MATHÉMATIQUES. N. Bramand Professeur des écoles. P. Bramand Professeur agrégé. É. Lafont Professeur des écoles. C. Maurin Formateur en mathématiques

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1 POUR OMPREND LES MATHÉMATIQUES CP Cycle 2 Guide pédagogique N. Bramand Professeur des écoles NOUVEAUX PROGRAMMES P. Bramand Professeur agrégé É. Lafont Professeur des écoles C. Maurin Formateur en mathématiques D. Peynichou Maître formateur A. Vargas Directeur d école Et moi Mathix!

2 Création de la maquette de couverture : Pierre PATRAULT Exécution de la maquette de couverture : TYPO-VIRGULE Illustration de la couverture : Alain BOYER Création de la maquette intérieure : Pierre PATRAULT Mise en pages : TYPO-VIRGULE Dessins techniques : Gilles POING Fabrication : Patricia ZALEWSKI Édition : Maud KASSIR, Sarah BILLECOCQ ISBN : Hachette Livre 2016, 43, quai de Grenelle, Paris Cedex 15. g éq. CO 2 Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n autorisant, aux termes des articles L et L , d une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et, d autre part, que «les analyses et les courtes citations» dans un but d exemple ou d illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l éditeur ou du Centre français de l exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

3 AVANT-PROPOS Ce guide est conçu comme l outil permettant la mise en œuvre la plus efficace et la plus complète du fichier de l élève conformément aux programmes officiels de novembre Ces programmes fixent la liste des compétences et des connaissances associées que les enfants doivent avoir acquises à l issue du cycle 2, dans le cadre du Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. Nos objectifs principaux sont les suivants : permettre à tous les enseignants de créer les situations d apprentissage efficaces adaptées au niveau des enfants tout en respectant les contenus des programmes ; alléger la tâche des enseignants qui ont la charge d enseigner toutes les disciplines, en facilitant le travail de préparation des séquences ; faciliter la gestion de la classe et celle des temps d enseignement. Nos choix ont pris appui tout à la fois sur : les apports, relativement récents, des neurosciences qui confirment le rôle déterminant des émotions d une part, de l intention volontaire d autre part dans les processus de mémorisation ; les théories de l apprentissage développées aussi bien par J. Piaget et ses continuateurs que par L.S. Vygotsky dont nous tenons les apports comme complémentaires et non contradictoires ; des travaux des didacticiens des mathématiques, notamment ceux de G. Brousseau et de ses élèves ; l expérience, enfin, et la culture pédagogiques accumulées par les praticiens. C est en concevant des outils simples de maniement pour l enseignant, des outils structurés et clairs d accès pour l enfant, que l on conduit celui-ci à aimer et à comprendre les mathématiques. Ce guide comporte successivement : un court exposé de nos choix pédagogiques explicités par domaines mathématiques ; pour chacune des séquences du fichier de l élève, des propositions de situations préalables aux activités du fichier, de mise en œuvre des activités collectives et individuelles, les commentaires des exercices et, éventuellement, des compléments pédagogiques ou des éléments d information mathématiques ; des outils d évaluation des compétences réparties dans l année scolaire, des conseils pour analyser les évaluations et mettre en œuvre la différenciation en classe en utilisant soit les photofiches de soutien et/ou d approfondissement, soit les solutions numériques proposées dans notre collection aux Éditions Hachette. Nouvelle orthographe Les rectifications orthographiques ont été proposées par le Conseil supérieur de la langue française, puis approuvées en 1990 par l Académie française. Sans pour autant être une réforme, elles veulent notamment lever l ambiguïté de l orthographe de certains mots. Ainsi, les numéraux composés sont systématiquement unis par des traits d union. Exemples : 21 vingt-et-un ; 99 quatre-vingt-dix-neuf... Cette nouvelle orthographe peut être appliquée dans la photofiche page 113. Les auteurs 3

4 SOMMAIRE Leçons Avant-propos... 3 Progression du calcul mental... 7 Introduction... 8 Domaines mathématiques Nombres et calcul Espace et géométrie Grandeurs et mesures Période 1 Pages Bienvenue au CP! Associer et construire des collections Associer une collection à une écriture chiffrée Associer un nombre à une collection Ranger du plus petit au plus grand Construire une collection (1) Comparer les nombres inférieurs à Ordonner les nombres inférieurs à Le signe + pour coder de grandes collections Le signe = Situation d ajout Ajouter Problèmes (1) : jeu du chapeau Je fais le point (1) Évaluation de demi-période par compétences Commutativité de l addition Alignement Dénombrer jusqu à Utiliser la règle pour tracer des traits Dénombrer jusqu à Calculer la somme de deux nombres (1) Compléments à un nombre inférieur à Construire une collection (2) Comparer, ordonner, intercaler les nombres inférieurs à Problèmes (2) : situations additives (1) Je fais le point (2) Évaluation de fin de période par compétences Leçons Période 2 Pages Situation de retrait : le signe Les tables d addition jusqu à Étude des nombres 6 et Étude des nombres 8 et Somme de trois petits nombres Ma droite, ma gauche Retrancher Comparer des écritures additives (1) Grouper par 5 pour comparer Étude du nombre Compléments à Se repérer dans l espace (1) Problèmes (3) : jeu du chapeau Je fais le point (3) Évaluation de demi-période par compétences Comparer des longueurs Dénombrer jusqu à Décoder un déplacement Calculer la somme de deux nombres (2) Soustraire un petit nombre (1) Les jours et les mois Grouper par 10 pour coder une quantité (1). 76 Étude des nombres 11, 12 et Étude des nombres 14, 15 et À droite de, à gauche de Étude des nombres 17, 18 et Problèmes (4) : situations additives ou soustractives (2) Je fais le point (4) Évaluation de fin de période par compétences

