Documents de cours - Conversion électromagnétique statique de puissance - Transformateur

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1 Introduction Documents de cours - Conversion électromagnétique statique de puissance - Transformateur Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à un autre phénomène de conversion reposant sur les lois de l induction, mais cette fois-ci sans mouvement de circuit ni commutation 1, c est à dire qu on se limitera au cas de Neumann. C est pourquoi on qualifie ce type de conversion de statique. Dans ce cas, les grandeurs introduites seront nécessairement dépendantes du temps pour pouvoir donner lieu à un phénomène d induction. Ceci ne s appliquera donc pas aux tensions et aux courants continus. On s intéressera donc uniquement à des tensions et des courants alternatifs. Le but est de réaliser la conversion de puissance suivante : électrique haute tension/courant faible induction electromagnetique électrique basse tension/courant plus important Cette conversion permet d adapter en élevant ou en abaissant les valeurs de tension U et de courant I d une source alternative au fonctionnement d un appareil, tout en gardant une puissance pratiquement constante. Celle-ci se fait à l aide d un transformateur. Ce type de conversion a par exemple pour application les transformateurs pour les lignes à haute tension ou les transformateurs 220V/12V utilisés comme chargeurs. On notera également que ce type de conversion se fait à fréquence constante d après la linéarité des phénomènes d induction électromagnétique. 1 Le transformateur, première approche 1.1 Principe de fonctionnement d un transformateur Un transformateur est composé d un circuit primaire et d un circuit secondaire. Ces deux circuits sont enroulés autour d un matériau ferromagnétique comme le montre la figure ci-dessous. Les circuits primaire et secondaire comportent respectivement N 1 et N 2 enroulements. Le circuit primaire, parcouru par un courant sinusoïdal, génère un champ magnétique variable. Ce champ est canalisé par le matériau ferromagnétique 2 de sorte que le flux au travers des enroulements du second circuit varie sinusoïdalement au cours du temps, et génère un courant induit (cas de Neumann). Un transformateur fonctionne donc sur le principe du couplage entre deux circuits électriques par mutuelle inductance, comme nous l avions vu dans le cours d induction. La seule différence est ici la présence du matériau magnétique qui permet de maximiser le couplage entre les deux circuits. 1. On rappelle que la commutation électrique a déjà été rencontrée dans l étude des hacheurs. 2. Nous reverrons les propriétés d un tel matériau par la suite. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

2 1 2 Figure 1: Un transformateur réalise un couplage par induction électromagnétique entre un circuit électrique primaire et un circuit électrique secondaire par l intermédiaire d un circuit magnétique. 1.2 Applications Les applications des transformateurs sont multiples puisque ces derniers sont utilisés dans pratiquement tous les appareils électroniques (réveils, ordinateurs, chargeurs de batterie, fonctionnant souvent en 12V ou 24V) branchés sur le secteur (220V). a) b) c) d) Figure 2: Exemples de transformateurs : a) Transformateur monophasé, b) Adaptateur 220V/12V, c) Transformateur V/220 V, d) Transformateur V/ V. De plus, les transformateurs permettent le transport de l électricité avec des pertes faibles grâce aux lignes hautes tensions. En effet, la puissance électrique générée par exemple par un alternateur de centrale hydroélectrique, caractérisée par une tension faible et un courant important, est convertie en une puissance caractérisée par un courant faible et une haute tension (typiquement plusieurs centaines de milliers de Volts). Comme il a déjà été vu en première année, cette conversion permet de limiter les pertes par effet Joule qui sont proportionnelles à I 2 PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

