Comparaison des décimaux (Ermel CM2)

Transcription

1 Comparaison (1) Comparaison des décimaux (Ermel CM2) Description rapide Les enfants vont devoir ordonner et comparer des nombres décimaux donnés par leur écriture à virgule. Ils seront ensuite amenés à encadrer un nombre et à intercaler des nombres entre deux nombres. Objectifs spécifiques Résoudre des problèmes de rangement et de comparaison de nombres décimaux par des procédures personnelles en s'appuyant sur la signification des chiffres des écritures à virgule. Réaliser qu'entre deux nombres décimaux on peut en intercaler plusieurs. DÉROULEMENT PREMIÈRE PHASE : Ranger des nombres décimaux ÉTAPE 1 : Travail à deux Les cinq nombres suivants sont écrits au tableau comme ci-dessous : 1,589 1,9 1,59 1,899 1,6 Consigne «Rangez ces cinq nombres dans l'ordre croissant.» ÉTAPE 2 : Mise en commun Les différents ordres trouvés sont recensés. Voici les trois ordres trouvés dans une classe : 1,589; 1,59; 1,6; 1,899; 1,9 (11 fois) 1,6; 1,9; 1,59; 1,589; 1,899 (2 fois) 1,899; 1,589; 1,59; 1,9; 1,6 (2 fois) Parmi ceux qui ont réussi : une équipe a tracé une demi-droite, y a placé les nombres 0, 1 et 2 puis les cinq nombres à ranger ; une équipe a réécrit chacun des cinq nombres à l'aide d'une fraction de dénominateur. La validation se fait en plaçant les nombres sur la bande collective graduée en centièmes construite dans la situation graduation ,6 1,9 1,589 1,899 1,58 1,89 1,59 Le placement se fait en décomposant les nombres. 1,6 = ,9 = ,59 = ,589 = donc 1,589 est neuf millièmes après 1,58

2 1,589 est un millième avant 1,59 car 1,589 = et 1,59 = 1 + 1,899 est un millième avant 1,9 car 1,9 = DEUXIÈME PHASE : Comparer des nombres décimaux Des couples de nombres sont proposés : 3,12 11,8 4,37 4,7 5,23 5,230 3,025 3,12 2,11 2,9 Ils doivent écrire le bon signe (<, > ou =) entre les deux nombres et justifier leur réponse par écrit. Chaque comparaison est suivie d'une mise en commun durant laquelle les nombres peuvent être placés sur une bande graduée en dixièmes affichée au tableau Ces mises en commun ne visent pas l'institutionnalisation d'une règle générale de comparaison. Leur objectif est de faire émerger certaines des procédures ci-dessous en explicitant les réponses et les arguments des enfants. 1) Procédures de comparaison de deux nombres de parties entières différentes : Représentation mentale des positions des deux nombres sur la graduation : 3,12 < 11,8 car 3,12 est avant 11,8. Comparaisons avec un ou plusieurs entiers intermédiaires : 3,12 < 11,8 car 3,12 < 10 et 11,8 > 10. Ordre de grandeur : 3,12 < 11,8 car 3,12 est voisin de 3 et 11,8 est voisin de 12. 2) Procédures de comparaison de deux nombres de même partie entière : Représentation mentale des positions des deux nombres sur la graduation 5,23 = 5,230 car ils sont au même endroit. Comparaisons avec un nombre intermédiaire : 4,37 < 4,7 car 4,37 < 4,4 et 4,7 > 4,4. Ordre de grandeur : 2,11 < 2,9 car 2,11 est voisin de 2 et 2,9 est voisin de 3. Recours à la décomposition en somme de la partie entière et d'une fraction décimale avec des fractions décimales de même dénominateur : 4,7 > 4,37 car 4,37 = et 4,7 = = Comparaison des chiffres de même rang : 3,025 < 3,12 car 0 < 1. Quelques procédures et arguments obtenus dans une classe : Pour 3,12 et 11,8 11,8 > 3,12 parce que 11,8 a 11 unités et 3,12 n'en a que 3. 3,12 < 11,8 car 11,8 = ,8 > 3,12 car 11,8 = 1180 et 3,12 = et 3,12 = 312 Pour 4,37 et 4,7 4,37 < 4,7 il suffit de convertir 4,7 en centièmes 4,7 = 4,70.

