DM33 Climatiseur [ENSTIM 2002]

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1 DM33 Climatiseur [ENSTIM 2002] On s intéresse au fonctionnement d un appareil de climatisation, dont le but est de maintenir une température constante (T 0 20 C) dans un local été comme hiver. Le climatiseur fonctionne donc en pompe à chaleur l hiver, en machine frigorifique l été. Les transferts thermiques du climatiseur se font avec 2 sources : L intérieur de la pièce (à T 0 ) L atmosphère extérieure (on prendra T ext T 1 0 C en hiver; T ext T 2 40 C en été afin de prévoir des conditions «extrêmes»). Le fluide caloporteur qui effectue des cycles dans l appareil est l ammoniac. Ses caractéristiques thermodynamiques sont résumées dans le diagramme entropique T(s) où sont représentées : les isenthalpiques («H» est donné en kj/kg [il s agit donc de l enthalpie massique h]) ; les isobares (représentées par..... dans le domaine «vapeur sèche»). On donne, par ailleurs, les pressions de vapeur saturante P (T) aux trois températures d étude : P 1 P (0 C) 4,3 bars P 0 P (20 C) 8,2 bars P 2 P (40 C) 15 bars On se limitera à l étude du climatiseur en régime permanent. Par un jeu de vannes adéquat, le fluide peut circuler dans un sens pour chauffer la pièce (A,B,C,D,A); dans l autre sens pour la rafraîchir (B,A,D,C,B). Rafraîchissement Extérieur Text E 2 A B Compresseur Détendeur D C Chauffage E 1 Local à T 0 20 C Le circuit comporte 2 parties isobares : L une à la pression de vapeur saturante de l ammoniac à T 0 20 C (côté local); L autre à la pression de vapeur saturante de l ammoniac à T ext (côté atmosphère extérieure). Par ailleurs, lorsqu on néglige les variations d énergie cinétique et les variations d altitude, on rappelle qu à la traversée d une partie active (compresseur, détendeur ou échangeur) l énergie reçue par le fluide circulant en régime permanent vérifie : h h s h e w u +q si h e et h s sont les enthalpies massiques du fluide à l entrée et à la sortie; w u et q étant le travail et la chaleur utiles reçus (c est-à-dire échangés avec l extérieur du circuit, excluant le travail des forces de pression du fluide en amont et en aval de la partie active) par kilogramme de fluide traversant la partie active. Entrée Partie active Sortie Le fluide subit des échanges de chaleur isobares(sans recevoir de travail utile) dans les échangeurs E 1 et E 2 avec les 2 sources de chaleur (local et atmosphère extérieure). Un système de ventilation permet d améliorer les échanges thermiques : la température du fluide est celle de la source d échange à la sortie de chacun d entre eux. Le compresseur comprime de manière adiabatique quasi-statique le fluide à l état gazeux de la plus faible à la plus forte pression. L unité de masse de fluide traité y reçoit le travail utile w u. wu q