3 et de transporter l électricité sur de longues distances. Transistion : Nous allons maintenant successivement expliquer pourquoi la présence d un matériau ferromagnétique canalise les lignes de champ magnétique et permet ainsi un couplage maximal entre les deux circuits, puis nous verrons comment choisir le nombre d enroulements dans les circuit primaire et secondaire afin de réaliser une conversion de puissance choisie. 2 Milieux magnétiques 2.1 Notions d aimantation et de courant d aimantation a) Matériaux paramagnétiques, diamagnétiques et ferromagnétiques Nous avons vu dans le cours de première année que les sources de champ magnétique sont les courants électriques. Cependant, certains corps créent eux-mêmes un champ magnétique. Pour la plupart, des milieux,les propriétés magnétiques ne se manifestent que sous l effet d un champ magnétique extérieur et disparaissent quand on annule celui-ci. Le champ magnétique créé par ces corps est faible devant le champ magnétique extérieur. On les appelle des corps diamagnétiques ou paramagnétiques. D autres corps, comme le fer, le cobalt ou le nickel acquièrent de fortes propriétés magnétiques sous l action d un champ magnétique extérieur qui persistent quand on annule celui-ci. Le champ magnétique créé par ces corps est très important par rapport au champ magnétique extérieur. On les appelle des corps ferromagnétiques. On se limitera à ce type de matériau par la suite. b) Interprétation microscopique de l aimantation En 1821, Ampère a suggéré que les champs magnétiques créés par les milieux matériels avaient pour origine de petites boucles de courant élémentaires, à l échelle microscopique, assimilables à des dipôles magnétiques. a) M S b) d) S S M 0 M S c) S N S S S M Figure 3: a) Origine microscopique de l aimantation : moment magnétique orbital et spin des électrons. b) matériau non magnétique, c) matériau magnétique. d) Aimant permanent. Cette description est simpliste mais permet de modéliser l existence de moments magnétiques résultant de la superposition de deux effets : le champ magnétique créé par le mouvement orbital PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

4 des électrons autour du noyau (analogue à une spire de courant), et par le champ magnétique généré par le spin des électrons (analogue à une rotation des électrons sur eux-mêmes). Au niveau mésoscopique, dans un volume dτ P centré sur un point P, il existe un moment magnétique résultant de la somme des moments magnétiques élémentaires, donné par : On peut alors définir un moment magnétique par unité de volume appelé vecteur aimantation, qui s exprime en A.m 1 : Remarque : On notera que c est l écriture et la relecture de l orientation du vecteur aimantation sur des domaines ferromagnétiques qui permet le stockage 3 de données sur bandes magnétiques sous forme binaire (exemples : cassettes audio, vidéo, disquettes). a) c) qq µm (100 nm minimum) b) domaine magnétique d'aimantation M Figure 4: Supports magnétiques de stockage d information : a) cassette audio et b) bande magnétique. c) Enregistrement des données sous forme binaire sur une bande magnétique grâce à l orientation du vecteur aimantation. c) Notion de courant d aimantation Nous admettrons que la présence d un vecteur aimantation M(P ) au niveau macroscopique est équivalente à une densité volumique de courants, appelés courants d aimantation définis par : On notera l analogie avec l équation de Maxwell-Ampère dans le régime de l ARQS : "Les courants d aimantation tournent autour de M comme les courants électriques tournent autour de B ". 3. Le stockage de données sur les disques durs actuels fonctionne sur un principe proche, mais nécessitant une technologie plus perfectionnées et reposant sur l existence d une magnétorésistance géante au niveau de la bande magnétique. C est ce principe qui a d ailleurs valu le prix Nobel de physique au français Albert Fert en On notera que la taille minimale des zones de codage d un bit sont de l ordre de 100 nm. En dessous de cette limite, l agitation thermique peut à elle seule faire basculer l aimantation, et donc effecer les données. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

