TD : Générateur de nombres aléatoires

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "TD : Générateur de nombres aléatoires"

Transcription

1 TD : Générateur de nombres aléatoires Dorat Rémi 1. Génération de nombres aléatoires et calcul de distribution p 2 2. Test du générateur aléatoire p 2 3. Conception et test d'un autre générateur p 4 4. Test d'un autre générateur p 5 5- Construire des bruits non uniformes p 6 1

2 1. Génération de nombres aléatoires et calcul de distribution Le but de ce TD est de tester le générateur aléatoire d'excel, de spécifier d'autres générateurs de nombres aléatoires et de les tester également. La dernière étape consiste à tester un générateur de nombres aléatoires gaussiens. Tester un générateur aléatoire, ie s'assurer d'avoir un générateur non biaisé, c'est s'assurer des résultats des études que l'on fera en l'utilisant. Par exemple, les simulations Monte-Carlo, qui sont utilisées en finance, reposent sur la possibilité de générer des valeurs aléatoires non biaisées. Remplir la colonne A de nombre entiers tirés au hasard dans [0;9] en utilisant la fonction de tirage aléatoires de nombres entiers fournie par Excel. Calculer la distribution sur chacune des valeurs : combien de 1 dans la colonne A, combien de 2, etc... Dire si cette distribution paraît ou non uniforme, ie si il n'y a pas un biais des tirages en faveur de l'une ou l'autre des valeurs. Tracer cette distribution avec des histogrammes. [A passer en première approche] Quelle procédure pourrait on envisager pour tester de manière plus formelle l'hypothèse suivante : la distribution est uniforme? Implémenter une telle procédure. 2. Test du générateur aléatoire Le fait qu'un générateur aléatoire permette de reproduire convenablement la distribution d'une distribution uniforme est un bon premier test (on parle de test d'homogénéité). Néanmoins, il convient de lui adjoindre d'autres tests. En effet, soit la séquence de tirages : Cette séquence passe le test d'homogénéité et pourtant elle n'est pas admissible au titre d'un tirage aléatoire. Diverses méthodologies pourraient être envisagées, on pourrait tester si la probabilité que deux valeurs particulières se suivent est significativement différente de On propose ici un test classique ou "test du poker". Il consiste à reorganiser la série des tirages en des groupes de 4 valeurs. On peut alors tester la fréquence d'un groupe où les 4 valeurs sont différentes, la fréquence d'un groupe où deux valeurs sont identiques etc... Comme on peut calculer les probabilités théoriques de ces valeurs, on peut ensuite comparer les fréquences obtenues sur la série des tirages aux probabilités théoriques. Le nom de "test du poker" est un peu abusif puisqu'ici les tests peuvent se faire avec répétition. En revanche, le fait de tirer des nombres avec répétition facilite le dénombrement pour celui qui veut obtenir 2

3 les probabiltés théoriques. L'obtention des valeurs théoriques est expliquée dans ce qui suit, le lecteur pourra sauter cette étape pour directement consulter le tableau qui résume ces valeurs théoriques : La probabilité d'avoir 4 chiffres différents est 10 (choix du premier chiffre) * 9 (choix du second chiffre parmi ceux qui restent) * 8 (choix du troisième chiffre parmi ceux qui restent) * 7 (choix du dernier chiffre parmi ceux qui restent), soit 10*9*8*7 qui est à rapporter au nombre total de cas possibles Soit une probabilité de que les 4 chiffres soient différents La probabilité d'avoir 4 chiffres identiques est 10 rapporté à : il existe en effet 10 groupes de 4 chiffres identiques. La probabilité d'avoir 3 chiffres identiques est 10 (choix de la hauteur des 3 chiffres identiques)*9 (choix de la hauteur du chiffre à 1 occurrence )*4 (4 manières de placer le chiffre isolé dans la séquence) que l'on rapporte à 10 4 La probabilité d'avoir 2 paires de chiffres est 10 (choix de la première paire)*9 (choix de la seconde paire) * 3 (nombres des séquences possibles) que l'on rapporte à 10 4 La probabilité d'une paire se déduit des probabilités précédentes, comme 1 diminué de la somme de ces probabilités. On obtient les probabilités théoriques suivantes pour un groupe de 4 valeurs : Fréquence théorique Les chiffres sont tous différents La liste comporte une paire La liste comporte deux paires La liste comporte trois chiffres identiques La liste comporte quatre chiffres identiques Tirer des groupes de 4 entiers aléatoires entre 0 et 9 ou 1 et 10. On pourra par exemple tirer un valeur en A1, une valeur en A2, une en A3 et une en A4. On obtient ainsi le tirage d'un premier groupe sur la ligne A. On procède de même sur la ligne B. Calculer les fréquences observées de paire, des cas de 4 chiffres identiques... et comparer les aux fréquences théoriques : que constate t'on? 3