2 Climatiseur Le fluide subit une détente adiabatique, sans échange de travail utile, dans le détendeur (la détente est donc isenthalpique). I Généralités : I.1) En deux phrases de rédaction : Comment réalise-t-on un détendeur (détente isenthalpique d un fluide)? Quel autre nom porte une telle détente? I.2) Le premier principe de thermodynamique est bien vérifié dans une partie active; c est pourtant h (et non u) qui est égal à w u +q...faire une démonstration complète et rigoureuse de cette relation. I.3) En supposant que l ammoniac, à l état gazeux dans le compresseur, est assimilable à un gaz parfait de cœfficient adiabatique γ constant, exprimer le rapport T s T e (des températures absolues de sortie et d entrée dans le compresseur) en fonction de γ et de P s P e (rapport des pressions de sortie et d entrée du compresseur). I.4) Par lecture du graphe, déduire (avec une précision de 10 kj.kg 1 ) les enthalpies massiques de vaporisation ( chaleurs latentes de vaporisation) de l ammoniac à T 1 0 C, T 0 20 C et T 2 40 C. Les paliers de vaporisation qui viennent d être considérés permettent de trouver quelles courbes correspondent, dans le domaine «vapeur sèche», aux isobares P 1, P 0 et P 2 : placer les valeurs de ces trois isobares sur le graphe. II Fonctionnement hivernal du climatiseur (chauffage) : Dans ce cas : l échangeur E 1 est un condenseur : l ammoniac y entre en B sous forme de vapeur sèche ; il en ressort sous forme de liquide saturant en C, à la température T 0 du local ; l échangeur E 2 est un évaporateur : le mélange liquide + vapeur qui entre en D se vaporise totalement pour ressortir sous forme de vapeur saturante en A à la température de l atmosphère extérieure T 1 0 C. II.1) Tracer le cycle (en l orientant et en justifiant) de l ammoniac sur le diagramme entropique (y faire apparaître les points A, B, C et D). Trouver graphiquement la température T B de l ammoniac à la sortie du compresseur. II.2) Déterminer (graphiquement), pour 1 kg d ammoniac traité (on rappelle que E 1, E 2 et le compresseur sont des parties actives) : Le travail w u fourni par le compresseur au fluide ; La chaleur q c reçue par le fluide (de la part du local) lors du passage dans l échangeur E 1 ; La chaleur q f reçue par le fluide (de la part de l extérieur) lors de son passage dans E 2. Faire ensuite un bilan énergétique du cycle. II.3) Définir et calculer le cœfficient de performance ( efficacité thermique) η du climatiseur. II.4) Démontrer et calculer quel serait le cœfficient de performance η C si le fluide effectuait des cycles de Carnot en effectuant les échanges thermiques avec les mêmes sources de chaleur? En quoi le cycle effectué diffère-t-il d un cycle de Carnot? II.5) Quelle est la fraction massique de vapeur x V (D) à la sortie du détendeur? On demande une démonstration complète et précise. II.6) En utilisant le résultat de la question I.3), évaluer l indice adiabatique γ du gaz ammoniac. 2 Qadri J.-Ph. PTSI

3 Climatiseur III Fonctionnem t estival du climatiseur (rafraîchissem t ) : Les rôles des 2 échangeurs sont inversés : E 1 est un évaporateur ; E 2 un condenseur. La condensation est toujours totale : le fluide à la sortie du condenseur est sous forme de liquide saturant. III.1) Tracer le cycle (en l orientant et en justifiant) de l ammoniac sur le diagramme entropique ; on affectera les points de l indice : (B A D C B ). Préciser les états physique en chacun des quatre points particulier du cycle (vapeur saturante? liquide saturant? vapeur sèche? mélange liquide + vapeur?) Déterminer graphiquement les enthalpies massiques h(a ), h(b ), h(c ) et h(d ). Déterminer graphiquement la température T A à la sortie du compresseur. III.2) Déterminer (graphiquement), pour 1 kg d ammoniac traité (même remarque qu en II.2)) : Le travail w u fourni par le compresseur ; La chaleurq 1 reçue par le fluide (de la part de la pièce) lors du passage dans l échangeur E 1 ; La chaleur q 2 reçue par le fluide (de la part de l extérieur) lors du passage dans E 2. III.3) Définir et calculer le nouveau coefficient de performance ( efficacité frigorifique) η du climatiseur. III.4) Quel serait le nouveau cœfficient de performance η C si le fluide effectuait des cycles de Carnot en effectuant les échanges thermiques avec les mêmes sources de chaleur? Qadri J.-Ph. PTSI 3

