature du triangle? Justifie. onstruis-le en vraie grandeur. Isocèle rectangle en. e. Quelle est la nature du triangle? Justifie. onstruis-le en vraie grandeur. Isocèle en car la pyramide est régulière. 7.3 cm PITR G2 TRINGL T PRLLÈL
3 7cm 8,2cm 5 Perspective cavalière et cône Un cône de révolution de hauteur 8,2 cm a pour base un disque de rayon 3,. À main levée, dessine une représentation de ce cône de révolution en perspective cavalière puis code ton dessin. 7 Pyramide à base triangulaire (G) (G) 6 cm G 4 cm 3,5cm 6 Perspective cavalière et pyramide Une pyramide régulière de hauteur 7 cm a pour base un carré de côté. a. À main levée, dessine une représentation de cette pyramide en perspective cavalière puis code ton dessin. a. onne le nom de cette pyramide. G b. Quelle est la hauteur de cette pyramide? [G] c. Quelle est la nature de la face G? Triangle rectangle en G d. onstruis, en vraie grandeur, les faces G et G. 6 cm G 4 cm 5cm b. onstruis à la règle, une représentation en perspective cavalière de cette pyramide. e. éduis-en la construction, en vraie grandeur, de la face. On trace [] puis on reporte les longueurs et trouvées plus haut. ' 6 cm G4 cm '' TRINGL T PRLLÈL PITR G2
4 8 Pyramide dans un pavé droit G est un pavé droit. a base est le carré tel que et 8,. G 9 olides dans un cube MTOIN est un cube de côté 6 cm. Pour M chaque solide, donne sa nature puis construis-en une représentation en perspective cavalière. a. NMT pyramide régulière à base triangulaire O N T I a. onne la nature du triangle. Justifie. est rectangle en car G est un pavé droit. b. Précise la hauteur de la pyramide si l'on prend pour base : [], [] ou []. c. Quelle est la nature du triangle? Justifie. est isocèle en (car les faces rectangulaires sont identiques) b. OMNI prisme à base triangulaire d. onstruis, en vraie grandeur, la base de la pyramide de sommet. c. TO pyramide à base triangulaire e. onstruis, en vraie grandeur, la face puis la face. ' d. NIO pyramide à base carrée 8. PITR G2 TRINGL T PRLLÈL
5 point( 1, 1 ) { grisfonce }; ceray2 cerclerayon(, 2 ); 10 onstructions en perspective cavalière 1 omplète les dessins suivants pour obtenir des représentations en perspective cavalière d'une pyramide de sommet : a. de base rectangulaire. 11 onstructions en perspective cavalière 2 omplète les dessins suivants pour obtenir des représentations en perspective cavalière d'un cône de révolution de sommet. essin 1 essin 2 b. de base triangulaire. Patrons essin 3 essin 4 12 oder un dessin On a dessiné un solide en perspective cavalière puis son patron. Reproduis, à main levée, le patron. Indique dessus, les points et les longueurs que tu connais et code les segments de même longueur : a. est un carré. b O Pyramide à base hexagonale Reproduis en vraie grandeur le dessin et complète-le pour qu'il représente le patron d'une pyramide régulière à base hexagonale I I 5 TRINGL T PRLLÈL PITR G2
6 14 Pyramides à base carrée? 16 Pyramide à base triangulaire Quels sont les patrons d'une pyramide à base carrée? Pyramide «plate» est une pyramide dont la base est un triangle rectangle isocèle en telle que 2, et 3 cm. Trace le patron de cette pyramide. 2,5 3 Pas assez haute Impossible si les triangles latéraux sont rectangles 15 Tétraèdre régulier Un tétraèdre régulier est une pyramide dont toutes ses faces sont des triangles équilatéraux. Trace le patron d'un tétraèdre régulier d'arête 5,. 5. PITR G2 TRINGL T PRLLÈL
