Synthèse des correcteurs analogiques :

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1 Synthèse des correcteurs analogiques : Thierry CHATEAU 1 1. LASMEA, UMR6602 CNRS/UBP Clermont-Ferrand T. CHATEAU P. 1

2 Plan 1. Problématique 2. Notion de réglabilité 3. Objectifs de la régulation 4. Correcteurs classiques T. CHATEAU P. 2

3 Problématique Pourquoi asservir un système? améliorer la précision statique et dynamique améliorer la stabilité (un système instable en BO peut devenir stable et BF) diminuer l influence des perturbations diminuer l influence des variations des paramètres du système T. CHATEAU P. 3

4 Problématique Les questions qui conduisent à la mise en oeuvre d un correcteur : comment diminuer les erreurs stationnaires du système (augmenter le gain en boucle ouverte) sans pour autant modifier le facteur de résonance (donc la bande passante)? comment augmenter la bande passante sans modifier le facteur de résonance? comment augmenter le degré de stabilité sans diminuer le gain en boucle ouverte? Comment diminuer le temps de réponse? Comment répondre au cahier des charges? T. CHATEAU P. 4

5 Problématiques E(p) + e(p) C(p) T(p) S(p) - CORRECTEUR FIG. 1 Place du correcteur dans la boucle de commande T. CHATEAU P. 5

6 Problématiques Dans la littérature, les correcteurs sont séparés en 2 classes : 1. les correcteurs spécifiques : ils sont conçus et réalisés pour une application particulière, 2. les correcteurs «classiques» : la structure de leur fonction de transfert est standard, seul les paramètres peuvent être modifiés pour satisfaire à l application (ils sont réalisés et commercialisés, donc leur temps de mise en place est très court). T. CHATEAU P. 6

7 Problématique De nombreuses méthodes existent pour réaliser la synthèse des correcteurs. Dans le cadre de ce cours, seule l étude dans le plan de Black est abordée : permet la synthèse sans connaître l expression de la FT du système (uniquement son lieu de Black déterminer expérimentalement) représentation graphique intuitive des effets des différents correcteurs T. CHATEAU P. 7

8 Notion de réglabilité y(t) Tr Tu Ta t Réglabilité : T R : temps de retard, T U : temps de décollement, T A : temps de montée. T D = T R + T U, Délais nécessaire pour qu une commande ait une action significative. T. CHATEAU P. 8

9 Notion de réglabilité Réglabilité : y(t) R = T A T D Tr Tu Ta t 1. Réglabilité élevée : R = T A T D > Réglabilité faible : R = T A T D < 4 T. CHATEAU P. 9

10 Objectifs de la régulation 1. accroître la stabilité : éloigner le processus du point d instabilité. Pratiquement, un réglage de 45 0 pour la marge de phase et 10db pour la marge de gain. 2. augmenter le gain du système en boucle ouverte, du coté des basses fréquences, pour augmenter la précision statique. 3. augmenter la bande passante pour diminuer le temps de réponse (glissement des fréquences élevées vers les gains importants) T. CHATEAU P. 10

11 Actions correctives classiques Action proportionnelle Le signal de commande est proportionnel au signal d erreur. C(p) = k (translation verticale dans le plan de Black) Action Intégrale C est une action en régime permanent et en basses fréquences. C(p) = 1 τ i P Action dérivée C est une action en régime dynamique et en hautes fréquences. C(p) = τ d P. Remarque : Les actions intégrale et dérivée ne s emploient jamais seules, mais toujours associées à une action proportionnelle. T. CHATEAU P. 11

12 Action proportionnelle Le plus simple des correcteurs : def : modification de la consigne à appliquer au système asservi en amplifiant ou en atténuant le signal d erreur : k : gain constant positif. C(p) = k (1) T. CHATEAU P. 12

13 Action proportionnelle k>1 G/db Action dans le diagramme de Black : Translation verticale du lieu de Black, vers le haut si k > 1 (amplification), vers le bas si k < 1 (atténuation) k=1 0<k<1 O phi/deg T. CHATEAU P. 13

14 Correcteur proportionnel dérivé Forme théorique : G/db C(p) = k(1 + τ d.p) (2) Ce type de correcteur provoque un accroissement de gain et de phase vers les fréquences élevées avant correction après correction O phi/deg T. CHATEAU P. 14

15 Correcteur proportionnel dérivé C(p) = k(1 + τ d.p) (3) Le but de ce correcteur est d augmenter la marge de gain, et, ainsi, d accroitre la stabilité du système. Pour qu il fonctionne correctement, il doit être bien réglé : 1 τ d < ω R (4) où ω R est la pulsation de résonance du système. Problème : ce correcteur n est pas physiquement réalisable. T. CHATEAU P. 15

16 Correcteur à avance de phase Le correcteur Prop. Dérivée est approximée par un réseau à a vance de Phase : C(p) = 1 + aτp 1 + τp, a > 1 (5) T. CHATEAU P. 16

17 Correcteur à avance de phase G/db avant correction après correction -180 O phi/deg T. CHATEAU P. 17

18 Correcteur à avance de phase Remarques Un réglage correct de ce correcteur est indispensable pour le bon fonctionnement du système asservi. Un mauvais réglage peut avoir un effet déstabilisant sur le système. Le gain du système est amplifié pour les très hautes fréquences. Il en résulte qu il faut limiter a (souvent à 10) pour éviter une déstabilisation lors des régimes transitoires. T. CHATEAU P. 18

19 Correcteur proportionnel intégral utilisé pour augmenter la précision statique C(p) = τ i p = 1 + τ ip τ i p (6) G/db après correction avant correction -180 O T. CHATEAU P. 19

20 Correcteur proportionnel intégral On remarque que l influence du correcteur proportionnel intégral apparaît uniquement en basse fréquence. Il est important, pour avoir un réglage satisfaisant, de respecter la condition 1 τ i < ω R. Dans ce cas, ni la pulsation de résonance, ni le facteur de résonance ne sont modifiés. La précision dynamique du système reste donc inchangée. T. CHATEAU P. 20

21 Correcteur proportionnel intégral Schéma électrique T. CHATEAU P. 21

22 Correcteur à retard de phase Approximation du correcteur PI C(p) = 1 + τp 1 + bτp, b > 1 (7) Bon réglage : C(p) = k 1 + aτ p 1 + τ p, a < 1 (8) 1 τ < ω R (9) T. CHATEAU P. 22

23 Correcteur à retard de phase G/db après correction avant correction -180 O phi/deg T. CHATEAU P. 23

24 Correcteur PID Il regroupe les 3 actions : L action proportionnelle, L action dérivée, L action intégrale. Son expression est : C(p) = K ( ) T i p + T dp soit, C(p) = K 1 + T ip + T i T d p 2 T i p T. CHATEAU P. 24

25 Correcteur PID Réglage : On pose : a = T i T d a pour ω <, le gain est accru : retard de phase, T i a pour ω >, le gain est réduit : avance de phase T i a pour ω =, invariance de gain et de phase (si K = 1) T i Pulsation de pivot : a ω a = T i Rotation du lieu de la BO par rapport au pivot lors de la T. CHATEAU P. 25

26 Correcteur PID T. CHATEAU P. 26

27 Correcteur PID T. CHATEAU P. 27