4 Climatiseur Feuille de réponse pour les questions I.4), II.1) et III.1) 4 Qadri J.-Ph. PTSI

5 Climatiseur Solution I Généralités : I.1) On réalise un détendeur en opérant la diffusion d un fluide à travers une paroi poreuse. Il s agit d une détente de Joule-Thomson (Joule-Kelvin). I.2) Cf. Cours+TD où à de multiples reprises a été établi le premier principe pour un système ouvert. I.3) La transformation dans le compresseur est une transformation adiabatique quasi-statique ( isentropique) d un gaz parfait. On peut donc appliquer les lois de Laplace : PV γ C te ou plutôt, pour cette question, P 1 γ T γ C te. Ainsi : Pe 1 γ Te γ Ps 1 γ Ts γ T s T e ( Ps P e )γ 1 γ I.4) Les paliers de vaporisation correspondent aux segment horizontaux LV sous la courbe de saturation (car un changement d état est une transformation isotherme (et isobare)). Ainsi L vap (T i ) h(v(t i )) h(l(t i )) pour la vaporisaton à la température T i. On a donc : L vap (T 1 0 C) kj.kg 1, L vap (T 0 20 C) kj.kg 1, L vap (T 2 40 C) kj.kg 1. Comme un palier de vaporisation correspond également à une transformation isobare P (T i ), son extrémité {V} indique quelle courbe isobare, dans le domaine «vapeur sèche», correspond à la valeur P i P (T i ). II Fonctionnement hivernal du climatiseur (chauffage) : A s(a) s(b) P A P 1 < P 0 vapeur saturante T A T 1 h(a)1670 kj/kg q f? Extérieur TextT1 compression isentropique E 2 Evaporateur isobare P1 wu? et q 0 A Compresseur B Climatiseur en mode "Chauffage" D C B E 1 Condenseur isobare P0 s(b) s(a) P B P 0 vapeur sèche T B? h(b)1775 kj/kg Local à T 0 20 C q c? D PD P 1 < P 0 liquide + vapeur x V (D)? T D T 1 h(d) h(c) C PC P 0 Détendeur détente isenthalpique liquide saturant wu,dc 0 et q 0 x L (D) 1 T C T 0 h(c) 530 kj/kg II.1) B C est une portion de l isobare P 0 dont on ne peut pas (encore) placer le point B dans le domaine «vapeur sèche» mais dont C correspond au point L(T 0 ) sur la courbe d ébullition car le fluide sort du condenseur E 1 à la température du local T 0 et à l état de liquide saturant. Qadri J.-Ph. PTSI 5

6 Climatiseur C D : la détente étant isenthalpique, h(d) h(c). Par ailleurs, comme D A est une isobare à la pression P 1, D doit être à l intersection de l isenthalpique h(c) 530 kj.kg 1 et de l isobare P 1 : D est donc sur le palier de vaporisation P 1 P (T 1 ) : D est un mélange liquide+vapeur à T 1. D A : le fluide sort de l évaporateur E 2 sous forme de vapeur saturante : A est sur la courbe de rosée à T 1 et P 1. A B : la compression étant isentropique (cf. I.3) ), s(b) s(a) : B est donc à l intersection de l isentropique s(a) et de l isobare P 0, dans le domaine «vapeur sèche». On en déduit : T B 56 C. II.2) w u h(b) h(a) kj.kg 1 q c h(c) h(b) kj.kg 1 < 0 (le fluide cède de la chaleur au local) q f h(a) h(d) kj.kg 1 > 0 (le fluide reçoit de la chaleur de l extérieur) Bilan énergétique pour le cycle, en se souvenant que C D est isenthalpique : h cycle h AB + h BC + h CD + h DA ω u +q c +0+q f 0 On vérifie que l enthalphie est une fonction d état, ne dépendant que de l état thermodynamique considéré, soit : h cycle h(a) h(a) 0. ce qui nous intéresse II.3) Pour une pompe à chaleur, η q c 1245 ce qui nous coûte w u II.4) Un cycle de Carnot étant réversible, l inégalité de Clausius devient égalité de Clausius : Q c + Q f 0, soit, ici : Q c + Q f 0. T c T f T 0 T 1 Et comme le premier principe sur un cycle impose : W U Q 0 Q c Q f, on obtient : η C Q c W Q c Q ( c Q c +Q f Q c 1 T ), soit : η C T T 0 T ,6. T 0 Le cycle de Carnot est constitué de deux isotherme réversibles (une à T f T 1 et une à T c T 0 ) et de deux adiabatique réversibles. Mais dans le cycle étudié, deux partie sont irréversibles : B C : tant que le fluide est une «vapeur sèche», sa température est supérieur à T c T 0 : l échange de chaleur n est ni réversible ni isotherme ; C D : la détente de Joule-Kelvin est adiabatique, mais elle est irréversible. II.5) Sur un palier de vaporisation LV dans le diagramme entropique, où L est sur la courbe d ébullition et V sur la courbe de rosée, les grandeurs intensives sont toutes imposées par la seule donnée de la température (ou de la pression) de ce palier de changement d état car un corps pur diphasé est monovariant. Ainsi, par exemple, l entropie massique de la phase vapeur (ou liquide) pour n importe quel point E du palier de changement d état ne dépendant que de T, pour la connaître il suffit de l identifier à l entropie massique du point V, vapeur saturante (ou celle du point L, liquide saturant) : s V (E) s V (T) s(v) s(a) et s L (E) s L (T) s(l). L entropie étant une fonction extensive, on peut exprimer sa valeur dans l état thermodynamique D en fonction des entropies massiques de la phase vapeur et de la phase liquide ainsi que des masses des phases vapeur et liquide : S(D) S L (D)+S V (D), soit, pour le palier à la température T 1 : m.s(d) m L.s L (D)+m V.s V (D) s(d) x L.s(L 1 )+x V.s(V 1 ) s(d) (1 x V ).s(l 1 )+x V.s(A) 6 Qadri J.-Ph. PTSI

