Champ magnétique et force de Laplace

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1 Champ magnétique et force de Laplace Introduction : champ magnétique créé par un aimant et par un courant... I Propriétés du champ magnétique...4 Pôle Nord et pôle Sud...4 Propriétés des lignes de champ magnétique Champ créé par un solénoïde infini...6 II Le moment magnétique...6 Moment magnétique d une spire de forme quelconque...6 Moment magnétique d un aimant Moment magnétique et lignes de champ de la Terre...6 III La force de Laplace...7 Expression de la force de Laplace...7 Force de Laplace exercée sur une tige Puissance de la force de Laplace...7 IV Couple magnétique...8 Couple magnétique exercée sur un cadre mobile...8 Couple magnétique exercé sur un moment magnétique Puissance du couple magnétique Effets d un champ magnétique permanent et d un champ magnétique tournant...9 V Flux du champ magnétique... 0 Le flux élémentaire... 0 Cas du flux d un champ uniforme à travers une surface plane Flux à travers une surface quelconque... 0 VI Exercices... Exercice d application : champ tournant... Couple magnétique exercé sur un cadre rectangulaire... 3 Le rail de Laplace... 4 Exercice corrigé : effet Hall et force de Laplace... 3 ANNEXE : propriétés du flux du champ magnétique... 3 Flux du champ magnétique à travers un tube de champ... 4 Règle du flux maximum Variation de flux et loi de Lenz (loi énoncée au prochain chapitre)... 4 Lycée Laperouse - Kerichen / 4

2 Introduction : champ magnétique créé par un aimant et par un courant Sur la photo suivante, à gauche, on observe des petits barreaux en acier libres de pivoter sur euxmêmes. Ils semblent orientés de façon aléatoire. On place maintenant un aimant droit sous le support contenant les barreaux (photo de droite) ; ceux-ci s orientent différemment : il semble se dessiner une figure que l on appelle spectre magnétique de l aimant droit. Une expérience similaire peut se faire avec de la limaille de fer : chaque petits grains de limaille se comporte comme les petits barreaux de l expérience précédente : Ainsi, l aimant semble avoir une action sur les petits barreaux ou sur les grains de limaille de fer : l aimant doit exercer des forces qui orientent chaque élément de différentes façons suivant l endroit, le point de l espace où se trouve cet élément. Comme dans le cas du champ de pesanteur, si on retire la limaille de fer, plus rien ne semble se manifester, mais on peut définir en chaque point de l espace, un vecteur champ magnétique, noté B, qui donne des indications sur la manière dont s orienterait un grain de limaille de fer ou un petit barreau si on le plaçait en ce point. La façon la plus naturelle de définir le vecteur B en un point donné est la suivante : Vecteur B au point M : - point d application : M - direction : celle du barreau en M - sens : du pôle Nord vers le pôle Sud de l aimant (convention arbitraire) - valeur : B exprimé en tesla (T) Autre exemple : B P en P Lycée Laperouse - Kerichen / 4

3 De même avec la limaille de fer : Il apparaît ici une propriété intéressante : En chaque point de l espace, B est tangent aux courbes matérialisées par la limaille de fer. Nous appelons ces courbes les lignes de champ Et nous les orientons suivant le sens de B et donc du pôle nord vers le pôle sud de l aimant droit. Ainsi, à l aide des lignes de champ, le spectre magnétique donne des informations sur le champ magnétique créé par l aimant droit dans son voisinage (voir paragraphe I). Voyons un autre exemple : Il existe une autre source de champ magnétique : Ainsi, un courant électrique crée un champ magnétique dans son voisinage, comme un aimant. Lycée Laperouse - Kerichen 3 / 4

4 I Propriétés du champ magnétique Pôle Nord et pôle Sud Par convention, Pour un électroaimant, On observe que la bobine se retourne quand on approche l aimant i Représenter le pôle Nord de l aimant. Justifier. Lycée Laperouse - Kerichen 4 / 4

5 Propriétés des lignes de champ magnétique Les deux spectres de champ ci-dessous correspondent-ils à un champ magnétique? Ci-dessous, à gauche : lignes de champ d une spire ; à droite : lignes de champ d un solénoïde Lycée Laperouse - Kerichen 5 / 4

6 3 Champ créé par un solénoïde infini Calculer le champ magnétique créé par un solénoïde de longueur L = 0,0 cm, constitué de 000 spires parcourues par un courant d intensité I = 0,50 A. II Le moment magnétique Moment magnétique d une spire de forme quelconque Moment magnétique d un aimant Représenter le vecteur moment magnétique de l aimant droit ci-contre. Justifier. 3 Moment magnétique et lignes de champ de la Terre Lycée Laperouse - Kerichen 6 / 4

7 III La force de Laplace Expression de la force de Laplace Justification de l expression de la force de Laplace dans l exercice. Force de Laplace exercée sur une tige Voir exercice 3 3 Puissance de la force de Laplace Voir exercice 3 Lycée Laperouse - Kerichen 7 / 4

