Actions de contact entre solides Liaisons

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1 CHAPIRE 13 Actions de contact entre solides Liaisons 13.1 LOIS DU CONAC ENRE SOLIDES Introduction Pour déplacer sur le sol un solide (armoire, caisse (figure 13.1), etc.) il est nécessaire d'exercer une action mécanique suffisante pour vaincre l'action exercée par le sol sur le solide, action qui s'oppose à tout mouvement du solide sur le sol. Les actions de contact entre solides sont de caractère inter-moléculaire et ne se manifestent qu'à cette échelle. Elles ne s'exercent donc qu'à des distances extrêmement faibles, d'où leur nom d'actions de contact. De ce fait, les actions de contact sont très sensibles à l'état des surfaces en contact. Par ailleurs, les actions de contact dépendent des autres actions mécaniques exercées. Par exemple, il est plus difficile de tirer la caisse remplie que la caisse vide. Les phénomènes de contact sont complexes, et les lois du contact que nous énoncerons ne sont qu'approchées. Elles constituent toutefois une approche satisfaisante dans de nombreux problèmes mettant en jeu des actions de contact entre solides. FIGURE Déplacement d'une caisse.

2 13.1 Lois de contact entre solides Contact ponctuel Lois du contact ponctuel Soit deux solides et (), en contact au point P à un instant donné (figure 13.2). En fait le contact se fait suivant des surfaces de dimensions très faibles et peut être assimilé à un contact ponctuel. Les deux solides étant supposés indéformables et impénétrables, ils sont tangents en P. Nous sommes dans le schéma cinématique étudié au chapitre 10 (paragraphe ). Du fait du contact des deux solides en P, le solide () exerce sur le solide une action de contact représentée par le torseur { C S}. Les lois du contact ponctuel sont les suivantes : 1ère loi L'action de contact exercée par le solide () sur le solide est une force dont la ligne d'action passe par le point de contact P. Le torseur { C S} est donc un glisseur d'axe passant par le point de contact P. En particulier : M P{ C S } = 0. (13.1) L'étude expérimentale des phénomènes de contact montre que la résultante de l'action de contact exercée par le solide (), n'est pas, comme les actions à distance, connue ou calculable à priori, mais dépend des autres actions mécaniques exercées sur. L'action de contact doit toutefois vérifier certaines conditions exprimées dans des lois que nous énonçons ci-après. P () FIGURE Solides en contact ponctuel.

3 188 Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons La force de contact exercée par le solide () sur le solide est décomposée en deux forces : une force de résultante Rt, appelée force de résistance au glissement ou force de frottement, dont la ligne d'action est contenue dans le plan tangent en P aux deux solides ; une force de résultante Rn appelée force de contact normale, dont la ligne d'action est la droite normale en P au plan tangent. La résultante de l'action de contact s'écrit ainsi : R{ C S } = Rt + Rn. (13.2) 2ème loi Si le vecteur n est le vecteur directeur unitaire de la normale en P orientée du solide () vers le solide, dans tous les cas où et () ne sont pas collés au point P, on a : R = R n, avec R 0, (13.3) n n n où R n est la composante de la force de contact normale. Cette loi exprime le fait que la force de contact normale s'oppose à la pénétration du solide dans le solide (). La représentation symbolique de la force de contact est reportée sur la figure ème loi ou loi de Coulomb Il existe un coefficient f positif appelé coefficient de frottement réciproque de sur (), dépendant des matériaux dont sont constitués et (), dépendant de l'état des surfaces en contact, mais indépendant des mouvements ou de l'équilibre de et de (), tel que soit vérifiée à chaque instant la condition : R fr. (13.4) t n R Rn n Rt P plan tangent () FIGURE Composantes normale et tangentielle de la force de contact.