7 17 Patron d'un cône de révolution Pour calculer la mesure de l'angle du développement d'un cône, on utilise la formule : a 360 R où R est le rayon du disque de g base et g la longueur de la génératrice du cône. a. alcule la mesure de l'angle du développement du cône représenté ci-contre où N 6, et N 2,6 cm. a 360 2,6 /6,5 144 b. Trace le patron de ce cône. T N alculs de volumes 19 onversions omplète : a. 5,4 m 540 cm b m 3,263 km c. 14,7 m² cm² d m² 25,432 hm² e. 5,68 L ml f cm 3 0,23 m 3 g. 504,2 cl 5,042 L h. 6,3 dm 3 0,0063 m 3 i dm cm 3 j. 0,07 m 3 70 dm 3 k cm 3 2,5 L l. 9,1 cl 91 cm 3 18 Rayon de la base La longueur de l'arc bleu du développement d'un cône de révolution est de 28,4 cm. onne la valeur arrondie au millimètre du rayon de sa base. 2r 28,4 donc r 28,4/2 4, 20 Volumes de pyramides a. alcule le volume d'une pyramide, de hauteur 6,3 cm et de base rectangulaire telle que 4,2 cm et 3,. onne le résultat en cm 3 puis en mm 3. V 4,2 3,5 6,3 : 3 30,87 cm 3 V mm 3 b. alcule le volume d'une pyramide MT de base T et de hauteur M, rectangle isocèle en et telle que T 3 cm et M 4 cm. V (3 3 : 2) 4 : 3 6 cm mm 3 21 Volume d'un cône de révolution 1 alcule le volume d'un cône de révolution, de hauteur 1,5 dm et dont le rayon de la base est 8 cm. onne la valeur arrondie au cm 3. V 8² 15 : cm TRINGL T PRLLÈL PITR G2
8 22 Volume d'un cône de révolution 2 en s'est assis sur un siège dont la partie principale est en forme de cône. Le diamètre de la base est de 4 dm et la hauteur de 50 cm. alcule le volume de cette partie du siège. onne la valeur exacte en fonction de puis la valeur arrondie au dixième de dm 3. V 2² 5 : 3 20 /3 dm 3 V 20,9 dm 3 23 n lien avec les.v.t. Un pluviomètre est constitué d'une partie cylindrique surmontant une partie conique. 0,40 m 0,20 m 10 cm alcule le volume d'eau qu'il peut recueillir. onne la valeur arrondie au dl. V V cylindre + V cône (en dm 3 ) 1² 1 + 1² 3 : dm 3 V 6,28 dm 3 soit 63 dl (arrondi au dl) 25 xtrait du brevet La société Truc fabrique des enseignes publicitaires composées de deux cônes de révolution de même diamètre 24 cm et de même hauteur 40 cm. 40 cm 40 cm a. alculer le volume d'une enseigne. n donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dm 3. V 2 12² 40 : 3 V 3840 cm cm 3 V 12 dm 3 24 cm b. Pour le transport, chaque enseigne est rangée dans un étui en carton ayant la forme d'un cylindre le plus petit possible et ayant même base que les cônes. alculer le volume de cet étui en négligeant l'épaisseur du carton. n donner la valeur exacte en cm 3 puis la valeur arrondie au dm 3. V 12² cm cm 3 V 36 dm 3 24 Pyramide de Khéops Pour construire la pyramide de Khéops, les égyptiens ont utilisé un volume d'environ m 3 de pierres. La hauteur de la pyramide est de 146 m. alculer le côté du carré constituant la base de la pyramide. rrondis ton résultat au mètre. V cône h c²/3 donc c² V 3 /h c² / 146 c² et c m 233 m PITR G2 TRINGL T PRLLÈL
9 26 Pyramide à base triangulaire G est un cube de côté 6 cm. I et J sont les milieux respectifs de [] et de []. I J G a. Trace un patron de la pyramide IJ. 27 oisson Une flûte a la forme d'un cône de génératrice 14, et dont le diamètre de la base est 4,8 cm. a. alcule la hauteur de la flûte sans le pied du verre puis son volume arrondi au dixième de cm 3. n utilisant le théorème de Pythagore : h² g² - r² 14,5² - 2,4² h² 204,49 et h 14,3 cm Volume : 2,4² 14,3 : 3 27,456 V 86,3 cm 3 b. On remplit entièrement d'eau la flûte. On verse cette eau dans un verre cylindrique, de hauteur 9 cm et dont le rayon de la base est 18 mm. L'eau va-t-elle déborder? volume du verre : 1,8² 