Classification non supervisée à deux niveaux guidée par le voisinage et la densité
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- Émile Leroux
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1 Classification non supervisée à deux niveaux guidée par le voisinage et la densité Guénaël Cabanes LIPN UMR 7030 du CNRS Equipe A3
2 Contexte : la classification non supervisée Définir sur un ensemble d objets deux à deux comparables, une partition qui respecte au mieux les ressemblances entre objets. La ressemblance entre deux objets doit être grande lorsqu ils figurent dans le même groupe et faible dans le cas contraire. Guénaël Cabanes 2
3 Objectifs 1 Existence Existe-t-il une structure dans les données? 2 Identification Quelle est la structure des données? Comment choisir le nombre de clusters? 3 Suivi Comment analyser des données en évolution? Peut-on comparer des structures? Guénaël Cabanes 3
4 Objectifs Modèles choisis Méthodes à base de prototypes Guénaël Cabanes 4
5 Méthodes à base de prototypes : classification Chaque partition est représentée par un prototype Centres Mobiles K-Moyennes, K-Medoïds... Guénaël Cabanes 5
6 Méthodes à base de prototypes : quantification Chaque partition est représentée par plusieurs prototypes Neural Gas (NG) Self-Organizing Map (SOM)... Guénaël Cabanes 6
7 Méthodes à base de prototypes : à deux niveaux 1 2 Méthodes à deux niveaux Premier niveau : quantification vectorielle Deuxième niveau : classification Guénaël Cabanes 7
8 Plan 1 Apprentissage des contraintes topologiques 2 Identification de la structure des données 3 Suivi de la structure des données 4 Visualisation Guénaël Cabanes 8
9 Apprentissage des contraintes topologiques Guénaël Cabanes 9
10 Objectifs Guénaël Cabanes 10
11 Objectifs 1 Apprendre les contraintes topologiques dans les Cartes Auto-Organisatrices (SOM) 2 Améliorer la quantification des données 3 Réduire le nombre de neurones non représentatifs 4 Conserver la structure topologique de la SOM Guénaël Cabanes 11
12 L algorithme des Cartes Auto-Organisatrices (SOM) Fonction de coût : N M R(w) = K j,u (x (k) ) w j x (k) 2 k=1 j=1 Compromis entre la structure topologique de la carte et l erreur de quantification pour la représentation des données. Guénaël Cabanes 12
13 Conservation de la structure topologique de la SOM Chaque neurone est activé par les données représentées par ce neurone, mais aussi, à un degré moindre, par les données représentées par ses voisins. Guénaël Cabanes 13
14 Conservation de la structure topologique de la SOM Fonction de voisinage : K ij = 1 d λ(t) M 2 (i,j) e λ 2 (t) Ici d M (i, j) = 3, c est la longueur du chemin le plus court dans le graphe entre i et j. Guénaël Cabanes 14
15 Indices de qualité des SOM Quantization Error Qe : C est la mesure de la distance moyenne entre chaque vecteur de donnée et son meilleur représentant. Qe = 1 N N w u (x (k) ) x(k) 2 k=1 Topological Error Te : C est la proportion des données ayant les deux meilleurs représentants non adjacents. Décrit la façon dont la SOM préserve la topologie de l ensemble des données étudiées. Neuron Utilization Ne : Mesure le pourcentage de neurones qui ne sont jamais le meilleur représentant d une donnée de la base. Guénaël Cabanes 15
16 Relâchement simple des contraintes topologiques Protocol Nous avons testé différentes versions de SOM où chaque distance de Manhattan est multipliée par une constante. Par exemple, SOM(α) est similaire à l algorithme SOM, mais d(i, j) = α d M (i, j). Ici d α=1.5 (i, j) = 4.5, c est la longueur du chemin le plus court dans le graphe entre i et j multipliés par 1.5. Guénaël Cabanes 16
17 Bases de test Bases Type Taille Dimension Target Artificiel TwoDiamonds Artificiel Hepta Artificiel Tetra Artificiel Iris Réel Harot Réel Housing Réel Wine Réel Cockroach Réel Chromato Réel Guénaël Cabanes 17
18 Résultats : Utilisation des Neurones Valeur moyenne de Ne sur l ensemble des bases de données selon α. Guénaël Cabanes 18
19 Résultats : Erreur de Quantification Valeur moyenne de Qe sur l ensemble des bases de données selon α. Guénaël Cabanes 19