5 2.2 Equations de Maxwell dans un milieu magnétique dans le régime de l ARQS Les équations de Maxwell dans un matériau magnétique doivent tenir compte de l existence du courant d aimantation, qui s ajoute au courant électrique correspondant aux charges circulant dans un conducteur, appelées charges libres. Les équations de (MG), (MT ) et (MF ) restent inchangées, et seule l équation de Maxwell, en régime lentement variable (ARQS), est modifiée en : On peut la réécrire sous la forme : En définissant un nouveau vecteur H appelé excitation magnétique, l équation de Maxwell- Ampère devient, dans le cadre de l ARQS : 2.3 Lois intégrales Les trois premières équations de Maxwell étant inchangées : B est toujours à flux conservatif (conséquence de (MT )) le théorème de Gauss s applique toujours (conséquence de (M G)) la loi de Faraday s applique toujours (conséquence de (MF )) En revanche, dans le cadre de l ARQS, il faut généraliser le théorème d Ampère à la relation intégrale suivante sur un contour fermé et orienté C sur lequel s appuie une surface S : où le vecteur ds orientée est orienté avec la règle de la main droite. 2.4 Relations de continuité entre deux milieux magnétiques Au niveau d une discontinuité entre deux milieux, les relations de passage se substituent aux équations de Maxwell. Celles-ci sont inchangées pour le champ électrique : La composante tangentielle de E est toujours continue. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

6 Pour le champ magnétique, (M T ) implique toujours la continuité de la composante normale du champ B 4 : Pour l excitation magnétique, (M A) implique une éventuelle discontinuité de la composante tangentielle de H en présence de courants surfaciques libres, donnée par 5 : Remarque : On retiendra donc que les deux composantes de l excitation magnétique H peuvent éventuellement être discontinues, contrairement aux autres champs qui ont toujours au moins une composante continue. 2.5 Relation constitutive d un milieu magnétique linéaire, homogène et isotrope (MLHI) On qualifie un milieu de matériau magnétique linéaire, homogène et isotropes (MLHI), lorsque le vecteur aimantation M est lié à l excitation magnétique H par une relation de proportionnalité : où χ m est la susceptibilité magnétique du milieu, qui est une grandeur sans dimension, Dans ce cas, on en déduit donc que : et en posant la perméabilité magnétique relative du milieu µ r = 1 + χ m, on obtient la relation constitutive d un milieu MLHI : où µ est la perméabilité magnétique du milieu. Pour du vide, le milieu n est pas magnétique et χ m = 0, donc µ r = 1, et on retrouve bien µ = µ 0 où µ 0 est la perméabilité magnétique du vide. 4. Attention, ceci n implique pas la continuité de la composante normale de l excitation magnétique H si M 1n M 2n, car on peut seulement écrire : µ 0 H 2n(A) + M 2n(A) µ 0 H 1n(A) M 1n(A) = 0 5. On rappelle que en l absence de milieu magnétique, l équation de (MA) implique une discontinuité de la composante tangentielle de B donnée par : B 2t (A) B 1t (A) = µ 0 j s (A) n 12 PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

7 2.6 Milieux ferromagnétiques a) Relations constitutives Les milieux ferromagnétiques ne sont pas linéaires, comme nous allons le voir, mais les relations obtenues à la section précédente peuvent se généraliser en tenant compte du fait que les grandeurs introduites dépendent de la valeur de l excitation magnétique : Relations constitutives dans un milieu ferromagnétique : b) Courbe de première aimantation Si l on part d un échantillon préalablement démagnétisé, c est à dire que les champs B et H et le vecteur aimantation M sont nuls, et qu on le soumet à une excitation électromagnétique H croissante ; on obtient une courbe non linéaire M(H) présentant une saturation, typiquement autour de M sat = 10 6 A.m 1, appelée courbe de première aimantation. M M sat 0 H Figure 5: Courbe de première aimantation. On peut interpréter cette courbe simplement au niveau mésoscopique : à l échelle de quelques micromètres ou même de quelques millimètres, il existe des zones d aimantation constante dans les ferromagnétiques, appelées domaine de Weiss, qui se réarrangent en fonction de la valeur de l excitation extérieure appliquée au matériau ferromagnétique. Aimantation nulle Aimantation faible Aimantation forte (aimant) H H domaine de Weiss paroi de Bloch Figure 6: Réarrangement des domaines d aimantation constante (domaines de Weiss) en fonction de l intensité de l excitation magnétique extérieure appliquée au matériau ferromagnétique. L agitation thermique tend à désordonner l orientation des domaines alors que l excitation magnétique tend à les aligner et à augmenter la taille des domaines. On comprend ainsi pourquoi PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