4 En proposant des groupes de taille supérieure, on améliore encore la qualité de l'approximation (le dénombrement devenant cependant significativement plus difficile pour établir les probabilités théoriques). On donne les probabilités théoriques dans ce cas : Fréquence théorique Les chiffres sont tous différents La liste comporte une paire La liste comporte deux paires La liste comporte trois chiffres identiques La liste comporte quatre chiffres identiques La liste comporte trois chiffres identiques et une paire La liste comporte cinq chiffres identiques [A passer en première approche] On propose de prévoir une implémentation pour des mains de 5 chiffres au lieu de 4. A partir de cette main, on peut tester la série des nombres générés par Excel. [A passer en première approche] Jusqu'à maintenant, on a utilisé des mains de 4-5 chiffres avec répétition : le nom de test du poker ne semble donc pas très justifié. Pourrait on envisager une solution pour implémenter des tirages de main de poker? 3. Conception et test d'un autre générateur On introduit un nouveau générateur ou k-générateur pour générer des quadruplets de valeurs entières dans [0:9]. Par exemple, pour k=83, ce générateur fonctionne ainsi : Tirer un nombre aléatoire quelconque dans [0:1] (par exemple ) On multiplie ce nombre par k. 83*0.6754= On a généré 4 nombres aléatoires qui sont les décimales du nouveau nombre : On utilise la décimale de : 83*0.0582= On a généré 4 nombres aléatoires qui sont les décimales du nouveau nombre : etc 4

5 Tester si pour 83 on passe le "test du poker". Si on le passe, chercher au moins une autre valeur qui le passe et une autre valeur qui ne le passe pas. 4. Conception et test d'un autre générateur On propose d'étudier un générateur classique en lui faisant passer les mêmes tests qu'aux autres générateurs. Il s'agit du générateur à Congruence Linéaire introduit par Lehmer en Soit la suite X n, on a a N,m N,c N X 0 0 ;m où m est appelé le module et X 0 la graine. X n 1 = a X n c mod m La suite X n peut prendre m valeurs, les entiers entre 0 et m, soit un nombre fini de valeurs : elle est donc nécessairement périodique. Il s'agit surtout de trouver des paramètres produisant des séries à période longue. Dans un premier temps, on propose de tester des séries de données. Donner plusieurs manières de déterminer si il y a une période dans la série des nombres générés. Tester manuellement différentes séries de paramètres (différentes valeurs de m et c ) et noter celles pour lesquelles vous constatez un cycle. Un théorème donne une condition sur les paramètres qui garantit de trouver une série longue. Si note t la période du générateur à congruence linéaire : m est premier avec c pas de facteurs commun tout nombre premier qui divise m divise aussi a 1 si 4 divise m alors 4 divise a 1 ssi GCL est de période maximale t=m Est ce qu'un tel générateur est un bon générateur au vu des tests précédents? 5

6 5- Construire des bruits non uniformes Dans un certain nombres de cas et notament pour le cas des simulations Monte Carlo, on peut vouloir utiliser des bruits qui ne sont pas des tirages uniformes comme ceux qui ont été utilisés dans les parties précédentes, mais des bruits normaux par exemple. Pour ce faire, on utilise la méthode de Box-Muller (voir l'article wikipedia sur le sujet pour plus de précision). Soit X 1 e X 2 deux VAR (variables aléatoires réelles) suivant une loi uniforme U [0 ;1]. Alors, les deux VAR Z 1 et Z 2 suivent une loi normale centrée réduite : Z 1 = 2 ln X 1 cos 2 X 2 Z 2 = 2 ln X 1 sin 2 X 2 Etablir une forme de distribution de probabilité cumulée pour une série de valeurs normales centrée réduites générées avec cette méhode. Tracer cette distribution en meme temps que la distribution théorique disponible via les fonctions Excels. 6

[ Stéphane Gamel 2010] IREM ACCOMPAGNEMENT TABLEUR

[ Stéphane Gamel 2010] IREM ACCOMPAGNEMENT TABLEUR [ Stéphane Gamel 2010] IREM ACCOMPAGNEMENT TABLEUR TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES...1 1. PRESENTATION...2 1.1 REPERAGE DES CELLULES...2 1.2. EDITION DES CELLULES...2 1.3. CONTENU D UNE CELLULE...2

Plus en détail

Générateurs pseudo-aléatoires

Générateurs pseudo-aléatoires Générateurs pseudo-aléatoires Bellitto Thomas, Blot Aymeric, Pierron Théo ENS Ker Lann Sommaire Problématique Les générateurs congruentiels linéaires Les générateurs congruentiels inverseurs Algorithmes

Plus en détail

1 Générateurs à Congruences Linéaires (GCL)

1 Générateurs à Congruences Linéaires (GCL) TP 4 : Générateurs pseudo-aléatoires et applications Un générateur de nombres pseudo-aléatoires, pseudorandom number generator (PRNG) en anglais, est un algorithme qui génère une séquence de nombres présentant

Plus en détail

TP 2 : Variables discrètes

TP 2 : Variables discrètes UFR des SCIENCES -- Département de mathématiques TP 2 : Variables discrètes A. PHILIPPE Exercice 1 Autour de la loi binomiale Soit X une variable aléatoire. On suppose que la loi de X est la loi binomiale

Plus en détail

Indépendance en probabilité. Loi de Bernoulli. Loi binomiale.