5 Leçons Période 3 Pages Étude du nombre Comparer, ordonner les nombres inférieurs à Intercaler les nombres inférieurs à Comparer des écritures additives (2) Objets et solides géométriques Les tables d addition jusqu à Relation entre ordinaux et cardinaux Solides et formes planes Calculer une somme en utilisant le complément à Les doubles des nombres jusqu à Calculer la somme de deux nombres (3) Soustraire un petit nombre (2) Comparer des écritures additives (3) Problèmes (5) : jeu du chapeau Je fais le point (5) Évaluation de demi-période par compétences Reproduction sur quadrillage Reconnaître des fi gures planes Calculer la moitié d un nombre Grouper par 10 pour coder une quantité (2) 115 Échange de 10 unités contre une dizaine Dizaines et unités (1) Dizaines et unités (2) Restaurer une fi gure Ajouter des longueurs Décoder l écriture d un nombre de deux chiffres Problèmes (6) : situations additives ou soustractives (3) Je fais le point (6) Évaluation de fin de période par compétences Leçons Période 4 Pages Le tableau des nombres inférieurs à Décomposer en dizaines Somme de dizaines Décomposer les nombres Dénombrer de grandes collections Étude des nombres de 20 à Utiliser la monnaie en euros Comparer, ordonner les nombres inférieurs à Se déplacer sur la bande numérique Étude des nombres de 50 à Constituer de grandes collections Le carré, le rectangle Le cube, le pavé Problèmes (7) : jeu du chapeau Je fais le point (7) Évaluation de demi-période par compétences Comparer, ordonner les nombres inférieurs à Autour d une dizaine entière Ajouter 10 à un nombre de deux chiffres Coder un déplacement Calculer en utilisant les doubles Le tableau des nombres de 50 à Étude des nombres de 60 à Mesurer une longueur (1) Mesurer une longueur (2) Ajouter des dizaines à un nombre de deux chiffres Problèmes (8) : situations additives (4) Je fais le point (8) Évaluation de fin de période par compétences

6 SOMMAIRE (suite) Période 5 Leçons Pages 117 L heure Se déplacer sur le tableau des nombres Utiliser la monnaie en centimes Calculer la somme de deux nombres (4) Trouver le complément à la dizaine supérieure Problèmes (9) : situations additives La droite, la gauche d un objet orienté Effectuer une addition en ligne (1) Effectuer une addition en ligne (2) Étude des nombres de 80 à Soustraire un petit nombre (3) Problèmes (10) : situations additives ou soustractives Se repérer dans l espace (2) Problèmes (11) : jeu du chapeau Je fais le point (9) Évaluation de demi-période par compétences Soustraire un petit nombre (4) L addition posée sans retenue Suites de nombres Mesurer une masse Problèmes (12) : utiliser la monnaie L addition posée avec retenue Problèmes (13) : utiliser la décomposition des nombres La moitié d une longueur Problèmes (14) : choisir une opération Problèmes (15) : situations additives, ou soustractives (5) Je fais le point (10) Évaluation de fin de période par compétences Logos des consignes présents dans les trois premières périodes Barre Coche Colorie Dessine Entoure Range Trace Calcule Colle Complète Écris Observe Relie Annexes : calcul automatisé et calcul réfléchi au CP Les puzzles, support de la géométrie au CP

7 PROGRESSION DU CALCUL MENTAL Période 1 Nombres jusqu à 5 8 à 18 Reconnaissance globale de nombres 19 Écrire le nombre suivant Reconnaissance globale de nombres Dictée de nombres Nombres jusqu à Reconnaissance de l écriture chiffrée des nombres Calculer une somme de deux petits nombres (somme 6) Nombres jusqu à Dictée de nombres Période Calculer une somme de deux petits nombres (somme 7) Dictée de nombres Nombres jusqu à 9 37 à 39 Calculer une somme de deux petits nombres (somme 9) 40 Reconnaissance globale de nombres Dictée de nombres Écrire le nombre suivant, le nombre précédent 45 Calculer une somme de deux petits nombres (somme 7) 47 Calculer une somme de trois petits nombres (somme 7) 48 Calculer une somme de trois petits nombres (somme 9) Nombres jusqu à à 51 Trouver le complément à dix 52 Ajouter un petit nombre à 5 (nombres 5) 53 Compléter une addition à trou 54 Écrire le nombre suivant Écrire le nombre précédent 57 Retrancher 2 58 Ajouter un petit nombre à 10 (nombres 6) Période 3 61 Ajouter 3 62 Calculer une somme de deux petits nombres (somme 9) 63 Trouver le complément à dix 64 Calculer une somme de deux petits nombres (nombres 5) Nombres jusqu à Dictée de nombres compris entre 10 et Ajouter un petit nombre à 10 (nombres < 7) 67 Compléter une addition à trou à partir de 10 (somme 17) 68 Ajouter un petit nombre à 10 (nombres < 9) 69 Ajouter un petit nombre à 10 (nombres < 10) 70 Compléter une addition à trou à partir de 10 (somme 19) 71 Écrire le plus grand de trois nombres Calculer une somme de deux petits nombres (somme 15) 74 Écrire le plus petit de trois nombres 76 Dictée de nombres (nombres < 20) 77 Écrire le plus grand de trois nombres 78 Ajouter 10 à un nombre (somme < 19) 79 Calculer le double d un nombre (nombres 5) 80 Calculer le double d un nombre (nombres 10) 81 Trouver le complément à Calculer le double d un nombre (nombres 10) 83 Dictée de nombres (nombres < 30) 84 Calculer le double d un nombre (nombres 10) Nombres jusqu à Dictée de nombres (nombres < 50) 86 Calculer la moitié d un nombre pair (nombres 10) Période 4 89 Dictée de nombres (nombres < 20) 90 Ajouter un petit nombre à 7 (nombres < 5) 91 Ajouter 9 à un nombre (nombres < 5) 92 Calculer la moitié d un nombre pair (nombres 10) 93 Écrire le nombre suivant (nombres < 20) 94 Écrire le nombre précédent (nombres < 20) 95 Ajouter 10 à des dizaines entières 96 Dictée de nombres (nombres < 30) 97 Repérer le chiffre des dizaines dans un nombre 98 Dictée de nombres (nombres < 30) Dictée de nombres (nombres < 50) Écrire le nombre suivant (nombres < 50) 104 Écrire le nombre précédent (nombres < 50) Nombres jusqu à Écrire le plus petit de trois nombres (nombres < 70) 106 Écrire le nombre précédent (nombres < 50) 107 Écrire le plus grand de trois nombres (nombres < 70) 108 Ajouter 5 à un multiple de 5 (nombres < 70) 109 Ajouter 2 à un nombre terminé par 8 ou 9 (nombres < 50) 110 Ajouter 10 à un nombre (nombres < 70) Nombres jusqu à Dictée de nombres (nombres < 80) 112 Ajouter 10 à un nombre (nombres < 70) Dictée de nombres (nombres < 80) Période Écrire le plus grand de trois nombres (nombres < 70) 118 Écrire le plus petit de trois nombres (nombres < 70) 119 Ajouter 1 à un nombre terminé par Retrancher 1 à un nombre terminé par Ajouter 20 à un nombre (nombres 59) 122 Ajouter un nombre de deux chiffres à un multiple de 10 (somme < 80) 123 Trouver le nombre de dizaines dans un nombre de deux chiffres 124 Ajouter 2 à un nombre terminé par 8 ou 9 (nombres < 70) 125 Trouver le nombre de dizaines dans un nombre de deux chiffres Ajouter un petit nombre à un nombre de deux chiffres sans franchir la dizaine (nombres < 70) 128 Trouver le complément à la dizaine entière (nombres < 50) 129 Trouver le complément à la dizaine entière (nombres < 70) Utiliser le complément à la dizaine supérieure pour calculer une somme avec passage de la dizaine (nombre < 50) 133 Ajouter un petit nombre à un nombre de deux chiffres avec passage de la dizaine Nombres jusqu à à 136 Dictée de nombres (nombres < 99) 137 Retrancher un petit nombre à un nombre de deux chiffres sans franchir la dizaine (nombres < 70) 138 Ajouter un multiple de 10 à un nombre de deux chiffres 139 Dictée de nombres 140 Écrire le nombre suivant 141 Écrire le nombre précédent 7

