ANNEXE 5 : Quelques notions de mathématiques

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1 ANNEXE 5 : Quelques notions de mathématiques 1. Inclusion et appartenance. Sur tout ensemble, on peut considérer deux relations très différentes (leur confusion conduisant à des difficultés innombrables), l appartenance de symbole : et l inclusion de symbole :. L appartenance à un ensemble X permet de définir cet ensemble par ses éléments. On peut ainsi définir l ensemble X = {0,1,2} ensemble à 3 éléments, à savoir les nombres 0, 1 et 2 ; on traduit cela en écrivant : 0 X 1 X 2 X. Cette relation n est aucunement homogène puisqu elle relie des éléments à des ensembles. L inclusion par contre est une relation entre ensembles, donc homogène, qu on peut définir à partir de la relation d appartenance. Si X et Y sont deux ensembles, on dit que Y est inclus dans X, ou encore que Y est un sous-ensemble de X, et on note Y X 75

2 si tous les éléments de Y sont des éléments de X. Autrement dit, Y X signifie : si a Y alors a X (1) 2. Parties d un ensemble. Si X est un ensemble, on définit un autre ensemble, appelé ensemble des parties de X et noté P(X). C est l ensemble dont les éléments sont les sousensembles de X. Autrement dit, Z P(X) signifie : Z X. 3. Espace et dimension. Dans la suite, on note R l ensemble des nombres réels et R n, le produit n fois de R. Ainsi R 2 peut être considéré comme le plan (espace à deux dimensions), R 3 l espace à trois dimensions, (2) 4. Propriétés d une application. Une application f entre deux ensembles E et F est dite a) injective si deux éléments différents de E sont envoyés par cette application sur deux éléments différents de F i.e. si x y alors f(x) f(y) b) surjective tout point de F est dans l image de f i.e. pour tout y F, on a y = f(x) pour un certain x E. c) bijective si elle est à la fois injective et surjective. 76

3 Si f est une application bijective de E dans F, on peut définir sa réciproque. C est une application de F dans E notée f --1 et définie par : f --1 (y) = x l unique élément de E tel que f(x) = y. Un exemple d une telle application bijective est fournie en prenant E l ensemble des entiers positifs, F l ensemble des entiers qui sont des carrés et f l application qui à un entier n lui associe son carré i.e. f(n) = n 2. Par contre si on considère E l ensemble des entiers relatifs, F de même que précédemment (l ensemble des entiers qui sont des carrés) et f l application qui à un entier positif ou négatif n lui associe son carré, cette application n est pas bijective ; ainsi f(2) = f(-2) = Opération interne, groupe, corps, sous-groupe, sous-corps. Soit A un ensemble. Une opération interne + sur A est une application qui à tout couple d éléments de A lui associe un élément de A i.e. pour tout a, a A, on a : a+a A. On dit que (A,+) est un groupe commutatif, si l opération interne + vérifie les propriétés suivantes : a) associativité i.e. pour tout a, b, c A, on a : (a+b)+c = a+ (b+c) b) existence d un élément neutre i.e. il existe un élément e A tel que pour tout a A : a+e =e+a = a c) existence d un symétrique i.e. pour tout a A, il existe a A tel que : a+a = a +a = e d) commutativité i.e. pour tout a A : a+b = b+a. Si (A,+) est un groupe commutatif, un sous-ensemble B de A est dit un sous-groupe commutatif de A, si (B, +) est lui-même un groupe commutatif. 77

4 Si l on a deux lois internes +, sur A, on dit que (A,+, ) est un corps commutatif, si i) (A,+) est un groupe commutatif d élément neutre e ii) (A*, ) est un groupe commutatif où A* = A\{e} (i.e. A* est égal à A privé de l élément neutre e pour +). Si (A,+, ) est un corps commutatif, un sous-ensemble B de A est dit un sous-corps commutatif de A, si (B, +, ) est lui-même un corps commutatif. 5. Opération externe. Soit A et N deux ensembles. Une opération externe de N sur A est une application qui à tout élément de N et tout élément de A, lui associe un élément de A i.e. pour tout n N et tout a A, on a : n a A. Comme on le voit, une opération interne est en quelque sorte le cas particulier, ou plutôt dégénéré, de l application externe, où A et N identiques. Ainsi, à toute application interne associative + sur un ensemble, on peut associer une application externe avec N l ensemble des entiers naturels, à savoir l addition itérée i.e. pour tout n N et tout a A, on pose : n a = (a+a) +a en additionnant n fois l élément a. 6. Translation. Soit (A,+) un groupe commutatif ; soit b A, on appelle translation par b, l application T b de A dans A définie par : pour tout a A, T b (a) = a+b. 78