4 13.1 Lois de contact entre solides 189 Cette loi doit être précisée de la manière qui suit : Si le solide glisse sur (), donc si sa vitesse de glissement n'est pas nulle v ( Pt, ) = M 0, (13.5) gs P { V } d'une part, c'est l'égalité qui est vérifiée : Rt = frn, (13.6) ( d'autre part, Rt et v ) gs( Pt, ) sont colinéaires et de signes opposés : R v ( P, t) = 0, R v ( P, t) < 0. (13.7) t gs Si le solide ne glisse pas sur (), donc si sa vitesse de glissement est nulle : v ( Pt, ) = M = 0, (13.8) gs c'est l'inégalité qui est vérifiée : R t < P t S gs { V } fr n S. (13.9) Ce qui précède peut également se traduire en disant que, tant que l'inégalité (13.9) est vérifiée, le solide ne peut pas glisser sur le solide (). Le glissement ne se produit que lorsque les autres actions exercées sur le solide sont assez grandes pour que soit vérifiée la relation (13.6). Le solide glisse alors sur (), la force de frottement étant opposée au vecteur vitesse de glissement au point P. En outre, pour une valeur donnée de R n, l'égalité (13.6) est d'autant plus facilement réalisée que f sera petit. Ce résultat s'exprime en disant que "plus le coefficient de frottement est faible, plus le glissement est aisé". Des ordres de grandeurs peuvent être données pour le coefficient de frottement suivant la nature des solides en contact : bois sur bois : 0,3 à 0,5 ; acier sur bois : 0,25 ; bronze sur bronze : 0,2 ; acier sur acier : 0,15 ; garniture de frein sur tambour d'acier : 0,4 ; pneu sur chaussée : 0,2 à 0, Corrections à la loi de Coulomb Les lois de frottement solide ne sont applicables qu'au cas du frottement sec (non lubrifié) entre deux solides. La loi de Coulomb fournit généralement une approche qualitative satisfaisant aux phénomènes de frottement sec. Si les résultats quantitatifs qu'on en tire ne sont pas toujours en accord avec les valeurs mesurées, cela résulte du fait que le coefficient de frottement est très sensible à l'état de surface des matériaux en contact, à des traces d'humidité ou de lubrifiants, etc., et cela variant d'une région à l'autre des solides en contact. En

5 190 Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons outre le coefficient de frottement dépend de la température des parties en contact, or le frottement les échauffe, d'où une diminution du coefficient de frottement. L'importance de cet effet est mis en évidence dans le comportement du freinage d'une automobile. Le coefficient f dépend également dans une certaine mesure de la composante normale R n. Enfin, le coefficient de frottement dépend de la vitesse de glissement. Une manière assez simple de tenir compte de la dépendance du coefficient de frottement vis à vis de la vitesse consiste à prendre deux valeurs différentes pour les deux éventualités de la loi de Coulomb : un coefficient de frottement au repos f r et un coefficient de frottement de glissement f g, de valeur inférieure à celle du coefficient au repos. Cette distinction entre les deux conditions de frottement permet alors de rendre compte d'effets usuels. Par exemple, un solide se trouve en équilibre sur un plan incliné. Dans le cas d'un équilibre précaire, une très faible impulsion suffit pour rompre l'équilibre, le corps ayant ensuite un mouvement de glissement accéléré. Si le plan est horizontal, un effort plus élevé est nécessaire pour faire bouger le solide que celui nécessaire pour le déplacer ensuite Puissance développée La puissance développée dans le repère () par l'action exercée sur le solide, en contact ponctuel en P avec () est, d'après (11.13) : C C { } ( ) { } { } ( ) P S = S V. (13.10) Soit, exprimée au point de contact P : { } { } P S = R S gs ( P, t ) ou encore puisque v gs ( Pt, ) est orthogonal à Rn : { } P C S = Rt v ( P, t ). (13.12) S C C v, (13.11) La puissance développée par la force de contact normale est nulle. La puissance se réduit à celle développée par la force de frottement. D'après la loi de Coulomb cette puissance est négative ou nulle. gs Contact sans frottement Si le frottement est nécessaire dans certains cas (marche sur le sol, entraînement d'une automobile, etc.), dans d'autres cas il est nécessaire de le diminuer le plus possible afin de diminuer l'énergie dissipée par frottement et d'éviter une usure prématurée des pièces en contact. Dans le cas extrême où le coefficient de frottement est nul, on dit que le contact a lieu sans frottement ou que le contact est parfait au point de contact considéré.