8 INTRODUCTION «Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer. [ ] L introduction et l utilisation des symboles mathématiques sont réalisées au fur et à mesure qu ils prennent sens dans des situations d action, en relation avec le vocabulaire utilisé. Les élèves consolident leur compréhension des nombres entiers, déjà rencontrés au cycle 1. Ils étudient différentes manières de désigner les nombres, notamment leurs écritures en chiffres, leurs noms à l oral, les compositionsdécompositions fondées sur les propriétés numériques, ainsi que les décompositions en unités de numération. [ ] La pratique quotidienne du calcul mental conforte la maîtrise des nombres et des opérations. En lien avec le travail mené dans «Questionner le monde», les élèves rencontrent des grandeurs qu ils apprennent à mesurer, ils construisent des connaissances de l espace essentielles et abordent l étude de quelques relations géométriques et de quelques objets (solides et figures planes) en étant confrontés à des problèmes dans lesquels ces connaissances sont en jeu.» 1 Nos intentions Au CP, le fichier de l élève de la collection Pour comprendre les mathématiques a été conçu dans une optique constructiviste. C est par son activité sur son environnement physique et social, c est en transformant le milieu qui l entoure que l enfant remet en question ses schèmes cognitifs et images mentales et en construit de nouveaux. Mais ce travail n est pas spontané. C est une activité sociale dont le langage est le médiateur principal. L échange avec les pairs d une part, le rôle de l adulte d autre part prennent une part déterminante dans le processus d apprentissage. Les méthodes pédagogiques que nous proposons sont celles que l on a l habitude de désigner du nom de «pédagogies actives». Quelques mots encore pour éclairer le lecteur sur les raisons théoriques de nos choix : les théories de l apprentissage qui sous-tendent notre travail prennent leur source dans les idées développées par Gaston Bachelard au cours du siècle dernier 2 : «Les connaissances nouvelles s élaborent contre les connaissances anciennes qui font obstacle à celles-là.» Nous nous inscrivons ainsi dans un triple courant dont nous considérons les apports comme complémentaires et non pas contradictoires : celui des neurosciences représenté notamment 1. Programmes offi ciels Novembre G. Bachelard, La Formation de l esprit scientifi que, Vrin. par «l école» J.-P. Changeux et S. Dehaene ; celui de Piaget et de ses continuateurs ; et celui de l approche socioculturelle qui se réclame notamment de Vygotsky. Faire des mathématiques, c est résoudre des problèmes. Chaque étape de la progression place l enfant dans des situations qui lui imposent d élaborer et de verbaliser les images mentales, les outils et les concepts logiques et mathématiques. Cela demande du temps, cela exige aussi la mémorisation et le renforcement des notions et des concepts ainsi construits. Cela permet enfin à l enfant de conquérir son autonomie. La gestion du temps «Laisser du temps au temps» de l apprentissage est l une de nos préoccupations permanentes. Il faut laisser aux enfants le temps de construire les concepts et les outils fondamentaux du programme (droit à l erreur, tâtonnement expérimental ). Il faut donc prévoir un dosage équilibré entre les activités de découverte, les manipulations, les phases de conceptualisation, les exercices d entraînement, les exercices de soutien et de réinvestissement, les prolongements dans des activités pluridisciplinaires. Pratiquer des «retours en arrière» renforce l acquisition des procédures et permet de réactualiser les connaissances anciennes pour éviter qu elles ne s usent, faute d être utilisées. C est en particulier le rôle dévolu aux exercices indépendants de la leçon, entourés d un filet bleu ou d un filet vert : Les premiers, entourés d un filet bleu, reprennent, dans les différents domaines, des notions vues quelques jours auparavant et permettent de consolider les acquis des élèves. Les seconds, entourés d un filet vert, accompagnent les sauts de «Rainette» sur la bande numérique : ils sont plus ludiques dans un premier temps. À partir de la cinquième période, ils sont plus dépouillés et ne concernent plus que le calcul. La pratique quotidienne du calcul mental Nous en proposons la mise en place dès la première semaine de la rentrée. L entraînement de la mémoire, la familiarité avec les nombres, l acquisition et le renforcement des mécanismes de calcul, la reconnaissance de la multiplicité des procédures applicables à un même calcul conduisent insensiblement au calcul pensé et maîtrisé, socle du calcul mental. 8