8 IV Couple magnétique Couple magnétique exercée sur un cadre mobile Voir exercice B Couple magnétique exercé sur un moment magnétique Voir exercice Déterminer le sens de circulation du courant dans le cadre mobile du galvanomètre (schéma de droite en haut de la page) afin d expliquer le déplacement de l aiguille (sens trigonométrique). Justifier. 3 Puissance du couple magnétique Lycée Laperouse - Kerichen 8 / 4

9 4 Effets d un champ magnétique permanent et d un champ magnétique tournant 4. Moment magnétique (boussole) soumis à un champ magnétique permanent 4. Moment magnétique (rotor) soumis à un champ magnétique tournant Expliquer comment obtenir un champ tournant à l aide de trois bobines au lieu de deux comme dans l exemple précédent. Quel peut être l intérêt de ce dispositif? Lycée Laperouse - Kerichen 9 / 4

10 V Flux du champ magnétique Le flux élémentaire Soit ds une surface élémentaire. On oriente arbitrairement le contenu sur lequel s appuie ds. On définit le vecteur normal n de cet élément de surface : n est unitaire, perpendiculaire à la surface, de sens vérifiant la «règle de la main droite» (ou la «règle du bonhomme d Ampère» ou même celle du tire-bouchon). Vecteur élément de surface : Flux élémentaire du champ B à travers ds : Cas du flux d un champ uniforme à travers une surface plane (seul cas au programme de MPSI) Exemple : Calculer le flux du champ magnétique de norme B =,0 T à travers N = 00 spires circulaires de rayon R = 5,0 cm. 3 Flux à travers une surface quelconque (vu en spé) Pour une surface ouverte (qui s appuie sur un contour Γ fermé) : Découpage de S en surfaces infinitésimales ds. n. d B(M) (B) S ds (M) B(M) ds S (M) B(M) ds S (M) n (M) Pour une surface fermée (qui s appuie sur un contour fermé) : Cette surface définit un volume intérieur et un volume extérieur. Le vecteur normale est choisit sortant. (B) B(M) d S S (M) S Lycée Laperouse - Kerichen 0 / 4

11 VI Exercices Exercice d application : champ tournant Dans le plan horizontal, on choisit un repère orthonormé ( O,i, j).. Une bobine (b ) d axe horizontal x Ox, de centre O situé à la distance d du point O (O O = d), est parcourue par un courant d intensité i. Elle crée, au point O, un champ magnétique B (doc. ). Préciser, sur le schéma ci-dessous, le sens positif du courant dans les spires de (b ) qu il convient de choisir pour pouvoir écrire B sous la forme : B kii i : valeur algébrique de l intensité du courant dans (b ). k : constante positive k = 4,0.0-4 T.A - Déterminer les caractéristiques de B lorsque i = 5,0 A.. Une bobine (b ), identique à (b ), d axe y O y, de centre O situé à la distance d du point O, est parcourue par un courant d intensité i. Elle crée au point O un champ magnétique B ki j (doc.). Déterminer les caractéristiques du champ magnétique total B au point O lorsque les deux bobines sont parcourues par des courants de même intensité i = i = 5,0 A. Que devient ce champ lorsque i = 5,0 A et i = -5,0 A? 3. Chaque bobine est maintenant traversée par un courant alternatif sinusoïdal de même amplitude I m et de même période T. Les variations au cours du temps des intensités i et i qui traversent les bobines (b ) et (b ) sont données par les équations horaires : i = I m cos t ; i = I m cos( t π/) Le document 3 représente les variations des intensités i et i des courants en fonction du temps. 4.. Légender l oscillogramme ci-contre. Justifier. 4.. Exprimer le champ magnétique B créé par les deux bobines au point O en fonction de k, i et i. Représenter ce vecteur champ magnétique aux instants de date : t = 0, t = T/4, t = T/, t = 3T/4, t = T 4.3. Montrer, par le calcul, que l intensité du champ magnétique B au point O est constante Soit la valeur algébrique de l angle (i,b), cet angle est orienté dans le sens trigonométrique. Exprimer en fonction du temps puis conclure. Lycée Laperouse - Kerichen / 4

12 Couple magnétique exercé sur un cadre rectangulaire On étudie une spire rectangulaire MNPQ parcourue par un courant d intensité i > 0, plongée dans un champ magnétique uniforme et stationnaire B Bu x avec B > 0 créé par un environnement extérieur (aimant ou électroaimant). On suppose que la spire peut tourner autour de l axe (Oz) noté (Δ). Q M P N - Représenter la base O, u, u, u ) sur les schémas ci-dessus puis justifier les directions et sens ( x y z des forces de Laplace subies par les portions NP et QM. Quel est l effet de ces deux forces sur le mouvement du cadre? - Déterminer les expressions des forces de Laplace F et F4 subies par les portions MN et PQ puis représenter-les sur le schéma de droite. Quel est l effet de ces deux forces sur le mouvement du cadre? Comment nomme-t-on ce genre de forces? 3- Déterminer les expressions des moments scalaires Γ Δ ( F ) et Γ Δ ( F 4 ), sans calculer préalablement les moments vectoriels, puis en déduire l expression du moment Γ Δ subi par la spire rectangulaire. 4- Prouver que le moment mécanique subi par la spire rectangulaire peut se mettre sous la forme M B, M étant le moment magnétique de la spire. 3 Le rail de Laplace On considère le montage ci-dessous. La tige de masse m est initialement immobile et située en y = 0. A t = 0, on ferme l interrupteur K. On note L la longueur placée dans l entrefer de l aimant. On négligera les frottements. - Représenter les forces s exerçant sur la tige et donner leurs expressions projetées dans la base. - Déterminer y(t). pôle sud 3- Déterminer l expression de la puissance P(t) de la force de Laplace en fonction du temps. 4- Soit φ = B.S, S étant la surface du circuit plongée dans l entrefer de l aimant. Déterminer l expression de dφ/dt puis relier P(t) à dφ/dt. En déduire à quelle grandeur dφ/dt est homogène. x z y Lycée Laperouse - Kerichen / 4

