RESISTANCE ET RESISTIVITE PONT DE WHEATSTONE

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Flavien Gauthier
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1 EWr 1 RESISTANCE ET RESISTIVITE PONT DE WHEATSTONE 1 BASES THEORIQUES 1.1 Résistance et résistivité Le courant électrique dans un fil conducteur consiste en lʼécoulement de charges électriques. Par convention, le sens du courant est le sens de déplacement de charges positives. Lʼintensité I du courant électrique est définie comme la charge électrique passant par unité de temps à travers une section du fil. Elle est mesurée en ampères (A). Le potentiel électrique U en un point est, par définition, lʼénergie potentielle électrique dʼune charge unité en ce point. Le potentiel électrique se mesure en volts (V). Une des premières découvertes expérimentales sur le courant électrique dans les fils conducteurs fut la loi d'ohm!u = RI (1) où!u est la différence de potentiel entre les extrémités du fil et R, exprimée en ohms (! ), est la résistance du fil. Etant donné un fil conducteur maintenu à température constante, la résistance R ne dépend pas du courant qui y circule. L E S I Figure 1: élément de conducteur de section S et de longueur L La résistance du fil conducteur est fonction de sa longueur L et de sa section S selon la formule suivante: R =! L S. (2)

2 EWr 2 La constante! apparaissant dans (2) est appelée résistivité;! est une caractéristique intrinsèque du matériau dont est formé le conducteur. La résistivité sʼexprime en ohm. mètre [! m]. Elle varie de 1,7!10 "8 # m pour un très bon conducteur (cuivre), à 10 16! m pour un bon isolant (quartz fondu) à température ambiante. Abordons maintenant succinctement lʼétude du courant électrique au niveau microscopique. Appliquer une différence de potentiel!u entre les extrémités du fil revient à créer un champ électrique dʼintensité E constante donnée par la relation E =!U L, parallèle en tout point au fil et dirigé dans le sens du courant (voir la figure 1). Des charges soumises à un champ électrique dʼintensité constante sont uniformément accélérées, or le courant électrique apparaissant lorsque lʼon établit une différence de potentiel tend rapidement vers une valeur constante, ce qui signifie que les charges possèdent alors (du moins en moyenne) une vitesse constante. Par analogie avec la chute dʼun corps dans un fluide visqueux, on peut imaginer que le fil exerce une force de frottement sur les charges en déplacement. Cette résistance à lʼavancement est à lʼorigine de la résistance électrique. La nature exacte de cette force dépasse le cadre de la manipulation; une théorie satisfaisante de la résistance électrique ne peut dʼailleurs se faire que dans le cadre de la mécanique quantique. 1.2 Résistivité en fonction de la température Pour un métal très pur, la résistivité peut varier d'un facteur 10 5 d'une température proche du zéro absolu à la température ambiante. La figure 2 donne trois exemples de dépendance de la résistivité en fonction de la température.

3 EWr 3 métal Cu supraconducteur Pb semiconducteur Ge! m " " " T T T K K K Figure 2: résistivité en fonction de la température T pour le cuivre, le plomb et le germanium. Pour tout conducteur métallique, la résistivité croît avec la température T. Par contre, elle décroît quand T augmente dans les semi-conducteurs. Un certain nombre de matériaux deviennent supraconducteurs lorsquʼils sont refroidis au dessous dʼune température critique T c (propre à chaque matériau): leur résistance sʼannule brusquement lorsque leur température T est inférieure à T c ; un courant établi dans un supraconducteur circule indéfiniment sans dissipation d'énergie. Dans une gamme de température pas trop grande, la résistivité d'un métal vue comme une fonction de la température peut être approximativement représentée par une relation linéaire:!(t) =! 0 ( 1+ " (T # T 0 ) ) (3) où! 0 est la résistivité à la température de référence T 0 et! la variation relative moyenne de résistivité par degré:! = 1 " 0 " # " 0 T # T 0 = 1 " 0 $" $T. (4) 1.3 Le pont de Wheatstone On appelle montage en pont de Wheatstone, un montage du type schématisé sur la figure 3.

4 EWr 4 i C C R 1 R G A B i G X R 2 i D Figure 3: montage en pont de Wheatstone. D Le pont de Wheatstone est un moyen très précis pour mesurer des résistances. Il permet aussi de mesurer des capacités et des selfs si lʼon utilise du courant alternatif. Nous nous limiterons au cas des résistances. Ce qui caractérise le montage est le pont, entre les points C et D, contenant un galvanomètre G qui détecte le courant i G passant dans la branche CD lorsque A et B sont connectés à une source de courant. Lorsque i G est nul, le pont est dit en équilibre et il existe une relation simple entre les quatre résistances X, R 1, R 2 et R 3. En effet, si i G = 0, la différence de potentiel entre les point C et D est nulle. Dans ce cas: et U A!U D = U A!U C = X i D = R 1 i C (5) U D! U B = U C!U B = R 2 i D = R 3 i C. (6) En divisant (5) par (6), on obtient la relation d'équilibre du pont: X R 2 = R 1 R 3 ou X = R 1R 2 R 3. (7)

5 EWr 5 Afin de déterminer X, il faut donc disposer de trois résistances étalonnées dont l'une au moins est variable, permettant par un réglage convenable d'obtenir l'équilibre du pont (i G = 0). 2 MANIPULATION 2.1 Montage Réalisez le circuit de la figure 3. On utilise à la place du galvanomètre un microampèremètre à amplificateur (voir introduction, chap. 3). Prenez pour R 1 la boîte de résistances à décades et pour R 3 et R 2 des valeurs judicieuses parmi les résistances marquées 10!, 100!, 1000!, 10000!. Selon les résistances à mesurer, choisissez un rapport R 2 / R 3 de 10!3 à 10!1 pour les petites résistances et de 1 à 10 3 pour les résistances moyennes et grandes, de manière à pouvoir équilibrer le pont avec finesse et ainsi déterminer X avec trois, voire quatre chiffres significatifs. 2.2 Mesure de résistance et de résistivité Commencez par déterminer, à lʼaide de votre pont de Wheatstone, la valeur de lʼune des résistances numérotées 1 à 3. Sur une planche de 1 mètre, on a tendu plusieurs fils de matière et de section différentes données. Mesurez leur résistance (quel rapport R 2 / R 3 choisissez-vous?) Après avoir effectué l'expérience 2.4 ci-dessous, corrigez les résultats obtenus en tenant compte de l'erreur systématique, calculez les résistivités et comparez-les aux valeurs des tables. 2.3 Relation entre la résistance et la section Mesurez la résistance des deux fils de nickel montés en parallèle.

6 EWr 6 Qu'en déduisez-vous par rapport à la résistance d'un seul fil? La relation (2) est-elle exacte en ce qui concerne la section? Quelle est la règle donnant la résistance équivalente de deux résistances montées en parallèle? 2.4 Relation entre la résistance et la longueur Mesurez la résistance en fonction de la longueur à l'aide du contact mobile à disposition. Etablissez un graphique de R en fonction de la longueur L du fil. Qu'en déduisez-vous? Comment qualifier la relation entre R et L? La formule (2) estelle vérifiée? La courbe doit-elle passer par l'origine? Le fait-elle? Expliquez. Bibliographie - Alonso, Finn, champs et ondes, chap. 1 - Berkeley, électricité, chap. 4 - Balkanski, Sébenne, physique, p. 372 et suivantes - Halliday, Resnick, Physics, chap Sears, Zemansky, Young, University Physics, chap. 28

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