8 à haute température et bas champ, un matériau ferromagnétique n est pas aimanté alors qu il le devient à basse température et fort champ extérieur. Ceci est représenté sur la figure ci-dessous. c) Cycle d hystérésis Lorsque l excitation extérieure H diminue après une première aimantation, on constate que le point représentatif de l état du milieu dans le plan (M, H) ne décrit pas la même courbe que précédemment. Pour une excitation alternative, sinusoïdale par exemple, les valeurs prises par l aimantation dépendent du sens de variation de l excitation extérieure appliquée, de sorte que la courbe observée après quelques périodes est un cycle d hystérésis 6. a) M sat M b) N S ou M sat M r M M r 0 H c H 0 H H c -M sat -M sat ou S N Figure 7: Cycle d hystérésis pour un matériau ferromagnétique doux (a), ou dur (b). On définit alors les deux grandeurs suivantes : l excitation coercitive H c obtenue lorsque l aimantation M s annule par valeur croissante. l aimantation rémanente M r atteinte lorsque l excitation est nulle. La taille du cycle d hystérésis dépend de l amplitude de l excitation et de la nature du matériau ferromagnétique. Le phénomène d hystérésis étant nécessairement irréversible, on comprend qu il est lié à l existence de pertes appellées pertes par hystérésis 7, dont on admettra qu elles sont proportionnelles à l aire du cycle d hystérésis. Lorsque l aire du cycle est faible, on parle de matériau ferromagnétique doux, et lorsqu elle est importante, on parle de matériau ferromagnétique dur. Lorsqu un matériau ferromagnétique qui a subi une saturation est placé dans les conditions où l excitation extérieure H est nulle, le vecteur aimantation M peut prendre les valeurs ±M r selon l évolution antérieure. On retrouve la notion de fonction mémoire décrite en électronique 8. C est ainsi qu on réalise l écriture et le stockage d information sous forme magnétique sur les bandes magnétiques, comme nous l avions mentionné précédemment. 6. Nous avons déjà rencontré ce terme dans l étude de l amplificateur opérationnel fonctionnant en régime non linéaire dans le montage de comparateur à hystérésis. 7. On les distinguent des pertes par courant de Foucault dans le matériau magnétique, qui sont appelées pertes fer. 8. Voir le montage de comparateur à hystérésis. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

9 Cette méthode est également utilisée pour réaliser des aimants permanents avec un matériau ferromagnétique dur. d) Désaimantation d un matériau Pour revenir à l état dans lequel l aimantation est nulle en l absence d excitation extérieure, on fait décrire au système des cycles d amplitude de plus en plus petite, en diminuant progressivement l amplitude de l excitation sinusoïdale appliquée. M 0 H Figure 8: Cycle d hystérésis pour un matériau ferromagnétique doux (a), ou dur (b). e) Canalisation des lignes de champ magnétique Lorsqu on utilise un matériau ferromagnétique doux et qu on limite l amplitude de l excitation de telle sorte que le vecteur aimantation reste toujours loin de ses valeurs de saturation, on peut assimiler le milieu à un matériau magnétique linéaire, homogène et isotrope (MLHI). La valeur de la susceptibilité magnétique est alors typiquement de l ordre de χ m = 1000, et donc : µ r = 1 + χ m 1 Afin de comprendre l intérêt de l utilisation des matériaux ferromagnétiques dans un transformateur, considérons un matériau ferromagnétique pour lequel µ r. D après la relation constitutive d un tel milieu considéré comme MLHI, B milieu ferro = µ 0 µ r H milieu ferro, et comme le champ magnétique B dans le milieu doit nécessairement rester borné, on en déduit que : H ferro 0 Considérons maintenant une interface entre un tel milieu et de l air. En l absence de courants surfaciques, il y a continuité de la composante tangentielle de l excitation magnétique H au niveau de l interface. On en déduit donc que : H t,air 0. Or dans l air, B air = µ 0 H air, donc : B t,air = 0 La composante tangentielle du champ est nulle dans l air, ce qui signifie que les lignes de champ magnétique ne peuvent traverser l interface que perpendiculairement à celle-ci du côté de l air. Comme le montre la figure ci-dessous, cela implique que : Les lignes de champ magnétique sont canalisées par les matériaux ferromagnétiques. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

