1 RECURRENCE - SUITES BORNEES

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1 I - Rappels - Généralités 1. Définitions 1 RECURRENCE - SUITES BORNEES Une suite est une application de IN dans IR qui associe à tout entier n un unique réel. On note (u n ) la suite et u n le terme de rang n. Si la suite ne commence pas au rang 0, mais au rang 3 par exemple, on note (u n ) n 3. Ex : 1 n n 1 commence obligatoirement à u Mode de génération d'une suite On peut définir une suite soit : a) à partir d'une expression explicite (i.e en fonction de n) ex : u n = n² n+2 Calculer u 2 et u 10 v n = 2n - (-1) n Calculer v 2 et v 5 On dit qu'une telle suite est une suite fonctionnelle, u n = f(n) avec f définie sur [0;+[. b) à partir d'une relation de récurrence On donne la valeur d'un terme et une relation dite de récurrence liant un terme au(x) terme(s) précédent(s). Ex : u 0 = -1 u n+1 = 2u n + 3 n IN Calculer u 4 3. Représentation graphique d'une suite a) Suite fonctionnelle u n = n² n+2 x². On trace f(x) = sur IR+. Les termes de la suite sont les images des entiers n par f. x+1 b) Suite récurrente u 0 = 1 u n+1 = u n + 2 On trace la fonction f(x) = x+2 sur IR+ et la droite d'équation y = x. On place u 0 en abscisse, on lit son image sur C f puis on la reporte en abscisse en utilisant la droite d'équation y = x pour obtenir u 1 et ainsi de suite. Page 1 sur 7

2 4) Sens de variation d'une suite a) Définitions Une suite est dite croissante si pour tout n de IN, u n+1 u n Une suite est dite décroissante si pour tout n de IN, u n+1 u n Une suite est dite constante(ou stationnaire) si pour tout n de IN, u n+1 = u n Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone. b) Méthodes pour déterminer le sens de variation Faire la différence de deux termes consécutifs On calcule la différence u n+1 - u n et on étudie le signe de la différence. Si pour tout n IN, u n+1 - u n 0 alors la suite est croissante Si pour tout n IN, u n+1 - u n 0 alors la suite est décroissante Remarque: cette technique s'utilise en général pour les suites récurrentes. Ex : u 0 = 1 u n+1 = u n - 1 n+1 Suites à termes positifs u n+1 - u n = - 1 n+1 0 pour tout n de IN, donc (u n) est décroissante. Lorsque tous les termes de la suite (u n ) sont strictement positifs, on étudie le rapport u n+1 u n et on le compare à 1. Si u n+1 u n 1 alors (u n ) est croissante Si u n+1 u n 1 alors (u n ) est décroissante Ex : Etudier le sens de variation de la suite définie par u n = n 2 n Suites fonctionnelles On étudie le sens de variation de la fonction f sur IR+ (ie on calcule f'(x) et on étudie son signe). La fonction et la suite ont le même sens de variation. Ex : Etudier le sens de variation de la suite définie par u n = n+3, pour tout n IN. 2n+1 Page 2 sur 7

3 5) Suite majorée, minorée, bornée Une suite est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n de IN, u n M. On dit que M est un majorant de la suite (u n ). Une suite est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout n de IN, u n m. On dit que m est un minorant de la suite (u n ). Une suite est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Exemples Remarque : Une suite croissante est minorée par son premier terme, une suite décroissante est majorée par son premier terme. Montrer que la suite définie pour tout n de IN par u n = n+3 2n+1 est minorée par 1 2 Montrer que la suite définie pour tout n de IN par u n = -n-4 2n+1 est majorée par Montrer que la suite (u n ) n 1 définie par u n = 3-1 est bornée. n II - Suites arithmétiques - Suites géométriques 1. Suites arithmétiques a) Définition Une suite (u n ) est arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r appelée la raison de la suite. n IN u n+1 = u n + r Ex Montrer que la suite définie pour tout n de IN par u n = 3n + 1 est arithmétique. Préciser sa raison. b) Sens de variation Si r > 0 la suite est strictement croissante Si r < 0 la suite est strictement décroissante Si r = 0 la suite est constante c) Relation entre 2 termes Pour tous n et p de IN, u n = u p + (n-p)r Ex On considère une suite arithmétique de raison r = -2 et telle que u 10 = 5. Expliciter u n en fonction de n. d) Somme de termes consécutifs nombre de termes(premier terme + dernier terme) S = 2 Ex r = 3 u 1 = 2 Calculer S = u 6 + u u 21 Page 3 sur 7

4 2. Suites géométriques a) Définition Une suite (u n ) est géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en multipliant par une constante q appelée la raison de la suite. n IN u n+1 = qu n Ex Montrer que la suite définie pour tout n de IN par u n = 3 n+2 2 n est géométrique. Préciser sa raison. b) Sens de variation Si q > 1 la suite (q n ) est strictement croissante Si 0 < q < 1 la suite (q n ) est strictement décroissante Si q< 0 la suite(q n ) n'est pas monotone c) Relation entre 2 termes Pour tous n et p de IN, u n = u p q n-p Ex On considère une suite géométrique de raison q = -2 et telle que u 10 = 5. Expliciter u n en fonction de n. d) Somme de termes consécutifs ( avec q 1) de termes 1 - qnombre S = premier terme 1 - q Ex q = 3 u 1 = 2 Calculer S = u 6 + u u 12 III - Raisonnement par récurrence 1. Le principe Pour le vérifier, il faudrait procéder à une infinité de vérifications, ce qui est impossible. L'idée du raisonnement par récurrence est la suivante: on se place sur la première marche d'un escalier ayant une infinité de marches et si l'on sait passer d'une marche quelconque à la suivante alors on peut gravir la totalité de l'escalier. Page 4 sur 7

5 Ex Reprenons l'exemple du début IV - ALGORITHMES 1. Les Tests Page 5 sur 7

6 2. Les Boucles Page 6 sur 7

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