HAPITRE G1 THÉORÈME DE THALÈS

Transcription

1 héorème de halès 1 Peux-tu utiliser le théorème de halès dans les figures ci-dessous? a. b. 3 Les points L,, sont alignés et les points,, aussi. Les droites () et (L) sont n donne = 5 cm ; = 2 cm et = 3 cm. L c. d. U Q K P a. eproduis cette figure à main levée et reportes-y les données de l'énoncé. b. Écris les rapports de longueurs égaux. c. Quelle(s) longueur(s) pourrais-tu calculer? L e. V 4 es lacets [WX] est un diamètre du cercle et [X] est un diamètre du cercle '. W 2 apports égaux ans chacun des cas suivants, écris tous les rapports de longueurs égaux. u préciseras les droites parallèles utilisées. Les droites représentées en bleu sont a. b. c. d. e. [] est un diamètre du cercle. f. U V W ur la figure ci-dessus, les droites représentées en vert et en violet sont parallèles deux à deux. a. écris les deux configurations de halès présentes dans cette figure. b. Écris tous les rapports de longueurs égaux à. u préciseras les droites parallèles que tu as utilisées. 5 onstruis le triangle tel que = 5,6 cm ; = 4,2 cm et = 70. Place sur [) le point tel que = 8 cm. La parallèle à la droite () passant par coupe () en. a. race en couleur les droites Écris les rapports de longueurs égaux. b. alcule la longueur. Vérifie sur ta figure. 6 Un triangle L est tel que = 6 cm et L = 3 cm. Le point est le point de [L) tel que = 5,1 cm. La parallèle à la droite (L) passant par coupe () en X. n a alors X = 6,8 cm. a. race une figure à main levée. ode la figure avec les données de l'énoncé. b. alcule les longueurs X et L. P 1 ÉÈ LÈ 191

2 7 oit P un triangle. est un point du segment [P] et est un point du segment [P] tels que = 30 cm ; = 30 cm ; = 50 cm et () // (). À l'aide du théorème de halès, on obtient P = 45 cm. Vrai ou faux? xplique ta démarche. 8 Les droites en vert sont 11 L est un triangle tel que L = 9 cm ; = 7 cm et L = 5 cm. n appelle le milieu du segment [L] et le milieu du segment [L]. a. ontre que les droites () et () sont b. alcule la longueur. 12 Les points,, sont alignés et les points,, aussi n sait que = 15 cm ; = 6 cm ; = 14,2 cm et = 7,3 cm. alcule les longueurs et. n donne = 2,4 cm ; = 6,4 cm ; = 7 cm et = 3 cm. alcule, en justifiant, les longueurs, et. 13 U est un parallélogramme tel que = 5 cm et = 6 cm. Le point P est le point de () qui n'appartient pas à [] tel que P = 3 cm. La droite (P) coupe [U] en. alcule les longueurs et U. Petits problèmes 10 À la recherche des parallèles perdues est un parallélogramme tel que = 4 cm ; = 6 cm et = 8 cm. P est le point de [] tel que P = 2,4 cm. La parallèle à () passant par P coupe [] en. a. race une figure en vraie grandeur. b. ontre que les droites (P) et () sont c. alcule les longueurs et P. 14 ux sports d'hiver Un skieur dévale, tout schuss, une piste rectiligne représentée ci-dessous par le segment [] de longueur m. À son point de départ, le dénivelé par rapport au bas de la piste, donné par la longueur, est de 200 m. près une chute, il est arrêté au point sur la piste. Le dénivelé, donné par la longueur, est alors de 150 m. La figure n'est pas à l'échelle. alcule la longueur qu'il lui reste à parcourir. 192 ÉÈ LÈ P 1

3 15 écurité routière 'après le code de la route (rticle 313-3) : Les feux de croisement d'une voiture permettent d'éclairer efficacement la route, la nuit par temps clair, sur une distance minimale de 30 m. fin de contrôler régulièrement la portée des feux de sa voiture, acques veut tracer un repère sur le mur au fond de son garage. La figure n'est pas à l'échelle. 60 cm ur 17 xtrait du revet Voici un schéma du fonctionnement d'un appareil photographique argentique : un objet [] situé à une distance d de l'objectif a une image [''] située à une distance d' de. Pellicule ' mage renversée ' bjectif d' d apin 1,5m 30m Les feux de croisement sont à 60 cm du sol. À quelle hauteur doit-il placer le repère sur son mur pour pouvoir régler correctement ses phares? 16 Promenons-nous dans les bois Par un beau dimanche ensoleillé, ulien se promène au pied de la montagne ainte Victoire, au bord de la rivière rc. l se demande quelle est la largeur de cette rivière. l prend des repères, compte ses pas et dessine le schéma ci-dessous. 20 pas 5 pas 1 pas a. Quelle est, en nombre de pas, la largeur de la rivière qu'obtient approximativement ulien? b. ulien estime la longueur de son pas à 65 cm. onne une valeur approximative de la largeur de cette rivière, au centimètre près. a. Prouver que les droites () et ('') sont b. émontrer l'égalité : d d' = ''. c. Pour un certain appareil, d' = 50 mm. Un sapin d'une hauteur de 12 m se trouve à 15 m de l'objectif. Quelle est la hauteur de l'image qui se forme sur la pellicule? Parallèles ou non? 18 Prenons de bonnes habitudes est un triangle. est un point de [] et est un point de () n'appartenant pas à []. n donne = 4 cm ; = 3 cm ; = 1,2 cm et = 0,9 cm. a. lixien a écrit sur sa copie : «Les droites () et () sont sécantes en. 'une part, = 1,2 4 = = 'autre part, = 0,9 3 = 9 30 = omme =, alors les droites () et () sont» Quel théorème lixien a-t-il utilisé? b. race une figure. c. La réponse d'lixien est-elle juste? i non, rédige la bonne réponse. P 1 ÉÈ LÈ 193