6 13.1 Lois de contact entre solides 191 Dans un tel schéma, nous avons : Rt = 0 et R{ C S} = Rn. (13.13) Le solide () n'exerce sur qu'une action de contact normale. La moindre action exercée sur le solide produira un glissement du solide. D'autre part, l'expression (13.12) montre que la puissance développée est nulle. En conclusion, nous dirons que le contact entre deux solides est parfait ou sans frottement au point P, si et seulement si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : le coefficient de frottement est nul, l'action de contact est normale en P aux deux solides, la puissance développée par l'action de contact est nulle. Ce schéma de contact parfait reste toutefois un schéma idéal, vers lequel on tend à se rapprocher en polissant les surfaces en contact et en les lubrifiant Couples de roulement et pivotement Introduction Dans le paragraphe précédent, nous avons étudié le cas d'un contact ponctuel pour lequel l'action de contact peut être réduite à une force de contact. Dans la pratique, le contact entre les deux solides se fait suivant une surface localisée de centre P. L'action de contact exercée doit alors être décomposée au point P, en une force de contact, dont les propriétés ont été étudiées dans le paragraphe précédent, et un couple de contact de vecteur-moment M égal au moment en P de l'action de contact : M= M P{ C S}. (13.14) Comme la force de contact (relation (13.2)), le couple est décomposé en deux couples : un couple de résistance au roulement de vecteur-moment M t, dont la direction est contenue dans le plan tangent en P aux deux solides ; un couple de résistance au pivotement de vecteur-moment M n de direction orthogonale au plan tangent. Le vecteur-moment s'écrit ainsi : M= M + M. (13.15) Les propriétés des couples de contact sont complexes. Des lois semblables à la loi de Coulomb sont cependant formulées pour une analyse qualitative des phénomènes de roulement et de pivotement. t n

7 192 Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons Lois du roulement Le schéma généralement retenu est le suivant. Si le solide ne roule pas sur (), donc si le vecteur rotation de roulement (paragraphe ) est nul : ( ) ω = 0, (13.16) St le moment du couple de résistance au roulement vérifie l'inégalité : M < hr. (13.17) t Si le solide roule sur (), soit si : ( ) ωst 0, (13.18) d'une part : M t = hr n, (13.19) ( ) d'autre part M t et ωst sont colinéaires et de signes opposés. Le paramètre h est appelé coefficient de résistance au roulement. Il a la dimension d'une longueur Lois du pivotement Les lois du pivotement peuvent être énoncées de la même manière en remplaçant dans les lois du roulement ( ) ωst et M t, respectivement par le vecteur ( ) rotation de pivotement ωsn et par le moment M n du couple de résistance au pivotement, et en introduisant un coefficient de résistance au pivotement. Notons que la résistance au pivotement résulte de la résistance au glissement des surfaces en contact. Elle est donc une fonction du coefficient de frottement et des dimensions des éléments en contact. Cette fonction est toutefois difficile à expliciter. n Introduction 13.2 LIAISONS Les mouvements d'un solide par rapport à un repère (), dont nous avons étudié la cinématique au chapitre 9, sont obtenus en réalisant une liaison entre les solides et (). Cette liaison est réalisée en mettant en contact des surfaces des solides et (), le contact ayant lieu suivant un arc de courbe ou une surface. L'action de contact exercée par le solide () sur le solide résulte des actions de contact exercées en chaque point de l'arc de courbe ou de la surface de contact. Cette action de contact est généralement appelée action de liaison. Elle est représentée par un torseur que nous noterons L. { } S

8 13.2 Liaisons Classification des liaisons Liaisons simples Deux solides et () sont liés par une liaison simple, s'ils sont en contact suivant deux surfaces géométriques élémentaires, l'une appartenant à, l'autre à (). Nous nous limiterons dans ce chapitre aux surfaces élémentaires : plan, cylindre de révolution et sphère. Ces surfaces sont simples à réaliser, ce ne sont toutefois pas les seules surfaces élémentaires utilisées. Par mise en contact de ces surfaces, nous obtenons six liaisons simples : plan cylindre sphère plan appui plan appui linéique appui simple cylindre sphère liaison verrou (ou pivot glissant) liaison gouttière liaison rotule (ou liaison sphérique) Les schémas des ces liaisons, avec leurs symboles, sont représentés sur les figures 13.4 à Appui plan (figure 13.4) Les surfaces en contact sont planes. Le solide a, par rapport au solide (), 3 degrés de liberté : 2 degrés en translation et 1 en rotation. Appui linéique (figure 13.5) Les solides sont en contact suivant un segment de droite. Le solide a, par rapport au repère (), 4 degrés de liberté : 2 en translation et 2 en rotation. () () FIGURE Appui plan.

