MÉCANIQUE DES FLUIDES DR. RAJAA AKOURY. Semestre V Civil ULFGII

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1 MÉCANIQUE DES FLUIDES DR. RAJAA AKOURY Semestre V Civil ULFGII

2 CONTENU DU COURS Généralités Partie I: Fluides Parfaits 1- Statique des Fluides (équilibre des fluides au repos) 2- Cinématique des Fluides (étude du mouvement des fluides sans se soucier des causes ou des forces qui entrent en jeu) 3- Dynamique des Fluides (étude des forces agissant sur un fluide en mouvement) Théorèmes de Bernouilli, d Euler, de Blasius Partie II: Fluides Visqueux 1- Généralités 2- Cinématique et dynamique des fluides visqueux 3- Ecoulements laminaires et turbulents 2

3 MÉCANIQUE DES FLUIDES II- STATIQUE DES FLUIDES PARFAITS Semestre V Civil ULFGII

4 PLAN DU CHAPITRE Notion de pression dans un milieu fluide Classification des forces Tension en un point Calcul des forces de pression Sur une surface plane Sur une surface gauche Equation fondamentale de la statique d équilibre Equilibre d une particule fluide Cas où les forces de volume dérivent d un potentiel Equation fondamentale de l hydrostatique Statique des Fluides non pesants Champ de force autre que la pesanteur: Champ magnétique Champ de force d inertie 4

5 DÉFINITION La Statique des Fluides a pour objectif l étude de l équilibre des fluides au repos ou des fluides uniformément accélérés. Il n y a pas de contraintes dues au frottement entre les particules. On ne tient pas compte alors de la viscosité du fluide. Les forces en jeu sont uniquement les forces de surface dues à la pression. 5

6 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE Classification des forces La résolution d un problème de Mécanique des Fluides passe par la définition d un volume (domaine de contrôle D) contenant du fluide, limité par une surface S. D (S) Deux types de forces sont mis en jeu: Forces intérieures: les particules du fluide exercent les unes sur les autres des forces moléculaires, égales et opposées deux à deux. Elles forment un système en équilibre. Forces extérieures: Forces de surface concernant les particules voisines de la surface (paroi) S: forces de pression Forces de volume appliquées sur l ensemble des molécules du fluide situées à l intérieur du domaine: champ de la pesanteur, champ magnétique, champ électrique 6

7 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE Tension en un point du fluide Soit M un point sur la paroi de D, entouré d une surface élémentaire ds. Soit le vecteur normal à la paroi. M ds Le système des forces se limite au point M à une force df (et un couple dc infiniment petit). On définit le vecteur tension (ou simplement la tension) au point M par: n est pas nécessairement colinéaire à 7

8 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE Dans le plan (en 2D): admet deux composantes: tangentielle et normale M ds La composante normale T n est la pression au point M. ou bien La pression désigne alors la force par unité de surface qui s exerce perpendiculairement à un élément de surface ds. 8

9 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE Dans l espace (en 3D): En un point M d un milieu continu de fluide, les tensions sur les éléments de surface de différentes orientations ne sont pas indépendantes. Pour les relier, on prend un domaine de référence qui est le tétraèdre infiniment petit. admet 3 composantes selon les 3 surfaces élémentaires du tétraèdre. étant le vecteur normal unitaire à ds, ds y z ds x ds y Alors x ds z 9

10 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE z Alors ds y ds x ds y ds z x 10

11 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE Chaque composante peut être projetée selon les 3 axes : Projection de selon l axe des x = selon l axe des y = selon l axe des z = Projection de selon l axe des x = selon l axe des y = selon l axe des z = 11

12 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE Les composantes normales T ii sont notées par: Les composantes tangentielles T ij =T ji (symétrie) sont notées par: Sous forme matricielle: 12

13 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE : Tenseur scalaire des contraintes au point M. En rapportant l espace à 3 axes orthogonaux, le vecteur tension en un point M sur un élément de surface ds sera déterminé par: 1. L orientation de ds ( ) 2. Le tenseur des contraintes défini par les 6 termes n i et t i, i=1,2,3 13

14 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE A noter qu on peut décomposer le tenseur de la manière suivante: Où est un tenseur de trace nulle On a donc: Cette décomposition permet alors de reformuler la contrainte : 14

15 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE Il apparaît alors deux termes dans l expression de la force: Le premier terme correspond évidemment à une force purement normale { la surface: on peut facilement l identifier { la force de pression. En d autres termes: Avec : Nulles dans le cas d un fluide (parfait ou réel) au repos ou uniformément accéléré, ou bien un fluide parfait en mouvement 15

