Solides (D après «Donner du sens aux mathématiques, Tome 1 Espace et Géométrie» Bordas)

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1 Solides (D après «Donner du sens aux mathématiques, Tome 1 Espace et Géométrie» Bordas) Quelques définitions En géométrie, on appelle solide toute figure indéformable à 3 dimensions, limitée par une surface fermée. Il existe deux types de solides : les polyèdres délimités par une surface uniquement composée de polygones, et les non polyèdres. Un non polyèdre est un solide dont l une, au moins, des parties de la surface le constituant n est pas un polygone. Exemples : Le cube est un polyèdre. Il est délimité par des carrés. Le cône de révolution n est pas un polyèdre. Il n est pas délimité par des polygones. De même, la surface d un cylindre de révolution comportant des disques, le cylindre n est pas un polyèdre. Les polyèdres Les polygones délimitant le polyèdre sont appelés les faces du polyèdre. Les côtés communs des polygones qui constituent les faces sont appelés les arêtes du polyèdre et les sommets des polygones restent appelés sommets pour le polyèdre. Exemple : Un pavé droit a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. Remarque : Le mot face n est utilisé que pour les polyèdres. Déterminer le nombre de faces d un cylindre n a aucune signification puisque le cylindre n est pas un polyèdre. Un polyèdre est dit convexe s il se situe d un même côté de tous les plans support des faces. On peut encore dire qu un polyèdre convexe est tel que quelle que soit la façon dont on le pose sur une surface plane, il repose sur une face entière. S il n est pas convexe, il est dit concave. On reconnaît qu un polyèdre est concave si deux de ses faces forment «un creux». Pour vérifier le nombre de faces, d arêtes, de sommets d un polyèdre convexe, on peut utiliser la relation d Euler : si a est le nombre d arêtes, s le nombre de sommets, f le nombre de faces alors s + f = a + 2

2 Polyèdres particuliers 1.Polyèdre régulier Un polyèdre est régulier lorsque : - il est convexe - toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques - de chacun de ses sommets partent le même nombre d arêtes formant le même angle. Par exemple, un cube est un polyèdre régulier, un octaèdre dont les huit faces sont des triangles équilatéraux identiques est un polyèdre régulier mais un hexaèdre dont les six faces sont des triangles équilatéraux identiques n est pas un polyèdre régulier puisque la troisième condition n est pas vérifiée. Il existe seulement cinq polyèdres réguliers : - le cube - le tétraèdre régulier dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux identiques - l octaèdre régulier dont les huit faces sont des triangles équilatéraux identiques - l icosaèdre régulier dont les vingt faces sont des triangles équilatéraux identiques - le dodécaèdre régulier dont les douze faces sont des pentagones réguliers identiques. 2.Prisme Un prisme droit est un polyèdre dont la surface est composée de deux polygones identiques et parallèles appelés bases, et de rectangles qui constituent les faces latérales. Exemples : - Un cube est un prisme droit dont les bases et les faces latérales sont des carrés.(le carré est un rectangle particulier.) - Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un prisme droit dont les bases et les faces latérales sont des rectangles. (Les faces latérales peuvent aussi être des carrés. Le cube est un parallélépipède rectangle particulier) Un prisme non droit est composé de deux bases, qui sont des polygones identiques et parallèles, et dont certaines faces latérales sont des parallélogrammes non rectangles. 3.Pyramide Une pyramide est un polyèdre dont la surface est composée d un polygone appelé base et de triangles ayant un sommet commun. Exemple : Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle. Il est donc composé de quatre triangles. Un tétraèdre régulier est une pyramide composée de quatre triangles équilatéraux identiques. Solides particuliers non polyèdres 1.Cylindre de révolution Un cylindre de révolution est un solide engendré par la rotation d un rectangle autour de l un de ses côtés. Il est donc formé par deux disques, identiques et parallèles, et par une surface non plane. Les deux disques s appellent les bases du cylindre. 2.Cône de révolution Un cône de révolution est un solide engendré par la rotation d un triangle rectangle autour d un des côtés de l angle droit. Il est donc formé par un disque et une surface non plane. On omet souvent de préciser le qualificatif «de révolution» lorsqu on évoque le cylindre et le cône. Pourtant, il existe d autres types de cylindre et de cônes avec des bases qui ne sont pas des disques, mais par exemple des ellipses. 3.Boule Une boule est un solide délimité par une surface appelé sphère. Une sphère de centre O et de rayon R est une surface constituée par l ensemble des points dont la distance à O est égale à R.