9 29,16 Non, l'eau ne va pas déborder car le volume du verre est supérieur à celui de la flûte. i non, quelle hauteur, arrondie au mm, va-t-elle atteindre dans le verre? hauteur : 1,8² h 27,456 donc h 27,456 / 1,8² 8, alculs de longueurs 28 ône de révolution1 On considère un cône tel que O et O 40. b. alcule le volume de cette pyramide. V (3 6 : 2) 6 : 3 18 cm 3 alcule la longueur de la génératrice [] du cône arrondie au mm. ans O on utilise le cosinus : cos 40 O/ donc O/cos40 5/cos40 6, a. alcule le rayon du disque de base arrondi au mm. On utilise la propriété de Pythagore dans O rectangle en O : O² ² - O² donc O² 17,25 et O 4,2 cm b. alcule le volume du cône arrondi au cm 3. V 4,2² 5 :3 29,4 V 92 cm 3 TRINGL T PRLLÈL PITR G2 O
10 29 xtrait du brevet La pyramide régulière à base carrée ci-dessous a une base de 50 cm² et une arête [] de 13 cm. 31 ône de révolution 2 On considère le cône tel que O 6 cm, 10 cm. M a. alculer la valeur exacte de puis démontrer que : 10 cm. On a ²50 donc 50 cm. n utilisant la propriété de Pythagore dans rectangle en on a : ² ²+² donc 10 cm b. oit le centre de. On admet que () est perpendiculaire à (). émontrer que : 12 cm puis calculer le volume de. n utilisant la propriété de Pythagore dans rectangle en on a ² ²-² soit ² 13² - 5² 144 donc 12 cm V() : cm 3 30 Pyramide à base carrée G est une pyramide inscrite dans un cube de côté 4 cm. a. alcule le volume de cette pyramide, arrondi au cm 3. La hauteur est [], V 4² 4 : 3 21 cm 3 b. alcule les longueurs, G et G, arrondies au millimètre. n utilisant la propriété de Pythagore dans rectangle en : ²²+²4²+4²32 donc 5,7 cm G (diagonale de carré) e la même façon, dans G rectangle en : G²²+G²4²+3248 donc G 6,9 cm c. alcule la mesure, arrondie au degré, de l'angle. [] est une diagonale du carré, donc bissectrice de. 90 : 2 45 G a. alcule la hauteur O du cône. 'après le théorème de Pythagore dans O rectangle en O, on a : O² ² - O² d'où O² 10² - 6² 64 et O 8 cm b. alcule le volume de ce cône. onne la valeur exacte en fonction de puis la valeur arrondie au cm 3. V 6² 8 / 3 96 cm cm 3 c. oit M un point de la génératrice [] tel que M 4 cm. On trace une droite parallèle à (O) passant par M, elle coupe [O] en. Montre que les droites (O) et (M) sont perpendiculaires. Puisque les droites (O) et (M) sont parallèles, (O) qui est perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre. onc (M) est perpendiculaire à (O). d. alcule M et. ans le triangle O, on sait que [O], M [] et (M) // ( O) donc d'après la proportionnalité des longueurs dans un triangle : M O M O soit M 6 d'où M 4 6 /10 2,4 cm et 4 8 / 10 3,2 cm e. alcule la mesure, arrondie au degré, de l'angle O. On utilise la formule du cosinus dans le triangle O rectangle en O : cos O/ 0,8 donc O 37 O d. onstruis un patron de cette pyramide. PITR G2 TRINGL T PRLLÈL
11 32 xtrait du brevet Un bien étrange sablier... G est un parallélépipède rectangle tel que 8 cm, 6 cm et la hauteur 12 cm. Le point M est situé sur l'arête [G] et on a : M 7 cm. M G a. alculer l'aire du triangle rectangle. ire / / 2 24 cm² b. alculer le volume V 1 de la pyramide M. V1 ire M/ / 3 56 cm 3 c. alculer la longueur GM puis calculer le volume V 2 de la pyramide MG. GMG - M 12-7 V 2 MG/ /3 80 cm 3 d. On remplit complètement la partie haute M du sablier avec du sable. Lorsque le sable aura fini de s'écouler, la partie basse sera-t-elle pleine? t si non, quel volume restera-t-il? Non, il restera : cm 3 TRINGL T PRLLÈL PITR G2
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