16 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE En statique (repos ou mouvement uniformément accéléré), et dans le cas de fluide parfait en mouvement, seules interviennent les forces de pression (normales à la paroi). Les forces tangentielles n apparaissent qu en dynamique des fluides visqueux. Elles correspondent aux frottements visqueux des couches fluides en mouvement les unes par rapport aux autres et par rapport à la paroi. Considérer un fluide comme parfait est équivalent à poser que les forces de surface sont toujours uniquement des forces de pression: elles sont normales aux surfaces sur lesquelles elles s'exercent. 16

17 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE La pression est toujours indépendante de la surface et de l orientation de cette surface. M ds 1 M ds 2 mais 17

18 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE TENSION EN UN POINT DU FLUIDE Un fluide parfait est un fluide qui, même en mouvement, ne présente pas de forces de surface tangentielles (contraintes de cisaillement dues à la viscosité). Il en résulte qu'un fluide parfait est un fluide dont la viscosité est supposée nulle. Pour un fluide réel ces conditions ne sont vérifiées que s'il est au repos ou uniformément accéléré Fluide réel en mouvement Fluide parfait en mouvement Fluide réel ou parfait Au repos Fluide réel ou parfait uniformément accéléré Forces de surface Normales 18

19 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION Calcul des forces de pression des fluides sur une surface Soit un élément de surface ds entourant un point M situé à la profondeur z par rapport au niveau de surface libre. z M df La force élémentaire (normale à ds) s exerçant en M à une profondeur z est donnée par : En général, on néglige la pression atmosphérique ; on s intéresse alors à la force élémentaire effective 19

20 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE Calcul des forces de pression sur une surface plane Soit une surface plane AB inclinée d angle q par rapport à l horizontale, et immergée dans un fluide de masse volumique r. Les pressions sont normales à la paroi. Les forces élémentaires sont toutes parallèles. Le système de force est donc équivalent à une force unique. On peut calculer son intensité et son point d application. z A A z B B 20

21 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE Calcul de la résultante des forces de pression En tout point entouré d une surface élémentaire ds à une profondeur z : La résultante des forces élémentaires est donc: Pour un fluide incompressible: z A A z G G P z P B z B Où S est la surface plane entre A et B; et z G est la profondeur du centre de gravité géométrique de la surface AB. 21

22 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE Calcul de la position du point d application On cherche à calculer la profondeur z P du point d application de la force de pression. Pour cela, on calcule le moment des forces élémentaires par rapport à un axe perpendiculaire au plan passant par le point O. Moment élémentaire en un point de AB: D autre part, le moment est égal au produit de la résultante des forces par le bras du levier (OP): O z A A z G G P z P B z B Moment d inertie 22 Moment Statique

23 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE Moment d inertie Théorème de Huygens: Moment Statique = au moment d inertie de la surface AB par rapport à un axe passant par O. Où est le moment d inertie de la surface AB par rapport à un axe passant par son centre de gravité G. Alors: O z A A z G G P z P B z B Connu pour des formes géométriques particulières Le point d application P est donc toujours plus bas que le centre de gravité. 23

24 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE La résultante des forces de pression sur une surface plane pour un fluide incompressible en équilibre est égale au poids d une colonne de fluide ayant pour base la surface S de la paroi, et pour hauteur la profondeur du centre de gravité: Le centre de poussée est toujours situé plus bas que le centre de gravité de la surface plane : A z G G P z P B 24

25 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE Formulaire de surfaces, barycentres et moments d inertie 25

26 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE Formulaire de surfaces, barycentres et moments d inertie 26

27 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE Application Soit une plaque plane AB rectangulaire (hauteur H et largeur 1), verticale, retenant une hauteur d eau H. Représenter le diagramme de pression. Calculer la résultante F des forces de pression. Situer son point d application. H A B Reprendre l exercice dans le cas d une plaque circulaire de diamètre H. 27

28 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE Calcul des forces de pression sur une surface Gauche La complication pour une surface courbe tient au fait que la normale sortante n est plus constante sur la surface. Les forces élémentaires ne sont plus parallèles. Dans ce cas : Puisque le vecteur est différent en chaque point M de la surface, on peut écrire que ses 3 composantes dépendent de M: 28

29 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE Le système n est plus équivalent à une force unique. Il faut considérer indépendamment chacune des 3 composantes de la résultante selon les 3 directions: Selon la forme de la surface, les expressions des composantes du vecteur normal peuvent être plus ou moins compliquées, de même que le calcul des intégrales. 29

