PROBABILITES ET COMBINAISONS EXERCICES

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1 S EXERIES On considère un jeu de cartes. On tire simultanément huit certes du jeu. Quelle est la probabilité des évènements suivants : A «obtenir exactement un valet» B «obtenir exactement trois cœurs» «obtenir exactement un valet et trois cœurs» D «obtenir au moins un as» E obtenir deux valets, trois dames, un roi et deux as» On tire au hasard et simultanément cartes parmi un jeu de. alculer la probabilité d obtenir un full au roi par les valets (trois rois et deux valets). On tire au hasard et simultanément cartes parmi un jeu de. alculer la probabilité d obtenir : a) un carré de dames b) un carré de dames et un valet c) une quinte au roi d) une couleur e) au moins un as. Un touriste revient de vacances avec films : tournés en Italie, en Allemagne, en Grèce, mais aucune indication ne permet de distinguer les films. Il décide de n en faire développer que. Quelle est la probabilité pour que, parmi les films développés, il y ait : a) tous les films de Grèce? b) aucun film d Italie? c) autant de films d Allemagne que de Grèce? d) deux fois plus de films d Allemagne que d Italie? Un jeu consiste à extraire au hasard et simultanément boules d une urne contenant boules rouges et boules vertes. Si le joueur obtient boules rouges, évènement que l on note R, il gagne. S il obtient boules rouges et boule verte, évènement que l on note R, il gagne. Enfin, s il obtient moins de boules rouges, évènement que l on note E, il ne gagne rien. ) Déterminer les probabilités des évènements R et R. ) On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. ) Dans cette question, on modifie les règles du jeu de la façon suivante : - si le joueur réalise les évènements R ou R, il ne gagne plus d argent immédiatement mais est qualifié pour la suite du jeu que l on appelle le «Banco» - si l évènement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n est pas qualifié pour le Banco Le «Banco» consiste à extraire une boule parmi les restées dans l urne. Si celle-ci est verte, le joueur empoche les 0 du Banco et si elle est rouge, le joueur a perdu mais repart avec une prime de consolation de 0. a) Quelle est la probabilité d empocher les 0 du Banco sachant que R est réalisé? b) Quelle est la probabilité d empocher les 0 du Banco sachant que R est réalisé? c) En déduire la probabilité d empocher les 0 du Banco. d) On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. Etablir la loi de probabilité de Y. alculer l espérance mathématique de Y et comparer avec celle de X FRLT Page /0/0

2 S 6 EXERIES Dans un sac, on a mis jetons verts numérotés de à et jetons rouges numérotés de à. On prend simultanément jetons dans le sac. On fait l hypothèse que tous les tirages possibles ont la même probabilité. ) alculer la probabilité d obtenir : a) trois jetons verts ; b) trois jetons rouges ; c) trois jetons de la même couleur. ) alculer la probabilité des évènements suivants : A «on a sorti le jeton vert n» B «on a sorti le jeton rouge n» «on a sorti le jeton vert n et le jeton rouge n» D «on a sorti un et un seul jeton portant le n» ) alculer la probabilité pour qu on ait deux numéros identiques. En déduire la probabilité pour qu on ait trois numéros différents. Antilles D Au cours d une fête foraine, chaque heure, une loterie est organisée. Sur cent billets mis en vente, quinze sont gagnants. Pierre a le choix entre deux méthodes de jeux : a) Méthode ; Pour un tirage donné, pierre prend simultanément billets. On suppose l équiprobabilité des choix. Quelle est la probabilité pour que Pierre ait au moins un billet gagnant? on donnera une valeur approchée au millième. b) Méthode : Pierre participe à tirages consécutifs pour lesquels il prend chaque fois un billet. On suppose les tirages indépendants et l équiprobabilité des tirages. Quelle est la probabilité pour que Pierre ait au moins un billet gagnant? c) Entre les deux méthodes, laquelle est la plus avantageuse? Montpellier 6 Jean possède, dans le tiroir de son armoire, paires de chaussettes noires, paires de chaussettes vertes et paires de chaussettes rouges, mais ces chaussettes sont mélangées dans le plus grand désordre et indiscernables au toucher. Lorsque Jean est en train de s habiller survient une panne de lumière. Jean, qui est pressé et qui n a pas de lampe de poche, prend au hasard deux chaussettes dans le tiroir. a) alculer la probabilité, à 0,0 près, pour que Jean ait tiré deux chaussettes noires. b) alculer la probabilité, à 0,0 près, pour que Jean ait tiré deux chaussettes de même couleur. c) En supposant que le nombre de chaussettes vertes et le nombre de chaussettes rouges restent inchangés, calculer quel devrait être le nombre n de chaussettes noires contenues dans le tiroir pour que la probabilité d avoir deux chaussettes noires soit égale à /. Nouvelle alédonie 00 Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 00 ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne et si une seule est rouge il gagne. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu. ) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. ) Pour un jeu, la mise est de 0. Le jeu est il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est elle strictement supérieure à 0? ) Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui ci envisage deux solutions: _ soit augmenter la mise de, donc passer à, _ soit diminuer chaque gain de, c'est-à-dire ne gagner que, e ou. Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur? FRLT Page /0/0