Indépendance en probabilité. Loi de Bernoulli. Loi binomiale. Loi de Bernoulli. Loi binomiale. 1. Indépendance... p2 2. Épreuves et lois de Bernoulli... p4 3. Loi binomiale... p6 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Indépendance 1.1. Proposition

Plus en détail

Correction du TD n o 5

Correction du TD n o 5 Correction du TD n o Diagramme en batons des frequences 0 Exercice :. On commence par compléter les deux colonnes de droite. On en déduit n = 0 = 0. On complète alors la colonne effectif. effectif fréquence

Plus en détail

Quelques applications de la partie entière d un nombre réel

Quelques applications de la partie entière d un nombre réel Quelques applications de la partie entière d un nombre réel Introduction : On a besoin de rappeler la définition de la partie entière d un nombre réel et le théorème «division euclidienne dans N» ainsi

Plus en détail

SR06. Cryptographie avancée TD / TP de cryptanalyse appliquée. Walter SCHÖN

SR06. Cryptographie avancée TD / TP de cryptanalyse appliquée. Walter SCHÖN SR06 Cryptographie avancée TD / TP de cryptanalyse appliquée Walter SCHÖN Rappels de cours La cryptanalyse du chiffre de Cesar est trivial car il n y a que 6 décalages possibles La cryptanalyse d un alphabet

Plus en détail

STA108 Sondages. Philippe Périé cours n 5 : 31OCT2014

STA108 Sondages. Philippe Périé cours n 5 : 31OCT2014 STA108 Sondages Philippe Périé cours n 5 : 31OCT2014 STA108 - Sondages Philippe Périé (IPSOS) philippe.perie@ipsos.com Sylvie Rousseau (INSEE) sylvie.rousseau@insee.fr Algorithmes de tirage Nombres aléatoires

Plus en détail

Nombres aléatoires ou nombre au hasard

Nombres aléatoires ou nombre au hasard Nombres aléatoires ou nombre au hasard Prof. Mohamed El Merouani Département de Statistique et Informatique Faculté Polydisciplinaire de Tétouan I.-Introduction : Les méthodes de simulation consistent

Plus en détail

Chapitre 5 E C H A N T I L LO N N A G E & S I M U L A T I O N COURS

Chapitre 5 E C H A N T I L LO N N A G E & S I M U L A T I O N COURS page Rappel des programmes antérieurs : SIXIÈME CINQUIÈME F r é q u e n c e s. QUATRIÈME s c u m u l é e s. TROISIÈME En seconde le travail sera centré sur : - la réflexion conduisant au choix de résumés

Plus en détail

C3 : Manipulations statistiques

C3 : Manipulations statistiques C3 : Manipulations statistiques Dorat Rémi 1- Génération de valeurs aléatoires p 2 2- Statistiques descriptives p 3 3- Tests statistiques p 8 4- Régression linéaire p 8 Manipulations statistiques 1 1-

Plus en détail

Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE

Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE Thierry Foucart 1 http://foucart.thierry.free.fr Chapitre 5 ESTIMATION ET INTERVALLES DE CONFIANCE 1. DES PROBABILITÉS À LA STATISTIQUE. hypothèse intuitive élaborée à partir d expériences diverses : convergence

Plus en détail

Partie A - Loi normale-

Partie A - Loi normale- Exercice 1 Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendantes. Une usine fabrique, en grandes quantité, des rondelles d acier pour la construction. Leur diamètre est exprimé

Plus en détail

C8 : Enregistrement de macros et limites

C8 : Enregistrement de macros et limites C8 : Enregistrement de macros et limites Dorat Rémi 1. Enregistrement des macros p 2 2.Protection de l'exécution des macros p 7 3.Organisation des interfaces : introduire des éléments réactifs p 7 4. Pourquoi

Plus en détail

LES PROBABILITES. 1) Expérience aléatoire: Une expérience est dite aléatoire lorsqu on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat.

LES PROBABILITES. 1) Expérience aléatoire: Une expérience est dite aléatoire lorsqu on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat. LES PROBABILITES I) Définitions : 1) Expérience aléatoire: Une expérience est dite aléatoire lorsqu on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat. Exemple : On lance une pièce de 1 et on observe le

Plus en détail

Initialiser en donnant à A et à I la valeur de N. 1 Pour tout entier naturel N on note A N le nombre affiché à l étape 4

Initialiser en donnant à A et à I la valeur de N. 1 Pour tout entier naturel N on note A N le nombre affiché à l étape 4 1 Soit N un entier naturel non nul. On considère l algorithme ci-contre Initialiser en donnant à A et à I la valeur de N. 1 Pour tout entier naturel N on note A N le nombre affiché à l étape 4 Tant que

Plus en détail

Chapitre 5 Fluctuation d'échantillonnage

Chapitre 5 Fluctuation d'échantillonnage Chapitre 5 Fluctuation d'échantillonnage I. Échantillon et fluctuation Lorsqu'on étudie un caractère d'une population, la connaissance de la population n'est, en général, pas envisageable. On doit se contenter

Plus en détail

Vocabulaire. Séries statistiques associées à un caractère discret. Classement des données. Effectifs cumulés

Vocabulaire. Séries statistiques associées à un caractère discret. Classement des données. Effectifs cumulés I Vocabulaire Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère : c est la propriété étudiée. On distingue

Plus en détail

Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé

Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé Le jeudi 28 janvier 1999 de 10h 30à 12h30 à l Observatoire de Strasbourg. Le contrôle est noté sur

Plus en détail

12. Régression linéaire simple

12. Régression linéaire simple 12. Régression linéaire simple MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal A2016 (v1) MTH2302D: régression 1/45 Plan 1. Introduction 2. Régression linéaire simple 3. Estimation des paramètres

Plus en détail

Nom et Prénom : contrôle de mathématiques, le mardi 1er avril

Nom et Prénom : contrôle de mathématiques, le mardi 1er avril Nom et Prénom : contrôle de mathématiques, le mardi 1er avril Exercice n 1. Indique si ces affirmations sont vraies ou fausses en justifiant ta réponse. Affirmation n 1. L'expression factorisée de 25x²-16

Plus en détail

LOI BINOMIALE. Méthode : Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes dans un arbre Vidéo https://youtu.