20 Résultats : Erreur Topologique Valeur moyenne de Te sur l ensemble des bases de données selon α. Guénaël Cabanes 20
21 Comment quantifier le compromis? Puisque le gain en Ne et Qe est associé à une perte en Te, nous proposons de définir une Erreur Générale qui reflète les compromis entre Ne, Qe et Te : Ge = Te 2 Ne Qe Guénaël Cabanes 21
22 Résultats : Erreur Globale Valeur moyenne de Ge sur l ensemble des bases de données selon α. Guénaël Cabanes 22
23 Comment faire mieux que SOM? Sous l effet d une diminution simple des contraintes topologiques, le gain en Ne et Qe ne peut pas compenser la perte en Te. Peut-on utiliser les données d apprentissage pour rendre adaptative les contraintes topologiques? Guénaël Cabanes 23
24 La notion de voisinage adaptatif False Neighbors - SOM (Matsushita et Nishio 2008) Dans FN-SOM, les auteurs proposent de conserver la topologie bidimensionnelle de la SOM, mais en associant à chaque ligne ou colonne de connexions un indice de voisinage qui est lié à la validité globale de la ligne ou de la colonne. Guénaël Cabanes 24
25 Principe du nouvel algorithme : apprendre le voisinage Apprendre le voisinage Dans l algorithme DDR-SOM, nous proposons d associer à chaque connexion de voisinage une valeur réelle v qui indique la pertinence de la relation entre les neurones connectés. Guénaël Cabanes 25
26 Principe du nouvel algorithme : apprendre le voisinage Apprendre le voisinage Une paire de neurones voisins, qui sont tout deux de bons représentants d un même ensemble de données devraient être fortement connectés, tandis qu une paire de neurones voisins qui ne représentent pas le même type de données doit être faiblement connectés. Guénaël Cabanes 26
27 Principe du nouvel algorithme : apprendre le voisinage Apprendre le voisinage On associe à chaque connexion de voisinage une valeur réelle selon une fonction logistique qui dépend du nombre de données bien représentées par chacun des deux neurones connectés. σ est le paramètre de la fonction logistique. Guénaël Cabanes 26
28 Utilisation des valeurs de voisinage pour le calcul d une distance de Manhattan pondérée Ces valeurs sont utilisées pour estimer une distance de Manhattan pondérée d WM (i, j) entre chaque paire de neurones voisins i et j. Ici d WM (i, j) = = 3.91, il s agit du plus court chemin entre i et j en fonction des valeurs de connexion v. Guénaël Cabanes 27
29 Résultats : Utilisation des Neurones Valeur moyenne de Ne sur l ensemble des bases de données selon σ. Guénaël Cabanes 28
30 Résultats : Erreur de Quantification Valeur moyenne de Qe sur l ensemble des bases de données selon σ. Guénaël Cabanes 29
31 Résultats : Erreur Topologique Valeur moyenne de Te sur l ensemble des bases de données selon σ. Guénaël Cabanes 30
32 Résultats : Erreur Générale Valeur moyenne de Ge sur l ensemble des bases de données selon σ. Guénaël Cabanes 31
33 Résultats : Erreur Générale Valeur de Ge pour chaque base et chaque algorithme : DDR(1) DDR(1/2) DDR(1/5) DDR(1/10) Target 0,57 0,39 0,87 0,89 TwoDiamonds 0,22 0,27 0,22 0,11 Hepta 1,82 0,62 0,97 0,57 Tetra 1,17 0,53 1,61 1,12 Iris 0,09 0,21 0,29 0,28 Harot 0,79 0,17 0,06 0,38 Housing 0,83 0,54 0,35 0,55 Wine 0,51 0,14 0,13 0,33 Cockroach 0,62 0,42 0,52 0,54 Chromato 0,12 0,08 0,09 0,09 Guénaël Cabanes 32
34 Résultats : remarques Les performances de DDR-SOM sont meilleures que celles de SOM pour toutes les valeurs de σ, cependant une valeur de σ = 1/2 semble donner de meilleurs résultats pour ces bases de données. Le gain en Ge a tendance à être plus élevé pour les bases de données de grandes dimensions (par exemple Chromato, Wine, etc...). Guénaël Cabanes 33
35 Exemples (a) Données Target. (b) Données Iris. Guénaël Cabanes 34
36 Bilan Les expériences sur des bases de données artificielles et réelles montrent que l algorithme DDR-SOM obtient de meilleurs résultats que l algorithme SOM. Cette amélioration n est pas obtenue avec une relaxation triviale des contraintes topologiques, en raison d une forte augmentation de l erreur Topologique. Une diminution des contraintes guidée par les données semble être une bonne solution pour améliorer le compromis NeQe/Te de la SOM. Guénaël Cabanes 35