3 S 0 Dakar EXERIES Au poker, on utilise un jeu de cartes (,,, 0, valet, dame, roi, as dans chacune des couleurs suivantes : pique, cœur, carreau, trèfle) et l on donne cartes à chaque joueur. Quelle est la probabilité pour qu un joueur (déterminé) ait une échelle royale (cinq cartes de la même couleur qui se suivent dans l ordre précédemment mentionné)? France 00 Un enfant joue avec 0 billes : rouges et vertes. Il met 0 rouges et vertes dans une boîte cubique et rouges et vertes dans une boîte cylindrique. ) Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) alculer l'espérance mathématique de X. ) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les événements suivants : : «L'enfant choisit la boîte cubique», : «L'enfant choisit la boîte cylindrique», R : «L'enfant prend une bille rouge», V : «L'enfant prend une bille verte». a) par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu. b) alculer la probabilité de l'événement R. c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique? ) L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place. a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité p n que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix. b) alculer la plus petite valeur de n pour laquelle p n 0,. Pondichéry 00 PARTIE A Une urne contient n boules blanches (n dans N et n ), boules rouges et boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l urne.. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches?. On note p(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur. n² n + 6 a. Montrer quep(n). (n + )(n + ) b. alculer la limite quand n tend vers + de p(n). Interpréter ce résultat. PARTIE B Pour les questions suivantes n.. alculer p().. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 0 euros. Pour chaque tirage : - si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 0 euros, - si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors euros. On appelle gain du joueur la différence, à l issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur. a. Quelles sont les valeurs prises par X? b. Déterminer la loi de probabilité de X. c. alculer l espérance de X. FRLT Page /0/0

4 S Liban 00 EXERIES Une urne contient boules noires et deux boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à. On répète n fois l épreuve qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d être tirées et que les tirages sont indépendants. On note p n la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n premiers tirages et une boule blanche lors du nième tirage. ) alculer les probabilité p, p et p. ) On considère les évènements suivants : B n :«on tire une boule blanche lors du nième tirage» et U n :«on tire une boule blanche et une seule lors des n premiers tirages» a) alculer la probabilité de l évènement B n. b) Exprimer la probabilité de l évènement U n en fonction de n. n n c) En déduire l expression de p n en fonction de n et vérifier l égalité : p n. ) On pose S n p + p + + p n. n n a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, on a : S n + b) Déterminer la limite de la suite (S n ). Une secrétaire effectue appels téléphoniques vers correspondants distincts. Pour chaque appel, la probabilité d obtenir le correspondant demandé est. ) Pour k appartenant à [0 ; ], on définit l évènement A k : «la secrétaire a contacté k correspondants lors de ces appels». alculer la probabilité des évènements A 0, A, A et A. On donnera les résultats sous la forme de fractions irréductibles. ) Après ces trois recherches, la secrétaire appelle une deuxième fois chacun des correspondants qu elle n a pas obtenus la première fois. Par exemple, si elle a obtenu correspondant lors de la première série d appels, elle rappelle les autres correspondants. Pour k appartenant à [0 ; ], on définit l évènement B k : «la secrétaire a obtenu k correspondants lors des deux séries d appels». Par exemple, si la secrétaire a obtenu correspondant lors de la première série d appels ( donc elle recontacte lors de la seconde série d appels les correspondants non contactés la première fois) et qu elle réussit à contacter seul correspondant lors de la seconde série d appel, alors elle a contacté + correspondants lors des deux séries d appels, ce qui implique que l événement B se réalise. a) alculer les 6 probabilités conditionnelles suivantes : p(b 0 / A 0 ), p(b 0 /A ), p(b 0 / A ) et p(b 0 / A ) p(b / A 0 ), p(b / A ), p(b / A ) et p(b / A ) p(b / A 0 ), p(b / A ), p(b / A ) et p(b / A ) p(b / A 0 ), p(b / A ), p(b / A ) et p(b / A ) b) alculer la probabilité des évènements B 0, B, B et B. FRLT Page /0/0