LOI BINOMIALE. Méthode : Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes dans un arbre Vidéo https://youtu. 1 LOI BINOMIALE I. Répétition d'expériences identiques et indépendantes Exemples : 1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat. On répète ainsi la même expérience (lancer

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

STATISTIQUE. somme des produits des nombres de la serie par leur coefficients effectif total de la série

STATISTIQUE. somme des produits des nombres de la serie par leur coefficients effectif total de la série STATISTIQUE ) - Vocabulaire La statistique étudie certaines caractéristiques ou variables d'un ensemble fini appelé population. Les éléments de cette population étudiée sont des individus. 2 ) Moyenne

Plus en détail

Vidéo https://youtu.be/fsgge2-l3ag Vidéo https://youtu.be/e7jh8a1cdtg

Vidéo https://youtu.be/fsgge2-l3ag Vidéo https://youtu.be/e7jh8a1cdtg LOI BINOMIALE 1 sur 7 I. Répétition d'expériences identiques et indépendantes Exemples : 1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat. On répète ainsi la même expérience

Plus en détail

Matrices aléatoires non commutatives et mesure de Plancherel

Matrices aléatoires non commutatives et mesure de Plancherel Matrices aléatoires non commutatives et mesure de Plancherel Laboratoire d'informatique de l'institut Gaspard-Monge, Université Paris-Est Séminaire du laboratoire, 8 avril 2008 Cadre de travail Notation

Plus en détail

La fonction génère donc un nombre aléatoire situé dans l intervalle [0 ; 1[

La fonction génère donc un nombre aléatoire situé dans l intervalle [0 ; 1[ FICHE MÉTHODE CALCULATRICE Casio Graph 25+ pro : Probabilités Nous verrons comment : 1) Générer un nombre aléatoire dans l intervalle [0 ; 1[. 2) Simuler le lancer d une pièce (pile ou face). 3) Simuler

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les Probabilités

CHAPITRE 6 Les Probabilités A) Définitions et généralités 1) Définitions de base a) Expérience aléatoire CHAPITRE 6 Les Probabilités Une expérience aléatoire (du latin "alea", qui signifie dé) est une expérience dont le résultat

Plus en détail

MATHÉMATIQUES 7 e ANNÉE. Le nombre (les concepts numériques)

MATHÉMATIQUES 7 e ANNÉE. Le nombre (les concepts numériques) MATHÉMATIQUES 7 e ANNÉE Le nombre (les concepts numériques) Démontrer une compréhension du concept des nombres et les utiliser pour décrire des quantités du monde réel. A- faire preuve de sa compréhension

Plus en détail

SERIE 1 Statistique descriptive.

SERIE 1 Statistique descriptive. Université Abdelmalek Essaadi. Ecole Nationale des Sciences Appliquées - Tétouan - Cycle Ingénieur. S1. Module Proba-Stat. A/U: 2011-2012. M. CHERKAOUI 0 - Statistique descriptive. Contenu du module. -

Plus en détail

UN PEU DE DÉNOMBREMENT TABLE DES MATIÈRES

UN PEU DE DÉNOMBREMENT TABLE DES MATIÈRES UN PEU DE DÉNOMBREMENT D. SAMBOU TABLE DES MATIÈRES 1. Sur la Théorie des ensembles 2 2. Sur les p-listes 4 3. Sur les Arrangements 6 4. Sur les Combinaisons 10 1.Outre des lacunes sur la maîtrise des

Plus en détail

Chapitre 11 : Lois de probabilité continues ( ou à densité )

Chapitre 11 : Lois de probabilité continues ( ou à densité ) Chapitre : Lois de probabilité continues ( ou à densité ) ntroduction : Dans toutes les situations étudiées jusqu'à présent, la variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs x, x 2, x 3, x n On

Plus en détail

Correction du TD n o 2 Partie commune

Correction du TD n o 2 Partie commune Université de Nice Sophia-Antipolis Année Universitaire 00/0 L MI Statistique TD de Statistique Correction du TD n o Partie commune Exercice :. N est une variable aléatoire dénombrable tel que N(Ω) N et

Plus en détail

PROBABILITES CONDITIONNELLES

PROBABILITES CONDITIONNELLES I- Probabilté conditionnellle POAILITES CODITIOELLES Soit A et deux événements d un univers Ω muni d une loi de probabilité tels que P (A) 0. La probabilité de l événement sachant que l événement A est

Plus en détail

TD 3 : ANOVA à un facteur

TD 3 : ANOVA à un facteur Université Paris X - Nanterre UFR SPSE-Master PMPSTA Méthodes Statistiques pour l analyse de données en psychologie TD : ANOVA à un facteur Exercice : On souhaite étudier les effets de trois s (AX, BWW9

