Maths en Jeans, Fractions Égyptiennes. Camille Laurent-Gengoux

Transcription

1 Maths en Jeans, Fractions Égyptiennes Camille Laurent-Gengoux

2 Qu est ce que Maths en Jeans? une association, loi 1901, crée en 1989 ; soutenue par l Éducation nationale et le CNRS. Objectif : Vous faire découvrir les mathématiques par vous-même, et non vous les faire apprendre. Vous faire créer des mathématiques par vous-même, et non vous les faire subir. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 2

3 Permettez-moi de me présenter... Je m appelle Camille Laurent-Gengoux. J ai 29 ans. Je suis maître de conférence à l Université de Poitiers. 1. je suis prof à la fac, 2. je suis chercheur, à la fac aussi, où je fais de la Physique-mathématique. Mes études : 1. j ai fait une prépa, puis un parcours universitaire, 2....jusqu à la thèse ; 3. puis un an aux USA à Penn. State ; 4. j étais nul en maths au lycée. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 3

4 Pourquoi suis-je venu ici? 1. Apprendre des choses de vous ; 2. vous apprendre que les maths, c est avant tout amusant, 3. et que parfois c est très beau, 4. et même utile, 5. pour vous faire découvrir qu il y a des tas des choses qui restent à faire en maths ; que ce n est pas un domaine mort, 6. vous initier à la recherche, 7. pour vous inviter à compter parmi mes étudiants d ici à quelques années, qui sait??? Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 4

5 De la beauté des mathématiques : On appelle cela une fractale. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 5

6 Je ne suis PAS venu pour 1. vous noter, 2. vous donner des devoirs en plus, 3. vous apprendre des maths, 4. etc ET SURTOUT PAS, pour vous dire et maintenant on fait ci puis ça et après on fera cela 6. en fait, je ne sais pas ce que l on va faire, c est bien cela la recherche, c est d aller là où on ne sait pas. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 6

7 Qui fait quoi? Vous : réfléchissez (c est bien là le but premier) ; cherchez de la documentation, rédigez vos résultats, échangez vos résultats avec vos partenaires, exposez vos résultats à l Université et à Paris. Vos professeurs animent le groupe de travail, vous aident à surmonter quelques difficultés, vous aident à trouver des documents, vous aident à préparer les exposés Le chercheur : vous propose un sujet, puis suit l avancement de vos travaux, nous nous rencontrons plusieurs fois, puis je réponds aux question, si j en suis capable... Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 7

8 Votre niveau en maths n a aucune importance. 1. parce qu on repart de zéro. Aucune connaissance particulière n est nécessaire, 2. savoir se creuser la tête et savoir résoudre des exos, ce n est pas du tout pareil... Ce qui compte c est 1. votre curiosité de marcher hors sentiers battus, 2. votre imagination pour créer du nouveau, 3. votre autonomie, c est à vous de chercher, 4. votre volonté de tenir même quand cela ne marche pas et il y a toujours un moment où cela ne marche pas. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 8

9 Me contacter Par laurent@math.univ-poitiers.fr La page web de notre groupe de maths en jeans : http ://www-math.univ-poitiers.fr/ laurent/index.html Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 9

10 Bien, mais mes maths, à quoi cela sert vraiment? 1. tout d abord, même ce qui semble de l art pour l art, cela finit par servir, un jour, parfois lointain, 2. informatique, 3. modélisation. Tourbillon derrière le passage d un avion. Ce dessin a été obtenu par un calcul, et non par une expérience. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 10

11 Voici comment vole un avion... qui n existe pas encore... Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 11

12 Qu est la recherche en mathématiques? Est-ce que l on a tout démontré en maths? Non, au contraire! Un exemple, en 1742, Goldbach suggéra à Euler que : Tout nombre pair est somme de deux nombres premiers. On peut vérifier aujourd hui expérimentalement sur ordinateur, que cela semble vrai. Mais on ne sait pas le démontrer, c est une conjecture. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 12

13 Est-ce que l on sait démontrer tout ce dont l on a vraiment besoin? Non, au contraire! Par exemple, on a aujourd hui deux théories physiques fondamentales dont les lois sont sensées régir l univers. 1. la relativité générale, 2. la mécanique quantique. On ne sait pas unifier ces théories en une seule. mais sans aller aussi loin, on ne sait pas même étudier le comportement à long terme de certains gaz, comme l air par exemple (ci-dessus un cyclone). Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 13

14 Le thème de cette année, les fractions égyptiennes. une question millénaire, très simple, et non résolue. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 14

15 Les égyptiens étaient de drôles de gens... D abord, ils comptaient comme cela : Ensuite, ils avaient horreur des fractions... Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 15

16 ... ils n auraient jamais écrit 4/7. Ils voulaient bien écrire 1/7 ou 1/9 ou 1/67 mais pas 4/78 ou 9/37. Bref 1/n oui, mais p/n non. En ce cas, que faire de 4/7??? Réponse. On est sauvé car et 1/2 + 1/14, c est autorisé. 4/7 = 1/2 + 1/14. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 16

17 Et pour 3/28? Encore sauvé car : 3/28 = 1/10 + 1/140 Est-ce que l on peut toujours y arriver? Les banquiers Toscans du XIIIième siècle avaient l esprit pratique. Fibonacci, dit Léonard de Pise, donne une méthode pour écrire un nombre comme 78/4576 ou 12/67 ( bref p/n) comme une somme de nombres de la forme 1/2, 1/3, 1/7, 1/140, 1/567. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 17

18 Les modernes ont des ordinateurs pour travailler à leur place. Et puis, au XX-ième siècle, on a inventé des tas de méthodes, pour écrire un quotient de deux entiers comme une fraction égyptienne....dont l une nous intéresse particulièrement, c est celle du matching pair. mais les modernes ne savent pas pour autant tout faire. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 18

19 au contraire, il y a plein de conjectures sur ce sujet. Vos enseignants vont vous en montrer quelques unes, ainsi, d ailleurs, que les deux méthodes évoquées ci-dessus. A vous, dés cette étape préliminaire, de vous répartir les tâches, qui se spécialise en ordinateurs, qui essaye de comprendre les preuves, qui lit les travaux existants. Cette étape sera commune à tous les groupes, pensez à échanger avec les autres. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 19

20 Et ensuite, c est à vous d essayer de trouver une conjecture, c est à dire : 1. de poser une question naturelle à laquelle vous aurez le plaisir de constater que, inversement, personne, ni vos professeurs, ni moi, ni les deux ou trois grands experts américains de la question ne sait répondre, 3. mais qui semble bien être vraie lorsqu on la vérifie sur ordinateur ou calculatrice. et puis peut-être apportez-vous une réponse... Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 20

21 On ne vous laisse tout de même pas dans la nature. On va vous donner une direction en vous posant une question. Problème.Écrire les entiers 1, 2, 3, 4 etc... comme somme de fractions du type 1/n. Exemple 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6. Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 21

22 Pour cela, il y a deux méthodes : une presque millénaire : la médiévale méthode de Fibonacci et une à peine plus vieille que vous, le matching pair. Question initiale. Laquelle est la plus efficace? Donnent-elles les mêmes résultats? A vous de vous partager la tâche entre groupes. Par exemple, deux groupes regardent Fibonacci, d autres le matching pair. La réponse à cette question, que je ne connais pas, est déjà elle-même intéressante. Mais le plus intéressant est qu elle amènera d autres questions... auxquelles vous répondrez... et qui amèneront d autres questions... etc... On appelle cela la recherche. Merci de votre attention. Avez vous des question? Maths en Jeans; Fractions égyptiennes. 22