Chapitre : 12 : Loi binomiale - Echantillonnage

Transcription

1 I. Épreuve et schéma de Bernoulli. Épreuve de Bernoulli Chapitre : : Loi binomiale - Echantillonnage Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l'une appelée succès( S ), l'autre échec( S ). Exemples On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l'issue Pile et échec, l'issue Face. On lance un dé. On peut décider d'appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de,, 3,4 ou 5.. Loi de Bernoulli Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité définie sur l'ensemble E { S; S} d'une épreuve de Bernoulli. On associe au succès S une probabilité p ( 0 p ). La probabilité de l'échec S est donc p. Exemples Issue S S Probabilité p p = des issues On lance une pièce équilibrée. La probabilité du succès «Obtenir Pile» est La loi de Bernoulli de paramètre est donc : p =. Issue Probabilité Pile Face On lance un dé équilibré. La probabilité du succès «Obtenir le 3» est p =. 6 La loi de Bernoulli de paramètre 6 est donc : Issue S S Probabilité 5 6 6

2 Exercice Dans chacune des situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli, définir le succès et donner la loi de Bernoulli associée.. On lance un dé équilibré, on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3.. On tire au hasard une carte dans un jeu de 3 cartes, on observe s'il s'agit d'un roi. 3. Un chapeau contient 5 cartons jaunes et cartons rouges. On tire un carton au hasard du chapeau et on note sa couleur. 3. Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli est une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Exemples Une urne contient 3 boules rouges et boule verte. On tire successivement et avec remise 3 boules de l'urne. Pour chacun des tirages, obtenir une boule verte est considéré comme un succès. On représente cette situation à l'aide de l'arbre ci-dessous. Les issues de cette répétition sont des listes : ( V ; V ; V ),( V ; V ; R ),( V ; R ; V )... Remarque Si les tirages ont lieu sans remise, ii ne s'agit plus d'un schéma de Bernoulli car les expériences répétées ne sont plus ni identiques, ni indépendantes.

3 Exercice Représenter à l'aide d'un arbre pondéré chacun des schémas de Bernoulli suivants.. On lance trois fois de suite une pièce équilibrée.. On fait tourner deux fois la roue de loterie ci-dessous. À chacune des rotations, chaque secteur a la même probabilité d'apparaître. II. La loi binomiale. de la loi binomiale On considère un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètre p. On note X la variable aléatoire qui associe à cette répétition de n épreuves, le nombre de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Bnp ;. On la note ( ) Exemples On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. On note X la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus. X suit la loi binomiale B 3;. La loi de probabilité de X est : k P( X = k)

4 . Coefficients binomiaux On représente à l'aide d'un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. n Pour tout entier k, 0 k n, le nombre de chemins réalisant k succès est noté, et se lit «k parmi n». Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux. Propriété Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale Bnp ( ; ), alors pour tout entier k, n k n k 0 k n, P( X = k) = p ( p). En effet, un chemin de l'arbre réalisant k succès de probabilité p, et n k échecs de k n k probabilité p, conduit à une issue dont la probabilité est donnée par p ( p). Or, il y a n n k n k chemins réalisant k succès donc P( X = k) = p ( p). 3. Espérance et variance de la loi binomiale Propriété (admise) Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale Bnp ( ; ) alors : E( X) = np V( X) = np( p) Exercice 3 Un QCM comporte trois questions. Pour chacune d'elles, quatre réponses sont proposées dont une seule est correcte. Un élève donne au hasard une réponse à chaque question. On note X le nombre de réponses correctes données par l'élève.. Justifier que la situation relève d'une loi binomiale dont on précisera les paramètres.. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. E X et σ X E X. b. Calculer ( ) ( ). Donner une interprétation de ( ) 3. Calculer la probabilité des événements suivants : «Répondre juste à toutes les questions» «Répondre juste à questions» «Répondre juste à aucune questions» «Répondre juste à au moins une question» 4

5 III. Propriété des coefficients binomiaux. Cas particulier Propriété n n Pour tout entier n, n, = et =. 0 n En effet, dans l'arbre, un seul chemin ne réalise aucun succès et un seul chemin réalise n succès.. Symétrie des coefficients Propriété n n Pour tous entiers n et k, n et 0 k n, =. n k En effet, il y a autant de chemins qui réalisent k succès que de chemins qui réalisent k échecs, c'est-à-dire qui réalisent n k succès. 3. Triangle de Pascal Propriété n n n+ Pour tous entiers n et k, n et 0 k n, + =. + + Démonstration Lors de la réalisation de n + épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, le nombre n + de chemins réalisant k + succès est. Parmi ces chemins, il y en a deux types : + Ceux qui commencent par un succès. Il faut donc ensuite k succès en n épreuves. Leur n nombre est. Ceux qui commencent par un échec. Il faut donc ensuite k + succès en n épreuves. n Leur nombre est. + n n n+ On a donc + =

6 Conséquence : le triangle de Pascal Exercice 4 Une entreprise produit des stylos. La probabilité qu un stylo présente un défaut est égal à 0,. On prélève dans cette production, successivement et avec remise, 8 stylos.. Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par X.. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : «Aucun stylo ne présente de défaut». B : «Il y a au moins un stylo avec un défaut». C : «Il y a exactement deux stylo avec un défaut». Exercice 5 Dans la ville C qui compte habitants, on a recensé 400 cas de grippe. Une crèche de cette ville compte 30 enfants. On note X le nombre d'enfants atteints par le virus grippal et on modélise la loi de X par une loi binomiale.. Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par X.. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : «Deux enfants exactement sont atteints par le virus». B : «Il y a au moins un enfant atteint par le virus». On donnera les résultats arrondis au millième. 6