9 Le calcul mental facilite les apprentissages des algorithmes traditionnels de calcul. Il permet aux élèves qui le maîtrisent de ne pas «perdre» du temps dans le calcul des opérations et donc d en consacrer plus au travail sur le sens que nécessite la résolution de problèmes. Une classe qui maîtrise le calcul mental permet à l enseignant de transférer une grande partie du temps habituellement consacré aux leçons portant sur l apprentissage des mécanismes de calcul aux leçons «situations problèmes». Chaque leçon prévoit un emplacement destiné à recevoir les réponses aux cinq premiers items de la séquence de calcul mental «automatisé». La manipulation Manipuler est une phase indispensable. Nous présentons donc de nombreuses situations manipulatoires dans le guide pédagogique comme activités préliminaires au travail sur le fichier. Chaque phase de manipulation est finalisée (on ne manipule pas pour manipuler, mais pour répondre à une question ou résoudre un problème) et débouche sur une phase orale suivie d une phase d institutionnalisation qui clôture le travail de la partie «Découvrons ensemble» du fichier. La conquête de l autonomie Après la phase de recherche collective, individuelle ou en petits groupes, nous proposons des exercices d application simples. Les consignes sont rédigées de telle sorte que, très vite, les élèves puissent les lire et les comprendre. Pour pallier les difficultés de lecture en début d année, ces consignes sont associées à un pictogramme (écrire, colorier, entourer ). Après quelques jours d entraînement, les élèves peuvent ainsi travailler en complète autonomie. Pendant que la plupart des élèves travaillent seuls, l enseignant s occupe de ceux qui rencontrent des difficultés pour acquérir les savoirs du Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. La pratique des jeux mathématiques Cette activité contribue au développement de la pensée logique et de la capacité à anticiper. Élément très motivant, prolongé par le questionnement individuel ou collectif, le jeu devient un outil pédagogique efficace. Ainsi, les activités préliminaires qui préparent la partie du fichier «Découvrons ensemble» proposent des situations ludiques ou de recherche exploitables en classe. Le «Coin du chercheur» peut permettre, selon les cas, de proposer un travail d approfondissement à certains élèves ou un travail de type méthodologique à l ensemble de la classe. L initiation à la résolution de problèmes De nombreuses situations de résolutions de problèmes additifs ou soustractifs sont proposées de façon progressive aux élèves tout au long du fichier. La structure du champ additif mise en évidence par G. Vergnaud nous a guidés dans la progression des problèmes proposés. La lecture des énoncés est facilitée par la présence de schémas ou d illustrations porteurs de l information utile à la résolution du problème. Un tramé jaune met en relief la question du problème ; la phrase réponse à compléter est écrite en cursive. À chaque période, les pages du «Jeu du chapeau» (qui peut être facilement joué) et celles de «Maths Aventures» permettent aux élèves de se confronter à des problèmes de manière ludique et non conventionnelle. La différenciation L observation quotidienne des élèves permet à l enseignant de proposer des parcours adaptés aux difficultés rencontrées par certains d entre eux. Dans la partie «Je m entraîne», nous avons donc prévu des exercices de difficultés progressives ; les plus difficiles sont repérés par un numéro de couleur violette. Pour permettre la gestion de la différenciation pédagogique, des photofiches sont associées aux leçons. Elles sont les outils des séances de différenciation : celles pour le soutien reprennent les exercices portant sur la compétence dans ce qu elle a de simple ; celles d approfondissement vont plus loin dans l étude de cette compétence. Des logiciels numériques viennent également compléter l offre de la collection Pour comprendre les mathématiques : une banque d exercices numériques proposés sur deux niveaux de difficulté dans laquelle l enseignant guidera l élève en fonction des besoins qu il aura repérés ; une solution adaptative learning où le travail proposé à l élève est directement adapté à ses propres capacités d apprentissages. Les domaines mathématiques Si la progression dans le domaine des nombres constitue la charpente de l année de CP, nous n avons cependant pas pour autant négligé l approche des autres domaines. Nous avons consacré une place importante à l apprentissage de l espace et au repérage dans le temps, à la découverte de la monnaie, à l utilisation des outils de mesure... Les évaluations L enseignant doit procéder régulièrement au bilan des compétences des élèves. Nous en proposons un par demi-période (pages «Je fais le point»), inspiré de la grille de référence du Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. L élève fait le point sur ses connaissances. Les résultats permettent aussi à l enseignant de repérer les notions maîtrisées par la majorité des élèves et celles qui doivent donner lieu à un travail de remédiation en atelier. Comme les items des pages «Je fais le point» peuvent être anticipés à la maison, l enseignant peut leur préférer ceux proposés dans le guide pédagogique pour réaliser les évaluations finales des demi-périodes. Il utilisera alors les pages du fichier comme activités préparatoires aux évaluations finales. 9