4 19 émontre que les droites () et () sont n donne = 2,8 cm ; = 5,4 cm ; = 2,7 cm et = 1,4 cm. 20 un triangle tel que = 3,3 cm ; = 2,4 cm et = 2,5 cm. a. éalise une figure. Place le point sur [) tel que = 6 cm et le point sur [) tel que = 9 cm. b. xplique pourquoi les droites () et () ne sont pas 21 halès incontournable? est un triangle rectangle en tel que = 12 cm et = 8 cm. Le point est le point du segment [] tel que = 4 cm et le point est le point de [] tel que = 6 cm. a. essine une figure en vraie grandeur. b. émontre que la droite () est parallèle à la droite (). 22 est un parallélépipède rectangle tel que = 7 cm ; = 3 cm et = 2,5 cm. La figure n'est pas en vraie grandeur. Le point K appartient à l'arête [] et le point L appartient à l'arête []. n donne K = 6 cm et L = 2,6 cm. Les droites (KL) et () sont-elles parallèles? 24 L'unité de longueur choisie est le mètre. a. Pour x = 2,5, les droites () et () ne sont pas Vrai ou faux? xplique ta démarche. b. Pour x = 1, les droites () et () ne sont pas Vrai ou faux? xplique ta démarche. 25 a. Le triangle est rectangle en. n donne = 6 cm et = 10 cm. émontre que = 8 cm. b. n donne = 2,56 cm et = 3,2 cm. xplique pourquoi les droites () et () sont 26 xtrait du revet Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois. (ur le schéma ci-dessous, les mesures sont en mètres.) a. n considérant que le montant [] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur. b. alculer les longueurs et. 6 c. émontrer que la traverse [] est bien parallèle au sol. 1,95 1,8 grandissements, réductions 27 Pour chaque figure ci-dessous, indique si le triangle est une réduction ou un agrandissement du triangle ou ni l'un ni l'autre. x + 2 1,5 2,5 x 2 sol 23 n donne les longueurs suivantes : = 6,3 cm ; = 4,9 cm ; = 16 cm et = 7 cm. Les droites () et () sont-elles parallèles? 194 ÉÈ LÈ P 1 a. b. c

5 28 randir a. onstruis un parallélogramme V tel que = 6 cm ; V = 4 cm et V = 130. b. onstruis un agrandissement de rapport 5 4 du parallélogramme V. c. Quelle est la nature de la figure obtenue? d. éduis-en la mesure des angles de la figure agrandie. ustifie. 29 insi font font font ulien souhaite préparer un spectacle de marionnettes en ombres chinoises. on écran mesure 2 m. a marionnette mesure 24 cm. Perché sur une estrade, il tient sa marionnette à 30 cm de la lumière, placée sous l'estrade. 31 xtrait du revet n veut réduire la taille de la flèche. Pour cela, on réalise le schéma ci-après dans lequel () et ('') sont onnées : = 8 cm ; ' = 9 cm ; ' = 15 cm. essin final essin de ' (réduction) départ ' a. alculer la longueur de la flèche réduite ''. b. Quel est le coefficient de réduction? c. n utilisant le même schéma, on veut obtenir une flèche '''' dont la longueur est la moitié de la flèche de départ. À quelle distance de sera placé le nouveau point ''? À quelle distance de la source de lumière doit-il placer l'écran pour agrandir sa marionnette au maximum? 32 oir & blanc La photo ci-dessous représente un agrandisseur pour le tirage des photographies noir et blanc argentiques. Une source de lumière est diffusée à travers le négatif et une lentille appelée objectif. Une image agrandie du négatif est alors projetée sur un plateau. Les deux pyramides ci-dessous représentées en perspective schématisent le faisceau de lumière. La petite hauteur mesure 10 cm et la grande hauteur mesure 60 cm. égatif bjectif 10 cm 60 cm Les formats des négatifs utilisés sont 24 mm 36 mm, 6 cm 6 cm et 4'' 5''. (Le symbole '' représente l'unité de longueur anglo-saxonne, appelée inch, qui correspond environ à 2,54 cm.) vec chacun des négatifs, quel agrandissement maximum peut-on obtenir? P 1 ÉÈ LÈ 195