10 air champ magnétique normal dans l'air au voisinage de l'interface ferromagnétique champ magnétique quelconque dans le matériau ferromagnétique Figure 9: Illustration du changement de direction des lignes de champ magnétique à la traversée d une interface air/ferromagnétique. La composante tangentielle du champ magnétique est nulle dans l air, de sorte que le champ peut être beaucoup plus intense à l intérieur du matériau qu à l extérieur. L intérêt de placer un matériau ferromagnétique pour coupler efficacement deux circuits électriques devient alors évident. C est ce qui est utilisé dans les transformateurs. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

11 a) b) c) d) Figure 10: Illustration de la canalisation des lignes de champ magnétique dans un matériau ferromagnétique. a) Champ créé par une bobine seule. b) Champ en présence d un barreau ferromagnétique duquel on a approché un autre matériau ferromagnétique en U. c) Lignes de champ magnétiques pour une autre position de la pièce ferromagnétique en U. d) Les lignes de champ magnétique sont piégées dans le circuit ferromagnétique lorsque celui-ci est fermé. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

12 3 Transformateur parfait 3.1 Présentation Comme nous l avons brièvement vu au début du chapitre, un transformateur est constitué d un circuit magnétique fermé sur lequel sont bobinés deux enroulements : le primaire, relié à la source, et le secondaire relié à la charge. z Figure 11: Schéma conventionnel d un transformateur parfait. Ces deux enroulements sont isolés l un de l autre d un point de vue électrique. Le couplage entre les deux circuits se fait par induction mutuelle. L enroulement primaire contient N 1 spires et l enroulement secondaire en comprend N 2. Par convention, les points sur les schémas désignent les bornes homologues : les enroulements sont tels que les courants entrant par ces bornes créent un champ magnétique dans le même sens à l intérieur du circuit magnétique (dans le sens de n 1 et n 2 sur la figure précédente). 3.2 Caractéristiques du transformateur parfait Le transformateur parfait présente les 5 caractéristiques suivantes : 1. le milieu ferromagnétique est considéré comme un matériau magnétique, linéaire, homogène et isotrope 2. la perméabilité relative µ r du matériau ferromagnétique tend vers l infini : µ r 3. les résistances des enroulements sont négligées, il n y a donc pas de pertes énergétiques dans les enroulements par effet Joule. 4. le milieu ferromagnétique est considéré comme non conducteur (c est à dire isolant). Cela implique qu aucun courant de Foucault ne peut se développer dans le circuit, et qu il n y a donc pas de perte énergétique dans le milieu magnétique. 5. le couplage magnétique entre le primaire et le secondaire est considéré comme parfait, de sorte que le circuit magnétique canalise les lignes de champ, et se comporte comme un tube de champ. On dit qu il n existe pas de fuites magnétiques. Toutes les lignes de champ créées dans le circuit magnétique sont à la fois enlacées dans les circuits primaire et secondaire. Dans le cas de la figure précédente, les lignes de champ sont alors des cercles et le champ magnétique est orthoradial à l intérieur du circuit magnétique. Transition : Cherchons maintenant à vérifier quelles sont les conséquences que ces caractéristiques imposent sur les courants et les tensions des circuits primaire et secondaire. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