10 DOMAINES MATHÉMATIQUES ET SOCLE COMMUN 1. Nombres et calcul Nous avons choisi de donner du temps aux élèves en début de CP pour qu ils puissent s approprier sereinement les premiers nombres aussi bien sous leur forme figurative (collections de référence) que sous leur forme symbolique (écriture chiffrée). Ainsi : À la fin de la Période 1, seuls les nombres inférieurs à 10 auront été associés à différentes représentations, écrits, comparés et rangés. L élève sait que la réunion d une collection de 2 objets et d une collection de 3 objets forme une collection de 5 objets. Mais, quand il lit : «2 + 3 = 5», il fait une découverte importante : la transcription mathématique exprimée à l aide des signes + et = de cette réunion. Quand il écrit = ou 5 = 2 + 3, il apprend à ne pas réduire le signe = à une seule fonction : celle du signe d effectuation de la calculatrice (ex. : = 5). Il aura besoin de comprendre le véritable sens du signe =, car, en calcul réfléchi, il devra souvent décomposer un nombre (ex. : 7 = 5 + 2) ou écrire que deux décompositions sont équivalentes (ex. : = ). Les élèves doivent s approprier les notations mathématiques pour qu elles soient un outil porteur de sens, facilitant l organisation de leurs calculs et de leurs raisonnements. Les premiers «calculs» additifs ou soustractifs s effectuent sur de petits nombres grâce au dénombrement sur dessin ou au surcomptage. Au-delà de 6, le dessin et le dénombrement deviennent trop coûteux en temps et doivent être abandonnés pour le calcul mental. La familiarisation avec le surcomptage, appuyé sur la commutativité de l addition, doit permettre de mémoriser les premiers résultats du répertoire additif et soustractif qui seront renforcés par les premières décompositions additives lors de la Période 2. Le véritable «calcul» qui nécessite de n avoir recours à aucune représentation figurative des nombres ne peut intervenir qu en prenant appui sur un répertoire de résultats mémorisés, sur les propriétés des opérations et sur les principes de la numération décimale de position qui seront progressivement introduits en Période 3, pour devenir des outils utiles au-delà du nombre 10. En Période 4, les nombres compris entre 20 et 49, puis compris entre 50 et 69 sont étudiés avec méthode et rendus familiers aux élèves. Le tableau des nombres inférieurs à 70 permet d observer la régularité des règles d écriture de ces nombres et de renforcer les premiers principes de la numération décimale de position. La suite des nombres s étend avec sa régularité rassurante dans l écriture chiffrée jusqu à 99. Les seules difficultés sont dues aux noms des nombres des trois dernières dizaines mais ne remettent pas en cause les règles de la numération et l apprentissage des décompositions canoniques. En Période 5, s appuyant sur la connaissance des nombres, les techniques de calcul réfléchi utilisées pour calculer une somme ou une différence évoluent progressivement vers de vraies techniques de calcul. Enfin, l addition posée apparaît d abord sans retenue, puis avec retenue. 10

11 Attendus de fin de cycle 2 Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers Connaissances et compétences associées Dénombrer, constituer et comparer des collections. Utiliser diverses stratégies de dénombrement. Procédures de dénombrement (décompositions/recompositions additives ou multiplicatives, utilisations d unités intermédiaires : dizaines, centaines, en relation ou non avec des groupements). Repérer un rang ou une position dans une file ou sur une piste. Faire le lien entre le rang dans une liste et le nombre d éléments qui le précèdent. Relation entre ordinaux et cardinaux. Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =,, <, >. Égalité traduisant l équivalence de deux désignations du même nombre. Ordre. Sens des symboles =,, <, >. Utiliser diverses représentations des nombres. Passer d une représentation à une autre, en particulier associer les noms des nombres à leurs écritures chiffrées. Interpréter les noms des nombres à l aide des unités de numération et des écritures arithmétiques. Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers) et leurs relations (principe décimal de la numération en chiffres). Valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l écriture d un nombre (principe de position). Noms des nombres. Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu à la distance de ce point à l origine. Leçons du fichier 8 Associer et construire des collections 12 Construire une collection (1) 23 Dénombrer jusqu à 7 25 Dénombrer jusqu à 9 28 Construire une collection (2) 35 Étude des nombres 6 et 7 36 Étude des nombres 8 et 9 41 Grouper par 5 pour comparer 42 Étude du nombre Dénombrer jusqu à Grouper par 10 pour coder une quantité (1) 54 Étude des nombres 11, 12 et Étude des nombres 14, 15 et Étude des nombres 17, 18 et Étude du nombre Grouper par 10 pour coder une quantité (2) 93 Dénombrer de grandes collections 99 Constituer de grandes collections 67 Relation entre ordinaux et cardinaux 13 Comparer les nombres inférieurs à 6 14 Ordonner les nombres inférieurs à 6 16 Le signe = 29 Comparer, ordonner, intercaler les nombres inférieurs à Comparer des écritures additives (1) 62 Comparer, ordonner les nombres inférieurs à Intercaler les nombres inférieurs à Comparer des écritures additives (2) 73 Comparer des écritures additives (3) 96 Comparer, ordonner les nombres inférieurs à Comparer, ordonner les nombres inférieurs à 70 9 Associer une collection à son écriture chiffrée 10 Associer un nombre à une collection 80 Échange de 10 unités contre 1 dizaine 81 Dizaines et unités (1) 82 Dizaines et unités (2) 85 Décoder l écriture d un nombre de deux chiffres 89 Le tableau des nombres inférieurs à Décomposer en dizaines 92 Décomposer les nombres 94 Étude des nombres de 20 à Étude des nombres de 50 à Le tableau des nombres de 50 à Étude des nombres de 60 à Se déplacer sur le tableau des nombres 126 Étude des nombres de 80 à Se déplacer sur la bande numérique 134 Suites de nombres 11