37 Identification de la structure des données Guénaël Cabanes 36
38 Objectifs Guénaël Cabanes 37
39 Difficultés Détermination de la meilleure partition Une recherche exhaustive pour chaque nombres de clusters est un problème combinatoire Guénaël Cabanes 38
40 Sélection de modèles : choix du nombre de classes Méthodes de vraisemblance pénalisée : Akaike Information Criterion (AIC) Bayesian Information Criterion (BIC) Méthode du Gap statistic Méthodes basées sur la stabilité : On choisi la partition la plus stable après perturbation des données, des paramètres, de l initialisation En pratique : on essaye K : K min... K max et on choisi K = argmin R k (w) Guénaël Cabanes 39
41 Notre approche Détection automatique des frontières entre les groupes 1 Partitionnement selon le voisinage entre prototypes Algorithme 1 : Simultaneous 2 Levels - Self Organising Map (S2L-SOM) 2 Partitionnement selon la densité au niveau des prototypes Algorithme 2 : Density-based Simultaneous 2 Levels - Self Organising Map (DS2L-SOM) L existence d une structure et le nombre de groupes sont détectés automatiquement Guénaël Cabanes 40
42 Algorithme 1 : Principe Entrée Données initiales Guénaël Cabanes 41
43 Algorithme 1 : Principe Étape 1 Prototypes à la fin de l apprentissage Guénaël Cabanes 41
44 Algorithme 1 : Principe Étape 2 Calcul des informations de connectivité Guénaël Cabanes 41
45 Algorithme 1 : Principe Étape 3 Partitionnement des prototypes et visualisation Guénaël Cabanes 41
46 Algorithme 1 : Principe Étape 4 Classification des données Guénaël Cabanes 41
47 Algorithme 1 : Apprentissage de la connectivité Apprentissage des valeurs Pour chaque donnée, nous proposons d augmenter, pendant l apprentissage, la valeur de la connexion liant les deux meilleurs prototypes et de diminuer les valeurs des autres connexions partant du meilleur prototype. Guénaël Cabanes 42
48 Algorithme 1 : Partitionnement selon la connectivité A la fin de l apprentissage, un ensemble de prototypes connectés par des connexions de valeurs positives sera représentatif d un sous-groupe pertinent de l ensemble des données. Ainsi, le nombre de groupes est facile à déterminer. Guénaël Cabanes 43
49 Algorithme 1 : Exemple Données Spirales et partitionnement selon S2L-SOM Guénaël Cabanes 44
50 Algorithme 1 : Exemple Données Spirales et partitionnement selon une méthode classique à deux niveaux (SOM+CAH) Guénaël Cabanes 44
51 Algorithme 1 : Validité et stabilité Évaluation du partitionnement en fonction de la base de données et de la méthode utilisée Guénaël Cabanes 45
52 Algorithme 1 : limites Le partitionnement selon le voisinage ne permet pas de détecter des partitions en contact. Guénaël Cabanes 46
53 Algorithme 2 : principes Étape 1 Prototypes à la fin de l apprentissage Guénaël Cabanes 47
54 Algorithme 2 : principes Étape 2 Calcul des informations de densité Guénaël Cabanes 47
55 Algorithme 2 : principes Étape 3 Partitionnement des prototypes et visualisation Guénaël Cabanes 47
56 Algorithme 2 : principes Étape 4 Classification des données Guénaël Cabanes 47
57 Algorithme 2 : Apprentissage de la densité Estimation de la densité La densité D j de chaque prototype j est calculée en plaçant une Gaussienne sur chaque point de donnée x (k) = 1..N et en faisant la somme de toutes ces Gausiennes sur j. D j = N k=1 e w j x(k) 2 2σ 2 Guénaël Cabanes 48
58 Algorithme 2 : Partitionnement selon le voisinage et la densité Initial state Données initiales Guénaël Cabanes 49
59 Algorithme 2 : Partitionnement selon le voisinage et la densité Step 1 Détection des partitions bien séparées en utilisant le voisinage Guénaël Cabanes 49
60 Algorithme 2 : Partitionnement selon le voisinage et la densité Step 2 Calcul des pics de densités Guénaël Cabanes 49
61 Algorithme 2 : Partitionnement selon le voisinage et la densité Step 3 Chaque prototype est associé à un pic de densité Guénaël Cabanes 49
62 Algorithme 2 : Partitionnement selon le voisinage et la densité Step 4 Fusion des sous-groupes non pertinents Guénaël Cabanes 49