9 194 Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons () () FIGURE Appui linéique. () () FIGURE Appui simple. Appui simple (figure 13.6) Les solides sont en contact en un point. Le solide a 5 degrés de liberté : 2 en translation et 3 en rotation. Liaison verrou (ou pivot glissant) (figure 13.7) Les solides sont en contact suivant un cylindre. Le solide a, par rapport à (), 2 degrés de liberté : 1 en translation et 1 en rotation. Liaison gouttière (figure 13.8) Les solides sont en contact suivant un cercle. Le solide a 4 degrés de liberté : 1 en translation et 3 en rotation. Liaison rotule (ou liaison sphérique) (figure 13.9) Les solides sont en contact suivant une sphère. Le solide possède 3 degrés de liberté en rotation.

10 13.2 Liaisons 195 () () FIGURE Liaison verrou. () () FIGURE Liaison gouttière. () () FIGURE Liaison rotule.

11 196 Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons () l 1 l 2 l 3 FIGURE Représentation symbolique d'une liaison composée Liaisons composées Deux solides et () sont liés par une liaison composée, si la liaison est réalisée à l'aide de plusieurs liaisons simples. Une liaison composée peut être représentée symboliquement par le schéma de la figure 13.10, où l 1, l 2, l 3,..., sont des liaisons simples. Exemples de liaisons composées Une liaison rotoïde (ou liaison pivot) peut être réalisée par exemple à l'aide d'une liaison verrou et d'une rotule (figure 13.11a), ou à l'aide de deux rotules (figure 13.11b). Le solide possède, par rapport au solide (), 1 degré de liberté en rotation. Une liaison prismatique (ou glissière) peut être réalisée (figure 13.12) à l'aide de deux appuis plans. Le solide possède 1 degré de liberté en translation Liaisons complexes Deux solides et () sont liés par une liaison complexe, si la liaison est réalisée par l'intermédiaire d'un ou plusieurs solides. Une liaison complexe est symbolisée sur le schéma de la figure 13.13a. Les solides et () sont liés par l'intermédiaire des solides (S 1 ) et (S 2 ), liés les uns (a) () () (b) (c) () FIGURE Liaison rotoïde.

12 13.2 Liaisons 197 () () FIGURE Liaison prismatique. aux autres par des liaisons l 1, l 2, l 3. La figure 13.13b donne un exemple de liaison complexe : les solides et () sont liés par l'intermédiaire d'une liaison verrou, d'une rotule et d'une liaison rotoïde, les axes des liaisons verrou et rotoïde étant concourants au centre de la rotule Actions de liaison Généralités Les éléments de réduction en un point P de l'action de liaison exercée par le i, j, k suivant : R{ L( S) } = Xl i + Ylj + Zlk, (13.20) MP{ L( S) } = Ll i + Mlj + Nlk. solide () sur le solide peuvent être exprimés dans une base L'action de liaison, et par conséquent les composantes X l, Y l, Z l, L l, M l et N l l 3 l 2 (S 2 ) (S 1 ) l 1 () (a) () (b) FIGURE Liaison complexe.

13 198 Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide. outefois pour résoudre les problèmes de mécanique des solides, il est nécessaire d'introduire des hypothèses sur certaines composantes suivant la nature physique des liaisons : liaison sans frottement, liaison avec frottement sec ou liaison avec frottement visqueux Puissance développée par les actions de liaison La puissance développée dans le repère () par l'action de liaison exercée par le solide () sur le solide est d'après (11.13): ( ) { } { P L S = L S } V, (13.21) { } { } S où V S est le torseur cinématique relatif au mouvement du solide par rapport au solide (). En introduisant les éléments de réduction en P de l'action de liaison (13.20), la relation précédente s'écrit : { } { } { } { P L S = R L S M P VS + M P L S } R{ V S }, (13.22) ou P S = R S v ( P, t) + M S ω, (13.23) { L } { L } P{ L } S en introduisant le vecteur vitesse du point P et le vecteur rotation instantané Liaison sans frottement Schéma de liaison parfaite De manière à réduire l'énergie dissipée et à diminuer l'usure des surfaces en contact, il est nécessaire de réaliser des surfaces telles que le contact en chaque point se rapproche le plus possible d'un contact parfait. Nous dirons qu'une liaison entre deux solides est parfaite, si le contact entre deux solides est parfait en tout point. Par extension des résultats établis au paragraphe , nous déduisons alors : Une liaison est parfaite, si et seulement si la puissance développée par l'action de liaison est nulle. Nous prendrons cette propriété comme définition d'une liaison parfaite. Le modèle de liaison parfaite n'est toutefois qu'un modèle idéalisé, vers lequel on tend généralement à s'approcher dans les réalisations technologiques Liaison rotoïde Dans le cas d'une liaison rotoïde, le solide est animé, par rapport au repère (), d'un mouvement de rotation autour de l'axe de liaison rotoïde. Ce mouvement a été étudié au paragraphe Le solide possède un degré de liberté en