7 IV. Echantillonnage. Objectif On considère une expérience aléatoire E et on note P( A ) la probabilité d'un événement A donné. On pense pouvoir affirmer que la probabilité P( A) prend une valeur connue p. Comment décider que cette affirmation est «raisonnable» ou pas? Exemple On lance une pièce. On appelle A l'événement «obtenir pile». Compte tenu des procédés de fabrication de la pièce, de sa forme, et du fait qu'elle est neuve, on pense qu'elle est équilibrée. On est donc conduit à affirmer que P( A ) =. Avec les notations ci-dessus, la valeur supposée p de P( A) est donc égale à. Mais comment savoir si un vice de fabrication, par exemple, ne met pas cette hypothèse en défaut? Pour examiner «l'hypothèse P( A) = p», on réalise l'expérience aléatoire un certain nombre de fois, et on mesure la fréquence f d apparition de l'événement A. Si les valeurs de f et de p sont «trop éloignées», en un sens que l on précise ci-dessous, on rejettera l'hypothèse. Ce rejet ne peut pas être fait «à coup sûr» il faut fixer une «marge d'erreur», ou «seuil». On P A = p, fixera le seuil de 95 %, ce qui signifie que la probabilité de rejeter l hypothèse ( ) alors qu'elle est vraie, ne doit pas dépasser 5 %.. Le principe de la méthode L'expérience On réalise n fois l'expérience aléatoire E et on note f la fréquence d'apparition de l'événement A. Le modèle On peut modéliser l'expérience par une épreuve de Bernoulli : le succès correspond à l'événement A, et l'échec à l'événement contraire A de A. La répétition de cette épreuve n fois, de façon indépendante, est modélisée par un schéma de Bernoulli à n épreuves. On appelle X la variable aléatoire dénombrant les succès obtenus au cours des n épreuves. Si P A p Bnp ;, de on suppose que ( ) =, la loi de probabilité de X est la loi binomiale ( ) paramètres n et p. X Si on posey =, alors la variable aléatoire Y correspond à la «fréquence théorique» n d'obtention du succès au cours des n épreuves (Y est égal au nombre de succès obtenus, divisé par le nombre d'épreuves). 7

8 On peut alors comparer la fréquence observée expérimentalement avec cette «fréquence théorique». Comparaison entre modèle et résultat expérimental On examine si la fréquence observée f appartient à «l'intervalle de fluctuation à 95 %» associé à la loi binomiale B ( n; p ). Si tel n'est pas le cas, l'hypothèse P ( A) = p est rejetée, avec une probabilité inférieure à 0,05 de réaliser un rejet par erreur. 3. Prise de décision à l aide d une loi binomiale L'intervalle de fluctuation à 95%, associé à une variable aléatoire X suivant une loi binomiale a b de paramètres n et p, est l'intervalle ; où a et b sont les deux entiers naturels définis par : n n a est le plus petit des entiers tel que P ( X a ) > 0,05 ; b est le plus petit des entiers tel que P ( X b ) 0,975. Exemple On lance 50 fois une pièce de monnaie équilibrée. On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres 50 et. A l'aide d'un tableur (Excel, calculatrice), on détermine les valeurs de P ( X k ) pour tous les entiers k entre 0 et 00. Avec Excel : Dans la case A : 0 Dans la colonne A : = A+ Descendre la croix jusqu à n (ici 50). Dans la case B : =LOI.BINOMIALE (A;n;p;) Descendre la croix jusqu à n (ici 50). On peut aussi n obtenir que a et b : Ligne de formule : =CRITERE.LOI.BINOMIALE (n,p,0,05) pour a. Ligne de formule : =CRITERE.LOI.BINOMIALE (n,p,0,975) pour b. ère S Avec Numbers (Ipad) : Idem sauf : Dans la case B : =LOI.BINOMIALE (A;n;p;0,05) On a donc : a = 8 et b = L'intervalle de fluctuation à 95% est donc ;,c est à dire [0,36;0,64] Remarque 8

9 Critère de décision On veut examiner l'hypothèse P( A) = p. Soit f la fréquence d'apparition observée de l'événement A dans un échantillon d'expériences répétées de taille n. On désigne par I l'intervalle de fluctuation à 95 % associé à la loi binomiale de paramètres n et p. Si f I, on accepte l'hypothèse au seuil de 95%. Si f I, on rejette l'hypothèse au seuil de 5%. (Cela signifie que la probabilité de rejeter l hypothèse, alors qu elle est vraie, est inférieure à 5%). Exemple On a lancé 50 fois une pièce de monnaie, et le côté pile est apparu 9 fois ; on s'interroge sur la nature équilibrée de la pièce. Tester si la pièce est équilibrée, c'est tester l'hypothèse que la sortie de «pile» a une probabilité égale à 0,5. B 50;0,5 On a vu ci-dessus que l'intervalle de fluctuation à 95 % associé à la loi binomiale ( ) est : I = [ 0,36;0,64]. La fréquence observée d'apparition de piles sur les 50 lancers effectués est de 9 = 0,58. Donc on a : 0,58 I. On accepte donc l'hypothèse d'une pièce équilibrée. 50 9