13 3.3 Equations du transformateur parfait a) Mise en équation Dans la suite, nous considérerons un circuit magnétique torique à section rectangulaire, représenté dans la figure ci-dessous : C i 1 B Figure 12: Circuit magnétique torique. Le tore a un rayon moyen R, une épaisseur l et une hauteur h. On supposera l R de telle sorte que l on puisse considérer les champs uniformes en tout point d une section droite du tore, égaux à leur valeur à la distance R de l axe. D après ce qui précède, pour un transformateur parfait, la lignes de champ sont des cercles et le champ magnétique B est orthoradial. Appliquons le théorème d Ampère généralisé le long du cercle C indiqué sur le schéma conventionnel du transformateur parfait, et orienté dans le sens choisi pour le circuit magnétique. Nous obtenons : Nous en déduisons : Le champ magnétique B est supposé uniforme sur toute section droite du tore. Par conséquent, le flux magnétique à travers chaque spire ϕ c, appelé flux magnétique commun est : où S est la surface d une spire orientée par le sens du courant et S = lh. Dans chaque enroulement apparaît une force électromotrice induite par les variations du flux magnétique commun. Le schéma électrique équivalent est donné dans la figure ci-dessous dans lequel les forces électromotrices sont représentées en convention générateur, c est à dire dans le même sens que le courant, par convention. On obtient leur expression à l aide de la loi de Faraday : PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

14 i 1 i 2 u 1 e 1 e 2 u 2 Figure 13: Schéma électrique équivalent au transformateur parfait. On en déduit directement : où l on a posé les coefficients d autoinduction et de mutuelle induction suivants : On remarque que M 2 = L 1 L 2. On peut ainsi calculer le coefficient de couplage entre les deux circuits que nous avions défini dans le cours sur l induction : Le couplage entre les deux circuits est donc parfait, ce qui est en accord avec les hypothèses faites pour le transformateur parfait. a) i 1 M i 2 b) i 1 i 2 m u 1 L 1 L 2 u 2 u 1 u 2 Figure 14: a) Schéma électrique équivalent au transformateur parfait avec M 2 = L 1 L 2. b) Symbole du transformateur parfait. Les figures ci-dessus présentent respectivement le schéma équivalent au transformateur parfait avec M 2 = L 1 L 2 et le symbole du transformateur parfait où m = N 2 N 1 est le rapport de transformation : m = N 2 N 1 rapport de transformation PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

15 c) Relation entre les tensions Les équations précédentes permettent de montrer directement que, pour un transformateur parfait, le rapport des tensions vérifie : d) Relation entre les intensités L expresion du champ magnétique obtenue précédemment à l aide du théorème d Ampère permet d écrire : or pour un transformateur parfait, µ r de sorte qu on peut écrire : Pour un transformateur parfait, le rapport des intensités vérifie donc : Remarques : On note la présence d un signe "-", qui implique que i 2 < 0 si i 1 > 0 avec u 1 > 0 (fonctionnement du transformateur au primaire en mode récepteur). Dans ca cas, tension u 2 et courant i 2 réel sont orientés dans le même sens, de sorte que le transformateur fonctionne en mode générateur au secondaire). On remarquera que pour les valeurs efficaces des tensions et des courants, on aura la relation suivante : e) Bilan de la conversion Vérifions que le rendement du transformateur parfait vaut 1 puisque nous avons volontairement négligé toute perte dans le modèle du transformateur parfait. La puissance électrique reçue par le transformateur depuis le circuit primaire vaut : La puissance électrique fournie par le transformateur au circuit secondaire vaut : On en déduit donc que le rendement du transformateur parfait vaut : Le transformateur parfait réalise donc bien une modifiaction de la tension et de l intensité, sans changer la fréquence, avec un rendement de 100%. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

16 3.4 Application à l adaptation d impédance Un transforamteur peut permettre d adapter l impédance d une source et d une charge, c est à dire de permettre à la source, de résistance interne R 1 donnée, de délivrer une puissance maximale à une charge donnée R c, grâce au choix optimal du rapport m = N 2 N 1. On considère le montage simple pour lequel la charge est directement branchée sur le générateur délivrant une tension alternative, et un second montage dans lequel on utilise un transformateur parfait de rapport m. a) i R 1 b) i R i 2 m E u c R c E u 1 uc Rc Figure 15: a) Charge directement branchée sur le générateur. b) Utilisation d un transformation parfait pour adapter l impédance de la charge au générateur. Le transformateur étant parfait : Le second montage avec le transformateur est donc exactement équivalent au premier lorsque m =. Au primaire,, donc Le dipôle équivalent à la source et à la résistance R 1 vus du secondaire est un générateur de f.e.m me et de résistance interne m 2 R 1. Le montage, vu du secondaire, est donc équivalent à celui de la figure ci-dessous. i 1 u c Figure 16: Montage équivalent vu du secondaire. On reconnaît un pont diviseur de tension, donc : PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