3 4,37 < 4,7car 4,37 = et 4,7 = 4,37 < 4,7 comme 4 = 4 on passe aux dixièmes 3 < 7. 4,7 > 4,37 la partie entière est égale alors on compare la partie décimale, 70 4,7 est plus grand car son chiffre des dixièmes est plus grand. est plus grand que 37 TROISIÈME PHASE : Encadrer un nombre décimal, Intercaler un nombre décimal entre deux nombres ÉTAPE 1 : Encadrer Ils doivent d'abord trouver les deux nombres décimaux ayant deux chiffres à droite de la virgule les plus proches de 11,6. Les différentes propositions de couples sont recensées. En plaçant 11,6 et les nombres proposés sur une bande graduée en cen tièmes, on doit conclure que 11,59 et 11,61 sont les nombres cherchés. ÉTAPE 2 : Intercaler Le maître demande ensuite de trouver au moins un nombre plus proche 11,6 que 11,59 et 11,61. Les nombres proposés sont recensés et inscrits au tableau. ÉTAPE 3 : Ordonner, comparer Les élèves doivent ensuite chercher quels sont les nombres proposés conviennent et parmi ceux-ci lequel est le plus proche de 11,6. La validation se fait en comparant et en plaçant les nombres. S'il y a de nombres à gauche et à droite de 11,6 cela ne suffit pas car il reste à chou entre le nombre situé immédiatement à gauche et celui situé immédiate à droite.

4 Comparaison (2) Description rapide Les enfants vont devoir formuler et discuter des règles de comparaison de nombres décimaux donnés par leur écriture à virgule. Ces règles seront utilisées pour valider les réponses dans des exercices d'intercalation. Objectifs spécifiques Faire émerger et mettre en échec les règles fausses construites par les enfants. Dégager et formuler des règles permettant de comparer les écritures sans revenir au sens. DÉROULEMENT PREMIÈRE PHASE : Dégager, formuler des règles de comparaison ÉTAPE 1 Ils doivent comparer 12,3 et 12,2534 et expliciter leurs arguments. Quelques arguments relevés dans une classe : 12,3 est plus grand parce qu'il a plus de dixièmes 12,2534 > 12,3 car 2534 > 3 12,3 > 12,2354 car si on convertit 12,3 ça donne 12, ,3 > 12,2354 car > ,3 est plus grand car le chiffre des dixièmes est plus grand que celui de 12,2534 La mise en commun des réponses et des arguments doit faire ressortir différents procédés : réécriture des deux nombres avec des fractions décimales de même dénominateur réécriture uniquement des deux parties décimales avec des fractions décimales de même dénominateur mise au même format des deux parties décimales par adjonction de trois zéros à la première, puis comparaison des nombres 3000 et 2534 comparaison des chiffres des dixièmes évocation des positions des deux nombres sur une graduation : 12,2534 est avant 12,3 car il est entre 12,2 et 12,3. ÉTAPE 2 Ils doivent formuler par écrit une règle générale de comparaison. La consigne peut être donnée ainsi : «Cherchez et écrivez une règle qu'il suffirait d'appliquer pour pouvoir comparer n'importe quel couple de nombres décimaux.» A l'issue de cette étape qui clôt la première séance, le maître examine les travaux des enfants afin de choisir les règles qu'il souhaite mettre en débat lors de la deuxième séance. Ce choix devrait comporter : Des règles fausses ou ambiguës : «Si les parties entières sont les mêmes, le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie décimale.» (Comment trouve-t-on la plus grande partie décimale?) «Si les parties entières sont les mêmes, le plus grand nombre est celui dont la partie décimale a le plus de chiffres.» Des règles justes mais incomplètes ou mal formulées : «Si les parties entières sont les mêmes, il suffit de regarder les chiffres des dixièmes.» «Si les parties entières sont les mêmes et s'ils n'ont pas le même nombre de chiffres dans la partie décimale, il suffit de rajouter des zéros.» Le maître reproduit certaines propositions des enfants, sans les modifier, mais en les