63 Algorithme 2 : Partitionnement selon le voisinage et la densité Step 5 Partitionnement des données Guénaël Cabanes 49
64 Algorithme 2 : Exemple 1 Données non structurées : partitionnement selon DS2L-SOM (détection de l existence d une structure) Guénaël Cabanes 50
65 Algorithme 2 : Exemple 1 Données non structurées : partitionnement selon une méthode à deux niveaux classique Guénaël Cabanes 50
66 Algorithme 2 : Exemple 2 Guénaël Cabanes 51
67 Algorithme 2 : Exemple 2 Données HighDim : partitionnement selon DS2L-SOM Guénaël Cabanes 51
68 Algorithme 2 : Validité et stabilité Évaluation du partitionnement en fonction de la base de données et de la méthode utilisée Guénaël Cabanes 52
69 Algorithme 2 : Comparaisons Guénaël Cabanes 53
70 Algorithme 2 : Comparaisons Guénaël Cabanes 54
71 Extensions des algorithmes Versions Batch VS. Stochastique Bi-clustering Extensions à différents types de données : Données intervalles Matrices de similarité Guénaël Cabanes 55
72 Bilan Propriétés des algorithmes : Les étapes de quantification et de partitionnement se font en parallèle Prise en compte directe de la structure des données Bonne qualité du partitionnement obtenu Détection automatique du nombre de groupe Complexité linéaire en nombre de données Guénaël Cabanes 56
73 Suivi de la structure des données Guénaël Cabanes 57
74 Objectifs Guénaël Cabanes 58
75 Objectifs Analyser et comparer la structure des données Guénaël Cabanes 59
76 Principe général 1 Représentation des données par un ensemble de prototypes enrichis 2 Modélisation de la distribution des données à partir de l estimation d une fonction de densité Estimation de cette fonction de densité à partir des informations associés aux prototypes La méthode doit avoir une complexité linéaire pour suivre l évolution des données 3 Comparaisons de la densité des données Guénaël Cabanes 60
77 Enrichissement des prototypes Pendant l apprentissage, chaque prototype est associé à de nouvelles informations structurelles extraites des données. Informations associées aux prototypes Densité locale Variabilité locale Voisinage Guénaël Cabanes 61
78 Estimation de la distribution des données Estimer la fonction de densité qui associe à chaque point de l espace de représentation des données une densité. Guénaël Cabanes 62
79 Estimation de la distribution : Principe Nous connaissons la densité au niveau des prototypes. Il faut en déduire une approximation de la fonction. Hypothèse Cette fonction peut être approximée sous la forme d un mélange de noyaux Gaussiens sphériques centrés sur les prototypes : M f(x) = α i K i (x) avec K i (x) = i=1 1 e w i x 2 2h 2 i 2π.hi Problème Il faut déterminer les paramètres h et α. Guénaël Cabanes 63
80 Estimation de la distribution : Principe Nous connaissons la densité au niveau des prototypes. Il faut en déduire une approximation de la fonction. Hypothèse Cette fonction peut être approximée sous la forme d un mélange de noyaux Gaussiens sphériques centrés sur les prototypes : M f(x) = α i K i (x) avec K i (x) = i=1 1 e w i x 2 2h 2 i 2π.hi Problème Il faut déterminer les paramètres h et α. Guénaël Cabanes 63
81 Estimation de la distribution : Choix du paramètre h L idée est que h i estime l étendue des données représentées par la Gaussienne K i, ces données étant captées par le neurone i et par ses voisins. h i = 1 s i N i +d i,j N j v i,j j v i,j N j i +N j Guénaël Cabanes 64
82 Estimation de la distribution : Choix du paramètre α Principe La densité D de chaque prototype w est connue (f(w i ) = D i ). Nous pouvons utiliser une méthode de descente de gradient pour déterminer α i. α = arg min α 1 M M M (α j K j (w i )) D i i=1 j=1 2 Guénaël Cabanes 65
83 Estimation de la distribution : Exemples Guénaël Cabanes 66
84 Estimation de la distribution : Exemples Guénaël Cabanes 66
85 Comparaison de structures : Mesure de dissimilarité Objectif Définir une mesure de dissimilarité entre deux ensembles de données A et B, représentés par deux ensembles : E A = [ {w A i } MA i=1, f A] et E B = [ {w B i } MB i=1, f B] Guénaël Cabanes 67