3 Représentations planes des solides Plusieurs représentations d un solide sur un plan peuvent être envisagées : une perspective centrale, une perspective parallèle (cavalière ou axonométrique), une représentation des différentes vues, un patron. Ce passage de l espace à la représentation plane entraîne la perte de certaines informations. C est ce qui explique l existence de plusieurs types de représentations planes, chacune conservant et transmettant certaines informations au détriment d autres.1 Une représentation ne peut rendre compte à la fois de la vision d un objet et de ce que l on sait de lui. On retrouve le conflit entre le «voir» et le «savoir». Il faut alors prendre en compte ce qu on attend d une représentation. Perspective cavalière La perspective cavalière résulte d une projection oblique sur un plan appelé plan de projection. La projection se fait dans une même direction. Exemple 1 : Cube projeté sur un plan parallèle à la face de devant. Pour comprendre la projection permettant de donner cette représentation à partir d un cube posé sur un plan horizontal, on peut imaginer des segments obliques et parallèles partant de chaque sommet du cube et arrivant sur un plan vertical. La figure, formée sur ce plan, en reliant les points intersections des segments et du plan vertical, est une perspective cavalière du cube. Cette figure ne contient véritablement que deux carrés. Pourtant, elle représente un cube constitué de six carrés. Les faces parallèles au plan de projection ne sont pas déformées. De façon générale, les éléments situés dans des plans parallèles au plan de projection sont conservés. Les arêtes du cube qui sont perpendiculaires au plan de projection sont représentées par des droites parallèles appelées fuyantes. L angle formé par ces fuyantes et la direction horizontale caractérise la perspective cavalière choisie, le plus souvent l angle est égal à 45, mais parfois i l peut aussi valoir 30. Les dimensions des segment s portés par les fuyantes sont, en général, réduites par rapport aux dimensions réelles. Le rapport de réduction est aussi une caractéristique de la perspective cavalière. Le parallélisme des droites est conservé ainsi que le rapport des longueurs de segments parallèles. Pour des éléments qui ne sont pas situés dans des plans parallèles au plan de projection, les distances, les angles ne sont pas conservés ce qui peut être traduit par la non conservation des formes géométrique des faces. L alignement des points est conservé : des points alignés dans l espace le sont sur la représentation mais la réciproque est fausse en général. Des droites qui paraissent se couper sur la représentation peuvent ne pas être concourantes dans la réalité. 1 D après l ouvrage Rouche N., Lismont L. (2001), Formes et mouvements. Perspectives pour l enseignement de la géométrie, Centre de recherche de l enseignement des mathématiques

4 Perspective centrale Exemple du cube : Les angles, le parallélisme, l orthogonalité, les longueurs, les rapports de longueur ne sont en général pas conservés dans ce type de représentation. Par contre, la forme et les rapports de longueur d un objet situé dans un plan parallèle au plan de projection sont conservés. Remarque : on peut envisager aussi des perspectives centrales avec plusieurs points de fuite mais à l école élémentaire seule la perspective centrale à un point de fuite est abordée par l utilisation de photos. Ces dernières ont l avantage de fixer le plus fidèlement possible la perception visuelle et ainsi d en permettre la conservation. Projections orthogonales (Vues) Une vue d un solide est une représentation plane qui provient d une projection orthogonale sur un plan parallèle à une face. Exemple : Vue de dessus d un cube. Pour comprendre la projection permettant d obtenir cette vue de dessus à partir d un cube posé sur un plan horizontal, on peut imaginer des segments verticaux partant des sommets du solide et arrivant sur un plan horizontal. Suivant le plan sur lequel le solide est projeté, différentes vues sont possibles : vue de dessus (le plan est parallèle à la face de dessus), vue de droite (le plan est parallèle à la face de droite), vue de face Le dessin technique utilise ce type de représentation. Pour qu un objet puisse être construit à partir des différentes vues, trois vues sont nécessaires : vue de face, de droite, de dessus ainsi que des conventions de traçage. En particulier, ce qui est vu est formé avec des traits pleins, ce qui est caché avec des traits en pointillé On peut aussi évoquer le mot «empreinte». Pour un prisme droit posé sur sa base, la vue de dessus correspond à l empreinte du prisme. La vue de dessus du cube donné en exemple précédemment correspond à l empreinte du cube. Par contre, pour un solide quelconque, l empreinte est souvent différente de la vue de dessus. L empreinte d une boule est un point alors que sa vue de dessus est un disque. On pourrait dire que la vue de dessus est le «trou» que ferait un solide dans un plan si on l enfonçait perpendiculairement à ce plan. On a ainsi une bonne illustration d un exemple d une projection orthogonale d un solide pour des élèves de l école élémentaire Patron Un patron d un solide est une surface plane qui permet de reconstruire le solide uniquement par pliage et sans recouvrement ; ou, en reprenant la définition de S.Gobert (2001), «un patron de solide est un dessin, où toutes les faces du solide sont représentées, toutes juxtaposées les unes aux autres, permettant après découpage du contour et pliage suivant les segments, de reconstituer le solide en volume» 2.Le terme de développement du solide s emploie quelquefois à la place du mot patron. S.Gobert (ibid.) effectue deux types de remarques : celles concernant le patron à partir du solide et celles concernant le solide à partir du patron.