13 4 Exercice corrigé : effet Hall et force de Laplace On considère une plaque rectangulaire d'épaisseur h et de largeur b et de longueur L. Elle est réalisée dans un semi-conducteur de type N où la conduction électrique est assurée par des électrons mobiles dont le nombre par unité de volume est n. On notera par e la charge élémentaire égale à,6.0-9 C. La plaque est parcourue par un courant électrique d'intensité I, uniformément réparti sur la section de la plaque (fig. ). Elle est alors placée dans un champ magnétique uniforme B Buz avec B > 0 créé par des sources extérieures. Notons que le champ magnétique créé par le courant dans la plaque est négligeable devant B. Fig. S = bh - Le courant électrique est assuré par le déplacement d électrons de charge -e, se déplaçant à la vitesse V Vu x,ce qui revient au même que le déplacement de particules chargées +e selon Vu x. Exprimer la force de Lorentz exercée sur un électron par le champ magnétique en fonction de e, V et B. - Sous l effet de la force de Lorentz, un côté de la plaque se charge donc négativement, le côté opposé se chargeant positivement (la neutralité globale du conducteur étant respectée). Représenter ces charges sur le schéma ci-dessus. 3- Cette dissymétrie crée un champ électrique appelé champ de Hall, noté E H, et agit sur les particules en mouvement via la force électrique. En régime permanent, cette force électrique s oppose à la force magnétique de Lorentz et les électrons, soumis à deux forces qui se compensent, conservent donc leur mouvement selon u x. Déterminer l expression de E H en fonction de V et B. 4- Le conducteur est constitué d ions positifs fixes et d électrons en mouvement. La densité volumique n (nombre de particules par unité de volume) est la même pour les ions positifs et pour les électrons. Déterminer l expression de la résultante des forces électriques exercées sur l ensemble des ions fixes de la plaque rectangulaire en fonction de n, B, L, e, V et S = bh. 5- Le conducteur est soumis, à priori, à 4 forces : force électrique subie par les électrons, force électrique subie par les ions positifs, force magnétique subie par les électrons et force magnétique subie par les ions positifs. En déduire la force (expression vectorielle) subie par l ensemble du conducteur. 6- Montrer que la charge électrique circulant dans le sens de I et traversant une section de la plaque rectangulaire pendant la durée dt est égale à dq = nesvdt puis en déduire l expression de I. 7- Comparer la force électromagnétique résultante subie par le conducteur la force de Laplace subie par le conducteur. Conclure. Lycée Laperouse - Kerichen 3 / 4

14 ANNEXE : propriétés du flux du champ magnétique Flux du champ magnétique à travers un tube de champ Le champ magnétique est une grandeur à flux conservatif (vu en MP) c'est-à-dire que son flux à travers une surface fermée est nul. tube de champ : ensemble des lignes de champ qui s appuient sur C et C donc Or et d' où tube de champ C B. S B S B S et B B B. S 0 car B S B. S tube de champ si S B S C S B. S ; C C B. S 0 B. S B S Ceci prouve donc la propriété énoncée dans le cours selon laquelle le champ magnétique est plus intense dans les régions où les lignes de champ se resserrent. Règle du flux maximum Sur l exemple ci-contre, nous avons vu que la bobine allait tourner et nous pouvons remarquer que l état final correspond à un flux maximum du champ de l aimant à travers la bobine. Ce résultat peut se généraliser : tout conducteur délimitant une surface, parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique tend à s'orienter de façon à ce que le flux au travers de la surface soit maximum (en valeur absolue et positif). Mais que se passe-t-il si, à l inverse, c est l opérateur qui provoque une variation du flux magnétique? N 3 Variation de flux et loi de Lenz (loi énoncée au prochain chapitre) En 843, le physicien allemand Heinrich Lenz énonce la règle suivante : Si on cherche à provoquer une variation du flux magnétique (par exemple du flux du champ magnétique créé par un aimant à travers une bobine) alors il se produira un phénomène d induction qui, par ses effets, s opposera aux causes qui lui auront donné naissance. C est la loi de modération de Lenz que nous justifierons dans le chapitre suivant sur l induction. Lycée Laperouse - Kerichen 4 / 4