14 13.2 Liaisons 199 rotation ψ et le torseur cinématique est défini (paragraphe ) par ses éléments de réduction en un point O S quelconque de l'axe de rotation : R{ VS } = ωs = ψ k, (13.24) MO { } S VS = v ( OS, t) = 0. La puissance développée, dans le repère (), par l'action de liaison est d'après (13.23) : P S = M S ω = Nψ { L } O { L }. (13.25) S S l La condition de liaison parfaite s'écrit donc : ( ) P { L ( S) } = Nψ l = 0, ψ. (13.26) Soit : N l = 0. (13.27) D'où le résultat : Si le solide est lié au solide () par une liaison rotoïde parfaite, d'axe de vecteur directeur k, l'action exercée par () sur est représentée par un torseur ayant dans une base ( i, j, k ) : une résultante quelconque de composantes X l, Y l, Z l ; un moment en un point quelconque de l'axe de la liaison rotoïde orthogonal à la direction de cet axe, donc de composantes L l, M l, 0. Nous écrivons ce résultat sous la forme : L ( S) = X, Y, Z, L, M, 0, (13.28) { } { } O l l l l l S OS où O S est un point quelconque de l'axe de la liaison rotoïde. Les composantes X l,..., M l, dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide Liaison prismatique Dans le cas d'une liaison prismatique, le solide est animé d'un mouvement de translation rectiligne. Si i est la direction de la liaison prismatique, le solide possède un degré de liberté en translation x (abscisse d'un point P quelconque du solide ). Les éléments de réduction au point P du torseur cinématique sont : R{ VS } = ωs = 0, (13.29) MP{ V } (, ), S = v Pt = xi P S. La puissance développée, dans le repère (), par l'action de liaison est : P S = R S v ( P, t ) = X x { L } { L }. (13.30) l La condition de liaison parfaite s'écrit donc : X = 0. (13.31) l

15 200 Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons D'où le résultat : Si le solide est lié au solide () par une liaison prismatique parfaite de direction i, l'action exercée par () sur est représentée par un torseur ayant dans une base ( i, j, k ) : une résultante orthogonale à i, donc de composantes 0, Y l, Z l,; un moment quelconque de composantes L l, M l, N l quel que soit le point du solide. Soit donc : L ( S) = 0, Y, Z, L, M, N, (13.32) { } { } P l l l l l P où P est un point quelconque du solide Liaison verrou Dans le cas où le solide est lié au solide () par une liaison verrou de direction k, le solide possède (paragraphe 9.4.3) un degré de liberté en translation z (abscisse d'un point O S quelconque de l'axe du verrou) et un degré de liberté en rotation ψ. Les éléments de réduction au point O S du torseur cinématique (relations (9.66) et (9.67)) sont : R{ VS } = ωs = ψ k, (13.33) MO { } S VS = v ( OS, t) = zk. La puissance développée, dans le repère (), par l'action de liaison est d'après (13.23) : ( ) P L ( S) = Z z + Nψ (13.34) { } l l La condition de liaison parfaite s'écrit donc : Zz l+ Nlψ = 0, z, ψ. (13.35) Soit : Zl = 0, Nl = 0. (13.36) D'où le résultat : Si le solide est lié au solide () par une liaison verrou parfaite d'axe de direction k, l'action exercée par () sur est représentée par un torseur ayant dans une base ( i, j, k ) : une résultante de composantes X l, Y l, 0 ; un moment de composantes L l, M l, 0, en un point quelconque de l'axe de la liaison verrou. Ce résultat peut être écrit sous la forme : L ( S) = X, Y, 0, L, M, 0, (13.37) { } { } O l l l l S OS où O S est un point quelconque de l'axe de la liaison verrou. Les composantes X l, Y l, L l, et M l dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide.