5 A partir du patron : «Deux faces adjacentes sur le patron sont toujours adjacentes sur le solide. Mais attention, deux faces qui ne sont pas l une à côté de l autre sur le patron peuvent être des faces adjacentes sur le solide, ou ne pas être des faces adjacentes sur le solide.» «Un segment commun à deux faces sur le patron est une arête du solide. Mais on peut avoir deux segments sur le patron qui correspondent à une même arête du solide» A partir du solide : «Deux faces adjacentes sur le solide peuvent être adjacentes sur le patron ou ne pas l être. Par contre, deux faces non adjacentes sur le solide ne peuvent jamais être adjacentes sur le patron» «Une arête d un solide peut être représentée une ou deux fois sur un patron du solide» «Un sommet du solide peut être représenté par un ou plusieurs points sur le patron»3 «Ces connaissances sont en jeu dans les activités proposées en général aux élèves. Elles sont très rarement formulées, et pourtant elles permettent d avoir des repères qui peuvent faciliter, améliorer, faire progresser la capacité à remonter un patron en volume dans sa tête et à lire sur les patrons les propriétés du solide»4 Un polyèdre peut avoir plusieurs patrons différents. Exemple : Le cube a onze patrons. Certains solides ne sont pas développables ; ils n ont pas de patron. Exemple : La boule. 2 GOBERT S.(2001) Questions de didactique liées au rapport entre la géométrie et l espace sensible, dans le cadre de l enseignement à l école primaire, thèse Université Paris VII: p GOBERT S.(2001) : p GOBERT S.(2001) : p. 143