86 Comparaison de structures : Mesure proposée CBd(A, B) = M A i=1 f A ( w A i ) log ( f A (w A i ) f B (w A i ) ) M A + M B j=1 f B ( w B j ) log ( f B ( w B j M B f A ( w B j ) ) ) Cette mesure est adaptée de l approximation de Monte Carlo de la mesure symétrique de Kullback Leibler. Guénaël Cabanes 68
87 Validation expérimentale : Principe Ce qu il faut montrer Les données proviennent de distributions différentes grande dissimilarité entre deux modèles. Les deux distributions sont similaires faible dissimilarité entre deux modèles. La méthode est performante si la dissimilarité est bien plus faible lorsque les données suivent la même loi de distribution que lorsque les données suivent des distributions très différentes. Guénaël Cabanes 69
88 Validation expérimentale : Bases de test Distributions Gaussiennes très bruitées. Guénaël Cabanes 70
89 Validation expérimentale : Bases de test Distributions non convexes. Guénaël Cabanes 71
90 Validation expérimentale : Bases de test Base Shuffle 1 Base de données réelle issue de l UCI repository instances. 3 9 variables. 4 Divisée en deux classes de distributions différentes. Guénaël Cabanes 72
91 Validation expérimentale : Résultats Indice de Dunn = min(d inter) max(d intra ) La distance utilisant la densité est toujours meilleure que les mesures de similarité basées sur les distances entre prototypes. Guénaël Cabanes 73
92 Validation expérimentale : Résultats Très bonnes performances pour la comparaison de données Gaussiennes bruitées, par rapport à des mesures de similarité basées sur les distances entre prototypes. Guénaël Cabanes 74
93 Bilan Avantages de la méthode : Rapide : mise à jour en ligne. Complexité linéaire. Faible quantité d information à stocker pour chaque modèle. Modèles obtenus fiables. Guénaël Cabanes 75
94 Visualisation Guénaël Cabanes 76
95 Prototypes enrichis Pendant l apprentissage, chaque prototype est associé à de nouvelles informations structurelles extraites des données. Informations associées aux prototypes Voisinage Densité locale Variabilité locale Guénaël Cabanes 77
96 Principe de la visualisation État initial Guénaël Cabanes 78
97 Principe de la visualisation Visualisation des prototypes (sammon) Guénaël Cabanes 78
98 Principe de la visualisation Visualisation de la densité locale Guénaël Cabanes 78
99 Principe de la visualisation Visualisation des partitions Guénaël Cabanes 78
100 Principe de la visualisation Visualisation de la connectivité Guénaël Cabanes 78
101 Principe de la visualisation Visualisation de la distribution Guénaël Cabanes 78
102 Exemples Visualisation des données Engytime Guénaël Cabanes 79
103 Exemples Visualisation des données Hepta Guénaël Cabanes 79
104 Exemples Visualisation des données Lsun Guénaël Cabanes 79
105 Exemples Visualisation des données Rings Guénaël Cabanes 79
106 Exemples Visualisation des données Spirals Guénaël Cabanes 79
107 Exemples Visualisation des données Iris Guénaël Cabanes 79
108 Exemples Visualisation des données Ants Guénaël Cabanes 79
109 Exemples Visualisation des données Children Guénaël Cabanes 79
110 Bilan Nouvelle méthode de modélisation de la structure des données. Procédé de visualisation de cette structure, capable de mettre en valeur la structure intra et inter-groupes des données. La visualisation proposée se montre pertinente sur un ensemble d exemples artificiels et réels. Perspectives : visualisation interactive? Guénaël Cabanes 80
111 Conclusion Guénaël Cabanes 81
112 Contributions Nouveaux algorithmes de classification non supervisée pour données vectorielles. Extensions aux données non vectorielles. Amélioration de la quantification des données par une SOM. Estimation et comparaison de la densité des données. Outils de visualisation. Guénaël Cabanes 82
113 Perspectives Test et validation de l algorithme de quantification de données évolutives. Analyse de données non vectorielles selon la densité. Version à noyaux et matrice de similarité. Étude plus approfondie de l estimation de la distribution. Sélection de modèles. Guénaël Cabanes 83
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