16 13.2 Liaisons Liaison rotule Dans le cas où le solide est lié au solide () par une liaison rotule de centre A, le solide possède trois degrés de liberté en rotation. Le mouvement de est un mouvement de rotation autour d'un point (paragraphe 9.4.4) et le torseur cinématique s'exprime en A suivant : R{ VS } = ωs = ψk + θi3 + ϕks, (13.38) MA{ V } = v ( At, ) = 0. La condition de liaison parfaite s'écrit : P S = M S ω = 0 S { L } A{ L }. (13.39) S Cette condition doit être vérifiée quel que soit le mouvement de rotation du solide ( ), donc quel que soit le vecteur rotation ωs. La condition de liaison parfaite s'écrit donc ici : MA{ L ( S )} = 0. (13.40) D'où le résultat : Si le solide est lié au solide () par une liaison rotule parfaite de centre A, l'action de liaison exercée par () sur est une force dont la ligne d'action passe par le centre A de la rotule. Les composantes de la résultante de la force dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide Appui plan Dans le cas d'un appui plan, le solide est animé d'un mouvement plan sur plan (paragraphe 9.4.5), par rapport au solide (). Le solide possède deux degrés de liberté en translation x et y (coordonnées d'un point P quelconque du plan de contact) et un degré de liberté en rotation ψ autour de la direction orthogonale au plan de contact (figure 13.14). Les éléments de réduction, au point P du plan de contact, du torseur cinématique s'écrivent : R{ VS } = ωs = ψ k, (13.41) MP { V } = v ( P, t) = xi + yj. S La puissance développée est : ( ) P { L ( S) } = X x+ Y y+ Nψ, (13.42) et la condition de liaison parfaite s'écrit : l l l X = 0, Y = 0, N = 0. (13.43) l l l

17 202 Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons z z (S ) O y S y P y x x ψ x S FIGURE Solide en appui plan. Nous écrivons ce résultat sous la forme : L ( S) = 0, 0, Z, L, M, 0 (13.44) { } { } P l l l P où P est un point quelconque du plan de contact Conclusions Les exemples étudiés dans les paragraphes précédents montrent que, dans le cas d'une liaison sans frottement, les composantes de l'action de liaison, qui correspondent aux degrés de liberté du solide, s'annulent : composantes de la résultante pour les degrés de liberté en translation et composantes du moment pour les degrés de liberté en rotation. Cette propriété résulte de l'expression (13.23) de la puissance et de la condition de liaison sans frottement qui explicite que cette puissance est nulle Liaison avec frottement Dans la pratique, il est nécessaire de tenir compte des frottements entre les surfaces de contact des solides en liaison. Dans le cas d'un frottement solide, il sera possible de transposer les lois énoncées au paragraphe 13.1 et de les appliquer à l'action de liaison exercée par le solide () sur le solide. Dans le cas d'un frottement visqueux, il est possible de rendre compte du frottement en prenant des composantes de l'action de liaison proportionnelles aux composantes des vitesses et de signes opposés. Par exemple : Xl = fxx, Yl = fy y, Zl = fzz, Nl = f ψ ψ, (13.45) où les coefficients f i (i = x, y, z, ψ) sont des coefficients de frottement visqueux.

18 Commentaires 203 COMMENAIRES Les liaisons ont une importance particulière dans le cadre de la conception des systèmes mécaniques. Le lecteur devra donc apporter une attention toute particulière aux notions développées dans le présent chapitre. En application des concepts généraux, ce chapitre s'est intéressé aux liaisons entre solides par l'intermédiaire des liaisons élémentaires. Le lecteur devra avoir bien assimilé les éléments développés dans ce cadre. Contrairement aux actions à distance, les actions de contact dépendent des autres actions exercées sur le solide ou l'ensemble de solides considéré. Certaines conditions sur les actions de liaison sont toutefois apportées suivant que les liaisons se font avec frottement ou sans frottement. Ces conditions sont aisément obtenues dans le cas où il n'y a pas de frottement, en écrivant la nullité de la puissance développée dans le mouvement des solides en liaison. Pour tenir compte des conditions de frottement le schéma le plus simple à traiter est celui du frottement visqueux où les composantes des actions de liaison sont proportionnelles aux composantes des vitesses et de signes opposés. Le frottement de type solide est généralement assez difficile à analyser. Le comportement est transposé de la loi de frottement de Coulomb énoncée dans le cas de deux solides en contact ponctuel et des lois de roulement et de pivotement.