6 Quelques repères1 Les objets de travail - Les solides «sociaux» comme les emballages, certains meubles, certaines constructions qui existent dans l espace réel et le monde physique uniquement. - Les «maquettes» des solides précédents qui en sont des représentations épurées de leurs propriétés qualitatives, comme par exemples des emballages recouverts de papier uni, des solides construits avec du matériel «polydron», des solides en bois. - Les objets mathématiques qui sont des objets théoriques caractérisés par un ensemble de propriétés mathématiques et qui concernent le monde de la pensée. L objectif de l enseignement des solides à l école primaire est de permettre aux élèves de s abstraire des propriétés qualitatives des objets sociaux et des maquettes qui les représentent pour ne considérer que les objets mathématiques caractérisés par un ensemble de propriétés géométriques. Par exemple, l élève devra finalement être capable de désigner par «cube» tout polyèdre ayant 6 faces carrées. La représentation des solides La représentation plane des solides est difficile en raison de la perte d informations entre l espace et le passage au plan et en raison du conflit entre ce qui est «vu» et ce qui est «su». «Représenter en deux dimensions un objet tridimensionnel soulève un problème de taille : l idéal serait de pouvoir le représenter tel qu il se présente habituellement au regard (préservation du voir), tout en conservant sur la représentation, l ensemble de ses propriétés (préservation du savoir). Mais ceci est malheureusement impossible la plupart du temps, d où conflit qui amène à opérer des choix, c est-à-dire à éliminer sur la représentation certains aspects du voir et certains aspects du savoir»2. Le patron est la principale représentation travaillée à l école élémentaire. On peut envisager les approches suivantes : - Le passage de l espace au plan qui permet de considérer les polygones comme faces des polyèdres. - Le passage du plan à l espace qui permet de mettre en évidence les relations d incidence : relations métriques entre les différentes faces (pour accoler deux faces, les côtés concernés doivent avoir même longueur) et nombre d arêtes issues de chaque sommet. Plier mentalement un patron pour obtenir le solide et déplier mentalement le solide pour en obtenir un patron implique le recours à ces relations d incidence. A l école élémentaire A l école élémentaire et plus particulièrement au cycle 3, il s agit principalement d approcher : - les propriétés mathématiques des solides (l élève devra être capable de caractériser un solide par le nombre de ses faces, de ses sommets, de ses arêtes mais aussi par la nature de ses faces) ; - les relations d incidences en introduisant et en travaillant sur les patrons de ces solides. Le travail sur les solides à l école élémentaire doit permettre aux élèves de se fabriquer des images mentales de ces solides pour pouvoir ensuite les mobiliser. Ce travail ne peut et ne doit pas se faire en utilisant des représentations des solides en perspective cavalière mais en manipulant des solides. On ne peut donc pas se contenter de faire des exercices sur un livre. Si seules la connaissance des caractéristiques du cube et du parallélépipède rectangle sont exigibles en fin de cycle 3, les activités proposées permettent de rencontrer d autres solides afin de mieux dégager les propriétés des cubes et parallélépipèdes rectangles. 1 D après l ouvrage «Apprentissages géométriques et résolution de problèmes» cycle 3 ERMEL Hatier PARZYSZ B. (1991) «Espace, géométrie et dessin, une ingénierie didactique pour l apprentissage, l enseignement et l utilisation de la perspective au lycée» Recherche en didactique des mathématiques Vol La pensée sauvage Grenoble

7 Quelques exemples de situations pour mettre en évidence les propriétés mathématiques des solides Reconnaître un solide dans un lot : le jeu du portrait Un meneur de jeu (élève, groupe d élèves ou enseignant) choisit un solide. Les autres devront trouver le solide choisi en posant, à tour de rôle, des questions fermées (auxquelles on ne peut répondre que par «oui» ou «non»). Ces questions doivent utiliser les caractéristiques géométriques des solides. Il est interdit d utiliser leur nom (ex : on ne demande pas est-ce le cube?). Si une question est ambiguë ou mal formulée, le maître du jeu répond par «je ne peux pas répondre» Cette activité ne revêt pas du tout la même difficulté suivant que les solides sont mis à distance ou s ils sont manipulables par les élèves. Dans ce cas, les élèves peuvent le tourner dans tous les sens pour compter les faces, sommets, arêtes, analyser les formes des faces. Ils peuvent mettre de côtés les solides éliminer. Des questions sans grand rapport avec la géométrie risquent d apparaître (est-ce que ça ressemble à une maison, ) le rôle de l enseignant est d amener les élèves à poser des questions qui portent sur les caractéristiques géométriques du solide. Il rectifiera au fur et à mesure le vocabulaire mal employé. Le choix des solides doit se faire en adéquation avec l objectif choisi. Par exemple, si on veut faire amener les élèves à prendre en compte la nature des faces, il est nécessaire de choisir un solide tel que les questions relatives au nombre de faces, de sommets et d arêtes ne puissent pas permettre de le caractériser. Cette activité doit permettre d utiliser le vocabulaire des solides en situation de communication (seule situation qui donne du sens à l utilisation d un vocabulaire adéquat) et de travailler les images mentales des solides. Elle fait aussi travailler la logique car il faut agir en fonction des réponses aux questions (il est plus facile d agir après une réponse «oui» qu après un «non»). Des activités de ce type sont proposées dans Donner du sens aux mathématiques, tome 1, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, p.211 et ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006, p.479) Voir complément en Annexe 1 Décrire un solide pour le faire reconnaître ou pour le construire L ouvrage ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 propose des activité de ce type : Habiller un solide : Par groupe de deux, les élèves disposent d un solide et d un lot de polygones parmi lesquels figurent les faces du solide. Dans un premier temps, il s agit de choisir parmi ces polygones quels sont ceux qui recouvriront exactement les faces du solide. Dans un second temps, les binômes sont appariés et disposent d un solide différent. Chacun d entre eux devra décrire son solide pour que l autre puisse «l habiller». Construire un solide Les élèves doivent commander des polygones à partir d un catalogue pour construire un solide identique à un solide donné caché dans un coin de la salle de classe. Etablir une carte d identité d un solide Pour terminer une séquence sur l approche des propriétés des solides il est possible d envisager la rédaction de carte d identité de quelques solides. Cette carte pourrait être évolutive. Les mêmes choses n y figureraient pas suivant le niveau de classe concerné (pas forcément de dessin en perspective en CE2). Elle peut contenir le nom du solide, une photo, le nombre de faces, d arêtes et de sommets, la forme des faces. On peut y insérer des exemples d objets qui ont cette forme, des dessins des différentes faces (les vues), puis lorsque la notion de patron a été introduite, un patron découpé et collé par une de ces faces. Si c est sur une affiche, on peut y suspendre un solide du type concerné par l affiche.