30 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE Une autre solution est d utiliser les règles générales suivantes: La composante horizontale F x de la résultante des forces de pression appliquée à une surface gauche quelconque S est égale à la poussée hydrostatique qui s exerce sur la projection S x de la surface S sur un plan perpendiculaire à l axe des x. Idem pour la composante horizontale selon y. La composante verticale F z de la résultante des forces de pression appliquée à une surface gauche quelconque S est égale au poids d une colonne verticale de fluide, ayant pour base la surface S, pour génératrice la verticale, s appuyant sur le contour de la surface S et délimitée vers le haut par le plan de surface libre. 30

31 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE La composante horizontale F x de la résultante des forces de pression appliquée à une surface gauche quelconque S est égale à la poussée hydrostatique qui s exerce sur la projection S x de la surface S sur un plan perpendiculaire à l axe des x. Surface non horizontale x = Somme algébrique de la projection des surfaces 31

32 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE La composante verticale Fz de la résultante des forces de pression appliquée à une surface gauche quelconque S est égale au poids d une colonne verticale de fluide, ayant pour base la surface S, pour génératrice la verticale, s appuyant sur le contour de la surface S et délimitée vers le haut par le plan de surface libre. 32

33 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CAS PARTICULIER D UNE SURFACE FERMÉE IMMERGÉE Force hydrostatique appliquée sur un objet immergé: On considère une surface fermée S constituant un corps solide immergé dans un fluide au repos. La valeur algébrique de la projection de S sur un axe horizontale est nulle. La surface n est pas donc soumise à une force horizontale. x et 33

34 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CAS PARTICULIER D UNE SURFACE FERMÉE IMMERGÉE Concernant la composante verticale, les pressions (orientées vars le haut) qui s appliquent sur la partie inférieure du corps sont plus importantes que celles (orientées vers le bas) de la partie supérieure. La composante verticale des forces de pression est égale et opposée au poids du fluide contenu à l intérieur de la surface: C est la poussée d Archimède. 34

35 NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE CAS PARTICULIER D UNE SURFACE FERMÉE IMMERGÉE En plus de son poids, un corps solide immergé dans un fluide au repos est soumis à la poussée d Archimède: La poussée d Archimède est une force orientée de bas en haut, dont la norme est égale à celle du poids du volume de fluide, et don t le point d application est le centre de gravité du volume immergé. C est cette poussée qui est responsable du fait que certains objets flottent et que d autres coulent. 35

36 EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D EQUIILIBRE Equilibre d une particule fluide: Soient un système d axes (O,x,y,z) et un volume de fluide élémentaire : Face S x Face S z+dz Face S y+dy Face S x+dx Face S y Face S z On considère que le fluide est en équilibre sous l action des forces de pression sur les 6 faces, et d un champ de forces (champ de pesanteur par exemple). 36

37 EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D EQUIILIBRE EQUILIBRE D UNE PARTICULE FLUIDE Bilan des forces appliquées à l élément de fluide: Champ de forces (par unité de masse) : Forces de pression sur les 6 faces: Sur la face S x : Sur la face S x+dx : Alors, par développement au premier ordre : De la même manière, les résultantes des forces de pression selon les axes y et z sont: Face S z+dz Face S y+dy Face S x Face Sx+dx Face S y Face S z 37

38 EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D EQUIILIBRE EQUILIBRE D UNE PARTICULE FLUIDE La particule de Fluide étant en équilibre, alors : Les forces de pression: Le champ de forces, par unité de force: Ainsi: Par unité de volume Équation fondamentale de la statique des fluides Par unité de masse 38

39 EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D EQUIILIBRE CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D UN POTENTIEL SCALAIRE Considérons un champ de Forces potentiel : dérivant d un est appelé potentiel de et est homogène à une énergie. À noter que ; le travail de la force entre deux points A et B est alors donné par: Le travail ne dépend donc que de la valeur du potentiel aux points A et B. Il est indépendant du chemin suivi. On dit qu une telle force est conservative. 39

40 EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D EQUIILIBRE CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D UN POTENTIEL SCALAIRE En effet, la variation de l énergie cinétique est égale au travail de la force : D autre part Alors La somme de l énergie cinétique et du potentiel se conserve. Cette somme est l énergie mécanique du système. U correspond à l énergie potentielle: c est l énergie qui peut potentiellement se transformer en énergie cinétique. 40