Plus en détail

Programme linéaire. Programmation linéaire

Programme linéaire. Programmation linéaire Programmation linéaire 1. Introduction 2. Programme linéaire 3. Exemples 4. Forme canonique 5. transformations 6. Application 7. Représentation Graphique 8. La Méthode du Simplexe Introduction La programmation

Plus en détail

Chapitre 8 Probabilités

Chapitre 8 Probabilités 8.1 Notations Notations: E : Evénement E : Evénement contraire à E E F : E ou F (ou les deux), correspond à l union E F : E et F, correspond à l intersection U : L univers contient tous les événements

Plus en détail

Échantillonnage - Estimation

Échantillonnage - Estimation Échantillonnage - Estimation 2 nde Introduction : Ce chapitre répond à deux types de questions : Exemple d'introduction. Vu le sondage, le candidat sera-t-il élu ou non? (Oral) Avant une élection, un sondage

Plus en détail

Chapitre 6 Statistiques vers probabilités

Chapitre 6 Statistiques vers probabilités Chapitre 6 Statistiques vers probabilités Classe de seconde I. TP Lancers de dés avec un tableur... II. Expérience aléatoire, simulation, échantillon...5 III. Stabilisation des fréquences : loi des grands

Plus en détail

Statistiques - Ajustement de courbes

Statistiques - Ajustement de courbes Statistiques - Ajustement de courbes 1 Rappels de Statistiques 1.1 Moyenne, variance, écart-type Soit une série statistique : x 1, x 2, x n (n valeurs) Moyenne x = 1 n x i n i=1 Somme des carrés des écarts

Plus en détail

Estimation. Intervalle de confiance d une espérance d une loi de Gauss On se place dans le cas où X suit une loi N(m, σ) avec σ connu et m inconnu.

Estimation. Intervalle de confiance d une espérance d une loi de Gauss On se place dans le cas où X suit une loi N(m, σ) avec σ connu et m inconnu. Filière E Denis Pasquignon Résumé du cours :. l échantillonnage Estimation On appelle échantillon aléatoire de taille n la donnée de n variables aléatoires X,..., X n définies sur un espace probabilisé

Plus en détail

Chapitre II La simulation

Chapitre II La simulation Chapitre II La simulation Robin de l'île par Dobritz. 14 1. Notion de simulation La simulation est une technique de modélisation du monde réel, le modèle mathématique d'un système étant l'ensemble des

Plus en détail

Lycée Polyvalent de Taaone. Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures

Lycée Polyvalent de Taaone. Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures Mathématiques Série S (Mars-2014) Durée : 4 heures L usage de la calculatrice est autorisé Tout autre document est interdit Ce sujet s adresse aux élèves qui ont suivi la spécialité Mathématiques Il comporte

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes BTS CGO Variables aléatoires discrètes 203/204 Variables aléatoires discrètes Table des matières I Variable aléatoire 2 I. Notion de variable aléatoire discrète................................ 2 I.2 Loi

Plus en détail

# * 1.0 évite le problème dus aux divisions entières # 1/2 --> 0, 1 * 1.0 / 2 --> 0.5

# * 1.0 évite le problème dus aux divisions entières # 1/2 --> 0, 1 * 1.0 / 2 --> 0.5 1 TD 2 : Tri minuté (correction page??) Abordé lors de cette séance programmation algorithme fonctions, listes tri bulle L objectif de ce TD est de programmer un tri bulle. Ce tri sera décomposé en plusieurs

Plus en détail

34. Aborder des questions relatives au hasard

34. Aborder des questions relatives au hasard 3. Aborder des questions relatives au hasard 7 Mémento Reprendre contact Des exemples d expériences aléatoires : lancer un dé, jouer à Pile ou Face, jouer au loto, tirer une boule dans une urne opaque

Plus en détail

Vocabulaire. Séries statistiques associées à un caractère discret. Classement des données. Effectifs cumulés. Représentation graphique

Vocabulaire. Séries statistiques associées à un caractère discret. Classement des données. Effectifs cumulés. Représentation graphique I Vocabulaire Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère : c est la propriété étudiée. On distingue

Plus en détail

Calculer le PGCD de X et Y donnés en unaire

Calculer le PGCD de X et Y donnés en unaire Machine d'alan Turing Compléments à l'article de l'apmep 5. Quelques diagrammes un peu plus complexes Calculer le PGCD de X et Y donnés en unaire Ce diagramme est issu de l'algorithme d'euclide. TANT QUE

Plus en détail

Devoir à la maison n 11

Devoir à la maison n 11 Devoir à la maison n 11 Exercice 1 Soit la fonction définie sur R par : Déterminer les trois premières fonctions dérivées :,,., 4, 8 1 On définit les fonctions réelles ₀,₁,₂,₃ par les relations : ₀1, ₁,

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUES RESUME

PROBABILITES ET STATISTIQUES RESUME PROBABILITES ET STATISTIQUES RESUME L'OBJECTIF de cet ouvrage est de donner aux ingénieurs et aux commerciaux toutes les notions de base en probabilités et statistiques. Il ne suppose aucune connaissance

Plus en détail

Eléments de probabilités

Eléments de probabilités .. Eléments de probabilités Michaël Genin Université de Lille 2 EA 2694 - Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins michael.genin@univ-lille2.fr Plan. 1 Introduction. 2 Expérience aléatoire.