8 Quelques exemples de situations permettant de passer du solide à un de ses patrons et réciproquement et donc d approcher les relations d incidence Découvrir le patron d un solide Représenter un cube en vue de le faire reproduire. (Donner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, p.240) Un cube est donné à chaque groupe d élèves. Ils doivent faire un message qui sera donné à un autre groupe, celui-ci devra fabriquer exactement le même cube avec les mêmes couleurs aux mêmes endroits. Le message ne doit contenir que du dessin (avec les couleurs). Il est interdit d utiliser des mots, des nombres, des symboles tels que des flèches ou autres. Le cube doit bien sûr être gardé à l écart des regards indiscrets. Dans la deuxième phase, les messages sont échangés et les cubes réalisés. La validation se fera par comparaison avec l original conservé par le groupe rédacteur. Il est fort probable que les élèves ne pensent pas au patron, surtout si c est une séance de découverte du patron. Mais ce n est pas grave. Le but est de leur montrer que cette représentation est la meilleure solution au problème Dans le cas ou personne ne pense au patron, l enseignant le proposera à la fin de la mise en commun. Il proposera d ouvrir les solides. Il faut prévoir une séance pour donner aux élèves la possibilité d expérimenter cette solution. L enseignant peut alors proposer à toute la classe le même solide, les élèves dessinent leur patron, on fabrique les solides d après les patrons (original caché à ce moment) puis on compare avec l original. Le cube donné a été réalisé avec du papier. Il contient des carrés blancs. Ces faces blanches rendent plus difficiles les représentations autres que le patron. Il faut prévoir plusieurs faces d une même couleur pour la même raison. Un matériel du type Polydron, permet le dépliage et est donc très favorable à l étude des patrons. Il peut servir pour valider des exercices de reconnaissance de patrons trouvés dans les manuels. Cette situation peut être proposée avec d autres solides que le cube. D autres situations avec les mêmes objectifs sont proposées dans l ouvrage ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 : «Représenter un solide» et «Assemblons les faces». Il s agit alors ensuite d approfondir ses connaissances sur les patrons et utiliser les relations d incidence Des pentaminos aux patrons du cube Objectifs : - mettre en évidence le fait qu un cube a plusieurs patrons - mettre en évidence les relations d incidences entre les faces d un cube Il s agit de dessiner le carré manquant pour qu un pentamino (assemblage de cinq carrés) puisse devenir le patron d un cube. Exemple de pentaminos Les élèves disposent d une feuille sur laquelle sont dessinés un ou plusieurs pentaminos.il doivent dessiner, en utilisant un stylo de couleur verte, le carré qui manque pour que le pentamino devienne le patron d un cube. Ils n ont pas le droit de découper l assemblage. Une fois leur hypothèse matérialisée, ils peuvent la vérifier en utilisant un matériel de type polydron constitué de cinq carrés de même couleur permettant de matérialiser le pentamino et d un carré d une autre couleur pour matérialiser le carré qu ils ont rajouté ou alors en utilisant des carrés de couleur découpés dans du carton.