41 EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D EQUIILIBRE CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D UN POTENTIEL SCALAIRE À noter que le signe de l égalité veut dire que est dirigé dans le sens de U du. Dans le cas où dérive d un potentiel U, l équation fondamentale de la statique, par unité de volume, s écrit: 41

42 EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D EQUIILIBRE CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D UN POTENTIEL SCALAIRE Propriétés des surfaces équipotentielles: ( U constant) Les surfaces équipotentielles sont confondues avec les surfaces isobares, mais varient dans le sens contraire: ; ; ; Les surfaces équipotentielles son également isovolumes (masse volumique constante) et isothermes (température constante). 42

43 EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D EQUIILIBRE CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D UN POTENTIEL SCALAIRE Quelques remarques : Si le fluide est isovolume ( Équation fondamentale de la statique des fluides ), alors: Si est une fonction de la pression ( ), alors: Si, en plus,, alors N.B.: Un fluide ne peut être en équilibre que si les forces de volume dérivent d un potentiel. 43

44 EQUATION DE LA STATIQUE DES FLUIDES DANS LE CHAMP DE LA PESANTEUR : HYDROSTATIQUE Hydrostatique: Statique des fluides incompressibles (masse volumique constante) dans le champ de la pesanteur. Dans ce champ,. Alors On peut choisir un système d axes où la constante d intégration est nulle; alors. L équation fondamentale de la statique permet d écrire: Équation fondamentale de l hydrostatique 44

45 PRINCIPE FONDAMENTAL DE L HYDROSTATIQUE CONSÉQUENCES Les surfaces équipotentielles sont des surfaces isobares. Ce sont donc des plans horizontaux. Tous les points d un même fluide situés dans un même plan horizontal sont à la même pression. La surface libre d un liquide, qui est le lieu des points à la pression atmosphérique, est un plan horizontal, et cela quelle que soit la forme du récipient. 45

46 PRINCIPE FONDAMENTAL DE L HYDROSTATIQUE CONSÉQUENCES La surface de séparation de deux liquides incompressibles différents non missibles est une surface horizontale. A une profondeur élevée h dans l eau (fluide considéré incompressible), la pression augmente linéairement avec la profondeur. 46

47 PRINCIPE FONDAMENTAL DE L HYDROSTATIQUE CONSÉQUENCES Application aux fluides compressibles dans le champ de la pesanteur: On considère un gaz parfait à température constante. (par exemple l atmosphère isotherme). Équation d état des gaz parfaits : Équation fondamentale de la statique: Masse molaire r dépend de P Compressibilité K se définit pour un niveau de référence fixé 47

48 PRINCIPE FONDAMENTAL DE L HYDROSTATIQUE CONSÉQUENCES Fluides compressibles/incompressibles 48

49 PRINCIPE FONDAMENTAL DE L HYDROSTATIQUE CONSÉQUENCES La différence de pression entre deux points quelconques d un fluide en équilibre est égale au poids d une colonne de fluide de section unité et ayant pour hauteur la dénivellation entre les deux points.... Poussée d Archimède... 49

50 PRINCIPE FONDAMENTAL DE L HYDROSTATIQUE CONSÉQUENCES Paradoxe Hydrostatique: La force de pression s exerçant sur le fond d un récipient contenant un fluide en équilibre est égale au poids de la colonne de liquide au dessus du fond, et ceci quelle que soit la forme du récipient. 50

51 PRINCIPE FONDAMENTAL DE L HYDROSTATIQUE CONSÉQUENCES Les fluides incompressibles transmettent intégralement les variations de pression. Si S b est plus grande que S a, la force qui s exerce sur le piston a se trouvera amplifiée au niveau du piston b. 51

52 PRINCIPE FONDAMENTAL DE L HYDROSTATIQUE APPLICATIONS Iceberg Calculer la fraction immergée du volume total V d un iceberg sachant que la masse volumique de l eau de mer est de 1025 Kg/m 3 et celle de la glace 920 Kg/m 3. Ballon d hélium Un ballon gonflé avec de l hélium de masse volumique 0,178 Kg/m 3, a un volume V=100 litres. Quel poids P s peut-il soulever sachant que la masse volumique de l air est de 1,29 kg/m 3? 52

53 STATIQUE DES FLUIDES NON PESANTS C est la statique des fluides dans le cas où la variation de pression dues au champ de la pesanteur sont faibles par rapport à la pression elle-même. C est le cas par exemple des écoulements à grande pression dans des tuyaux fermés. On néglige le poids du fluide par rapport à la pression, souvent supposée uniforme dans l ensemble du fluide. 53