17 On peut donc en déduire la puissance P c transmise à la charge : Cherchons quelle est la valeur de m qui permet de transmettre une puissance maximale à la charge : Le maximum est obtenu pour : Un rapport de transformation bien choisi permet donc de réaliser l adaptation d impédance de la charge et du générateur. La présence du transformateur conduira à une amélioration de la puissace transmise par rapport au montage simple présenté au début de la section dès que R 1 R c (dans ce cas, le montage simple est déjà optimal puisque m = 1). Remarque : On notera que l utilisation d un transformateur comme adaptateur d impédance n est utilisable qu en régime variable, puisque que son fonctionnement repose sur l induction de Neumann. 3.5 Application à l isolement de deux circuits Dans un transformateur, les circuits primaire et secondaire n ont pas de borne en commun, mais seulement une différence de potentiel commune (dans le cas où m = 1). On peut donc utiliser un transformateur pour isoler deux circuits l un de l autre. Les transformateurs peuvent être utilisés pour la sécurité des personnes dans les installations domestiques (par exemple pour les prises de courant dans les salles de bains). En effet, le transformateur permet de découpler les potentiels aux bornes d une prise et le potentiel de la terre comme le montre la figure ci-dessous. Figure 17: Au secondaire, une personne peut entrer en contact avec les points A et B sans danger puisque les circuits A-terre et B-terre sont des circuits ouverts. Le transformateur d isolement permet d assurer la sécurité des personnes. On pourra également être conduit à utiliser un transformateur d isolement pour pouvoir faire des mesures avec deux masses imposées en deux points différents d un circuit. Nous avions vu en première année qu un transformateur pouvait être utile pour tracer la caractéristique i = f(u) PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

18 d une diode, puisqu il permettait de ne pas court-circuiter le circuit de mesure entre la masse de l oscilloscope et celle du générateur, comme le montre le schéma ci-dessous. a) b) i m i E E masse du générateur masse du générateur Figure 18: Tracé de la caractéristique d une diode. a) Sans transformateur, la mesure est impossible car la diode est nécessairement court-circuitée. b) Mesure avec un transformateur d isolement. 4 Transformateur réel Reprenons maintenant les 5 hypothèses utilisées pour le transformateur parfait, dans le cadre d un transformateur réel. 4.1 Résistances de bobinage Les fils utilisés pour le bobinage présentent nécessairement une résistance r 1 au primaire et r 2 au secondaire. i 1 i 2 m u 1 u 2 Figure 19: Prise en compte de la résistance des enroulements dans un transformateur réel. 4.2 Inductances de fuite De plus, dans un transformateur réel, il faut tenir compte de la présence de fuites magnétiques. En effet, certaines lignes de champ traversent un seul des enroulements sans traverser l autre. Il apparaît alors pour chacun des enroulements un flux qui n est pas commun, dont on peut tenir compte en ajoutant au schéma équivalent des inductances I 1 et I 2, appelées inductances de fuite. Le schéma ci-dessous permet de rajouter ces deux effets dans la modélisation du transformateur réel. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

19 i 1 i 2 u 1 u 2 m Figure 20: Prise en compte des fuites magnétiques dans un transformateur réel. 4.3 Perméabilité finie du matériau - courant magnétisant Supposons maintenant que le matériau ferromagnétique ait une perméabilité magnétique finie µ. Dans ce cas, la relation issus du théorème d Ampère s écrit : On définit alors un courant magnétisant i m par la relation : On peut remarquer que i 1 s identifie à i m lorsque le secondaire est en circuit ouvert (i 2 = 0). Dans ce cas : La prise en compte du courant magnétisant peut se traduire par l ajout d une bobine d inductance L m en parallèle au primaire sur le modèle du transformateur parfait. i 1 i 2 m u 1 u 2 Figure 21: Prise en compte du courant magnétisant du transformateur. 4.4 Pertes Fer Considérons maintenant que le matériau ferromagnétique est conducteur. Il peut alors s établir des courants de Foucault qui vont dissiper de l énergie, même lorsque le transformateur fonctionne à vide, c est à dire lorsque i 2 = 0. On prend en compte cet effet appelé les pertes PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