5 agrandissant pour les rendre lisibles par tous. Si certains des cas mentionnés ci-dessus ne se rencontrent pas, il peut les glisser parmi les autres. ÉTAPE 3 Les règles sélectionnées sont mises en débat l'une après l'autre en procédant de la façon suivante : 1) Par deux les élèves débattent de la règle affichée. 2) Le maître recense les jugements portés. Le premier recensement peut conduire à la grille suivante : règle juste (en l'utilisant on ne se trompe jamais) règle fausse (en l'utilisant on peut se tromper) règle mal formulée ou incomplète (elle n'est pas claire, elle ne permet pas de comparer certains nombres) 3) Le débat s'engage au niveau du groupe classe Pour invalider une règle fausse les élèves peuvent produire un contre-exemple. Pour prouver que la formulation est ambiguë ou incomplète, ils peuvent produire des exemples qui amènent à préciser ou à compléter la formulation proposée. Prouver qu'une règle est juste est plus délicat. L'impossibilité de produire un contreexemple n'est pas une preuve. Bien que cela non plus ne soit pas une preuve, on pourra mettre la règle à l'épreuve sur quelques exemples. Exemples de débats observés dans une classe Règle : On compare d'abord les chiffres des dixièmes. S'ils sont égaux on fait la même chose avec les chiffres des centièmes C'est faux, car avec cette règle 7,13 serait plus grand que 120,07. Il faut d'abord comparer les parties entières. Règle : Si les parties entières sont les mêmes, le plus grand nombre est celui qui a la plus grande partie décimale C'est faux, car avec cette règle 7,6500 serait plus grand que 7,7 parce que 6500 est plus grand que 7 Règle : D'abord regardez si les unités des nombres sont égales. Si elles le sont, regardez les dizaines, puis les centaines C'est faux, car avec 170 et 162 ce serait 162 le plus grand. C'est vrai, si on met dixième et centième à la place de dizaine et centaine. Oui, mais il faudrait dire : si les parties entières des nombres sont égales L'amélioration de la formulation peut faire l'objet d'un travail collectif. Pour conclure le maître propose les deux formulations suivantes en faisant chercher celles des règles mises en débat dont elles se rapprochent le plus. Règle 1 Si les deux nombres n'ont pas la même partie entière, le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière. Exemple : 125,5 > 12,575 car 125 > 12 Si les deux nombres ont la même partie entière, on compare les chiffres des dixièmes et si nécessaire les chiffres des centièmes, des millièmes etc. Exemples : 4,7 > 4,37 car 7 > 3 25,236 < 25,24 car 3 < 4 0,123 > 0,1224 car 3 > 2 Règle 2 Si les deux nombres n'ont pas la même partie entière, le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière. Exemple : 125,5 > 12,575 car 125 > 12 Si les deux nombres ont la même partie entière, si nécessaire on met ou on enlève des zéros pour avoir le même nombre de chiffres dans les deux parties décimales :

6 13,135 < 13,35 car 13,35 = 13,350 et 13,135 < 13,350 5,300 = 5,30 car 5,300 = 5,3 et 5,30 = 5,3 DEUXIÈME PHASE : Intercaler un nombre entre deux nombres Des couples de nombres sont proposés : 4,2 3,9 15,83 15,84 8,16 8,2 7,36 7,35 2,075 2,12 Les enfants doivent intercaler un nombre entre les deux nombres. Chaque recherche est suivie d'une mise en commun. Les nombres trouvés sont relevés. La validation se fait en utilisant les règles de comparaison dégagées à l'issue de la phase précédente. Voici les nombres relevés dans une classe pour 8,16 et 8,2 : 8,19 (6 fois) ; 8,17 (5 fois) ; 8,18 (9 fois) ; 8,165 (1 fois) 8,7 (1 fois) ; 8,15 (2 fois) ; 8,13 (1 fois) ; 8,6 (2 fois) ; 8,14 (1 fois) ; 8,3 (1 fois)