54 STATIQUE DES FLUIDES NON PESANTS Dans ce cas aussi, la force élémentaire est. Selon la direction x : est la projection de ds selon un axe perpendiculaire à l axe des x La résultante des forces de pression suivant une direction sur une surface gauche est soumise à une pression uniforme qui s exerce sur la projection de la surface perpendiculairement à cette direction. 54

55 STATIQUE DES FLUIDES NON PESANTS APPLICATION Effort de pression à l intérieur d une conduite circulaire Soit une conduite métallique circulaire de diamètre D=2R soumise à une pression P. Le métal effectue une force dite de cohésion f qui s oppose à cette pression. e P D Pression Cohésion Épaisseur Rayon Exemple: Déterminer l épaisseur d une conduite pour une pression P=300 m d eau si f=10 kgf/mm 2 et D=0,5m. 55

56 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR Le cas le plus courant concerne les forces gravitationnelles mais on peut aussi avoir à considérer par exemple : les forces d inertie les forces électromagnétiques 56

57 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES ELECTROMAGNÉTIQUES Cas de fluide conducteur de l éléctricité dans un champ magnétique Un fluide conducteur possède en son sein des atomes neutres, ainsi que des charges positives (ions positifs) et des charges négatives (ions négatifs + des électrons libres s il s agit d un plasma). Lorsqu un tel fluide en mouvement uniforme traverse un champ magnétique, un champ électrique est induit, lequel engendre des courants électriques. Ces courants interagissent avec le champ magnétique et produisent des forces qui influencent à leur tour le mouvement du fluide. C est le domaine de la magnétohydrodynamique (MHD) 57

58 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES ELECTROMAGNÉTIQUES Lorsque le fluide est au repos et le champ est constant, il n y a pas de force électromagnétique, et l équilibre hydrostatique n est pas modifié. Le fluide sera siège de courant électrique et de force électromagnétique s il existe un mouvement relatif entre le fluide et le champ ou si le champ varie avec le temps. La force électromagnétique qui s ajoute à l équation fondamentale de la statique est : Vitesse de la particule Force de Lorentz Charge de la particule Champ magnétique 58

59 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES D INERTIE Fluide soumis à des champs de force d inertie Si le fluide est au repos dans un système de référence particulier lui-même en mouvement par rapport à un système d axes absolu, on considère que nous sommes en équilibre stable et qu on peut appliquer l équation de la statique des fluides, à condition de prendre en considération les forces d inertie correspondants au mouvement d entraînement. Liquide dans un réservoir en mouvement, préparé par Roy Beainy, 2012 Liquide en rotation, préparé par Georgio Irani,

60 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES D INERTIE (1) On considère un fluide soumis à un champ d inertie représenté par une accélération Le fluide est donc soumis à une force par unité de masse donnée par : L équation de la statique les 3 axes : se projette selon 60

61 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES D INERTIE (1) En intégrant les 3 équations précédentes dans le cas d un fluide incompressible, la pression sera exprimée par: Si, on retrouve l équation fondamentale de l hydorstatique. Les surfaces isobares (P=cte) sont des plans parallèles à la surface libre d équation générale: 61

62 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES D INERTIE (1) Applications directes: Réservoir rempli de liquide, placé sur une locomotive en mouvement. Réservoir qui sert à transporter des liquides dans une mine. Brouette remplie de liquide... Quelle est l inclinaison du liquide dans le réservoir? Quelle est l accélération maximale pour éviter tout débordement? Si cette accélération est dépassée, quel sera le volume de liquide restant? 62

63 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES D INERTIE (2) On considère un réservoir contenant un liquide pesant homogène, tournant en mouvement uniforme autour d un axe z avec une vitesse angulaire w. Les forces d inertie qui résultent de l accélération centripète sont les forces centrifuges de valeur. 63

64 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES D INERTIE (2) Par unité de masse, la force appliquée au fluide est donnée alors par (en coordonnées cylindriques ): Force d inertie d entraînement Poids Projettons l équation fondamentale de la statique 64

65 CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR FORCES D INERTIE (2) En intégrant les 3 équations précédentes dans le cas d un fluide incompressible, la pression sera exprimée par: Les surfaces isobares sont donc des paraboloïdes d équation générale: Quelle est la hauteur du sommet du paraboloïde? Quelle est la vitesse de rotation maximale pour éviter tout débordement? Si cette accélération est dépassée, quel sera le volume de liquide restant? 65