9 Le cube tronqué Cette situation est tirée de l ouvrage ERMEL. Un cube tronqué est donné aux élèves. Dans un premier temps, ils doivent réaliser un schéma correspondant au patron du cube. La mise en commun permet d apporter des arguments pour valider ou invalider les schémas : on écarte ceux qui n ont pas le nombre suffisant de faces pour être un patron ou ceux dont un pliage mental permet d affirmer que des faces vont se superposer. Ensuite, on propose aux élèves de construire un patron du cube tronqué à partir des gabarits des faces. Il s agit d anticiper pour reconnaître si un assemblage de figures planes constitue ou non le patron d un solide. Un patron du cube tronqué et les gabarits des faces correspondantes sont données en annexe 2. Bibliographie Donner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 Travaux géométriques cycle 3 IREM de Lille CRDP du Nord Pas- de- Calais, 2000

10 Annexe 1 Le jeu du portrait avec des objets géométriques Le jeu du portrait met en oeuvre la description d un objet géométrique et à cette occasion à la mise en place et à l utilisation d un vocabulaire géométrique pour désigner l objet et ses propriétés. Il s agit de poser des questions pour reconnaître un objet géométrique choisi parmi un ensemble d objets donnés. Les réponses aux questions ne peuvent être que «oui» ou «non». Le choix des objets géométriques et de la consigne : Ils doivent être choisis en adéquation avec les objectifs que l on s est fixé : Par exemple en CP, si l objectif est la reconnaissance des figures géométriques telles que le carré, le triangle, le rectangle, le disque et la désignation correcte de ces dernières, alors les objets seront choisis parmi ces derniers et la consigne donnée sera la suivante : vous allez me poser des questions pour deviner quelle figure géométrique j ai choisie. La consigne est ouverte et on n interdit pas aux élèves d utiliser le nom des figures. Mais si l objectif est d amener les élèves à utiliser les propriétés de ces figures, ici le nombre des côtés, des sommets ou encore l isométrie des côtés (côtés «pareils», égaux) alors dans la consigne on interdit les questions dans lesquelles intervient le nom des figures. La consigne doit être précise, sans ambiguïté. Elle ne doit pas être modifiée au cours du jeu. Par exemple, en CM1 si l objectif est de faire apparaître les différences entre le carré, le losange et le rectangle, la consigne pourra être la suivante : vous allez poser des questions pour deviner quelle est la figure que j ai choisie. Vous poserez des questions sur le nombre d angles droits et sur le nombre de côtés de même longueur. Vous n avez pas le droit de nommer les figures. Dans ce cas, les figures choisies seront uniquement des quadrilatères ce qui empêchera les questions relatives au nombre de côtés. Il est bien sûr possible de jouer au jeu du portrait avec des polyèdres. On pourra alors poser des questions sur la nature des faces, le nombre de faces, le nombre de sommets et le nombre d arêtes. La vérification des propriétés Au cycle 2, les propriétés seront reconnues de manière perceptive, bien qu il soit possible à la fin du CE1, de faire utiliser le double décimètre et un gabarit d angle droit pour les vérifier. On le fera de manière systématique au CE2. On pourra aussi utiliser du papier quadrillé pour dessiner les figures. Au CM1 et au CM2, les élèves ne seront plus autorisés à reconnaître les propriétés des figures de manière perceptive. Ils devront vérifier la présence des propriétés à l aide des outils usuels (gabarit ou équerre pour vérifier la présence d angles droits, ou de segments perpendiculaires, compas pour vérifier l isométrie éventuelle de longueurs). Pour cela, une fois la consigne donnée, ils devront analyser les figures données pour savoir quelles propriétés elles possèdent. Par exemple, sur un jeu de portrait portant sur les quadrilatères, si la consigne est de poser des questions sur la présence de côtés égaux et d angles droits, les élèves devront vérifier, avec les outils adéquats, la présence éventuelle de ces propriétés sur les figures. Cela peut être une bonne occasion pour coder les propriétés présentes dans les figures. Les élèves peuvent, avant de commencer à poser les questions, analyser chacune des figures en mettant en évidence les propriétés sur lesquelles doivent porter les questions, puis trouver un moyen pour s en rappeler. Le codage ainsi introduit permet alors de lire rapidement les propriétés sur les figures et de ne pas les vérifier à chaque fois. Cela permet de poser des questions plus rapidement et plus efficacement. La manière de gérer les questions Il semble important de noter les questions et les réponses apportées afin de permettre aux élèves de mieux mémoriser les informations que les réponses apportent. En effet, le jeu du portrait permet aussi d apprendre aux élèves à coordonner des informations et à tenir compte d une réponse négative. En effet, bien souvent, une réponse négative correspond, pour les élèves, à l absence d information et dans ce cas ils ne tiennent pas compte de la réponse. Par exemple, si la réponse à la question «la figure a-t-elle trois côtés?» est «non», un élève pourra ensuite poser la question suivante : «la figure a-t-elle trois sommets?». Le fait de noter les questions et les réponses, permet aussi de mieux cadrer les apprentissages en jeu, d éviter que le jeu ne devienne qu une partie de devinettes. Il faut que les élèves puissent prendre conscience qu à travers le jeu ils font de la géométrie, qu ils perfectionnent leurs connaissances sur les figures géométriques. Il vaut mieux jouer moins longtemps et prendre plus de temps pour gérer chaque jeu.