7 Climatiseur Soit : x V (D) L 1D L 1 A s(d) s(l 1) s(a) s(l 1 ) 8,5% II.6) En appliquant la réponse de I.3) à la compression isentropique A B, on obtient : T B T A ( PB P A )γ 1 γ γ 1 γ ln T B T 1 ln P 0 P 1 γ ln 1 T B T 1 ln P 0 P 1 1 1,4 III Fonctionnem t estival du climatiseur (rafraîchissem t ) : III.1) Cette fois, E 1 est un évaporateur. La transformation C B dans E 1 est toujours une isobare P 0 qui correspond à la «pression de vapeur saturante de l ammoniac à T 0» (énoncé, p.1) et la température du fluide en sortie est toujours celle du local (énoncé, p.2) : donc C B est une portion du palier de vaporisation à T 0 et T B T 0. B A : Le compresseur comprime toujours de manière adiabatique quasi-statique un fluide à l état gazeaux supposé parfait (énoncé, p. 2). On en déduit donc que B est à l état de vapeur saturante, donc sur la courbe de rosée à la pression P 0 et que A est dans la zone «vapeur sèche» sur l isentropique s(b ). La transformation A D dans E 2 est toujours une isobare P 2 qui correspond à la «pression de vapeur saturante de l ammoniac à T e xt T 2» (énoncé, p.1), et la température du fluide en sortie est toujours celle de l extérieur : T D T 2 (énoncé, p. 2). On en déduit que A est à l intersection de l isobare P 2 et de l isentropique s(b ). Comme cette fois, E 2 est un condenseur et que la condensation est totale (cf. énoncé, III), D est à l état de liquide saturant (sur la courbe d ébullition donc). A' s(a') s(b') P A' P 2 > P 0 vapeur sèche T A'? h(a')1775 kj/kg q' 2? Extérieur TextT2 compression isentropique E 2 Condenseur isobare P2 w'u? et q 0 A' Compresseur B' Climatiseur en mode "Rafraîchissement" D' C' B' E 1 Evaporateur isobare P0 s(b') s(a') P B' P 0 vapeur saturante T B' T 0 h(b')1680 kj/kg Local à T 0 20 C q' 1? D' P D' P 2 liquide saturant x L (D') 1 T D' T 2 h(d') h(c') C' P C' P 0 < P 2 Détendeur détente isenthalpique vapeur + liquide w'u,d'c' 0 et q 0 T C'? h(c') 640 kj/kg h(c') h(d') Le détendeur impose une détente isenthalpique D C. Donc h(d ) h(c ). On en déduit que C est à l intersection de l isenthalpique h(d ) et de l isotherme T 0. T A 67 C. III.2) w u h(a ) h(b ) kj.kg 1. q 1 h(b ) h(c ) kj.kg 1 q f > 0 (le fluide reçoit de la chaleur de la part du local qui joue cette fois le rôle de source froide). Qadri J.-Ph. PTSI 7

8 Climatiseur q 2 h(d ) h(a ) kj.kg 1 q c < 0 (le fluide cède de la chaleur à l extérieur qui joue cette fois le rôle de source chaude). III.3) Éficacité frigorifique : η ce qui nous intéresse q f ce qui nous coûte w u ,9 11 III.4) Par un raisonnement similaire à celui exposé en II.4), on obtient : η C T f T T c T f T 2 T , Qadri J.-Ph. PTSI