5 Pour tout b A, soit T l ensemble des translations T b. Une translation est un élément de T i.e. c est une application T b pour un certain b A. 7. Bijectivité des translations. Une propriété importante de toute translation est d être une application bijective. En effet, soit (A,+) un groupe, b A un élément quelconque de A et T b la translation par b. 1) Pour tout a,a A, on a : T b (a) = T b (a ) signifie par définition, a+b = a +b d où a = a et donc T b est injective. 2) Pour tout a A, soit b est le symétrique de b (i.e. avec les notations additives habituelles, on peut écrire : b = -b). On pose : a = a + b A. On a alors : T b(a ) = a +b = (a+b )+b = a+(b +b) = a+e = a, d où T b est surjective. T b étant à la fois injective et surjective est (définition) bijective. 8. Translations planes. On considère le plan R 2 (cf. 3. ci-dessus) i.e. l ensemble formé des couples de réels, et on note + l addition sur R 2 i.e. pour tout z = (u,v) et z = (u,v ) éléments de R 2 : z+z = (u+u, v+v ). Alors (R 2,+) est un groupe commutatif, et une translation de R 2 est donc une certaine application T y (pour y R 2 ) définie par : 79

6 T y (z) = z+y. Une telle application est encore appelée translation plane. D après le 7. ci-dessus, ces applications sont des bijections. Exemple. 2 1 z z Sur la figure ci-dessus, on a : z = T y (z) avec z = (2,1), y = (1,1) (figuré par une flèche) et donc z = z +y = (3,2). 9. Image inverse ou réciproque par une application. Soit f une application d un ensemble A dans un ensemble B. Pour tout sous-ensemble B de B, on appelle image réciproque (ou image inverse) de B par f, et on le note f - 1 (B ), le sous-ensemble de A, formé de tous les éléments de A dont l image par f appartient à B i.e. f -1 (B ) = {a A; f(a) B }. 10. Contraposition. Soit p et q des énoncés ; la contraposée à l implication : 80

7 p q est l implication : non q non p où non p (respectivement non q) est la négation de la proposition p (respectivement q). On a la propriété suivante : une implication entre deux proposition est vraie (ou fausse) si et seulement si sa contraposée l est. Pour vérifier la vérité d une implication, il suffit donc de vérifier celle de sa contraposée. Ainsi l implication : Si X est un homme, alors X est mortel est équivalent à : Si X est immortel, alors ce n est pas un homme. Ou encore : Si un polygone convexe est un triangle, la somme de ses angles est égale à 2 droits est équivalent à : Si la somme d un polygone convexe n est pas égale à deux droits, ce n est pas un triangle. 11. Relation d ordre. Définition. Sur un ensemble A, un ordre (ou relation d ordre) est la donnée d une relation (permettant de comparer deux éléments de A) vérifiant les propriétés suivantes : Réflexivité : pour tout a A, on a : a a Antisymétrie : pour tout a, b A, on a : (a b et b a) implique a = b Transitivité : pour tout a, b, c A, on a : (a b et b c) implique a b. 81

8 Définition. Ordre strict. Un ordre s sur A est dit strict, si la réflexivité est toujours fausse, i.e. pour tout pour tout a A : a s a est faux. Ou encore, en prenant la contraposée (cf. paragraphe précédent) : a s b implique a b. A toute relation d ordre (générale) sur un ensemble A, on associe une relation d ordre stricte s en posant : a s b signifie : a s b et a b. Définition. Ordre total. Un ordre sur A est dit total, si pour tout élément a, a' de A, on a : soit a a', soit a' a, soit a = a'. Un ensemble sur lequel on met un ordre total est dit totalement ordonné. Exemples. a) Soit A l ensemble des nombres entiers naturels et la relation (supérieure ou égale) définie par : pour tout n, m A, on a : n m signifie (n-m) A. Il est facile de montrer que cette relation vérifie les trois propriétés (réflexivité, antisymétrie et transitivité) ci-dessus. b) Cette relation d ordre est une relation d ordre total (deux entiers naturels peuvent toujours être comparés). c) Soit A le sous-ensemble de A des entiers naturels non nuls i.e. A est égal à A privé de zéro. La relation d ordre stricte associée à est notée >. D après ci-dessus : n > m signifie (n-m) A. d) Soit A l ensemble des mots d un dictionnaire et la relation définie par être situé après i.e. si a et b sont deux mots dans le dictionnaire, on a : a b signifie le mot a est situé après le mot b autrement dit c est l ordre alphabétique. 82

9 Cette relation vérifie les trois propriétés i), ii) et iii), c est donc une relation d ordre (la relation d ordre alphabétique) sur l ensemble des mots du dictionnaire. Et c est une relation d ordre total. 83