5 S EXERIES FRLT Page /0/0 ORRIGE : A «obtenir exactement un valet» (A) p B «obtenir exactement trois cœurs» (B) p «obtenir exactement un valet et trois cœurs» On obtient soit un valet de cœur, cœurs et cartes quelconques ; soit valet pris parmi le valet de trèfle, de carreau ou de pique, trois cœurs pris parmi les cartes de cœurs (sans le valet de cœurs) + x () p D «obtenir au moins un as» (D) p E obtenir deux valets, trois dames, un roi et deux as» (E) p 00 xxxx xx0xx x x a) un carré de dames b) un carré de dames et un valet 60 c) une quinte au roi d) une couleur e) au moins un as. 6 6

6 S a) tous les films de Grèce? b) aucun film d Italie? c) autant de films d Allemagne que de Grèce? EXERIES + d) deux fois plus de films d Allemagne que d Italie? Un jeu consiste à extraire au hasard et simultanément boules d une urne contenant boules rouges et boules vertes. Si le joueur obtient boules rouges, évènement que l on note R, il gagne. S il obtient boules rouges et boule verte, évènement que l on note R, il gagne. Enfin, s il obtient moins de boules rouges, évènement que l on note E, il ne gagne rien. ) Déterminer les probabilités des évènements R et R. p(r ) ; p(r 0 ) 0 ) On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. x i 0 P(Xx i ) E(X). ) Dans cette question, on modifie les règles du jeu de la façon suivante : - si le joueur réalise les évènements R ou R, il ne gagne plus d argent immédiatement mais est qualifié pour la suite du jeu que l on appelle le «Banco» - si l évènement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n est pas qualifié pour le Banco Le «Banco» consiste à extraire une boule parmi les restées dans l urne. Si celle-ci est verte, le joueur empoche les 0 du Banco et si elle est rouge, le joueur a perdu mais repart avec une prime de consolation de 0. e) Quelle est la probabilité d empocher les 0 du Banco sachant que R est réalisé? pr (V) f) Quelle est la probabilité d empocher les 0 du Banco sachant que R est réalisé? pr (V) g) En déduire la probabilité d empocher les 0 du Banco. p(v) p(r V) + p(r V) x + x h) On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. Etablir la loi de probabilité de Y. alculer l espérance mathématique de Y et comparer avec celle de X y i P(Yy i ) 6 E(Y) 0.6. FRLT Page 6 /0/0

7 S EXERIES FRLT Page /0/0 6 Dans un sac, on a mis jetons verts numérotés de à et jetons rouges numérotés de à. On prend simultanément jetons dans le sac. On fait l hypothèse que tous les tirages possibles ont la même probabilité. ) alculer la probabilité d obtenir : a) trois jetons verts ; b) trois jetons rouges ; c) trois jetons de la même couleur. + ) alculer la probabilité des évènements suivants : A «on a sorti le jeton vert n» B «on a sorti le jeton rouge n» «on a sorti le jeton vert n et le jeton rouge n» xx D «on a sorti un et un seul jeton portant le n» + x x ) alculer la probabilité pour qu on ait deux numéros identiques. x En déduire la probabilité pour qu on ait trois numéros différents. x Montpellier 6 Jean possède, dans le tiroir de son armoire, paires de chaussettes noires, paires de chaussettes vertes et paires de chaussettes rouges, mais ces chaussettes sont mélangées dans le plus grand désordre et indiscernables au toucher. Lorsque Jean est en train de s habiller survient une panne de lumière. Jean, qui est pressé et qui n a pas de lampe de poche, prend au hasard deux chaussettes dans le tiroir. a) alculer la probabilité, à 0,0 près, pour que Jean ait tiré deux chaussettes noires.

