Déformations et élasticité

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1 7 Déformations et élasticité v 7.1 compression cisaillement

2 Types de déformations On peut soumettre les corps rigides à 3 types d'effort qui provoquent des déformations compression traction cisaillement N.B. : torsion cisaillement

3 Régimes de déformation Considérons le cas d'un objet solide soumis à traction, p. ex. un cylindre de métal de longueur d et section droite A. Il est fixé au mur sur un côté et on applique une force F de traction sur l'autre. Si la force n'est pas trop forte, on observe un allongement δ qui est proportionnel à d et à F: c'est le régime linéaire. Au- delà, la proportionnalité n'est pas respectée. Si l'on relâche la traction et le cylindre revient à sa forme de départ, la déformation était élastique, plastique sinon. Si la force est trop forte le corps peut se casser (corps cassant, p. ex. du verre) ou s'allonger très rapidement (corps ductile) avant de se casser. d δ F On a: δ F δ d On tient compte de la proportionnalité de δ avec d en introduisant la déformation (relative) ε (sans dimension) : ε = δ / d 3

4 Relation force - déformation Considérons le cas d'un objet solide soumis à traction, fixé au mur sur un côté et on applique une force F de traction sur l'autre. On observe un allongement δ. On constate que la force nécessaire pour obtenir le même δ sur une barre de section droite identique, mais de forme circulaire ou carrée ou autre, est essentiellement la même. En effet seulement la section entre dans le calcul de déformations par traction et compression. d On est amenés à introduire l'effort: σ = F/A δ F [σ] = N/m 2 A

5 Relation force - déformation.2 On tient compte de la proportionnalité de δ avec d, δ d, en introduisant la déformation (relative) ε (sans dimension) : ε = δ / d La proportionnalité entre déformation élastique et effort s'exprime par le module d'young E (N/m 2 ) : ε = σ/ε δ = 1 F Donc: E A d Dans le cas de corps homogènes (ex. : les métaux), E est le même pour traction et compression. Figure: dans la région AB le régime est linéaire et le module de Young E correspond à 1/pente de la droite. Exemples: Al: E = 7 x Nm 2 acier: 20, brique: 2 A compression ε traction B cassure σ

6 La constante d'élasticité Hooke avait étudié la proportionnalité entre force F et la déformation δ pour les objets élastiques (en particulier les ressorts). La loi d'hooke pour un objet de constante d'élasticité (ou du ressort) k: F = k δ On peut relier k au module de Young E. De la définition d'effort σ = F/A et déformation ε = δ/d on tire: σ = F/A = kδ/α = (d/d)kδ/a = (kd/a) δ/d = (kd/a)ε => σ/ε = kd/a de la définition E = σ/ε : d δ F Ε = kd/a et k = EA/d 6

7 La flexion z y x Barre rigide de section a b et longueur d, appuyée sur les bords et soumise à son poids w. d a b R Après flexion, on a approximativement un arc de cercle de rayon R R quand w 0 N=w/2 N=w/2 w z y On observe que la partie supérieure de la barre est en compression, celle inférieure en traction x 7

8 La flexion.2 Le système est symétrique par rapport au centre (la barre est homogène). Considérons la moitié gauche. La surface supérieure est plus petite qu' en l'absence de flexion, la surface inférieure est dilatée. A l'intérieur du corps il existe la surface neutre, qui n'a pas changé de valeur. La partie droite exerce des forces sur la partie gauche comme qualitativement indiqué sur la figure. N=w/2 On a la présence d'un moment de forces internes qui cherche à mettre en rotation antihoraire la partie gauche (horaire la droite). On trouve que le rayon de courbure R et le moment des forces τ sont liés par: z y w/2 τ = E I s / R x E module d'young, I s est le "moment d'inertie de la section" 8

9 Moment d'inertie de la section...à ne pas confondre avec le moment d'inertie I = r 2 dm!! a a/2 -a/2 b z Exemple: section rectangulaire de hauteur a et largeur b calcul de I S par rapport à l'axe z. y a / 2 I s = z 2 ds = z 2 (bdz) = b z 2 dz = b z3 3 a / 2 a / 2 a / 2 [I s ]=cm 4 a/2 a/2 = a3 b 12 Cylindre plain I s = πr 4 4 a Tube b I s = π(a4 b 4 ) 4

10 La flexion.3 La connaissance de la forme de la section droite (et pas seulement sa surface) est donc nécessaire pour définir le comportement en cas de flexion. De la formule τ = E I s / R on déduit que, si l'on fixe τ, il faut augmenter I s pour diminuer augmenter la courbure R. Dans le cas de la section rectangulaire: Considérons une planche de section 1x10 cm 2, posée sur deux supports, soumise uniquement à son poids. a) Dans le cas a) où elle est posée à plat, I s = 1 3 x10/12 = 0.83 cm 4 Par contre, si elle est placée sur la tranche b) I s = 1x10 3 /12 = 83 cm 4. b) Puisque le poids est le même dans les deux cas, le moment des forces internes doit être le même. On en déduit pour les rayons de courbure: R b /R a = 100 On s'attend donc à une déformation moindre dans b). a b I s = a3 b 12 10

11 Cisaillement h Le parallélépipède de la figure subit un cisaillement qui incline les faces latérales d'un angle α: δ c A A +F -F L'effort de cisaillement est σ c = F/A N/m 2 La déformation due au cisaillement ε c = δ c /h = tan α (pas de dim.) Le module de cisaillement G = σ c / ε c N/m 2 Exemples: Al: G = 2, N m 2 Acier: 8,4 W: 11,4 α h A 11

12 Torsion Le cylindre de rayon R et longueur h est soumis à un couple de forces, de moment τ = 2RF. Il subit une torsion d'angle α: -F α h h +F Chaque couche de rayon r et épaisseur δr se déplace d'une longueur ~αr. Il y a donc un cisaillement entre couches: δ c ~ α δr. On s'attend à une liaison avec le module de cisaillement G. En effet on trouve l'expression: τ = GI p α h Ici I p est le moment d'inertie polaire. Dans le cas du cylindre plein on trouve: I p = πr 4 /2 (unité m 4 ) 12

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