12 Attendus de fin de cycle 2 Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul Calculer avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Connaissances et compétences associées Associer un nombre ou un encadrement à une grandeur en mesurant celle-ci à l aide d une unité. La demi-droite graduée comme mode de représentation des nombres grâce au lien entre nombres et longueurs. Lien entre nombre et mesure de grandeurs, une unité étant choisie. Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée conduisant à utiliser les quatre opérations. Sens des opérations. Problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction). Problèmes relevant des structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division). Modéliser ces problèmes à l aide d écritures mathématiques. Sens des symboles +,,, :. Mémoriser des faits numériques et des procédures. Tables de l addition et de la multiplication. Décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100, compléments à la dizaine supérieure, à la centaine supérieure, multiplication par une puissance de 10, doubles et moitiés de nombres d usage courant, etc. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l oral et à l écrit.. Calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur. Calcul en ligne. Calculer en utilisant des écritures en ligne additives, soustractives, multiplicatives, mixtes. Calcul posé. Mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l addition, la soustraction, la multiplication. Leçons du fichier 136 Problèmes (12) : Utiliser la monnaie 15 Le signe + pour coder de grandes collections 17 Situation d ajout 19 Problèmes (1) : jeu du chapeau 30 Problèmes (2) : Situations additives 33 Situation de retrait : le signe 45 Problèmes (3) : jeu du chapeau 58 Problèmes (4) : Situations additives ou soustractives 74 Problèmes (5) : jeu du chapeau 86 Problèmes (6) : Situations additives ou soustractives 102 Problèmes (7) : jeu du chapeau 114 Problèmes (8) : Situations additives 122 Problèmes (9) : Situations additives 128 Problèmes (10) : Situations additives ou soustractives 130 Problèmes (11) : jeu du chapeau 138 Problèmes (13) : Utiliser la décomposition des nombres 140 Problèmes (14) : Choisir une opération 141 Problèmes (15) : Situations additives ou soustractives 18 Ajouter 1 21 Commutativité de l addition 27 Compléments à un nombre inférieur à 6 34 Les tables d addition jusqu à 5 39 Retrancher 1 43 Compléments à Les tables d addition jusqu à Calculer une somme en utilisant le complément à Les doubles des nombres jusqu à Calculer la moitié d un nombre 108 Calculer en utilisant les doubles 121 Trouver le complément à la dizaine supérieure 26 Calculer la somme de deux nombres (1) 50 Calculer la somme de deux nombres (2) 51 Soustraire un petit nombre (1) 72 Soustraire un petit nombre (2) quotidien (cf. tableau suivant) 37 Somme de trois petits nombres 71 Calculer la somme de deux nombres (3) 91 Somme de dizaines 105 Autour d une dizaine entière 106 Ajouter 10 à un nombre de deux chiffres 113 Ajouter des dizaines à un nombre de deux chiffres 120 Calculer la somme de deux nombres (4) 124 Effectuer une addition en ligne (1) 125 Effectuer une addition en ligne (2) 127 Soustraire un petit nombre (3) 132 Soustraire un petit nombre (4) 133 L addition posée sans retenue 137 L addition posée avec retenue 12

13 quotidien Connaissances et compétences Leçons du fichier Période 1 Période 2 Période 3 Période 4 Période 5 Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19 ; ; 76 ; 83 ; ; 96 ; 97 ; 98 ; 99 ; 100 ; 101 ; 111 ; 113 ; ; 125 ; 134 ; 135 ; 136 ; 139 Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 («tables d addition») 23 ; 24 ; 25 ; 26 ; ; 36 ; 40 ; 41 ; 42 Comparer, ranger, encadrer ces nombres Écrire une suite de nombres dans l ordre croissant ou décroissant 43 ; 44 ; 54 ; 55 ; ; 74 ; ; 94 ; 101 ; 102 ; 104 ; 105 ; 106 ; ; 118 ; 140 ; 141 Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à ; 80 ; 82 ; 84 ; Calculer mentalement des sommes et des différences 21 ; 22 ; 27 ; ; 34 ; 37 ; 38 ; 39 ; 45 ; 47 ; 48 ; 52 ; 57 ; ; 62 ; 64 ; 66 ; 68 ; 69 ; 72 ; 73 ; ; 91 ; 95 ; 108 ; 109 ; 110 ; ; 120 ; 121 ; 122 ; 124 ; 126 ; 127 ; 130 ; 131 ; 132 ; 133 ; 137 ; 138 Calculer des opérations à trous, trouver le complément 49 ; 50 ; 51 ; ; 67 ; 70 ; ; 129 Voir annexe 1 p. 215 : «: calcul automatisé et calcul réfléchi au CP». 2. Espace et géométrie Les mathématiques ne se réduisent pas aux activités numériques. Elles impliquent aussi «une éducation de l œil et de la main» 3, tout spécialement au cycle 2. Nous avons consacré une place importante à l apprentissage de l espace (observation guidée de solides et de formes planes ) et de la géométrie (repérage d alignements, repérage dans l espace, codage et décodage de déplacements, découverte de quelques propriétés de formes simples...). Nous avons aussi prévu plusieurs leçons pour apprendre à utiliser une règle pour tracer des traits et aborder la reproduction sur quadrillage. Les nombreuses pages de matériel prédécoupé du fichier permettent de mettre en œuvre les manipulations sans perte de temps et sans imposer un travail de préparation trop lourd aux enseignants. 3. Cf. René Berthelot et Marie-Hélène Salin, L Enseignement de la géométrie à l école élémentaire, université Bordeaux I, Aquitaine. 13