Plus en détail

On verra plus loin dans ce chapitre que cette suite présente une curiosité quand on regarde les quotients successifs de termes consécutifs...

On verra plus loin dans ce chapitre que cette suite présente une curiosité quand on regarde les quotients successifs de termes consécutifs... Première S Chapitre III : Suites numériques Année scolaire 01/013 I) Notion de suite numérique 1) Notion intuitive de suite : On peut construire des suites quelconques de nombres, comme par exemple : 1,5,4,-3,8,9,etc...

Plus en détail

- Déterminer la probabilité d événements dans des situations d équiprobabilité. - Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées.

- Déterminer la probabilité d événements dans des situations d équiprobabilité. - Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées. NOTION de PROBABILITE en classe de TROISIEME L'introduction du programme de 3 ème rappelle que : «c est pour permettre au citoyen d aborder l incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle que

Plus en détail

Réseaux de neurones évaluation et sélection de modèle p.1/57

Réseaux de neurones évaluation et sélection de modèle p.1/57 Réseaux de neurones : évaluation et sélection de modèle Fabrice Rossi http://apiacoa.org/contact.html. Université Paris-IX Dauphine Réseaux de neurones évaluation et sélection de modèle p.1/57 lan du cours

Plus en détail

Correction TD de probabilités

Correction TD de probabilités Correction TD de probabilités Exercice 1 On lance deux fois une pièce considérée comme bien équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un face? On décrit l univers des possibles Ω associé

Plus en détail

Arithmétique. Multiples, diviseurs, décompositions en produits de facteurs premiers et utilisations

Arithmétique. Multiples, diviseurs, décompositions en produits de facteurs premiers et utilisations Multiples, diviseurs, décompositions en produits de facteurs premiers et utilisations 1. Multiples Multiples Par définition, si a et b sont deux nombres entiers naturels non nuls, alors a est un multiple

Plus en détail

Examen de Circuits et Architecture des Ordinateurs éléments de corrections

Examen de Circuits et Architecture des Ordinateurs éléments de corrections Année 2009-2010 Examen de Circuits et Architecture des Ordinateurs éléments de corrections! corrigé partiel et non officiel, à lire d'un œil critique! Exercice 1 : m n m + n m n m - n m n décimal binaire

Plus en détail

Probabilité. Concepts de base

Probabilité. Concepts de base Probabilité Concepts de base Théorie des probabilités C est une théorie mathématique fascinante qui nous offre des outils puissants pour porter un jugement sur l issue d une expérience soumise aux lois

Plus en détail

Ressources pour le lycée technologique

Ressources pour le lycée technologique éduscol Enseignement de mathématiques Classe de première STMG essources pour le lycée technologique Contexte pédagogique Objectifs Loi binomiale espérance Dans le domaine des probabilités, découvrir et

Plus en détail

I - Simuler le hasard avec une calculatrice. Comment est-ce possible?

I - Simuler le hasard avec une calculatrice. Comment est-ce possible? ETUDE DE LA FONCTION "RANDOM" 1 ETUDE DE LA FONCTION "RANDOM" I - Simuler le hasard avec une calculatrice. Comment est-ce possible? En mode habituel de calcul, effectuer : CASIO 0.5 X EXE Frac (9821X +

Plus en détail

LOIS DE PROBABILITÉ NOTES DE COURS

LOIS DE PROBABILITÉ NOTES DE COURS LOIS DE PROBABILITÉ NOTES DE COURS 1. Introduction En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d un phénomène dépendant du hasard. L étude des

Plus en détail

Dénombrement : exercices

Dénombrement : exercices Dénombrement : exercices 1D 1/16 Exercice 1 On considère un dé dont les 6 faces sont numérotées de 1 à 6. 1) On jette ce dé deux fois de suite et on s intéresse au total obtenu (en sommant les deux nombres

Plus en détail

LIVRET D'EXERCICES SUR LES STATISTIQUES. NOM : Prénom : Classe :

LIVRET D'EXERCICES SUR LES STATISTIQUES. NOM : Prénom : Classe : LIVET D'EXECICES SU LES STATISTIQUES NOM : Prénom : Classe : Exercice Avec le polygone des effectifs cumulés On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.

Plus en détail

CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ

CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ DE MATHÉMATIQUES Exercice 1 (5 points) : 1/10 Exercice 2 (Pondichéry, avril 2013) (5 points) : 1. Construisez un arbre pondéré décrivant la situation. En référence aux données

Plus en détail

PROBABILITES (généralités)

PROBABILITES (généralités) PROBABILITES (généralités) I) VÉRIFIER LES ACQUIS Exercices d'introduction : Ex 1 : (probabilité) On lance un dé truqué de telle manière que les nombres pairs est une probabilité triple de celle des nombres

Plus en détail

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes

Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes I Couples de variables aléatoires réelles discrètes Dans toute cette partie, on considère X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes

Plus en détail

Chapitre 10. Probabilités conditionnelles. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. modéliser une situation (par un arbre par exemple)

Chapitre 10. Probabilités conditionnelles. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. modéliser une situation (par un arbre par exemple) Chapitre 10 Probabilités conditionnelles Objectifs du chapitre : item références auto évaluation modéliser une situation (par un arbre par exemple) utiliser la formule des probabilités totales indépendance

Plus en détail

Cours de Troisième / Probabilités. E. Dostal

Cours de Troisième / Probabilités. E. Dostal Cours de Troisième / Probabilités E. Dostal Janvier 2015 Table des matières 8 Probabilités 2 8.1 Introduction............................................ 2 8.2 Probabilités............................................