20 fer, en rajoutant une résistance r fer en parallèle avec le transformateur parfait au niveau du circuit primaire. i 1 i 2 u 1 u 2 m Figure 22: Prise en compte des pertes fer dans un transformateur réel. 4.5 Non-linéarités du matériau magnétique Comme nous l avions expliqué dans la section sur les matériaux magnétiques, même si le matériau utilisé pour le circuit magnétique est un ferromagnétique doux, la relation entre B et H n est jamais strictement linéaire. Ceci induit des pertes et des non-linéarités dans le système qu il est difficile de modéliser simplement. On peut cependant envisager de relever expérimentalement le cycle d hystérésis afin de voir l importance de ces non-linéarités. On peut utiliser le montage ci-dessous. u 1 u 2 Y X Figure 23: Montage permettant de mesurer expérimentalement le cycle d hystérésis B = f(h). PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

21 Mesure de l excitation magnétique H On rappelle que le théorème d Ampère permet d obtenir : où L est la longueur moyenne du circuit magnétique. En choisissant N 1 N 2 et une amplitude I 2,max faible (en utilisant une grande résistance d entrée pour le montage pseudo-intégrateur), on obtient : La tension lue sur la voie X de l oscilloscope correspondant à ri 1, celle-ci est proportionnelle à l excitation magnétique : Mesure du champ magnétique B La tension aux bornes de l enroulement secondaire est : où S est la section du circuit magnétique. Sous réserve que la tension soit suffisamment grande pour que le montage à amplificateur opérationnel puisse être assimilé à un intégrateur 9 (ω 1 R ), la sortie de l intégrateur est alors une fonction affine du champ magnétique B : C A des coefficients de proportionnalité près, on obtient donc la courbe d hystérésis du matériau en mode XY sur l oscillopscope. Remarque : On notera que le cycle d hystérésis obtenu par le tracé de B est très peu différent de celui dont nous avons parlé précédemment, qui correspondait à M = f(h), car le rapport M H, c est à dire le coefficient de susceptibilité magnétique χ m( H ) est très grand devant 1 pour les matériaux utilisés dans les transformateurs, de sorte que : Le tracé de B(H) s obtient donc par une multiplication de M(H) par µ 0. Lorsque l aimantation sature à M sat, le champ magnétique augmente alors avec H avec une pente µ 0, en tenant compte de la relation complète, comme le montre la figure ci-dessous. 9. On rappelle que ce montage a déjà été étudié en TP d électronique en première année. On rajoute une résistance en parallèle avec le condensateur par rapport à un montage intégrateur simple afin d éviter qu une éventuelle tension de décalage dont l intégration conduirait à une saturation en tension (gain non nul pour une fréquence nulle). PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard

22 B sat B pente µ 0 B r H c 0 H Figure 24: Montage permettant de mesurer expérimentalement le cycle d hystérésis B = f(h). On notera que pour démagnétiser le matériau 10, il suffit de faire décroître lentement la tension du générateur vers une valeur nulle. Conclusion On retiendra qu un transformateur peut être utilisé avec des tensions et des courants alternatifs comme : élévateur de tension. abaisseur de tension. adaptateur d impédance. transformateur d isolement. On retiendra également la modélisation d un transformateur réel présentée dans la figure ci-dessous : i 1 i 2 u 1 u 2 m Figure 25: Modélisation d un transformateur réel. 10. On pourra vérifier que le matériau se comporte comme un aimant lorsqu on arrête brusquement la tension d entrée. PSI - Année 2010/ Lycée Paul Eluard