14 Attendus de fin de cycle 2 (Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères Reconnaître, nommer, décrire, reproduire quelques solides Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques Reconnaître et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie Connaissances et compétences associées Se repérer dans son environnement proche. Situer des objets ou des personnes les uns par rapport aux autres ou par rapport à d autres repères. Vocabulaire permettant de définir des positions (gauche, droite, au-dessus, en dessous, sur, sous, devant, derrière, près, loin, premier plan, second plan, nord, sud, est, ouest ). Vocabulaire permettant de définir des déplacements (avancer, reculer, tourner à droite/à gauche, monter, descendre ). Produire des représentations des espaces familiers (les espaces scolaires extérieurs proches, le village, le quartier) et moins familiers (vécus lors de sorties). Quelques modes de représentation de l espace. S orienter et se déplacer en utilisant des repères. Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements dans des espaces familiers, sur un quadrillage, sur un écran. Repères spatiaux. Relations entre l espace dans lequel on se déplace et ses représentations. Reconnaître et trier les solides usuels parmi des solides variés. Décrire et comparer des solides en utilisant le vocabulaire approprié. Vocabulaire approprié pour : nommer des solides (boule, cylindre, cône, cube, pavé droit, pyramide) ; décrire des polyèdres (face, sommet, arête). Les faces d un cube sont des carrés. Les faces d un pavé droit sont des rectangles (qui peuvent être des carrés). Décrire, reproduire des figures ou des assemblages de figures planes sur papier quadrillé ou uni. Utiliser la règle, le compas ou l équerre comme instruments de tracé. Lien entre propriétés géométriques et instruments de tracé : droite, alignement et règle non graduée ; angle droit et équerre ; cercle et compas. Reconnaître, nommer les figures usuelles. Reconnaître et décrire à partir des côtés et des angles droits, un carré, un rectangle, un triangle rectangle. Les construire sur un support uni connaissant la longueur des côtés. Vocabulaire approprié pour décrire les figures planes usuelles : carré, rectangle, triangle, triangle rectangle, polygone, côté, sommet, angle droit ; cercle, disque, rayon, centre ; segment, milieu d un segment, droite. Propriété des angles et égalités de longueur des côtés pour les carrés et les rectangles. Utiliser la règle (non graduée) pour repérer et produire des alignements. Alignement de points et de segments. Leçons du fichier 38 Ma droite, ma gauche 44 Se repérer dans l espace (1) 56 À droite de, à gauche de 123 La droite, la gauche d un objet orienté 129 Se repérer dans l espace (2) 49 Décoder un déplacement 107 Coder un déplacement 65 Objets et solides géométriques 68 Solides et formes planes 101 Le cube, le pavé 76 Reproduction sur quadrillage 83 Restaurer une figure 24 Utiliser la règle pour tracer des traits 77 Reconnaître des figures planes 100 Le carré, le rectangle 22 Alignement Voir annexe 2 p. 218 : «Les puzzles, support de la géométrie au CP». 14

15 3. Grandeurs et mesures Les activités liées à la mesure font intervenir des notions géométriques et des notions numériques étroitement liées. Les activités proposées dans le fichier visent à construire le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure. Le concept d étalon ou d unité de référence s acquiert progressivement en résolvant des problèmes de comparaison et d ajouts de longueurs, à partir de situations vécues par les élèves. Les masses sont, elles aussi, mesurées avec une unité de référence avant d être mesurées avec les unités officielles au CE1. Par ailleurs, outre les leçons de découverte de la monnaie, nous avons trouvé pertinent d utiliser la monnaie comme support pour travailler sur les décompositions additives de petits nombres et la numération. Attendus de fin de cycle 2 Comparer, estimer, mesurer des longueurs, des masses, des contenances, des durées Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques à ces grandeurs Résoudre des problèmes impliquant des longueurs, des masses, des contenances, des durées, des prix Connaissances et compétences associées Mesurer des longueurs avec un instrument adapté, notamment en reportant une unité. Mesurer des masses et des contenances avec des instruments adaptés. Comparer, estimer, mesurer des durées. Unités de mesure usuelles de durées : jour, semaine, heure, minutes, semaine, mois, année, siècle, millénaire. Relations entre ces unités. Dans des cas simples, représenter une grandeur par une longueur, notamment sur une demi-droite graduée. Des objets de grandeurs égales sont représentés par des segments de longueurs égales. Une grandeur double est représentée par une longueur double. La règle graduée en cm comme cas particulier d une demidroite graduée. Résoudre des problèmes, notamment de mesurage et de comparaison, en utilisant les opérations sur les grandeurs ou sur les nombres. Opérations sur les grandeurs (addition, soustraction, multiplication par un entier, division : recherche du nombre de parts et de la taille d une part). Quatre opérations sur les mesures des grandeurs. Principes d utilisation de la monnaie (en euros et centimes d euros). Lexique lié aux pratiques économiques. Leçons du fichier 11 Ranger du plus petit au plus grand 111 Mesurer une longueur (1) 112 Mesurer une longueur (2) 135 Mesurer une masse 117 L heure 139 La moitié d une longueur 47 Comparer des longueurs 52 Les jours et les mois 84 Ajouter des longueurs 95 Utiliser la monnaie en euros 119 Utiliser la monnaie en centimes 15