Plus en détail

Application de la simulation au risque de marché

Application de la simulation au risque de marché Application de la simulation au risque de marché 26 Avril 2007 Christian CAPARIN christian.caparin@wanadoo.fr >>Introduction Introduction Simulation Action de remplacer une expérience aléatoire par une

Plus en détail

Rendements et matrices de covariances Simulations et Estimations en Excel Mean Blur

Rendements et matrices de covariances Simulations et Estimations en Excel Mean Blur Rendements et matrices de covariances Simulations et Estimations en Excel Mean Blur Daniel Herlemont 15 juin 011 Table des matières 1 Objectifs et motivations Programmer en Excel : ˆ La génération de nombres

Plus en détail

STATISTIQUES. Examen session de janvier 2014 : (durée : 2 heures) N oubliez pas de rendre l énoncé avec votre copie

STATISTIQUES. Examen session de janvier 2014 : (durée : 2 heures) N oubliez pas de rendre l énoncé avec votre copie Calculatrice autorisée : Seulement celle fournie par l ESCE : L échange de calculatrices entre étudiants est interdit. Documents autorisés : Non Dictionnaire :Non ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Variables aléatoires

Variables aléatoires variables_aleatoires.nb 1 Collège du Sud 4 e année Maths niveau standard Variables aléatoires Probabilité 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 Edition 2003-2004 Marcel Délèze Supports de cours de mathématiques

Plus en détail

Cours 4 ème Sci et inf

Cours 4 ème Sci et inf Mathématiques aux élèves Probabilité sur un ensemble fini Site web : http://www.matheleve.net/ Email :contact @matheleve.com Cours ème Sci et inf I) Rappel ctivité Première situation : ) Quels sont les

Plus en détail

Cours de Méthodes de Monte-Carlo Exercices : novembre 2005.

Cours de Méthodes de Monte-Carlo Exercices : novembre 2005. Cours de Méthodes de Monte-Carlo Exercices : novembre 2005. Exercice 1 Soit (X n, n 1) une suite de variables aléatoires à valeurs dans R indépendantes suivant toutes la même loi, telle que E(X 2 1)

Plus en détail

FLUCTUATIONS D ÉCHANTILLONAGE

FLUCTUATIONS D ÉCHANTILLONAGE Activités Fluctuations d échantillonage Seconde FLUCTUATIONS D ÉCHANTILLONAGE Rappels : l effectif d un résultat est le nombre de fois que ce résultat apparaît ; la fréquence d un résultat est l effectif

Plus en détail

STRUCTURE DES ORDINATEURS - Binaire et Hexadécimal -

STRUCTURE DES ORDINATEURS - Binaire et Hexadécimal - ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE Cours de STRUCTURE DES ORDINATEURS - Binaire et Hexadécimal - H. Schyns Septembre 2005 Sommaire Sommaire 1. LE SYSTÈME DÉCIMAL 1.1. Les nombres entiers 1.2. Les nombres

Plus en détail

Chapitre 3. Modèles de tirage. 3.1 Introduction : Probabilités, modèles de tirages

Chapitre 3. Modèles de tirage. 3.1 Introduction : Probabilités, modèles de tirages Chapitre 3 Modèles de tirage 3.1 Introduction : Probabilités, modèles de tirages Ce chapitre présentera quelques exemples de calculs de probabilités. D un point de vue théorique la situation la plus simple

Plus en détail

TD n 6 : Probabilités discrètes

TD n 6 : Probabilités discrètes TD n 6 : Probabilités discrètes Exercice 1 On désigne par un entier naturel non nul. On lance fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité (avec 0 1 et "face" avec la probabilité 1. On

Plus en détail

STATISTIQUE ET PROBABILITÉS AU LYCÉE. (séries ES, S, STI2D, STL)

STATISTIQUE ET PROBABILITÉS AU LYCÉE. (séries ES, S, STI2D, STL) STATISTIQUE ET PROBABILITÉS AU LYCÉE (séries ES, S, STI2D, STL) Contexte de travail Des notions de statistique inférentielle introduites pour la première fois dans les programmes du secondaire. Ces notions

Plus en détail

Exercice 1 : Commun à tous les candidats

Exercice 1 : Commun à tous les candidats LIBAN BACCALAUREAT S 2003 Retour vers l'accueil Exercice 1 : Commun à tous les candidats Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane Septembre 2015

Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane Septembre 2015 Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane Septembre 5 EXERCICE Commun à tous les candidats 6 points Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction f n définie et dérivable sur l ensemble R

Plus en détail

Exercice 1. Introduction et vocabulaire. On lance un dé non truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6 On considère le nombre obtenu.

