MATHEMATIQUES Enseignement de Spécialité en TS

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1 MATHEMATIQUES Enseignement de Spécialité en TS

2 Philosophie de l enseignement de spécialité Approche du cours par un problème en lien avec les sciences d aujourd hui Utilisation dans des domaines variés

3 Le programme : Deux Domaines L ARITHMETIQUE : Etude des entiers Les MATRICES et leurs applications à des domaines très variés.

4 Le programme : Deux Domaines L ARITHMETIQUE : Etude des entiers Les MATRICES et leurs applications à des domaines très variés.

5 Le code barres : EAN 13 Le code barre EAN 13 contient un processus de contrôle interne. Comment étudier sa fiabilité? 1) Chercher sur internet comment est constitué ce code et en particulier sa clé de contrôle 2) Est-il possible que la clé de contrôle soit la bonne sachant que l article a été mal codé? Diviseurs, multiples, division euclidienne dans Z, systèmes de numération (critères de divisibilité)

6 Le RIB : Relevé d Identité Bancaire Il est composé d un nombre A de 21 chiffres Cinq chiffres identifiant la banque Cinq chiffres identifiant le guichet Onze chiffres représentant le N de compte Suivi d une clé C de contrôle : Comment est-elle définie? Code Banque B Code guichet G Numéro de compte Nc Clé C

7 Quelques histoires de chiffrement Le chiffrement de César : Chaque lettre est codée par la lettre qui la suit 3 rangs plus loin dans l alphabet Le ROT 13 (rotation de 13 caractères) consiste à un décalage de 13 caractères Automatisation du codage sur tableur

8 Etude de certaines propriétés des nombres premiers et leurs applications dans le codage Soit P la parabole d équation y = x² On relie les points à coordonnées entières de P Par Certains points de coordonnées entières de l axe des ordonnées, ne passe aucun de ces segments On démontre qu une condition nécessaire et suffisante pour ces points est que son ordonnée soit un nombre premier Nombres premiers, nombres de FERMAT et de MERSENNE

9 Problème de calendrier Le mathématicien français Cédric Villani, né le 5 octobre 1973, a reçu la médaille Fields en Quel jour de la semaine est-il né? Les Congruences

10 Congruences et Numéro d INSEE Quels renseignements peut-on tirer du N INSEE inscrit sur la carte vitale ci contre? Avec un calcul de congruence comment peut on vérifier l exactitude de la clé cicontre?

11 Problème de pavage d un rectangle par des carrés On veut paver un rectangle de dimensions a, b avec des carrés identiques, les plus grands possibles, sans chevauchement, ni débord ni espace vide Comment déterminer les côtés de ces carrés en fonction de a et b? Réinvestissement des notions de 3 ème (PGCD et algorithme d EUCLIDE ) Figure pour a = 36 et b = 14

12 Arithmétique et astronomie Un astronome a observé un corps céleste A il y a quelques jours et aujourd'hui il observe un corps céleste B. Le corps A a une période de révolution de 180j et le corps B de 186j Est-il possible de les observer tous les deux à la même date et si oui quand? Théorème de Bézout

13 Nouvelles histoires de chiffrement Chiffrement affine Automatisation sur tableur (équations Diophantiennes) Chiffrement de Hill Où on fait le lien avec les matrices Lester Hill ( ) mathématicien américain qui s est intéressé aux applications des maths dans la communication

14 Système RSA Etude d un procédé de cryptographie à double clé (une clé publique et une privée) dont le principe est apparu dans les années 1970 (le petit théorème de Fermat) C est en 1978 que les trois mathématiciens américains Rivest, Shamir et Adleman ont présenté ce procédé

15 Le programme : Deux Domaines L ARITHMETIQUE : Etude des entiers Les MATRICES et leurs applications à des domaines très variés.

16 Matrices de gestion Gestion d une population, d un stock, d un prix Introduction sur le tableur ,12 0,18 =

17 Calculs sur les matrices Raymond Queneau ( ) romancier et poète français était également mathématicien à ses heures. Dans «Bâtons, chiffres et lettres» en 1965, il compare la formation d une phrase au produit de deux matrices. Qu a -t-il voulu dire?

18 Résolution des systèmes linéaires à plusieurs inconnues Pour ceux qui n ont pas une calculatrice donnant directement les solutions comment procéder avec des matrices pour résoudre systématiquement un tel système? Cas d un système 2 x 2 puis 3 x 3 inverse d une matrice

19 Le modèle de Léontiev Léontiev ( ) Prix Nobel d économie en 1973 Dans un modèle économique, quelle doit être la production de chaque branche pour satisfaire la demande des consommations finales?

20 Problème d évolution d une population En 1990, aux USA, une controverse oppose des écologistes à des industriels à propos de la possible extinction des chouettes tachetées pour cause de déforestation. Comment l introduction d un modèle mathématique de la démographie de cette population a pu permettre de trancher la question? Puissance d une matrice

21 Marche aléatoire simple Marche aléatoire sur un triangle puis sur un carré : Où se trouve-t-on au bout de n étapes? Modélisation avec un graphe orienté, notion de graphe probabiliste Mise en évidence de la matrice de transition C est le mathématicien russe Andreï Markov qui a formalisé l étude des processus aléatoires ou stochastiques par une suite de matrices appelées chaine de Markov

22 Modèle de diffusion d Ehrenfest On remplit la partie A d un gaz, les particules migrent rapidement vers B jusqu à atteindre une situation d équilibre entre les compartiments. Or toutes les lois de la mécanique étant réversibles, il devrait y avoir retour à l état initial. Comment expliquer ce paradoxe? Modélisation des N particules par N boules On peut admettre que la réversibilité est illusoire t qu il y aura retour à l état initial au bout de 2^N secondes (N étant de l ordre du nombre d Avogadro ) Modèle probabiliste décrit en 1907 par les époux Ehrenfest

23 Marche aléatoire avec saut La puce peut se déplacer de deux façons : Avec une probabilité de p elle saute aléatoirement sur l un des sommets (y compris celui dont elle vient) Avec une probabilité de 1-p, elle se déplace aléatoirement sur l une des arêtes partant du sommet où elle se trouve pour rejoindre le sommet adjacent

24 Evolution de deux populations en interaction Système proieprédateur établi par Lotka et Volterra en 1925 et 1926 Existence d un état stable Pendant la 1 ère guerre mondiale la pêche avait beaucoup baissé dans l Adriatique, au début des années 20 on s attendait donc à beaucoup de poissons mais en fait c était le nombre de requins qui avait augmenté!

25 Pertinence d une page web Comment les moteurs de recherche s y prennent-ils pour classer toutes les pages faisant référence à une recherche donnée? Larry Page né en 1973 est un informaticien américain cofondateur de Google et à l initiative du 1 er brevet Page Rank déposé en 1997

26 Où retrouve-t-on en post bac les notions étudiées de ce programme de spécialité? L Arithmétique fait partie du programme d Algèbre Général (qui se retrouve dans les programmes de Mathématiques pour toute orientation scientifique) Les Matrices font partie du programme d Algèbre linéaire, étudié lors de poursuite d études scientifiques et aussi économiques.

27 Epreuve du Baccalauréat Dans l épreuve de Mathématiques du baccalauréat, un exercice sur 5 points est remplacé pour les spécialistes Maths. La note obtenue à l épreuve est affectée d un coefficient de 9 au lieu de 7.