16 Repères de progressivité au cycle 2 Attendus de fin de cycle CP CE1 CE2 Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers Étude des relations numériques entre des nombres inférieurs à 20 Étude de la numération décimale écrite en chiffres et celle de la désignation orale pour les nombres jusqu à 100 Prise en compte de la complexité de la numération orale pour les nombres supérieurs à 69 Reprise de l étude des nombres jusqu à 100 Étude de la numération décimale écrite jusqu à Reprise de l étude des nombres jusqu à Étude de la numération décimale écrite jusqu à Nombres et calcul Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul Calculer avec des nombres entiers Résolution de problèmes additifs et soustractifs Mémorisation de faits numériques (décompositions, recompositions additives, tables d addition) et de procédures de calculs élémentaires (additions) Additions en colonnes avec des nombres de deux chiffres Résolution de problèmes additifs, soustractifs et multiplicatifs Résolution de situations simples de partage ou de groupement Mémorisation de faits numériques (tables d addition et de multiplication) et de procédures de calculs élémentaires (soustractions et multiplications) Maîtrise de l addition avec des nombres plus grands et de taille différente Apprentissage d une technique de calcul posé pour la soustraction Résolution de problèmes plus complexes, à deux étapes Mémorisation de faits numériques (tables de multiplication) et de procédures de calculs élémentaires (quotient et reste d une division euclidienne) Maîtrise de la soustraction Apprentissage d une technique de calcul posé pour la multiplication Grandeurs et mesures Comparer, estimer, mesurer des longueurs, des masses, des contenances, des durées Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques à ces grandeurs Résoudre des problèmes impliquant des longueurs, des masses, des contenances, des durées, des prix Longueur (comparaison, double et moitié) Durée (jour et semaine, et leur relation) Prix (euros) Longueur (cm, dm et m, en relation ; m et km, comme unités indépendantes) Masse (g et kg, comme unités indépendantes) Contenance (en litres) Durée (jour et semaine, j et h, h et min, et leurs relations) Prix (euros et centimes d euros, en relation) Longueur (km, m, dm, cm, mm) Masse (g, kg et tonne, en relation) Contenance (L, dl et cl) Durée (j, mois, année et leurs relations, année, siècle, millénaire et leurs relations, min, s et leur relation) Espace et géométrie (Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères Reconnaître, nommer, décrire, reproduire quelques solides Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques Reconnaître et utiliser les notions d alignement, d angle droit, d égalité de longueurs, de milieu, de symétrie Représentation des lieux et codage des déplacements se situant dans la classe ou dans l école Reconnaissance de solides variés Vocabulaire (face, sommet, arête) pour les décrire Propriétés géométriques engagées progressivement dans la reproduction et la description de figures (alignement, report de longueur sur une droite et égalités de longueur) Règle non graduée, bande de papier Représentation des lieux et codage des déplacements se situant dans le quartier proche Codage des déplacements à l aide d un logiciel de programmation adapté Construction d un cube avec des carrés ou avec des tiges que l on peut assembler Construction d un cercle sans contraintes ; puis, à partir du centre et d un point, de son rayon et son centre Angle droit Règle graduée, gabarit d angle droit, compas pour tracer des cercles Représentation des lieux et codage des déplacements se situant dans un quartier étendu ou le village Compréhension et production d algorithmes simples Approche de la notion de patron du cube Construction d un cercle à partir de son diamètre Equerre, compas pour tracer des cercles 16

17 7 Bienvenue au CP! Compétences Lire une consigne avec l aide des pictogrammes et la réaliser. Observations préalables Cette première leçon est conçue dans un esprit tout à fait différent de celui des autres leçons du fichier. Elle n est ni un apprentissage, ni un bilan, ni une révision : c est une «remise en route». Celle-ci permet à l enseignant d observer le comportement de ses élèves : attendent-ils passivement un ordre, une aide? Savent-ils comprendre seuls une consigne, interpréter un dessin, se mettre en situation de recherche, collaborer avec leurs camarades? En ce début d année, ces informations sont aussi importantes que la connaissance du niveau scolaire proprement dit, qu il serait antipédagogique de vouloir évaluer dès les premiers jours de classe. Nous proposons quatre exercices simples présentés de manière attrayante qui nous l espérons permettront aux élèves d aborder agréablement l année scolaire en général et les mathématiques en particulier. Les pictogrammes qu ils découvrent dans la page seront utilisés durant trois périodes pour faciliter la lecture des consignes. Æ Activité préliminaire Les élèves feuillettent le fichier et font part de leurs observations. Il est important que, dès ce premier contact, ils découvrent des activités motivantes présentées de manière ludique, des illustrations agréables. L enseignant attire leur attention sur la composition des différentes pages de leçons qu ils découvriront au cours des semaines suivantes. Ils apprennent ce qu est un sommaire, son utilité L enseignant leur fait remarquer les «Coins du chercheur» et leur indique qu ils peuvent essayer de les résoudre quand ils le souhaitent, puisqu ils sont indépendants de chaque leçon. Pour confronter les réponses des élèves aux «Coins du chercheur», un moment de concertation collective pourra être organisé, une fois par semaine. Æ Description et commentaires collectifs L enseignant invite les élèves à se reporter à la page 7 de leur fichier. Avant de les laisser découvrir les exercices, il leur demande d observer les deux pictogrammes Entoure et Colorie présents sur la page et explique leur fonction. Il trouvera les autres pictos en page 3 du fichier. L enseignant présente ensuite la mascotte, Mathix, dont le rôle est d aider l élève : Mathix ne donne pas de consignes de travail mais des conseils pour bien réaliser celui-ci. Les élèves ne sachant pas lire en début d année, c est l enseignant qui se chargera d énoncer ces aides et ces conseils. Les quatre exercices sont ensuite décrits et les situations analysées. Une discussion collective permet de vérifier si les élèves interprètent correctement les dessins et les consignes. Les élèves doivent d abord écrire leur nom ou leur prénom. 1 Les élèves doivent repérer la droite d un personnage auquel ils peuvent s identifier, car il est vu de dos. Lors de la correction collective, l enseignant repère les élèves qui ne connaissent pas la droite et la gauche de leur propre corps. 2 Cet exercice permet de repérer les élèves qui ne reconnaissent pas les figures géométriques élémentaires dans différentes positions. Il exige un travail propre et précis. Pour cela, préférez le crayon de couleur au feutre. 3 Il s agit d un exercice de numération qui permet de vérifier si les élèves savent dénombrer le cardinal d un ensemble. 4 Les élèves doivent analyser puis compléter la frise. Lorsque l algorithme du coloriage est compris, l exercice est réalisé individuellement. Cet exercice réclame un coloriage soigné. L enseignant aide les élèves en difficulté. 17