8 S EXERIES 0 0!!! p !!! b) alculer la probabilité, à 0,0 près, pour que Jean ait tiré deux chaussettes de même couleur p 0 c) En supposant que le nombre de chaussettes vertes et le nombre de chaussettes rouges restent inchangés, calculer quel devrait être le nombre n de chaussettes noires contenues dans le tiroir pour que la probabilité d avoir deux chaussettes noires soit égale à /. n p n² n 6 0 n 0 + n Nouvelle alédonie 00 Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 00 ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne et si une seule est rouge il gagne. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu. ) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Il y a 0 0 choix possibles. X i 0 00 P(Xx i ) ) Pour un jeu, la mise est de 0. Le jeu est il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est elle strictement supérieure à 0? E (X) 0x + x + x + 00x. < 0 ; le jeu n est pas favorable au joueur ) Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui ci envisage deux solutions: _ soit augmenter la mise de, donc passer à, _ soit diminuer chaque gain de, c'est-à-dire ne gagner que, e ou. Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur? France 00 Un enfant joue avec 0 billes : rouges et vertes. Il met 0 rouges et vertes dans une boîte cubique et rouges et vertes dans une boîte cylindrique. ) Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies. a) Déterminer la loi de probabilité de X. Il y a 6 choix possibles. X i 0 P(Xx i ) FRLT Page /0/

9 S EXERIES b) alculer l'espérance mathématique de X E(X) 0x + x + x + x ) Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les événements suivants : :«L'enfant choisit la boîte cubique», :«L'enfant choisit la boîte cylindrique», R :«L'enfant prend une bille rouge», V :«L'enfant prend une bille verte». a. par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu. 0 R / V R / V 0 b) alculer la probabilité de l'événement R. : P (R) c) Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique? 0 PR () 0 ) L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place. a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité p n que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix. Loi Binomiale de paramètre n (inconnu) et p probabilité de tirer une rouge 0 n n n0 P(X ) P(X 0) 0 b) alculer la plus petite valeur de n pour laquelle p n 0,. ln0.0 p n 0. n.0 ; il faut donc n supérieur ou égal à 6. ln Pondichéry 00 PARTIE A Une urne contient n boules blanches (n dans N et n ), boules rouges et boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l urne.. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches? n + (n + )(n + ) Il y a choix possibles. FRLT Page /0/0

10 S n n(n ) P("blanches") ; (n + )(n + ) (n + )(n + ). On note p(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur. n² n+ 6 a. Montrer quep(n). (n + )(n + ) 0 P("rouges") 6 ; P(" vertes") (n + )(n + ) (n + )(n + ) (n + )(n + ) (n + )(n + ) n(n ) 0 6 n² n+ 6 Donc p(n) + + (n + )(n + ) (n + )(n + ) (n + )(n + ) (n + )(n + ) EXERIES b. alculer la limite quand n tend vers + de p(n). Interpréter ce résultat. lim p(n) ; si le nombre de boules blanches devient très grand, la probabilité de tirer boules de même couleur se n >+ rapproche de ; En effet, dans ce cas, il est quasiment certain de tirer boules blanches. PARTIE B Pour les questions suivantes n.. alculer p(). p (). Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 0 euros. Pour chaque tirage : - si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 0 euros, - si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors euros. On appelle gain du joueur la différence, à l issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur. a. Quelles sont les valeurs prises par X? 0 ; ; 0 b. Déterminer la loi de probabilité de X. X i P(Xx i ) 6 x x + x x c. alculer l espérance de X. 6 E(X) 0x + x + 0x 0 0. FRLT Page 0 /0/0