Exercice 1. Introduction et vocabulaire. On lance un dé non truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6 On considère le nombre obtenu. Exercice 1. Introduction et vocabulaire. On lance un dé non truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6 On considère le nombre obtenu. Vocabulaire Signification Illustration avec notre exemple Univers

Plus en détail

Feuille TD n 1 : Calcul approché

Feuille TD n 1 : Calcul approché Feuille TD n : Calcul approché Exercice. Convertir (.) 2 en hexadécimal, octal et décimal. Exercice 2. Proposer une méthode pour éviter la perte de précision dans les calculs suivants :. e x sin(x) cos(x)

Plus en détail

Chapitre n 7 : «Division»

Chapitre n 7 : «Division» Chapitre n 7 : «Division» I. Division euclidienne Cette division ne concerne que les nombres entiers. En général, lors de la division euclidienne, il y a un reste. Cette division a été étudiée en primaire

Plus en détail

Master 1 MRHDS Traitement statistique des données

Master 1 MRHDS Traitement statistique des données 1 Master 1 MRHDS Traitement statistique des données C. Joutard Université Paul Valéry-Montpellier 3 Année universitaire 2011-2012 2 Organisation 1) 1h30 Cours - 1h30 TD par semaine 2) Informations et documents

Plus en détail

Analyse des données: Pièces de 1 cent: données des années précédentes

Analyse des données: Pièces de 1 cent: données des années précédentes Analyse des données: Pièces de 1 cent: données des années précédentes 1 Tableau 1 Données brutes - tableau partiel, > 1500 pièces Tableau 1. Compteur Étude portant sur les masses de pièces de monnaie canadienne

Plus en détail

CHAPITRE 1 Nombres, expressions algébriques, équations

CHAPITRE 1 Nombres, expressions algébriques, équations CHAPITRE 1 Nombres, expressions algébriques, équations A) Les nombres 1) Historique Au départ, les nombres ont été inventés pour compter les objets : 1, 2, 3, 4 etc... On les appelle maintenant les entiers

Plus en détail

LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES

LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires

Plus en détail

Concepts de probabilités

Concepts de probabilités Concepts de probabilités Probabilités et statistique pour la biologie (STAT1) Jacques van Helden 2017-09-11 Définitions de la probabilité Définition fréquentielle de la probabilité Lors d'une expérience

Plus en détail

Exercices de Mathématiques. Dénombrement

Exercices de Mathématiques. Dénombrement NOM:... PRENOM:... Date:... Classe:... Section:... Exercices de Mathématiques Thème: Dénombrement Table des matières EXERCICE n : Les échiquiers.... Échiquier 7 5 cases.... Autres échiquiers... EXERCICE

Plus en détail

Recueil d exercices en Probabilités et Simulation

Recueil d exercices en Probabilités et Simulation Table des matières Recueil d exercices en Jean-Marc.Vincent@imag.fr Univ. Grenoble Alpes, LIG, F-38000 Grenoble, France Un gagnant parmi K (Quick 206) 2 2 Banderole colorée (Quick 205) 2 3 Le professeur

Plus en détail

Activité d'introduction des notions. Tireur d'élite?

Activité d'introduction des notions. Tireur d'élite? Activité d'introduction des notions. Tireur d'élite? 2) On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès obtenus. (Y {0 ; 1 ;... ; 6}) Activité d'introduction des notions. Tireur

Plus en détail

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min.

Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs) Duree en min. Durée en minutes x i [0; 20[ [20; 0[ [0; 40[ [40; 60[ [60; 90[ Nombre n i 4 10 14 6 6 TAB. 1 Traitement des dossiers. Effectifs. (Aires proportionnelles aux effectifs). 0 10 20 0 40 50 60 70 80 90 Duree

Plus en détail

1 ère S Exercices sur les probabilités

1 ère S Exercices sur les probabilités ère S Exercices sur les probabilités On donne dans le tableau ci-dessous les probabilités d apparition de chacune des s d un dé truqué. Face N 4 6 Probabilité d apparition 0, 0, 0, 0, 0, 0, Ce tableau

Plus en détail

Première STG Chapitre 14 : probabilités. Page n

Première STG Chapitre 14 : probabilités. Page n Première STG Chapitre 14 : probabilités. Page n 1 Le mot hasard vient de l'arabe al zhar qui désigne un dé à jouer. Les jeux de hasard sont connus depuis la plus haute antiquité. Déjà les Romains et les

Plus en détail

Feuille de TD 3. H04. Théorie algébrique des nombres

Feuille de TD 3. H04. Théorie algébrique des nombres Université de Rennes 1 Année 2006-2007 Master M1 de mathématiques H04. Théorie algébrique des nombres Feuille de TD 3 Exercice 1 1. Soit K un corps, m 1 et n 1 des entiers et M m,n (K) l'ensemble des matrices

Plus en détail

Chapitre 6. Canaux et signaux continus

Chapitre 6. Canaux et signaux continus Chapitre 6. Canaux et signaux continus 1. Notions de base (survol rapide voir notes àtête reposée) (a) Processus aléatoires en temps continu (b) Théorème d échantillonnage (c) Entropies différentielles

Plus en détail

( x) ( x) ( x) 2. ( x) ( ) Exercice p 241, n 49 :

( x) ( x) ( x) 2. ( x) ( ) Exercice p 241, n 49 : Exercice p 241, n 49 : x désigne la mesure en degré d un angle aigu. On donne cos x = 0, 6. 1) Sans déterminer la valeur de x, calculer sin x. 2) En déduire la valeur de tan x. 2 2 ( x) ( x) 2 ( x) 2 cos

Plus en détail