11 Les difficultés à prendre en compte - La difficulté à poser des questions Quand on joue au jeu du portrait avec des élèves de CP, voire avec certains élèves de CE1, il faut prendre en compte leur difficulté à poser des questions. Généralement, ils ne savent pas le faire. Il faut alors le leur apprendre. - La difficulté à éliminer les figures à chaque information donnée Il est nécessaire aussi d apprendre aux élèves à organiser leur recherche et à éliminer les figures qui ne conviennent pas après chaque réponse. C est pour cette raison, qu il est plus facile de gérer un jeu de portrait avec des petites affiches sur lesquelles sont dessinées les figures et que les élèves peuvent retourner ou écarter. Si on utilise une feuille sur laquelle sont dessinées les figures, penser à en prévoir plusieurs ou prévoir une feuille de gestion du jeu sur laquelle les élèves pourront à chaque réponse noter les figures qu ils éliminent ou qu ils gardent. - La difficulté à prendre en compte une réponse négative Voir ci-dessus. Il est alors nécessaire de faire reformuler la réponse autrement de manière à ce qu elle soit prise en compte. - La difficulté à coordonner des informations D où la nécessité de noter question et réponse et d aider les élèves à prendre en compte l ensemble des informations. - La difficulté à utiliser de manière correcte certaines questions : Par exemple si à la question «A-t-il deux angles droits?», on répond «oui», cela ne veut pas dire que la figure a seulement deux angles droits, cela veut dire qu elle en a au moins deux. Il est donc possible d amener les élèves à affiner leur question en introduisant les expressions «au moins», «seulement» Quelques pistes pour prolonger l activité «jeu du portrait» Il est alors possible, dès le CM1, de proposer aux élèves de résoudre des énigmes géométriques leur permettant de retrouver un polygone parmi plusieurs dessinés sur une feuille : Je suis un quadrilatère Tous mes côtés ont le même longueur Je n ai pas d angle droit J ai seulement deux angles droits Tous mes côtés ont la même longueur. Qui suis-je? Qui suis-je? Les énigmes peuvent avoir plusieurs solutions. Dans un deuxième temps, on peut demander aux élèves d écrire des énigmes pour leur camarade. Ils seront alors amenés à utiliser de manière précise le vocabulaire géométrique introduit. Il est aussi possible d établir avec les élèves des cartes d identités des figures étudiées. On ne donnera pas de définition de ces figures mais la carte d identité déclinera toutes les propriétés de la figure même si elles sont redondantes pour la définir. Exemple : Le rectangle Quadrilatère 4 angles droits 2 côtés opposés égaux alors qu on sait qu une condition suffisante pour qu un quadrilatère soit un rectangle est qu il ait trois angles droits. La notion de condition suffisante ne relève pas de l école élémentaire. On peut juste approcher cette notion au CM2 en faisant construire aux élèves un quadrilatère qui a trois angles droits et leur faire constater que c est bien un rectangle parce qu il possède les propriétés écrites sur la carte d identité. La carte d identité peut s enrichir au fur et à mesure qu on approfondit ses connaissances sur les figures, par exemple en introduisant les propriétés sur les diagonales ou la présence éventuelle d axes de symétrie.

12 Annexe 2

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